Appunti di Meccanica Analitica

Contents

1 Dinamica del punto 41.1 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Equazioni differenziali del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Caso di forze posizionali: soluzione per quadrature . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Forze di richiamo e forze viscose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Oscillatore armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Oscillatore armonico smorzato e forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Analisi qualitativa del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Studio del moto alla Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Diagramma delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Analisi del moto alla Weierstrass per loscillatore armonico . . . . . . . . . . . 231.3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 Pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 Equazione differenziale del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 Piccole oscillazioni del pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.3 Analisi del moto alla Weierstrass per il pendolo semplice . . . . . . . . . . . . 271.4.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.1 Integrali primi del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.2 Forza centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.3 Integrazione delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.4 Stabilita delle orbite circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.5 Appendice: composizione di moti periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.6 Esempio di forza centrale attrattiva direttamente proporzionale alla distanza . 361.5.7 Analisi del moto alla Weierstrass per il problema di Keplero . . . . . . . . . . 361.5.8 Orbite chiuse e condizione sul potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.6 Moto di un punto su una superficie prestabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6.1 Considerazioni preliminari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6.2 Moto di un punto pesante sopra una superficie di rotazione ad asse verticale e

priva di attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.6.3 Pendolo sferico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.7 Dinamica relativa del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1

1.7.1 Influenza della rotazione terrestre sul moto dei gravi nel vuoto . . . . . . . . . 461.7.2 Pendolo di Focault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.7.3 Nozioni elementari di meccanica celeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Equazioni di Lagrange 542.1 Principio del dAlembert e relazione simbolica della Dinamica . . . . . . . . . . . . . 542.2 Equazioni differenziali del moto di un sistema olonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3 Funzione Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4 Coordinate cicliche e Lagrangiana ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5 Esempio: problema di Keplero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6 Integrazione per quadrature del giroscopio pesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Piccole oscillazioni 633.1 Teorema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Moto delle piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3 Caso unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Coordinate normali e frequenze proprie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 Schema riassuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6.1 Pendoli accoppiati: esempio di calcolo di modi normali e battimenti . . . . . . 703.6.2 Bipendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4 Equazioni canoniche di Hamilton 744.1 Forma hamiltoniana dei sistemi lagrangiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2 Trasformata di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3 Funzione Hamiltoniana nel caso dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4 Esempi di funzione Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.1 Punto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4.2 Solido con punto fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5 Significato fisico dei momenti coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5.1 Significato fisico della costante del moto ph quando la coordinata ciclica qh e

una coordinata cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5.2 Significato fisico della costante del moto ph quando la coordinata ciclica qh e

un angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.6 Flusso Hamiltoniano e teorema di Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6.1 Flusso Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.6.2 Flusso Hamiltoniano per loscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.6.3 Teorema di Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.7 Coordinate cicliche formalismo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2

5 Principio variazionale di Hamilton. 905.1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2 Principio variazionale di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3.1 Moto di un grave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.3.2 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.5 Esercizi (risolti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 Trasformazioni canoniche 1006.1 Struttura canonica delle equazioni di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.1.1 Trasformazioni che conservano la struttura canonica . . . . . . . . . . . . . . . 1006.1.2 Determinazione della nuova Hamiltoniana per effetto di una trasformazione che

conserva la struttura canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3 Generatrice di una trasformazione canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4 Esempio: trasformazione canonica per loscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . 105

7 Parentesi di Poisson 1077.1 Definizione della parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.2 Proprieta principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8 Equazione di Hamilton-Jacobi 1118.1 Equazione di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2 Hamiltoniana indipendente da t ed azione ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.3 Esempio: loscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.4 Metodo di separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.5.1 Lequazione di Hamilton-Jacobi per il moto centrale di un punto in un piano . 1168.5.2 Il metodo di Hamilton-Jacobi applicato al problema di Keplero . . . . . . . . . 117

A Complementi 119A.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A.1.1 Serie di Fourier in forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119A.1.2 Serie di Fourier in forma esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120A.1.3 Stima dei coefficienti cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

A.2 Teorema di annullamento degli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3

Chapter 1

Dinamica del punto

1.1 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita

1.1.1 Equazioni differenziali del moto

La dinamica di un punto P si fonda sullequazione che deve essere soddisfatta durante il moto

ma = F + (1.1)

dove m e la massa del punto, F e la risultante di tutte le forze attive agenti sul punto e la risultantedi tutte le reazioni vincolari.

Supponendo nota la traiettoria del punto P soggetto alla (1.1) allora per caratterizzare il motonon rimane che da determinare la legge oraria. Piu precisamente, se s (ascissa curvilea di P ) e lalunghezza dellarco fra una arbitraria origine e P , misurata positivamente in un prefissato verso,la (1.1) proiettata, in ciascun punto della , sulla rispettiva tangente, orientata nel verso delle screscenti, diventa:

ms = Ft + t (1.2)

dove la componente tangenziale t di e, per lo piu, incognita. Tuttavia vi sono dei casi in cui la te preventivamente assegnabile. In particolare: un punto vincolato a restare su di una curvapriva di attrito si muove su di essa come se fosse esclusivamente soggetto allazione dellaforza attiva (tangenziale), cioe t = 0. In tal caso la (1.2) prende la forma

ms = Ft (1.3)

dove la componente tangenziale Ft della forza totale e una funzione f(s, s; t) nota, quindi la (1.3)assumera la forma

ms = f(s, s; t) (1.4)

e, nellipotesi di limitatezza, continuita e derivabilita nei tre argomenti della f , la (1.4) ammette una,ed una sola, soluzione (nel dominio considerato) soddisfacente alle condizioni iniziali assegnate. La(1.3) (piu precisamente nella forma (1.4)) prende il nome di equazione differenziale del moto ed esufficiente per caratterizzare univocamente il moto di un punto vincolato a percorrere una traiettoriaassegnata in assenza di attrito.

4

1.1.2 Caso di forze posizionali: soluzione per quadrature

Nel caso di forze posizionali Ft = f(s) la (1.3) assume la forma

ms = f(s) (1.5)

Per mostrare come la (1.5) si riduca con una quadratura ad una equazione del I ordine ricordiamoche lenergia cinetica T del punto e qui definita da 1

2ms2, da cui risulta: dT

dt= mss. Osservando che,

essendo f funzione della sola s, esiste unaltra funzione U della sola s tale che

dU

ds= f(s). (1.6)

In virtu della (1.5) segue che dTdt

= dUdss. Il secondo membro, in quanto si consideri U come funzione

di t tramite s(t), non e altro che la derivata di U = U [s(t)] rispetto a t. Integrando rispetto a t edesignando con E la costante di integrazione, si ricava:

T U = E. (1.7)

Questa relazione in termini finiti, tra la energia cinetica T del punto P e la sua posizione sulla curva(caratterizzata dalla funzione U(s)), si chiama integrale delle forze vive. Esso fornisce, in ultimaanalisi, una relazione fra s e s.

Nota. Nel caso in cui si suppone prestabilita la traiettoria si perviene alla (1.7) senza bisogno di

introdurre lipotesi che la forza totale F sia conservativa, basta infatti che essa sia posizionaleperche la (1.6) valga limitatamente alla mobilita del punto sopra la curva .

Nota. Dalla (1.7) deriva che:

T1 T0 = U1 U0,

essendo T0 e U0, T1 e U1 i valori di T e di U in due generici istanti t0 e t1. In particolare, consideriamodue punti materiali distinti di egual massa che siano fatti partire con la medesima velocita da unamedesima posizione, oppure da due posizioni appartenenti alla medesima superficie U = cost.. Sequesti due punti si muovono sotto lazione di una forza derivante dal potenziale U , luno libero elaltro costretto a restare sopra una curva priva di attrito, essi attraversano ciascuna superficieequipotenziale con equale velocita. Cos, ad esempio, se due punti pesanti cadono, a partire dallaquiete, uno liberamente, laltro sopra un sostegno prestabilito (privo di attrito), dopo essere discesidi una stessa quota, hanno la stessa velocita.

Torniamo al problema dellintegrazione della equazione (1.5) del moto; ponendo

u(s) =2

m[U(s) + E] , (1.8)

lequazione delle forze vive (1.7) si puo scrivere(ds

dt

)2= u(s), da cui

ds

dt=

u(s), (1.9)

5

dove va preso il segno positivo o negativo secondo che la velocita scalare dsdtsia positiva o negativa. La

(1.9) e una equazione differenziale del I ordine, sostanzialmente equivalente alloriginaria equazione(1.5) 1, che puo essere integrata mediante una quadratura e fornisce la cercata relazionein termini finiti tra s e t. Le due costanti arbitrarie da cui essa deve dipendere sono date lunadalla costante additiva dellultima quadratura, laltra dallintegrale E delle forze vive.

1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato

In questo paragrafo studieremo il moto del punto risolvendo esplicitamente le equazioni del moto.Questo e possibile poiche tali equazioni sono lineari. Nel caso generale, non essendo possiblie risolverele equazioni, si ricorre allo studio qualitativo del moto reso possibile dallintegrale primo dellenergia.

1.2.1 Forze di richiamo e forze viscose

Fra le forze posizionali meritano speciale attenzione le cosiddette forze di richiamo, verso unassegnataposizione O della curva . La proprieta caratteristica di tali forze e di annullarsi in O, detta po-sizione di richiamo, e di esplicarsi, in ogni altro punto della , come attrazioni (tangenziali) versoO, crescenti quanto piu ci si allontana da O lungo la curva. In particolare si ha che sf(s) < 0,supponendo che O abbia ascissa curvilinea s = 0 e dove f(s) = Ft(s). E questo il comportamentotipico delle forze elastiche. Una espressione tipica di una forza elastica di richiamo e data da:

f(s) = s (1.10)

dove e una assegnata costante positiva.Le forze viscose dipendono, invece, dalla velocita del punto e tendono, sempre, ad opporsi al

moto del punto. La piu semplice espressione di una forza viscosa ha la forma

F = bv

dove v e la velocita del punto e b e una assegnata costante positiva.

1.2.2 Oscillatore armonico smorzato

Si usa designare con questo nome un sistema meccanico costituito da un punto materiale di massam soggetto ad una forza elastica e ad una forza viscosa. Lequazione differenziale del moto prendela forma

ms+ bs+ s = 0.

1Due osservazioni. La prima riguarda lequivalenza fra (1.9) e (1.5). Si deve notare che la (1.5) implica la (1.9),tuttavia non e sempre vero il viceversa. Infatti la (1.9), che e una riscrittura di (ms f(s))s = 0, implica la (1.5) intutti gli istanti di tempo t tali che s(t) = 0. Negli istanti t0 di arresto s(t0) = 0, questa implicazione non vale e lostudio del moto fa vatto in base allequazione del moto. Seconda osservazione: lequazione (1.9) non descrive tutti imoti possibili, ma solo quelli di energia meccanica E. Solo facendo assumere ad E tutti i valori possibili si ottengonotutti i moti.

6

Ponendo poi h = b2m

e =

m

allora questa si scrive

s+ 2hs+ 2s = 0, (1.11)

che e una equazione differenziale del II ordine, lineare, a coefficienti costanti e omogenea. Lasoluzione generale e, tranne un caso particolare (in cui z1 = z2), data da

s(t) = C1ez1t + C2e

z2t

dove

z1,2 = hh2 2

sono le soluzioni, reali o complesse, della equazione di secondo grado

z2 + 2hz + 2 = 0.

Ai fini della discussione che segue conviene porre la soluzione generale nella forma

s(t) = C1e1t + C2e

2t, dove 1,2 = z1,2. (1.12)

Nota. Mettiamo in luce la seguente proprieta: qualunque siano h e 2, purche sia h > 0, allora

z1,2 < 0, cioe 1,2 > 0. (1.13)

Infatti, essendo z1,2 soluzioni dellequazione di secondo grado, segue che

z1 + z2 = 2h e z1z2 = 2. (1.14)

Se z1,2 sono numeri reali allora, dalla seconda condizione (1.14), essi hanno segno concorde e questo,dalla prima condizione (1.14), e negativo. Se, invece, z1,2 sono numeri complessi allora, essendo icoefficienti della equazione reali, essi sono tra loro complessi coniugati, cioe z2 = z1, e la condizione(1.14) si traduce in

2z1 = 2h e |z1|2 = 2 (1.15)

che pone immediatamente al risultato cercato.In virtu della proprieta (1.13) e ricordando che

e1,2t = e1,2tei1,2t

dove ei1,2t ha modulo 1, segue che la soluzione (1.12) s(t) della equazione (1.11), per assegnatecondizioni iniziali, tende asintoticamente a zero, per t crescente, in modo esponenziale.

Premesso questo risultato generale (e di importanza rilevante nello studio della stabilita deisistemi) andiamo a discutere in dettaglio la forma della soluzione generale in funzione dei valori deiparametri. Si hanno i seguenti tre casi:

7

0.2

0.1

0

0.1

0.2

1 2 3 4 5 6

t

Figure 1.1: Grafico della legge oraria nel caso di moto aperiodico smorzato.

Moto aperiodico smorzato: h2 > 2.

In questo caso abbiamo che 1,2 R+ ed il moto ha, al piu, una sola inversione del moto (Figura1.1).

Moto oscillatorio smorzato: h2 < 2.

In questo caso 1,2 sono complessi coniugati e si possono scrivere come 1,2 = h ik dove k =2 h2; con tale posizione la soluzione generale prende la forma (prendendo le costanti arbitrarie

C1 e C2 complesse coniugate tra loro e facendo un po di conti)

s(t) = C1ehteikt + C2e

hteikt = eht(C1e

ikt + C2eikt)

= Ceht cos(kt+ ).

Risulta quindi essere un moto oscillatorio, di pulsazione k, con ampiezza data da Cept che decresceesponenzialmente. Il numero T = 2/k prende il nome di pseudo-periodo (Figura 1.2). Osservi-amo che nel caso limite di assenza di smorzamento h = 0 allora la soluzione generale prende la bennota forma s(t) = C cos(kt+ ) caratteristica delle oscillazioni armoniche di periodo 2/k.

Moto aperiodico smorzato con smorzamento critico: h2 = 2.

In questo caso z1,2 = h sono reali e coincidenti; la soluzione generale non ha piu la forma (1.12)bens

s(t) = C1eht + C2te

ht.

Landamento della funzione s(t) presenta, sostanzialmente, le stesse caratteristiche del primo caso(Figura 1.1).

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1

0.5

0

0.5

1

1 2 3 4 5 6

t

Figure 1.2: Grafico della legge oraria nel caso di moto oscillatorio smorzato.

1.2.3 Oscillatore armonico smorzato e forzato

Se ammettiamo la presenza di un termine forzante che dipende, in modo periodico, dal tempo t alloralequazione differenziale da studiare risulta essere la seguente:

ms+ bs+ s = Q(t) (1.16)

dove Q(t) e una funzione periodica assegnata e dove b 0 e = 0. Lequazione differenziale (1.16)del II ordine, lineare, a coefficienti costanti e completa ha soluzione generale della forma

s(t) = s0(t) + s(t)

dove s0(t) e la soluzione generale della omogenea associata (1.11) e dove s(t) e una soluzione parti-

colare della completa.Nota. In virtu delle osservazioni fatte in precedenza possiamo affermare che, a regime, la funzione

s(t) e data solamente dalla soluzione particolare; infatti, comunque siano state assegnate le costantiarbitrarie, la funzione so(t) decresce esponenzialmente e quindi, dopo un certo intervallo di tempo(detto transitorio), segue che s(t) s(t).

Caso di forzante di tipo armonico

Supponendo, al momento, che il termine forzante Q(t) sia una funzione armonica di periodo T1 =2

data da

Q(t) = q sin(t+ ),

dove q > 0, > 0 e sono costanti assegnate. Ricerchiamo la soluzione particolare della forma

s(t) = p sin(t+ ) (1.17)

9

dove p e sono da determinarsi sostituendo la (1.17) nella equazione completa (1.16) e richiedendoche questa sia identicamente soddisfatta. Operando la sostituzione si ottiene

(2 2)p sin(t+ ) + 2hp cos(t+ ) = q sin(t+ )/m

che, in virtu delle formule trigonometriche di addizione, si trasforma nella

a sin(t+ ) + b cos(t+ ) = 0

dove, ponendo = ,

a = p[(2 2) cos+ 2h sin] q/m

e

b = p[(2 2) sin+ 2hcos].

Deve quindi essere verificato il seguente sistema{a = 0b = 0

{p[(2 2) cos+ 2h sin] = q/mp[(2 2) sin+ 2hcos] = 0 .

Quadrando e poi sommando si ottiene immediatamente:

p =A(2)q

mdove A(2) =

1(2 2)2 + 4h22

(1.18)

mentre dalla seconda si ottiene immediatamente che deve essere

tan() =2h

2 2,

con che langolo (ritardo di fase) risulta individuato subordinatamente alla condizione /2 < /2. Risulta che tan() e positiva o negativa, e quindi e maggiore o minore di 0, secondo che2 < 2 o 2 > 2.

Nota. E immediato verificare che

lim0+

A(2) =1

2e lim

+A(2) = 0.

Energia fornita al sistema vibrante

Osserviamo che nelle oscillazioni forzate viene fornita energia al sistema vibrante per effetto dellasollecitazione addizionaleQ(t). In particolare lenergia e fornita durante un intero periodo T1 = 2/e data dal lavoro svolto dal termine forzante:

e = t+T1t

Q(t) v(t)dt = t+T1t

Q[s(t)]s(t)dt; (1.19)

10

e, sostituendo a Q lequazione del moto (1.16), segue

e = t+T1t

[mss+ bs2 + ss

]dt

=m

2

[s2 + 2s2

]t+T1t

+ 2hm t+T1t

s2dt.

A regime stabilito si ha che s = s0 + s s e, per la periodicita di s, la parte integrata va a zero e

da cio

e 2hm t+T1t

(s)2dt.

Questa formula mostra che lenergia fornita e risulta essenzialmente positiva, ossia che, per man-tenere le oscillazioni forzate, bisogna comunicare energia al sistema vibrante. Si puo,infine, aggiungere che a regime stabilito la soluzione e data dalla s(t) (vedi (1.17)) e quindi e nondipende dallistante t considerato ma, solamente, dal periodo T1 = 2/. Piu precisamente:

e 2hm T10

(s)2dt = 2hm T10

p22[cos(t+ )]2dt

= 2hmp2 2

[cos()]2d = 2hmp2.

Caso ideale di uno smorzamento nullo

Mettiamoci nel caso dellipotesi ideale dellassoluta assenza di ogni resistenza passiva (h = 0) ecerchiamo di determinare per la corrispondente equazione

s+ 2s = q sin(t)/m (1.20)

una soluzione periodica della forma (1.17) (e sempre possibile assumere la fase iniziale nulla invirtu di una opportuna scelta dellorigine dei tempi t t /). Sostituendo e uguagliando siottiene

= 0 e p =q

m(2 2)

purche = .Se poi si ha = , cioe se il periodo della forza addizionale e identico a quello delle vibrazioni

spontanee del sistema, si ha una contraddizione nel ricercare una soluzione periodica del tipo (1.17);ma si verifica che la (1.20), per = , ammette lintegrale particolare

s(t) =q

2m2t sin(t),

il quale corrisponde ad oscillazioni del medesimo periodo ma che sono di ampiezza indefinitamentecrescente col tempo.

11

Risonanza

Tenendo fisse le costanti h e caratteristiche del sistema vibrante e lintensita massima q della forzaaddizionale e facendone variare la frequenza vediamo come vari conseguentemente lampiezza pdelloscillazione forzata corrispondente o, equivalentemente, il fattore di amplificazione A(2). Inparticolare la A(2) ammettera un unico massimo raggiunto, se h e piccola, per || in prossimita di||. Da qui segue la spiegazione del fenomeno della risonanza.

Per studiare il fenomeno della risonanza riprendiamo la (1.18) ponendo

2

2= x,

4h2

2= 2,

da cui

A(2) =1

2f(x), f(x) =

1(1 x)2 + 2x

. (1.21)

La funzione f(x) ammette punti di stazionarieta x > 0 quando

2(1 x) + 2 = 0, cioe x = 1 2/2.

In particolare questo risulta essere un punto di massimo relativo per f(x) (poiche la derivata secondadel radicando al denominatore e positiva e quindi il radicando ha un punto di minimo relativo).Quindi A(2) ammette un unico punto di massimo per 2 = 2 2h2 avente valore (Figura 1.3)

Amax = A(2 2h2) = 1

4h4 + 4h2(2 2h2)=

1

2h2 h2

.

2

4

6

8

10

12

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x

=0.4=0.2=0.1=0.08

Figure 1.3: Grafico della funzione (1.21) per diversi valori di .

12

Nota. Nel caso di smorzamento lieve (h 1) il punto di massimo relativo si ha in corrispondenzadi 2 2, cioe quando la frequenza del termine forzante e prossima alla frequenza naturale delsistema, ed inoltre

Amax 1

2h 1.

Battimenti

Il fenomeno noto con il nome di battimenti si verifica per la sovrapposizione di oscillazioni armonichecon frequenze diverse. Tale caso si verifica, ad esempio, quando consideriamo il caso ideale dismorzamento nullo (cioe h = 0) e soggetto ad un termine forzante oscillatorio. In questo frangentenon posiamo piu affermare che s(t) s(t) perche il termine s0(t) ha ampiezza che rimane costantenel tempo. Piu precisamente, volendo studiare il termine

s(t) = s0(t) + s(t),

dove

s0(t) = A1 cos(t+ 1) e s(t) = A2 cos(t+ 2)

dove prendiamo A1 = A2 = A (altrimenti poniamo A1 = A2+A2 e isoliamo il termine con coefficienteA2). Con tale ipotesi allora dalle formule di prostaferesi segue che

s(t) = 2A cos(t+ ) cos(t+ )

dove

=+

2, =

2

, =1 + 2

2, =

1 22

.

Il fenomeno diventa particolarmente evidente nel caso in cui ; infatti si osserva che il fattorecos(t+) produce una oscillazione che ha una frequenza molto vicina a quella dei moto componenti.Lampiezza di tale oscillazione risulta pero modulata (lentamente) dal fattore cos(t + ) la cuifrequenza e molto minore di quella precedente (Figura 1.4).

Caso di forzante periodica

Ai fini della ricerca della soluzione particolare nel caso generale in cui il termine forzante sia unagenerica funzione periodica, consideriamo inizialmente il caso h(t) = eit, dove C e = 2

T1. In

tal caso cerchiamo una soluzione (se esiste) della forma s(t) = reit, da cui

s(t) = ireit e s(t) = 2reit.

La sostituzione di s nella equazione differenziale (1.11) porta a

2reit + i2hreit + 2reit = eit/m

13

1

0.5

0

0.5

1

20 40 60 80 100

t

Figure 1.4: Battimenti.

che, dovendo essere identicamente soddisfatta per ogni t (affinche s sia soluzione dellequazionedifferenziale), implica

r =/m

2 2 + 2ihda cui

s(t) =1

m

2 2 + 2iheit.

Prima di passare al caso generale consideriamo il caso in cui la funzione periodica Q(t) ammettasviluppo in serie di Fourier di tipo esponenziale finito:

Q(t) =N

n=Ncne

int

dove cn = cn affinche Q(t) sia a valori reali. Una soluzione particolare, periodica di periodo T , equindi data da

s(t) =N

n=Nsn(t), s

n(t) =

1

m

cn2 n22 + in2h

eint

dove sn(t) e soluzione particolare della equazione differenziale

s+ 2hs+ 2s = cneint/m

da quanto abbiamo appena dimostrato. La verifica e immediata:

s + 2hs + 2s =N

n=N

(sn + 2hs

n +

2sn)

=N

n=Ncne

int/m = Q(t)/m.

14

Rimane da trattare il caso in cui Q(t) ammette sviluppo in serie infinita di Fourier

Q(t) =+

n=cne

int. (1.22)

Come nel caso precedente prendiamo come possibile soluzione particolare la serie di Fourier (per ilmomento formale):

s(t) =+

n=sn(t), s

n(t) =

1

m

cneint

2 n22 + i2nh(1.23)

e cerchiamo di stabilire se questa serie converge e, nel caso in cui converga, se e una soluzionedella equazione differenziale. Come nel caso precedente si verifica facilmente che questa serie e unasoluzione purche converga abbastanza velocemente in modo da poterne calcolare la derivata primae seconda derivando la serie termine a termine. Ricordiamo che per potere derivare k volte la serietermine a termine, deve convergere la serie

+n=

dksn(t)

dtk=

1

m

+n=

cn(in)k

2 n22 + i2nheint (1.24)

uniformemente rispetto a t; ricordiamo inoltre la seguente stima dei coefficienti della serie di Fourier:|cn| cnr quando la funzione Q(t) e di classe Cr. In virtu di queste considerazioni abbiamo che iltermine nesimo della serie (1.24) puo essere stimato come cn(in)keint/m2 n22 + i2nh

cknknr(2 n22)2 + 4n2h22 Cnkr2

per una qualche costante C > 0 indipendente da n. Troviamo quindi che la serie (1.24) convergeuniformemente rispetto a t se r + 2 k > 1; in particolare si ha che la serie (1.23) e soluzionedellequazione differenziale (1.16) se r + 2 2 > 1 (k = 2), cioe se la funzione Q(t) e, almeno, diclasse C2.

Possiamo riassumere questo risultato nel seguente teorema:

Teorema: Sia data la equazione (1.16) delloscillatore armonico smorzato e forzato, sia Q(t) unafunzione periodica, di periodo T1, di classe C

2 e avente sviluppo di Fourier in forma esponenziale(1.22) dove = 2/T1. Allora la serie di Fourier (1.23) converge uniformemente per ogni t [0, T1]ed e una soluzione della equazione (1.16).

Nota. Analizziamo ora in cosa si traduce il fenomeno della risonanza nel caso generale in cuiQ(t) ammette uno sviluppo di Fourier del tipo (1.22). Sotto lipotesi che Q C2 si e provatoche la soluzione particolare ha forma (1.23). Allora si vede subito che, prendendo anche qui h

sufficientemente piccolo, le armoniche di indice n = [

], dove [] denota il numero intero piu

vicino, vengono amplificate, infatti per tali valori di n il denominatore assume valore minimo, mentrele altre armoniche sono smorzate.

15

1.3 Analisi qualitativa del moto

Si ricorre allo studio qualitativo quando non sia possibile risolvere lequazione del moto oppure nelcaso in cui dalla soluzione, anche se nota, non sia facile dedurre le proprieta.

1.3.1 Studio del moto alla Weierstrass

Consideriamo il caso in cui la forza F applicata al punto libero P e conservativa (o, almeno nelcaso uni-dimensionale, sia posizionale); allora le equazioni (1.1) ammettono lintegrale (primo)delle forze vive

T U = E,

dove E e lenergia totale costante. Riprendiamo la corrispondente equazione delle forze vive (1.9)

s2 = u(s), (1.25)

dove

u(s) =2

m[U(s) + E] e

dU

ds= f(s) = Ft(s). (1.26)

La (1.25) e una conseguenza necessaria della equazione fondamentale (1.5) ms = f(s). Perciolandamento del moto si puo desumere dalla (1.25) anziche dalla originaria (1.5).

Circa lequazione (1.25) supponiamo, per fissare le idee, che la funzione u(s), per tutti i valoridi s che volta a volta considereremo, sia finita e continua insieme con le sue derivate di tutti gliordini. Denotiamo con s0 e s0 la ascissa curvilinea e la velocita scalare del punto allistante iniziale.Osserviamo che queste quantita, avendo fissato lenergia meccnica totale E, non sono indipendentipoiche s0 = u(s0).

Dalla (1.25) distinguiamo, in ordine alle condizioni iniziali, due casi:

a) se s0 = 0, ovvero s20 = u(s0) = 0;

b) se s0 = 0, ovvero s20 = u(s0) > 0.

Caso di velocita iniziale nulla: s0 = 0.

Consideriamo inizialmente il caso a) s0 = 0. In questo caso il moto, al suo inizio, non e comple-tamente caratterizzato dallequazione delle forze vive (1.25) ed e necessario fare un ditinguere duecasi:

a1) s0 e radice semplice di u(s), cioe

du(s0)

ds= 2

f(s0)

m= 0.

In virtu della legge del moto incipiente (in base alla quale, per lannullarsi della velocita iniziale,il mobile segue il verso della forza attiva Ft =

m2duds

che, per s = s0, e non nulla) si ha che ilmobile si mette in moto e, subito dopo listante iniziale, ci troviamo nella condizione b).

16

a2) s0 e una radice multipla di u(s), cioe

du(s0)

ds= 2

f(s0)

m= 0.

In questo caso s s0 soddisfa lequazione del II ordine (1.5) con le condizioni iniziali s(t0) = s0e s(t0) = 0. Quindi il mobile rimane in equilibrio nella posizione iniziale s0.

Caso di velocita iniziale non nulla: s0 = 0.

Consideriamo ora il caso b) s0 = 0. In questo caso il moto, al suo inizio, e completamente caratter-izzato dallequazione delle forze vive (1.25) scritta nella forma

s = u(s) (1.27)

Possiamo sempre assumere, senza perdere in generalita, che sia s0 > 0 (altrimenti e sufficientecambiare orientazione alla traiettoria) e quindi:

s0 = +u(s0).

Prestabilito questo segno, resta determinato anche quello della equazione differenziale del I ordine(1.27) che caratterizza il moto fino a tanto che la velocita non si annulla, cioe fino a quando s nonraggiunge una radice di u(s). Qui si presentano due sottocasi distinti:

b1) a partire da s0 fino a +, nel verso della velocita s0, non si incontra mai una radice diu(s):

u(s) = 0, s > s0;

b2) esiste, dalla parte indicata di s0, una prima radice s di u(s):

s > s0 : (u(s) = 0 u(s) > 0 s [s0, s)) .

Nel caso b1) lequazione e integrabile per separazione di variabili ottenendo

dt =dsu(s)

, da cui t(s) = ss0

du()

+ t0 (1.28)

funzione continua, monotona crescente al crescere di s e definita per ogni s > s0. Essa rappresentail tempo che il mobile impiega ad arrivare in s > s0.

2 Si ricava che per ogni s > s0 il mobilepassa in s in un tempo finito, in questo caso si parla di moto diretto (o retrogrado se s0 < 0)

2Si deve osservare che in questo punto b1) e nel seguente b2) in sostanza si assume che il punto mobile raggiungauna qualunque posizione s > s0 (e minore di s

, nel caso b2) ). Questa assunzione e naturale ma dovrebbe esseredimostrata usando le tecniche di prolungamento delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinrie.

17

aperiodico. La funzione inversa s(t), pur essa monotona, fornisce lequazione oraria del motoconsiderato.

Nel caso b2) si ha, come per il caso b1), la scomposizione (1.28) che fornisce t(s) monotonacrescente definita per ogni s0 < s < s

. Quindi il mobile, se s e la prima radice di u(s) nel versoindicato da s0, va, sempre muovendosi in un medesimo senso, dalla posizione iniziale s0 ad ogniposizione s < s in un tempo finito:

t(s) = ss0

du()

+ t0, s0 s < s. (1.29)

Analizziamo il tempo impiegato per raggiungere s. Si distinguono due casi:

b21) s e radice semplice di u(s);

b22) s e radice multipla di u(s).

Nel caso b21) avremo, per il Teorema di Lagrange, che in un intorno (sinistro) di s e definitauna funzione (s) (s, s) tale che

u(s) = (s s)u[(s)] (1.30)

dove u(s) > 0 per s in un intorno di s poiche u(s) > 0 per ogni s (s0, s) e s e radice semplicedi u(s). Lintegrale generalizzato

t = t(s) = ss0

dsu(s)

+ t0 = ss0

dss s

u[(s)]

+ t0

converge poiche u[(s)] = 0 in un intorno di s. La funzione

t(s) : [s0, s] [t0, t]

e monotona crescente (e continua) e quindi essa e invertibile e la sua inversa

s(t) : [t0, t] [s0, s]

e la legge del moto del mobile per t nellintervallo [t0, t]. Per t = t si ha che s(t) = s e

s(t) =u(s) = 0 e quindi nellistante t il mobile e nelle condizioni di tipo a). Piu precisamente,

essendo nelle condizioni di tipo a1) poiche u(s) < 0, allora il mobile si mette in moto per t > t

di moto retrogrado. In conclusione: nel caso in cui s e una radice semplice allora per ognis (s0, s) il mobile passa in s in un tempo finito, arriva in s allistante finito t; incorrispondenza ad s il mobile ha velocita nulla e si ha una inversione del moto.

Nel caso b22) avremo, per il Teorema di Lagrange, che in un intorno (sinistro) di s e definitauna funzione (s) (s, s) tale che

u(s) =1

2(s s)2u[(s)]

18

e quindi lintegrale generalizzato

t(s) = ss0

dsu(s)

+ t0 = ss0

2

u[(s)]

ds

s s+ t0

non converge. Quindi, se s e radice multipla il mobile, pur sempre con moto costan-temente progressivo, si avvicina indefinitamente a questa posizione, senza mai rag-giungerla (moto a meta asintotica).

Caso di moto periodico

Merita particolare attenzione il caso in cui la posizione iniziale s0 sia compresa fra due radici semplicis+ > s consecutive di u(s):

u(s) = 0, s0 (s, s+) e u(s) = 0 s (s, s+).

In tal caso si dimostra la periodicita del moto e si calcola il periodo come:

T = 2 s+s

dsu(s)

. (1.31)

Infatti, una volta arrivato il punto in s+ in un tempo

t+ = s+s0

dsu(s)

+ t0

qui si arresta e poi si inverte il moto; quindi il mobile si rimette in moto a partire da s+ nel verso delleascisse decrescenti. Ripetendo lanalisi appena svolta prendendo il segno negativo nella equazione

s = u(s) si ottiene che il mobile arriva in s allistante

t = ss+

ds

u(s)

+ t+.

Infine in s il mobile inverte nuovamente il moto ed arriva in s0 allistante

T + t0 = s0s

dsu(s)

+ t = s0s

dsu(s)

+ ss+

ds

u(s)

+ t+

= s0s

dsu(s)

+ ss+

ds

u(s)

+ s+s0

dsu(s)

+ t0

da cui segue lespressione (1.31) per T . Si osserva che in s0 per t = t0 + T il mobile ha la stessa

velocita iniziale data da s =u(s0) e quindi, per il Teorema di unicita della soluzione del problema

di Cauchy, il moto si riproduce con le stesse modalita.

19

1.3.2 Diagramma delle fasi

Ripartiamo dal Teorema di conservazione dellenergia meccanica, piu precisamente si ha che lagrandezza meccanica

1

2ms2 + V (s) = E (1.32)

si conserva durante il moto dove

E =1

2ms20 + V (s0)

e dove

V (s) = U(s) = f(s)ds

denota lenergia potenziale. Dalla (1.32) segue immediatamente che il moto del punto P su unacurva prestabilita avviene nei tratti di per i quali vale la condizione V (s) E; cioe le regioni

{s R : V (s) > E}

sono interdette al moto del punto P dovendo essere s2 0. Osserviamo inoltre che durante il motot s(t) non si puo passare tra due regioni distinte per la proprieta di continuita della legge di moto.I valori s, per i quali V (s) = E, dividono le diverse regioni e sono cruciali per la discussione sul tipodi moto.

Figure 1.5: Il moto del punto P puo avvenire solamente allinterno delle regioni per le quali E V (s). Nellesempioin questione abbiamo associato ad E due moti possibili, uno dei quali e un moto periodico tra s < s+.

Definiamo spazio delle fasi linsieme R2 avente elementi (s, s). Ad ogni punto (s, s) nel pianodelle fasi si associa, in modo univoco, una posizione ed una velocita del punto materiale sulla trai-ettoria. Possiamo quindi identificare il moto del punto materiale con la traiettoria del punto (nonmateriale) nel piano della fasi.

20

Sia definita ora la funzione nello spazio delle fasi

E(s, s) = 12ms2 + V (s).

Per il teorema di conservazione dellenergia meccanica ogni traiettoria {(s(t), s(t)) R2, t R} nelpiano delle fasi (s coincide con il parametro lagrangiano) e contenuta in una curva di livello diequazione

E(s, s) = E

dove E = E(s0, s0) si determina in base alle condizioni iniziali. Lo studio del mobile P su vieneeffettuato studiando landamento del corrispondente punto (immaginario) sulle curve di livello nellospazio delle fasi. Le curve di livello sono simmetriche rispetto allasse delle ascisse s ed e importanteindividuare gli eventuali punti critici, cioe le coppie (s, s) in cui non e ben definito il vettore tangentealla curva di livello, cioe tali che

Es

= 0 eEs

= 0 {V (s) = 0s = 0

, V (s) =dV

ds= f(s)

Si nota quindi che tutti i punti critici sono le coppie del piano delle fasi (s, 0) dove s e un puntodi massimo, di minimo o di flesso dellenergia potenziale V ; questi punti si dicono anche puntistazionari. In corrispondenza a tali punti, poiche v = 0 e Ft = 0, abbiamo traiettorie stazionarieper il mobile. Notiamo che al di fuori di questi punti non esistono traiettorie stazionarie poichev = 0 o Ft = 0 e quindi la configurazione corrispondente non e di equilibrio.

Nota. Ogni arco di curva di livello, non contenente punti critici, e percorso dalla evoluzione(s(t), s(t)), t R. Piu precisamente la curva e percorsa da sinistra verso destra nel semipianosuperiore s > 0, nel semipiano inferiore s < 0 e invece percorsa da destra verso sinistra.

Nota. Se, inoltre, la curva e chiusa allora il moto e periodico ed il periodo del moto e

T = 2 s+s

d2m[E V ()]

dove s sono tali che V (s) = E (osserviamo che i punti (s, 0) sono lintersezione tra la curva chiusae lasse delle ascisse).

Nota. Se la curva di livello contiene un punto critico (s, 0) con s corrispondente ad un punto diminimo per il potenziale, allora le traiettorie possibili sulla curva di livello (almeno in un intornofinito di (s, 0)) si riducono alla sola traiettoria stazionaria (s, 0).

Nota. Se la curva di livello contiene un punto critico (s, 0) con s corrispondente ad un puntodi massimo o di flesso per il potenziale, allora, essendo tale punto critico, esso stesso sara unatraiettoria stazionaria, ma la curva di livello constera di piu traiettorie: una traiettoria stazionaria ealmeno due asintotiche, cioe tali che

(s(t), s(t)) (s, 0) per t .

Vediamo ora in dettaglio come si dispongono le traiettorie nellintorno di un punto critico cor-rispondente ad un minimo ed a un massimo.

21

Caso I: s e un punto di minimo per il potenziale V

Assumendo che V (s) non sia nulla, avremo che V (s) > 0, allora

E(s, s) = 12ms2 + V (s) +

1

2V (s)(s s)2 +O((s s)3)

12ms2 + V (s) +

1

2V (s)(s s)2 (1.33)

dove O((s s)3) rappresenta il resto ed e un infinitesimo di ordine superiore al secondo per s s 0.Quindi per E = E(s, 0) = V (s) lequazione E = E si riduce a

1

2ms2 +

1

2V (s)(s s)2 0, V (s) > 0;

quindi abbiamo {(s, 0)} come unica curva di livello. Mentre per E > V (s) la (1.33) e, a meno diinfinitesimi dordine superiore, lequazione di un ellisse di centro (s, 0):

1

2ms2 +

1

2V (s)(s s)2 E V (s) > 0.

Abbiamo quindi una traiettoria periodica corrispondente alla curva di livello chiusa approssimata daun ellisse (Figura 1.6) e il mobile oscilla tra i due valori s tali che V (s) = E, dove V

(s) < 0 eV (s+) > 0, con periodo

T (E) = 2 s+(E)s(E)

d2m[E V ()]

. (1.34)

Caso II: s e un punto di massimo per il potenziale V

Assumendo che V (s) non sia nulla, avremo che V (s) < 0, allora

E(s, s) = 12ms2 + V (s) +

1

2V (s)(s s)2 +O((s s)3)

dove O((s s)3) rappresenta il resto ed e un infinitesimo di ordine superiore al secondo per s s 0.Quindi la curva di livello per E = E(s, 0) = V (s) contiene 4 traiettorie asintotiche a (s, 0) oltre chea quella stazionaria {(s, 0)}:

E(s, s) = E = 0 = E2 V (s) 1

2m[s2 c2(s s)2],

dove

c2 =1

m|V (s)|.

22

Figure 1.6: Comportamento delle curve di livello in un intorno di un punto di minimo relativo. Per energia E1minore del minimo relativo V (s) dellenergia potenziale non sono ammessi moti (in un intorno del punto di minimo);per energia E2 coincidente con il minimo relativo dellenergia potenziale e ammesso solamente il moto stazionarios(t) = s; per energia E3 maggiore del minimo relativo dellenergia potenziale si ha un moto periodico tra s < s+attorno alla configurazione di equilibrio s.

Per E = V (s) (e comunque prossima sufficientemente ad V (s)) si tratta di rami di iperbole (a menodi infinitesimi di ordine superiore)

1

2m[s2 c2(s s)2

]= E V (s) = 0

corrispondenti a due traiettorie con inversione del moto se E < V (s) e a due traiettorie che superanoil colle se E > V (s) (Figura 1.7).

Nel caso di punto di massimo o di flesso ci si puo rendere conto della presenza di traiettorieasintotiche (s(t), s(t)) (s, 0) per t + o per t poiche lintegrale generallizato

t(s) t(s0) = ss0

d2m[V (s) V ()]

,

che esprime il tempo impiegato dal mobile per andare da s0 a s (supponendo V (s) V (s) > 0,s [s0, s)), risultera non convergente a causa dellordine infinito dellintegrando (ad esempio: diordine almeno 1 per punti di massimo e 3/2 per punti di flesso).

1.3.3 Analisi del moto alla Weierstrass per loscillatore armonico

Studiamo il moto di un punto vincolato a scorrere senza attrito su una retta e soggetto ad una forzaelastica. Lequazione del moto e mx = kx, m, k > 0. Dimostriamo, attraverso la formula (1.34)che il periodo del moto e indipendente da E. Sia

V (x) =1

2kx2 + c

23

Figure 1.7: Comportamento delle curve di livello in un intorno di un punto di massimo relativo. Per energia E2coincidente con il massimo relativo dellenergia potenziale sono ammessi, oltre al moto stazionario s(t) = s, motiasintotici; per energie E1 e E3, rispettivamente, minori e maggiori del massimo relativo dellenergia potenziale sihanno, rispettivamente, due traiettorie con e senza inversione del moto.

lenergia potenziale della forza attiva. Lequazione per determinare i punti critici V (x) = 0 hasoluzione x = 0. Scegliendo la costante c tale che V (x) = 0 (cioe c = 0) abbiamo il seguentediagramma delle fasi (Figura 1.8):

- per E = V (x) = 0 abbiamo un minimo e quindi lunica traiettoria e la traiettoria stazionaria{(0, 0)};

- per E < 0 tutti i valori di x sono non ammessi al moto poiche si avrebbe E V (x) < 0 perogni x R;

- per E > 0 il moto della particella avviene nella regione (classicamente permessa) x(E) x x+(E) dove x(E) sono soluzioni della equazione E = V (x):

x = 2E/k.

Le traiettorie (s(t), s(t)) nello spazio delle fasi sono ellissi per ogni valore positivo dellenergia;infatti lequazione per le curve di livello e esattamente

E =1

2ms2 +

1

2ks2,

cioe lequazione di un ellisse con assi coincidenti con gli assi coordinati e di lunghezza2E/k e

2E/m rispettivamente. Quindi per ogni E > 0 abbiamo un moto periodico di periodo

T (E) = 2 x+(E)x(E)

dx2m[E V (x)]

=

2m

E

+2E/k

2E/k

dx1 kx2/2E

24

Figure 1.8: Comportamento delle curve di livello delloscillatore armonico.

= 2

m

k

+11

dx1 x2

= 2

m

k[ arcsin x]+11 = 2

m

k.

1.3.4 Esercizi

1) Studiare qualitativamente il moto uni-dimensionale di equazione mx = kx3, m, k > 0, edimostrare che il periodo T (E) del moto e tale che

limEminV (x)+0

T (E) = +.

2) Studiare qualitativamente il moto uni-dimensionale di equazione mx = x x2, per (ingrandezze adimensionali) m = 1, = 2 e = 3g, g > 0. Piu precisamente, disegnare ildiagramma delle fasi e, per i diversi possibili livelli di energia, discutere quali sono i motipossibili.

3) Calcolare il periodo del moto di un punto soggetto alla forza peso e vincolato a scorrere, senzaattrito, su un arco di cicloide. La cicloide appartiene al piano verticale Oxz Dimostrare ilperfetto isocronismo.

4) Discutere il problema dei due corpi introducendo il potenziale efficace e impostando la discus-sione del moto alla Weierstrass.

5) Sia dato un corpo puntiforme P di massa m vincolato a scorrere senza attrito lungo unacirconferenza di centro O e raggio posta in un piano verticale che ruota attorno allasseverticale (O; z) con velocita angolare = k con = (t) nota. Sia (O1;x1, y1, z1) il sistemadi riferimento relativo con O O1, lasse (O1; z1) coincidente con lasse di rotazione e con ilpiano (O1;x1, z1) contenente la circonferenza; il sistema e ad un grado di liberta ed assumiamocome parametro lagrangiano langolo formato dal segmento P O ed il semi-asse verticalediscendente. Si domanda:

25

i) calcolare il potenziale e lenergia cinetica rispetto allosservatore relativo;

ii) calcolare le configurazioni di equilibrio relativo e studiarne la stabilita;

iii) disegnare il diagramma delle biforcazioni per le configurazioni di equilibrio relativo infunzione del parametro positivo adimensionale = g

2;

iv) assegnando, ad esempio, = 2.3 disegnare il diagramma delle fasi e per i diversi possibililivelli di energia, discutere quali sono i moti possibili.

1.4 Pendolo semplice

1.4.1 Equazione differenziale del moto

Trascurando il peso dellasta possiamo assimilare il pendolo semplice ad un punto pesante vincolatoa restare su una circonferenza (Figura 1.9) non orizzontale. Sia langolo formato tra il pianocontenente la circonferenza ed il piano orizzontale e si fissi sul piano inclinato un sistema di riferimento(O;x, y) dove O coincide con il centro della circonferenza, lasse x e diretto normale alla verticale elasse y ha la direzione della massima pendenza.

Il sistema e a un grado di liberta e possiamo assumere come parametro lagrangiano langolo chelasta forma con il semiasse delle y negative, orientato verso il basso. Lequazione del moto diventa,

Figure 1.9: Il pendolo semplice.

essendo s = e Ft = mg sin sin ,

= g sin

sin (1.35)

dove e la lunghezza dellasta. Questa e una equazione differenziale del II ordine (non lineare) enon e possibile ottenere in modo semplice una sua soluzione. Si puo procedere studiando il motodelle piccole oscillazioni linearizzando lequazione (1.35) oppure effettuando lanalisi del moto allaWeierstrass.

26

1.4.2 Piccole oscillazioni del pendolo semplice

Considerando il moto del pendolo semplice in un intorno della configurazione = 0 possiamo, inprima approssimazione, assumere sin . Con questa approssimazione (linearizzazione attornoad una configurazione di equilibrio stabile) lequazione (1.35) prende la forma lineare

= g sin

(1.36)

che ammette soluzione geneale (t) = A cos(t + ) dove =

g sin

e dove A e dpendono dallecondizioni iniziali. Nel limte di piccole oscillazioni si ottiene quindi un moto periodico con periodoT = 2/ indipendente dallampiezza delle oscillazioni (isocronismo approssimato del pendolosemplice).

1.4.3 Analisi del moto alla Weierstrass per il pendolo semplice

Lintegrale delle forze vive assume la forma T+V = E dove T = 12m22 e V () = mg sin cos +c,

scegliamo c = mg sin in modo che sia V (0) = 0. Da cio segue che:

1

2m22 mg sin(cos 1) = E

ovvero

2 =2g sin

(cos + e), (1.37)

dove la costante e = E/(mg sin) 1 viene determinata in base alle condizioni iniziali. In base aivalori di e abbiamo i diversi moti possibili (Figura 1.10).

Figure 1.10: Diagramma delle fasi per il pendolo semplice.

27

Moti rotatori o rivolutivi

Per E > 2mg sin, ovvero e > 1, sara sempre = 0. Quindi il punto passa infinite volte perciascun punto della circonferenza con velocita angolare mai nulla. Si tratta di un moto rivolutivo.Essendo la posizione del pendolo definita da modulo 2, risulta pero essere un moto periodico.

Stati di equilibrio

Per E = 2mg sin (rispettivamente E = 0), ovvero e = 1 (risp. e = 1) il secondo membrodella (1.37) ammette lunica radice doppia = 0 (per e = 1) o = (per e = +1). Quindi ilpunto P , abbandonato senza velocita iniziale (0 = 0) sia nella posizione piu bassa sia nella posizionediametralmente opposta vi permane indefinitamente. Si noti che il valore e = 1 e compatibilesoltanto con lequilibrio (stabile) nella posizione piu bassa. Invece per e = +1 il moto puo avvenirea partire dalla posizione iniziale P0, sempre nello stesso senso della velocita iniziale, verso il puntocorrispondente a = , meta asintotica cui il mobile tende al crescere indefinito del tempo.

Moti oscillatori

Passiamo ad esaminare il caso in cui si ha 0 < E < 2mg sin, ovvero 1 < e < 1. Lespressione adestra della (1.37) ammette le due radici semplici + = arccos(e) e = +. Percio il pendolooscilla periodicamente fra le posizioni estreme P0 e P

0 di anomalia, rispettivamente, + e + con

periodo dato da

T = 2

2

g sin

+0

dcos cos +

.

Per calcolare il periodo T si sostituisce sin(/2) = u sin(+/2) e ponendo k = sin(+/2) < 1 si avra

T = 4

g sin

10

du(1 u2)(1 k2u2)

si riduce quindi ad un integrale ellittico di prima specie che si risolve sviluppando in seriedi Taylor il termine (1 k2u2)1/2 essendo k2u2 < 1 su tutto lintervallo di integrazione. Piuprecisamente si osservi che

(1 k2u2)1/2 =n=0

cn(ku)2n

dove

c0 = 1, cn =1 3 5 (2n 1)

2 4 6 2n. (1.38)

Sostituendo questa espressione allinterno dellintegrale e integrando per serie si ottiene:

T = 4

g sin

n=0

cnk2n 10

u2ndu(1 u2)

= 2

g sin

n=0

c2nk2n = 2

g sin

n=0

c2n sin2n +

2

28

essendo 10

u2ndu(1 u2)

= cn

2. (1.39)

Se lanomalia + e piuttosto piccola allora possiamo ottenere con buona approssimazione

T = 2

g sin

(1 +

1

4sin2

+2

+O(4+)).

Cioe il termine principale dello sviluppo asintotico e dato dal periodo delloscillatore armonico ot-tenuto linearizzando la (1.35) attorno alla configurazione di equilibrio stabile = 0. Da questorisultato appare chiaro che, in generale, il periodo del pendolo semplice dipende dallampiezza delleoscillazioni; solamente nel limite di piccole oscillazioni possiamo sostenere la legge (approssimata)dellisocronismo del pendolo semplice: il periodo di oscillazione e indipendente dallampiezzadi oscillazione.

1.4.4 Esercizi

1) Dimostrare le formule (1.38) e (1.39).

1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale

1.5.1 Integrali primi del moto

Designamo con integrale primo ogni equazione della forma

g(x, y, z, x, y, z; t) = costante arbitraria (1.40)

la quale sia conseguenza necessaria della (1.1), cioe risulti identicamente verificata (per un oppor-tuno valore della costante) da ogni terna di funzioni x(t), y(t), z(t) soddisfacenti alle (1.1).

Esempi di integrali primi.

a) Consideriamo il caso di una forza, applicata ad un punto materiale P libero, costantementeperpendicolare ad una retta fissa. Assumendo lasse z quale retta si ha Fz = 0, da ciomz = 0 e quindi mz = c1 detto integrale della quantita di moto rispetto allasse z.

b) Consideriamo il caso di una forza, applicata ad un punto materiale P libero, costantemente

incidente ad una retta fissa. Quindi il vettore F , pensato applicato nel punto, ha mo-mento nullo rispetto alla retta fissa. In particolare, assumendo z quale retta (avente direzioneindividuata dal versore k), si avra

ma (O P ) k = m(xy yx) = 0, (1.41)

29

da cui

m(xy yx) = cost.

Questo integrale primo prende il nome di integrale delle aree o del momento della quan-tita di moto. In particolare se la forza F e centrale di centro O (una forza centrale e unaforza sempre diretta verso un punto fisso detto centro), sara

v (O P ) = c = cost. (1.42)

c) Consideriamo il caso in cui la forza F applicata al punto libero P e conservativa; allora leequazioni (1.1) ammettono lintegrale (primo) delle forze vive

T U = E,

dove E e lenergia totale costante.

1.5.2 Forza centrale

Consideriamo il moto di un punto P , libero di muoversi nello spazio tridimensionale R3, soggettounicamente ad una forza centrale (P, F ). Ricordiamo che una forza (P, F ) si dice centrale se il

vettore F della forza e sempre diretto verso un punto fisso, detto centro della forza, e se inoltrelintensita della forza dipende solo dalla distanza del punto P dal centro. Quindi, denotando con Oil centro della forza, segue che ogni forza centrale si puo scrivere come

F = f(r)(P O)|P O|

, r = |P O| (1.43)

dove f : R+ R e una funzione assegnata.Nel caso di un punto libero P soggetto ad una forza centrale, di centro O, sussiste lintegrale

primo vettoriale (1.42). Quindi il moto avviene in un certo piano passante per il centro O dellaforza e ortogonale al vettore c definito nella (1.42), identificato mediante le condizioni iniziali v0 e P0(e possibile il caso particolare in cui v0 e parallelo a P0 O, in tale caso c = 0 ed il moto avviene suuna retta). Scegliendo il sistema di riferimento con centro in O in modo opportuno identifichiamotale piano con il piano z = 0 e la (1.42) si riduce alla

xy yx = c e z 0 (1.44)

fornendo una effettiva relazione fra le due coordinate incognite di P e le loro derivate.Inoltre ogni forza centrale (1.43) e conservativa definendo, a meno di una costante additiva, il

potenziale U(r) = rr0f(r)dr e da cio segue lintegrale primo delle forze vive

1

2mv2 U(r) = E. (1.45)

Come vedremo in seguito dalle (1.44) e (1.45) segue lintegrabilita per quadrature del problema(ridotto al piano xy).

30

Nota. Osserviamo che e stato possibile derivare le (1.44) e (1.45) dalle leggi di Newton; viceversa,escludendo il caso di traiettorie circolari, dalle (1.44) e (1.45) seguono le equazioni differenziali delmoto. Infatti dallintegrale primo delle aree derivato si ottiene che deve essere

xy xy = 0

mentre dallintegrale primo dellenergia meccanica derivato si ottiene che deve essere

xx+ yy = u(x, y, x, y)

per una qualche funzione u. Queste due equazioni si possono risolvere rispetto a x e y (cos dapervenire alle equazioni newtoniane del moto), purche non sia identicamente nullo il determinantedei coefficienti di x e y nelle due equazioni. Questo determinante e dato da

xx yy = 12

dr2

dt

che risulta diverso da zero ad esclusione del caso r = cost. che corrisponde appunto alle eventualitraiettorie circolari. Da cio si desume che, quando di un punto soggetto ad una forza centrale sivogliono studiare le eventuali orbite circolari, non basta tener conto degli integrali primi dellearee e della energia cinetica, ma bisogna riprendere le originarie equazioni del moto.

Nota. Disponendo della costante additiva possiamo, se U(r) tende ad un limite finito per r ,assumere tale valore 0. Se lenergia totale e negativa, allora dalla (1.45), sara U(r) E > 0durante il moto; quindi U non si annulla mai ed r deve ammettere un limite superiore finito. Cioe:se il potenziale U(r) di una forza centrale si mantiene regolare allinfinito (annullandosiallinfinito) e lenergia totale del mobile e negativa, lorbita si svolge tutta a distanzafinita.

1.5.3 Integrazione delle equazioni del moto

Passiamo ora alla integrazione del sistema (1.44), (1.45) riferendolo a coordinate polari r e , aventiil polo in O e lasse polare secondo lasse orientato delle x. Queste diventano:{

r2 = c12m(r2 + r22) = U(r) + E

. (1.46)

Si distinguono due casi:

a) c = 0;

b) c = 0.

Il caso a) corrispondente a c = 0 (costante delle aree nulla) dara luogo a due possibilita:

a1) r 0 stato di quiete nel punto O;

31

a2) 0 moto rettilineo (lungo la retta avente inclinazione 0 = (0)) e la determinazione di r(t)si ridurra allo studio dellequazione uni-dimensionale delle forze vive, che assume la forma

r2 =2

m[U(r) + E] .

Nel caso b) corrispondente a c = 0 si ha che mantiene sempre lo stesso segno, che potremosupporre (senza perdere in generalita) positivo; quindi (t) cresce con t. Da cio potremo procurarcilequazione differenziale della traiettoria eliminando dalle (1.46) il tempo e assumendo comevariabile indipendente, in luogo di t, lanomalia , il che e lecito, in quanto e funzionemonotona (crescente) di t. Integrando poi lequazione differenziale cos ottenuta, si determinala traiettoria r = r(), allora la legge temporale del moto verra infine completamente determinatarisolvendo lequazione differenziale del primo ordine = cr2 dove r = r().

Per dedurre dalle (1.46) lequazione differenziale che caratterizza lincognita r = r() dellorbitasi elimina per mezzo dellequazione delle aree, dove

r = dr

d= r2d(1/r)

d= cd(1/r)

d,

ottenendo lequazione differenziale del I ordine

mc2

2

(d1rd

)2+

1

r2

= U(r) + E. (1.47)Eseguendo il cambiamento di variabile u = r1 e ponendo

(u) =2

mc2

[U(1

u

)+ E

] u2, (1.48)

la (1.47) assume la forma (du

d

)2= (u). (1.49)

Essa e quindi integrabile con una sola quadratura. Pertanto il problema del moto di un puntolibero, sollecitato da una forza centrale, e sempre integrabile con due quadrature.

In particolare, nel caso piu interessante in cui il valore iniziale u0 = r10 , r0 = r(0), sia compreso

(estremi inclusi) fra due radici semplici u1 < u2 della (u), fra le quali (u) si mantenga regolare epositiva, la funzione u(), al crescere di , andra indefinitamente oscillando, in modo periodico, fra ivalori estremi u1, u2 e ad ogni passaggio si accrescera di

= u2u1

du(u)

. (1.50)

Lorbita si svolge quindi tutta nella corona circolare, compresa fra le due circonferenze concentriche inO, di raggi r2 = 1/u2 e r1 = 1/u1 e tocca, alternativamente, luna o laltra. Questi punti di contatto

32

Figure 1.11: Nel caso in cui langolo apsidale e commensurabile con 2 allora lorbita e chiusa (grafico a sinistra).Nel caso opposto, in cui langolo absidale e non commensurabile con 2, allora lorbita riempie densamente una regionedello spazio (grafico a destra); cioe ogni introno di ogni punto della corona circolare viene, prima o poi, visitato dallatraiettoria.

si dicono apsidi e langolo che li separa si dice angolo apsidale. Quando e commensurabilecon 2, lorbita e chiusa (Figura 1.11 a sinistra), mentre, nel caso opposto, si avvolge infinite volteintorno al centro riempiendo densamente la corona circolare (Figura 1.11 a destra).

Nel caso particolare, in cui il valore iniziale u0 di u sia radice multipla della (u), la u conserva,comunque varii , il valore u0 e si ha il caso semplice di unorbita circolare di raggio r0 = 1/u0, laquale, in virtu della legge delle aree, risulta percorsa con velocita angolare costante c/r20, e quindi dimoto circolare uniforme.

1.5.4 Stabilita delle orbite circolari

Scrivendo che laccelerazione (radiale) per un moto centrale deve essere uguale alla analoga cor-rispondente della forza, cioe a f(r), e applicando la formula del Binet otteniamo lequazione del II

ordine

mc2

r2

(d2 1

r

d2+

1

r

)= f(r). (1.51)

La (1.51), mediante il cambio di variabili u = 1/r, diventa

d2u

d2= (u), dove (u) = 1

mu2c2f(1

u

) u (1.52)

Perche esista unorbita circolare soddisfacente a questa equazione, la quale sia un cerchio di raggio r0,occorre e basta che la (1.52) sia soddisfatta dalla soluzione costante u0 = r

10 , cioe si abbia (u0) = 0.

Ammessa lesistenza di una tal radice u0 di (u) allora questa orbita sara stabile se (u0) < 0 e

instabile se (u0) 0. Infatti, consideriamo una orbita prossima allorbita circolare:

u() = u0 + (), (1.53)

con () funzione incognita che possiamo assumere infinitesima. Essendo

(u) = (u0) + (u0) +O(2) = (u0) +O(2)

33

allora lequazione linearizzata a partire dalla (1.52) ha forma

d2

d2= (u0)

che ha soluzione del tipo = p cos(+ q) dove abbiamo posto 2 = (u0) assumendo (u0) < 0.Osserviamo infine che in tale caso lorbita (1.53) ha una angolo absidale dato da

=

=

(u0)

. (1.54)

Esempio

Se f(r) = kr , k < 0, allora le orbite circolari sono stabili se, e solo se, < 3. La verifica eimmediata: la funzione (u) prende la forma (u) = ku2 u dove k e una costante positiva.Lequazione (u) = 0 ha almeno una soluzione per = 3, infatti:

a) se > 3 allora limu0+ (u) = 0 e limu+(u) = +;

b) se < 3 allora limu0+ (u) = 0+ e limu+(u) = .

Abbiamo poi che (u) = k( 2)u3 1 e quindi (u0) = 3 da cui segue la tesi.

1.5.5 Appendice: composizione di moti periodici

Consideriamo nel piano (O;x, y) la composizione di due moti periodici di periodo T1 e T2. Possiamoricondurci, senza perdere in generalita, al caso del moto di un punto P nel piano (O;x, y) aventeleggi di moto:

x(t) = cos(1t), y(t) = cos(2t)

dove abbiamo posto j =2Tj. Vale il seguente risultato:

Teorema. Il moto del punto P e:

i) periodico se, e solo se, T1 e T2 sono commensurabili, cioe esistono m, n N primi tra loro taliche T1

T2= m

n; il periodo T del moto vale

T = nT1 = mT2;

ii) aperiodico se, e solo se, T1 e T2 sono incommensurabili e, in tal caso, la traiettoria di P ricopredensamente il quadrato Q = [1,+1] [1,+1]; cioe per ogni P0 = (x0, y0) Q e per ogni > 0 esiste t R+ tale che |P (t) P0| .

34

Dimostrazione: Dimostriamo la prima parte dove, inizialmente, supponiamo P (t) periodico diperiodo T . Dovra essere

x(t+ T ) = cos(1t+ 1T ) = cos(1t) = x(t)

e

y(t+ T ) = cos(2t+ 2T ) = cos(2t) = y(t)

per ogni t. Pertanto deve essere 1T = 2n e 2T = 2m per un qualche n, m N. Valeimmeditamente anche il viceversa. Da cio segue la prima proposizione. Per cio che riguarda laseconda proposizione da quanto detto prima segue che il moto e aperiodico se, e solo se, T1 e T2sono incommensurabili. Per dimostrare che la traiettoria di P riempe densamente il quadrato Qconsideriamo le funzioni

(t) = 1t e (t) = 2t

definite modulo 2, ovvero sul toro bidimensionale. Fissato P0 in Q esso corrisponde a due angoli0 e 0 andiamo ora a determinare in quale istante t il punto P , individuato dalle due funzioni (t) e(t), ha (t) coincidente con il valore iniziale 0. Se in tale istante anche (t) coincide con 0 alloraP (t) coincide con P0. Se invece e diversa da 0 ma sufficientemente vicino allora P (t) e prossimoa P0. Lequazione

(t) = 0(mod2)

ha infinite soluzioni

tn =01

+ nT1 =1

1(0 + 2n).

Consideriamo ora la dinamica discreta sul toro unidimensionale (che, ricordiamo, e un insieme com-patto) rappresentata dalla successione di punti

n = (tn)(mod2) =[210 + 2n

21

](mod2).

Questi punti sono tutti distinti tra loro poiche le due frequenze sono incommensurabili. Poiche iltoro unidimensionale T 1 e un insieme compatto, esistera almeno un punto di accumulazione pertale successione e quindi possiamo estrarre da n una sottosuccessione di Cauchy . Quindi, per ogni > 0 esistono n1 e n2 (n2 > n1) tali che

0 < |n2n1 | = |n2 n1 | = d .

Cioe il punto n2n1 sul toro uni-dimensionale ha distanza minore di dallorigine del toro (posta incorrispondenza di = 0). Abbiamo cioe effettuato una rotazione sul toro T 1 di apertura angolare

d < . Ripetendo questa rotazione n =[0d

]volte allora il punto n(n2n1) distera da 0 a meno di

d < e da cio la tesi.

35

1.5.6 Esempio di forza centrale attrattiva direttamente proporzionalealla distanza

In questo caso f(r) = kr dove k > 0 e una costante positiva assegnata. Lorbita e un ellisse aventeil centro coincidente con il centro O di forza (o, caso degenere, il moto avviene su due rette passantiper lorigine). La verifica e immediata. Basta risolvere il sistema di equazioni differenziali

x = 2x, y = 2y, 2 = km,

che ammette soluzione generale

x(t) = A cos(t+ ) e y(t) = B cos(t+ )

dove A, B, e sono costanti da determinarsi a partire dalle condizioni iniziali.In questo caso si osserva anche che langolo apsidale vale

= u2u1

udu2Emc2

u2 k2mc2

u4=

1

2

21

d2Emc2

k2mc2

2

=1

2

21

d( 1)( 2)

dove 1,2 sono le radici del radicando date da

1,2 =mc2

2k2

2Emc2

4E2

m2c4 4k

2

mc2

.Facendo il cambio di variabili z = 1 + 2 2

21 si ottiene

=1

2

11

d1 z2

=1

2[arcsin(z)]+11 =

2.

Quindi langolo apsidale e commensurabile con 2 ed il moto e periodico. Questo risultato eraevidente sapendo che il moto avviene su ellissi e sullellisse si passa dal punto corrispondente al semi-asse maggiore a quello corrispondente sul semi-asse minore dopo un incremento di /2 dellanomalia(Figura 1.12).

1.5.7 Analisi del moto alla Weierstrass per il problema di Keplero

In questo caso la forza ha intensita che dipende inversamente dal quadrato della distanza del puntoP dal centro: f(r) = k

r2dove k > 0 e una opportuna costante positiva.

36

Figure 1.12: Nel caso forza centrale attrattiva direttamente proporzionale alla distanza allora lorbita e sempre unellisse (tranne il caso degenere in cui si riduce ad un segmento rettilineo) e langolo absidale vale sempre 12.

Potenziale efficace

La legge di conservazione dellenergia meccanica puo essere riscritta come

r2 =2

m[E Veff (r)] dove Veff (r) =

mc2

2r2 mk

r

prende il nome di energia potenziale efficace. Si verifica immediatamente che il potenziale efficacee tale che

limr0+

Veff (r) = +, limr+

Veff (r) = 0

ed ha minimo in rmin = c2/k di valore V (rmin) = m

2k2

2c2. Dal grafico del potenziale efficace (Figura

1.13) appare che quando E < 0 il moto del punto avviene con r(t) che oscilla periodicamente tra duevalori r < r+ finiti e non nulli (detti rispettivamente perelio e afelio) tali che Veff (r) = E.

Orbite circolari

Il caso in cui una orbita e circolare (r = cost.) si esaurisce con considerazioni dirette ed elementari.In tal caso la legge delle aree implica la costanza della velocita orbitale ( = costante), cosicchesi tratta di un moto uniforme. In particolare si hanno orbite circolari per E corrispondente alminimo del potenziale efficace: E = V (rmin) = m

2k2

2c2.

Orbite degeneri

Consideriamo come caso particolare quello in cui si annulla la costante c delle aree: c = 0. Esclusoil caso r 0 si ha = 0 e quindi il moto ha luogo lungo una retta passante per il centro di forza S.

37

0

V(r)

E

0 rrr r- +

Figure 1.13: Grafico del potenziale efficace Veff . Nel caso in cui lenergia E e negativa allora il moto avvieneallinterno della corona circolare di raggio r.

La legge temporale, secondo cui varia r su tale retta e definita dallintegrale delle forze vive, che quisi riduce a:

1

2mr2 =

mk

r+ E. (1.55)

Distinguiamo due casi:

a) E < 0, il moto si svolge tutto a distanza finita r k/Em cadendo, con al piu una inversionedel moto, nel centro di forza S.

b) E 0, in questa ipotesi il secondo membro della (1.55), per r > 0, non si annulla mai e simantiene sempre positivo, quindi il moto non puo presentare inversioni di senso. Se la velocitainiziale e diretta verso il centro (r0 < 0) il mobile, dopo un tempo finito, andra a cadere nelcentro di forza con la sua velocita intensiva cresce oltre ogni limite (come nel caso a)). Seinvece r0 > 0 il mobile, sulla sua traiettoria rettilinea, si allontana indefinitamente dal centro.

Orbite generali

Supponiamo ora c = 0 e ricaviamo dalla seconda delle (??) (integrale delle aree) che la e funzionemonotona, e quindi univocamente invertibile, del tempo, e quindi si puo assumere come variabileindipendente. Si perviene cos allequazione differenziale(

d1r

d

)2=

2E

mc2+

2k

c21

r 1r2, (1.56)

che caratterizza lequazione polare r = r() dellequazione generale del moto essendo

r =dr

d =

dr

d

c

r2= cd1/r

d.

38

Qui e particolarmente comodo porre u = 1r k

c2(anziche r = 1/u come nella teoria generale), con

che la (1.56) assume la forma (du

d

)2=

2E

mc2+k2

c4 u2, (1.57)

ma la costante 2Emc2

+ k2

c4, per la (1.57) stessa, e somma di due quadrati e quindi risulta necessariamente

positiva, salvo quando si annulla identicamente la u, il che si ha solamente nel caso di orbite circolari(caso gia discusso).

Ponendo q2 = 2Emc2

+ k2

c4, con q > 0, si ottiene lequazione differenziale dellorbita sotto la forma

definitiva (du

d

)2= q2 u2.

Il suo integrale generale, come si verifica immediatamente per separazione di variabili, e dato dau = q cos( 0) dove 0 e la costante di integrazione; quindi, sostituendo a u la sua espressioneotteniamo per lorbita lequazione polare

1

r=

k

c2+ q cos( 0) ossia r =

c2

k

1 + c2qkcos( 0)

. (1.58)

Si osservi che ora e possibile determinare con una quadratura la legge oraria (t) soluzione dellaequazione di fferenziale del primo ordine

=c

r2=

c

p2(1 + e cos )2.

Lequazione (1.58) e lequazione polare di una conica avente un fuoco nel centro diforza, lasse inclinato di 0 sullasse polare, il parametro p =

c2

ke leccentricita

e =c2q

k=

1 +

2Ec2

mk2. (1.59)

Pertanto: nel moto di un punto soggetto ad una forza centrale, inversamente pro-porzionale al quadrato della distanza, (esclusi i casi di moto rettilineo caratterizzati dallannullarsidella costante delle aree), lorbita e sempre una conica; e fra le costanti meccaniche di in-tegrazione E e c (energia totale e doppio della velocita areolare) e gli elementi geometricicaratteristici dellorbita e e p (eccentricita e parametro) intercedono le relazioni sopra de-scritte. Per dimostrare che e una conica passiamo dalle coordinate polari a quelle cartesiane. Dallarelazione (possiamo assumere 0 = 0 con una opportuna scelta degli assi coordinati){

x = r cos y = r sin

, r =p

1 + e cos

si ottiene

cos =x

p ex, sin =

y

p ex

39

e quindi, usando la relazione cos2 + sin2 = 1, si ottiene

y2 + (1 e2)x2 + 2pex = p2

che risulta essere lequazione di una conica dipendente dal parametro e. Se ci restringiamo al casoe < 1 allora e un ellisse che puo essere scritto nella forma

y2 + (1 e2)(x+

pe

1 e2)2

=p2

1 e2ovvero

(x x0)2

a2+y2

b2= 1, x0 =

pe

1 e2(1.60)

con

a2 =p2

(1 e2)2, b2 =

p2

(1 e2)La (1.59) mette in luce il risultato fondamentale che la specie della conica descritta dal mobile

dipende esclusivamente dal segno della energia totale E. In particolare, essendo c = 0, risulta, perla (1.59), e < 1 o e = 1 o e > 1 secondo che E < 0 o E = 0 o E > 0. In altre parole lorbita eellittica, parabolica o iperbolica secondo che lenergia totale e negativa, nulla o positiva.Si noti che questo criterio risulta applicabile anche nel caso c = 0 inteso come criterio limite c 0.

Noi siamo arrivati alla determinazione della traiettoria (1.58) risolvendo una equazione differen-ziale del primo ordine data dallintegrale primo dellenergia (facendo anche uso dellintegrale primodelle aree); e possibile determinare la traiettoria risolvendo una equazione differenziale del secondoordine che deriva dalla equazione di Newton dove facciamo uso delle formule di Binet.

Caso Kepleriano

Fissiamoci sul moto ellittico proprio, caratterizzato da E < 0 e c = 0 per cui e < 1. E facilericonoscere che, in questo caso, il moto del punto attratto dal centro P0 e un moto Kepleriano,cioe un moto soddisfacente alle prime due leggi di Keplero. Infatti: il moto e centrale rispetto ad0, essendo tale la forza; lorbita e un ellisse avente un fuoco in 0; ed infine sussiste la legge dellearee. Che la conica sia un ellisse segue dalle (1.60) che danno 0 < b < a. Per verificare che P0sia in uno dei fuochi ricordiamo che per un ellisse di equazione (1.60) allora i fuochi sono posti in(x0

a2 b2, 0) e nel nostro caso si ha x0 +

a2 b2 = pe

1e2 +pe

1e2 = 0 e quindi 0 coincide conuno dei due fuochi.

Infine, si tratta di un moto periodico di periodo T , dove T = 2

a3

k. Infatti, il periodo, per

la legge di conservazione del momento angolare di modulo K = mc (ovvero per la costanza dellavelocita areolare), si ha che 2mA = TK dove A = ab e larea dellellisse e dove e noto che

a =p

1 e2e b =

p1 e2

=pa = c

a

k

e quindi

T =2mab

K=

2mca3/2

k1/2K= 2

a3/2

k1/2.

40

1.5.8 Orbite chiuse e condizione sul potenziale

Da quanto mostrato segue che anche nel caso di potenziale Newtoniano tutte le orbite (limitate) sonochiuse. Questa proprieta osservata per il potenziale elastico e per il potenziale Newtoniano non everifica da altri tipi di forze centrali. Piu precisamente e possibile dimostrare che:

Teorema. In un campo centrale tutte le orbite limitate sono chiuse se, e solo se, lenergiapotenziale V (r) ha una delle seguenti forme

V (r) = kr2 o V (r) = kr

con k costante positiva.

1.6 Moto di un punto su una superficie prestabilita

1.6.1 Considerazioni preliminari.

Consideriamo il moto di un punto materiale P che, sotto la sollecitazione di forze attive di risultanteF , sia costretto a muoversi su di una superficie priva di attrito avente equazione

f(x, y, z; t) = 0. (1.61)

Lequazione del moto e data da

ma = F + (1.62)

dove e la reazione vincolare esercitata dalla superficie al punto.Si osserva che se la superficie e fissa e priva di attrito allora vale il teorema delle forze

vive: dT = dL dove dL e il lavoro infinitesimo compiuto dalle sole forze attive (in caso di attrito sidovrebbe tenere conto anche del lavoro infinitesimo compiuto dalle reazioni vincolari). Inoltre, se laforza sollecitante e conservativa ed U e il suo potenziale, segue che dT = dU e, per integrazione:

1

2mv2 U = E;

cioe lenergia totale del mobile rimane costante durante il moto, ovvero essa e un integraleprimo del moto. In particolare, denotando con v0 e U0 i valori delle velocita e del potenziale in unagenerica posizione P0, lequazione precedente da:

1

2m(v2 v20

)= U U0. (1.63)

Nota. Dalla (1.63) segue che se si fanno partire due punti materiali dotati di egual massa dauna stessa posizione P0 con la medesima velocita e sotto lazione di una stessa forza conservativa,anche se uno si suppone libero e laltro vincolato ad una superficie priva di attrito, essi giungonoin punti, nei quali il potenziale ha lo stesso valore, con la medesima velocita.

41

Nella ipotesi che sia priva di attrito (sia poi indipendente o no dal tempo) allora la reazione

= N, incognita, sara ortogonale alla superficie, pertanto avra componenti

= f

x +

f

y +

f

zk, =

|grad f | R

dove designa un fattore di proporzionalita a priori incognito. Proiettando la (1.62) sugli assi siottengono le tre equazioni

mx = Fx + fx

my = Fy + fy

mz = Fz + fz

F = Fx + Fy + Fzk (1.64)

che insieme alla (1.61) formano un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite x, y, z (fon-damentali) e (ausiliaria).

Moto spontaneo e geodetiche

Se si suppone che le forze attive siano nulle, cioe il moto di P avviene su per effetto dellavelocita iniziale v0, ed in assenza di attrito allora la traiettoria del punto e una geodetica,descritta con velocita costante. Infatti dalla (1.63) segue che v e costante e quindi s = 0; da ciosegue che laccelerazione ha solo componente normale: an. Daltra parte la (1.62) impone che siaaN, essendo F = 0, e quindi deve essere n = N (o n = N) che e la proprieta caratteristica dellegeodetiche sulle superfici immerse in R3.

1.6.2 Moto di un punto pesante sopra una superficie di rotazione adasse verticale e priva di attrito.

Sia data una superficie di rotazione ad asse verticale definita, in coordinate polari, attraverso lafunzione = f(z), con f(z) 0 assegnata, e sia il punto pesante P mobile su questa superficiesenza attrito. Nel caso in cui sul mobile sia applicata la sola forza peso e possibile studiare il motodel punto attraverso luso di integrali primi invece che ricorrere alle equazioni (1.64) che introduconouna incognita ausiliaria. Orientando lasse z verso la verticale ascendente lintegrale delle forzevive assume la forma

1

2mv2 +mgz = E.

Daltra parte, la forza peso e sempre parallela allasse z, e quindi sussiste sempre lintegrale dellearee relativo al piano z = 0:

xy yx = c.

Questi due integrali primi, espressi in coordinate cilindriche (, , z), assumono la forma 12m[z2(1 + f 2) + f 22

]+mgz = E

f 2 = c(1.65)

42

dove = f(z) definisce la superficie di rotazione ed essendo

v2 = (2 + 22 + z2) = (z2f 2 + f 22 + z2).

Se si suppone c = 0, escludendo gli eventuali stati di equilibrio in punti della superficie situatisullasse ( = 0), si ha = cost. e quindi si tratta di un moto su una curva piana di equazione

z2 =2(E/m gz)

1 + f 2,

che risulta integrabile per quadrature.Sia c = 0, in particolare possiamo sempre supporre c > 0, e la legge temporale si deduce con una

quadratura dallintegrale delle aree, non appena si e determinata la traiettoria, per es. esprimendo zin funzione di (cosa sempre possibile poiche > 0 per ogni t e quindi la funzione (t) e monotonacrescente e, in particolare, invertibile) dove

z =dz

d =

dz

d

c

f 2.

Per questa funzione z() si trova la equazione differenziale(dz

d

)2=f2 [2(E/m gz)f 2 c2]

c2(1 + f 2

) (1.66)integrabile con una quadratura.

1.6.3 Pendolo sferico.

Il caso particolare in cui f(z) e definita dalla equazione 2 = 2 z2 si denota con pendolo sfericoed e il caso di un punto pesante vincolato (o appoggiato) ad una sfera di raggio . Ponendof(z) =

2 z2 la (1.65) assume la forma 12m

[2z2

2z2 + (2 z2)2

]+mgz = E

(2 z2) = c. (1.67)

Nellipotesi c > 0, assumendo come variabile indipendente la in luogo della t, la funzionez(), che basta a determinare sulla sfera la traiettoria del pendolo, e caratterizzata dallequazionedifferenziale ricavata dalla (1.66), integrabile con una quadratura,

c22(dz

d

)2= (z)

dove 1 + f 2 = 2

2z2 e dove

(z) = (2 z2)21(z), 1(z) = 2(gz + E/m)(2 z2) c2.

43

Per lo studio quantitativo della soluzione z() giocano un ruolo importante le radici della funzione1(z). Piu propriamente, studiamo lequazione(

dz

dt

)2=

(dz

d

)22 =

c2

(2 z2)21

c22(z) =

1

21(z).

Osservando che 1(z) e un polinomio in z di grado 3 tale che (Figura 1.14)

1() = c2 < 0 e limz+

1(z) = +

allora esiste z3 > + tale che 1(z3) = 0. Le altre due radici z1 e z2 sono comprese in (,+).Infatti notiamo che deve essere |z0| ; piu precisamente, poiche si e escluso il caso c = 0, sara|z0| < , dove z0 e la quota della posizione iniziale. In particolare la condizione di realta del moto(z0) 0 implica 1(z0) 0. Discutiamo separatamente i due casi 1(z0) > 0 e 1(z0) = 0.

zz z z1 2 3

-l l

Figure 1.14: Grafico del polinomio 1(z). Le 3 radici sono tali che z3 > + mentre < z1 z2 < +.

a) 1(z0) > 0, in questa ipotesi la funzione z() oscilla periodicamente tra due paralleli di quotez1 e z2 comprese nellintervallo (,+) dove z1 e z2 sono radici semplici di 1(z). Si osservache il piano equidistante dai due paralleli di quote z1 e z2 e sempre al di sottodellequatore (di equazione z = 0). Infatti la funzione 1 puo essere scritta come

1(z) = 2gz3 2E/mz2 2g2z c2 + 2E2/m

= 2g(z z1)(z z2)(z z3)

da cui segue che deve essere

z1z2 + z2z3 + z1z3 = 2 cioe (z1 + z2)z3 = (2 + z1z2).

Ricordando che z3 > 0 e che |zj| < , j = 1, 2, segue z1 + z2 < 0, cioe la tesi.

44

b) 1(z0) = 0, in questo caso se la radice e semplice allora rientriamo nel caso a) ed il punto sitrova inizialmente su uno dei due paralleli che limitano la zona entro cui serpeggia la traiettoria.Se, infine, z0 non e radice semplice (e quindi non puo essere che doppia) allora e ben noto chedurante il moto si conserva z = z0, cioe la traiettoria e il parallelo di quota z0 (situato sottolequatore); in questultimo caso si ha anche = cost., cioe si ha un moto rotatorio uniforme.Il fatto che sia z0 < 0 segue dal fatto che 1(z) = 2g(zz3)(zz0)2 da cui dovra essere (poichez0 z1 = z2) 2z0z3 = (2z20) < 0 e quindi z0 < 0.

In ultima analisi segue che il moto del punto P avviene, ad esclusione del moto rotatorio uniforme,tra due quote z1 e z2 e la funzione z() e periodica ed impiega un angolo per raggiungere la quotapiu bassa partendo dalla quota piu alta (Figura 1.15

= c z2z1

dz(z)

.

Figure 1.15: Il moto del pendolo sferico avviene, in generale, tra due quote z1 e z2 ruotando sempre nello stessoverso e toccando, in modo periodico, i due paralleli.

Come osservazione finale notiamo che il moto di P sulla superficie sferica e periodico se e solose e sono commensurabili tra loro.

Calcolo dei periodi

Escludendo il caso particolare di moto rotatorio uniforme si e stabilito che il moto del punto sullasuperficie sferica avviene tra due quote z1 e z2 e la funzione z(t) e una funzione periodica. Percalcolarne il periodo ripartiamo dalla relazione(

dz

dt

)2= Uc,E(z) dove Uc,E(z) =

1

21(z);

45

questa equivale a studiare un moto su una retta con potenziale Uc,E al livello di energia E = 0.

Equivalentemente, poiche 2z22

> 0 z (, ), si puo studiare dal punto di vista qualitativo ilproblema con energia potenziale efficace 2gz + c

2

2z2 al livello di energia 2E/m. In ogni caso lafunzione z(t) risulta essere una funzione periodica di periodo

T1 T1(c, E) = 2 z2z1

dz(2Em

2gz c22z2

)2z22

= 2 z2z1

dzUc,E(z)

.

Supponendo poi nota z(t) si ottiene

(t) = t0

c

2 z2()d + 0.

Osserviamo che la funzione c2z2(t) e una funzione periodica di periodo T1 e quindi ammettera uno

sviluppo in serie di Fourier; quindi, portando la serie fuori dallintegrale, otteniamo

(t) = 0 + c0t+ (t).

Ponendo 1 = 2/T1 allora la funzione

(t) =n=0

t0cne

i1nd =n=0

cn1n

[ei1nt 1

]e una funzione periodica di periodo T1. Inoltre la costante c0 vale

c0 =1

T1

T10

c

2 z2(t)dt

=2

T1

z2z1

c

2 z2

2 z22

dz2Em

2gz c22z2

=2

T1

z2z1

c

(2 z2)3/2

2Em

2gz c22z2

dz.

Quindi (t) (definito modulo 2) e dato dalla composizione di due moti periodici; uno di periodo T1ed uno di periodo T2 = 2/c0. Di conseguenza il moto del pendolo fisico e periodico se, e solo se, T1e T2 sono commensurabili.

1.7 Dinamica relativa del punto

1.7.1 Influenza della rotazione terrestre sul moto dei gravi nel vuoto

Prescindiamo dalla resistenza dellaria e degli altri corpi celesti (es. il sole, la luna, etc.) e conside-riamo