Valter MorettiDipartimento di Matematica

Universita` di Trento

FISICA MATEMATICA I:

Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica

Analitica e Teoria della Stabilita`

Corsi di Fondamenti di Fisica Matematica per la Laurea Triennale in Matematica eMeccanica Analitica per la Laurea Triennale in Fisica.

Universita` di Trento

1

Indice

Scopi, prerequisiti matematici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Inquadramento generale della meccanica (analitica) classica. . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Lo Spazio ed il Tempo della Fisica Classica. 111.1 Lo spazio ed il tempo della fisica classica come spazi affini euclidei. . . . . . . . . 11

1.1.1 Spazi Affini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 Spazi Euclidei e Isometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.3 Interpretazione passiva e attiva delle isometrie, il gruppo delle isometrie. . 171.1.4 Lunghezze darco, aree e volumi, invarianti sotto il gruppo delle isometrie. 181.1.5 Lo spazio fisico e lasse del tempo per un osservatore: regoli ed orologi ideali. 191.1.6 Orientazione di spazi euclidei e prodotto vettoriale. . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 Introduzione alla nozione di varieta` differenziabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1 Funzioni e curve differenziabili su una varieta`. . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Lo Spaziotempo della Fisica Classica e la Cinematica Classica. 282.1 Lo spaziotempo della fisica classica: Tempo e Spazio assoluti e linee di universo. 282.2 Sistemi di riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 *Una definizione alternativa di sistema di riferimento. . . . . . . . . . . . 332.2.2 Sistemi di coordinate solidali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Cinematica assoluta del punto materiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.1 Derivazione di curve in spazi affini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.2 Grandezze cinematiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.3 Cinematica per punti materiali vincolati a curve e superfici ferme. . . . . 41

2.4 Cinematica relativa del punto materiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.1 Vettore e formule di Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.2 Velocita` ed accelerazione al variare del riferimento. . . . . . . . . . . . . . 56

3 Dinamica del punto e dei sistemi di punti materiali. 603.1 Primo principio della dinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.1 Sistemi di riferimento inerziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.2 Trasformazioni di Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.3 Moto relativo di riferimenti inerziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2

3.2 Formulazione generale della dinamica classica dei sistemi di punti materiali. . . . 673.2.1 Masse, Impulsi e Forze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.2 Sovrapposizione delle forze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.3 Problema fondamentale della dinamica e determinismo. . . . . . . . . . . 71

3.3 Situazioni dinamiche piu` generali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3.1 Moto assegnato per un sottosistema: forze dipendenti dal tempo. . . . . . 733.3.2 Vincoli geometrici: reazioni vincolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3.3 Dinamica in riferimenti non inerziali: forze inerziali. . . . . . . . . . . . . 79

3.4 Alcuni commenti sulla formulazione generale sulla dinamica newtoniana . . . . . 833.4.1 Invarianza galileiana della meccanica classica. . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4.2 Il fallimento del programma newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4.3 Un commento sul cosiddetto Principio di Mach. . . . . . . . . . . . . . 87

4 Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie 894.1 Sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.1.1 Riduzione al primordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.1.2 Problema di Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.3 Integrali primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2 Alcune nozioni e risultati preparatori per il teoremi di esistenza e unicita` . . . . . 924.2.1 Lo spazio di Banach C0(K;Kn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2 Teorema del punto fisso in spazi metrici completi. . . . . . . . . . . . . . 964.2.3 Funzioni lipschitziane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3 Teoremi di esistenza ed unicita` per il problema di Cauchy. . . . . . . . . . . . . . 1004.3.1 Teorema di esistenza ed unicita` locale per il problema di Cauchy. . . . . . 1004.3.2 Condizione per gli integrali primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3.3 Teorema di esistenza ed unicita` globale per il problema di Cauchy. . . . . 1074.3.4 Equazioni differenziali lineari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.3.5 Struttura dellinsieme delle soluzioni di unequazione lineare. . . . . . . . 1134.3.6 Completezza di soluzioni massimali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.4 *Confronto tra equazioni differenziali, dipendenza dalle condizioni iniziali e daparametri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.4.1 Lemma di Gronwall e sue conseguenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.4.2 Regolarita` della dipendenza dai dati di Cauchy e questioni connesse. . . . 129

4.5 *Problema di Cauchy su varieta` differenziabili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.5.1 Problema di Cauchy, esistenza ed unicita` globali. . . . . . . . . . . . . . . 1314.5.2 Completezza delle soluzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.5.3 Gruppi di diffeomorfismi locali ad un parametro. . . . . . . . . . . . . . . 1344.5.4 Campi vettoriali commutanti e commutazione dei corrispondenti gruppi

locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.5.5 Esistenza di integrali primi funzionalmente indipendenti. . . . . . . . . . . 138

3

5 Leggi di bilancio ed integrali primi in Meccanica. 1415.1 Equazioni cardinali per i sistemi di punti materiali, conservazione dellimpulso e

del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.1.1 Massa totale, impulso totale, momento angolare totale, energia cinetica

totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.1.2 Equazioni cardinali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.1.3 Leggi di bilancio/conservazione di impulso e momento angolare. . . . . . . 147

5.2 Energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.2.1 Teorema delle forze vive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2.2 Forze conservative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2.3 Bilancio e conservazione dellenergia meccanica. . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.3 *La necessita` della descrizione in termini di continui e di campi in meccanicaclassica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6 Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. 1596.1 Il vincolo di rigidita` per sistemi discreti e continui. . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.1.1 Corpi rigidi nel caso generale e per sistemi di punti finiti. . . . . . . . . . 1596.1.2 Corpi rigidi continui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.2 Il tensore dinerzia e le sue proprieta`. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.2.1 Il tensore dinerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.2.2 Terne principali dinerzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.2.3 Formula di Huygens-Steiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.3 Dinamica del corpo rigido: introduzione alla teoria delle equazioni di Eulero. . . 1756.3.1 Equazioni di Eulero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.3.2 Equazione di Poinsot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.3.3 Rotazioni permanenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.3.4 Moti alla Poinsot per corpi giroscopici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.3.5 Moti alla Poinsot per corpi non giroscopici. . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7 Introduzione alla teoria della stabilita` . 1867.1 Punti singolari e configurazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.1.1 Equilibrio stabile ed instabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.1.2 Introduzione ai metodi di Liapunov per lo studio della stabilita` . . . . . . 1917.1.3 *Ancora sulla stabilita` asintotica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.1.4 Un criterio per linstabilita` basato sulla procedura di linearizzazione. . . 198

7.2 Applicazioni a sistemi fisici della meccanica classica. . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.2.1 Il teorema di Lagrange-Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.2.2 Un criterio per linstabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2067.2.3 Stabilita` delle rotazioni permanenti per corpi rigidi non giroscopici. . . . . 209

4

8 Fondamenti di Meccanica Lagrangiana. 2128.1 Un esempio introduttivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138.2 Il caso generale: sistemi olonomi ed equazioni di Eulero-Lagrange. . . . . . . . . 217

8.2.1 Spaziotempo delle configurazioni in presenza di vincoli olonomi. . . . . . . 2188.2.2 Vettori tangenti allo spazio delle configurazione Qt. . . . . . . . . . . . . . 2258.2.3 Vincoli ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2288.2.4 Grandezze cinematiche ed energia cinetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2328.2.5 Equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi di un numero finito di punti

materiali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.3 *Estensione al caso di sistemi costituiti da corpi rigidi continui e punti materiali. 237

8.3.1 Sistemi articolati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.3.2 Calcolo esplicito dei vettori P

(k)i e dellenergia cinetica di corpi rigidi

continui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.3.3 Generalizzazione dellidentita` (8.36) ai corpi rigidi continui. . . . . . . . . 2428.3.4 Equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi articolati. . . . . . . . . . . . . 244

8.4 Proprieta` elementari delle equazioni di Eulero Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 2468.4.1 Normalita` delle equazioni di Eulero-Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.4.2 Spaziotempo degli atti di moto ed invarianza delle equazioni di Eulero-

Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488.4.3 Lagrangiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2528.4.4 Cambiamento di riferimento inerziale e non unicita` della lagrangiana. . . . 258

8.5 *Formulazione geometrico differenziale globale delle equazioni di Eulero-Lagrange. 2638.5.1 La struttura di varieta` fibrata di Vn+1 e di j1(Vn+1). . . . . . . . . . . . . 2638.5.2 Il campo vettoriale dinamico Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.5.3 Sistemi lagrangiani senza lagrangiana globale. . . . . . . . . . . . . . . . . 267

9 Alcuni argomenti piu` avanzati di Meccanica Lagrangiana. 2699.1 Il cosiddetto Principio di Minima Azione per sistemi che ammettono lagrangiana.269

9.1.1 Primi rudimenti di calcolo delle variazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.1.2 Il principio di minima azione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

9.2 I potenziali generalizzati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.2.1 Il caso della forza di Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.2.2 Generalizzazione della nozione di potenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . 2769.2.3 Condizioni per lesistenza del potenziale generalizzato. . . . . . . . . . . . 2789.2.4 Potenziali generalizzati delle forze inerziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

9.3 Configurazioni di equilibrio e stabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2839.3.1 Configurazioni di equilibrio rispetto ad un riferimento. . . . . . . . . . . . 2839.3.2 Equilibrio stabile ed instabile, teorema di Lagrange-Dirichlet. . . . . . . . 289

9.4 Introduzione alla teoria delle piccole oscillazioni e delle coordinate normali. . . . 2939.4.1 Equazioni linearizzate e disaccoppiate: coordinate normali. . . . . . . . . 2949.4.2 Pulsazioni normali (o proprie) e modi normali di oscillazione. . . . . . . . 298

5

10 Simmetrie e leggi di conservazione: teoremi di Nother e di Jacobi. 30210.1 Il legame tra simmetria e leggi di conservazione: coordinate cicliche. . . . . . . . 302

10.1.1 Coordinate cicliche e conservazione dei momenti coniugati. . . . . . . . . 30210.1.2 Invarianza traslazionale e conservazione dellimpulso. . . . . . . . . . . . . 30510.1.3 Invarianza rotazionale e conservazione del momento angolare. . . . . . . . 307

10.2 Il legame tra simmetrie e leggi di conservazione: il teorema di Emmy Nother. . . 30910.2.1 Trasformazioni su j1(Vn+1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31010.2.2 Il teorema di Nother in forma locale elementare. . . . . . . . . . . . . . . 31110.2.3 Invarianza dellintegrale primo di Nother per trasformazione di coordinate. 31610.2.4 Le trasformazioni di simmetria (debole) di un sistema lagrangiano trasfor-

mano soluzioni delle equazioni di E.-L. in soluzioni delle stesse. . . . . . . 31710.3 Lintegrale primo di Jacobi, invarianza sotto traslazioni temporali e conserva-

zione dellenergia meccanica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31910.4 Commenti finali sul teorema di Nother. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

10.4.1 Invarianza sotto il gruppo di Galileo in meccanica lagrangiana. . . . . . . 32310.4.2 Formulazione lagrangiana e teorema di Nother oltre la meccanica classica. 324

10.5 *Formulazione generale e globale del Teorema di Nother. . . . . . . . . . . . . . . 32410.5.1 Il teorema di Nother nella forma generale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32710.5.2 Il vettore di Runge-Lenz dal teorema di Nother. . . . . . . . . . . . . . . 33310.5.3 Lintegrale primo di Jacobi come conseguenza del teorema di Nother. . . . 335

11 Fondamenti di Meccanica Hamiltoniana. 33811.1 Lo spaziotempo delle fasi e le equazioni di Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . 338

11.1.1 Lo spaziotempo delle Fasi F (Vn+1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34011.1.2 Le equazioni di Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34311.1.3 Le equazioni di Hamilton da un principio variazionale. . . . . . . . . . . . 355

11.2 Sistemi hamiltoniani su R R2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35711.2.1 Sistemi hamiltoniani su R R2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35711.2.2 Il gruppo simplettico ed i sistemi hamiltoniani. . . . . . . . . . . . . . . . 35811.2.3 Il teorema di Liouville su R R2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

11.3 *La struttura di varieta` fibrata di F (Vn+1) e le equazioni di Hamilton comeequazioni globali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36811.3.1 Lo spazio fibrato F (Vn+1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36811.3.2 Trasformazione di Legendre globale come diffeomorfismo da j1(Vn+1) a

F (Vn+1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37011.3.3 Equazioni di Hamilton assegnate globalmente su F (Vn+1) e campo vetto-

riale dinamico Z: emancipazione dalla formulazione lagrangiana. . . . . . 373

12 Alcuni argomenti piu` avanzati di Meccanica Hamiltoniana. 37512.1 Trasformazioni canoniche e loro proprieta` fondamentali. . . . . . . . . . . . . . . 375

12.1.1 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37612.1.2 Preservazione della forma delle equazioni di Hamilton. . . . . . . . . . . . 380

6

12.2 *Il teorema di Liouville in forma globale ed il teorema del ritorno di Poincare. 38612.2.1 Teorema di Liouville e lequazione di Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . 38712.2.2 Il teorema del ritorno (o di ricorrenza) di Poincare . . . . . . . . . . . 390

12.3 Simmetrie e leggi di conservazione in meccanica di Hamilton. . . . . . . . . . . . 39412.3.1 Parentesi di Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39412.3.2 Gruppi locali ad un parametro di trasformazioni canoniche attive. . . . . 39912.3.3 Simmetrie e leggi di conservazione: il teorema di Nother hamiltoniano. . . 405

12.4 Forma di Poincare-Cartan e teoria di Hamilton-Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . 41312.4.1 La forma di Poincare-Cartan e la condizione di Lie come caratterizzazione

delle trasformazioni canoniche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41312.4.2 Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche. . . . . . . . . . . . . . . 42012.4.3 Introduzione alla teoria di Hamilton-Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42412.4.4 Equazione di Hamilton-Jacobi indipendente dal tempo. . . . . . . . . . . 428

12.5 *Meccanica di Hamilton e strutture simplettiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43012.5.1 Spazio delle fasi come varieta` simplettica per sistemi hamiltoniani autonomi.43012.5.2 Caso generale: F (Vn+1) come fibrato di varieta` simplettiche . . . . . . . . 43512.5.3 Una nozione piu` generale di spaziotempo delle fasi e dinamica di Hamilton 440

A Elementi di topologia generale e geometria differenziale. 443A.1 Richiami di Topologia elementare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443A.2 Elementi di geometria differenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

A.2.1 Varieta` prodotto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447A.2.2 Funzioni differenziabili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448A.2.3 Sottovarieta` embedded. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449A.2.4 Spazio tangente e cotangente. Campi vettoriali covarianti e controvarianti. 452A.2.5 Differenziali, curve e vettori tangenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

A.3 Ancora sugli spazi affini ed euclidei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457A.3.1 Spazi affini ed euclidei come varieta` differenziabili. . . . . . . . . . . . . . 457

A.4 Argomenti piu` avanzati di geometria differenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 460A.4.1 Pushforward, pullback, derivata di Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460A.4.2 Immersione di spazi tangenti per sottovarieta` embedded. . . . . . . . . . . 464A.4.3 Fibrato tangente e cotangente, varieta` fibrate e sezioni. . . . . . . . . . . . 464A.4.4 p-forme e forme differenziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

A.5 Teoria dellintegrazione su varieta` differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474A.5.1 Integrale di forme di ordine massimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474A.5.2 Varieta` con bordo e teorema di Stokes-Poincare . . . . . . . . . . . . . . . 481

B Soluzioni e/o suggerimenti per risolvere gli esercizi proposti. 484B.1 Esercizi del Capitolo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484B.2 Esercizi del Capitolo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490B.3 Esercizi del Capitolo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497B.4 Esercizi del Capitolo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

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B.5 Esercizi del Capitolo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503B.6 Esercizi del Capitolo 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509B.7 Esercizi del Capitolo 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511B.8 Esercizi del Capitolo 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512B.9 Esercizi del Capitolo 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524B.10 Esercizi dellAppendice A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

C Alcuni esercizi desame svolti. 533

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Scopi, prerequisiti matematici ed inquadramento generale.

Il fine di queste dispense e` quello di introdurre gli studenti dei corsi di laurea in Matematica e inFisica agli argomenti ed i metodi della fisica matematica classica (con particolare attenzione allameccanica classica), della formulazione lagrangiana della meccanica classica, includendo unin-troduzione alla teoria della stabilita` ed alla formulazione hamiltoniana della meccanica classica.Laccento e` posto in particolare sulla struttura logico-matematica delle teorie fisiche studiateche, per quanto possibile, sono presentate in modo assiomatico deduttivo partendo da un nume-ro ridotto di ipotesi fisiche. Il linguaggio matematico usato e` quello dellanalisi e della geometriadifferenziale elementare.Queste dispense contengono abbondantemente il materiale didattico dei corsi di Fondamenti diFisica Matematica (prima parte) per la Laurea Triennale in Matematica e di Meccanica Analiticaper la Laurea Triennale in Fisica.I prerequisiti per lutilizzo delle dispense consistono nel calcolo differenziale ed integrale di unae piu` variabili, delle nozioni elementari di geometria ed algebra lineare, delle nozioni elementaridi topologia generale e dei fondamenti di fisica meccanica. Molte delle nozioni tecniche usatesaranno brevemente richiamate prima del loro uso. Gli esempi (che spesso sono esercizi svolti)e gli esercizi proposti sono parte integrante del corso.

~ Le sezioni, i teoremi, le dimostrazioni e gli esercizi contrassegnati con un asterisco nonsono strettamente fondamentali ai fini del corso in quanto si riferiscono ad argomenti

(specialmente matematici) piu` avanzati. Sono spesso importanti per chi voglia apparofondire ilformalismo.

Ringraziamento. Ringrazio i colleghi Riccardo Ghiloni, Gian Vittorio Luria, Enrico Pagani,Alessandro Perotti e Nicola Pinamonti, per diversi suggerimenti e correzioni sui contenuti deicorsi a cui si rivolgono queste dispense. Ringrazio (in ordine alfabetico) Federico Franceschini,Marco Frego, Filippo Maria Gambetta, Luca Guglielmi, Stefano Martin, Mattia Signoretto,Fabio Zanini e Chiara Zarpellon per avermi dato suggerimenti di vario genere per migliorarequesto lavoro.Lultima sezione riporta le soluzioni o suggerimenti per le soluzioni degli esercizi proposti. Cometesto generale di riferimento, per approfondimenti, complementi ed esercizi, si consigliano i testi[Goldstein50], [Fasano-Marmi] e [Arnold92].

Inquadramento generale della meccanica (analitica) classica.

Dal punto di vista fisico e` importante sottolineare che la descrizione della realta` fisica presentatain queste dispense ha precisi limiti di applicabilita` e, generalmente parlando, deve pensarsi comeunapprossimazione di qualche teoria piu` fondamentale. Infatti essa risulta essere inadeguata inalmeno due contesti.

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(a) La descrizione classica cessa di valere nel regime di velocita` comparabili con quelle dellaluce/forti campi gravitazionali/trattazioni della fisica cosmologica. In tali contesti la descrizionepiu` soddisfacente, al momento nota, e` data dalla Teoria della Relativita` 1, di cui la meccanicaclassica e` approssimazione. La rivoluzione della Relativita` ha mostrato che le strutture metricheclassiche (lunghezze ed intervalli di tempo) sono in realta` relative al sistema di riferimento, maal contempo sono parti di una struttura metrica spaziotemporale assoluta che ha particolariproprieta` di simmetria (almeno fino a quando si trascura la descrizione relativistica dellintera-zione gravitazionale) descritte dal cosiddetto gruppo di Lorentz-Poincare. La geometria dellospaziotempo che ne consegue si e` rivelata il linguaggio matematico per poter trattare argomentidi generale interesse fisico, come la nozione di causalita`. Le implicazioni di questo nuovo puntodi vista sono state incredibilmente feconde ed hanno avuto influenze fondamentali nello svilup-po di tutta la fisica del 1900. La teoria della relativita` ha costruito, insieme alla meccanicaquantistica, il linguaggio stesso ed il paradigma della fisica teorica di un secolo intero di ricerca.

(b) La descrizione classica cessa di essere adeguata anche, rozzamente parlando, in riferi-mento a sistemi microscopici (scale molecolari ed inferiori). In tali contesti la descrizione piu`adeguata e` data dalla Meccanica Quantistica (e dalla teoria dei campi quantistica), di cui, unal-tra volta, la meccanica classica e` approssimazione. Mentre il linguaggio matematico delle teorierelativistiche e` ancora quello della geometria differenziale, il linguaggio matematico delle teoriequantistiche e` dato dallanalisi funzionale (degli spazi di Hilbert in particolare).Dobbiamo doverosamente rimarcare che lo schema e` ancora tuttaltro che completo, visto che leteorie quantistiche e quelle relativistiche non formano un corpus coerente, in particolare vi sonodiversi problemi concettuali nel conciliare la descrizione quantistica con quella data dalla relati-vita` generale. Al momento manca una descrizione completa della struttura fisica di cio` che esiste.

La meccanica classica, daltra parte, funziona perfettamente per le applicazioni pratiche piu` comuni,ma non solo. Basti pensare che le missioni Apollo che hanno portato luomo sulla luna sono sta-te concepite completamente nellambito della meccanica classica, attraverso la quale sono staticostruiti tutti i modelli e sono stati fatti i calcoli.

1Problemi irrisolti anche nellambito delle Teorie Relativistiche rimangono aperti in cosmologia, in particolarein relazione al cosiddetto problema dellenergia oscura.

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Capitolo 1

Lo Spazio ed il Tempo della FisicaClassica.

La Matematica in Fisica e` come il maiale: non si butta mai via niente.

In questo capitolo iniziale discuteremo come la geometria euclidea fornisca una descrizione ma-tematica appropriata dello spazio e del tempo della fisica classica. Ci riferiamo in questo modoallo spazio fisico ed al tempo fisico come appaiono per ogni possibile osservatore pensato comeinsieme di strumenti fisici (senza necessita` di attivita` cosciente). Nellultima sezione, estenden-do le nozioni introdotte nelle precedenti sezioni, arriveremo a presentare la nozione di varieta`differenziabile che sara` utile in tutto il resto delle dispense.Lappendice A, completando la discussione esposta in questo capitolo introduttivo, richiama al-cune nozioni elementari di topologia generale e approfondisce la nozione di varieta` differenziabileproponendo diversi esempi ed esercizi svolti.

1.1 Lo spazio ed il tempo della fisica classica come spazi affinieuclidei.

Ogni osservatore pensato come insieme di strumenti fisici (senza necessita` di attivita` cosciente)colloca gli eventi fisici in uno spazio tridimensionale e lungo una retta temporale. Talvolta sitrova scritto che lo spazio fisico, ovvero lo spazio in cui si formula la geometria di Euclide e` lospazio R3. Questa affermazione non e` corretta ne` dal punto di vista fisico ne` da quello matema-tico. La ragione e`, prima di tutto, che R3 ha una struttura che non e` invariante per traslazioni (esotto altri tipi di trasformazioni), al contrario della natura delle proposizioni geometriche nellageometria di Euclide. Questa struttura non invariante per traslazioni, dal punto di vista fisi-co, non ha nemmeno alcun corrispondente nella realta` dellesperienza quotidiana. Per esempio,lorigine (0, 0, 0) di R3 oppure gli assi (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) sono strutture privilegiate, chenon hanno alcun corrispondente fisico: non ce` alcuna legge fisica che fissa lorigine dello spazio

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o assi privilegiati di riferimento. Viceversa le leggi della fisica (almeno nei sistemi di riferimentoinerziali che discuteremo nei prossimi capitoli) sono invarianti per traslazioni, oltre che sottoaltre trasformazioni che si identificano con il gruppo delle isometrie dello spazio come vedremopiu` avanti. In termini intuitivi, ignorare la parte della struttura di R3 che non e` invariante pertraslazioni significa appunto vedere R3 come uno spazio affine1. A causa di questa natura, talispazi ammettono particolari trasformazioni, chiamate appunto traslazioni che, quando lo spazioaffine viene dotato di significato fisico ed in particolare dotato delle usuali proprieta` metriche,corrispondono alle operazioni fisiche di traslazione rigide dei corpi materiali. Un discorso ana-logo si puo` fare per lasse dei tempi lungo il quale vengono ordinati temporalmente gli eventida parte di ogni osservatore. Anche in questo caso non via` alcun punto privilegiato lungo taleinsieme ordinato e anche se e` piu` difficile intuirlo rispetto allanaloga proprieta` dello spaziofisico sussiste una proprieta` di invarianza per traslazioni temporali degli eventi fisici, nel sen-so che (almeno nei sistemi di riferimento inerziali che discuteremo nei prossimi capitoli) ogniesperimento con un certo esito che puo` essere preparato oggi, puo` essere, in linea di principio,preparato anche domani con lo stesso esito.Lo spazio tridimensionale della fisica classica, lasse del tempo delle fisica classica (ma anchelo spaziotempo quadridimensionale della fisica relativistica speciale) sono spazi affini prima ditutto.La struttura di spazio affine non e` pero` sufficiente per descrivere matematicamente la naturadello spazio fisico e dellasse del tempo. Sono necessarie ulteriori strutture matematiche cherendano conto, da un lato, della possibilita` sperimentale di assegnare le dimensioni fisiche: lun-ghezze, aree, volumi, angoli..., ai corpi che riempiono lo spazio e, dallaltro lato, della duratatemporale dei fenomeni che accadono. Dal punto di vista puramente matematico, gli spazi affini,se ulteriormente dotati della struttura metrica che vedremo tra poco, si dicono spazi euclideiperche, nel caso tridimensionale, sono gli spazi della geometria di Euclide. Lo spazio euclideotridimensionale e` una la descrizione adeguata dello spazio fisico. Lo spazio euclideo unidimen-sionale e` una descrizione adeguata della retta temporale.Richiamiamo brevemente la definizione e le principali caratteristiche degli spazi affini e deglispazi euclidei. Tali nozioni dovrebbero gia` essere note dai corsi di geometria elementare.

1.1.1 Spazi Affini.

Definizione 1.1. Uno spazio affine (reale) di dimensione (finita) n e` un insieme An, icui elementi sono detti punti, dotato di alcune strutture che descriviamo di seguito.(1) Uno spazio vettoriale reale n-dimensionale V , detto spazio delle traslazioni o spazio deivettori liberi.(2) Unapplicazione An An 3 (P,Q) 7 P Q V che gode delle due seguenti proprieta`:

(i) per ogni coppia di elementi Q An, v V ce` un unico punto P An tale che P Q = v;(ii) P Q + QR = P R per ogni terna P,Q,R An.

Se Q An e v V , Q + v An indica lunico punto P in An tale che P Q = v. Una retta1Si legga a tal proposito la definizione di spazio affine data a p.13 del fondamentale testo di Arnold di Metodi

Matematici della Meccanica Classica [Arnold92].

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in An di origine P e vettore tangente u e` la funzione R 3 t 7 P + tu An. Un segmentodi retta si ottiene restringendo t ad un intervallo (diverso da un punto).

N.B. Gli spazi affini considerati in queste dispense sono esclusivamente reali e con dimensionefinita.

Esercizi 1.1.1. Provare che, per ogni P An, P P = 0 vettore nullo di V .2. Provare che, se Q An e u,v V allora:

(Q+ u) + v = Q+ (u + v) . (1.1)

3. Provare che, se Q,P An allora:

P Q = (Q P ) . (1.2)

4. Provare che, se P,Q An e u V allora:

P Q = (P + u) (Q+ u) . (1.3)

Ogni spazio affine An ammette una classe di sistemi di coordinate globali naturali detti sistemidi coordinate cartesiane, che giocano un importantissimo ruolo nello sviluppo della teoria. Untale sistema di coordinate si costruisce come segue. Si fissi un punto O An, detto originedelle coordinate, ed una base e1, . . . , en dello spazio delle traslazioni V , detta sistema di assidelle coordinate. Variando P An le componenti, ((P O)1, . . . , (P O)n), di ogni vettoreP O rispetto alla base scelta definiscono una funzione biettiva f : An Rn che permettedi identificare i punti di An con i punti di Rn. Questa corrispondenza tra punti, P , e n-ple, ((P O)1, . . . , (P O)n), e` biettiva. E` iniettiva per la richiesta (i) nella definizione 1.1 ede` suriettiva perche il dominio di (P,O) 7 P O V coincide, per definizione, con tutto AnAned ora O e` tenuto fisso.

Definizione 1.2. Nello spazio affine An con spazio delle traslazioni V si fissi un punto O Ened una base e1, . . . , en di V . Il sistema di coordinate globali (An, f), dove f associa a P Anla n-pla di componenti di P O, rispetto alla base e1, . . . , en, e` detto sistema di coordinatecartesiane con origine O e assi e1, . . . , en. I sistemi di coordinate (locali) non cartesianesono detti sistemi di coordinate curvilinee.

Le coordinate cartesiane sono importanti anche perche consentono di rappresentare in manierasemplice le cosiddette trasformazioni affini. Una trasformazione affine e` una trasformazione chepreserva la struttura di spazio affine. Formalmente si ha la seguente definizione.

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Definizione 1.3. Siano An1 e Am2 spazi affini con spazi delle traslazioni V1 e V2 rispettivamente. : An1 Am2 e` detta trasformazione affine se valgono le condizioni:

(i) e` invariante per traslazioni, cioe`

(P + u) (Q+ u) = (P ) (Q) , per ogni P,Q An1 e u V1 ;

(ii) la funzione P Q 7 (P )(Q) definisce una trasformazione lineare V1 V2, indicatacon d : V1 V2.

Esercizi 1.2.1. Sia (An, f) un sistema di coordinate cartesiane, come nella definizione 1.2, con coordinate

x1, , xn e (An, g) un altro sistema di coordinate cartesiane, con coordinate x1, , xn, diorigine O e assi e1, . . . , en, in modo che valga

ei =j

Bj iej .

Provare che la funzione g f1 e` espressa, in coordinate, dalle relazioni:

xj =ni=1

Bj i(xi + bi), (1.4)

dove (O O) = i biei.2. In riferimento allesercizio precedente, provare che la funzione f g1 : Rn Rn, in

coordinate, e` espressa da:

xi =nj=1

(B1)ijxj bi . (1.5)

3. Provare che se : An1 Am2 e` affine, allora, per ogni scelta di sistemi di coordinatecartesiane nei due rispettivi spazi, ha la forma (i = 1, 2, . . . , n)

xi2 =nj=1

Lijxj1 + c

i . (1.6)

per opportuni coefficienti Lij e ci, dipendenti da e dai sistemi di coordinate.

Dimostrare che, viceversa, : An1 Am2 e` affine se esistono due sistemi di coordinate cartesianenei rispettivi spazi in cui ha la forma (1.6) in coordinate.

4. Mostrare che le trasformazioni affini trasformano rette in rette. Ossia, se : An1 An2e` affine e P (t) := P + tu, con t R e` la retta in An1 di origine P e` vettore tangente v V1, allora(P (t)), al variare di t R definisce ancora una retta in Am.

Per ogni spazio affine An, lo spazio vettoriale V delle traslazioni agisce come insieme di trasfor-mazioni {Tv}vV su An. La trasformazione Tv : An An di v V su An e` definita in modo

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ovvio come Tv : P 7 P + v. Esplicitiamo alcune caratteristiche dellazione di V sullo spazioaffine.

(i) Linsieme {Tv}vV e` banalmente un gruppo rispetto alla composizione di applicazionivalendo TuTv = Tu+v.Dato che TuTv = Tu+v e u+v = v+u, il gruppo risulta anche essere abeliano cioe` commutativo:TuTv = TuTv per ogni coppia u,v V . Dato che lapplicazione V 3 v 7 Tv e` iniettiva(poiche v = u se Tu = Tv), essa e` un isomorfismo gruppale quando V e` visto come gruppocommutativo rispetto alla somma di vettori.

(ii) Solo v = 0 soddisfa che Tv(P ) = P per ogni P An, in altre parole, lazione del gruppodelle traslazioni e` libera.

(iii) Per ogni coppia P,Q An esiste una traslazione Tv tale che Tv(P ) = Q, in altre parole,lazione del gruppo delle traslazioni e` transitiva.Il gruppo delle traslazioni acquista ulteriore interesse quando si potenzia la struttura di spazioaffine con un prodotto scalare.

1.1.2 Spazi Euclidei e Isometrie.

Quando uno spazio affine e` dotato di una struttura metrica aggiuntiva compatibile con quellapreesistente e che consente di definire proprieta` metriche, si ha uno spazio euclideo. Tale strut-tura metrica e` un prodotto scalare assegnato nello spazio delle traslazioni.

Definizione 1.4. Uno spazio affine En di dimensione n (finita) e dotato di un prodotto sca-lare (reale simmetrico) nello spazio delle traslazioni V , e` detto spazio euclideo (reale) didimensione n.I sistemi di coordinate cartesiane associati a basi ortonormali rispetto a sono detti sistemi dicoordinate cartesiane ortonormali.Una trasformazione affine tra due spazi euclidei che conserva le rispettive distanze e` detta iso-metria affine.

Mostriamo ora come la presenza del prodotto scalare dia senso alle nozioni metriche che ci aspet-tiamo dalla fisica: distanze ed angoli. Ricordiamo a tal fine la definizione di spazio metrico.

Definizione 1.5. Uno spazio metrico e` un insiemeM dotato di una funzione d : MM Rdetta distanza, soddisfacente:

(i) d(P,Q) = d(Q,P ),(ii) d(P,Q) 0 dove = vale se solo se P = Q,(iii) d(P,Q) d(P,R) + d(R,Q) per P,Q,R M .

Una funzione f : M M con M,M spazi metrici con distanze, d e d rispettivamente e` dettaisometria se conserva le distanze, cioe` : d(P,Q) = d(f(P ), f(Q)) per ogni coppia P,Q M .

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Ovviamente, per (ii), le isometrie sono sempre trasformazioni iniettive. Nel caso degli spazieuclidei, la presenza del prodotto scalare arricchisce ulteriormente la struttura di spazio affineaggiungendo una struttura di spazio metrico, quando la distanza tra punti di En e` definita comela norma standard associata al prodotto scalare valutata su P Q:

d(P,Q) := ||P Q|| := P Q P Q . (1.7)Quindi gli spazi euclidei sono naturalmente degli spazi metrici. Si noti che il prodotto scalarepresente nello spazio delle traslazioni consente di definire la nozione misura di angolo tra vettori:langolo tra due vettori u,v e` , quando ha senso definirlo, lunico (in [0, pi]) che soddisfa

||u|| ||v|| cos = u v .Passiamo ora a considerare le isometrie tra spazi euclidei. Dato che la nozione di isometria nasceindipendentemente da quella di trasformazione affine, ci si puo` chiedere se tra due spazi euclideipossano esistere isometrie che non siano trasformazioni affini. Vale tuttavia il seguente notevoleteorema che, per spazi euclidei, identifica isometrie ed isometrie affini. La dimostrazione e` datanegli esercizi.

Teorema 1.1. Siano En1 e En2 spazi euclidei con la stessa dimensione n (finita). f : En1 En2e` unisometria se e solo se e` unisometria affine.

Osservazioni 1.1.(1) La distanza d su uno spazio euclideo (1.7) gode di alcune interessanti proprieta` . In primoluogo essa e` invariante sotto lazione delle traslazioni:

d(P + u, Q+ u) = d(P,Q) , P,Q En, u V , (1.8)e pertanto le traslazioni sono particolari tipi di isometrie.La verifica di tale proprieta` di invarianza e` immediata dalla definizione di d e tenendo conto dellaproprieta` (P + u) (Q+ u) = P Q.Unaltra proprieta` interessante della distanza di spazi euclidei e` di natura completamente ma-tematica: risulta per computo diretto che la funzione P,Q 7 d(P,Q)2 e` di classe C rispettoad ogni sistema di coordinate cartesiane (cioe`, rispetto alla struttura differenziabile naturaledi En En che diremo piu` avanti). Non lo e` invece la funzione P,Q 7 d(P,Q) che ovunquecontinua ma non e` ovunque C, dato che ammette una singolarita` esattamente per P = Q.(2) Come conseguenza dellesercizio 1.2.1, tenendo conto che le matrici di trasformazione tra ba-si ortonormali sono le matrici ortogonali, la piu` generale legge di trasformazione tra le coordinatedi due differenti sistemi di coordinate cartesiani ortonormali assume la forma

xj =ni=1

Rj i(xi + bi), (1.9)

dove i numeri reali bi sono arbitrariamente fissati e i coefficienti Rj i definiscono individuano unaqualsiasi fissata matrice ortogonale di dimensione n. Ricordiamo che le matrici ortogonali di

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ordine n sono le matrici reali nn, R, tali che RRt = I (ossia in componenti k Ri kRj k = ij).Esse costituiscono un gruppo rispetto al prodotto matriciale righe per colonne, detto gruppoortogonale di dimensione n o gruppo delle rotazioni in dimensione n ed indicato conil simbolo O(n).(3) Dalla definizione di O(3), usando la regola di Binet per il determinante ed il fatto che ildeterminante della matrice trasposta e` uguale a quello della matrice, segue immediatamente chese R O(3) allora detR = 1. Entrambi i casi sono rappresentati in O(3). Infatti I e Isono matrici in O(3) ed hanno rispettivamente determinante 1 e 1. Linsieme delle matrici diO(3) con determianate 1 e` indicato con SO(3) e, come si prova facilmente, e` un sottogruppo diO(3). SO(3) si chiama gruppo ortogonale proprio (di dimensione 3) ed i suoi elementi sonole rotazioni proprie. Linsieme delle matrici con determinante 1 non puo` essere un sotto-gruppo dato che non contiene lelemento neutro (dato dalla matrice I SO(3)). Tuttavia, seS O(3) e detS = 1, allora S = (I)R, dove R := (I)S SO(3). Pertanto tutte le rotazionicon determinante 1, dette anche rotazioni improprie o, con un termine un po imprecisoriflessioni, si ottengono da una rotazione propria seguita dallazione di I, trasformazione chea sua volta, e` detta inversione o inversione di parita`. Cio` giustifica la notazione ISO(3)per linsieme delle rotazioni improprie (di dimensione 3). Un caso importante di rotazione im-propria si ottiene dallimmagine specchiata di un oggetto rispetto alloggetto stesso. In tal caso,in riferimento ad una terna di assi cartesioni ortonormali, loperazione di rotazione impropria,immaginando lo specchio come dato dal piano x = 0, corrisponde alla matrice diagonale che ha1 come primo elemento della diagonale principale, seguito da due 1 sulla stessa diagonale. E`chiaro che il determinante di tale matrice e` (1) 1 1 = 1.

1.1.3 Interpretazione passiva e attiva delle isometrie, il gruppo delle isome-trie.

Fino ad ora abbiamo interpretato passivamente le trasformazioni isometriche (1.9), cioe` riferendolea due diversi sistemi di coordinate nei quali si descrive lo stesso punto. Tuttavia queste trasfor-mazioni si possono interpretare anche attivamente, lavorando in un unico sistema di coordinatecartesiane ortonormali. Se fissiamo un unico sistema di coordinate cartesiane ortonormali, inriferimento a tale sistema di coordinate, la forma piu` generale per unisometria : En Enche trasforma il punto generico P En di coordinate (x1, . . . , xn) nel punto (P ) En, dicoordinate (x1, . . . , xn), e` ancora data dalla (1.9) in cui i numeri reali bi e la matrice R sonofissati e dipendono da .Si dimostra abbastanza facilmente che, per un fissato spazio euclideo En, la classe delle isometrie : En En costituisce un gruppo rispetto alla legge di composizione di funzioni tale gruppo e`detto il gruppo delle isometrie di En. Quindi la composizione di due isometrie e` ancora tale elinversa di una isometria, esiste sempre, ed e` unisometria. Come gia` osservato precedentemen-te il gruppo delle isometrie include come sottogruppo quello delle traslazioni, ma anche quellodelle rotazioni attorno ad un fissato punto. Le isometrie dello spazio fisico tridimensionale sonodunque tutte e sole le rototraslazioni della forma (1.9) interpretate come trasformazioni attive.

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Queste operazioni in E3, dal punto di vista fisico, sono le operazioni che si possono eseguireattivamente sui corpi senza alterarne le proprieta` metriche.

Osservazioni 1.2. * Esiste unaltra caratterizzazione di SO(3) e ISO(3) di natura com-pletamente topologica che ha interesse dal punto di vista fisico. Pensiamo a tal fine le rotazioniproprie e improprie come trasformazioni attive. Come e` evidente dallesperienza fisica, le rota-zioni improprie, come le riflessioni attraverso uno specchio, sono operazioni fisiche discontinue:non possono essere ottenute con una successione di piccole modifiche della figura iniziale. Que-stidea intuitiva ha un corrispondente matematico preciso che ora illustriamo senza entrare neidettagli. Il gruppo O(3) e` un sottoinsieme di R9, dato che le matrici reali 33 si possono pensarecome vettori in R9. Se dotiamo O(3) della topologia indotta da R9, si vede che le operazionidi prodotto di elementi del gruppo e di calcolo dellinversa sono operazioni continue. In questosenso O(3) e` un gruppo topologico. Questa caratterizzazione in realta` vale per tutto il gruppodelle isometrie di uno spazio euclideo, ma in questa sede ci occuperemo del solo sottogruppo dellerotazioni. Rimanendo a livello di sottoinsiemi di uno spazio topologico, osservaimo che O(3) none` sicuramente un sottoinsieme connesso di R9, dato che la funzione det : O(3) R e` continua edassume valori dati dallinsieme sconnesso {1,1}, mentre limmagine di un insieme connesso se-condo una funzione continua deve essere connesso. Questo significa che i due sottoinsiemi SO(3)e ISO(3) devono essere tra di loro sconnessi oltre che disgiunti. Si riesce anche a provare checiascuno dei due insiemi e` separatamente connesso. Pertanto SO(3) e ISO(3) sono le (unichedue) componenti connesse di O(3). La prima e` lunica delle due che include lidentita`. Perconcludere osserviamo che se una rotazione impropria come una riflessione, S ISO(3) fosseconnettibile a I con una curva continua in O(3), cioe` una curva continua di rotazioni, vorrebbedire che I e S apperterrebbero alla stessa componente connessa di O(3). Questo e` falso comeappena visto. In termini piu` intuitivi, abbiamo appena provato che le rotazioni improprie, comele riflessioni attraverso uno specchio, sono operazioni fisiche discontinue: non possono essereottenute con una successione di piccole modifiche della figura iniziale, cioe` con una successionedi rotazioni che differiscono di poco partendo dallidentita`.

1.1.4 Lunghezze darco, aree e volumi, invarianti sotto il gruppo delle isome-trie.

Nella costruzione delle teorie fisiche, non sono solo importanti le distanze e gli angoli, ma anchealtri oggetti matematici come aree e volumi. Non ci addentreremo nella discussione su comevengano definite queste nozioni a partire dalla struttura di spazio euclideo, ma ci limiteremo adesporre qualche semplice osservazione generale.Le nozioni di area e di volume di insiemi misurabili nel senso della misura di Peano-Jordan-Riemann possono essere costruite a partire dalle sole nozioni di distanza ed angolo usate perdefinire i rettangoli, i parallelepipedi e le loro misure di superficie e volume in E2 ed E3. Lanozione si generalizza a qualunque En. Risulta che, esattamente come la distanza, le misure divolume in ogni En ottenute con la procedura di Peano-Jordan-Riemann sono invarianti sottolazione delle isometrie di En. In altre parole se, per esempio, facciamo agire una trasformazione

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: En En del gruppo delle isometrie sullinsieme G En che ammette volume vol(G)allora (G) ammette volume e vale vol((G)) = vol(G). Lapproccio piu` sofisticato e potentebasato sulla teoria della misura di Lebesgue richiede qualche accorgimento tecnico in piu`, marisulta comunque che la nozione di spazio euclideo En individua naturalmente ed unicamenteuna nozione di misura (di Lebesgue) invariante sotto il gruppo delle isometrie di En che assegniil valore standard al volume degli n-rettangoli [a1, b1] [an, bn] di En.Lassegnazione di un prodotto scalare in V permette di definire, con una procedura del tuttoanaloga a quella che si segue in Rn, la nozione di lunghezza di una curva rettificabile, per curve : [a, b] En sufficientemente regolari. Discuteremo tale nozione nel prossimo capitolo nel cason = 3. Nello stesso modo, nel caso n = 3, lassegnazione del prodotto scalare di E3 permette didefinire, con una procedura del tutto analoga a quella che si segue in R3, la nozione di area diuna superficie rettificabile, per superfici P = P (u, v) R3 sufficientemente regolari, con (u, v)che variano in qualche insieme aperto di R2. Entrambe queste nozioni sono, ancora, invariantisotto il gruppo delle isometrie del corrispondente spazio euclideo.

1.1.5 Lo spazio fisico e lasse del tempo per un osservatore: regoli ed orologiideali.

Ritorniamo ora al caso dello spazio fisico tridimensionale, pensato come E3, e dellasse del tem-po, pensato come E1, esponendo ancora alcune importanti osservazioni di carattere fisico.Dal punto di vista fisico, la distanza, i prodotti scalari e gli angoli tra i segmenti ed i vettori inE3, viene misurata con lassegnazione di una classe di regoli rigidi ideali che si devono supporredisponibili in ogni punto dello spazio ad ogni tempo. Le traslazioni, individuate dai vettori v inE3, devono essere pensate come le traslazioni fisiche dei corpi materiali. Devono quindi esisterecorpi (almeno i regoli rigidi!) che siano metricamente invarianti per traslazioni fisiche come loe` la distanza d associata al prodotto scalare.Ci si puo` allora chiedere cosa intendiamo, dal punto di vista fisico, quando parliamo della classedei regoli rigidi ideali e della classe degli orologi ideali.Lidealita` dei regoli e` relativa alla seguente proprieta` che si assume valida per essi. Scelti dueregoli arbitrariamente, essi risultano coincidere se sono in quiete nello stesso posto in un arbi-trario riferimento e che questo fatto permane anche dopo che i regoli hanno subito diverse storie(incluse accelerazioni), una volta riportati in quiete relativa in un arbitrario riferimento (anchediverso dal primo). Lo stesso criterio si applica per la nozione di idealita` di orologi usati permisurare la distanza temporale sullasse del tempo: presi due orologi essi risultano battere iltempo nello stesso modo quando sono in quiete nello stesso posto in un riferimento e tale fattopermane anche dopo che gli orologi hanno subito diverse storie, una volta riportati in quieterelativa in un riferimento (anche diverso dal primo e anche se non risultano piu` essere sincroniz-zati se lo erano inizialmente). Queste nozioni di idealita` per regoli ed orologi sono valide anchein fisica relativistica.Si deve ancora osservare che non e` possibile usare lo stesso tipo di strumento di misura a tuttele scale: per esempio non possiamo misurare le distanze astronomiche, ma neppure le distanzeintermolecolari con un regolo rigido lungo un metro. Sono necessari diversi tipi di strumenti

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per le corrispondenti differenti scale. Il fatto che questi diversi tipi di strumenti di misura dellastesso tipo di grandezza fisica che lavorano per esempio su scale diverse, si comportino in ma-niera coerente, per esempio fornendo lo stesso risultato su scale intermedie dove possiamo usarestrumenti di classe diverse contemporaneamente, corrisponde allidea che esista una geometriaindipendente dagli strumenti di misura. Questo fatto, che dobbiamo considerare unevidenzasperimentale, non e` per nulla ovvio anche se lo riteniamo del tutto naturale dato che lo verifi-chiamo direttamente ed indirettamente nellesperienza di tutti i giorni.Una discussione del tutto analoga puo` essere svolta riguardo allasse del tempo ed agli orologiideali.Dal punto di vista fisico e` importante notare che da tempo si specula sulla eventuale naturanon continua dello spazio e del tempo stesso a scale molto piccole (scale di Planck 1033cme 1043s) in cui dovrebbe valere una qualche forma di Quantum Gravity. A tali scale la strut-tura classica dello spazio e del tempo qui discussa in questo capitolo, ma anche una strutturapiu` indebolita nella nozione di varieta` differenziabile (come nelle teorie relativistiche generali)cesserebbe di essere fisicamente appropriata.

1.1.6 Orientazione di spazi euclidei e prodotto vettoriale.

Lo spazio delle traslazioni V di uno spazio euclideo En, o piu` generalmente di uno spazio affineAn, e` per sua natura orientabile. Ricordiamo questa importante nozione. Se B denota la classedi tutte le basi di V , e A,B B, con A = {e(A)r }r=1,2,...,n e B = {e(B)r }r=1,2,...,n, denotiamo conM(A,B) la matrice n n di passaggio da una base allaltra, cioe` la matrice i cui coefficientiM(A,B)j i sono dati da

e(A)i =

nj=1

M(A,B)j ie(B)j .

Dato che M(A,B) e` non singolare, il determinante deve essere non nullo e, di fatto, puo` esseresia positivo che negativo. La relazione

A,B B , A B se e solo se detM(A,B) > 0

risulta essere una relazione di equivalenza con due sole classi di equivalenza. La classe B vienenaturalmente decomposta nellunione di tali due classi disgiunte. La scelta di una delle dueclassi, che viene detta classe delle basi ad orientazione positiva, e` unorientazione di V edello spazio euclideo (o affine) associato.

Osservazioni 1.3. Nel caso di uno spazio euclideo E3, nel quale ricade il nostro spazio fisico,le due classi di equivalenza di basi sono dette classe delle basi destrorse e classe delle basi si-nistrorse. La prima classe di equivalenza e` quella che include la terna individuata dalla nostramano destra, costituita, nellordine, da pollice, indice, medio. La seconda e` definita analoga-mente rispetto alla mano sinistra. Si e` soliti scegliere come terne con orientazione positiva leterne destrorse, e noi seguiamo questa convenzione.

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Nel caso di E3 orientato, lorientazione dello spazio euclideo individua anche unorientazionedelle rotazioni attorno ad un fissato asse di rotazione u. Una rotazione R SO(3) di un angolo (0, 2pi) attorno ad u e` detta positiva, se, fissato un vettore v 6= u,0, la terna v, Rv,ue` destrorsa. Nel caso di E3 orientato, il prodotto vettoriale tra due vettori u,v V cheindividuano un angolo [0, pi], e` , come ben noto, definito dal vettore u u V di modulo||u|| ||v|| sin, di direzione normale a u e v e di verso scelto in modo tale che u ,v ,u u siauna terna destrorsa (se nessuno dei vettori ha modulo nullo).Ricordiamo che lapplicazione : V V V e` lineare nellargomento di sinistra:

(au + bv) w = a(u w) + b(v w) per ogni a, b R e ogni u, v, w V ,

ed antisimmetrica:u v = v u per ogni u,v, V ,

di conseguenza e` anche lineare nellargomento di destra.La definizione che abbiamo dato sopra di prodotto vettoriale definizione e` equivalente alla regoladel determinante

u u = (u2v3 u3v2)e1 (u1v3 u3v1)e2 + (u1v2 u2v1)e3 ,

purche la base e1, e2, e3 di V sia ortonormale destrorsa, e u =3j=1 u

jej e v =3j=1 v

jej .Lasciamo le dimostrazioni di tutti questi fatti al lettore per esercizio. Esiste una definizione al-ternativa di prodotto vettoriale, basata sulla nozione di pseudovettore, che noi non adopereremo.

Esercizi 1.3.1. Sia En uno spazio euclideo e d la sua distanza. Fissato un punto O En, si identifichino

(biunivocamente) i vettori dello spazio V delle traslazioni di En con i punti di En tramite lacorrispondenza u 7 O + u. Provare che il prodotto scalare su V si puo` scrivere in termini did come:

u v = 12d (O,O + (u + v))2 +

1

2d (O,O + (u v))2 . (1.10)

2. Siano En1 e En2 , due spazi euclidei con la stessa dimensione n, con distanze d1 e d2 rispet-tivamente e prodotti scalari (|)1 e (|)2 rispettivamente. Sia : En1 Em2 una trasformazioneaffine. Provare che d conserva il prodotto scalare tra vettori (e quindi anche langolo travettori), ossia, per ogni fissato Q E31:

((P ) (Q)|(P ) (Q))2 = (P Q|P Q)1 , P, P E31 . (1.11)

se e solo se conserva le distanze, cioe`

d2((P ), (Q)) = d1(P,Q) , P,Q E31 . (1.12)

3. Siano En1 e En2 due spazi euclidei con la stessa dimensione e con distanze d1 e d2 rispet-tivamente. Mostrare che la trasformazione : En1 En2 e` un isometria se e solo se, per una

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scelta (e quindi ogni scelta) di coordinate cartesiane ortonormali in En1 e En2 , e` rappresentatanella forma (i = 1, . . . , n)

xi2 =nj=1

Rij xj1 + b

j . (1.13)

essendo la matrice di coefficienti Rij una matrice ortogonale n n reale.4. Dati due spazi affini An e Am, unapplicazione : An Am e` detta diffeomorfismo,

se e` (1) biettiva ed inoltre (2), quando si rappresentano e 1 in coordinate cartesiane inAn e Am e quindi si pensano come funzioni da Rn in Rm e Rm in Rn rispettivamente, talifunzioni risultano essere ovunque infinitamente differenziabili (cioe` di classe C). Considerandole isometrie tra due spazi euclidei, mostrare che:

(i) le isometrie tra due spazi euclidei con la stessa dimensione sono diffeomorfismi;(ii) le funzioni inverse di isometrie sono ancora isometrie;(iii) la composizione di due isometrie e` ancora unisometria;(iv) se : En1 En2 e` un isometria, allora d : V1 V2 e` un isomorfismo tra spazi vettoriali

che conserva il prodotto scalare.5. Mostrare che le isometrie : En En costituiscono un gruppo che e` sottogruppo dei

diffeomorfismi dallo spazio euclideo En in se stesso.6.* Dimostrare il teorema 1.1.

1.2 Introduzione alla nozione di varieta` differenziabile.

Premettiamo la seguente definizione tecnica che enunciamo qui una volta per tutte e che useremoin tutte le dispense.

Definizione 1.6. Siano n,m = 1, 2, . . . e k = 0, 1, . . . fissati e sia Rn un insieme apertoe non vuoto.(a) Una funzione f : Rm e` detta essere di classe Ck, e si scrive in tal caso f Ck(;Rn),se tutte le derivate parziali (incluse quelle miste) delle componenti di f esistono e sono continuefino allordine k incluso. Si pone Ck() := Ck(;R).(b) f : Rm e` detta di classe C se e` di classe Ck per ogni k = 0, 1, . . . e si definisce:

C(;Rn) :=

k=0,1,...

Ck(;Rn) .

Si pone C() := C(;R).

Solitamente quando non e` menzionata esplicitamente la classe di differenziabilita` k di una fun-zione oppure di una varieta` differenziabile nozione che stiamo per introdurre si sottointendeche k =. Noi seguiamo questa convenzione in tutte le dispense.

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Lo strumento matematico piu` generale e potente atto a descrivere le proprieta` generali dellospazio fisico tridimensionale, dello spaziotempo, e dello spazio astratto in cui descrivere i siste-mi fisici delle teorie classiche, e` la nozione di varieta` differenziabile. Si tratta, in essenza, diun insieme M di oggetti arbitrari (per esempio i punti su una superficie in R3, benche questoesempio sia estremamente limitativo), indicati con il nome generico di punti, che puo` essere ri-coperto localmente con sistemi di coordinate : U Rn dove il numero n non deve dipenderedalla porzione U di M considerata e lunione di tutti i domini U coincide con M . In questomodo le varie porzioni U di M ricoperte da un corrispondente sistema di coordinate possonoessere messe, separatamente, in corrispondenza biunivoca con corrispondente porzioni (U) diRn: le funzioni : U (U) Rn sono cioe` assunte essere biettive, come e` proprio nellideadi sistema di coordinate. Quando due sistemi di coordinate (U,) e (V, ) ricoprono por-zioni distinte che hanno un intersezione non vuota: U V 6= , su tale intersezione possiamousare indifferentemente oppure . Si richiede allora che, in tale situazione, i due sistemi dicoordinate soddisfino una semplice condizione di compatibilita`: le funzioni 1 e 1,rispettivamente definite su (U V ) Rn e (U V ) Rn devono essere differenziabili concontinuita` fino ad un certo ordine k che non dipende dalla scelta di U e V .In questo modo (con ulteriori precisazioni su ulteriori richieste che faremo di seguito), linsiemeM puo` essere trattato localmente come se fosse Rn, anche se non e` Rn. Conseguentemente,sullinsieme M possono essere definite per estensione alcune nozioni matematiche fondamentaliin fisica originariamente definite solo su Rn. In particolare puo` essere precisata la nozione difunzione o curva differenziabile definita in M . In questo modo puo` essere sviluppata la teoriadelle equazioni differenziali in M per descrivere le equazioni di evoluzione di sistemi fisici vinco-lati a vivere in M : si pensi al caso in cui M e` una superficie su cui evolve un punto materialevincolato ad essa, oppure il caso in cui M e` lo spaziotempo ed il sistema fisico che evolve in essodescritto in termini di equazioni differenziali e` un campo elettromagnetico.Per rendere operativa la definizione di varieta` differenziabile, data sopra discorsivamente, sononecessarie ancora alcune richieste topologiche. Perche abbia senso discutere della differenziabi-lita` delle funzioni 1 e 1 e` richiesto che tali funzioni siano definite su insiemi apertidi Rn. Per questo motivo si assume fin dal principio, che gli insiemi U domini dei vari sistemidi coordinate siano insiemi aperti di Rn. Dato che le funzioni sono biettive, i sottoinsiemiaperti di (U) Rn saranno trasformati tramite 1 in sottoinsiemi di U , si puo` provare chela classe di tutti i sottoinsiemi che si ottengono in questo modo su M , anche al variare di Ue , individua una topologia naturale di M richiedendo che le varie funzioni : U (U)risultino essere continue con inverse continue cioe`, in gergo, omeomorfismi locali pertantoe` naturale assumere che M sia uno spazio topologico fin dal principio e che le varie funzioni siano continue con inversa continua. Infine, sulla topologia di M si impongono due ulterioririchieste che diremo tra poco.Passiamo a dare la definizione di varieta` differenziabile in modo formale, seguita da qualchecommento ed esempio. Come preannunciato richiamiamo preventivamente due nozioni di topo-logia generale (altre nozioni di topologia elementare sono richiamate brevemente in appendice).

Uno spazio topologico M e` detto essere di Hausdorff se, per ogni scelta di p, q M esistono

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due insiemi aperti Up, Uq tali che Up 3 p, Uq 3 q e Up Uq = . Rn e tutti gli spazi affini Andotati della topologia indotta da Rn da qualunque sistema di coordinate cartesiane (la topologiaottenuta in questo modo non dipende dal sistema di coordinate cartesiane scelto) sono sicura-mente spazi di Hausdorff. In quel caso, i due insiemi Up e Uq possono sempre essere scelti comepalle (in coordinate) aperte, centrate su p e q rispettivamente, di raggi sufficientemente piccoli.

Uno spazio topologico si dice avere base numerabile se esiste una classe numerabile di insiemiaperti tale che ogni altro insieme aperto possa essere costruito come unione di alcuni elementidi della classe. Rn e tutti gli spazi affini An dotati della topologia precisata sopra sono a basenumerabile (la classe numerabile di aperti puo` sempre essere scelta, una volta fissato un sistemadi coordinate cartesiane, come la classe delle palle aperte di raggio razionale centrate in puntidi coordinate razionali).

Definizione 1.7. Una varieta` differenziabile di dimensione n e classe Ck, con n =1, 2, 3, e k = 1, 2, ..., fissati, e` un insieme M i cui elementi sono detti punti, dotato dialcune strutture geometriche con proprieta` che precisiamo di seguito.(1) Linsieme M deve essere dotato di una struttura differenziabile di classe Ck e dimen-sione n, A = {(Ui, i)}iI cioe`, una collezione di coppie (Ui, i), dette carte locali o sistemidi coordinate locali, in cui Ui e` sottoinsieme di M e i e` unapplicazione con dominio Ui avalori in Rn e vale:

(i) iIUi = M , ogni i e` iniettiva e i(Ui) aperto in Rn;(ii) le carte locali in A devono essere Ck-compatibili a due a due. Due applicazioni iniettive

: U Rn e : V Rn con U, V M sono dette Ck-compatibili (o piu` brevementek-compatibili) se vale U V 6= e le funzioni 1 : (U V ) (U V ) e 1 :(U V ) (U V ) sono entrambe di classe Ck, oppure se vale U V = ;

(iii) A e` massimale ossia soddisfa: se U M e` aperto e : U Rn e` compatibile con ognicarta di A, allora (U, ) A.(2) Dal punto di vista topologico, si richiede che:

(i) M sia uno spazio topologico di Hausdorff a base numerabile;(ii) lo spazio topologico M sia, tramite le carte di A, localmente omeomorfo a Rn. In altre

parole, se (U, ) A, allora U e` aperto e : U (U) e` un omeomorfismo, cioe` una funzionecontinua con inversa continua.

In base alla definizione data, ogni carta locale (U, ) su una varieta` differenziabile M permettedi assegnare biunivocamente una n-pla di numeri reali (x1p, , xnp ) = (p) ad ogni punto p diU . Gli elementi della n-pla sono le coordinate di p nella carta (U, ). I punti in U sono quindiin corrispondenza biunivoca con le n-ple di (U) Rn. Una carta locale con dominio dato datutto M e` detta carta globale o sistema di coordinate globale.Eccetto varieta` molto particolari, nel caso generale non e` possibile individuare una carta chericopra completamente una generica varieta`. Possiamo dire, in termini generali, che lesserericopribile con piu` carte locali e` la proprieta` che meglio caratterizza la nozione di varieta` o,almeno, e` la ragione fondamentale per la quale e` stata inventata questa nozione matematica: il

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poter trattare oggetti che sono localmente, ma non globalmente, identificabili con porzioni diRn e tale identificazione puo` essere assegnata in vari modi distinti tutti ugualmente leciti.Una collezione di carte locali A su M (spazio topologico di Hausdorff a base numerabile) chesoddisfi (i) e (ii) in (1) ma non necessariamente (iii), e che soddisfi (ii) in (2), e` detto atlantesu M di dimensione n e classe Ck. Si dimostra facilmente che per ogni atlante A su M esisteun unico atlante massimale che lo include. Si osservi che due atlanti su M tali che ogni carta diuno sia compatibile con ogni carta dellaltro, inducono la stessa struttura differenziabile su M .Quindi per assegnare una struttura differenziabile e` sufficiente assegnare un atlante non mas-simale, uno dei possibili che la individua. Lunica struttura differenziabile associata nel mododetto ad un fissato atlante si dice essere indotta dallatlante.

Esempi 1.1.1. Lesempio piu` semplice ed in un certo senso piu` ovvio e inutile di varieta` differenziabile,di classe C e dimensione n, e` ogni sottoinsieme non vuoto e aperto di Rn (includendo Rnstesso) con una struttura differenziabile standard individuata dalla funzione identita` (che dasola definisce un atlante). Similmente, ogni spazio affine An ammette una struttura naturaledi varieta` differenziabile (di classe C) dalla classe di sistemi di coordinate globali naturali, tradi loro compatibili dei sistemi di coordinate cartesiane come definiti nella definizione 1.2. Talestruttura naturale di varieta` differenziabile e` esplicitamente discussa in appendice nella sezioneA.3.1.2. Si consideri sfera unitaria S2 (dotata della topologia ereditata da R3) in R3, centratanellorigine e quindi di equazione, in coordinate canoniche x1, x2, x3 di R3:

S2 :={

(x1, x2, x3) R3 (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 1} .

S2 acquista una struttura di varieta` differenziabile, di dimensione 2 e classe C, da quella diR3, definendo un atlante su S2 costituito da 6 carte locali (S2(i),

(i) ) (i = 1, 2, 3) ottenute come

segue. Considerato lasse xi (i = 1, 2, 3) e la coppia di emisferi aperti S2(i) con asse sud-nord

dato dallasse xi, si considerano le carte locali (i) : S2(i) R2 che associano ad ogni p S2(i) le

coordinate di esso sul piano a xi = 0. Si puo` provare (vedi sotto) che e` impossibile dotare S2 diuna carta globale a differenza di R3 (o di ogni suo sottoinsieme aperto). Questo fatto dimostrache la classe delle varieta` differenziabili non si riduce ai soli sottoinsiemi non vuoti aperti degliRn ed e` pertanto interessante. Unesempio analogo e` quello di una circonferenza in R2.3. Consideriamo R3 e la relazione di equivalenza (x, y, z) (x, y, z) se e solo se (x, y, z) =(x + k, y + h, z + l) con k, h, l Z. Linsieme, T3, che si ottiene corrisponde intuitivamentead un cubo di lato 1 in cui sono state identificate le facce opposte. Questo insieme puo` esseredotato, in modo naturale, di una struttura di varieta` differenziabile (di classe C) di dimensione3 e non esiste nessuna carta globale per tale varieta` differenziabile. Per ogni punto p (0, 1)3,una carta locale su T3 che include il punto nel sui dominio e` lapplicazione che associa al puntole solite coordinate (x, y, z) di R3. Per un punto q che si trova su una faccia del cubo [0, 1]3,diciamo per fissare le idee, che q si trova sulla faccia del cubo con x = 0 (che e` equivalente a dire

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x = 1), una carta locale su T3 che include q nel dominio e` data dalla solita funzione che associaal punto le sue coordinate su R3 ristretta al dominio 1/2 < x < 1/2, y, z (0, 1). Si deveinfatti tenere conto che i valori in (1/2, 0) per la coordinata x individuano comunque punti inT3 a causa dellidentificazione x+ k x con k Z.

Osservazioni 1.4.(1) Ci si puo` chiedere a cosa servono le richieste in (2)(i) sulla topologia di una varieta` diffe-renziabile M , di essere spazio di Hausdorff a base numerabile. Entrambe le richieste sono dicarattere tecnico e, come si puo` provare con opportuni controesempi, sono indipendenti dallerimanenti richieste della definizione. La proprieta` di Hausdorff assicura per esempio lunicita`di limiti e conseguentemente lunicita` di soluzioni di equazioni differenziali, per esempio descri-venti levoluzione di sistemi fisici, formulata su varieta` differenziabili (e questo sara` largomentotecnico generale del resto di queste dispense). La richiesta di base numerabile invece e` menoutile a livello elementare, ma serve per poter estendere, per esempio, il calcolo integrale di vo-lumi e superfici alle varieta` differenziabili (assicurando, insieme alle altre ipotesi, la cosiddettaproprieta` di paracompattezza).(2) Se (U, ) e (V, ) sono carte locali sulla varieta` differenziabile M di classe Ck, nellipo-tesi U V 6= , la k-compatibilita` di carte locali (U, ) e (V, ) implica che la matrice jaco-biana di 1, essendo invertibile, abbia determinante ovunque non nullo. Viceversa, se 1 : (U V ) (U V ) e` biettiva, di classe Ck, con determinante della matrice jaco-biana non nullo su (U V ), allora 1 : (U V ) (U V ) e` anchessa Ck e quindile due carte locali sono k-compatibili. La prova di cio` (esercizio A.1.5 ) si basa sul noto [GiustiII]:

Teorema 1.2. (Teorema della funzione inversa )Sia f : D Rn, con D Rn aperto non vuoto, una funzione di classe Ck, con k = 1, 2, . . . ,fissato. Se la matrice jacobiana di f , valutata in p D, ha determinante non nullo allora esi-stono un intorno aperto U D di p ed un intorno aperto V di f(p) tali che: (i) f U : U Vsia biettiva (ii) la sua inversa f 1U : V U sia di classe Ck.

(3) Si puo` provare che se 1 k

standard in Rn di funzione differenziabile, usando la struttura di carte locali che ricoprono ognivarieta` differenziabile.Se M e` una varieta` differenziabile di dimensione n e di classe Ck, diremo che f : M Re` differenziabile con continuita` fino allordine ordine p k, oppure piu` brevemente, che f e` diclasse Cp, se le funzioni f 1 sono di classe Cp come funzioni da Rn in R per ogni cartalocale (U, ) su M .Nel caso generale in cui il codominio di f sia una seconda varieta`N , f : M N e` differenziabilecon continuita` fino allordine ordine p k, oppure piu` brevemente, che f e` di classe Cp, se lefunzioni f 1 sono di classe Cp come funzioni da Rn in Rm per ogni carta locale (U, ) suM ed ogni carta locale (V, ) su N per cui la composizione f 1 ha senso.In particolare, in questo modo acquista senso la nozione di curva differenziabile: : I N ,dove I = (a, b) R e` pensato come varieta` differenziabile rispetto alla struttura naturale divarieta` differenziabile che ammette.Se f : M N e` una funzione differenziabile (di classe Ck) e sono assegnate carte locali(U, ), (V, ), rispettivamente in N e M , la funzione f 1 e` detta rappresentazionein coordinate di f .Per concludere precisiamo che un diffeomorfismo (di ordine k) f : M N tra due varieta` dif-ferenziabili e` una funzione iniettiva e suriettiva differenziabile (fino allordine k) la cui inversa e`differenziabile (fino allordine k). Nel caso esista un diffeomorfismo (di ordine k) tra due varieta`esse sono dette diffeomorfe (allordine k, rispetto a quel diffeomorfismo).

Osservazioni 1.5.Si dimostra facilmente che, affinche f : M N sia Cp, e` sufficiente che f 1 siano funzioniCk al variare delle carte locali (U, ), (V, ) in due atlanti, rispettivamente su M ed N , senzadover controllare la validita` di tale condizione per tutte le possibile carte locali delle due varieta` .

Esempi 1.2.(1) Rn e la palla aperta di raggio 1 centrata nellorigine Bn Rn sono varieta` differenziabilidiffeomorfe. In questo caso la struttura differenziabile di Rn e di Bn sono quelle naturali riferitealle coordinate cartesiane standard di Rn (ristrette a Bn per quanto riguarda la varieta` Bn) che,da sole, costituiscono rispettivi atlanti C. Un diffeomorfismo che identifica Bn a Rn e`, peresempio, la funzione biettiva C con inversa C:

f : Bn 3 x 7 x1 ||x||2 R

n .

Ulteriori nozioni di geometria differenziale che saranno talvolta usate nel seguito si trovanonellAppendice.

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Capitolo 2

Lo Spaziotempo della Fisica Classicae la Cinematica Classica.

In questo capitolo introduciamo la struttura dello spaziotempo della fisica classica, la nozionedi sistema di riferimento e la cinematica assoluta e relativa elementare.

2.1 Lo spaziotempo della fisica classica: Tempo e Spazio assolutie linee di universo.

Abbiamo visto nel capitolo precedente che lo spazio ed il tempo della fisica classica possonoessere modellizzati come spazi euclidei, quindi dotati di proprieta` metriche che rappresentano,in termini matematici, gli strumenti di misura. Nella descrizione data nel capitolo precedentemanca pero` un ingrediente fenomenologico essenziale: lesperienza fisica ci insegna che corpi chesono in quiete per un osservatore, non lo sono per altri. In generale possiamo affermare cheesistono differenti nozioni di quiete a seconda dellosservatore dove per osservatore inten-diamo qui e nel seguito un sistema di strumenti di misura senza la necessita` di alcuna attivita`cosciente. Ogni osservatore ha il proprio privato spazio di quiete. Daltra parte un esiste unsecondo dato sperimentale della massima importanza: malgrado un corpo possa essere in quieterispetto ad un osservatore e non esserlo rispetto ad un altro, le dimensioni fisiche di (lunghezze,aree, volumi, angoli) di un fissato corpo fisico risultano essere le stesse per tutti gli osservatori.Similmente, magrado due fissati eventi appaiano accadere in posti e tempi differenti a secondadellosservatore, la durata dellintervallo temporale tra i due eventi risulta essere la stessa pertutti gli osservatori. In questo senso, le strutture metriche, spaziali e temporali sono assolute:non dipendono dagli osservatori1.Nel seguito presenteremo una sistemazione teorica a questo stato di cose fenomenologico chedeve contemplare, nello stesso schema, la possibilita` di avere diverse nozioni di spazio di quiete

1Come ben noto questo stato di cose e` solo un approssimazione e cessa di valere in modo evidente quando levelocita` in gioco sono paragonabili con la velocita` della luce che e` di circa 300.000 km/s; in tal caso e` necessariauna descrizione relativistica che e` fuori dalla portata di queste dispense.

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insieme allassolutezza delle delle nozioni metriche. Lo strumento concettuale di cui faremo usoe` quello di spaziotempo, che andiamo immediatamente ad introdurre.

Un postulato fisico fondamentale, comune alle teorie fisiche classiche e relativistiche, e` quelloche afferma che tutto cio` che accade sia decomponibile in eventi. Un evento, dal punto di vistafisico corrisponde alla minima determinazione spaziotemporale possibile, individuabile dallas-segnazione di tre coordinate spaziali ed una temporale. Tali assegnazioni sono relative ai diversiosservatori, intesi qui come puri sistemi di riferimento (non e` richiesta alcuna attivita` cosciente!).Linsieme degli eventi costituisce lo spaziotempo. Deve essere chiaro da subito che ogni eventoe lo spazio tempo stesso hanno comunque una natura indipendente e pre-esistente alle loro rap-presentazioni, in termini di coordinate spaziotemporali, date nei singoli sistemi di riferimento.In questo framework, tutto cio` che accade deve ammettere una descrizione in termini di relazionio coincidenze tra eventi.Si assume ulteriormente che lo spaziotempo abbia una natura topologica tecnicamente la natu-ra di spazio topologico di Hausdorff a base numerabile ed una soprastante natura differenziabile tecnicamente cio` corrisponde alla presenza di una struttura di varieta` differenziabile quadridi-mensionale, sostanzialmente una classe di sistemi di coordinate nellintorno di ogni evento cheidentificano tale intorno con un corrispondente intorno di R4 . La struttura topologica permet-te in particolare (ma non solo) di dare senso alle nozioni di vicinanza o prossimita` spaziale etemporale, la struttura differenziabile permette di dare senso alla nozione di curva e funzionedifferenziabile (rispetto alle coordinate) definite nello spaziotempo. Come vedremo tra poco, sipossono in tal modo introdurre le nozioni di velocita` ed accelerazione, per descrivere levoluzionedi punti materiali. La struttura differenziabile dello spaziotempo permette, molto piu` in gene-rale, di descrivere in termini di equazioni differenziali le equazioni che determinano levoluzionespaziotemporale di sistemi fisici classici (e relativistici), siano essi discreti (sistemi di punti) ocontinui (fluidi o campi). Lesistenza e lunicita` delle soluzioni di tali equazioni (in presenza dicondizioni iniziali e/o al contorno) corrisponde al postulato fisico classico del determinismo. Iteoremi di esistenza ed unicita` sono strettamente connessi alla struttura topologica (non solodifferenziabile) dello spaziotempo.Considerando esplicitamente il caso dello spaziotempo classico, lo spaziotempo include due strut-ture ulteriori: il tempo assoluto e lo spazio assoluto. Il termine assoluto si riferisce allindipen-denza dai possibili sistemi di riferimento delle misure di angoli, distanze ed intervalli temporali.

Definizione 2.1. (Lo spaziotempo della fisica classica.) Lo spaziotempo della fisicaclassica e` una varieta` differenziabile quadridimensionale (di classe C) indicata con V4. I puntidi V4 sono detti eventi.V4 e` dotato di una funzione privilegiata definita a meno di una arbitraria costante additiva,T : V4 R, detta tempo assoluto che si richiede essere differenziabile, suriettiva e ovunquenonsingolare (definizione A.5). Si suppone inoltre che:

(i) ciascuno dei sottoinsiemi a due a due disgiunti: t :={p V4 | T (p) = t}, detta spazio

assoluto al tempo t R, abbia una struttura di spazio euclideo tridimensionale (con spaziodelle traslazioni Vt e prodotto scalare (|)t).

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(ii) Le strutture geometriche sulle t devono essere compatibili con la struttura differenzia-bile di V4. In particolare, se dt : t t R, detta (funzione) distanza assoluta al tempot, e` la distanza su t associata alla struttura di spazio euclideo, la funzione R t t 3(t, P,Q) 7 dt(P,Q) deve essere ovunque continua, ed anche differenziabile per P 6= Q.

Dal punto di vista fisico e` importante ricordare che attualmente si specula sulla eventuale na-tura non continua dello spaziotempo stesso a scale molto piccole (scale di Planck 1033cm e1043s) in cui dovrebbe valere una qualche forma di Quantum Gravity. A tali scale la strutturatopologico-differenziabile classica descritta nella definizione 2.1 cesserebbe di essere fisicamenteappropriata.Tornando alla descrizione classica basata sulla definizione 2.1 possiamo dire che, dal punto divista fisico-operativo, un punto materiale e` un sistema fisico la cui posizione e` determinata,istante per istante, assegnando solo tre coordinate spaziali. Il fatto che un sistema fisico sia o noassimilabile ad un punto materiale, trascurandone leventuale struttura interna, puo` dipenderedalla precisione dei nostri strumenti di misura e dal grado di approssimazione scelto. Levoluzio-ne temporale di un punto materiale nello spaziotempo costituisce un oggetto elementare dettostoria o linea di universo (di un punto materiale). Formalmente possiamo dare la seguente de-finizione.

Definizione 2.2. (Linea di universo o storia.) Una storia o linea di universo (di unpunto materiale) e` una curva differenziabile

I 3 t 7 (t) V4 ,

dove I e` un intervallo aperto di R che puo` essere identificato con un intervallo di tempo assoluto,nel senso che vale, per qualche costante c R, in generale dipendente da ,

T ((t)) = t+ c , t I. (2.1)

Osservazioni 2.1.(1) Si devono notare alcuni fatti su T . In primo luogo T e` definita a meno di una costanteadditiva, cio corrisponde al fatto fisico evidente di poter fissare lorigine convenzionale del tempoa nostro piacimento. La costante c che appare nella definizione 2.2 esprime la possibilita` dicambiare tale origine. Il fatto che non siano ammesse dilatazioni di T significa che e` stato fattauna scelta universale dellunita` di misura del tempo. Dal punto di vista fisico lesistenza di untempo assoluto equivale a dire che e` stata assunta lesistenza di orologi ideali, disponibili in ognipunto dello spaziotempo, che misurino tale tempo.(2)* Le t sono sottovarieta` embedded di dimensione 41 = 3 per il teorema dei valori regolari,teorema A.2 nellappendice, essendo T ovunque non singolare. Riguardo alla struttura di spazioeuclideo delle t, laffermazione compatibile con la struttura globale di V4 significa che lastruttura differenziabile associata alla struttura di spazio affine e` quella dovuta al fatto che t

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e` sottovarieta` embedded coincidono.(3) Per costruzione valgono i fatti seguenti riguardati gli spazi assoluti.

(a) La suriettivita` di T assicura che t 6= per ogni t R.(b) Per definizione, se t 6= t, gli spazi assoluti associati sono disgiunti:

t t = .(c) Dato che T e` definito su tutto lo spaziotempo, per ogni p V4 esiste t R con t 3 p.

PertantoV4 = tRt .

In definitiva lo spaziotempo e` fogliato dagli spazi assoluti e coincide con lunione di essi.(4) Ogni spazio assoluto t e` dunque uno spazio euclideo tridimensionale reale. Dal punto divista fisico, la distanza dt, e quindi i prodotti scalari e gli angoli tra i segmenti in t, vienemisurata con lassegnazione di una classe di regoli rigidi ideali che si devono supporre disponibiliin ogni punto dello spaziotempo. Le traslazioni indotte dai vettori v in t devono essere pensatecome le traslazioni fisiche dei corpi materiali.(5) Abbiamo definito le nozioni di distanza ed intervallo temporale indipendentemente dallanozione di sistema di riferimento che dobbiamo ancora introdurre. Proprio per tale fatto lanozione di distanza e di lunghezza di un intervallo temporale sono assoluti.(6) Nella definizione di linea di universo, il requisito T ((t)) = t+c per ogni t I assicura che iltempo assoluto possa essere usato come parametro per descrivere la linea di universo, ma ancheche una linea di universo non possa intersecare piu` di una volta lo stesso spazio assoluto t perogni fissato valore di t2 (e non possa in particolare autointersecarsi). Come conseguenza delvincolo posto, risulta che il punto materiale, di cui la linea di universo rappresenta la storia, nonpuo` tornare indietro nel tempo (non puo` tornare a t una volta che lha lasciata nel passato).Questo e` un requisito fisico che evita i paradossi causali della fantascienza.(7) Possiamo pensare di dotare due punti materiali di orologi ideali. Tali orologi, a meno dellascelta dellorigine del tempo, indicheranno le etichette t delle varie ipersuperfici t attraversatedalle linee di universo dei due punti. Se i due punti si incontrano nellevento p t e in taleevento si decide di sincronizzare gli orologi a vista in modo che segnino, in quellevento, entram-bi t, ad ogni successivo incontro dei due orologi, essi segneranno ancora lo stesso tempo t > t(indipendentemente dal loro stato di moto relativo al loro incontro). Inoltre, se sincronizziamodue orologi a distanza tramite un terzo orologio che funge da spola tra i due, la sincronizzazionerimarra` in futuro e tutte le procedure di sincronizzazione risultano essere equivalenti. Tutto que-sto perche gli orologi ideali, si limitano a leggere il tempo assoluto postulato esistere. Sappiamodalla fisica che in realta` questo stato di cose e` solo approssimato e cessa di essere verificato quan-do le velocita` relative in gioco (per es. quella relativa tra due orologi istantaneamente vicini)sono prossime a quella della luce. Questo significa che lassioma che postula il tempo assoluto havalidita` fisica limitata e deve essere sostituito da qualcosaltro per avere unimmagine piu` fedeledel mondo fisico. Similmente, se associamo dei regoli rigidi ai punti materiali, ogni qual volta tali

2Se (t1), (t2) t con t1 < t2, allora t1 + c = T ((t1)) = t = T ((t2)) = t2 + c, per cui t1 = t2 che e`impossibile.

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regoli sono messi a confronto nello stesso evento p (anche con velocita` relativa diversa) devonocoincidere, perche si limitano a leggere la geometria assoluta dello spazio assoluto t 3 p. Anchein questo caso, la realta` fisica e` ben diversa quando le velocita` in gioco (quella relativa dei dueregoli a confronto) sono vicine a quella della luce e cio` significa che postulare lo spazio, e lageometria assoluti non ritrae fedelmente la realta` fisica.

2.2 Sistemi di riferimento.

Quello che vogliamo fare ora e` introdurre gli strumenti necessari per poter assegnare, ad ognilinea di universo, una velocita` ed una accelerazione. Per fare cio` dobbiamo introdurre la nozio-ne di sistema di riferimento che sostituiremo a quella, usata fino ad ora in modo intuitivo, diosservatore.Tradizionalmente questa parte della meccanica cade sotto il nome di cinematica, che e` la partedella meccanica che si occupa della pura descrizione dei moti.Un sistema di riferimento e` un modo per rappresentare, in un fissato spazio di quiete, cio` cheaccade nello spaziotempo, allo scorrere del tempo assoluto. Un sistema di riferimento e` pensa-bile come una identificazione di V4 con il prodotto cartesiano RE3, dove R e` lasse del tempoassoluto e E3 e` lo spazio di quiete del riferimento, che e` dotato della struttura di spazio euclideo,isomorfa a ciascuna analoga struttura su ogni t.

Definizione 2.3. (Sistemi di riferimento.) Un sistema di riferimento o brevemente unriferimento (della fisica classica), I e` una coppia (I , EI ), in cui EI e` uno spazio euclideotridimensionale (con spazio delle traslazioni, prodotto scalare e distanza che indichiamo rispet-tivamente con VI , (|)I e dI ) e I : V4 EI e` unapplicazione differenziabile suriettivatale che, per ogni istante del tempo assoluto t R, I t : t EI sia unisometria di spazieuclidei (e quindi, in particolare, anche un isomorfismo di spazi affini che preserva i prodottiscalari). EI e` detto spazio di quiete di I e i suoi elementi sono detti punti in quiete conI .

La definizione data ha come conseguenza la seguente proposizione che giocera` un ruolo impor-tante nel seguito.

Proposizione 2.1. Se (I , EI ) e` un riferimento, lapplicazione

V4 3 e 7 (T (e),I (e)) R EIe` iniettiva e suriettiva e pertanto identifica lo spaziontempo con la decomposizione in spazio etempo data dal prodotto cartesiano R EI oppure, tenendo conto della costante additiva arbi-traria nella definizione di T , identifica lo spaziotempo con E1EI , dove E1 e` lasse del tempo.Ogni curva R 3 t 7 (t, P ) R EI , per ogni fissato P EI , risulta essere una linea di uni-verso nel senso della definizione 2.2 quando pensata in V4 attraverso lidentificazione di REIcon V4 vista sopra. Tale linea di universo, P , e` detta linea di universo del punto P in

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quiete con I . 2

Dimostrazione. Consideriamo lapplicazione V4 3 e 7 (T (e),I (e)) R EI . Questaapplicazione e` iniettiva. Ci sono infatti due possibilita` se e 6= e: (1) i due eventi appartengonoa spazi assoluti diversi, ed in tal caso T (e) 6= T (e), oppure (2) e ed e appartengono allo stessospazio assoluto t ed in tal caso individuano punti differenti di t, e quindi I (e) 6= I (e)dato che I t : t EI e` biettiva (essendo isomorfismo di spazi affini). In en