Meccanica: appunti, formule e teoria

7/27/2019 Meccanica: appunti, formule e teoria

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Appunti, formule e teoria


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Capitolo 1

Cinematica

del punto

Concetti fondamentali:

- punto materiale

- spazio

- tempo

- velocit

- accelerazione


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Il moto rettilineo uniforme il moto pi facile che si possa immaginare: un corpo si muove di velocit costante nel tempo spostandosi nello

spazio, senza tener conto di eventuali attriti o forze agenti.

Moto rettilineo uniforme

2

-3 m

-1.5 m

0 m

1.5 m

3 m

4.5 m

6 m

3.75 s 7.5 s 11.25 s 15 s

Relazione lineare tra spazio e tempo

Relazione lineare fino al tempo 1 e frenata

Fermo fino a 3 secondi, accelerazione fino a 7 secondi, frenata

Un po di formule

Velocit media:

vm =ds

dt

Velocit istantanea:

v =ds

dt

Spostamento complessivo:

x (t) = x0 +

t

t0

v (t) dt

Legge oraria del moto:

x (t) = x0 + vt

t0

dt = x0 + v (t t0)

Relazione tra velocit media e istantanea:

vm =1

t t0t

t0

v (t) dt


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Un po di formule

Accelerazione media:

Accelerazione istantanea:

Relazioni tra accelerazione e velocit:

Moto rettilineo uniformemente accelerato

3

Moto uniformemente accelerato:

v (t) = v0 + t

t0

a (t) dt = v0 + a (t t0)

Legge oraria:

Se laccelerazione durante un moto rettilineo costante si parla di moto

uniformemente accelerato.


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Un po di formule

Accelerazione:

Velocit:

nulla per

Legge oraria:

Moto rettilineo smorzato esponenzialmente

4

In un tempo la funzione si

riduce di un fattore e.

= costante di tempo

0 m/s

7.5 m/s

15 m/s

22.5 m/s

30 m/s

3.75 s 7.5 s 11.25 s 15 s

Velocit in funzione del tempo

Velocit in funzione dello spazioSpazio in funzione del tempo


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Un po di formule:

Caduta da unaltezza h con velocit iniziale nulla

Lancio verso il basso

Lancio verso lalto partendo dal suolo

Moto verticale di un corpo o di caduta libera

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Se si trascura lattrito con laria, un corpo lasciato libero di cadere in vicinanza della superficie terrestre si muove verso il basso con

unaccelerazione costante che vale in modulo g.


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Un po di formule

Legge oraria:

Periodo e frequenza:

Velocit del punto:

Accelerazione del punto:

Condizione moto armonico:

Moto armonico semplice

6

Dati da ricavare:

Velocit massima:

Accelerazione

massima:

Ogni sistema fisico perturbato dalla sua posizione di equilibrio risponde con moto

armonico.

un moto vario che avviene lungo un asse rettilineo.


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Un po di formule

Velocit angolare:

Legge oraria:

Periodo:

Moto circolare uniforme

7

Si chiama moto circolare un moto piano la cui traiettoria

rappresentata da una circonferenza. Laccelerazione

centripeta sempre diversa da zero. Il moto circolare

uniforme un moto accelerato con accelerazione costante,

ortogonale alla traiettoria.

Accelerazione centripeta:

Proiezione sugli assi:


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Un po di formule

Accelerazione tangenziale:

Accelerazione angolare:

Legge oraria:

Moto circolare non uniforme

8

Se un moto circolareuniformemente accelerato:


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Un po di formule

la II Legge di Newton neifluidi non newtoniani

Legge oraria:

Traiettoria:

Angolo di gittata massima:

Moto parabolico in fluidi non newtoniani

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Capitolo 2

Dinamica del

punto


- forza

- massa

- accelerazione

- leggi di Newton

- quantit di moto

- impulso

- attrito

- lavoro

- potenza

- energia cinetica

- energia potenziale

- forza conservativa

- forza non conservativa

- momento


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Principio dinerzia

Un corpo non soggetto a forze non subisce cambiamenti divelocit, ovvero resta in uno stato di quiete se era in queste (v=0)

oppure si muove di moto rettilineo uniforme (vcostante non

nulla).

Se presente unaccelerazione si segnala sicuramente la

presenza anche di una forza agente.

Seconda legge di Newton

Linterazione dl punto con lambiente circostante, espressa

tramite la forza F, determina laccelerazione del punto ovvero la

variazione della sua velocit nel tempo; m rappresenta la massa

inerzialedel punto.

una legge vettoriale.

Terza legge di Newton (azione e reazione)

Se un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B

reagisce esercitando una forza sul corpo A. Le due forze

hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto,

esse cio sono uguali e contrarie. Hanno la stessa retta dazione.

Principio di inerzia e leggi di Newton

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Quantit di moto

Se la massa costante:

che in realt la forma pi generale della legge di Newton,

utilizzabile anche se la massa non costante.

In assenza di forza applicata la quantit di moto si conserva.

Teorema dellimpulso

Limpulso di una forza applicata ad un punto materiale provoca la

variazione della sua quantit di moto.

la forma integrale della seconda legge di Newton.

Se la massa costante:

Relazione tra forza e variazione di velocit:

Forza media:

Quantit di moto e impulso

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In presenza di pi forze ciascuna agisce indipendentemente dallealtre, comunicando sempre al punto laccelerazione data dalla

seconda legge di Newton; si parla infatti di indipendenza delle

azioni simultanee.

Condizioni di equilibrio statico

Se la risultante delle forze nulla (R=0) e il punto ha inizialmente

velocit nulla, esso rimane in quiete.

Condizioni di equilibrio dinamico

In presenza di forze il moto avviene con velocit costante in

modulo.

moto rettilineo: avviene se la risultante delle forze nulla;

moto curvilineo: avviene se la componente tangenziale nulla.

moto circolare uniforme: avviene se la componente normale costante.

Reazioni vincolari

Se un corpo soggetto allazione di una forza o della risultante non

nulla di uninsieme di forze, rimane in quiete, lazione della forza

provoca una reazione dellambiente circostante chiamata

reazione vincolare che si esprime tramite una forza, uguale econtraria alla forza o alla risultante delle forze agente, applicata al

corpo stesso in modo che esso rimanga in quiete.

Non determinabile a priori.

Equilibrio e reazioni vincolari

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Moto rettilineo uniforme:

Moto rettilineo uniformemente accelerato:

Moto vario:

Laccelerazione si presenta sotto forma di (accelerazione

tangenziale) e (accelerazione normale):

La risultante delle forze deve avere una componente ortogonale

alla traiettoria (forza centripeta), per provocare la variazione

di direzione della velocit.

La componente tangenziale determina invece la variazione

del modulo della velocit.

Azione dimanica delle forze

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Lavoro

Si definisce il lavoro della forzaFcompiuto durante lo

spostamento del punto dalla posizione A alla posizione B la

quantit scalare:

Il lavoro lintegrale di linea della forza.

Il lavoro pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti,

ciascuno dei quali pu essere positivo, negativo o nullo.

Si possono presentare tre casi:

F forma con ds un angolo inferiore a 90: accelerazione

tangente concorde con la velocit e la fa aumentare: lavoro

motore;

F forma con ds un angolo maggiore a 90: il punto viene

frenato e perci il lavoro negativo: lavoro resistente;

F forma con ds un angolo di 90: la forza ha azione centripeta

e non fa variare il modulo della velocit: il lavoro nullo.

Lavoro, potenza e energia cinetica

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Potenza

La potenza corrisponde al lavoro per unit di tempo secondo la

relazione:

La potenza media il rapporto tra lavoro totale e tempo impiegato

per compierlo.

Energia cinetica

Trovato il legame esplicito tra il lavoro infinitesimo e la variazione

infinitesima del modulo della velocit ( ), si nota che illavoro pu essere espresso come (teorema dellenergia cinetica):

perciil lavoro uguale alla variazione della quantit

chiamata energia cinetica.

Si possono distinguere tre casi:

W0: energia cinetica iniziale maggiore di quella finale (come

nelle forze dattrito;

W=0: energia cinetica costante (come nel moto circolare

uniforme)

W il lavoro totale: se nota la variazione della forza lungo la

traiettoria, si pu conoscere il lavoro e quindi il modulo della velocit;

e viceversa.

La nozione di lavoro e di energia, sono legate a quella di

spostamento: senza spostamento non c lavoro.

Relazione tra energia cinetica e quantit di moto

perci:

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Non esiste una formula generale per lenergia potenziale, ma lespressione esplicita dipende dalla particola forza conservativa cui essa siriferisce.

Ogni modo, una definizione generale pu essere:

Questultima non ha carattere generale come definizione di lavoro, vale solo se le forze sono conservative.

Quando lenergia potenziale diminuisce, il lavoro compiuto positivo e pu essere utilizzato.

Quando lenergia potenziale aumenta, il lavoro compiuto negativo e ci vuol dire che bisogna fornire lavoro dallesterno.

Da una forza conservativa non si pu ricavare lavoro se il processo ciclico.

Relazione tra energia potenziale e forza

La forza lopposto del gradiente dellenergia potenziale, ed diretta secondo il verso di massima diminuzione di .

La forza associata allenergia potenziale normale, in ogni punto, allasuperficie equipotenziale passante per quel punto e indica, con il

suo verso, quello di diminuzione di .

Energia potenziale

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La somma dellenergia cinetica e dellenergia potenziale (chiamata energia meccanica) di un punto materiale che si muove sotto lazione di

forze conservative resta costante durante il moto, ossia si conserva.

In presenza di forze non conservative lenergia meccanica non resta costante e la sua variazione uguale al lavoro delle forze non

conservative presenti.

Conservazione dellenergia meccanica

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Momento angolare:momento del vettore quantit di moto

cambiando polo:

Il momento angolare si conserva se il momento della forza

nullo.

Nel moto curvilineo:

in quanto i vettori r e v sono paralleli e il loro prodotto vettoriale

nullo.

Momento della forza:

cambiando polo:

Teorema del momento angolare

La derivata temporale del momento angolare uguale al

momento della forza se entrambi i momenti sono riferiti allo

stesso polo fisso in un sistema di riferimento inerziale.

Il momento della forza pu essere nullo sia perch la forza nulla

sia quando r e F sono paralleli. Il momento angolare di un punto

materiale si conserva se il momento delle forze nullo.

Teorema del momento dellimpulso

La variazione di momento angolare uguale al momentodellimpulso applicato al punto.

Momento

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Definizione

In uno stesso luogo tutti i corpi assumono, se lasciati liberi, la

stessa accelerazione, dettaaccelerazione di gravit, direttaverticalmente verso il suolo il cui modulo varia leggermente da

posto a posto sulla terra.

La forza peso risulta proporzionale alla massa.

una forza costante e in assenza di altre forze il moto ha una

componente uniformemente accelerata nella direzione parallela a

g.

Se agiscono altre forze in generale si ha

Formula

Forza peso

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La sensazione di peso

Un corpo di massam appoggiato su un pavimento e in equilibrio

statico, esercita una forza sul pavimento e risente di una reazione

N che in modulo valemg.

Consideriamo il corpo posato su una piattaforma che pu

muoversi verticalmente con unaccelerazionea.

Se il corpo resta sulla piattaforma laccelerazione rimanea e

perci:

Ci sono quindi 4 casi possibili:

a discorde a g:

piattaforma che accelera verso lalto; si ha una sensazione di

aumento di peso, una bilancia pesapersone darebbe una lettura

maggiore di quando la piattaforma ferma;

a concorde con g, ma minore in modulo:

la sensazione di diminuzione di peso, la bilancia d una lettura

minore di quando la piattaforma ferma;

a uguale a g:

piattaforma in caduta libera; non c reazione e non c

sensazione di peso;

a concorde con g, ma maggiore in modulo:

si ha il distacco del corpo dalla piattaforma.

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Lavoro

Siccome il peso ha una sola componente diversa da 0, quella

verticale, che vale -mg, e la componente di lungo lasse

verticale , il prodotto .

Perci il lavoro della forza peso vale:

Il lavoro uguale allopposto della variazione della funzione

durante lo spostamento da A a B e pertanto non

dipende dalla particolare traiettoria che collega A e B.

La funzione si chiama energia potenziale della forzapeso.

Punto B pi in basso del punto A: lavoro positivo, lenergia

potenziale diminuisce;

Punto B pi in alto del punto A: lavoro negativo, lenergia

potenziale aumenta (per fare avvenire ci si ha bisogno di una

velocit iniziale sufficiente affinch la diminuzione dellenergia

cinetica eguagli il lavoro).

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Si consideri un corpo posto su un piano inclinato di un angolocome in figura.

Agisce solo la forza peso

con R la reazione vincolare del piano dappoggio che ha ununica

componente normale al piano stesso (vincolo liscio).

Componenti

con la reazione vincolare.

Il corpo scende con un moto uniformemente accelerato con

accelerazione minore di quella di gravit.

Agisce la forza peso ed presente una forza di attrito

radente

Oltre alla componente N, c anche la componente parallela al

piano inclinato pari a .

Condizione di equilibrio

Accelerazione

dovendo essere il termine tra parentesi positivo, ; se vale la sola

uguaglianza, il moto rettilineo uniforme (equilibrio dinamico).

1. Se i l corpo fermo sul piano inclinato, resta fermo per tutti gli

angoli compresi tra 0 e tale che . Per il

corpo non pu restare fermo e scende lungo il piano. Il moto

pu avvenire per angoli tale che .

2. Se i l corpo allistante iniziale in moto con velocit costante,

si ferma se ; procede con velocit costante se

; e si muove di moto uniformemente accelerato se

.

Piano inclinato

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Definizione

una forza di direzione costante con verso rivolto sempre ad un

punto O, chiamato centro, e con modulo proporzionale alla

distanza.

Formula

k la costante elastica e il versore dellasse x.

Il moto risultante per effetto di una forza elastica rettilineo

qualora la velocit iniziale sia nulla o diretta come .

Accelerazione

si muove perci di moto armonico semplice.

Pulsazione e periodo

La forza elastica praticamente viene applicata tramite una molla,

perci pu essere vista come:

con lunghezza a riposo,xrappresenta la deformazione. Il

modulo della forza di richiamo proporzionale alla deformazione.

Forza elastica

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Se : la molla viene allungata, sviluppa una forza che tende a riportarla nella condizione di riposo.

Se : la molla viene compressa, sviluppa una forza che tende a riportarla nella condizione di riposo.

Se si ha una molla libera ad entrambi gli estremi e si vuole deformarla di una quantitx, bisogna applicare agli estremi forze uguali e

contrarie di modulokx.

Lavoro

La funzione si chiama energia potenziale elastica.

Coordinata iniziale maggiore di quella finale: il punto si muove verso il centro della forza, il lavoro positivo e lenergia potenziale

diminuisce;

Coordinata iniziale minore di quella finale: il punto si allontana dal centro della forza, il lavoro negativo e lenergia potenziale

aumenta (per fare avvenire ci si ha bisogno di una velocit iniziale sufficiente affinch la diminuzione dellenergia cinetica eguagli il lavoro).

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Definizione

In qualsiasi punto la sua direzione passa sempre per un punto

fisso, detto centro della forza, e il modulo funzione soltanto

della distanza dal centro stesso.

La presenza di una forza che agisce in una certa regione dello

spazio, costituisce una modifica dello spazio stesso e stabilisce

un campo di forza.

Il momento della forza rispetto al centro ovunque nullo, perci:

La velocit con cui il raggio vettore spazza larea infinitesima

la velocit areale:

La traiettoria di un

punto che si muove in

un campo di forze

centrali giace in un

piano fisso passante

per il centro ed

percorsa in modo tale

che la velocit areale

rimanga costante.

Laccelerazione di un

punto lungo la

traiettoria vale, secondo

la formula di Binet in modulo:

In notazione vettoriale:

Forze centrali

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Applicando ad un corpo appoggiato una forza F tale da presentare

una componente normale al piano di appoggio e una

parallela al piano stesso, si nota che il noto non entra un

movimento fino a che il modulo di non supera il valore ,

dove il coefficiente di attrito statico e N il modulo della

componente normale al piano di appoggio della reazione vincolare.

Condizione per cui il corpo possa essere messo in

movimento

Condizione di quiete

Se la condizione di quiete si scrive:

Reazione del piano in condizioni di equilibrio statico

Le componenti di R sono:

Se le componenti di R sono:

Condizione di appoggio

Forza di attrito radente

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Quando inizia il movimento, si osserva che si oppone al moto la forza di attrito dinamico con la relazione:

dove rappresenta il coefficiente di attrito dinamico.

Equazione del moto

Componenti della reazione

La forza di attrito dinamico non dipende dalla velocit del corpo rispetto al piano di appoggio ed ha verso contrario alla direzione del

moto e quindi al versore della velocit.

Le forze di attrito radente in generale hanno origine dalle forze di coesione tra due materiali: uneccessiva levigatura fa aumentare lacoesione e quindi lattrito; se le superfici vengono bagnate la forza di attrito diminuisce notevolmente.

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Lavoro

A parit di eNsi ha lavoro diverso a seconda della forma della traiettoria. Il lavoro dellattrito radente perci dipende dal percorso;

sempre negativo.

(per avere il moto si ha bisogno di una velocit iniziale sufficiente affinch la diminuzione dellenergia cinetica eguagli il lavoro: lenergia cinetica

diminuisce lungo il percorso e in B la velocit minore che in A. In particolare, data lenergia cinetica con N costante, il punto si ferma

dopo aver percorso )

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Definizione

Forza che si oppone al moto ed proporzionale alla velocit del

corpo soggetto a tale forza. Cresce linearmente con la velocit.

Non si pu realizzare la condizione di equilibrio statico poich se

v=0, la forza si annulla.

Sono esercitate in presenza di fluidi.

La forza dellattrito viscoso si oppone allaumento della velocit,

rendendo al limite il moto uniforme.

Formula

doveb pu essere sostituito conmk, conkcostante tipica di

ogni materiale.

Forza di attrito viscoso

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Velocit

Partendo da 0 la velocit cresce, per sempre pi lentamente per

un valore del tempo molto maggiore di , la velocit assume

praticamente il valore costante .

Quando la velocit assume il valore si ha lequilibrio dinamico

tra le due forze e la loro risultante si annulla.

Accelerazione

Lavoro

Con e quindi .

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0

2

4

6

8

0 1 2 3 4 g/k 6 7 8

Velocit vs. forza


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Definizione

Se la risultanteR delle forze agenti su un punto presenta una

componente ortogonale alla traiettoria, si ha un moto curvo;

determina laccelerazione centripeta secondo la relazione

data dalla formula.

Formula

R ha anche una componente tangenziale alla traiettoria

responsabile della variazione del modulo della velocit.

Forze centripete

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Un po di formule

Le forze agenti sul pendolo sono la forza peso e la tensione del filo

Forza peso Tensione filo

per cui la risultante R vale

Componenti della risultante delle forze

Il segno negativo della componente lungo la traiettoria dovuto al fato che la forza

ha segno opposto rispetto a quello della coordinata sulla traiettoria.

una forza di richiamo che tende a riportare il punto sulla verticale, anche

se non di direzione costante.

Pendolo semplice

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Componenti dellaccelerazione P i l ill i i i i t d l i di i li


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Componenti dell accelerazione

Equazione del moto (per piccole oscillazioni)

Legge oraria del moto (per piccole oscillazioni)

Periodo (per piccole oscillazioni)

Legge oraria dello spostamento lungo larco di circonferenza (per

piccole oscillazioni)

Velocit angolare (per piccole oscillazioni)

Velocit lineare (per piccole oscillazioni)

Per piccole oscillazioni si intende per valori di circa uguali a

Tensione del filo

massima nella posizione verticale, minima nei punti di

inversione. Questo vale qualsiasi sia lampiezza delloscillazione.

Energia potenziale e cinetica per punti generici

Se le oscillazioni sono troppo grandi, il moto sempre periodico,

ma non pi armonico. Il periodo dipende dallampiezza e il cui

valore, per angoli fino a 90, pari a 1.16 volte il periodo di angoli

piccoli.

La velocit lineare diventa:

Nel punto pi basso:

La tensione del filo:

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Capitolo 3


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Capitolo 3

Moti relativi


- sistema di riferimento

inerziale


non inerziale

- forze apparenti

- relativit galileiana

- moto di rotazione dei

sistemi


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Teorema delle velocit relative

Si vuole trovare la relazione tra la posizione e la velocit di un punto P in moto,

misurate da un osservatore solidale con il sistema fisso, e le corrispondenti

grandezze misurate da un osservatore solidale con il sistema mobile.

Relazione tra le posizioni del punto P

con:

Derivando per il tempo, si ottiene la relazione tra le velocit ricercata.

Relazione tra le velocit del punto P

Utilizzando le formule di Poisson:

Velocit relativa

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Velocit del punto P rispetto al sistema fisso: velocit assoluta

Velocit dellorigine O del sistema mobile rispetto al sistema fisso

Velocit del punto P rispetto al sistema mobile: velocit relativa

Velocit di trascinamento

Il moto di trascinamento, legato al moto del sistema mobile, pu essere considerato in ogni istante come la somma di un termine traslatorio

con velocit istantanea e di un termine rotatorio con velocit angolare , variabile sia in modulo che in direzione.

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Teorema delle accelerazioni relative

Si vuole trovare la relazione le accelerazioni di un punto P in moto,

misurate da un osservatore solidale con il sistema fisso, e le corrispondenti

grandezze misurate da un osservatore solidale con il sistema mobile.

Derivando per il tempo si ottiene la relazione cercata.

Relazione tra le accelerazioni del punto P

Utilizzando le formule di Poisson:

Inoltre, essendo , si ricava , perci sostituendo:

Accelerazione relativa

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Accelerazione del punto P rispetto al sistema fisso: accelerazione assoluta

Accelerazione dellorigine O del sistema mobile rispetto al sistema fisso

Accelerazione del punto P rispetto al sistema mobile: accelerazione relativa

Accelerazione di trascinamento

Accelerazione di Coriolis

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Sistema di riferimento inerziale

Sistema in cui valga rigorosamente la legge di inerzia, in cui cio

un punto non soggetto a forze lanciato con velocit arbitraria in

qualunque direzione si muova con moto rettilineo uniforme o, se

in quiete, resti in quiete.

La legge di Newton , in questo sistema, ha, al primo

membro, solo forze vere e la risultante proporzionale

allaccelerazione misurata in quel sistema di riferimento.

Definito un sistema inerziale, tutti gli altri sistemi di riferimento in

moto rettilineo uniforme rispetto a questo, sono anchessi

inerziali.

Essendo la dinamica la stessa, non possibile stabilire tramite

misure effettuate in questi diversi sistemi se uno di essi in

quiete o in moto. Non ha senso il concetto di moto assoluto.

Sistema di riferimento non inerziale

Definito un sistema inerziale, se un secondo sistema ha o

o entrambi, la legge di Newton non pi valida. La

forza vera che agisce sul punto non proporzionale

allaccelerazione del punto stesso, misurata nel sistema non

inerziale.

con accelerazione di trascinamento e accelerazione di

Coriolis.

Le forze sottratte alla forze vere, e , sono chiamate forze

apparenti.

Sistemi di rifermento

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V l it l i di t i tt d


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Dati due punti e che si muovono in un sistema con

Posizione relativa di rispetto a

Velocit relativa di rispetto a

Si deve immaginare un sistema di riferimento con origine in e

assi che non ruotano rispetto a quelli del sistema iniziale: la velocit

di da questo sistema di riferimento, , appunto quella

ricercata. Con riferimento a , la velocit assoluta

; la velocit relativa ; la velocit di trascinamento , in

quanto .

Accelerazione relativa di rispetto a

Il ragionamento analogo a quello delle velocit.

Velocit e accelerazione di un punto rispetto ad unaltro

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Considerando due sistemi di riferimento inerziali in moto rettilineo uniforme luno rispetto allaltro con assi paralleli, il sistema di origine O

si sposta con velocit costante parallela allasse delle x; nellistante iniziale le origini coincidono.

Formule di trasformazione

Considerando proiettato sugli assi, si ha la trasformazione

galileiana degli spazi:

Considerando proiettato sugli assi, si ha la trasformazione

galileiana delle velocit:

Essendo entrambi sistemi inerziali:

Moto di trascinamento rettilineo uniforme

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Considerando due sistemi di riferimento in moto rettilineo accelerato luno rispetto allaltro con assi paralleli, il sistema non inerziale di

origine O si sposta con accelerazione costante e una velocit iniziale parallele allasse delle x; nellistante iniziale le origini

coincidono.

La posizione e la velocit del sistema non inerziale di origine O:

Formule di trasformazione

Trasformazione galileiana degli spazi:

Trasformazione galileiana delle velocit:

Moto di trascinamento rettilineo accelerato

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Considerando due sistemi di riferimento e supponendo il moto di trascinamento soltanto rotatorio uniforme e le origini coincidenti.

Si ha e perci:

con la forza centrifuga e la forza di Coriolis.

Moto del punto

Supponendo che gli assi del sistema in rotazione siano solidali ad un disco, posto nel piano degli assi del sistema fisso, che ruota rispetto ad un

asse passante per il suo centro e ortogonale al piano fisso. Supponendo anche la presenza di un punto materiale sul disco ove non vi attrito

tra punto e piano del disco.

Punto sul disco

Il punto rimane fermo mentre il disco gira al di sotto di esso. Per losservatore in O il punto in quiete; per losservatore in O il punto

descrive un moto circolare uniforme. Il moto nei due sistemi ha queste caratteristiche:

Moto di trascinamento rotatorio uniforme

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I O I O


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In O: In O:

In O il punto descrive una circonferenza in verso contrario al moto del disco, con velocit costante e accelerazione puramente

centripeta . Ovviamente in O si ipotizza la presenza delle due forze apparenti centrifuga e di Coriolis.

Punto sul disco collegato ad un filo con velocit

Il punto ruota con la stessa velocit del disco. Per losservatore in O il punto descrive un moto circolare uniforme; per losservatore in O il

punto in quiete. Il moto nei due sistemi ha queste caratteristiche:

In O: In O:

In O si nota ugualmente che il filo teso, perci anche in questo caso si deve supporre la presenza di una forza diretta verso lesterno, la

forza centrifuga, che bilanci la tensione del filo.

Punto sul disco con filo reciso e velocit

Per losservatore in O il punto materiale allistante in cui viene lasciato libero inizia a muoversi di moto rettilineo uniforme con direzione

tangente alla circonferenza nella posizione in cui avviene il distacco; per losservatore in O si osserva un moto del punto materiale, lungo

una traiettoria curvilinea, perci sui punti in moto in questo sistema di riferimento agisca unaltra forza, la forza di Coriolis. l moto nei due

sistemi ha queste caratteristiche:

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M t i tt ll T


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Nelle misure terrestri compaiono termini correttivi dovuti alle forze apparenti ed conveniente riferire queste misure, attraverso note formule di

trasformazione, a un sistema di riferimento inerziale.

Effetti dovuti al moto della Terra

Velocit di un punto P alla superficie della Terra

Accelerazione di un punto P alla superficie della Terra

Punto in moto vicino alla superficie terrestre

sottoposto alla forza peso :

Il termine centrifugo ortogonale allasse di rotazione e diretto verso lesterno in entrambi gli emisferi. Le componenti sono:

Moto rispetto alla Terra

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La correzione centrifuga allaccelerazione di gravit nulla al polo e

i ll t i t i l di i i di


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massima allequatore, ci comporta una piccola diminuzione di

con dipendenza dalla latitudine e lalterazione della verticale

determinata con il filo a piombo.

Leffetto del termine di Coriolis dipende dalla velocit del punto

rispetto al sistema solidale con la terra. La componente :

Se si considera un punto posto ad unaltezzah, con velocit iniziale nulla,

lazione della forza centrifuga comporta uno spostamento verso lequatore

lungo un meridiano, la forza di Coriolis, tangente ad un parallelo e sempre

ortogonale al verso di movimento dei corpi, non influenza la velocit ma

solo la direzione, provoca uno spostamento verso oriente in entrambi gli

emisferi. Leffetto complessivo la combinazione vettoriale dei due.

48

Capitolo 4


50/185

Dinamica dei

sistemi dipunti materiali


- momento angolare

- centro di massa

- teoremi di Knig

- energia cinetica

- urti

- forze interne

- forze esterne


Forze interne e forze esterne


51/185

Considerando un sistema di n punti materiali, la risultante delle forze sulli-esimo punto la somma delle forze esterne agenti sul punto e

delle forze interne esercitate dagli altri n-1 punti al sistema:

.

In generale la risultante delle forze interne agenti sulli-esimo punto diversa da zero, per la risultante di tutte le forze interne del sistema

nulla perch, secondo il principio di azione e reazione, esse sono a due a due uguali ed opposte.

Per ciascun punto di massa sottoposto alla forza si devono considerare le grandezze, misurate in un sistema di riferimento

inerziale:

posizione velocit accelerazione

quantit di moto momento angolare energia cinetica

Forze interne e forze esterne

50


52/185

Propriet dei sistemi di forze applicate a punti diversi

Momento delle forze: .

Ci si applica con la coppia di forze: la risultante delle forze nulla e perci il il momento delle forze non dipende dal polo. Il momento

delle forze ortogonale al piano individuato dalle due rette di azione e ha modulo .

Le forze interne ad un sistema di punti materiali costituiscono un insieme di coppie di forze a braccio nullo.

Dato un sistema di forze applicate in punti diversi e fissato un polo per i momenti, con noti e , questo sistema pu essere sempre

ridotto a una forza con retta dazione passante per il polo (cos il momento di rispetto al polo nullo) e ad una coppia di forze di

momento (che ha risultante nulla e momento indipendente dal polo).

51

Centro di massa


53/185

Definizione

Ilcentro di massa di un sistema di punti materiali il punto geometrico la cui posizione individuata, nel sistema di riferimento

considerato, dal raggio vettore:

le cui componenti sono:

La posizione del centro di massa rispetto agli n punti materiali non dipende dal sistema di riferimento, mentre le sue coordinate variano a

seconda del sistema scelto.

Posizione del centro di massa rispetto ad un altro sistema di riferimento:

Velocit del centro di massa:

Centro di massa

52

Accelerazione del centro di massa:


54/185

Teorema del moto del centro di massa

Il centro di massa si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante

delle forze esterne.

In un sistema di riferimento inerziale, con :

La risultante delle forze esterne uguale alla derivata rispetto al tempo della quantit di moto totale del sistema. Il moto del centro di

massa determinato solamente dalle forze esterne.

53

Sistemi di riferimento


55/185

Sistema del centro di massa

Lorigine nel centro di massa; gli assi mantengono sempre la stessa direzione rispetto agli

assi del sistema inerziale e possono essere assunti paralleli a questi; un sistema non

inerziale infatti il moto del sistema traslatorio ma non necessariamente rettilineo uniforme

(lo solo se cos che ).

Raggio vettore: .

Velocit (in moto di trascinamento rettilineo ): .

Se ci si pone nel centro di massa ( e ) la quantit di moto totale del sistema risulta nulla se misurata nel sistema di

riferimento del centro di massa: .

Essendo il sistema non inerziale, sembra agire la forza dinerzia , cio per ogni punto: e

sommando su tutti i punti: secondo .

In qualsiasi sistema perci: .

Momento delle forze applicate rispetto al centro di massa:

Sistemi di riferimento

54


56/185

Il momento risultante rispetto al centro di massa uguale al solo momento delle forze esterne vere, senza contributi delle forze di inerzia in

quanto vera preso in un sistema di riferimento inerziale come polo il centro di massa.

Momento angolare:

Il teorema del momento angolare vale anche nel sistema non inerziale del centro di massa se come polo si assume il centro di massa,

contribuendo nel calcolo solo le forze vere. Le grandezze con un apice sono relative al centro di massa, analogamente come nei moti relativi.

Sistema del laboratorio

Sistema in cui si studiano le caratteristiche dei moti.

Legame della velocit tra sistema del centro di massa e quello di laboratorio:

Sistema di forze parallele

Sistema in cui tutte le forze hanno la stessa direzione individuata dal versore u.

Momento (ortogonale alla risultante delle forze): .

Baricentro: .

Se agisce la forza di gravit: .

55

Momento angolare


57/185

Momento angolare totale di un sistema di punti materiali, con il raggio vettore :

.

Teorema del momento angolare

Se il polo O fisso nel sistema di riferimento inerziale o coincide con il centro di massa, levoluzione nel tempo del momento angolare del

sistema di punti determinata dal momento delle forze esterne rispetto adO, mentre le forze interne non portano contributi.

Derivando il momento angolare rispetto al tempo si ottiene: ; considerando che e che il

sistema di riferimento inerziale si ottiene:

.

nullo perch ogni addendo prodotto vettoriale di vettori paralleli, e perch la

somma dei momenti delle forze interne rispetto al polo O : , il vettore

parallelo a e quindi (considerando che le forze interne siano un insieme di coppie di forze uguali in modulo e di verso opposto,

con la stessa retta di azione).

Momento angolare

56

Perci:


58/185

.

Il termine risulta nullo se:

il polo O fisso nel sistema di riferimento inerziale: ;

il centro di massa in quiete nel sistema di riferimento inerziale: ;

il polo O coincide con il centro di massa: e ;

parallelo a .

Conservazione del momento angolare

Se vale , se il momento delle forze esterne nullo il momento angolare si conserva. La condizione vale se:

non agiscono forze esterne: il momento angolare si conserva per qualsiasi polo e si ha pure la conservazione della quantit di moto;

il sistema isolato: il momento angolare si conserva per qualsiasi polo e si ha pure la conservazione della quantit di moto;

il momento delle forze esterne nullo per un determinato polo, ma non rispetto a qualsiasi polo, in presenza di forze esterne: si ha

conservazione del momento angolare solo relativo a quel polo.

Attraverso losservazione sperimentale, si nota che effettivamente in un sistema isolato il momento angolare si conserva, perci si deduce con

certezza che il momento delle forze interne nullo e non solo teorizzandolo come in precedenza.

57

Momento assiale


59/185

Considerando un vettore (che rappresenta o una forza o la quantit di moto).

Momento della forza:

Essendo , il vettore ortogonale a e la componente (uguale per i momenti e )

lungo la direzione dellasse di il momento assiale del vettore rispetto allasse .

Momento assiale

58

Conservazione della quantit di moto


60/185

Quando la risultante delle forze esterne nulla, la quantit di moto totale del sistema rimane costante nel tempo e il centro di massa si

muove di moto rettilineo uniforme o resta in quiete.

La conservazione della quantit di moto pu anche avvenire parzialmente, cio essere riferita a una o a due delle tre componenti.

Considerando due punti isolati: . Derivando rispetto al tempo: . Perci le

forze che si esercitano tra i due punti sono uguali in modulo e di verso opposto: . Ci non implica per che abbiano la stessa

retta di azione.

C comunque equivalenza tra la conservazione della quantit di moto e il principio di azione e reazione, generalizzabile a sistemi pi complessi.

Definizione del concetto di massa

Si considerino due punti materiali fermi agli estremi di una molla compressa. Il centro di massa in quiete, la quantit di moto del sistema

nulla. Si lascia espandere la molla: vengono ad agire solo forze interne al sistema, perci la quantit di moto rimane nulla.

Conservazione della quantit di moto

59

Teoremi di Knig


61/185

Si assume come polo lorigine del sistema inerziale.

Primo teorema di Knig

Il momento angolare del sistema si pu scrivere nel sistema di riferimento inerziale, come somma del momento angolare dovuto al moto

del centro di massa e di quello del sistema rispetto al centro di massa.

Il momento angolare : . Riscrivendolo:

.

Il primo termine il momento angolare rispetto al centro di massa (calcolato nel sistema di riferimento del centro di massa), il secondo il

momento angolare rispetto allorigine del sistema inerziale di un punto materiale che ha una massa pari a quella totale del sistema, coincide e

ha la velocit del centro di massa.

g

60


62/185

Secondo teorema di Knig

Lenergia cinetica del sistema di punti si pu scrivere, nel sistema di riferimento inerziale, come la somma dellenergia cinetica dovuta al

moto del centro di massa e di quella del sistema rispetto al centro di massa.

Lenergia cinetica calcolata nel sistema di riferimento inerziale : . Riscrivendo:

.

Il primo termine lenergia cinetica rispetto al centro di massa (calcolata nel sistema di riferimento del centro di massa), il secondo termine

lenergia cinetica di un punto materiale che possiede tutta la massa del sistema e si muove con la velocit del centro di massa.

61

Teorema dellenergia cinetica per sistemi di puntimateriali


63/185

Per il calcolo dellenergia cinetica si utilizza il teorema dellenergia cinetica per i punti materiali per cui: . Per questo motivo si

deve considerare il lavoro , prestando attenzione che, a differenza delle forze, il lavoro risultante delle forze interne non

nullo. Appunto , e ci implica che al lavoro delle forze interne legato un cambiamento delle distanze mutue tra i vari

punti.

Sapendo che , sommando su tutti i punti e integrando si ottiene: .

Unendo i risultati si ottiene il teorema dellenergia cinetica per i sistema di punti materiali:

.

Se le forze interne ed esterne sono conservative e ci permette la conservazione dellenergia

meccanica:

Se non tutte le forze sono conservative:

materiali

62

Urti tra due punti materiali


64/185

Quando due punti vengono a contatto e interagiscono per un intervallo di tempo trascurabile rispetto al tempo di osservazione del sistema,

si parla di urto trai due punti.

Nellurto si sviluppano forze impulsive, forze interne al sistema costituito dai due punti interagenti.

In assenza di forze esterne si verifica durante lurto la conservazione della quantit di moto totale:

.

La quantit di moto del centro di massa rimane invariata nellurto:

.

Variano le quantit di moto di ciascun punto materiale per effetto dellimpulso della forza:

.

.

In un urto non si pu stabilire a priori se avviene una conservazione di energia cinetica, bisogna utilizzare il 2 teorema di Knig.

63

Pu avvenire la conservazione della quantit di moto anche in presenza di forze esterne se la durata dellurto sufficientemente piccola e le


65/185

forze esterne non sono impulsive. Infatti: e .

64

e

Urto elastico 1 0

Urto anelastico 0 < e < 1 1 > e > 0

Urto completamente anelastico 0 1

Urto completamente anelastico


66/185

I corpi, deformandosi in modo permanente, restano compenetrati dopo lurto formando un unico corpo puntiforme di massa e il

lavoro compiuto per fare avvenire la deformazione non viene pi recuperato. Le forze interne non sono conservative.

Velocit del centro di massa: .

Energia cinetica del sistema prima dellurto: .

Energia cinetica del sistema dopo lurto: .

Energia assorbita nellurto: .

Con e le velocit dei due punti prima dellurto e la velocit comune subito dopo lurto.

65

Urto anelastico


67/185

I corpi ritornano separati dopo lurto, durante il quale si conserva la quantit di moto totale del sistema, se non agiscono forze esterne di

tipo impulsivo, ma non lenergia cinetica.

Il corpo con quantit di moto nellistante precedente allurto vede, per effetto dellimpulso nella fase di deformazione, ridursi

progressivamente a zero la sua quantit di moto fino ad arrestarsi. Nella fase successiva, sempre durante lurto, il punto riacquista

quantit di moto fino al valore , opposto in vero e minore in modulo rispetto a (lo stesso vale per il secondo corpo).

Coefficiente di restituzione: .

Energia cinetica del sistema: .

Variazione di energia cinetica nellurto: .

Nel sistema del laboratorio

Relazione tra velocit iniziale e finale:

.

66

Urto elastico


68/185

I corpi che si urtano subiscono, durante lurto, delle deformazioni elastiche, riprendendo la configurazione iniziale subito dopo lurto.

Durante lurto si conserva anche lenergia cinetica del sistema. Le forze interne sono conservative.

Prendendo due corpi in una dimensione si ha per la conservazione: .

Nel sistema del centro di massa

La velocit e la quantit di moto di ciascun punto restano le stesse in modulo, cambiano solo di verso:

.

Nel sistema del laboratorio

Relazione tra velocit iniziale e finale:

Si tratta solo il caso unidimensionale perch per risolvere un problema di urto elastico nel piano o nello spazio, oltre a conoscere la velocit

prima dellurto, bisogna avere qualche altra informazione sulle velocit dopo lurto.

67

Capitolo 5

Gravitazione


69/185

Gravitazione


- gravitazione

- massa inerziale

- massa gravitazionale

- leggi di Keplero

- campo

- teorema di Gauss

Forza gravitazionale


70/185

Prima legge di Keplero

I pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al sole che occupa uno dei fuochi dellasse.

Seconda legge di Keplero

La velocit areale con cui il raggio vettore che unisce il sole ad un pianeta descrive lorbita costante.

Terza legge di Keplero

Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta proporzionale al cubo del semiasse maggiore dellellisse: .

Posizioni

Perielio: Afelio:

Con il semiasse maggiore, leccentricit e pari ai valori delrapporto tra periodo e semiasse.

69


71/185

Legge di gravitazione universale

Date due masse qualsiasi, di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza minima, tra di esse agisce una forza attrattiva diretta lungo la

retta congiungete le due masse, il cui modulo dipende direttamente dal prodotto delle masse e inversamente dal quadrato della distanza.

Dalla 2 legge di Keplero si deduce che il moto circolare uniforme: .

Dalla 3 legge di Keplero si deduce che se allora .

Essendo la forza centrale, questa inversamente proporzionale alla distanza: .

Per il principio di azione e reazione: , e chiamando si ottiene:

.

Dove .

70

Massa inerziale e massa gravitazionale


72/185

Si pu ottenere una relazione tra la massa inerziale e lamassa gravitazionale attraverso un ragionamento rispetto alle forze applicate.

Sulla superficie terrestre vale: . Si ottiene perci che , e, ricavando sperimentalmente che in uno stesso

luogo indipendente dai corpi, si deduce che il rapporto pari ad una costante indipendente dal corpo. Ci permette di

concludere che la massa inerziale e quella gravitazionale sono fondamentalmente la stessa cosa, con unuguaglianza fino a masse

dellordine di .

71

Campo gravitazionale


73/185

La forza gravitazionale esercitata da un corpo di massa su un altro corpo di massa pari al prodotto di un vettore, che non dipende

da ma dolo da e dalla distanza da , per la massa sottoposta allazione di :

.

Il vettore si chiama campo gravitazionale G generato dalla massa sorgente del campo nel punto , distante .

.

Relazione tra campo gravitazionale e potenziale gravitazionale: .

72

Energia potenziale gravitazionale


74/185

La forza gravitazionale conservativa in quanto il lavoro infinitesimo vale e perci il lavoro compiuto

vale:

.

Con lenergia potenziale: .

Potenziale gravitazionale

Lenergia potenziale si pu scrivere anche: , essendo

ilpotenziale gravitazionale del campo prodotto da .

Lavoro: .

Relazione tra campo gravitazionale e potenziale gravitazionale: .

73

Teorema di Gauss


75/185

Il flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie chiusa proporzionale alla somma delle massa interne alla superficie.

Massa distribuita su una superficie sferica di raggio in modo uniforme.

Flusso: Campo: .

Massa distribuita uniformemente in tutto il volume sferico di raggio .

Flusso: Campo esterno alla sfera: .

Flusso: Campo interno alla sfera: .

Allinterno della sfera omogenea la massa puntiforme subisce lazione di una forza elastica: .

Il teorema di Gauss vale esclusivamente per i campi vettoriali che dipendono inversamente dal quadrato della distanza.

74


76/185

Energia potenziale gravitazionale di una massa sferica omogenea

Essendo , in quanto , integrando si ricava e perci:

.

Se il raggio ha un valore tale che , si parla di buco nero.

75

Velocit di fuga e satelliti terrestri


77/185

Velocit di fuga

La velocit di fuga di un corpo sulla terra si calcola utilizzando la

conservazione dellenergia meccanica: .

Perci: . Si vuole che corpo arrivi a distanza

infinita dalla terra a velocit nulla, ricavando quindi la velocit di

fuga:

.

Analogamente se non ci si trovasse sulla terra: .

Satelliti terrestri

Si intenda un satellite di massa che descrive unorbita

circolare intorno alla Terra.

Velocit: .

Periodo: .

Energia meccanica: .

Forza gravitazionale: .

76

Capitolo 6

Dinamica del


78/185

Dinamica del

corpo rigido


- corpo continuo

- densit

- centro di massa

- rotazione

- momento dinerzia

- teorema di Huygens-

Steiner

- pendolo di torsione

- giroscopio

Corpo rigido e gradi di libert


79/185

Definizione

Un corpo rigido un sistema di punti materiali in cui le distanze tra tutte le possibili coppie di punti non possono variare. un corpo

esteso.

I gradi di libert sono il numero di parametri necessari per descrivere il moto di un sistema.

Spiegazione

Un punto nello spazio individuato da 3 parametri, le sue coordinate. In un corpo rigido, essendo che le distanze tra glin punti che lo

compongono devono essere uguali sempre nel tempo, ha un numero di parametri minore di 3n non avendo tutti bisogno di tre coordinateper essere descritti.

Ogni asse cartesiano individuato da tre coseni direttori. Per ogni punto quindi si hanno 9 coseni direttori che per non sono tra loro

indipendenti: devono infatti soddisfare la condizione: avendo il versore di modulo unitario, e ci comporta che in totale

sono tre condizioni quelle da soddisfare. Inoltre gli assi devono essere mutualmente ortogonali, ci comporta le tre condizioni:

.

I parametri indipendenti che individuano i tre assi sono quindi 3: 9 coseni direttori con 6 condizioni.

78

Bisogna anche individuare la posizione del centro di massa: 3 coordinate.

Perci si pu evidenziare, come in tabella, i gradi di libert di un corpo rigido:

Punto


80/185

Corpo

rigido

Punto

materiale

npunti

materiali

indipendenti

Punto

vincolato

a

muoversilungo

una linea

Puntovincolato

a

muoversi

lungouna

superfici

e

Due

punti

vincolati

ad averesempre

la stessa

distanza

Gradi di

libert6 3 3n 1 2 5

In un corpo rigido, infine, bisogna considerare solamente le forze esterni agenti su tale corpo, perci si utilizzeranno solo le tre leggi

fondamentali:

.

Corpo rigido libero

Moto del centro di massa: Moto rispetto al centro di massa:

79


81/185


82/185

Momento dinerzia


83/185

Ilmomento dinerzia totale la somma dei momento dinerzia parziali, calcolati rispetto allo stesso asse.

Momento dinerzia per un corpo continuo:

.

In tutte le formule del momento dinerzia si ha unespressione del tipo: , dove la massa del corpo, una dimensione

significativa, un fattore numerico legato alla struttura del corpo. Il momento dinerzia si pu scrivere utilizzando ilraggio giratore:

.

82

Effetti del non parallelismo del momento angolare evelocit angolare


84/185

Quando due masse sono distribuite in modo tale che il momento angolare e la velocit angolare non siano paralleli, esiste un momento

esterno (momento delle forze centripete) responsabile della variazione del momento angolare nel tempo, pur essendo la rotazione

uniforme. Il risultato non dipende dalla scelta del polo perch non ne dipende la risultante dei momenti delle forze esterne.

Si considerino un corpo rigido formato da due punti materiali di massa uguale collegati tra loro da unasta di massa trascurabile lunga .

Non sono presenti attriti e la velocit angolare costante.

Punti sullo stesso piano

Momento angolare

Qualunque sia il polo, per i due punti stessa componente lungo lasse di rotazione e componenti opposte ortogonalmente allasse.

Momento delle forze

Essendo il momento angolare costante, il momento delle forze nullo.

83

Sistema ruotato

Momento angolare

I momenti angolari dei due punti, prendendo come polo il centro di massa, sono uguali e la risultante del momento angolare non


85/185

parallela allasse di rotazione e ha le componenti:

Il momento angolare precede uniformemente e la sua variazione legata al momento delle forze esterne.

Con la componente lungo lasse di rotazione costante e quella ortogonale variabile in direzione.

Momento delle forze

Al momento delle forze esterne contribuiscono solo le forze centripete, ciascuna pari a .

La miglior situazione dinamica dal punto di vista dellequilibrio dellasse di rotazione si ha quando il centro di massa sta sullasse e questo

unasse principale dinerzia.

84

Teorema di Huygens-Steiner


86/185

Il momento dinerzia di un corpo di massa rispetto ad un asse che si trova ad una distanza dal centro di massa del corpo dato da:

.

Dimostrazione

Si considerino due assi e tra loro paralleli, distanti , con passante per il centro di massa.

Relazione tra le coordinate nei due sistemi con centro nel centro di massa: .

Momento dinerzia di un generico punto rispetto allasse : .

Sommando tutti i punti si ottiene definitivamente:

Dove il momento dinerzia del corpo rispetto ad un asse passante per il centro di massa. nullo in quanto ,

coordinata del centro di massa, nulla.

85


87/185

Teorema di Huygens-Steiner e teorema di Knig

Riprendendo lenergia cinetica di rotazione, il teorema di Huygens-Steiner e quello di Knig:

si ricava:

.

Il risultato appena trovato in accordo con il teorema di Knig per lenergia cinetica.

86

Impulso angolare e momento dellimpulso


88/185

Impulso angolare

Lazione di un momento durante un intervallo finito di tempo causa una variazione finita del momento angolare. Lapplicazione dellimpulso

provoca, oltre ad una variazione di quantit di moto, una variazione di momento angolare uguale al momento dellimpulso.

Momento dellimpulso

Il valore viene detto momento dellimpulso.

87

Conservazione nel moto del corpo rigido


89/185

Conservazione della quantit di moto del sistema

Se la risultante delle forze esterne nulla, i centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme, ma il moto dei singoli punti non detto

sia traslatorio rettilineo uniforme.

Conservazione del momento angolare

Se il momento delle forze esterne nullo, il momento angolare resta costante in modulo, direzione e verso. Questo per non comporta che

la velocit angolare sia costante, in quanto non detto che il moto di rotazione avvenga attorno ad un asse principale dinerzia per cui

risulterebbe .

Conservazione del momento angolare in un sistema formato da pi corpi rigidi con variazione della posizione relativa delle

singole parti e quindi con variazione del momento dinerzia del sistema

La variazione del momento dinerzia porta una variazione della velocit angolare.

88


90/185

Indipendenza della conservazione del momento angolare dalla conservazione dellenergia meccanica

Se il momento angolare costante, a diverse configurazioni con lo stesso momento angolare corrispondono energie diverse, cio lenergia

non si conserva.

La legge della conservazione dellenergia meccanica nel moto di un corpo valida quando non ci sono attriti o quando le forze di attrito non

compiono lavoro. Le reazioni vincolari non compiono lavoro mentre la presenza di momenti di attrito che agiscono sullasse di rotazione

determina un lavoro che provoca una diminuzione dellenergia meccanica. Se il centro di massa resta in un piano orizzontale l energia

potenziale nulla ed sufficiente considerare la sola energia cinetica; se invece cambia la quota del centro di massa: .

89

Statica


91/185

Per un punto materiale la risultante delle forze applicate deve essere nulla.

Corpo rigido inizialmente in quiete

Equilibrio di corpi sospesi

Centro di massa non sulla verticale passante per il centro di sospensione

Il momento della forza peso non nullo: il corpo ha unaccelerazione angolare. Centro di massa con accelerazione non nulla,

determinata dalla risultante della forza peso e della reazione vincolare nel centro di sospensione.

Centro di massa sulla verticale sotto il centro di sospensione: equilibrio stabile

Se si allontana il corpo dalla posizione di equilibrio la forza peso tende a riportarvelo.

Centro di massa sulla verticale sopra il centro di sospensione: equilibrio instabile

Se si allontana il corpo dalla posizione di equilibrio la forza peso tende a far ruotare il corpo portandolo nella situazione per cui il

centro di massa si trovi sotto il centro di sospensione.

Centro di massa sulla verticale sopra il centro di sospensione: equilibrio indifferente

Il momento della forza peso sempre nullo e il corpo sempre in quiete, qualsiasi posizione angolare assunta.

90

Moto di traslazione


92/185

Tutti i punti descrivono traiettorie uguali, in generale curvilinee, percorse con la stessa velocit, che pu variare nel tempo in modulo,

direzione e verso: la velocit coincide con la velocit del centro di massa.

Non c movimento rispetto al centro di massa: .

Grandezze significative: .

Momento angolare: .

Equazione del moto del centro di massa: .

91

Moto di rotazione


93/185

Tutti i punti descrivono un moto circolare, le traiettorie sono archi di circonferenze diverse che stanno su piani tra loro paralleli e hanno il

centro su uno stesso asse di rotazione. Tutti i punti in un dato istante hanno la stessa velocit angolare, parallela allasse di rotazione, le

velocit dei singoli punti per sono diverse a seconda della distanza dallasse di rotazione (infatti ).

Equazione dinamica di base del moto: .

92

Rotazioni rigide intorno ad un asse fisso


94/185

Il vettore della velocit angolare ha direzione fissa, quella dellasse di rotazione, mentre il modulo variabile nel tempo. Il verso del

vettore indica il verso della rotazione.

Se il vettore della velocit angolare varia nel tempo, il vettore accelerazione angolare , parallelo allasse di rotazione, diverso da

zero.

I punti dellasse di rotazione sono punti fissi, utilizzati quindi come poli. Lasse rotazionale pu essere esterno al corpo.

Momento angolare

La componente del momento angolare rispetto allasse di rotazione proporzionale alla velocit angolare e dipende, tramite il coefficientedel momento dinerzia, solo dalla forma del corpo e dalla posizione dellasse rispetto al corpo.

La componente del momento angolare ortogonale allasse varia in direzione, pu variare in modulo e dipende dalla scelta del polo. Essa

data dalla somma vettoriale di .

In una situazione dinamica per cui sia costante, il momento angolare, che non parallelo a , cambia nel tempo e ci dovuto al

momento delle forze esterne. Se invece il momento angolare parallelo a , non vi precessione e se costante non c momento

risultante delle forze esterne.

Momento angolare rispetto al punto O: . In modulo: .

93

Momento angolare assiale: .

Momento totale assiale:

.


95/185

Se il momento angolare risulta parallelo allasse di rotazione:

Il moto pi generale, che ruota intorno allasse di rotazione, un moto di precessione. Se la velocit angolare costante un moto di

precessione uniforme ed essendo anche il momento angolare costante:

In modulo: .

Con ortogonale al piano individuato dai vettori e e forma un angolo con lasse z; raggio della traiettoria del

punto. Con momento dinerzia del corpo rispetto allasse z. Il momento angolare del corpo in generale non parallelo allasse di rotazione e

quindi a ; lo se lasse di rotazione unasse di simmetria o quando lasse di rotazione coincide con un asse principale dinerzia. Con

ortogonale a e parallelo a di modulo .

Momento dinerzia

Dipende dalle masse e dalla loro posizione rispetto allasse di rotazione.

.

94

Equazione del moto

Momento angolare parallelo a


96/185

Legge oraria: .

Momento forze esterne nullo

Il corpo resta in quiete o si muove con moto circolare uniforme.

Momento forze esterne costante

Il moto circolare uniforme accelerato.

Momento forze esterne generico

Il moto circolare vario.

Momento angolare non parallelo a

Il moto di rotazione dipende dal momento assiale delle forze esterne.

95

Legge oraria: .


97/185

Proiezione sullaltra componente: . Non porta a variazione di .

Moto del centro di massa

Se questo non sullasse di rotazione ma ne dista , laccelerazione ha come componenti:

.

Energia cinetica

Lenergia cinetica dipende dal momento dinerzia del corpo rispetto allasse di rotazione.

Momento angolare parallelo a : .

Momento angolare non parallelo a : .

96

Lavoro

Quando un corpo rigido in quiete o in rotazione con velocit angolare portato a ruotare con velocit angolare a seguito

dellapplicazione di un momento esterno, lenergia cinetica subisce una variazione e quindi si ha un lavoro compiuto.

In una situazione dinamica lazione esterna rappresentata dal momento delle forze e linerzia del corpo dal momento dinerzia, arrivando


98/185

In una situazione dinamica l azione esterna rappresentata dal momento delle forze e l inerzia del corpo dal momento d inerzia, arrivando

alla fine a calcolare laccelerazione angolare, identica per tutti i punto come la velocit angolare, e perci la cinematica la stessa.

Relazione tra momento e lavoro: , perci:

.

Se :

.

97

Moto di rototraslazione


99/185

Ogni spostamento infinitesimo pu essere sempre considerato come somma di una traslazione e di una rotazione infinitesime, individuate

da e , variabili nel tempo.

Velocit: .

unica, dipende dallasse di rotazione considerato.

98

Dinamica del corpo rigido

Moto di puro rotolamento


100/185

Se la velocit di tutti i punti di un corpo sono uguali tra loro e parallele al piano si ha un moto di traslazione e il corpo striscia sul piano. Se

la velocit del punto di contatto col piano nulla, si ha un moto di puro rotolamento, altrimenti il corpo rotola e striscia.

Agisce, per tenere fermo il punto di contatto nellintervallo , una forza di attrito statico.

Velocit del punto di contatto: .

Condizione di puro rotolamento:

.

Cio:

Velocit angolare ; accelerazione angolare ;punto di contatto ; velocit di ogni punto ortogonale alla linea che congiunge il punto con il

punto di contatto: .

99

Corpo di massa e raggio che rotola senza strisciare su una superficie piana orizzontale sotto lazione di una forza

orizzontale costante applicata allasse

si oppone al moto.


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Legge del moto del centro di massa: . Componenti: .

Attraverso il teorema del momento angolare si ottiene: .

Accelerazione del centro di massa: . Forza di attrito statico: .

Corpo di massa e raggio che rotola senza strisciare su una superficie piana orizzontale sotto lazione di un momento

costante

favorisce il moto.

Legge del moto del centro di massa: . Componenti: .



100


102/185




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Massima inclinazione: .

Con energia potenziale; ; . Se il corpo scivolasse senza attrito arriverebbe alla fine del piano con velocit maggiore:

. Sui corpi agisce sempre la forza peso . Il valore della forza di attrito statico deve essere: .

102

Urti


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Agiscono solo forze interne (o quelle esterne non sono

impulsive)

Si conserva la quantit di moto totale. Si conserva il momento

angolare (indipendentemente dalla scelta del polo).

Esiste un vincolo che tiene fermo un punto del corpo rigido

Non si conserva la quantit di moto totale. Il sistema di vincoli

pu esplicare una risultante delle forze e un momento risultante.

C limpulso della forza e limpulso angolare

.

Momento, rispetto ad un polo, delle forze esterne

(comprese quelle vincolari) nullo

Si conserva il momento angolare rispetto al polo.

Due corpi si urtano ma non restano attaccati

Le quantit di moto dopo lurto formano normalmente un certo

angolo con la direzione che avevano prima dellurto

Se i due corpi si muovono lungo la stessa retta si parla di urto

centrale.

103

Dinamica di particolari corpi rigidi

Pendolo di torsione


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Ogni corpo rigido che possa oscillare, per azione del suo peso, in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il

centro di massa un pendolo composto o di torsione.

Momento della forza peso (parallelo allasse di rotazione): .

Equazione del moto (escludendo momenti di forze dattrito): , perci: .

Il momento dinerzia vale: .

104


106/185

Corpo rigido con un punto che mantenuto fisso da un opportuno sistema di vincoli.

Giroscopio


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Il punto fisso coincide con il centro di massa, non ci sono momenti di forze esterne rispetto al centro di massa e la rotazione

avviene attorno ad un asse centrale dinerzia

Essendo e , ovviamente , perci lasse di rotazione resta fisso nel tempo.

Il punto fisso coincide con il centro di massa, la rotazione ha luogo intorno ad un asse centrale dinerzia, ma agisce rispetto al

punto fisso un momento di forze esterne

Forza applicata verticalmente, asse di rotazione orizzontale

Momento delle forze rispetto al centro di massa (giace su un piano orizzontale): .

Variazione di momento angolare (parallelo al momento delle forze): .

Lasse si sposta in un piano orizzontale e non verso il basso. Il momento angolare precede rispetto ad un asse verticale con velocit

angolare tale che .

Se lo spostamento dellasse seguirebbe la forza e non sarebbe perpendicolare alla forza, i momenti rimarrebbero gli stessi ma

oltre che la variazione del momento angolare, anche il momento angolare stesso risulterebbero paralleli al momento delle forze.

106

Forza applicata orizzontalmente, asse di rotazione verticale

Momento delle forze rispetto al centro di massa (giace su un piano verticale): .

Variazione di momento angolare (parallelo al momento delle forze): .

Lasse si sposta in un piano verticale. Il momento angolare precede rispetto ad un asse verticale con velocit angolare tale che


108/185

.

Se lo spostamento dellasse seguirebbe la forza e non sarebbe perpendicolare alla forza, i momenti rimarrebbero gli stessi ma

oltre che la variazione del momento angolare, anche il momento angolare stesso risulterebbero paralleli al momento delle forze.

Il punto fisso coincide con il centro di massa, non ci sono momenti di forze esterne rispetto al centro di massa per lasse di

rotazione non un asse centrale dinerzia

Essendo e , non essendoci attriti, permettendo perci allenergia cinetica di rotazione di restare costante, risulta:

. Il vettore risulta sempre ortogonale al piano del vettore del momento angolare .

ruota rispetto a con un moto di precessione e ruota rispetto allellissoide dellenergia senza avere una posizione costante nel corpo. Si ha

quindi il fenomeno dellanutazione.

Il punto fisso diverso dal centro di massa centro di massa, perci non nullo ill momento della forza peso

Momento della forza peso: . Momento della reazione del piano: nullo.

Variazione nel tempo del momento angolare: .

Velocit angolare di precessione del vettore del momento angolare: . Periodo del moto di precessione: .

107

Capitolo 7

Bibliografia egrafica


109/185

grafica

Wikipedia

M.I.T.

Google

Lezioni di Fisica -Meccanica eTermodinamica - TullioPapa

Fisica - Volume 1 - P.Mazzoldi, M. Nigro, C.Voci

Accelerazione

Rapidit di variazione temporale della velocit. la derivata prima della velocit rispetto al

tempo o la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo.


110/185

Termini del glossario correlati

Indice

Spostamento complessivo, Velocit


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Accelerazione centripeta

Variazione della velocit quando questa varia in direzione, cio la componente

dell'accelerazione lungo la normale alla traiettoria.

L'accelerazione centripeta, rappresentata dal vettore , sempre diretta verso il centro

della circonferenza. Per poter mantenere un corpo di massa m su una traiettoria circolare di


112/185

raggio r con una velocit tangenziale occorre una forza centripeta:

essendo la velocit angolare.

L'accelerazione centripeta pu essere fornita dalla presenza di un vincolo (un filo, una

rotaia circolare, l'attrito tra gli pneumatici e la strada), oppure da un campo di forze centrali,

come la forza di gravit o la forza elettrica.

Se ad un dato istante l'accelerazione centripeta si annullasse, il corpo, per la prima legge

della dinamica, proseguirebbe lungo la direzione indicata dal vettore velocit tangenziale.


Indice

Accelerazione

Accelerazione di Coriolis

Dipende dal moto di P rispetto al sistema mobile tramite la velocit relativa .

In realt l'accelerazione di Coriolis nasce quando si vuole la relazione che lega le

accelerazioni che una particella ha rispetto a due riferimenti in moto l'uno rispetto all'altro.


113/185


Indice

Capitolo 3 - Accelerazione relativa

Accelerazione, Forze apparenti

Accelerazione di gravit

Accelerazione che un corpo subisce quando lasciato libero di muoversi in caduta libera in

un campo di gravit.


114/185


Indice

Capitolo 2 - Forza peso

Accelerazione, G

Accelerazione di trascinamento

Essa pari allaccelerazione del punto P*, solidale con il sistema mobile, che coincide

nellistante considerato con il punto P.

Un sistema fisso ne vede uno in moto che si sposta rispetto a lui; il sistema che si sposta

quello solidale al corpo il quale quindi trascina con il suo moto il secondo sistema di

riferimento


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riferimento.


Indice

Capitolo 3 - Accelerazione relativa

Accelerazione, Forze apparenti

Accelerazione tangenziale

Rapidit di variazione del modulo della velocit lineare. L'accelerazione pu avere due

contributi, a seconda di come varia il vettore accelerazione. Questo pu variare in modulo e

in direzione.


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Indice

Capitolo 1 - Moto circolare non uniforme

Accelerazione

Attrito

In fisica l'attrito una forza dissipativa che si esercita tra due superfici a contatto tra loro

opponendosi al loro moto relativo. La forza d'attrito che si manifesta tra superfici in quiete

tra loro detta di attrito statico mentre tra superfici in moto relativo si parla invece di attrito

dinamico.


117/185


Indice

Capitolo 2 - Dinamica del punto

Attrito dinamico, Attrito statico

Attrito dinamico

Il coefficiente d'attrito una grandezza adimensionale e dipende dai materiali delle due

superfici a contatto e dal modo in cui sono state lavorate. Esso corrisponde al rapporto tra

la forza di attrito tra due corpi e la forza che li tiene in contatto . Il coefficiente di attrito

statico sempre maggiore o uguale al coefficiente d'attrito dinamico per le medesime

superfici.


118/185

Questo implica che la forza necessaria al primo distacco (cio per far s che i corpi inizino a

strisciare) superiore a quella necessaria a tenerli in strisciamento.


Indice

Capitolo 2 - Forza di attrito radente

Attrito, Attrito statico

Attrito statico

Il coefficiente d'attrito una grandezza adimensionale e dipende dai materiali delle due

superfici a contatto e dal modo in cui sono state lavorate. Esso corrisponde al rapporto tra

la forza di attrito tra due corpi e la forza che li tiene in contatto . Il coefficiente di attrito

statico sempre maggiore o uguale al coefficiente d'attrito dinamico per le medesime

superfici.


119/185

Questo implica che la forza necessaria al primo distacco (cio per far s che i corpi inizino a

strisciare) superiore a quella necessaria a tenerli in strisciamento.


Indice

Capitolo 2 - Forza di attrito radente

Attrito, Attrito dinamico

Campo di forza

un campo vettoriale che genera una forza dipendente dalla posizione nello spazio-tempo.

Il campo di forze stato introdotto nel corso del XVIII secolo, ma l'idea che i corpi possano

interagire anche quando non si trovano a contatto, ovvero l'idea di un'azione a distanza,

stato a lungo un tema dibattuto tra i fisici.


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Nel caso della forza di gravit si suppone ad esempio che un corpo dotato di massa

modifichi lo spazio intorno a s, definendo in ogni punto (specificato da un vettore

posizione ) un vettore di campo in modo tale che un altro corpo che si trovi nel

punto risenta di tale campo e vari la sua traiettoria di conseguenza. Tale campo un

campo vettoriale.

La stessa cosa avviene nel caso della forza elettrica, con la differenza che in questo caso

si possono avere forze sia attrattive (tra cariche di segno opposto) che repulsive (tra

cariche dello stesso segno). Il grafico a fianco rappresenta il campo di forze generato da

una sfera carica positivamente con una carica Q su un'eventuale altra carica esploratrice

q che si dovesse trovare nei vari punti dello spazio (il campo naturalmente

tridimensionale ed il grafico rappresenta il campo su un piano passante per il centro della

sfera). In ogni punto dello spazio definito un vettore forza; il vettore diretto radialmente

ed il suo modulo inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro della

sfera. In elettrostatica si preferisce tuttavia utilizzare il campo elettrico in luogo della forza,

definito come la forza per unit di carica esploratrice (tale campo ha il vantaggio di

dipendere solo da Q e non da q).


Indice

Capitolo 2 - Forze centrali

Forza, Forza centrale

Centro di massa

Il centro di massa di un sistema il punto geometrico corrispondente al valor medio della

distribuzione della massa del sistema nello spazio.

Nel caso particolare di un corpo rigido, il baricentro ha una posizione fissa rispetto al

sistema.


121/185

Il centro di massa, tuttavia, definito per un qualunque sistema di corpi massivi,indipendentemente dalle forze (interne o esterne) che agiscono sui corpi; in generale, il

centro di massa pu non coincidere con la posizione di nessuno dei punti materiali che

costituiscono il sistema fisico.


Indice

Capitolo 4 - Centro di massa

Trascina termini correlati qui

Coppia di forze

Sistema formato da due forze uguali di verso opposto aventi diversa retta di azione.


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Indice

Capitolo 4 - Forze interne e forze esterne

Forza

Coseni direttori

I coseni direttori di una retta (o anche di un vettore) sono i coseni degli angoli convessi che

la retta (o la retta su cui giace il vettore) forma con gli assi cartesiani. La retta in questione

pu essere considerata giacente nel piano cartesiano o nello spazio euclideo.

I coseni direttori sono univocamente individuati in valore e segno se la retta orientata, ed

individuati in valore, ma non in segno, se la retta non orientata. Cambiando orientamento

alla retta, i coseni direttori cambiano simultaneamente di segno.

Nello spazio, se si ricavano i coseni direttori di una retta, si ottengono tre scalari che

costituiscono le coordinate del versore della retta.

Considerando quindi la retta , il cui vettore direttore , possibile


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q p

ricavarne i coseni direttori tramite le formule:

Di fatto, quindi per ricavare i coseni direttori di una retta, occorre normalizzare un vettore

direttore della retta. Si hanno quindi in forma sintetica:

con .


Indice

Capitolo 6 - Corpo rigido e gradi di libert


Densit

Sostanza Densit (kgm^-3)

Berillio 1.8510^3

Carbonio 2.2710^3

Alluminio 2.7010^3

Silicio 2.3310^3

Ferro 7.8710^3

Rame 8.9610^3

Argento 10.5010^3

Tungsteno 19.3510^3


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g

Platino 21.4510^3

Piombo 11.3510^3

Ioduro di sodio 3.6710^3

Vetro 2.6010^3

Vetro Pyrex 2.2310^3

Quarzo 2.6410^3

Plexiglas 1.1810^3

Ghiaccio 0.9210^3

Legno di quercia 0.7710^3

Cemento armato 2.4510^3

Mercurio 13.5910^3

Acqua 1.0010^3

Terra 5.5410^3

Sole 1.4010^3

Sole collassato 6.9510^20

Nucleo del ferro 1.2610^17


Indice

Capitolo 6 - Dinamica del corpo rigido


Energia cinetica

L'energia cinetica l'energia posseduta da un corpo a causa del suo movimento.

Corrisponde al lavoro che si deve compiere su un corpo di massa m, inizialmente fermo,

per portarlo ad una certa velocit assegnata. L'energia cinetica quindi associata alla

massa e alla velocit di u

Meccanica: appunti, formule e teoria

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