Appunti di Meccanica Analitica

Riccardo Amici Diego Salvi

Sommario

In queste dispense sono stati riportati e organizzati gli appunti, presi a le-zione, del corso tenuto dalla Prof.ssa Annalisa Marzuoli del Dipartimentodi Matematica dell’Università di Pavia. Gli autori hanno ritenuto e spera-to che le presenti dispense potessero essere un valido sostegno per riuscirea seguire meglio le spiegazioni della professoressa e un aiuto allo studio diuna materia che richiede, per sua stessa natura, un salto di astrazione ri-spetto ai concetti della meccanica a cui si è intuitivamente abituati e chequindi può indurre ad una iniziale difficoltà nella comprensione dei concet-ti trattati. Ringraziamo la Prof.ssa Marzuoli e l’attuale esercitatore Dott.Giuseppe Bozzi per le pronte correzioni ed invitiamo a segnalare i restantierrori e mancanze ad uno dei due indirizzi e-mail riky.amici@gmail.com esal.diec96@gmail.com per poter procedere ad una immediata correzione.

Dicembre 2017

Indice

Prefazione 3Perché studiare Meccanica Analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Equazione fondamentale della dinamica nella forma di La-grange 51.1 Moto unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Moto spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Cinematica di sistemi vincolati 92.1 Classificazione dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Spazio delle configurazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Mappa di immersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Utilizzo della mappa di immersione . . . . . . . . . . . 14

2.3 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Dinamica dei sistemi vincolati 173.1 Spostamento virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Vincoli lisci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2 Vincolo di rigidità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.3 Vincolo di puro rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.1 Stazionarietà dell’energia potenziale . . . . . . . . . . 22

3.3 Equazioni di Eulero-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1 Principio di D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2 Invarianza in forma delle equazioni di Lagrange . . . . 24

4 Leggi di conservazione 274.1 Momento coniugato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Conservazione hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Applicazione del formalismo lagrangiano . . . . . . . . . . . . 314.4 Simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Trasformazioni infinitesime e teorema di Noether . . . . . . . 33

1

5 Oscillazioni 365.1 Equilibrio stabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Metodo della soluzione di prova . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Modi normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Il problema dei due corpi 416.1 Riduzione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Seconda legge di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.3 Equazione delle orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.4 Relazione tra energia ed eccentricità . . . . . . . . . . . . . . 466.5 Considerazioni finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Corpo Rigido 497.1 Cinematica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.1.1 Rotazioni infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.1.2 Asse di istantanea rotazione . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2 Dinamica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.2.1 Momento angolare ed energia cinetica . . . . . . . . . 587.2.2 Angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.3 Cinematica e dinamica relative . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.4 Dinamica di alcuni sistemi rigidi notevoli . . . . . . . . . . . 64

7.4.1 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.4.2 Cenni alla risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.4.3 Trottole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8 Formalismo hamiltoniano 708.1 Principio di Hamilton nello spazio delle configurazioni . . . . 708.2 Equazioni di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2.1 Da formalismo Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . 728.2.2 Da Principio Variazionale . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.3 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.3.1 Criterio di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.4 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.5 Teorema di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.6 Teorema di Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.7 Trasformazioni canoniche infinitesime . . . . . . . . . . . . . 83

8.7.1 Teorema di Noether hamiltoniano . . . . . . . . . . . 838.8 Simmetrie: esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.9 Momento angolare e parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . 868.10 Campo di forze centrali: approfondimento . . . . . . . . . . . 87

8.10.1 Orbite chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.10.2 Costanti del moto nel problema dei due corpi . . . . . 88

8.11 Struttura algebrica dei momenti angolari . . . . . . . . . . . . 89

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Prefazione

Perché studiare Meccanica AnaliticaLa Meccanica Classica a cui siamo abituati si divide in due grandi parti, Ci-nematica e Dinamica, nella quale un particolare caso è svolto dalla Statica,e si propone di studiare il moto di sistemi macroscopici, come ad un esempioun numero finito di punti materiali o sistemi continui, e le sue cause; conla dicitura "sistemi continui" si intendono ad esempio i corpi rigidi, i mezzicontinui elastici e i fluidi, e di quest’ultimi si occupa la Meccanica Statistica.Nel corso della Storia il progresso scientifico e lo studio della realtà hannoportato ad osservare fenomeni che non riuscivano ad essere spiegati tramitele leggi classiche, una nuova epoca della Fisica era alle porte: la Meccanicafu quindi estesa attraverso nuove teorie per spiegare il comportamento dellanatura in condizioni estreme ad esempio per corpi viaggianti a velocità pros-sime a quelle della luce (Meccanica Relativistica), o fenomeni che avvengonosu scala di lunghezza atomica e subatomica (Meccanica Quantistica), finoa giungere a formulazioni come la Teoria dei Campi che si propone di dareun’ampia spiegazione sul funzionamento della realtà. Un approccio nuovoed alternativo a quello newtoniano si è rivelato dunque necessario, anche senon intuitivo. La Meccanica Analitica è un modo di affrontare anche questiproblemi, ed è costituita da tre formalismi (in questo corso saranno studiatisolo i primi due) che prendono nome dagli illustri fisici e matematici che lisvilupparono: formalismo di Lagrange, di Hamilton e di Hamilton-Jacobi,ma come vedremo queste formulazioni analitiche non riescono a descriveretutti i fenomeni meccanici, esattamente come la formulazione di Newton nonpermette lo studio di fenomeni particolari ed inusuali come quelli descrittiin precedenza.Una prima importante differenza tra il formalismo newtoniano e quelli diLagrange, Hamilton e Jacobi è l’utilizzo di grandezze scalari come elementifondamentali invece che di grandezze vettoriali.

Sorge a questo punto spontanea una domanda: che vantaggi porta stu-diare la Meccanica Analitica? Innanzitutto è vantaggioso perché i principivariazionali (postulati) coinvolgono una funzione scalare, come la lagrangia-na o l’hamiltoniana, da cui si ricavano le equazioni del moto e da quest’ultimederivano i teoremi di conservazione. Infine il vantaggio di applicare metodi

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analitici è chiaro perché è possibile estenderli oltre i confini della MeccanicaClassica.

• Formalismo lagrangiano −→ Relatività speciale, Teoria dei Campi esistemi continui.

• Formalismo hamiltoniano −→ Meccanica Quantistica.

• Formalismo di Hamilton-Jacobi −→ equazione di Schrödinger

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Capitolo 1

Equazione fondamentaledella dinamica nella forma diLagrange

Un punto materiale libero, ovvero non soggetto a vincoli, può essere descrittoin R se il moto è unidimensionale o in R3 se è nello spazio. Analizzeremoseparatamente i due casi e utilizzeremo come convenzione i simboli ~r em perindicare rispettivamente il vettore posizione del punto e la sua massa; infinesupponiamo che il punto sia soggetto ad un campo di forze conservativo.

1.1 Moto unidimensionaleLa prima cosa da fare nella nostra trattazione è definire una forza in terminidi energia potenziale. La funzione F : R → R3 è detta forza conservativa~F (x) = (Fx, 0, 0) se ∃V = V (x) detta energia potenziale tale che

F (x) = −dVdx

. (1.1)

Osserviamo che la funzione V è sempre definita a meno di una costanteadditiva arbitraria.I movimenti del sistema (in questo caso il singolo punto) avvengono peripotesi lungo l’asse delle ascisse, quindi possiamo parametrizzare il suo motocon

x = x(t), t ∈ R (1.2)

Grazie al secondo principio della Dinamica vale l’equazione md2x

dt2= F (x)

che possiamo riscrivere con la più compatta convenzione dei punti mx =F (x). Sostituiamo questa relazione nella definizione di forza sopra riportataed otteniamo

mx = −dVdx

, (1.3)

5

la quale è un’equazione differenziale lineare ordinaria del secondo ordine,per opportune funzioni F (x), che ammette unica soluzione a partire dacondizioni iniziali definite: in questo caso si avrà bisogno di due condizioniiniziali poiché l’equazione differenziale è del secondo ordine

t ∈ [0,+∞)x(0) = x0

x(0) = x0

(1.4)

Proposizione 1.1. L’equazione (1.3) è equivalente al sistema delle dueequazioni differenziali ordinarie del primo ordine

dx

dt= v

d

dt

(∂L∂v

)− ∂L∂x

= 0(1.5)

ove L : R × R → R con L = T − V = 12mv

2 − V (x) é detta lagrangiana.Lo spazio ambiente della lagrangiana é uno spazio astratto, detto spazioposizione-velocità, in cui le variabili indipendenti sono (x,v).

Dimostrazione. Procediamo calcolando le derivate parziali a blocchi: sicco-me V dipende da x ma non da v abbiamo che

∂L∂v

= ∂

∂v

(12mv

2 − V (x))

= mv . (1.6)

Considerando la massa un’invariante e sostituendo la prima equazione del-

la (1.5) otteniamo d

dt(mv) = m

d

dt

(dx

dt

). Il secondo blocco è la derivata

parziale della lagrangiana fatta rispetto alla posizione

∂L∂x

= ∂

∂x

(12mv

2 − V (x))

= −∂V (x)∂x

= −dVdx

. (1.7)

Ricomponendo i risultati trovati vediamo che dalla seconda equazione di(1.5) si ricava mx − F (x) = 0, cioè la seconda legge della Dinamica diNewton.

Definiamo Equazione di Newton nella forma di Lagrange l’equazione

d

dt

(∂L∂x

)− ∂L∂x

= 0 (1.8)

dove la lagrangiana è L def= 12mx

2 − V (x).

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1.2 Moto spazialePrendiamo ora in analisi lo spazio fisico, cioè lo spazio euclideo R3, ed intro-duciamo una terna inerziale cartesiana ortogonale Σ di origine O. Definiamoil vettore posizione di un punto P come il vettore che congiunge l’origine Oe il punto stesso, cioè ~r = x~i+y~j+z~k; se questo punto si muove nello spaziole varie coordinate saranno funzioni del tempo: ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k.L’equazione di Newton che descrive il moto di un punto materiale di massam soggetto ad una risultante delle forza F diventa quindi

md2~r

dt2= m~r = ~F (r) ; (1.9)

ove la forza dipende solo dal modulo del vettore posizione del punto e nondal tempo, dato che, nella nostra prima analisi, prendiamo in considerazionesolo forze conservative, mentre una forza del tipo ~F = ~F (t) sarebbe unaforza impulsiva. Si potrebbe obiettare che, essendo ~r(t) dipendente daltempo, allora anche ~F (r) dovrebbe esserlo, ma in realtà non è così poiché ~rè funzione di t solo durante un movimento, mentre la variabile su cui opera~F è la soluzione dell’equazione fondamentale.

Proseguiamo il discorso in modo analogo al caso di moto unidimensionalecioè definendo un potenziale V , che esiste siccome ~F è conservativa. DettaV : R3 → R con V = V (x, y, z) definita a meno di una costante, introdu-ciamo la funzione forza F : R3 → R3 definita come ~F (x, y, z) def= −~∇V =−grad V , dove l’operatore nabla ~∇ è definito come

~∇ = ∂

∂x~i+ ∂

∂y~j + ∂

∂z~k . (1.10)

Tale operatore, se applicato alla funzione scalare f , restituisce il suo gra-diente e se viene moltiplicato scalarmente o vettorialmente con una funzionef vettoriale, dà oggetti diversi: ~∇ · ~f è la divergenza di f mentre ~∇× ~f è ilrotore di ~f .

Proiettando l’equazione di Newton sui tre assi della terna Σ otteniamotre equazioni scalari:

mx = Fx(x, y, z) = −∂V (x, y, z)∂x

my = Fy(x, y, z) = −∂V (x, y, z)∂y

mz = Fz(x, y, z) = −∂V (x, y, z)∂z

(1.11)

Ricordando ora che md~r

dt= m~r = ~p è la quantità di moto, possiamo scrivere

l’equazione di Newton nella formad~p

dt= −~∇V . (1.12)

7

Verifichiamo ora che è sufficiente conoscere l’energia cinetica T del puntomateriale per poter scrivere il primo membro della (1.12).T = 1

2m(~r · ~r) = 12m(x2 + y2 + z2) e vediamo che

∂T

∂x= mx = px

∂T

∂y= my = py

∂T

∂z= mz = pz

(1.13)

mentre le derivate parziali di T rispetto alle variabili x, y, z, valgono sempre0. Ricordando che ∂V

∂xi= 0, le tre equazioni scalari (1.11) diventano quindi

d

dt

(∂T

∂xi

)= −∂V

∂xi=⇒ d

dt

(∂(T − V )

∂xi

)= ∂(T − V )

∂xi, (1.14)

con i = 1, 2, 3.

Abbiamo quindi ritrovato l’equazione di Lagrange d

dt

(∂L∂xi

)− ∂L∂xi

= 0 per

ogni componente della terna Σ e il guadagno nello scrivere l’equazione diNewton in questa forma è che abbiamo necessità di conoscere la sola lagran-giana del punto materiale per poter risolvere il suo moto. Non è possibilescrivere le leggi del moto sui diversi assi in una singola equazione vettoriale;perciò la forma in cui deve essere presentato lo studio del moto di un sistemaè

d

dt

(∂L∂x

)− ∂L∂x

= 0

d

dt

(∂L∂y

)− ∂L∂y

= 0

d

dt

(∂L∂z

)− ∂L∂z

= 0

(1.15)

Introduciamo una notazione nuova per le coordinate, e che assumerà unsignificato ben preciso solo nel prossimo capitolo. In ambito lagrangianorinominiamo (x, y, z) = (q1, q2, q3) e (x, y, z) = (q1, q2, q3), e scriviamo leprecedenti equazioni in forma più compatta.

d

dt

(∂L∂qi

)− ∂L∂qi

= 0 , (1.16)

con i = 1, 2, 3. Vediamo quindi che la lagrangiana L = L(q, q, t) dipendedalle coordinate iniziali, dalle loro velocità ed eventualmente dal tempo.

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Capitolo 2

Cinematica di sistemivincolati

Consideriamo un numero finito di punti materiali e per semplicità conside-riamo un solo punto individuato in R3 tramite il vettore posizone ~r (perN particelle, ~rj con j = 1, 2, ..., N vettori posizione) riferito ad una ternainerziale. Se non vi sono restrizioni di tipo cinematico al moto del puntodiciamo che esso è libero, cioè P (x, y, z) è tale che x, y, z ∈ R; se inveceesistono tali restrizioni diciamo che il punto P è vincolato.Ad esempio, supponiamo che il punto P sia vincolato a muoversi lungo unaretta giacente nel piano z = 0: le sue condizioni di vincolo allora sarannodel tipo P (x, y, z)/z = 0, y = Ax + B con A,B ∈ R; vediamo che le trecoordinate cartesiane, in presenza di un vincolo, non sono indipendenti.

La presenza di un vincolo nello spazio è tradotta

• matematicamente da espressioni che coinvolgono restrizioni su ~r;

• fisicamente dall’esistenza di una reazione vincolare ~ψ.

L’equazione di Newton è data dalla formula m~r = ~F (a) + ~ψ dove ~F (a) è iltermine che indica la risultante delle forze attive sul punto P : in ambitolagrangiano infatti la principale classificazione delle forze è di forze attive ereazioni vincolari, mentre in ambito newtoniano questo genere di classifica-zione non è presente e vengono solo differenziate in forze esterne ed interne(classificazione presente anche nell’ambito lagrangiano).Vediamo adesso un esempio che esplicita bene la necessità di associare adun vincolo la sua reazione vincolare, cadendo altrimenti in un assurdo. Sup-poniamo che il punto P giaccia su un piano orizzontale sotto l’effetto del-l’unica forza peso, allora ~r = 0 ∀t. Trascurando l’esistenza del termine ψ eutilizzando l’equazione fondamentale otteniamo

~F (a) = −mg~k, d~v

dt= 0 =⇒ 0 = −mg~k .

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L’assurdo è evidente dal momento che m 6= 0 e g 6= 0: questo vuol dire chedeve esistere una forza ~ψ = mg~k tale che la risultante di tutte le forze agentisu P sia nulla. Si presenta adesso un nuovo problema, perché affermandol’esistenza di tale forza ~ψ agente su P si sta implicitamente dicendo che ilpunto è sì fermo, ma libero nel senso della definizone data in precedenza. Sipuò uscire da questa difficoltà postulando che la forza attiva agisca su P ,mentre la reazione vincolare sia applicata nel punto geometrico appartenenteal piano su cui P è appoggiato; questo vuol dire che i punti di applicazionedelle due forze sono gli stessi dal punto di vista geometrico (siccome il puntoha dimensione nulla), ma diversi dal punto di vista fisico.

2.1 Classificazione dei vincoliStudiamo ora, dopo averne introdotto l’importanza e l’utilità, i vari tipidi vincolo. Supponiamo di avere N punti materiali liberi, identificati dalproprio vettore posizione ~ri ed osserviamo che tale sistema appartiene allospazio delle posizioni R3 × R3 × ... × R3 = R3N in cui i movimenti sonoespressi in funzione del tempo, ~r = ~r(t).Prendiamo per semplicità un singolo punto come caso iniziale ed attri-buiamogli un vincolo che, come abbiamo detto in precedenza, deve esse-re tradotto da espressioni matematiche. Il primo caso che prendiamo inconsiderazione è quello di:

Definizione 2.1 (Vincolo olonomo). Un vincolo è detto olonomo se esisteuna funzione f tale che valga f(x, y, z) = 0 per ogni movimento, cioè sef(x(t), y(t), z(t)) = 0 ∀t.

È anche possibile definire funzioni del tipo f(x, y, z, t) = 0 che traduconol’esistenza di un vincolo mobile. Osserviamo inoltre che quando abbiamo duevincoli diversi tra loro, le funzioni f(x, y, z) e h(x, y, z) che traducono talivincoli, devono essere indipendenti tra loro. Definiamo gradi di libertà iparamentri necessari a descrivere la posizione del sistema fisico considerato.Per descrivere la posizione del punto rappresentativo il numero di gradi dilibertà è n def= (3 − k), ove k è il numero di equazioni di vincolo olonomo acui è sottoposto il punto, e si definiscono gradi di libertà; i parametri liberisono dette coordinate lagrangiane.Il caso generale è quello che considera gli N punti materiali.

Definizione 2.2 (Gradi di libertà). Assegnate k relazioni vincolari in-dipendenti valide per ogni movimento fα(~r1(t), . . . , ~rN (t); t) = 0 con α =1, . . . , k e ∀t, diciamo che i gradi di libertà del sistema sono n def= (3N − k).

Possiamo osservare inoltre che la matrice(∂fα∂Xi

)

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(derivate parziali di fα calcolate rispetto alle componenti Xi) con α =1, . . . , k e i = 1, . . . , 3N , ha rango massimo grazie all’indipendenza dellerelazioni vincolari. Indichiamo ora la n-upla (q1, . . . , qn) delle coordinateindipendenti, ove la scelta della lettera "q" è fatta per sottolinare la differen-za che esiste con le generiche componenti Xi, e osserviamo che in presenzadi un vincolo olonomo possiamo parametrizzare i movimenti dell’i-esimopunto del sistema grazie al vettore posizione ~ri = ~ri(q1, . . . , qn; t) che puòeventualmente dipendere dal tempo.

I vincoli olonomi svolgeranno un ruolo fondamentale nella nostra trat-tazione futura, ma è altresì importante accennare ad altri tipi di vincolo.Diciamo vincoli anolonomi quelli che possono essere tradotti da una di-sequazione del tipo f(x, y, z) ≥ 0 e vincoli differenziali quelli descritti daf(x, y, z, dx, dy, dz) = 0 dove le ultime tre componenti sono quelle del vetto-re d~ri = ~ri(t+dt)−~ri(t); vincoli di questo tipo dipendono quindi anche dallederivate della funzione posizione ed osserviamo che se tali relazioni fosserointegrabili, essi diventerebbero vincoli olonomi.

Un secondo tipo di classificazione di vincoli può invece essere quella chedifferenzia vincoli scleronomi (fissi) e reonomi (mobili), mentre una terzaè quella che cataloga vincoli lisci (con ψ diretta lungo la direzione dellacomponente cinematica vincolata) e scabri (che presentano attrito).

2.2 Spazio delle configurazioniNella trattazione di sistemi vincolati abbiamo visto e avremo in futuro pos-sibilità di approfondire l’utilità di utilizzare le coordinate libere (o genera-lizzate, o lagrangiane), siccome il loro numero è sempre inferiore o ugualeal numero di coordinate dello spazio delle posizioni. In questa sezione stu-dieremo lo spazio in cui tali coordinate "qi" vivono e in che modo questepossono rappresentare il moto del sistema di punti.

2.2.1 Mappa di immersione

Cominciamo la trattazione con un semplice esempio. Supponiamo di avereun singolo punto materiale vincolato a muoversi sulla superficie di una sfera

S2 def= (x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 = 1

in cui riconosciamo un vincolo olonomo dalla forma f(x, y, z) = 0.Osserviamo che tale struttura S2 non è identificabile globalmente con ilpiano R2 perchè proiettando i punti della sua superficie sul piano stesso èpossibile identificarli univocamente tutti a meno del "polo nord", il qualeavrebbe proiezione all’infinito.

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P

o

z

y

x

Figura 2.1: Sfera.

N

R2

Figura 2.2: Sfera e piano.

Per ovviare a questo problema tagliamo orizzontalmente la sfera in duecalotte, perciò la condizione su z diventa z = ±

√1− x2 − y2 a seconda che

si consideri la calotta "nord" o "sud". Analizziamo il primo caso: proiettandoogni punto della calotta nord sul piano R2 sottostante otteniamo un discoDN = (x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1 (che sarà aperto se consideriamo solo lez > 0, perciò escludendo l’equatore).Definiamo così la mappa di immersione i : DN → R3 la funzione che associa(x, y) 7→ (x, y,

√1− x2 − y2) e vediamo che quindi (x, y) 7→ ~r(x, y) = i(x, y)

con ~r il vettore posizione che identifica un generico punto sulla superfi-cie della calotta. Procediamo allo stesso modo per la calotta sud, per laquale identifichiamo il disco DS e la mappa di immersione i : (x, y) 7→(x, y,−

√1− x2 − y2). In entrambi i casi vediamo che comunque siamo riu-

sciti a passare da tre coordinate spaziali (x, y, z) per identificare i punti sullasfera a solo due, sfruttanto la condizione di vincolo.

N

R2

Figura 2.3: Proiezione calotta.

(x,y) 7−→ ~r

Figura 2.4: Mappa di immersione.

Si può obiettare che l’unione delle due calotte prese in considerazionenon riesca ad includere l’intera sfera siccome è stato escluso l’equatore perragioni di univocità delle proiezioni; in realtà questo non è un problema

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siccome vi è un teorema della geometria differenziale, il quale assicura chebastano due aperti per ricoprire l’intera sfera.

Fuori da questo lungo esempio è possibile estendere il discorso ad unaqualunque superficie Σ ⊂ R3 i cui punti saranno identificati dalla mappa diimmersione che permette di definire ~r = ~r(q1, q2). Attenzione: il significatogeometrico di (q1, q2) è più profondo che di semplici componenti di un vettorein R2 come invece siamo abituati a pensare, infatti le coordinate necessariead individuare un punto sulla calotta sferica sono due, e il vettore posizione~r dato dalla mappa di immersione opera solo su queste due coordinate e nonsulle tre dello spazio fisico. Tali oggetti sono le informazioni attraverso cui èpossibile identificare un punto nello spazio, ma non necessariamente hannoil significato fisico di distanza da un’origine: per descrivere un punto, infatti,possiamo specificare quanto esso sia lontano dall’origine e quale angolo vi siatra la sua distanza da O e un asse coordinato (si sta alludendo alle coordiantepolari).Lo spazio in cui vivono le qi con i = 1, . . . , n, come accennato in apertura, èin generale lo spazio delle configurazioni Cn ed è una varietà differenziabile didimensione n. Una varietà differenziabile Mn è Rn se e solo se ammette unsistema di coordinate globali (come ad esempio (x, y, z)). In quanto tale, lospazio delle configurazioni ha bisogno che siano definiti i suoi assi coordinati.Mantendo due componenti per semplicità, diciamo vettori coordinati

∂~r

∂q1∂~r

∂q2

(2.1)

i quali sono linearmente indipendenti in R2 e generano il piano tangente allasuperficie Σ nel punto individuato da ~r.

−4 −2 0 2 4 −5

0

5−40

−20

0∂~r∂q1

∂~r∂q2

Figura 2.5: Generica superficie.

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Ritornando un istante al significato intuitivo e cartesiano di assi coordi-nati a cui siamo abituati, osserviamo che la definizione sopra espressa di ∂~r

∂q1

diventa ~i nel momento in cui intendiamo q1 = x.

2.2.2 Utilizzo della mappa di immersione

Durante la precedente trattazione circa le calotte sferiche abbiamo ancheaccennato che in determinati casi è necessario operare un cambiamento dicoordinate e in questa sezione ci avvaliamo ancora di un esempio chiarificato-re per evidenziare come la mappa di immersione per passaggio di coordinatedebba essere invertibile.Diciamo Σ = (x, y, z) ∈ R3 : z = 0 il piano di R2, in cui quindi le coordina-te generalizzate sono solo (x, y) e portiamoci in coordinate polari piane: talescelta è dettata dal fatto che molte situazioni fisiche (come i moti circolari oi campi di forza centrali) sono facilmente parametrizzabili attraverso questecoordinate. La trasformazione che andiamo a prendere in considerazione è(Σ;x, y)→ (Σ; ρ, θ) con

x = ρ cos θy = ρ sin θ

(2.2)

e in questo caso le linee coordinate del nuovo spazio sono ρ, le semiretteuscenti da 0 con ρ > 0, e θ ∈ [0, 2π). Il determinante della matrice ditrasformazione è

det[∂x∂ρ

∂x∂θ

∂y∂ρ

∂y∂θ

]= det

[cos θ −ρ sin θsin θ ρ cos θ

]= ρ cos2 θ + ρ sin2 θ = ρ ,

e il determinante della trasformazione non può essere nullo perchè la matricedeve essere invertibile, dunque ρ > 0.

Un altro utilizzo della mappa di immersione può essere fatto quando ilpunto che si vuole identificare attraverso le qi è variabile nel tempo.Supponiamo ora di avere un punto P ∈ R3 identificato in una terna car-tesiana inerziale, vincolato ad una qualunque superficie Σ fissa (come giàvisto sono allora necessarie per identificarlo solo due coordinate generaliz-zate) e diciamo che tale punto si muova, perciò vi sarà un’associazione datadalla mappa composta t 7→ (q1(t), q2(t)). La mappa di immersione in questocaso è l’applicazione i che associa le coordinate generalizzate qi al vettoreposizione ~r = ~r(q1(t), q2(t)), il quale è allora implicitamente funzione deltempo. La sua derivata totale rispetto alla variabile t ci permette di trovarela velocità istantanea del punto P vincolato a Σ è

d~r(q1(t), q2(t))dt

= ∂~r

∂q1

dq1dt

+ ∂~r

∂q2

dq2dt≡ ∂~r

∂q1q1 + ∂~r

∂q2q2

in cui riconosciamo i vettori coordianti dello spazio tangente alla superficieΣ nel punto identificato da ~r.

14

Considerando ora n coordiante generalizzate ed N punti materiali abbiamola formula generale della velocità del punto

d~ridt

=n∑j=1

∂~ri∂qj

qj con i = 1, . . . , N (2.3)

2.3 Energia cineticaStudiamo ora l’energia cinetica che possiede un punto materiale P di massam in movimento vincolato ad una superficie Σ mobile (vincolo reonomo), iltutto avendo fissato una terna inerziale. Le condizioni di questo problemaquindi sono due, ossia la presenza di un vincolo olonomo che ci induce ascrivere che esiste una funzione f : R3 → R3|f(x, y, z) = 0 e il moto di talevincolo, che si può parametrizzare tramite z|Σ = vt′, supponendo ad esempioche la superficie si muova verticalmente con velocità v costante. Osserviamoche la scelta della variabile t′ è stata fatta per differenziarla dalla variabilet, sempre temporale, che però sfrutteremo per parametrizzare la traiettoriadel punto sulla superficie, quindi evidenziamo che t′ 6= t.L’applicazione che descrive il moto del punto nello spazio delle configurazioniè quindi del tipo t 7→ (q1(t), q2(t), t′) e quindi opera sull’insieme Cn × R; lamappa di immersione è l’applicazione i : (q1(t), q2(t), t′) 7→ ~r(q1(t), q2(t), t′)ma siccome in meccanica il tempo è assoluto, semplifichiamo la notazionescrivendo che ~r = ~r(q1(t), q2(t), t) in cui è resa esplicita la dipendenza daltempo per sottolineare la presenza di un vincolo reonomo. La velocità checi serve per calcolare l’energia cinetica è quindi

d~r

dt= ∂~r

∂q1q1 + ∂~r

∂q2q2 + ∂~r

∂t

in cui la somma dei primi due addendi a secondo memebro è detta velocitàintrinseca. In generale possiamo scrivere che

d~ridt

=n∑j=1

∂~ri∂qj

qj + ∂~ri∂t

con i = 1, . . . , N (2.4)

Affermiamo quindi che un vincolo è scleronomo o fisso se e solo se ∂~r∂t

= 0.Siamo ora pronti per calcolare l’energia cinetica T :

T = 12

N∑i=1

mi(~ri · ~ri) = (2.5)

= 12

N∑i=1

mi

(∂~ri∂t

∂~ri∂t

)+ 2

n∑j=1

(∂~ri∂qj

∂~ri∂tqj

)+

n∑j=1

∂~ri∂qj

qj

· ( n∑k=1

∂~ri∂qk

qk

)

15

Sviluppiamo le opportune moltiplicazioni distribuendo le parentesi e intro-duciamo le funzioni A,B,C in modo da ottenere infine

T = A(q, t) +∑j

Bj(q, t) · qj +∑j,k

Cj,k(q, t) · qj · qk (2.6)

In meccanica newtoniana T era funzione quadratica della velocità mentrenella meccanica lagrangiana essa è composta da un termine non dipendentedalla velocità, da uno linerare nelle q e uno quadratico nelle q; notiamoche nel caso di vincoli fissi, ovvero con l’ipotesi di ∂~r

∂t= 0, sopravvivono

solo gli ultimi termini in modo da ottenere proprio una funzione quadraticaomogenea delle q.

16

Capitolo 3

Dinamica dei sistemivincolati

Studiamo ora la dinamica dei sistemi vincolati analizzata dal punto di vi-sta lagrangiano. Partiremo dal caso particolare della statica introducendoalcune grandezze (es. spostamenti virtuali) che nel formalismo newtonianonon sono presenti. Il passaggio alla dinamica vera e propria avverrà graziealla formulazione del Principio dei lavori virtuali che ci permetterà, attra-verso il Principio di D’Alembert, di scrivere le fondamentali equazioni diEulero-Lagrange. È importante sottolineare che i principi enunciati in que-sto capitolo non sono indipendenti dal secondo principio della dinamica diNewton.

3.1 Spostamento virtualeConsideriamo un sistema formato da un numero finito N di punti materialisoggetto a k equazioni di vincolo (vincoli olonomi). Il numero di gradi dilibertà n del sistema è dato per definizione da 3N − k. Le k equazioniche definiscono i vincoli sono funzioni algebriche e, trattandosi di vincoliolonomi, possiamo riscriverle come

fα(~r1(t), ~r2(t), . . . , ~rN (t); t) = 0 (3.1)

con α = 1, . . . , k.Siccome le k equazioni sono tra di loro indipendenti la matrice(

∂fα∂XB

),

dove XB = x1, y1, z1, x2, y2, z2, . . ., ha rango massimo.Vogliamo ora calcolare la derivata totale rispetto al tempo delle fα

d

dtfα(~r1(t), ~r2(t), . . . , ~rN (t); t) =

N∑i=1

∂fα∂~ri· d~ridt

+ ∂fα∂t

= 0 ; (3.2)

17

questa vale ∀α = 1, . . . , k e ∀t.Moltiplicando formalmente per dt la (3.2) otteniamo

N∑i=1

∂fα∂~ri

d~ri + ∂fα∂t

dt = 0 con α = 1, . . . , k. (3.3)

Risolviamo la (3.3) per trovare d~ri ≡ ~vidti=1,...,N che sono le soluzionidelle equazioni di vincolo, ovvero gli spostamenti infinitesimi compatibilicon i vincoli, che avvengono in dt a velocità ~vi. Si possono trovare dueinsiemi di spostamenti possibili d~ri e d~r′i tali che verifichino d~ri = ~vidt ed~r′i = ~v′idt (d~ri e d~r′i differiscono per infinitesimi di ordine ≥ 2). Sottraendo∀α le due equazioni trovate otteniamo

N∑i=1

(∂fα∂~ri

d~ri −∂fα∂~ri′ d~ri

′)

=N∑i=1

∂fα∂~ri

(d~ri − d~ri′) = 0

e definendo d~ri − d~ri′def= δ~ri si ottiene che

N∑i=1

∂fα∂~ri· δ~ri = 0 (3.4)

dove si è sfruttata l’identità ∂fα∂~ri

= ∂fα∂~r′i

dovuta al fatto che ~ri e ~r′i dipendonodallo stesso tempo e quindi fα varia allo stesso modo. Riscrivendo

N∑i=1

∂fα∂~ri· δ~ri = 0 . (3.5)

Queste sono le equazioni che permettono di ricavare gli spostamenti virtualiδ~ri che possono essere visti come gli spostamenti compatibili con i vincoliche avvengono a tempo congelato.

Introduciamo ora, prima di parlare di lavori virtuali, un’altra classifica-zione di vincolo non ancora studiata.

Definizione 3.1. Un vincolo si dice bilatero se accanto ad ogni spostamentovirtuale δ~r può esserci anche −δ~r.

Prima di affrontare il concetto di lavoro virtuale riprendiamo il con-cetto di lavoro infinitesimo compiuto da una forza ~F in uno spostamentoinfinitesimo ~r

~F · d~r = (~F (a) + ~ψ) · d~r = dW ; (3.6)

in analogia il lavoro virtuale sarà definito da

δWdef= (~F (a) + ~ψ) · δ~r . (3.7)

Definiamo ora un’importante tipologia di vincoli fondamentali per ilformalismo lagrangiano.

18

Definizione 3.2. I vincoli che esercitano forze vincolari ~ψi e che soddisfano

δW =N∑i=1

~ψi · δ~ri = 0 ; (3.8)

vengono detti vincoli a lavoro 1 virtuale totale nullo.

Trattiamo ora alcuni esempi che soddisfano la (3.8).

3.1.1 Vincoli lisci

I vincoli lisci sono un chiaro esempio di vincoli a lavoro totale virtuale nullovisto che il prodotto scalare tra la reazione vincolare ~ψ e lo spostamentovirtuale è sempre nullo (~ψ · δ~r = 0), siccome ~ψ ⊥ δ~r ∀t.Confrontiamo il lavoro reale con quello virtuale nei casi di vincoli scleronomie reonomi:

1. Se i vincoli sono scleronomi sia lo spostamento virtuale δ~r che quelloreale d~r sono ortogonali alla reazione vincolare ~ψ; perciò i lavori sonoidenticamente nulli ∀t.

2. Se invece i vincoli sono reonomi lo spostamento "reale" in genere nonè ortogonale alla reazione vincolare ~ψ e perciò il prodotto scalare èdi solito diverso da zero (~ψ · d~r 6= 0); mentre lo spostamento virtuale,trattandosi di uno spostamento ottenuto congelando il tempo, è sempreortogonale alla reazione vincolare.

3.1.2 Vincolo di rigidità

Sono un particolare tipo di vincoli olonomi, scleronomi e come vedremo sonoa lavoro virtuale totale nullo. Prendiamo in considerazione due punti i e jche appartengono ad un corpo qualsiasi. Il vincolo di rigidità si traduce conla condizione che la distanza mutua tra il punto i e il punto j sia costantenel tempo; ovvero

dijdef= |~ri − ~rj | = cost. ∀t e ∀(i, j) ∈ corpo.

In generale sappiamo che esistono due reazioni vincolari (il punto i esercitauna forza ψji sul punto j e viceversa) per cui

~ψij · δ~ri 6= 0 e ~ψji · δ~rj 6= 0 ,

condizione verificata tipicamente dai corpi rigidi sia per traslazioni che perrotazioni dello stesso, ma siccome ~ψij + ~ψji = 0 per il principio di azione ereazione e δ~ri = δ~rj = δ~r, abbiamo che

δW = (~ψij + ~ψji)δ~r = 0 ∀(i, j) ∈ corpo.1Precisiamo che il differenziale δ presente nella (3.8) non è un differenziale esatto.

19

Diamo ora un’osservazione importante che vale per tutti i tipi di vincoloche abbiamo considerato.

Osservazione 3.1. Come si può osservare dal caso del vincolo di rigiditài lavori virtuali compiuti dalle singole reazioni vincolari sono in genere nonnulli; questo fatto è estendibile ad un’ampia gamma di vincoli. Quello checi interessa, come vedremo nei paragrafi successivi, affinché possa essereapplicato il formalismo lagrangiano, è che si annulli il lavoro virtuale totale.

3.1.3 Vincolo di puro rotolamento

Prendiamo ora in considerazione un disco di raggio R che rotola senza stri-sciare su una retta. Chiamiamo C l’unico punto di contatto tra la guida eil disco. Osserviamo che ad un certo t = t0 il punto geometrico di contattoC coincide con C0 sul disco, invece ad un tempo t0 + dt il punto C0 vie-ne a trovarsi in C1. Introduciamo ora l’angolo di rotazione ϕ avendo curache gli assi rispetto cui sono misurati gli angoli siano inerziali. Per ipotesinoi sappiamo che il disco si muove di puro rotolamento e ciò vuol dire cheC ′1, che è la proiezione del punto C1 sulla retta, può essere utilizzato perrappresentare il punto di contatto.

x

=⇒

C ≡ C0

C1

C ′1

Rϕ

Figura 3.1: Puro rotolamento.

Poniamo ora |CC ′1| = |(dx)~i| e l’arco con verso C0 → C1 uguale a−(Rdϕ)~i. Dato che il moto è di puro rotolamento abbiamo che

d~rc = (dx−Rdϕ)~i = 0 ;

dunque troviamo che dx = Rdϕ, che a priori è l’equazione di un vincoloolonomo differenziale. Tale equazione è tuttavia integrabile e, ponendo lacostante di integrazione pari a 0, otteniamo x = Rϕ ossia una sola coordi-nata lagrangiana è sufficiente a rappresentare la posizione del disco in purorotolamento. Il vincolo trovato è a lavoro virtuale totale nullo

δW = ~ψ · δ~rc = 0

20

poiché δ~rc = 0 ∀t: infatti se ogni d~r′i = 0 (condizione di puro rotolamento)allora la differenza tra due oggetti nulli sarà ancora nulla. La suddettacondizione di puro rotolamento infine può essere espressa dicendo che lavelocità del punto di contatto è istante per istante nulla:

d~rcdt

= ~vc(t) = 0 ∀t.

3.2 Principio dei lavori virtualiEnunciamo subito un importante principio che dal punto di vista pratico nonè spesso utilizzabile, ma dal punto di vista teorico risulta molto importantepoiché, dopo una sua riformulazione "dinamica", ci permetterà di scrivere leequazioni di Eulero-Lagrange.

Principio 3.1 (dei lavori virtuali). Condizione necessaria e sufficien-te affinché un sistema di N punti materiali, soggetti a vincoli scleronomi,bilateri e a lavoro virtuale totale nullo2, sia in equilibrio (assoluto) è che

N∑i=1

~F(a)i · δ~ri = 0 ∀δ~ri ammissibile.

Come possiamo osservare questo principio sembra anche molto intuitivo,poiché risulta naturale assumere, in un sistema statico dove tutte le forzevincolari compiono lavoro virtuale totale nullo, affinché ci sia equilibrio, cheanche le forze attive (ovvero le forze rimanenti) compiano un lavoro nullo.Il verso dell’implicazione del principio dei lavori virtuali risulta perciò deltutto naturale, ma l’implicazione inversa non è sempre vera poiché si hannoanche le reazioni vincolari che rendono i δ~ri non indipendenti tra loro.

Sotto l’ipotesi ulteriore di vincoli olonomi possiamo scrivere il vettoreposizione ~ri in funzione delle coordinate generalizzate qj ; perciò il principiopuò essere riscritto nel modo seguente

0 =N∑i=1

~F(a)i ·

(n∑j=1

∂~ri∂qj

)δqj ,

scambiando le sommatorie otteniamon∑j=1

(N∑i=1

~F(a)i · ∂~ri

∂qj

)δqj =

n∑j=1

Qjδqj ; (3.9)

dove abbiamo posto

Qjdef=

N∑i=1

~F(a)i · ∂~ri

∂qj,

2vale a dire tali cheN∑i=1

~ψi · δ~ri

21

che viene detta j-esima forza generalizzata: la possiamo vedere come laproiezione delle forze sulla j-esima coordinata generalizzata.Dalla (3.9) si evince che il sistema è in equilibrio se e solo se Qj = 0 ∀j.

Vediamo ora un’importante notazione che ha poco a che fare con l’ar-gomento in questione, ma che verrà utilizzata in tutto il testo: la notazionedi Einstein per le sommatorie. La convenzione è la seguente: ogni voltache un indice viene ripetuto due volte sotto una sommatoria, il simbolo

∑viene omesso. Tutte le volte che sono presenti due indici e non è presentela sommatoria verrà specificato. Riscriviamo l’equazione precedente con lanotazione appena adottata

0 = ~F(a)i · δ~ri = ~F

(a)i · ∂~ri

∂qjδqj = Qjδqj ,

come si può vedere la scrittura risulta più limpida.Dopo questo breve excursus diamo un’importante applicazione del prin-

cipio dei lavori virtuali.

3.2.1 Stazionarietà dell’energia potenziale

Assumiamo che ciascuna delle forze attive ~F (a)i sia conservativa e che derivi

da un potenziale ordinario (ovvero che dipende solo dalla posizione e nondalla velocità). Affinché sia in equilibrio deve risultare

0 = δW (a) = −∂V∂qj

δqj ⇒ ∂V

∂qj= 0 ∀j ;

ove V = V (q1, . . . , qn) è l’energia potenziale totale. Dalle ipotesi precedentideduciamo quindi che

dV = ∂V

∂qjdqj = 0 ;

perciò si può affermare che, in caso di potenziali ordinari e forze conserva-tive, il punto è in equilibrio se e solo se l’energia potenziale ammette puntostazionario. La classificazione di equilibrio stabile o instabile verrà affrontatapiù avanti nel capitolo delle oscillazioni.

3.3 Equazioni di Eulero-LagrangeIl principio dei lavori virtuali enunciato precedentemente fa riferimento esclu-sivamente al caso statico; cerchiamo ora di ricavare un principio che ci per-metta di vedere una situazione dinamica come una situazione di equilibriocompletamente equivalente.

22

3.3.1 Principio di D’Alembert

Un sistema meccanico formato da N punti materiali è come se fosse inequilibrio sotto l’azione di (~Fi + ~ψ) da cui si sottrae ~pi; dove ~pi

def= mi~vi (inquesto caso non è sottointesa nessuna sommatoria). Questo è giustificatodal fatto che, grazie al secondo principio della dinamica

~pi = ~F(a)i + ~ψi ,

possiamo scrivere cheN∑i=1

(~F (a)i − ~pi + ~ψi) · δ~ri = 0 ,

ma d’altronde la prerichiesta del principio dei lavori virtuali è che il lavorodelle reazioni vincolari sia nullo; quindi otteniamo, per ogni scelta dei δ~ri

N∑i=1

(~F (a)i − ~pi) · δ~ri = 0 , (3.10)

che viene detto Principio di D’Alembert.Da tale principio discendono le equazioni di Lagrange. Prendiamo in consi-derazioni solo vincoli ideali, ovvero olonomi, bilateri e lavoro virtuale totalenullo.

Dimostrazione. Sia ~ri = ~ri(q1, . . . , qn; t), con i = 1, . . . , N , il vettore posizio-

ne dell’i-esima particella. Un suo spostamento virtuale allora sarà δ~ri = ∂~ri∂qj

δqj

(non ci vuole ∂~r∂t perché il tempo è congelato). Utilizziamo la notazione

di Einstein ed omettiamo l’apice (a) per non appesantire eccessivamente lanotazione. Considerando il primo addendo della (3.10) abbiamo

~Fi · δ~ri =(~Fi ·

∂~ri∂qj

)δqj

def= Qjδqj ,

con Qj la j-esima forza generalizzata; per quel che riguarda il secondo invece

~pi · δ~ri = (mi~ri) ·∂~ri∂qj

δqj . (3.11)

Rivediamo ora alcuni termini della (3.11). Tramite la regola di Leibnitzabbiamo che:

(mi~ri) ·∂~ri∂qj

= d

dt

[mi~ri ·

∂~ri∂qj

]−mi~ri ·

d

dt

(∂~ri∂qj

),

dove−mi~ri ·

d

dt

(∂~ri∂qj

)= −mi~vi ·

(∂~vi∂qj

).

23

Inoltre noi sappiamo che

d~ridt≡ ~ri = ~vi = ∂~ri

∂qj

dqjdt

+ ∂~ri∂t

= ∂~ri∂qj

qj + ∂~ri∂t

,

dalla quale si evince un’importante proprietà: calcolando la derivata parzialedi ~vi rispetto a qj , otteniamo

∂~vi∂qj

= ∂~ri∂qj

.

Da queste considerazione la (3.11) diventa[d

dt

(mi~vi ·

∂~vi∂qj

)−mi~vi ·

∂~vi∂qj

]δqj =

[d

dt

∂

∂qj

(12miv

2i

)− ∂

∂qj

(12miv

2i

)]δqj .

Mettendo insieme i vari pezzi e ricordando che l’energia cinetica è sottol’ipotesi di vincolo scleronomo T = 1

2miv2i , abbiamo[

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj−Qj

]δqj = 0 ,

ma sappiamo che δqj sono tra di loro indipendenti e allora valgono (∀j)le equazioni

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj= Qj ; (3.12)

che vengono dette equazioni di Eulero-Lagrange.

Se come ulteriore richiesta poniamo che le forze attive siano conservativee derivabili da un potenziale ordinario V (q1, . . . , qn) (Qj = − ∂V

∂qj) allora le

(3.12) diventano

d

dt

(∂(T − V )

∂qj

)− ∂(T − V )

∂qj= 0 .

Ponendo L = T − V abbiamo infine che

d

dt

(∂L∂qj

)− ∂L∂qj

= 0

che sono n equazioni differenziali del secondo ordine accoppiate.

3.3.2 Invarianza in forma delle equazioni di Lagrange

Vediamo adesso alcune delle proprietà fondamentali delle equazioni di Eulero-Lagrange.

24

Prendiamo nello spazio delle configurazioni Cn le coordinate generalizzate(q1, . . . , qn); perciò la lagrangiana sarà della forma

L = (q1, . . . , qn; ˙q1, . . . , ˙qn; t) ≡ L(q, ˙q, t)

e le equazioni di Lagrange saranno

d

dt

(∂L∂ ˙qj

)− ∂L∂qj

= 0 . (3.13)

Introduciamo ora le funzioni di cambiamento di coordinate

qk = qk(q1, . . . , qn; t)

che siano almeno di classe C1 e invertibili, ovvero tali che

det(∂qk∂qj

)6= 0 .

Sappiamo che la lagrangiana è una funzione scalare e perciò il suo valore nonpuò dipendere dalla scelta delle coordinate in cui la esprimiamo (uguaglianzain valore):

L(q, ˙q, t) = L(q(q, t), q(q, ˙q, t), t) ∀t .

Vogliamo ora dimostrare che la nuova lagrangiana L soddisfi le equazioni diLagrange. Incominciamo esplicitando le derivate presenti nella (3.13):

∂L∂ ˙qj

= ∂L∂qk

∂qk∂ ˙qj

= ∂L∂qk

∂qk∂qj

;

dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato la proprietà

dqkdt

= qk = ∂qk∂qj

dqjdt

= ∂qk∂qj

˙qj ;

infine derivando rispetto al tempo otteniamo

d

dt

(∂L∂ ˙qj

)= d

dt

(∂L∂qk

)∂qk∂qj

+ ∂L∂qk

d

dt

(∂qk∂qj

)= d

dt

(∂L∂qk

)∂qk∂qj

+ ∂L∂qk

∂qk∂qj

Concentriamoci ora sull’altra derivata

∂L∂qj

= ∂L∂qk

∂qk∂qj

+ ∂L∂qk

∂qk∂qj

.

Ricomponendo l’equazione di Lagrange otteniamo[d

dt

(∂L∂qk

)− ∂L∂qk

]∂qk∂qj

= 0 (ricordiamo che∑k è sottintesa) ;

25

siccome la matrice(∂qk∂qj

)è non singolare, allora tutte le derivate sono

linearmente indipendenti e perciò

d

dt

(∂L∂qk

)− ∂L∂qk

= 0 ∀k .

Siccome abbiamo verificato che anche L verifica le equazioni di Eulero-Lagrange segue immediatamente che le equazioni di Lagrange sono inva-rianti in forma.

26

Capitolo 4

Leggi di conservazione

4.1 Momento coniugatoCome abbiamo potuto osservare fino a questo momento, le equazioni del mo-to sono equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine; la loro risoluzionesarebbe semplificata se esistessero funzioni del tipo

f(q, q)| ddtf(q(t), q(t), t) = 0 ∀t ,

quindi f(q(t), q(t)) = costante = f(q(0), q(0)).

Definizione 4.1 (momento coniugato). Si definisce momento coniugatoalla coordinata qk la quantità

∂L∂qk

def= pk (4.1)

Osserviamo che se il potenziale fosse ordinario, V = V (q1, . . . , qn) equindi ∂L

∂qk= ∂T

∂qk= pk. Da questo discende che l’equazione di Lagrange

diventa semplicementedpkdt

= ∂L∂qk

.

Supponiamo ora che la lagrangiana sia ciclica, ossia che non dipenda dauna particolare coordinata qj in modo tale che ∂L

∂qj= 0 = dpj

dt: essa è una

legge di conservazione e pj è detto integrale primo di moto per la j-esimaequazione.

Definizione 4.2 (coordinata di traslazione). Se una coordinata qj èdi traslazione, il suo momento coniugato è la componente della quantità dimoto in direzione della traslazione.

27

o

z

y

x

i

~ri

d~ri

Figura 4.1: Traslazione di punti.

o

z

y

x

P~n

θ

dϕ

~r

Figura 4.2: Rotazione.

Presi N punti materiali, identifichiamo l’i-esimo con il vettore posizione~ri = ~ri(q1, . . . , qj , . . . , qn): qj è di traslazione se un movimento infinitesi-mo lungo questa coordinata corrisponde ad una traslazione di tutti i puntidel sistema in una direzione ~n, con ~n versore, quindi d~ri = ~ndqj . Inoltreosserviamo che

∂~ri∂qj

= limdqj→0

~ri(q1, . . . , qj + dqj , . . . , qn)− ~ri(q1, . . . , qj , . . . , qn)dqj

= ~n ,

che quindi corrisponde all’asse coordinato dello spazio delle configurazionilungo cui avviene la traslazione.Supponiamo come al solito che il potenziale sia ordinario, in modo che ∂L

∂qj=

∂T

∂qje quindi che l’equazione di Lagrange diventi

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj+ ∂V

∂qj= 0 .

La prima derivata parziale equivale a

∂T

∂qj= ∂

∂qj

(12

N∑i=1

mi~rj~rj

)=

N∑i=1

mi~rj∂~ri∂qj

=N∑i=1

mi~rj∂~ri∂qj

=

=N∑i=1

mi~rj~n = ~p · ~n = pj :

il momento coniugato alla coordinata lungo la quale avviene la traslazione èdunque il prodotto scalare tra la quantità di moto totale ~p e il versore dellatraslazione ~n. Ricordiamo che ∂V

∂qj= −Qj e che

∂T

∂qj= ∂

∂qj

(12∑i

mi~ri~ri

)=∑i

mi~rid

dt

(∂~ri∂qj

)=∑i

mi~rid~n

dt= 0

28

siccome ~n è costante nel tempo.Ricomponendo le varie derivate ed inserendole nell’equazione di Lagrangeotteniamo

d

dt(~p · ~n) = Qj =

N∑i=1

~F(a)i

∂~ri∂qj

=N∑i=1

~F(a)i · ~n ,

ritrovando così un notevole risultato presente anche nel formalismo newto-niano:

d(~p · ~n)dt

= R(ext) · ~n (4.2)

in cui osserviamo che∑i~F

(a)i sono forze attive che si compensano tra di loro

se interne, lasciando solo una risultante esterna.Ricapitolando, se L è ciclica, ovvero non dipende da una qj , e tale qj è ditraslazione allora dpj

dt = − ∂V∂qj

= 0, quindi pj si conserva.

Definizione 4.3 (coordinata di rotazione). Se una coordinata qj è dirotazione, il suo momento coniugato è la componente del momento angolaredell’intero sistema lungo l’asse di rotazione.

Con riferimento alla figura 4.2, chiamiamo l’angolo della rotazione in-finitesima dϕ intorno all’asse z ed osserviamo che |~r + d~r| = |~r| siccomeil punto materiale identificato dal vettore posizione deve stare sempre allastessa distanza dall’origine: è immediato notare che quindi, detto θ l’an-golo tra il vettore posizione e l’asse di rotazione, |d~r| = |~r| sin θdϕ, ovverod~r = (~n × ~r)dϕ e quindi, siccome in un moto di questo tipo la coordinata

angolare è una coordinata generalizzata, possiamo scrivere ∂~ri∂qj

= ~n × ~ri.

Vediamo come diventa l’equazione di Lagrange in queste ipotesi.

∂L∂qj

= ∂T

∂qj= ∂

∂qj

(12

N∑i=1

mi~ri · ~ri)

=N∑i=1

mi~ri ·∂~ri∂qj

=N∑i=1

mi~ri ·∂~ri∂qj

=

=N∑i=1

mi~ri · (~n× ~ri) = ~n ·( N∑i=1

~ri ×mi~vi

)= ~n · ~L(tot) .

La seconda derivata parziale che calcoliamo è

∂T

∂qj= ∂

∂qj

(12

N∑i=1

mi~ri · ~ri)

=N∑i=1

mi~ri ·∂~ ir

∂qj=

N∑i=1

mi~ri ·d

dt

(∂~ri∂qj

)=

=N∑i=1

mi~ri ·d

dt(~n× ~ri) =

N∑i=1

mi~ri · (~n× ~ri) =N∑i=1

mi~n · (~ri × ~ri) = 0 .

Infine, sapendo che

∂V

∂qj= −Q =

N∑i=1

~F(a)i · ∂~ri

∂qj=

N∑i=1

~F(a)i · (~n× ~ri) = ~n · ~M (tot)

29

e quindi ricomponendo tutte le derivate otteniamo una relazione simile aquella ricavata per le traslazioni e anch’essa riscontrabile nel formalismonewtoniano,

d(~n · ~L(tot))dt

= ~n · ~M (ext) , (4.3)

dove ~M (ext) è la risultante del momento delle forze esterne.

4.2 Conservazione hamiltonianaNella precedente introduzione alle costanti del moto abbiamo osservato leconseguenze che si presentano se esistono coordinate cicliche, ossia se esi-stono leggi di conservazione del tipo dpk

dt= 0. Cosa si otterrebbe, però,

calcolando dLdt

? Innanzitutto mettiamoci nel caso di potenziali ordinari,anche se in generale si potrebbe considerarli dipendenti pure dalle velocità,così da definire L(q, q, t) def= T (q, q, t)−V (q, q); la sua derivata totale rispettoal tempo diventa

dLdt

= ∂L∂qk

dqkdt

+ ∂L∂qk

dqkdt

+ ∂L∂t

= ∂L∂qk

qk + pkdqkdt

+ ∂L∂t

dove è sottointesa la sommatoria sull’indice k. Ricordando che valgono

le equazioni di Lagrange e che quindi ∂L∂qk

= d

dt

(∂L∂qk

)= dpk

dtpossiamo

sostituire questa identità nella precedente derivata temporale, ottenendo

d

dt[pkqk] + ∂L

∂t= dL

dt⇒ d

dt[pkqk − L] = −∂L

∂t(4.4)

dove, continuiamo a sottolinearlo, è sottointesa la sommatoria su k.Definiamo il termine tra parentesi hamiltoniana H def= pkqk−L ed osserviamoche se L non dipende esplicitamente dal tempo, H è una costante del moto.

Imponiamo come ulteriore condizione, oltre all’ordinarietà del potenzia-le, che i vincoli siano scleronomi, implicando che l’energia cinetica sia unafunzione omogenea quadratica delle q come dimostrato dall’equazione (2.6),in particolare T = Ak,j(q, t)qkqj . In RN una funzione si dice omogenea digrado k se f(λx1, . . . , λxn) = λkf(x1, . . . , xn), con λ ∈ R; il teorema di Eu-

lero afferma che per una tale funzione valeN∑i=1

xi∂f

∂xi= kf .

Con tali ipotesi, osserviamo che significato fisico assume H; grazie all’ipotesidei potenziali ordinari abbiamo che ∂L

∂qk= ∂T

∂qk, quindi

H = pkqk − L = ∂T

∂qkqk − L = 2T − (T − V ) = T + V = E (4.5)

30

dove si è usato il teorema di Eulero nel secondo passaggio siccome T è unafunzione omogenea del secondo ordine, mentre E è l’energia meccanica totaledel sistema.

Come è stato detto sopra, quando la lagrangiana non dipende esplicita-mente dal tempo, l’hamiltoniana si conserva. Solo nelle ipotesi aggiuntiveespresse precedentemente, H = E e quindi anche E si conserva, ma esistonocasi in cui si conserva H e non E.

4.3 Applicazione del formalismo lagrangianoVediamo adesso un esempio in cui si applica il formalismo lagrangiano, ossianei moti centrali caratterizzati da una forza ~F = f(r)~rr , con r modulo delvettore posizione.

Grazie al formalismo newtoniano avremmo potuto affermare, in questoparticolare caso, che ~F è irrotazionale, quindi ∃V = V (r)|~F = −∇V ; perquanto concerne la dinamica, m~x = ~F ⇒ ~r × ~x = 0 ∀t. Il momentoangolare ~L = ~r ×m~v si conserva, infatti abbiamo che

d~L

dt= d~r

dt× (m~v) + ~r ×

(md~v

dt

)= ~v × (m~v) + ~r × (m~a) = 0 .

Infine la forza presa in esame è conservativa, perciò E = T + V si conserva:abbiamo quindi due costanti del moto, ~L ed E.

In una trattazione in termini lagrangiani, invece, sono utilizzati menoconcetti per giungere alle stesse conclusioni.

~L0

~r0~v0

Figura 4.3: Moto planare.

Diciamo ~L0def= ~r0 × m~v0 6= 0 perchè altrimenti il moto diventerebbe

unidimensionale e non siamo interessati a questo semplice caso. Il punto Pdi massam che si muove in tale campo di forze centrali ha in genrale tre gradidi libertà, ma siccome d~L

dt = 0, il moto sarà confinato dinamicamente in unpiano e quindi i gradi di libertà scenderanno a due. Questa semplificazionedello studio del moto risulta ancor più comoda se si usano le coordinatepolari: V = V (ρ) e L = 1

2m(ρ2 + ρ2θ2) − V (ρ). Possiamo osservare che Lnon dipende esplicitamente da t, perciò H si conserva ed inoltre, essendo

31

il potenziale ordinario, sussiste la corrispondenza H = E. Notiamo ancheche non c’è dipendenza da θ (solo da θ), perciò tale coordinata è ciclica; perquanto visto nelle sezioni precedenti, allora, pθ = ∂L

∂θ= mρ2θ = Lz è una

costante del moto. A questo punto si può osservare che esistono dunque duemodi per mostrare che il moto è planare: il primo si basa sul fatto che seil momento angolare si conserva allora esso sarà diretto ortogonalmente alpiano in cui si svolge il moto; con il secondo modo basta osservare che θè una coordinata di rotazione e che quindi pθ è la componente di ~L lungol’asse perpendicolare al piano.

4.4 SimmetrieIntroduciamo ora l’importante nozione di simmetria alla quale, grazie alteorema di Noether, potremo far corrispondere una costante del moto equindi facilitare la risoluzione delle equazioni del moto di un sistema dipunti.

Definizione 4.4 (simmetria). Un sistema meccanico possiede una sim-metria se è invariante rispetto una classe di trasformazioni che formano ungruppo.

Ricordiamo che un gruppo è un insieme non vuoto con una operazionebinaria (come somma o prodotto), la proprietà associativa, l’elemento neutroe l’inverso.

Sappiamo che la L è invariante in valore, perciò applicando un cambia-mento di coordinate abbiamo l’uguaglianza

L′(q′, q′, t) = L(q(q′, t), q(q′, q′, t), t) .

L’invarianza per simmetria è invece qualcosa di più specifico, ossia una pro-prietà che mantenga la stessa forma funzionale della vecchia lagrangianae, siccome la struttura delle equazioni di Lagrange viene mantenuta, comegià dimostrato nel paragrafo 3.3.2, l’invarianza per simmetria conduce adequazioni del moto identiche con l’unica differenza delle coordinate genera-lizzate scelte; nel caso in cui la lagrangiana fosse già invariante si avrebbel’uguaglianza L′(q′, q′, t) = L(q′, q′, t), cioè le due lagrangiane sono la stessafunzione. Tuttavia questo è un caso troppo restrittivo in una trattazionegenerale come vorremmo studiare e a dimostrazione di ciò proponiamo uncontroesempio.Supponiamo che il punto materiale non sia soggetto a forze quindi la sualagrangiana sarà uguale all’energia cinetica T e scriviamo tale espressione incoordinate cartesiane e polari: T = 1

2m(x2 + y2) = 12m(ρ2 + ρ2θ2). Le leggi

del moto, nei due casi, sarannomx = 0my = 0

=⇒mρ = 0mρ2θ = 0

(4.6)

32

che danno quindi lo stesso risultato, ovviamente, ma non sono identiche informa.

Proposizione 4.1. La condizione che porta ad equazioni del moto identicheper ogni t è

L′(q′, q′, t) = L(q′, q′, t) + dΛ(q′, t)dt

(4.7)

con Λ(q′, t) funzione regolare.

L’utilità di tale funione è quindi di rendere la lagrangiana invariante informa e allo stesso tempo di lasciare immutata la forma delle equazioni diLagrange; dimostriamolo.

Dimostrazione. Innanzitutto osserviamo che la derivata totale di Λ puòessere scritta come

dΛdt

= ∂Λ∂q′k

q′k + ∂Λ∂t

.

Procediamo come al solito alla derivazione dei due addendi dell’equazione

di lagrange, ddt

(∂L′

∂q′l

)− ∂L′

∂q′l= 0, e otteniamo

∂L′

∂q′l= ∂L∂q′l

+ ∂

∂q′l

(∂Λ∂q′k

q′k + ∂Λ∂t

)= ∂L∂q′l

+(

∂2Λ∂q′l∂q

′k

q′k

)+ ∂2Λ∂q′l∂t

.

∂L′

∂q′l= ∂L∂q′l

+ ∂Λ∂q′l

,

d

dt

(∂L′

∂q′l

)= d

dt

(∂L∂q′l

)+ ∂2Λ∂q′l∂q

′k

q′k + ∂2Λ∂q′l∂t

Ricomponendo l’equazione abbiamo che

d

dt

(∂L′

∂q′l

)− ∂L′

∂q′l= d

dt

(∂L∂q′l

)− ∂L∂q′l

= 0 .

4.5 Trasformazioni infinitesime e teorema di Noe-ther

Prendiamo ora in considerazione un particolare genere di trasformazioni,quelle dipendenti da un parametro (che identificheremo con α ∈ R) e infini-tesime.

Detto appunto α ∈ (−a, a) supponiamo che la trasformazione q′k =q′k(q1, . . . , qn;α; t) con k = 1, . . . , n sia differenziabile ed invertibile ∀α e

33

che esista un certo α0 tale che q′k(q1, . . . , qn;α0; t) = qk, ossia a cui corri-sponda la trasformazione identità; queste funzioni formano un gruppo persuccessiva applicazione:

q′k = q′k(q;α1; t)

q′′k = q′′k(q′;α2; t) = q′′k(q;α1 + α2; t) .

In particolare una variazione infinitsima del parametro è α = α0 + δα a cuicorrisponde la trasformazione q′k = qk + δqk ∀k = 1, . . . , n e dove il termine

δqk = ∂qk∂α

δα = q′k − qk è un incremento virtuale. Osserviamo che è statousato il termine δ e non d nell’incremento, siccome nella nostra trattazioneil tempo è considerato alla stregua di un parametro e quindi è di interesseosservare solo la variazione δqk.

Supponiamo ora che la trasformazione sia di simmetria, quindi graziealla (4.7) possiamo scrivere l’uguaglianza

L(q, q, t) = L(q + δq, q + δq, t) + dΛ(q + δq, t)dt

. (4.8)

Non devono preoccupare le notazioni leggermente diverse: infatti grazie al-l’invarianza in valore della lagrangiana, L′(q′, q′, t) = L(q′(q, t), q′(q, q, t), t) =L(q, q, t) motiva il membro a sinistra, la trasformazione q′ = q + δq motivaquello a destra.Sviluppiamo al primo ordine l’equazione ed otteniamo

L(q, q, t)+[∂L∂qk

δqk + ∂L∂qk

δqk

]+ d

dt

(Λ(q, t)+ ∂Λ

∂qkδqk

)−L(q, q, t) = 0 ∂Λ

∂qkδqk = δΛ .

Osserviamo che il termined

dt(Λ(q, t)) = 0

perchè il tempo è congelato e sfruttando il teorema di Leibnitz abbiamo che

∂L∂qk

δqk = d

dt

(∂L∂qk

δqk

)− d

dt

(∂L∂qk

)δqk ,

e sostituendo nell’equazione e riordinando, otteniamo:[∂L∂qk− d

dt

(∂L∂qk

)]δqk + d

dt

[∂L∂qk

δqk + δΛ]

= 0 .

Siccome valgono le equazioni di Lagrange, la prima parentesi è nulla, quindidal calcolo è stata ricavata una costante del moto, siccome

d

dt

[∂L∂qk

δqk + δΛ]

= 0 (4.9)

Tale equazione è espressione del cosiddetto

34

Teorema 4.1 (di Noether). Ad ogni simmetria corrisponde una costantedel moto.

La coordinata ciclica è un particolare caso del teorema di Noether, perchèsupponendo che vi sia una sola qj ciclica, la trasformazione è del tipo

qj −→ qj + δqj

qk −→ qk

∀k 6= j. Siccome qj è ciclica le due lagrangiane di (4.8) non ne dipen-

dono e sarà così anche per Λ. In tal caso δΛ = 0, quindi d

dt(pjδqj) =

d

dt

(pj∂qj∂α

δα

)= 0 che implica la conservazione di pj , come già sapevamo.

35

Capitolo 5

Oscillazioni

Nello studio dei sistemi assume grande importanza ed interesse la ricercadelle condizioni di equilibrio, stabili o meno, e tale analisi porta a risultatimolto utili anche dal punto di vista pratico.

5.1 Equilibrio stabileConsideriamo un sistema con n gradi di libertà e facciamo le seguenti ipotesi:

• Siano i vincoli olonomi, bilateri e a lavoro virtuale nullo.

• Le forze attive siano conservative e i potenziali ordinari.

• Si considerino vincoli scleronomi (fissi).

Definizione 5.1 (Equilibrio in n gradi di libertà). In tali condizioni,le soluzioni di

∂V (q1, . . . , qn)∂qk

= 0 (5.1)

si chiamano configurazioni di equilibrio.

Infatti, siccome l’ipotesi è che δW = 0, ciò implica che

dV = 0 = ∂V (q1, . . . , qn)∂qk

dqk ⇐⇒∂V

∂qk= 0 ∀k .

Supponiamo che esista una soluzione di (5.1) e denotiamola con Γ = (q01, . . . , q0n),

che quindi soddisfa l’equazione ∂V

∂qk

∣∣∣∣Γ

= 0 ∀k.

Introduciamo ora una nuova grandezza fisica, gli scostamenti, di cui fa-remo uso nella nostra trattazione circa l’equilibrio dei sistemi. Facendo unashift delle coordinate diciamo qj → ηj

def= qj − q0j , ossia pratichiamo una va-riazione delle coordinate generalizzate intorno alla posizione di equilibrio Γ.A questo punto possiamo enunciare la definizione di configurazione stabile:

36

Definizione 5.2 (Equilibrio stabile). Γ è una configurazione di equilibriostabile se, comunque fissato ε > 0, ∃δ > 0 tale che per ogni scelta deidati iniziali ηk(0) ed ηk(0) tali che |ηk(0)| < δ e |ηk(0)| < δ, succeda che|ηk(t)| < ε e |ηk(t)| < ε ∀t.

Enunciamo ora un criterio necessario per la stabilità, detto

Teorema 5.1 (di Lagrange-Dirichlet). Se V (q1, . . . , qn) ha in Γ un mi-nimo stretto allora Γ è di equilibrio stabile.

Definiamo ora per comodità l’hessiana di V nel punto Γ nel seguentemodo (

∂2V

∂qj∂qk

) ∣∣∣∣Γ

def= Vjk (5.2)

ed osserviamo che la condizione espressa dal teorema di Lagrange-Diricheletsi traduce in detVjk > 0 e Vjj > 0 ∀j elemento della diagonale 1. SedetVjk 6= 0 e V non ha un minimo stretto allora il sistema è in una confi-gurazione instabile, se invece detVjk = 0 i casi sono dubbi e non si possonofare conclusioni senza altre informazioni.

Come sappiamo, la lagrangiana del sistema sarà L = T (q, q) − V (q), ilcui ultimo termine scritto in funzione degli scostamenti è

V (q01+η1, . . . , q0n+ηn) = V (q01, . . . , q0n)+∂V

∂qj

∣∣∣∣Γηj+

12∂2V

∂qj∂qk

∣∣∣∣Γηjηk+O(η3) ,

ma siccome l’energia potenziale è definita a meno di una costante addi-tiva, poniamo il primo termine al secondo membro 0 e grazie all’ipotesiche Γ sia di equilibrio, anche il secondo termine è nullo. Scriviamo quindiV (η) = 1

2Vjkηjηk ≡ V? a meno di ordini superiori.

Procediamo ora in modo tale da scrivere in maniera simile anche l’ener-gia cinetica: grazie all’ipotesi di vincoli scleronomi l’energia cinetica è unafunzione quadratica nelle q, quindi T (q, q) = 1

2mjk(q)qj qk. Osservato cheηj = qj e dette mjk(q) le funzioni che comprendono anche le masse,

T = 12mjk(η)ηj ηk = 1

2mjk(q01 + η1, . . . , q0n + ηn)ηj ηk ∼

∼ 12mjk(Γ)ηj ηk

def= Tjk12 ηj ηk ≡ T

? .

La lagrangiana per le piccole oscillazioni è allora L? = 12Tjkηj ηk−

12Vjkηjηk =

T ?− V ?, ovvero una somma di due forme bilineari simmetriche n× n. Scri-viamo ora l’equazione di Lagrange ed usiamo l’indice i per non confondere

1Ricordiamo infatti che la matrice hessiana è reale e simmetrica (grazie al teoremadi Schwarz) e quindi sempre diagonalizzabile. Affinchè sia definita positiva, dall’algebralineare, è necessario che ogni suo minore sia definito positivo e quindi in particolare ancheogni elemento della diagonale.

37

la notazione:d

dt

(∂L?

∂qηi

)− ∂L?

∂qηi= 0 = d

dt

(∂T ?

∂ηi

)+ ∂V ?

∂ηi. (5.3)

∂V ?

∂ηi= 1

2∂

∂ηi(Vjkηjηk) = 1

2

(Vjk

∂ηj∂ηi

ηk + Vjkηj∂ηk∂ηi

)= 1

2 (Vikηk + Vjiηj) ,

grazie al fatto che la derivata parziale di ηj rispetto ηi è il delta di Kroneckherδji. Siccome sono sottointese le sommatorie per j e per k è lecito scambiaregli indici della matrice Vji e cambiare il pedice j con k, ottenendo così

12 (Vikηk + Vijηj) = 1

2 (Vikηk + Vikηk) = Vikηk .

Facciamo ora gli stessi passaggi per T ? e otteniamo ched

dt

(∂T ?

∂ηi

)= Tikηk .

Ricomponendo l’equazione (5.3) troviamon∑k=1

Tikηk + Vikηk = 0 . (5.4)

L’equazione (5.4) rappresenta n oscillatori armonici accoppiati siccome Vikè definita positiva.

5.2 Metodo della soluzione di provaDall’analisi sappiamo che la soluzione dell’equazione (5.4) è del tipo ηj(t) =Caje

−iωt detta soluzione di prova in forma complessa e dove Caj ∈ C rap-presenta l’ampiezza del moto. Inserendo tale soluzione nell’equazione (5.4)otteniamo, cambiando indice,

n∑j=1

Tkj ηj + Vkjηj =n∑j=1

[−Tkjω2Caj + VkjCaj ]e−iωt = 0 ,

e siccome l’esponenziale non si annulla mai, la parentesi quadra deve esserenulla; inoltre osserviamo che anche C 6= 0 altrimenti non si avrebbe ampiezzae quindi non ci sarebbe moto. L’equazione differenziale (5.4) si riduce quindia

n∑j=1

Vkjaj − ω2Tkjaj = 0 . (5.5)

La condizione affinchè esista soluzione è che l’equazione secolare associataabbia soluzioni e che il determinante della matrice

V11 − ω2T11 V12 − ω2T12 . . . V1n − ω2T1nV21 − ω2T21 V22 − ω2T22 . . . V2n − ω2T2n

. . . . . . . . . . . .Vn1 − ω2Tn1 Vn2 − ω2Tn2 . . . Vnn − ω2Tnn

38

sia uguale a 0.Supponiamo ora che le soluzioni, ovvero tutti i possibili valori dell’incognitaω2, siano n e che le radici, cioè le soluzioni stesse, del polinomio siano tuttedistinte: ω2

(1), ω2(2), . . . , ω

2(n), dette frequenze di vibrazione libera o frequenze

di risonanza. A questo punto sostituiamo ogni radice nell’equazione (5.5)per riuscire ad ottenere l’autovettore aj corrispondente alla frequenza ω(j).

Analizziamo ora un caso particolare.Supponiamo che

T ? = 12

n∑i=1

(ηi)2 ,

ovvero che Tjk = δjk, argomenti della matrice identità: con tale ipotesirisulta che l’equazione (5.5) si riduce a

n∑j=1

Vkjaj = ω2ak

ed osservato che aj è la componente di un n-vettore possiamo scrivere taleespressione nella forma matriciale

V~a = ω2~a .

Abbiamo quindi che det (V− ω2T) = 0 e in questo modo possiamo deter-minare le soluzioni ω2

(k): sussiste infatti la relazione di similitudine

AVA =

λ(1) 0

. . .0 λ(n)

= λI , (5.6)

dove A è la matrice degli autovettori e A è la sua trasposta, per le quali valela relazione AA = I essendo ortogonali.É possibile generalizzare il caso particolare, infatti vale l’equazione

V~a = λT~a

che è il caso generale per un solo autovettore λ = ω2. Al lettore volente-roso è lasciata la dimostrazione del fatto che la matrice A è quella tale chediagonalizza simultaneamente V e T, di cui si è già accennato con (5.6):si trova che ATA = I. Dalle equazioni del moto (5.5) risulta chiaro che lasoluzione più generale di ognuna di esse è una combinazione lineare dellesoluzioni trovate e sarà quindi del tipo

ηj(t) =n∑k=1

Ckajke−iω(k)t (5.7)

39

ove Ck ∈ C e di cui siamo interessati solo alla parte reale che descrive ilmoto effettivo dell’oscillatore:

Re(ηj(t)) =n∑k=1

fkajk cos (ω(k)t+ Φ(k)) (5.8)

detta fk ∈ R la parte reale di Ck. Ciascuna ηj(t) rappresenta un motomolteplicemente periodico, con periodi dati da ω(k) e a meno che le frequenzesiano tali che ω(k)

ω(k′)∈ Z, lo scostamento ηj(t) non varierà su un singolo

periodo; questo vuol dire che in generale ηj(t) 6= ηj(t+ T ).

5.3 Modi normaliI moti ηj(t) accoppiati si possono disaccoppiare ed ottenere i cosiddetti mo-di normali e per trovarne le forme funzionali operiamo il cambiamento dicoordinate ξj = ξj(η1, . . . , ηn) tale che ηj = Σjaijξj : verifichiamo che taletrasformazione disaccoppi i moti.In notazione matriciale abbiamo cheη1

...ηn

= η = Aξ =

a11. . .

ann

ξ1

...ξn

; η = (Aξ) = ξA

e con questa notazione più comoda scriviamo l’energia potenziale e l’energiacinetica del moto oscillante.

V ? = 12 ηVη = 1

2 ξAVAξ = 12 ξλξ = 1

2

n∑k=1

λ(k)(ξk)2

ed osservato che η = Aξ perché la matrice A non dipende dal tempo,abbiamo che

T ? = 12

˜ηTη = 12

˜ξATAξ = 12

n∑k=1

(ξk)2 .

Grazie a queste considerazioni possiamo scrivere la lagrangiana del sistema

L?(ξ, ξ) =n∑k=1Lk(ξ, ξ) ove Lk = 1

2(ξk)2 − 12λ

(k)(ξk)2 (5.9)

e dall’equazione di Lagrange otteniamo l’equazione del moto e la sua solu-zione:

ξk + λ(k)ξk = 0 ⇒ ξk(t) = fk cos (ω(k)t+ Φ(k)) .

Risulta infine evidente che ogni singola lagrangiana Lk dell’equazione (5.9)rappresenti un oscillatore armonico monodimensionale con pulsazione ω(k) efase Φ(k) e ciò vuol dire che il moto molteplicemente periodico (5.8) è statocosì disaccoppiato nei suoi modi normali.

40

Capitolo 6

Il problema dei due corpi

In questo capitolo ci occuperemo della dinamica di due corpi soggetti ad uncampo di forze diretto come la loro congiungente: tale analisi sarà moltoutile per capire il moto effettivo che ad esempio segue un pianeta nel nostroSistema Solare e ci fornirà la ben note tre leggi di Keplero.

6.1 Riduzione del problemaFissiamo un sistema di riferimento inerziale e consideriamo due corpi mate-riali puntiformi isolati P1 e P2 rispettivamente di masse m1 e m2 soggettiad una forza interna conservativa diretta lungo la loro congiungente; chia-miamo in tale sistema ~R1 e ~R2 i vettori posizione dei due punti e P1P2 ladistanza tra i due. Procediamo con il conteggio dei gradi di libertà che im-mediatamente si capisce essere 3 per ogni corpo, quindi 6 totali; sfruttandole ipotesi di lavoro vediamo che è possibile trattare lo stesso problema inmodo semplificato e abbassare tale numero. Infatti il sistema dei due corpi,essendo isolato, conserva la sua quantità di moto e quindi il centro di massaC.M. si muoverà di moto inerziale:

~R(t) = ~v0t+ ~R0 , ove ~R =~R1m1 + ~R2m2m1 +m2

.

Poniamo dunque la terna di riferimento inerziale nel centro di massa il qualegrazie alla formula che ben conosciamo è sempre facilmente identificabileed osserviamo che questa scelta ci porta a ridurre i gradi di libertà delsistema a 3, ossia "eliminando" le coordinate del C.M.; per portare a terminequesta semplificazione però è necessario trovare anche un termine di massada associare al centro di massa, che non può essere la banale somma di m1e di m2.

41

o

z

y

x

P1

P2

C.M.

R1

R2

R

Figura 6.1: Problema dei due corpi

Definiamo quindi ~r1def= ~R1 − ~R e ~r2

def= ~R2 − ~R le distanze dei due puntidal centro di massa e ~r def= ~r1 − ~r2. L’energia cinetica del sistema è:

T = 12m1r

21 + 1

2m2r22 = 1

2m1r21 + 1

2m2

(r2

1m21

m22

)

ove abbiamo sfruttato il fatto che ~rCM = ~r1m1 + ~r2m2m1 +m2

= 0 nel sistema di

riferimento del centro di massa stesso e che ~r2 = − ~r1m1m2

. Raccogliamo itermini comuni dei due addendi nel calcolo dell’energia cinetica e inseriamol’identità

~r = ~r1 − ~r2 = ~r1 + ~r1m1m2

= ~r1m2 +m1m2

così da ottenere

12m1r

21

(1 + m1

m2

)= 1

2m1r2(

m22

(m1 +m2)2

)(m1 +m2m2

)= 1

2µr2

ove abbiamo posto µ = m1m2m1 +m2

quantità detta massa ridotta che è proprioil termine di massa che cercavamo.La lagrangiana del sistema risulta essere L = 1

2µr2 − V (r) e siccome siamo

in un campo di forze centrali sappiamo che si conserva il momento angolare~L = ~r × µ~r: possiamo ulteriormente ridurre i gradi del sistema a 2, poichéquesta proprietà restringe il moto in un piano. Sfruttando le coordinatepolari (ρ, ϕ) si ha

L = 12µ(ρ2 + ρ2ϕ2

)− V (ρ) . (6.1)

Infine supponiamo che ~L 6= 0 in modo da evitare il caso degenere.Come abbiamo già avuto modo di osservare nel paragrafo 4.3 nel caso di

42

forze centrali l’hamiltoniana si conserva, coincide con l’energia totale e vale

12µρ

2 + 12µρ

2ϕ2 + V (ρ) = E

e ricordando che il momento angolare resta costante, l def= µρ2ϕ, così da avereper costruzione

E = 12µρ

2 + l2

2µρ2 + V (ρ) = 12µρ

2 + V (ρ)

ove V (ρ) è detta energia potenziale efficace ed è somma dell’energia poten-ziale fittizia e di V .

Da ora in poi restringiamo i casi presi in esame a quelli kepleriani in cuiV (ρ) = −k

ρ : E = T + V si conserva e siccome è sempre vero che T ≥ 0 ,allora (E − V ) ≥ 0.

ρ

V (ρ)

E1

E2

ρ2 ρ4 ρ3

Figura 6.2: Energia potenziale V elinee rette corrispondenti ai diversivalori costanti di E.

Un corpo con una certa energia cinetica T può muoversi in diversi modia seconda della sua energia E perché l’energia potenziale efficace, a secondadei valori che assumerà, determinerà qualitativamente il moto radiale:

• Se E = E1 > 0 allora ∃ρ1/ρ(t) ≥ ρ1 e il moto non è confinato.

• Se E = 0 il moto continua a non essere confinato.

• Se E = E2 < 0, allora ρ2 ≤ ρ(t) ≤ ρ3, situazione che traduce moticonfinati ma non necessariamente orbite chiuse.

43

• Se E corrisponde al minimo di V la distanza dal centro di forza ècostantemente ρ4 ossia il moto deve compiere orbite circolari1.

6.2 Seconda legge di KepleroTorniamo al caso generale di potenziale ordinario arbitrario V (ρ) e conside-riamo un settore dϕ = ϕ(t + dt) − ϕ(t) spazzato dal vettore posizione delcorpo orbitante che nell’approssimazione è l’area del triangolo A = 1

2(ρdϕ)ρ.

ρ

µ

ϕ

Figura 6.3

L’area spazzata dopo un generico tempo t risulta essere

A∣∣al tempo t = S(t) =

∫ ϕ(t)

ϕ(0)

12ρ

2dϕ′ = 12

∫ t

0ρ2dϕ

dt′dt′ = 1

2

∫ t

0ρ2ϕdt′ = l

2µt

ricordando la definizione di l. Osserviamo subito che la cosiddetta velocitàareale dS(t)

dt è una costante e vale l2µ , dove l = l0 è determinato dalle con-

dizioni iniziali. Come abbiamo già avuto modo di osservare, la relazionedella velocità areale è una legge di conservazione ed è detta Seconda Leggedi Keplero in onore dell’astronomo che per primo ne stabilì la validità dallesue osservazioni. Si noti che questa legge vale per potenziale V (ρ) generico.

6.3 Equazione delle orbiteRisolvere le equazioni del moto di un corpo significa trovarne una parame-trizzazione che nel nostro caso sarà del tipo ρ = ρ(t) e ϕ = ϕ(t); per farlosfruttiamo l’equazione di Lagrange della (6.1) per la coordinata ρ.

d

dt

(∂L∂ρ

)− ∂L∂ρ

= 0 = µρ− µρϕ2 + ∂V (ρ)∂ρ

⇒ µρ− µρϕ2 = −dVdρ

1Secondo il principio di minima energia questa è proprio la condizione a cui tendonotutti i corpi orbitanti e non è infatti un caso che le orbite dei pianeti del nostro SistemaSolare siano in ottima approssimazione quasi circolari.

44

ove si è usato il simbolo di derivata totale perchè il potenziale dipende soloda ρ nell’ipotesi di potenziale kepleriano. Sfruttando la definizione di l eriordinando otteniamo

µρ = − d

dρ

(l2

2µρ2 −k

ρ

)= −dV

dρ. (6.2)

Osserviamo che se l = 0 = µρ2ϕ, allora ϕ = cost = ϕ0 e quindi il motosi svolgerebbe lungo una semiretta individuata proprio dall’angolo ϕ0; po-niamo quindi l 6= 0 in modo tale da avere dϕ

dt= l

µρ2 .Ricordiamo ora che la coordinata polare ϕ è una funzione monotona e cre-scente nella variabile tempo t, perciò detta t = t(ϕ) sarà valida la relazioned

dt= ϕ

d

dϕ. Il primo membro del’equazione (6.2) diventa allora

µd2ρ

dt2= µ

d

dt

(ϕdρ

dϕ

)= µϕ

d

dϕ

(ϕdρ

dϕ

)

e definendo la funzione u def= 1ρ

a cui corrisponde il differenziale dρ = −duu2

possiamo sostituirla nell’equazione e ottenere

µl

µu2 d

dϕ

(lu2

µ

(− 1u2du

dϕ

))= − l

2

µu2 d

2u

dϕ2 = µρ .

Il secondo membro di (6.2), ossia − d

dρ˜V (ρ) può essere riscritto in termini di

u e diventa

− d

dρ˜V (ρ) = u2 d

du˜V (u) = u2 d

du

(l2

2µu2 − ku

)= l2

µu3 − ku2

e ricomponendo i due membri otteniamo l’uguaglianza

− l2

µu2 d

2u

dϕ2 = l2

µu3 − ku2 ⇒ d2u

dϕ2 + u = kµ

l2, (6.3)

in cui riconosciamo un’equazione differenziale del secondo ordine, lineare,non omogenea e a coefficienti costanti per la funzione u(ϕ), facilmente riso-lubile coi metodi dell’analisi. La soluzione generale dell’equazione omogeneaassociata è

d2u

dϕ2 + u = 0 ⇒ u(o)(ϕ) = e

pcos (ϕ− ϕ0) ,

ove l’eccentricità e ≥ 0 dipende dalle condizioni iniziali e p def= l2

kµ, mentre la

soluzione particolare invece risulta essere più semplicemente u = kµ

l2= 1p:

45

la soluzione generale dell’equazione (6.3) è quindi

u+ u(o) def= u(ϕ) = 1p

(1 + e cos (ϕ− ϕ0)) . (6.4)

Osserviamo quindi che la funzione u = u(ϕ;ϕ0, e) dipende dalla variabile ϕ,dalla condizione iniziale ϕ0 e dal parametro e, oltre che dalle costanti in p.La stessa cosa vale ovviamente anche per

ρ = ρ(ϕ;ϕ0, e) = p

1 + e cos (ϕ− ϕ0)

in cui riconosciamo la formula generale delle curve coniche espresse in coor-dinate polari. Come è facile intuire vi sono alcuni casi particolari corrispon-denti ai valori che assume l’eccentricità:

• e = 0 fa coincidere il moto con una circonferenza di raggio ρ = p = l2

kµ .

• 0 < e < 1 ha come moto corrispondente delle ellissi.

• e = 1 rende il moto una parabola.

• e > 1 fa compiere al corpo una traiettoria iperbolica.

Risulta chiaro che sussisterà una relazione non banale tra l’eccentricitàdell’orbita e l’energia di un corpo che ci accingiamo a trovare.

6.4 Relazione tra energia ed eccentricitàCome abbiamo già osservato nel paragrafi precedenti l’energia totale delsistema dei due corpi è E = 1

2µρ2 + V (ρ). Sostituendo in tale relazione la

velocità radiale espressa in termini di u(ϕ)

dρ

dt= ϕ

dρ

dϕ= l

µu2(− 1u2du

dϕ

)= − l

µ

(du

dϕ

)otteniamo

E = 12µ

l2

µ2

(du

dϕ

)2+V (ρ) = l2

2µ

(du

dϕ

)2+V (ρ) = E0, per ϕ = ϕ0 . (6.5)

Dall’equazione (6.4) possiamo calcolare che

du

dϕ= 1p

d

dϕ(1 + e cos (ϕ− ϕ0)) = −1

pe sin (ϕ− ϕ0)

che se calcolato in ϕ = ϕ0 risulta essere banalmente 0. Allora osserviamoche nel caso di potenziali kepleriani

E0 = V (u) = l2

2µu2 − ku =

46

= l2

2µ

[1p

(1 + e cos (ϕ− ϕ0))]2∣∣∣∣∣ϕ=ϕ0

− k[1p

(1 + e cos (ϕ− ϕ0))] ∣∣∣∣∣ϕ=ϕ0

= l2

2µp2 (1 + e)2 − k

p(1 + e) .

La soluzione di questa equazione di secondo grado nell’incognita e ha comesoluzioni due valori discordi, dei quali consideriamo solo quello positivo cheha senso fisico:

e =√

1 + 2E0l2

k2µ(6.6)

che è proprio la relazione tra eccentricità ed energia che stavamo cercando edalla quale osserviamo la particolare proporzionalità del tipo e ∝

√E0. Da

(6.6) ritroviamo alcune osservazioni già fatte in precedenza: ad esempio seE0 = 0 allora e = 1 e le traiettorie descritte sono delle parabole; se E0 > 0allora e > 1 e si hanno delle iperboli.

e < 1

e = 0F

e > 1

Figura 6.4: Diverse eccentricitàorbitali con fuoco F .

6.5 Considerazioni finaliGrazie a questa trattazione analitica del moto di un sistema di due corpipossiamo ricavare anche la terza legge di Keplero2, valida solo per orbiteellittiche. Sappiamo che l’area totale dell’orbita è A = πab dove a e b sonorispettivamente il semiasse maggiore e quello minore dell’ellisse. D’altraparte sappiamo che l’area dell’orbita corrisponde anche a

A =∫ T

0

|l|2µdt = |l|2µT

dove T è il periodo di rivoluzione, e confrontando i due risultati otteniamoche

lT

2µ = πab ⇒ a3

T 2 = k

4µπ , dove k = la2

2bT .

2Il cubo del semiasse maggiore di un’orbita ellittica è proporzionale al quadrato delperiodo di rivoluzione

47

Vediamo invece adesso una precisazione di quanto detto all’inizio delparagrafo 6.3. Ricordando che E = 1

2µρ2 + V (ρ)

µρ2ϕ = l(6.7)

osserviamo che questo è un sistema di due equazioni differenziali del primoordine non lineari e accoppiate. Per la prima equazione vediamo che

ρ2 =(dρ

dt

)2= 2µ

(E − V (ρ)

)⇒ dt = dρ

±√

2µ

(E − V (ρ)

)ed integrando otteniamo∫ t

0dt = ±

∫ ρ

ρ0

dρ√2µ

(E − V (ρ)

) = t(ρ) .

Invertendo la funzione abbiamo in modo analogo che ρ = ρ(t; ρ0). Dallaseconda equazione di (6.7) si può ricavare una relazione del tipo t = t(ϕ;ϕ0)che invertita restituisce ϕ = ϕ(t;ϕ0) e quindi le soluzioni delle equazioniorarie sono, in modo più generale di quanto detto precedentemente, unafamiglia a due dipendenti da due condizioni iniziali:

ρ = ρ(t, E, l; ρ0)ϕ = ϕ(t, E, l;ϕ0) .

(6.8)

Si rimanda al libro di testo per la risoluzione esplicita degli integrali.

48

Capitolo 7

Corpo Rigido

In questo capitolo ci occuperemo di un’importante applicazione del forma-lismo lagrangiano, e della meccanica classica in generale: il corpo rigido.Questo studio ha come scopo, non tanto quello di trattare nella sua inte-rezza l’argomento, ma di dare una panoramica generale che permetterà aglistudenti volenterosi di approfondire senza difficoltà la materia. La tratta-zione più formale del corpo rigido ci fornirà, come vedremo, degli strumentiche possono essere utilizzati nella trattazione della cinematica relativa.

7.1 Cinematica del corpo rigidoCome abbiamo già più volte osservato il corpo rigido è caratterizzato dallapresenza del vincolo di rigidità, che, essendo olonomo e a lavoro virtualetotale nullo, ci permette di utilizzare la formulazione lagrangiana. Inanzi-tutto per iniziare la nostra trattazione abbiamo bisogno di fissare una ternainerziale (Σ,Ω) destrorsa. Possiamo dividere i corpi rigidi essenzialmente indue categorie:

1. Sistema fisico rigido discreto.Caratterizzato da N punti tali che le mutue distanze siano costanti(PiPj = cost. = cij).

2. Sistema fisico rigido continuo.Caratterizzato da una massa totale M e una densità ∆(X,Y, Z) ta-le che M =

∫V dXdY dZ∆(X,Y, Z). Se ∆ è costante il corpo si di-

ce omogeneo. Inoltre vale come prima ∀(Pi, Pj) ∈ corpo abbiamoPiPj = cost. = cij .

Possiamo osservare che ci basta conoscere la configurazione di 3 punti (nonallineati) appartenenti al corpo per determinare la posizione del corpo stesso.Vediamo ora come costruire una terna solidale al corpo:• prendiamo tre punti Q1, Q2 e Q3 e fissiamo Q1 come origine O (Q1 ≡O);

49

• come asse x′ prendiamo una retta parallela a Q1Q2;

• nel piano del triangolo Q1Q2Q3 scegliamo l’asse y′ in modo che siaperpendicolare a x′;

• prendiamo infine l’asse z′ ortogonale a x′ e y′ e orientato per avere unaterna destrorsa.

Abbiamo così definito la terna solidale S(O, x′y′z′).

Ω

z

y

x

x’

y’

z’

Q1

Q2Q3

Figura 7.1: Terna solidale.

Guardiamo ora i gradi di libertà del sistema: per ogni punto abbiamo 3coordinate spaziali, siccome abbiamo detto che il numero minimo di puntinecessari per descrivere la posizione di un corpo rigido è 3; quindi abbiamoin totale 9 coordinate a cui dobbiamo sottrarre il numero di relazioni chelegano i tre punti, ovvero 3; abbiamo perciò 6 gradi di libertà. Lo spazio delleconfigurazioni su cui lavoreremo è, come giustificheremo a breve, R3×SO(3).I gradi di libertà rappresentano i moti della terna solidale S rispetto allaterna solidale Σ. A livello euristico lo spazio delle configurazioni di uncorpo rigido non è altro che il gruppo dei "moti" euclidei (trasformazioni traterne cartesiane ortogonali). Le trasformazioni sono dette rototraslazioni.Ciascun insieme forma un gruppo. Il gruppo delle traslazioni è R3 poiché direche servono 3 coordinate per definire una traslazione è equivalente a dire chesono necessarie 3 coordinate cartesiane dell’origine di S. Definiamo il vettoretraslazione ~w = (wx, wy, wz) ∈ R3, dato che R3 è uno spazio vettorialeallora possiamo affermare che il gruppo delle traslazioni è un gruppo abeliano(ovvero commutativo).

Il gruppo delle rotazioni proprie nello spazio fisico E3 è dato dalle matrici3× 3 reali che appartengono al gruppo ortogonale speciale SO(3), ovvero

SO(3) = A3×3 reali t.c. AA = AA = I e con detA = 1

50

x

y

z

~w

x′

y′

z′

Figura 7.2: Gruppo delle traslazioni.

dove A è la matrice trasposta e I è la matrice identità

I3×3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

Osservazione 7.1. Se A,B ∈ SO(3) in generale AB 6= BA, ma è im-portante sottolineare che la composizione delle due matrici è ancora unarotazione.

Enunciamo ora un teorema molto intuitivo, ma fondamentale nello studiodel corpo rigido.

Teorema 7.1 (di Eulero). Il moto più generale di un corpo rigido con unpunto fisso è una rotazione. (Si rimanda al libro di testo per la dimostra-zione)

Troviamo ora l’espressione di una matrice di rotazione rispetto ad unodegli assi cartesiani (per esempio l’asse z), la quale ci permetterà di compren-dere meglio la struttura delle matrici di SO(3). Prendiamo in considerazioneun punto P di coordinate cartesiane (x, y, z); nel piano xy è possibile indi-viduare con le coordinate polari il punto mediante (ρ, ϑ) e sarà legato alleprecedenti coordiante dal sistema

x = ρ cosϑy = ρ sinϑ

Immaginiamo ora di ruotare il punto di un angolo ϕ e troviamo le coor-dinate cartesiane del punto trasformato P ′(x′, y′, z′). Ricordando che lerotazioni sono isometrie, possiamo osservare che il punto trasformato avràla stessa distanza dall’origine (ρ′ = ρ). Da considerazioni geometriche sievince che

x′ = ρ cos(ϑ+ ϕ)y′ = ρ sin(ϑ+ ϕ)z′ = z

51

ϑ

ϕ

P

P ′

x′ x

y

y′

O

Figura 7.3: Rotazione del piano xy attorno all’asse z.

e svolgendo i calcoli otteniamo in forma matriciale ~r ′ = Az~r, ovverox′y′z′

=

cosϕ − sinϕ 0sinϕ cosϕ 0

0 0 1

xyz

Possiamo osservare che Az(ϕ) ∈ SO(3) poiché AA = I e inoltre det (A) =+1. Il lettore volenteroso potrà verificare che anche Ax(ϕ), Ay(ϕ) ∈ SO(3).Un’altra caratteristica che si deduce da queste matrici, ma che è valida pertutte quelle di rotazione è che tr (A) = 1 + 2 cosϕ . Dal discorso precedenteemerge il fatto che ogni rotazione appartiene ad SO(3).Ax, Ay, Az sono esempi di rotazione ∈ SO(3) di un angolo generico intornoad un asse (asse di rotazione) ~n. Tenendo presente la condizione di versoredell’asse di rotazione ~n · ~n = 1 ci accorgiamo che per descrivere una rota-zione sono necessari, in accordo con i gradi di libertà di un corpo rigido, 3parametri: il primo è dato dall’angolo ϕ ∈ [0, 2π) e gli altri 2 sono dati dallecomponenti indipendenti di ~n.

Osservazione 7.2. Riguardo alle matrici di rotazione trovate precedente-mente possiamo inoltre osservare che l’operazione che stiamo facendo sulpunto preso in considerazione non è altro che una sua rotazione in sensoantiorario rispetto ad un determinato asse. Se vogliamo invece, come ciservirà più avanti, trovare le trasformazioni che permettano di ruotare gliassi (sempre in senso antiorario) rispetto ad un versore prefissato dobbiamovedere il problema da un altro punto di vista: ruotare gli assi in senso an-tiorario è equivalente a ruotare il sistema in senso orario. Da quest’ultima

52

considerazione si evince che basta utilizzare l’angolo −ϕ al posto dell’angoloϕ nella matrice An.

Prima di vedere un’altra tipologia di parametrizzazione delle rotazionidi un corpo rigido sotto ipotesi di esistenza di un punto fisso enunciamo unteorema che generalizza il 7.1 precedentemente enunciato.

Teorema 7.2 (di Chasles). L’atto di moto più generale di un corpo rigidoè una rototraslazione.

7.1.1 Rotazioni infinitesime

Le rotazioni infinitesime sono rotazioni che si discostano dalla trasforma-zione identica (I3×3 ∈ SO(3)) per quantità infinitesime (utilizzeremo lanotazione d).

Definizione 7.1 (rotazione infinitesima). La matrice A ∈ SO(3) definitada

Adef= I + E ;

con E tale che |Eij | 1 ∀i, j = 1, 2, 3 viene detta rotazione infinitesima.

Vediamo ora un rapido esempio di rotazione infinitesima. Consideriamola matrice Az(ϕ) e calcoliamo lo sviluppo in serie di Taylor di ogni terminedella matrice fermandoci al primo ordine

Az(ϕ) ≈ϕ=0

1 −dϕ 0dϕ 1 00 0 1

= I +

0 −dϕ 0dϕ 0 00 0 0

︸ ︷︷ ︸

E

.

La matrice così trovata è una rotazione infinitesima. Da questo esempio sievince già un’importante proprietà delle matrici E: l’antisimmetria.Analizziamo ora le altre proprietà delle matrici di rotazione infinitesima.L’insieme

A ∈ SO(3) : A = I + E

è un gruppo abeliano rispetto alla somma (come ci si aspetta dall’algebralineare), ma anche rispetto alla composizione (come dimostreremo a breve).In realtà si può dimostrare che questa struttura è uno spazio vettoriale didimensione 3, ma l’analisi dettagliata di questa proprietà esula dagli scopidel corso. Date due matrici A,B ∈ SO(3) la legge di composizione per lematrici E è definita da

AB = (I + E)(I + E′) = I + E + E′ + EE′ ∼ I + E + E′ ;

dove nell’ultimo passaggio si è trascurato il prodotto misto poiché formatoda infinitesimi di ordine superiore. Dall’ultimo termine ricavato si evince che

53

la legge di composizione è un’operazione interna e commutativa. L’elementoneutro non è altro che la matrice nulla e la matrice inversa di A = I + E sivede che è A−1 = I− E, infatti

AA−1 = (I + E)(I− E) = I + E − E − E2 = I .

La matrici ∈ SO(3) essendo matrici di rotazione sono ortogonali e perciò,come abbiamo osservato precedentemente, abbiamo

A = A−1 = (I + E) ⇒ E = −E ⇔ Eij = −Eji ∀i, j .

La forma generale di E nella base xyz (terna cartesiana ortogonale) è datada

E =

0 dΩz −dΩy

−dΩz 0 dΩx

dΩy −dΩx 0

;

dove sottolineiamo che i dΩi non sono differenziali, ma quantità infinitesime.Ruotiamo ora un vettore ~r tramite una rotazione dettata dalla matriceA = I + E. Il vettore trasformato ~r ′ sarà dato da

~r ′def= A~r = (I + E)~r = ~r + E~r .

Calcoliamo ora la variazione infinitesima del vettore ~r

d~rdef= ~r ′−~r = E~r = (ydΩz − zdΩy)~i+ (−xdΩz + zdΩx)~j+ (xdΩy− ydΩx)~k ;

ponendo ~dΩ = dΩx~i+ dΩy

~j + dΩz~k allora abbiamo che

d~r = ~r × ~dΩ . (7.1)

Il vettore ~dΩ viene chiamato vettore di spostamento rotatorio e individual’asse di rotazione come direzione e verso dato che i punti che non subisconorotazione sono proprio quelli che appartengono all’asse di rotazione (d~r = 0).Sottolineiamo infine che, trattandosi di una rotazione, | ~dΩ| deve essere unangolo e perciò dividendo formalmente per dt l’equazione (7.1) otteniamo

d~r

dt= ~r ×

~dΩdt

def= ~r × ~ω ; (7.2)

dove ~ω è il vettore velocità angolare. Con i concetti appena sviluppativediamo un’importante applicazione che ci permette di scrivere l’equazionefondamentale della cinematica rigida.

54

X

Y

Z

O

Ω

x

y

zP

~w

Σ

S

Figura 7.4: Vettore generico ~w nella terna solidale S e rispetto alla ternafissa Σ.

Derivata temporale di un vettore

Prendiamo un vettore generico ~w nella terna solidale S tale che non cam-bi le componenti nel sistema di riferimento scelto e lo si indichi con ~w|S .Osservando la figura si evince che

d~w|S = d~w|Σ + (d~w)rot︸ ︷︷ ︸=~w× ~dΩ

.

Allora abbiamo che

d~w|Σ = d~w|S − ~w × ~dΩ = d~w|S + ~dΩ× ~w ,

dividendo formalmente per dt otteniamo

d~w

dt

∣∣∣∣Σ

= d~w

dt

∣∣∣∣S

+(d~Ωdt

)× ~w .

Sostituendo ora ~w con il vettore posizione ~r e facendo le adeguate sostituzioniotteniamo

~v|Σ = ~v|S + ~ω × ~r ;

assimilando ~v|S a ~v(O) e scrivendo ~r come (P −O), dove O è l’origine di Sricaviamo la formula fondamentale della cinematica rigida:

~v(P )|Σ = ~v(O) + ~ω × (P −O) . (7.3)

Da qua si può ben osservare che l’atto di moto più generale di un corporigido è una rototraslazione.

55

Per N punti materiali (i = 1, . . . , N) legati da vincoli di rigidità possiamoscrivere

~vi = ~vO + ~ω × ~ri .

Vediamo, per concludere l’argomento, alcuni casi particolari:

1. moti piani: ~vi ·~ω = 0 ∀i, ovvero ~ω sempre ortogonale al piano di moto;

2. moto con punto fisso: ~v(O) = 0 e si può scegliere la terna solidale conorigine nel punto fisso;

3. moto con asse fisso: la direzione di ~ω non varia nel tempo, ma puòvariare in modulo.

Diamo ora una piccola osservazione il cui significato sarà meglio compresonel paragrafo successivo, ma, per una migliore chiarezza, ci è sembrato piùopportuno inserirla alla fine di questo paragrafo.

Osservazione 7.3. La velocità angolare presente nelle formule utilizzate èla velocità di rotazione istantanea e l’asse considerato è sempre quello dirotazione istantanea.

7.1.2 Asse di istantanea rotazione

Per riuscire a capire l’asse di istantanea rotazione e le sue proprietà diamodue proposizioni che ne chiariscono il significato.

Proposizione 7.1 (caratterizzazione asse di rotazione istantanea).Se ~ω 6= 0 ad un dato istante t, allora esiste a quell’istante t una rettaparallela a ~ω, i cui punti hanno velocità parallela a ~ω oppure nulla.

Dimostrazione. Prima di tutto notiamo che prendendo il prodotto scalaredella (7.3) con ~ω troviamo che

~v(P ) · ~ω = ~v(O) · ~ω ;

ovvero che il prodotto scalare ~v · ~ω è invariante nel campo delle velocità diun sistema rigido. Ogni punto P ha proiezione ~v(P ) uguale a quella di O edi qualsiasi altro punto appartenente al corpo.Quello che vogliamo dimostrare è che esiste una linea, parallela a ~ω, lungola quale la velocità si riduce alla sola componente parallela a ~ω. Per questoscopo consideriamo il piano π ortogonale a ~ω e passante per O e cerchiamoun punto P ∗ ∈ π tale che ~v(P ∗) × ~ω = 0. Valutando l’equazione (7.3) nelpunto P ∈ π, prendendo il prodotto vettoriale di entrambi i membri per ~ωe sapendo che ~ω · (P −O) = 0 ((P −O) ∈ π) abbiamo che

~v × ~ω = (P −O)ω2 + ~v(O)× ~ω .

56

O

~ω|t

P ∗

~v(P ∗)~v(O)

Figura 7.5: Asse d’istantanea rotazione.

Imponendo la condizione di P ∗ vediamo che l’ipotesi è soddisfatta per

P ∗ −O = ~ω × ~v(O)ω2 .

In aggiunta deduciamo immediatamente che tutti i punti che appartengonoalla stessa retta parallela a ~ω hanno la stessa velocità.

Proposizione 7.2. La direzione di ~ω è costante in S ⇔ è costante in Σ.

Dimostrazione. Definiamo ~ω come

~ωdef= ω~n .

Come ipotesi noi sappiamo che

d

dt

(ω~n

|~ω|

) ∣∣∣∣S

= 0 ,

ma sapendo ched~n

dt

∣∣∣∣Σ

= d~n

dt

∣∣∣∣S

+ ~ω × ~n︸ ︷︷ ︸=0

.

La tesi risulta perciò dimostrata.

Prima di passare alla dinamica vediamo ancora un paio di casi particolaridi moti del corpo rigido:

1. moti rigidi piani: sono caratterizzati da un piano solidale che nonvaria al variare di t, la retta P − O ∈ piano e perciò abbiamo che~v · ~ω = 0 ∀ punto. Da ciò si intuisce che qualsiasi moto piano è unarotazione.

Osservazione 7.4. Il centro di rotazione istantanea, ovvero l’inter-sezione tra ~ω e il piano invariante, in generale varia nel tempo.

57

2. Moto con punto fisso: dalle prime considerazioni fatte nella primaproposizione deduciamo che

~v(P ) · ~ω = ~v(O) · ~ω = 0 ∀P .

3. Moto con asse fisso.

7.2 Dinamica del corpo rigidoVisto che adesso abbiamo studiato una rapida panoramica della cinematicadel corpo rigido, passiamo alla dinamica. Gli argomenti trattati sono similia quelli visti nella meccanica newtoniana, ma il formalismo matematico uti-lizzato è nettamente più astratto e focalizzato sull’esistenza di costanti delmoto.

7.2.1 Momento angolare ed energia cinetica

Calcoliamo le espressioni del momento angolare per un corpo rigido formatoda N punti materiali legati da vincoli di rigidità con un punto fisso che persemplicità assumiamo essere l’origine del sistema solidale.

~L =N∑i=1

mi~ri × ~vi =N∑i=1

mi~ri × (~ω × ~ri) =

=N∑i=1

mi [(~ri · ~ri) ~ω − (~ri · ~ω)~ri]

=N∑i=1

mi

[r2i (ωx~i+ ωy~j + ωz~k)− (xiωx + yiωy + ziωz)(xi~i+ yi~j + zi~k)

](7.4)

Ricaviamo infine le tre componenti del momento angolare

Lx = ωx∑i

mi(r2i − x2

i )− ωy∑i

mixiyi − ωz∑i

mixizi

Ly = −ωx∑i

mixiyi + ωy∑i

mi(r2i − y2

i )− ωz∑i

miyizi

Lz = −ωx∑i

mixizi − ωy∑i

miyizi + ωz∑i

mi(r2i − z2

i ) .

Dalle espressioni precedenti è ormai chiaro che possiamo esprimere il mo-mento angolare come

~L = I~ω . (7.5)Dove I è la matrice d’inerzia definita come segue

I =

Ixx Ixy IyzIxy Iyy IyzIxz Iyz Izz

.

58

Gli elementi diagonali vengono chiamati momenti d’inerzia, per esempio

Ixx =∑i

mi(r2i − x2

i ) =∑i

mi(y2i + z2

i ) ;

(r2i − x2

i ) non è altro che la distanza del punto i rispetto (in questo caso)all’asse x.Fuori diagonale per esempio abbiamo

Ixy = −∑i

mixiyi

che vengono detti prodotti d’inerzia.Ritorniamo ora ad analizzare la (7.5); come possiamo osservare i vettori ~L e~ω sono grandezze fisiche differenti e hanno dimensioni fisiche diverse; perciòè chiaro che la matrice I non può rappresentare un semplice cambiamentodi coordinate. Infatti I ha dimensioni fisiche proprie e va interpretato comeun operatore che ha in ingresso un vettore ~ω e dà come risultato un vettore~L di diversa natura fisica. Questo nuovo operatore viene chiamato tensore ela matrice I presente nella (7.5) non è altro che l’insieme delle componenti,nella terna scelta, del tensore d’inerzia. La potenza della notazione tenso-riale sta nel fatto che le relazioni tensoriali sono indipendenti dal sistemadi riferimento; infatti, cambiando la terna solidale al corpo, certamente glielementi della matrice cambieranno, ma le relazioni che coinvolgono i tensoririmangono invariate. Osserviamo infine che il tensore d’inerzia è un tensoredi rango 2.Come abbiamo già potuto osservare nei calcoli precedentemente svolti, lamatrice I|(x,y,z) è una matrice simmetrica e perciò è diagonalizzabile. Gli assiche diagonalizzano la matrice d’inerzia vengono detti assi principali d’inerziae la terna diagonale della matrice viene detta terna principale d’inerzia.

Passiamo ora all’energia cinetica

T = 12∑i

mi~vi · ~vi = 12∑i

mi~vi · (~ω × ~ri) =

= 12∑i

mi~ω · (~ri × ~vi) = 12~ω ·

~L =

= 12~ω · (I~ω) .

(7.6)

Nella terna principale otteniamo

T = 12(I1ω

21 + I2ω

22 + I3ω

23

).

Esprimiamo ora la velocità angolare come ~ω = ω~n, dove ~n è un versoreinterpretato come l’asse di rotazione istantanea, e vediamo come divental’energia cinetica

T = 12(ω~n) · I(ω~n) = 1

2ω2(~n · I~n) ;

59

il termine (~n · I~n) è uno scalare che si chiama momento d’inerzia del corporispetto all’asse di rotazione istantanea

I = ~n · I~n .

Per concludere questo paragrafo diciamo che tutti i teoremi affrontati nelladinamica newtoniana sono ancora validi (es. Teoremi di König e Teoremi diHuygens-Steiner).

7.2.2 Angoli di Eulero

Vediamo ora un altro modo per parametrizzare le rotazioni: gli angoli diEulero. Prendiamo una terna inerziale con la stessa origine della terna soli-dale (inerziale). L’idea è quella di introdurre 3 angoli usando come singoliassi quelli delle terne definite dalle trasformazioni:

φ

θψ

Figura 7.6: Angoli di Eulero.

1. Rotazione antioraria di angolo ϕ intorno a z:

(x, y, z)→ (ξ, η, ζ) .

2. Rotazione antioraria di angolo ϑ intorno a ξ:

(ξ, η, ζ)→ (ξ′, η′, ζ ′) .

3. Rotazione antioraria di angolo ψ intorno a ζ ′:

(ξ′, η′, ζ ′)→ (x′, y′, z′) .

60

X

Y

Z

O

Ω

x

y

zP

~rR

Σ

S

~rT

~r

Figura 7.7: Vettori posizione nei diversi sistemi di riferimento.

Per convenzione si usa scrivere

A(ϕ, ϑ, ψ) = Bz′(ψ)Cξ(ϑ)Dz(ϕ)

dove ciascuna delle matrici B C e D è ortogonale e quindi anche A è or-togonale. Essendo una composizione di matrici, l’ordine di applicazioneconta.

7.3 Cinematica e dinamica relativeOra che abbiamo acquisito gli strumenti necessari possiamo trattare la ci-nematica relativa. Consideriamo un punto P liberamente mobile rispetto a2 osservatori:

• osservatore inerziale (Σ,Ω): terna fissa,

• osservatore non inerziale (S,O): terna che si muove di moto qualsiasirispetto a Σ.

Le quantità prese rispetto al sistema di riferimento (Σ,Ω) vengono det-te quantità cinematiche assolute, invece quelle prese rispetto al sistema diriferimento (S,O) vengono dette quantità cinematiche relative, infine il mo-to rigido di S rispetto a Σ è tradotto da quantità cinematiche dette ditrascinamento. Per semplicità adottiamo questa notazione:

• le quantità assolute le indichiamo senza indici (es. ~r);

• le quantità relative le indichiamo con il pedice R (es. ~rR);

• le quantità di trascinamento le indichiamo con il pedice T (es. ~rT ).

61

La derivata temporale di un vettore la possiamo perciò scrivere come

d~w

dt=(d~w

dt

)R

+ ~ω × ~wR . (7.7)

Dal disegno si può vedere banalmente che

~r = ~rR + ~rT ; (7.8)

derivando temporalmente l’equazione in entrambi i membri otteniamo

~v = d~r

dt= d~rR

dt+ d~rT

dt= ~vR + ~vT + ~ω × ~rR ,

e derivando ancora una volta l’equazione diventa

~a = d2~r

dt2= ~aR + ~ω × ~vR + ~a ′T + ~α× ~rR + ~ω × (~vR + ~ω × ~rR) =

= ~aR + 2~ω × ~vR + ~a ′T + ~α× ~rR + ~ω × (~ω × ~rR)︸ ︷︷ ︸=~aT

=

= ~aR + ~aT + 2~ω × ~vR ;

dove 2~ω×~vR viene chiamata accelerazione di Coriolis. Adesso, dal momentoche abbiamo analizzato la formula delle accelerazioni relative, possiamo in-trodurre la legge fondamentale della dinamica modificata. Sia ~F la risultantedelle forze attive agenti su un punto materiale P , nel sistema di riferimentorelativo S abbiamo

m~aR = ~F −m~aT︸ ︷︷ ︸~FT

−m~ac︸︷︷︸~Fc

; (7.9)

dove al secondo membro possiamo osservare la correzione della forza ~F conle forze apparenti.

Forze apparenti in ambito lagrangiano

Ricordiamo che

1. Le equazioni di Lagrange sono invarianti in forma;

2. Se si opera una trasformazione di coordinate dipendenti da t esplici-tamente, c’è la possibilità che si passi in un sistema di riferimento noninerziale;

3. Scritta L nel sistema inerziale, si riconosce un vincolo reonomo;

4. Scritta L nel sistema di riferimento non inerziale del vincolo (il vincoloin questo caso diventa scleronomo), si devono trattare le forze appa-renti: per fare ciò deve necessariamente esistere un’energia potenzialeassociata a tali forze.

62

Vediamo ora un esempio che giudichiamo chiarificatore riguardo alla sceltadel sistema di riferimento per la scrittura della lagrangiana in un sistemafisico.Sia P un punto materiale di massa m vincolato ad una semiretta lisciapassante per un punto Q e giacente in un piano orizzontale. Ipotizzato cheil punto Q si muova lungo x con ~aQ = a~i e che la semiretta ruoti intorno aQ con ~ω = cost., scrivere L e discutere l’esistenza di costanti del moto.

x

y

O

s

ωt

Q

P

Figura 7.8: Esempio di cambiamen-to di sistema di riferimento.

• Osservatore inerziale (Oxy). In questo sistema di riferimento ab-biamo un vincolo olonomo, bilatero salvo che in Q, reonomo, liscioper ipotesi e lavoro virtuale totale nullo. Il sistema possiede un sologrado di libertà e scegliamo di prendere come coordinata generalizzatas ∈ (Q,+∞) la distanza di P da Q. In questo sistema la lagrangianacoincide con l’energia cinetica L = T e il lettore volenteroso dimostreràsenza problemi che

L = L(s, s, t) ;

ovvero che la lagrangiana L dipende esplicitamente dal tempo t

∂L∂t6= 0 .

Siccome∂L∂t

= −dHdt

,

l’hamiltoniana non si conserva.

• Osservatore non inerziale. Per semplicità consideriamo Q fermo,l’asta che ruota con velocità angolare ~ω = cost. e mettiamoci in talesistema di riferimento. L’analisi del vincolo è identica alla precedente,

63

a eccezione ora che il vincolo è scleronomo. Utilizzando sempre lacoordinata s otteniamo per l’energia cinetica

T = 12ms

2 ,

invece per l’energia potenziale dobbiamo considerare i potenziali datidalle forze apparenti

V = Vapp = VT .

Il potenziale VT che sarà dato solo dalla forza centrifuga sarà uguale a

VT = −m2 ω2s2 ;

perciò la lagrangiana sarà uguale a

L = T − V = 12ms

2 + 12mω

2s2 .

Come possiamo osservare la lagrangiana ora non ha alcuna dipendenzaesplicita dal tempo (∂L∂t = 0); quindi

dHdt

= 0

l’hamiltoniana si conserva e coincide con l’energia (vincolo sclerono-mo).

7.4 Dinamica di alcuni sistemi rigidi notevoliIn questo paragrafo consideriamo il moto libero, ovvero non vincolato, diun corpo rigido in moto con un punto fisso. Per tali sistemi consideriamol’origine del sistema inerziale coincidente con l’origine del sistema solidalenel punto fisso. Siccome il moto più generale di un corpo rigido in que-ste condizioni è una rotazione, adottiamo come coordinate generalizzate gliangoli di Eulero.

7.4.1 Equazioni di Eulero

Per il sistema appena descritto la lagrangiana è

L = 12~ω · I~ω − V ;

dove l’energia cinetica può essere scritta come

T = 12(I1ω

2x + I2ω

2y + I3ω

2z

).

64

Definiamo oraωϕ

def= dϕ

dt, ωϑ

def= dϑ

dt, ωψ

def= dψ

dt. (7.10)

Dal momento che abbiamo T nella terna (x, y, z), ma ~ω è riferita a tre as-si (Z, n, z) che non appartengono tutti alla stessa terna, allora dobbiamocalcolare, a partire da (ϕ, ϑ, ψ) e ωϕ, ωϑ, ωψ, le componenti ωx, ωy, ωz. Ap-plicando le matrici di rotazione utilizzate per definire gli angoli di Eulero eutilizzando la figura 7.6 si vede che

ωx = ϕ sinϑ sinψ + ϑ cosψωy = ϕ sinϑ cosψ − ϑ sinψωz = ϕ cosϑ+ ψ

(7.11)

Le equazioni del moto derivate da L sono complicate ma tra queste, l’equa-zione di Lagrange per ψ potrebbe avere una forma funzionale più semplice.Scriviamo l’equazione di Eulero-Lagrange per la coordinata ψ

d

dt

(∂T

∂ψ

)− ∂T

∂ψ= Qψ

def= Nz ;

essendo ψ una coordinata di rotazione allora Qψ sarà il momento della forzaattiva

Qψ = −∂V (ϕ, ϑ, ψ)∂ψ

=(~r × ~F (a)

)z.

Svolgendo i calcoli otteniamo

∂T

∂ψ= ∂T

∂ωz

∂ωz

∂ψ= I3ωz

e∂T

∂ψ= ∂T

∂ωx

∂ωx∂ψ

+ ∂T

∂ωy

∂ωy∂ψ

= I1ωxωy − I2ωyωx ;

perciò l’equazione di Lagrange per ψ è

I3ωz − ωxωy (I1 − I2) = Nz .

Dal momento che le altre due equazioni sono troppo complesse da trovare,rinunciamo a scrivere le equazioni nella procedura sopra descritta. Osservia-mo che, a meno di ridenominare gli assi x, y, z si ottengono altre 2 equazionipermutando ciclicamente (x, y, z) e (1, 2, 3); perciò otteniamo

I1ωx − ωyωz (I2 − I3) = Nx

I2ωy − ωzωx (I3 − I1) = Ny

I3ωz − ωxωy (I1 − I2) = Nz

(7.12)

che vengono dette equazioni di Eulero, che sono 3 equazioni differenziali delsecondo ordine nelle ϕ, ϑ, ψ, non lineari e accoppiate.

65

Osservazione 7.5. In realtà le equazioni di Eulero si usano anche per motirototraslatori nel caso in cui ~F (ext) = 0. Infatti d~p

dt = 0, ovvero il centro dimassa si muove di moto inerziale; perciò la terna solidale scelta deve averel’origine O nel centro di massa, tipicamente considerato a riposo.

7.4.2 Cenni alla risoluzione

Per la risoluzione dobbiamo utilizzare gli integrali primi di moto, infatti

d~L

dt= 0 ,

ovvero Lx, Ly, Lz si conservano. Inoltre L = T ed E = T si conserva. Daqua in avanti si possono utilizzare diverse procedure, tra cui:

1. risoluzione delle equazioni associate agli integrali primi (ϕ, ϑ, ψ, ϕ, ϑ, ψ).La risoluzione con tale metodo, tuttavia, può risultare complessa (fun-zioni ellittiche).

2. Procedura geometrica: ellissoide d’inerzia di Poinsot. Il moto del cor-po rigido posso vederlo come la rotazione di un ellissoide su un piano,ma precisiamo bene che tale ellissoide non ha alcun significato fisico: ilmoto dell’ellissoide non corrisponde al moto concreto del corpo. Talevisualizzazione, tuttavia, ha alcuni vantaggi in quanto il moto dell’el-lissoide ha alcune proprietà utili allo studio della dinamica del corpo.Vediamo ora come effettuare la costruzione di Poinsot.Come abbiamo precedentemente visto, possiamo scrivere il momentod’inerzia come

I = ~n · I~n ,

con ~n = ~n(t) versore che individua l’asse d’istantanea rotazione taleche ~n · ~n = 1. L’energia cinetica, che ci servirà dopo, è data da

T = 12I ω2 .

Il versore che indica l’asse d’istantanea rotazione può essere riscrittocome

~n = α~i+ β~j + γ~k ,

con α, β, γ i coseni direttori del versore. Il momento d’inerzia I puòperciò essere riscritto come

I = Ixxα2 + Iyyβ

2 + Izzγ2 + 2 [Ixyαβ + Iyzβγ + Ixzαγ] .

Definiamo ora il vettore~ρ

def= ~n√I

;

66

sostituendolo nell’equazione precedente e diagonalizzando la matriced’inerzia otteniamo

I1ρ21 + I2ρ

22 + I3ρ

23 = 1 ,

che è l’equazione di un ellissoide nello spazio euclideo E3. Definiamoinfine la funzione F definita da

F (~ρ) = ~ρ · I~ρ .

Le curve di livello di F sono ellissoidi e, in particolare, la curva cor-rispondente a F = 1, ovvero quella trovata precedentemente, vienechiamata ellissoide d’inerzia. È banale vedere che il vettore ~ρ, chevaria nel tempo, ha sempre come estremità un punto appartenenteall’ellissoide d’inerzia. Dall’analisi sappiamo che lo spazio dei vettorinormali alla superficie è dato da

∇F =(∂F

∂ρ1,∂F

∂ρ2,∂F

∂ρ3

)= 2 (I1ρ1, I2ρ2, I3ρ3) ,

ma dato che ~ω = ω~n, allora possiamo scrivere

~ρ = ~ω

ω√

I,

quindi possiamo concludere che

∇F = 2ω√

I

(I1ωx~i+ I2ωy~j + I3ωz~k

)= 2ω√

I~L =

√2T~L .

Il vettore ~ω perciò si muove in modo tale che la corrispondente norma-le all’ellissoide d’inerzia sia parallela al momento angolare e, siccome~L e T sono costanti del moto, ∇F non dipende dal tempo.Inoltre, dal momento che d~L

dt = 0, esiste un piano invariante π.

Figura 7.9: Ellisoide d’inerzia.

La distanza d tra l’origine O e tale piano π si può dimostrare esserecostante.

67

Dimostrazione.

d = ~ρ · ~L|~L|

= ~ω · ~L|~L|√

I ω2=√

2T|~L|

.

Dato che ~L e T sono costanti del moto, allora abbiamo concluso.

L’intersezione di ~ω con il piano invariante è un punto (centro di rotazio-ne istantanea) e il moto è di puro rotolamento con centro di rotazioneistantanea che gioca il ruolo di punto di contatto.

7.4.3 Trottole

Prendiamo in considerazione un corpo rigido, con I1 = I2 e con I3 qualsiasi,libero e soggetto solamente alla forza gravitazionale, ovvero una trottola diLagrange. L’energia potenziale sarà data

Figura 7.10: Trottola di Lagrange.

V = mgh cosϑ

e l’energia cinetica

T = 12I1

(ϑ2 + ϕ2 sin2 ϑ

)+ 1

2I3(ϕ cosϑ+ ψ

)2;

la lagrangiana sarà perciò data da

L = T − V = L(ϑ, ϕ, ϑ, ψ) .

68

È facile vedere che ϕ,ψ sono coordinate cicliche e che inoltre H si conservae coincide con l’energia. Gli integrali primi del moto perciò sono

pϕ = ∂L∂ϕ

=(I1 sin2 ϑ+ I3 cos2 ϑ

)ϕ+ I3ψ cosϑ

pψ = ∂L∂ψ

= I3(ψ + ϕ cosϑ

)= I3ωz = Lz

E = 12I1

(ϑ2 + ϕ2 sin2 ϑ

)+ 1

2I3(ϕ cosϑ+ ψ

)2+Mgh cosϑ

(7.13)

Non ci addentriamo ulteriormente nei calcoli e facciamo riferimento al librodi testo. Con questo capitolo si è vista la "potenza" del formalismo lagran-giano: la possibilità di risolvere problemi anche complessi con il solo utilizzodi equazioni e di quantità scalari.

69

Capitolo 8

Formalismo hamiltoniano

Incominciamo ora lo studio della meccanica classica analizzandola da unanuova ottica dettata dal formalismo proposto da Hamilton; per farlo sarànecessario introdurre nuove coordinate e un nuovo spazio ma le eventualidifficoltà concettuali iniziali sono giustificate dalla grande utilità che offrel’astrazione hamiltoniana dello studio del moto dei corpi.

8.1 Principio di Hamilton nello spazio delle confi-gurazioni

Per prima cosa ricordiamo che Cn è lo spazio della configurazioni già in-trodotto nel capitolo 3 e in cui i vincoli sono olonomi, bilateri e a la-voro virtuale totale nullo ed in seguito introduciamo il cosiddetto spaziodei cammini su Cn, ossia una mappa almeno differenziabile che associat 7→ (q1(t), q2(t), . . . , qn(t)) e che rappresenta la traiettoria del punto rap-presentativo del sistema1 nello spazio delle configurazioni. Osserviamo chelo spazio dei cammini è uno spazio duale.

Principio 8.1 (di Hamilton). Data una lagrangiana L = L(q, q, t) siconsideri il funzionale di Hamilton definito da

I =∫ t2

t1L(q, q, t)dt (8.1)

con t1 e t2 fissati. Allora tra tutti i possibili cammini il moto effettivo delsistema è quello che rende stazionario I, ovvero tale per cui δI = 0.

I cammini possibili sono cammini variati sincroni e ciò significa che ilpunto rappresentativo del sistema percorre tutti i cammini che congiungono

1É opportuno ricordare in virtù di chiarezza che nello spazio Cn un singolo puntorappresenta l’effettiva posizione (o, meglio, configurazione) di n punti materiali ma in sénon ha un significato fisico particolare.

70

il punto iniziale q(t1) def= q(1) a quello finale q(t2) = q(2) nel tempo t2 − t1.Risulta quindi chiaro che tali traiettorie non sono reali cammini fisici e inoltreognuno di essi varia da quello vicino per insiemi di spostamenti virtuali δqche, ovviamente, negli estremi valgono δq(1) = δq(2) = 0.

Vediamo ora che è possibile ritrovare l’equazione di Lagrange dal Prin-cipio di Hamilton.

0 = δI = δ

∫ t2

t1L(q, q, t)dt =

∫ t2

t1(δL)dt =

∫ t2

t1

(n∑k=1

∂L∂qk

δqk + ∂L∂qk

δqk

)dt =

=∫ t2

t1

[n∑k=1

d

dt

(∂L∂qk

δqk

)− d

dt

(∂L∂qk

)δqk + ∂L

∂qkδqk

]dt ,

ma sappiamo che∂L∂qk

δqk

∣∣∣∣q(2)

q(1)= 0 ,

quindi questo termine, una volta integrato, non contribuisce.

0 =∫ t2

t1

[n∑k=1

(∂L∂qk− d

dt

(∂L∂qk

))δqk

]dt

e siccome i δqk sono indipendenti fra loro, questo vuol dire che ∀k valel’equazione di Lagrange

d

dt

(∂L∂qk

)− ∂L∂qk

= 0 .

Il vantaggio di questa formulazione alternativa delle equazioni di Lagrangeè che sono state ricavate da un principio variazionale e la presenza di unafunzione integrale suggerisce di poter estendere tale principio anche a sistemicontinui e ai campi classici.

In ambito hamiltoniano è prassi comune utilizzare uno spazio diverso daquello delle configurazioni Cn, chiamato Spazio delle Fasi e denotato con F2n

in cui le coordinate sono (q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn) tra loro indipendenti.

8.2 Equazioni di HamiltonTrasformata di Legendre

La trasformata di Legendre, fondamentale per lo sviluppo della teoria hamil-toniana, è un procedimento che trasforma una funzione convessa di variabilireali e a valori reali in un’altra funzione convessa dipendente esplicitamen-te dalla derivata della funzione di partenza. Per semplificare trattiamo ilcaso monodimensionale; sia dunque f : x 7→ f(x) una funzione convessa,ovvero tale che f ′′ > 0. Prendiamo inoltre p ∈ R tale che p 6= 0 fissato e

71

consideriamo la retta y = px. Cerchiamo ora il punto x = x(p) in cui lacurva data dalla funzione f ha distanza massima, solo nella direzione verti-cale, dalla retta y = px; ovvero che la funzione F : R × R −→ R tale che(x, p) 7→ F (x, p) def= px− f(x) abbia un massimo rispetto a x nel punto x(p).Svolgendo i calcoli otteniamo

∂F

∂x= p− f ′(x) = 0 ⇔ f ′(x) = p ,

da cui possiamo ricavare x = x(p), osservando che tale x per via dellaconvessità della funzione è unico. Il punto x = x(p) diventa funzione facendovariare p in un intervallo.Definiamo perciò la trasformata di Legendre di f come

g(p) def= F (p, x(p)) .

Prendiamo la lagrangiana L = L(q, q, t) e calcoliamo la sua trasformata diLegendre:

F (q, p) def= pq(p)− L(q, q, t) = H(q, p, t) .

Osservazione 8.1. La condizione di convessità Hess(L) 6= 0 è equivalentea dire che, nell’ipotesi di potenziali ordinari, ∂2T

∂q2 6= 0.

Siccome i sistemi in cui l’energia cinetica non soddisfa la condizione datadall’osservazione precedente sono rari, possiamo affermare che tutti i sistemilagrangiani da noi trattati ammettono trattazione hamiltoniana.

8.2.1 Da formalismo Lagrangiano

Grazie a quanto visto circa le trasformate di Legendre, abbiamo la relazioneche collega le grandezze fisiche H e L rispettivamente scritte nello spaziodelle fasi F2n e nello spazio della fasi Cn, data da

H(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn, t) = Σkqkpk − L(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t) .

Differenziamo entrambi i membri ed otteniamo:

∂H∂qi

dqi + ∂H∂pi

dpi + ∂H∂t

dt =n∑k=1

(qkdpk + pkdqk)−∂L∂qi

dqi −∂L∂qi

dqi −∂L∂tdt

dove il secondo e il quarto termine a secondo membro si semplificano. Ugua-gliando i coefficienti dei vari differenziali otteniamo

∂H∂qi

= −∂L∂qi

= −pi ,∂H∂pi

= qi ,∂H∂t

= −∂L∂t

.

72

dove il secondo e quarto termine al secondo membro si semplificano. Laterza relazione, mette in evidenza la variazione temporale di H e L e ci eragià nota; per le altre due si ritrova il seguente sistema di 2n equazioni

qi = ∂H∂pi

pi = −∂H∂qi

(8.2)

le quali vengono definite come equazioni di Hamilton o alternativamentesistema canonico: come si osserva immediatamente queste sono 2n equazionidifferenziali del primo ordine perciò saranno necessarie 2n condizioni inizialidel problema per riuscire a risolvere tale sistema.È opportuno mettere in evidenza due considerazioni circa le costanti delmoto:

• se una coordinata qj è ciclica per una certa lagrangiana, allora lo èanche per la relativa hamiltoniana.

• L’hamiltoniana si conserva se non dipende esplicitamente dal tempo:

dHdt

= ∂H∂qi

qi + ∂H∂pi

pi + ∂H∂t

e sostituendovi le equazioni di Hamilton (8.2)

dHdt

= ∂H∂qi

∂H∂pi− ∂H∂pi

∂H∂qi

+ ∂H∂t

= ∂H∂t

.

8.2.2 Da Principio Variazionale

Le equazioni di Hamilton sono ricavabili anche entro il principio variazionaledi Hamilton descritto da 8.1: vediamo come renderle esplicite in questasezione. Ipotizziamo per prima cosa che lo spazio dei cammini non sia quellodescritto in precedenza ma che sia descritto in ambito hamiltoniano dallamappa che associa [t1, t2] 7→ F2n e che i cammini stessi siano variati sincroni.L’intervallo di tempo ∆t = t2 − t1 è lo stesso per ogni cammino, δq|(1) =δq|(2) = 0 e infine δp|(1) = δp|(2), condizione dovuta al fatto di essere nellospazio delle fasi e non più in Cn. Sfruttando la definizione L = piqi−H, dovericordiamo la presenza della fondamentale sommatoria sottintesa, abbiamoche

0 = δI =∫ t2

t1

[piδqi + qiδpi −

∂H∂qi

δqi −∂H∂pi

δpi

]dt .

Il primo membro dell’integrando risulta essere∫ t2

t1piδqidt = piδqi|(2)

(1) −∫ t2

t1piδqidt

73

ove piδqi|(2)(1) = 0 per l’ipotesi sulle condizoni iniziale e finale di δq. Da questa

considerazione il principio variazionale si riduce a

0 =∫ t2

t1

[−piδqi + qiδpi −

∂H∂qi

δqi −∂H∂pi

δpi

]dt =

∫ t2

t1

(−pi −

∂H∂qi

)δqidt+

∫ t2

t1

(qi −

∂H∂pi

)δpidt .

Siccome i δqi e i δpi sono n oggetti indipendenti tra loro dovrà per forzaessere vero che i coefficienti moltiplicativi2, ossia i termini tra parentesi,siano tutti nulli e ciò equivale a

qi = ∂H∂pi

pi = −∂H∂qi

,

(8.3)

vale a dire le equazioni di Hamilton che abbiamo già avuto modo di ricavare.

8.3 Trasformazioni canonicheLo studio di un sistema nel formalismo proposto da Hamilton si avvale diun particolare tipo di trasformazioni, dette canoniche, grazie alle quali èpossibile capire meglio la struttura della teoria senza perdere informazioniutili alla soluzione di problemi particolari.

Nello spazio delle configurazioni Cn le funzioni Qj = Qj(q1, . . . , qn, t)sono differenziabili ed invertibili e conservano le equazioni di Lagrange informa, come abbiamo già avuto modo di osservare. Nello spazio delle fasiF2n sono differenziabili ed invertibili tutte le funzioni

Qj = Qj(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn, t)Pj = Pj((q1, . . . , qn, p1, . . . , pn, t) ,

(8.4)

ma queste condizioni non sono sufficienti.

Definizione 8.1 (Trasformazione canonica). La trasformazione di coor-dinate (8.4) è canonica se la struttura delle equazioni di Hamilton è mante-nuta.

La definizione appena data significa che se la trasformazione delle coor-dinate (8.4) è effettivamente canonica, per ogni scelta di una hamiltoniana

2Evidenziamo ancora una volta la sommatoria sottointesa, grazie alla quale le funzioniintegrande risultano combinazioni lineari dei δqi e dei δpi

74

H = H(q, p, t) che soddisfi (8.2), allora esiste una nuova hamiltoniana K taleche valgano

Qi = ∂K∂Pi

Pi = − ∂K∂Qi

(8.5)

e risulta quindi chiaro che non tutte le trasformazioni saranno canoniche.

8.3.1 Criterio di Lie

Il criterio che dà nome a questa sezione è una condizione necessaria e suf-ficiente affinché la trasformazione sia canonica e ne dimostreremo solo lanecessità. Se (8.4) è canonica, allora vale il principio di Hamilton.

0 = δ

∫ (2)

(1)(piqi −H) dt = δ

∫ (2)

(1)(PiQi −K)dt

e attraverso la 1-forma differenziale pidqi −Hdt su F2n ×R, otteniamo chetale integrale é pari a

δ

∫ (2)

(1)(pidqi −Hdt) = δ

∫ (2)

(1)(PidQi −Kdt) .

Abbiamo quindi che

pidqi −Hdt = PidQi −Kdt+ dF , (8.6)

dove dF è il differenziale totale di una F arbitraria tale che δF |(2)(1) = 0 e

F = F (q, p, t): la costante dF è quindi pari a

∂F

∂qjdqj + ∂F

∂pjdpj + ∂F

∂tdt ,

espressione che sostituita nella (8.6) e ricordato che Q = Q(q, p, t), ci resti-tuisce l’uguaglianza

pidqi−Hdt = Pi∂Qi∂qj

dqj+Pi∂Qi∂pj

dpj+Pi∂Qi∂t

dt−Kdt+∂F

∂qjdqj+

∂F

∂pjdpj+

∂F

∂tdt .

Uguagliando gli addendi che moltiplicano dt otteniamo la relazione −H =Pi∂Qi∂t−K+ ∂F

∂t, nella quale isoliamo il termine K e lo risostituiamo sempre

in (8.6), ottenendo la cosiddetta condizione di Lie

pidqi − Pi(dQi −

∂Qi∂t

dt

)= dF − ∂F

∂t. (8.7)

75

Definiamo adesso dQi = dQi −∂Qi∂t

dt e dF = dF − ∂F

∂tdt, che sono diffe-

renziali a tempo congelato, e grazie a queste definizioni la (8.7) diventa

pidqi − PidQi = dF (8.8)

che esprime il Criterio di Lie e dove la funzione F è detta funzione genera-trice della trasformazione canonica.

Osserviamo che nell’equazione (8.8) vi sono 4n variabili

2n(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) + 2n(Q1, . . . , Qn, P1, . . . , Pn)

le quali però sono legate da 2n relazioni, perciò abbiamo solamente 2ncoordinate indipendenti.

La funzione F grazie alle trasformate di Legendre può dipendere dadiversi insiemi di 2n variabili variabili oltre a quelle che le abbiamo attribuitonella precedente trattazione, infatti si definiscono convenzionalmente

F1 = F1(q,Q, t)F2 = F2(q, P, t)F3 = F3(p,Q, t)F4 = F4(p;P, t)

(8.9)

in cui richiamiamo l’attenzione che l’ordine di queste variabili non è casualee deve essere memorizzato in tale maniera. Ovviamente le Fi con i = 1, . . . , 4sono collegate da alcune relazioni, vediamo quali.Sostituiamo la funzione F1 in (8.6) e otteniamo una relazione differenzialecon passaggi simili a quelli seguiti in precedenza:

pidqi −Hdt = PidQi −Kdt+ ∂F1∂qi

dqi + ∂F1∂Qi

dQi + ∂F1∂t

dt .

Uguagliando ancora i coefficienti comuni dei vari differenziali troviamo lecosiddette relazioni definenti per F1, ovvero

∂F1∂qi

= pi, −∂F1∂Qi

= Pi, K = H+ ∂F1∂t

, ∀i . (8.10)

Integrando queste relazioni separatamente dovremo sempre ricordare di som-mare al risultato dell’integrale una generica funzione dell’opportuna varia-bile:∫

∂F1(q,Q, t)∂qi

dqi =∫pidqi = pi

∫dqi , a meno di una funzione g(Q)

−∫∂F1(q,Q, t)

∂QidQi = Pi

∫dQi , a meno di una funzione h(q) .

76

Definiamo ora F2(q, P, t) def= F1(q,Q, t) + PiQi tramite la trasformata di Le-grendre opportuna e osserviamo che possiamo sostituire in (8.6) la funzioneF1 in termini di F2 ottenendo

pidqi −Hdt = −QidPi −Kdt− PidQi + PidQi + ∂F2∂qi

dqi + ∂F2∂Pi

dPi + ∂F2∂t

dt

da cui discendono le relazioni definenti per F2,

∂F2∂qi

= pi,∂F2∂Pi

= Qi, K = H+ ∂F2∂t

, ∀i . (8.11)

Lasciamo al lettore volenteroso la derivazione delle relazioni definenti per F3ed F4, che non presentano alcuna difficoltà rispetto ai due esempi appenavisti.Se si applica la trasformazione identità, vengono associate qi → Qi e pi → Pi,

perciò risulta che F2def=

n∑j=1

qjPj , infatti in questo modo si vede immediata-

mente che sono verificate le relazioni definenti (8.11).N.B.: Si consideri una trasformazione indipendente dal tempo che forniscein generale

K(Q,P, t) = H+ ∂F2∂t

= H(q(Q,P, t), p(Q,P, t), t) + ∂F2(q, P (q, p, t), t)∂t

.

L’ultimo termine risulta nullo e allora K(Q,P, t) = H(Q,P, t).

8.4 Parentesi di PoissonLe coordinate di un punto nello spazio della fasi, come già detto, sono(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) ∈ F2n, dove le funzioni q e p, dette osservabili, sonosono di classe C∞(F2n) e la dinamica di tale punto rappresentativo del si-stema è regolata dalla funzione, sempre C∞(F2n), hamiltoniana H : F2n →R.

Introduciamo una nuova operazione binaria su C∞(F2n) detta parentesidi Poisson [ , ] : C∞(F2n) × C∞(F2n) → C∞(F2n) definita su funzioniu, v ∈ C∞(F2n) come

(u, v) 7→ [u, v]q,pdef=

n∑i=1

∂u

∂qi

∂v

∂pi− ∂u

∂pi

∂v

∂qi,

dove la sommatoria è spesso sottintesa e dove il pedice della parentesi puòessere omesso sottintendendo per convenzione che le deriate parziali sianofatte rispetto qi e pi. Richiamiamo l’attenzione sul fatto che in generale taleoperazione è indicata, equivalentemente, con il simbolo , o [, ]. Scegliamoquest’ultima notazione per l’intera trattazione.Le proprietà di questa funzione sono

77

• antisimmetria: [u, v] = −[v, u].

• Bilinearità: [au1 + bu2, v] = a[u1, v] + b[u2, v] ∀a, b ∈ R.

• Identità di Jacobi: [u, [v, w]] + [w, [u, v]] + [v, [w, u]] = 0 ∀u, v, w ∈C∞(F2n). Questa relazione contiene anche derivate seconde le qualiperò si elidono a due a due, quindi la parentesi di Poisson è un’ope-razione chiusa e non dà informazioni oltre le derivate parziali prime.(verifica omessa)

Se alle funzioni qj e pj , dipendenti solo dal tempo e indipendenti fra di loro,sono applicate le parentesi vengono restituiti risultati notevoli, tra i quali:

[qk, qj ] = ∂qk∂qi

0︷︸︸︷∂qj∂pi−

0︷︸︸︷∂qk∂pi

∂qj∂qi

= 0 .

e allo stesso modo [pk, pj ] = 0.

[qk, pj ] = ∂qk∂qi

∂pj∂pi−

0︷ ︸︸ ︷∂qk∂pi

∂pj∂qi

=∑i

δkiδji = δij ,

mentre si verifica immediatamente che [pj , qk] = −δij ; identici risultati sisarebbero trovati se avessimo usato le variabili canoniche Q e P .La proprietà più importante e che andiamo a dimostrare delle parentesi èquella di essere un invariante canonico.

Dimostrazione. Siano Q = Q(q, p, t) e P = P (q, p, t) trasformazioni canoni-che e invertibili e siano u, v ∈ C∞(F2n).

[u, v]q,p = [u(Q(q, p), P (q, p)), v(Q(q, p), P (q, p))]q,p

e ora deriviamo pezzo per pezzo applicando la definizione della parentesi diPoisson.

∂u

∂qk= ∂u

∂Qi

∂Qi∂qk

+ ∂u

∂Pi

∂Pi∂qk

∂v

∂qk= ∂v

∂Qj

∂Qj∂qk

+ ∂v

∂Pj

∂Pj∂qk

e così si calcolano anche ∂u/∂pk e ∂v/∂qk, si moltiplicano i vari fattorie si raccolgono gli opportuni termini (è lasciato al lettore volenteroso losvolgimento di tali passaggi algebrici) fino a ricondursi alla situazione

∂u

∂Qk

∂v

∂Qj[Qk, Qj ] + ∂u

∂Qk

∂v

∂Pj[Qk, Pj ] + ∂u

∂Pk

∂v

∂Qj[Pk, Qj ] + ∂u

∂Pk

∂v

∂Pj[Pk, Pj ]

78

dove le parentesi sono calcolate come da convenzione rispetto q e p e dove èsottintesa la sommatoria sugli indici i, j. Sfruttiamo ora le quattro proprietànotevoli osservate in precedenza e vediamo che l’espressione si riduce a

∂u

∂Qk

∂v

∂Pk− ∂u

∂Pk

∂v

∂Qk= [u, v]Q,P (somma su k sottointesa) .

Da questa dimostrazione siamo riusciti quindi a vedere che l’operazionedelle parentesi permette di capire se la trasformazione Q = Q(q, p, t), P =P (q, p, t) sia canonica o meno siccome la formula appena trovata [u, v]q,p =[u, v]Q,P vale solo in tale ipotesi.

8.5 Teorema di PoissonNello spazio delle fasi, come sappiamo, la dinamica è descritta dalla funzio-ne hamiltoniana H : F2n → R (nel caso in cui ci fosse anche dipendenzatemporale, ovviamente, si avrebbe H : F2n × R → R) e quindi questa puòessere un elemento a cui applicare le parentesi di Poisson. Osserviamo che

[qk,H]q,p = ∂qk∂qi

∂H∂pk−

0︷︸︸︷∂qk∂pi

∂H∂qi

=∑i

δki∂H∂pi

= ∂H∂pk

= qk

dove si è usata la prima equazione di Hamilton in (8.2). In modo analogo sitrova che [pk,H] = pk e se consideriamo una trasformazione canonica in Q ein P , grazie alla proprietà appena dimostrata, si trova che Qk = [Qk,K]Q,Pe Pk = [Pk,K]Q,P .Si consideri ora una funzione u(q, p, t) nello spazio delle fasi, allora per questavale l’utile relazione:

du

dt= ∂u

∂qi

qi︷︸︸︷dqidt

+ ∂u

∂pi

pi︷︸︸︷dpidt

+∂u

∂t= ∂u

∂qi

∂H∂pi− ∂u

∂pi

∂H∂qi

+ ∂u

∂t= [u,H] + ∂u

∂t.

(8.12)Per il caso particolare u = H risulta che

dH

dt= 0 + ∂H

∂t,

considerazione che ci ricorda la proprietà già osservata in altre occasioni chel’hamiltoniana si conserva se è esplicitamente indipendente dal tempo.Se la funzione u fosse una costante del moto3 allora la sua derivata totale

3A tal proposito notiamo che se una coordinata fosse ciclica, lo sarebbe sia in ambitolagrangiano che hamiltoniano perchè H = pk qk − L

79

rispetto al tempo sarebbe nulla e ne conseguirebbe che

[u,H] = −∂u∂t

;

se inoltre fosse anche esplicitamente indipendente dal tempo, la sua parentesidi Poisson con l’Hamiltoniana sarebbe nulla.

Siamo pronti per enunciare il

Teorema 8.1 (di Poisson). Date u e v funzioni canoniche, allora

d

dt[u, v] = [u, v] + [u, v]

Dimostrazione. Sfruttando la (8.12) sappiamo che

d

dt[u, v] = [[u, v],H] + ∂[u, v]

∂t,

dove

∂[u, v]∂t

= ∂

∂t

(∂u

∂q

∂v

∂p− ∂u

∂p

∂v

∂q

)= ∂2u

∂q∂t

∂v

∂p+∂u

∂q

∂2v

∂p∂t− ∂2u

∂p∂t

∂v

∂q−∂u∂p

∂2v

∂q∂t=

=[∂u

∂t, v

]+[u,∂v

∂t

].

Tramite l’identità di Jacobi e la linearità della parentesi di Poisson vediamoche, facendo attenzione ai segni, si ha

d

dt[u, v] = [u, [v,H]] + [[u,H], v] +

[∂u

∂t, v

]+[u,∂v

∂t

]=

=[u, [v,H] + ∂v

∂t

]+[[u,H] + ∂u

∂t, v

]e utilizzando (8.12) concludiamo

d

dt[u, v] =

[u,dv

dt

]+[du

dt, v

]= [u, v] + [u, v] .

Due costanti del moto tali che [u, v] = 0 sono dette di involuzione.

80

8.6 Teorema di LiouvilleConsideriamo lo spazio R2n, caso particolare di F2n e diciamo x ∈ R2n ilvettore 2n-dimensionale di componenti

x =

p1...pnq1...qn

dove l’ordine non è casuale. Introduciamo la matrice simplettica standard,una tabella quadrata di lato 2n e definita come

I =

0 −II 0

in modo tale che, detta H : R2n → R l’hamiltoniana eventualmente dipen-dente dal tempo, allora l’equazione

˙x = I ~∇xH(x, t) (8.13)

è una semplice espressione che riassume tutte le 2n equazioni di Hamilton(8.2) in R2n e dove il simbolo ~∇x sta a significare che il vettore gradiente siriferisce alle 2n coordinate canoniche. Se H non dipende esplicitamente dat si dice che l’equazione (8.13) è un sistema dinamico autonomo.

Lemma 8.1. Se l’hamiltoniana H = H(x) ha derivate seconde continue,allora il campo vettoriale hamiltoniano H

def= I ~∇xH è a divergenza nulla.

Dimostrazione. Con la notazione precedente si trova

~∇x ·H = ~∇x ·(I ~∇xH

)=(

∂∂p∂∂q

)·[0 −II 0

](∂H∂p∂H∂q

)=

=(

∂∂p∂∂q

)·(−∂H∂q

,∂H∂p

)= − ∂

2H∂p∂q

+ ∂2H∂p∂q

= 0

grazie al teorema di Schwarz e alla continuità delle derivate seconde.

Enunciato il Lemma 8.1 utile alla dimostrazione del teorema di Liou-ville, è necessario introdurre un ulteriore prerequisito, il flusso hamilto-niano: questo è la trasformazione canonica dipendente dal tempo definitaStH : R2n → R2n che associa x(0) 7→ x(t), ovvero la soluzione x = x(t) delsistema canonico ˙x = H (x).

81

Teorema 8.2 (di Liouville). Si consideri la regione Ω(t) ⊂ R2n taleche Ω(0) ≡ Ω0 sia regione semplicemente connessa di volume finito e confrontiera ∂Ω0 liscia e regolare4. Indicata con |Ω0| la misura di Ω0, alloraStH|Ω0| = |Ω(t)| è costante, ovvero

d|Ω(t)|dt

= 0 ∀t ∈ [0,∞) .

Si faccia attenzione al termine volume che in tale caso è fuorviante: nonsi sta intendendo il volume in senso comune ma il volume nello spazio dellefasi, che in questo teorema è R2n; questo è un volume astratto, uno spazioin cui vivono ed evolvono le varie coordinate qi e pi del singolo punto rap-presentativo del sistema e che siamo soliti trattare. Il teorema di Liouvilleci assicura quindi che un qualsiasi sistema reale, e quindi descrivibile me-diante un punto astratto rappresentativo avente le 2n coordinate iniziali q0e p0, durante la sua evoluzione o il suo moto continua ad essere descrivibilemediante lo stesso numero di parametri.

Ω(t+ dt)

∂Ω(t+ dt)

Ω0

∂Ω0

dσt

dσ0

~n

Figura 8.1: Regione Ω.

Dimostrazione. Si faccia riferimento alla Fig. 8.1.Se la dimensione di Ω0 è 2n, allora dim ∂Ω = 2n − 1. Si consideri unaregione infinitesima dσ0 della frontiera: facendo evolvere il volume per unintervallo di tempo dt, la regione Ω(t) diventa Ω(t + dt): l’elemento dσ0 sisarà quindi modificato e spostato divenendo la nuova regione infinitesimadσt. Nel suo spostamento tale elemento delinea un certo prisma di volumeH · ~ndσ, quindi estendendo il ragionamento a tutta la regione Ω si ha che

d|Ω(t)|dt

=∫∂Ω

(H · ~n

)dσ =

∫Ω

(~∇x ·H

)dV = 0

dove si sono usati il teorema di Stokes nel secondo passaggio e il Lemma 8.1nel terzo.

4si richede quindi che Ω ⊂ R2n−1 sia una sottovarietà chiusa.

82

8.7 Trasformazioni canoniche infinitesimeUna trasformazione infinitesima è una trasformazione del tipo (incrementia tempo congelato)

Qi = qi + δqi

Pi = pi + δpi(8.14)

con i = 1, . . . , n, in cui la trasformazione generatrice deve essere del ti-po F2 = F2(q, P ) (infatti questa classe contiene la trasformazione identità∑i qiPi).

Definiamo per le trasformazioni infinitesime la funzione F (ε; q, P ) def= qiPi +εG(q, P ), con |ε| 1 e G detta trasformazione generatrice, e verifichiamoche mediante le relazioni differenziali per F2 valgono le seguenti relazioni:

Qi = ∂F

∂Pi= qi + ε

∂G(q, P )∂Pi

⇒ δqi = Qi − qi = ε∂G(q, P )∂Pi

pi = ∂F

∂qi= Pi + ε

∂G(q, P )∂qi

⇒ δpi = Pi − pi = −ε∂G(q, P )∂qi

.

Siccome la trasformazione è infinitesima, ha senso considerare piccole varia-zioni dei parametri in gioco e quindi abbiamo che Pi e Qi differiscono pocorispettivamente da pi e da qi, il che ci permette di interscambiarli l’uno conl’altro ed ottenere

δqi = ε∂G(q, p)∂pi

δpi = −ε∂G(q, p)∂qi

.

(8.15)

Diciamo ora u : F2n → R canonica in C∞(F2n) per la quale vale, approssi-mando al primo ordine la serie di Taylor,

δudef= u(q + δq, p+ δp)− u(q, p) =

∑i

∂u

∂qiδqi + ∂u

∂piδpi =

=∑i

ε∂u

∂qi

∂G

∂pi− ε ∂u

∂pi

∂G

∂qi= ε[u,G]q,p

e troviamo quindi l’importante formula base per le trasformazioni infinite-sime δu = ε[u,G].

8.7.1 Teorema di Noether hamiltoniano

Scegliamo una hamiltoniana H = u, quindi

δH = ε[H, G] = H(q + δq, p+ δp)−H(q, p) (8.16)

e supponiamo cheG sia una costante del moto non dipendente esplicitamentedal tempo per il sistema canonico con hamiltoniana H. Allora usando (8.12)

83

sappiamo che [G,H] = 0 e di conseguenza risulta che, dalla (8.16), δH = 0∀ε, ciò significa che l’hamiltoniana non varia sotto tale trasformazione e chequindi è una trasformazione di simmetria per H. Ogni costante del motoin ambito hamiltoniano è di fatto interpretabile come funzione generatricequindi una trasformazione canonica.Viceversa, se dalla (8.16) imponiamo δH = 0 abbiamo che ε[H, G] = 0 ⇒dGdt = 0 e quindi G risulta una costante del moto.

Ritroviamo così il Teorema 4.1 in ambito hamiltoniano, infatti nel casoin cui F (e quindi anche G) dipendesse esplicitamente dal tempo e possi-bilmente anche H, posso definire una trasformazione canonica qualsiasi diinvarianza per il sistema canonico di partenza se

K(Q,P, t) = H(q(Q,P, t), p(Q,P, t), t) + ∂F

∂t

ma nel caso di trasformazioni infinitesime tale relazione diventa ovviamenteH(Q,P, t) = H(q, p, t) + ∂F

∂t ∀t, che sfruttando la definizione (8.14) e lerelazioni (8.15), diventa a sua volta

H(qi + ε

∂G

∂pi, pi − ε

∂G

∂qi, t

)= H(q, p, t) + ε

∂G

∂t

siccome ∂F∂t = ε∂G∂t , e sviluppando al primo ordine il primo membro si ha

ε

(∂H∂qi

∂G

∂pi− ∂H∂pi

∂G

∂qi

)= ε

∂G

∂t

ossia [H, G] = ∂G∂t . Usando infine la proprietà di antisimmetria delle paren-

tesi di Poisson troviamo[G,H] + ∂G

∂t= 0 .

Questo dimostra che ad ogni simmetria corrisponde una costante del moto,anche nel caso in cui G dipendesse esplicitamente da t.

Quando il moto è una traslazione la trasformazione è generata da G = pquantità di moto; quando il moto è una rotazione attorno all’asse z, G = Lzmomento angolare.

8.8 Simmetrie: esempiSupponiamo che vi sia una certa simmetria per traslazione, per esempionella direzione qj di una quantità δqj , allora

δqj = ε

δqi = 0 ∀i 6= j

δpk = 0 ∀k = 1, . . . , n .

84

Sulle ultime due equazioni agisce la trasformazione identità siccome qi e pksono costanti mentre sulla prima la trasformazione generatrice sarà tale che

δqj = ε = ε∂G

∂pj⇐⇒ G = pj + costante :

se quindi δqj rappresenta una traslazione infinitesima, la funzione pj , che èil suo momento coniugato, è la trasformazione generatrice.

Quando si ha invece una rotazione infinitesima, argomento gia trattatonel paragrafo 7.1.1 e prendendo N = 1 per semplicità, si hanno le coordinate(x, y, z), (px, py, pz) ∈ R6 e dθ l’angolo di rotazione infinitesima rispetto l’assez:

~R = (I + E)~r =

1 0 0

0 1 00 0 1

+

0 −dθ 0dθ 0 00 0 0

~r

e a seconda che si consideri la terna (x, y, z) o (px, py, pz) si trovano i duesistemi di relazioni

X = x− ydθY = y + xdθ

Z = z

Px = px − pydθPy = py + pxdθ

Pz = pz .

Scriviamo innanzitutto le variazioni infinitesime di questo casoδx = X − xδy = Y − yδz = 0

δpx = Px − pxδpy = Py − pyδpz = 0

e quindi la trasformazione generatrice per la componente z è

G = xpy − ypx = Lz

δx = dθ∂G

∂px= −ydθ

δy = dθ∂G

∂py= xdθ .

Al lettore è lasciata la deduzione delle relazioni per le componeni Lx e Ly.Oltre alle simmetrie spaziali appena studiate esistono anche le simmetrie

per traslazioni temporali: assumiamo ε = dt e G(q, p) = H(q, p), indipen-dente esplicitamente dal tempo. Moltiplichiamo per dt le due funzioni eosserviamo che adesso il primo membro G(q, p)dt dipende esplicitamentedal tempo, ovviamente; sfruttando le (8.15) e le equazioni di Hamilton (8.2)otteniamo

δqi = dt∂G

∂pi= dt

∂H∂pi

= dtqi = dtdqidt

= dqi

85

δpi = −dt∂G∂qi

= −dt∂H∂qi

= dtpi = dtdpidt

= dpi

da cui vediamo che gli incrementi infinitesimi, nelle traslazioni temporali,coincidono con i differenziali, e quindi si riconosce H come generatrice delletraslazioni temporali.

8.9 Momento angolare e parentesi di PoissonUn punto di massa m può essere identificato tramite 6 coordinate indi-pendenti (x, y, z, px, py, pz) ∈ R6 ∼= F2n. Le componenti del suo momentoangolare ~L = ~r×~p = ~L(x, y, z, px, py, pz) possono essere variabili canoniche?In generale no e la dimostrazione di questo si basa sulla associazione trafunzione generatrice della trasformazione canonica di rotazione e una com-ponente di ~L, come vediamo ora.Ricordiamo che ~F = ~F (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) con ~F : R2n → R e la sua varia-zione sotto rotazione di un angolo dθ intorno al versore ~n è δ ~F = dθ[ ~F , ~L ·~n],ma d’altra parte la formula per variazione di ~F sotto rotazione infinitesima èd~F = ~ndθ× ~F , quindi siccome deve essere verificata l’uguaglianza δ ~F = d~Fsarà vera la relazione [ ~F , ~L · ~n] = ~n× ~F . Supponiamo allora ~F ≡ ~L: per lacomponente x, ad esempio, si avrà [Lx, ~L · ~n] =

(~n× ~L

)xe osserviamo che

[Lx, Lx] = 0 se ~n =~i

[Lx, Ly] = Lz se ~n = ~j

[Lx, Lz] = −Ly se ~n = ~k ,

equazioni ottenute in modo semplice a seconda che ~n sia (1, 0, 0), (0, 1, 0) o(0, 0, 1) nel determinante

det

~i ~j ~knx ny nzLx Ly Lz

.

In generale se α, β, γ = 1, 2, 3 si ottiene che [Lα, Lβ] = εαβγLγ dove εαβγ èil simbolo di Levi-Civita5. Osserviamo allora che le componenti di ~L nonsono in generale variabili canoniche perchè non soddisfano [qj , qk] = 0 o[pj , pk] = 0.

Osservazione 8.2. Supponiamo Lx ed Ly costanti del moto, il che equivalea dire che [Lx,H] = 0 e [Ly,H] = 0: allora Lz = [Lx, Ly] è anch’essa una

5Questo simbolo matematico nel caso di permutazioni pari assume valore 1 se α = β,β = γ o α = γ, in caso contrario vale 0; se il numero di permutazioni è dispari, invece ilvalore assunto non è più 1 ma -1.

86

costante del moto, infatti grazie al Teorema 8.5 di Poisson con u = Lx ev = Ly si ha

d

dtLz = d

dt[Lx, Ly] = [Lx, Ly] + [Lx, Ly] = 0 ,

e quindi concludiamo che il vettore ~L è una costante del moto.

Osservazione 8.3. Posto L2 = ~L · ~L, indipendentemente dalla dinamica sitrova con una facile verifica che [L2, ~L · ~n] = 0.

8.10 Campo di forze centrali: approfondimentoIn un campo di forze centrali sappiamo valere la legge fondamentale ~p =f(r)~rr , con f funzione generica del modulo della distanza ~r dal centro diforza.

~p× ~L = f(r)r~r ×

(~r ×m~r

)= mf(r)

r

(~r(~r · ~r

)− r2~r

),

ma~r · ~r = ~r · d~r

dt= 1

2d

dt(~r · ~r) = rr

quindi sostituendo ciò nella precedente uguaglianza si ottiene

mf(r)[r~r

r2 −~r

r

]r2 = mf(r)r2 d

dt

(~r

r

).

Il caso di orbite kepleriane è quello di maggior interesse ed è contraddistintoda f(r) = − k

r2 con k > 0; si ha che

d

dt

(~p× ~L

)= d~p

dt× ~L+ ~p× d~L

dt︸ ︷︷ ︸0

siccome in un campo di forze centrali il momento ~M = 0. Sfruttando leuguaglianze precedenti segue che

d

dt

[~p× ~L− mk~r

r

]= 0

e quindi troviamo che in un campo di forze centrali di tipo kepleriano ilvettore di Laplace-Runge-Lenz

~A = ~p× ~L− mk~r

r(8.17)

è una costante del moto tutt’altro che immediata.

87

8.10.1 Orbite chiuse

Consideriamo orbite chiuse di tipo ellittico con il vettore ~L uscente dal foglioe ~p tangente all’orbita, si avrà allora ~p×~L ortogonale alla curva tracciata dalcorpo orbitante e giacente nel piano del foglio e il vettore ~A con modulo edirezione costante nel tempo, come appena dimostrato, inoltre pure ~A giacenel piano dell’orbita siccome ~A · ~L = 0.

~r

mk~rr

~p

~p× ~L

~A

dθ

Figura 8.2: Orbita ellittica.

~A·~r = Ar cos θ = ~r·(~p× ~L

)−mkr = (~r × ~p)·~L−mkr = ~L·~L−mkr = l2−mkr

quindi

r (A cos θ +mk) = l2 ⇒ r = l2

A cos θ +mk

e da questo troviamo1r

= mk

l2

(1 + A cos θ

mk

)(8.18)

formula da porre a confronto con la formula per le orbite kepleriane in (6.4)e dal quale evinciamo che le condizioni per conoscere la geometria dell’orbitasono e = |

~A|mk

~A · ~L = 0

8.10.2 Costanti del moto nel problema dei due corpi

Dalla trattazione appena svolta e da quella del capitolo 6 riassumiamo chenel problema dei due corpi vi sono sette costanti del moto ossia l’energia E

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e i due vettori ~A e ~L, considerando le tre componenti di ciascuno. Vi sonoperò relazioni che legano alcune di queste grandezze, ossia ~A · ~L = 0 e la(6.6) che è una condizione che lega ~A all’energia: le condizioni indipendentidiventano quindi cinque a cui va aggiunta una condizione iniziale (posizionedel punto sull’orbita). D’altra parte sappiamo che nel problema dei duecorpi vi sono sei gradi di libertà, tre coordinate del centro di massa e tre peril moto rispetto al centro di massa: questo sistema è detto completamenteintegrabile secondo la definizione di Liouville-Arnold la quale afferma che

Definizione 8.2. Un sistema meccanico è completamente integrabile seammette un numero di costanti del moto uguale al numero di gradi di libertà.

8.11 Struttura algebrica dei momenti angolariAbbiamo già avuto modo di osservare che [Lα, Lβ] = εαβγLγ dove Lα, Lβ, Lγsono funzioni canoniche e ciascuna genera una rotazione infinitesima.Definiamo subito so(3) def= spanRLα, Lβ, Lγ uno spazio vettoriale di dimen-sione 3 e con struttura algebrica di Lie data da [ , ] : so(3)× so(3)→ so(3),identificata dalle costanti di struttura εαβγ . Si può verificare che le matrici3 × 3 antisimmetriche di rotazione cartesiane usate nel corpo rigido hannole stesse costanti di struttura:

X1 :

0 0 00 0 −10 1 0

, X2 :

0 0 10 0 01 0 0

, X3 :

0 −1 01 0 00 0 0

.

Il commutatore tra queste matrici è dato da

[Xα, Xβ] def= XαXβ −XβXα = εαβγXγ .

Partendo da ~A = (A1, A2, A3) su R6 ci chiediamo che risultato danno leparentesi di Poisson tra (L1, L2, L3) e tra (A1, A2, A3). Si può verificare concalcoli piuttosto laboriosi che è verificata la relazione [Aα, Lβ] = εαβγAγ eche detto A′α =

√m

2|E|Aα vale anche [A′α, A′β] = εαβγLγ . Visti i risultatiè naturale domandarsi che struttura algebrica formino questi due vettori.Dato che l’operazione [ , ] non è chiusa quando applicata alle componen-ti riscalate del vettore di Runge-Lenz possiamo affermare che certamen-te non formano una sottoalgebra, ma, se introduciamo due nuovi vettori~I

def= 12

(~L+ ~A′

)e ~K

def= 12

(~L− ~A′

), possiamo verificare che valgono le rela-

zioni [Iα, Iβ] = εαβγIγ e [Kα,Kβ] = εαβγKγ ; perciò otteniamo una strutturadi due algebre so(3) (perché abbiamo la chiusura dell’operazione "parentesidi Poisson") chiamata so(3)× so(3) (prodotto cartesiano) e che è isomorofaa so(4).

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Bibliografia

Per completare l’opera, riportiamo i testi da cui abbiamo attinto alcuni degliargomenti trattati e altri che, secondo noi, possono essere utili da consultare.

1. Goldstein, Meccanica classica, Zanichelli.

2. Antonio Fasano, Stefano Marmi, Analytical Mechanics, Oxford Uni-versity Press.

3. M. G. Calkin, Lagrangian and Hamiltonian Mechanics.

4. V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag.

5. L. Landau, E. Lifsits, Fisica teorica Vol. 1 "Meccanica", Editori Riu-niti.

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