TEOREMA DI LAGRANGE:

DIMOSTRAZIONE GEOMETRICA E APPLICAZIONE ECONOMICA

Matematica per le Decisioni Strategiche e il Controllo

REFERENTE :Prof.ssa Gioia Federica

Angela Berardinelli

0255/000053

La scienza economica studia l’allocazione ottima di risorse scarse. Le Persone Ottimizzano

Compagnie Aeree: programmano i voli e gestiscono il personale di bordo in maniera tale da minimizzare i costi

Investitori: gestiscono il loro portafoglio titoli in maniera tale da minimizzare il rischio e massimizzare il ritorno atteso

Industrie: organizzano il processo produttivo in maniera tale da massimizzare l’efficienza.

La Natura Ottimizza

Sistemi Fisici: tendono ad uno stato ad energia minima

Molecole: reagiscono tra loro fino a quando l’energia potenziale degli elettroni non raggiunge il minimo

Concetti e assunti di base

PROBLEMI DI OTTIMO LIBERO

PROBLEMI DI OTTIMO VINCOLATO

𝐴=𝑋

𝐴⊆ 𝑋

Sia F :X →R, una funzione in n variabili a valori reali sul dominio X sottoinsieme di , il punto :

.è punto di massimo per F su X se:

F() ≥ F() X

.è punto di massimo in senso stretto se: F() > F() X

.è punto di massimo locale per F se :

F() ≥ F() X

.è punto di massimo locale in senso stretto per F se :

F() > F() X;

Teorema di Fermat

Sia una funzione C¹ definita su un sottoinsieme A e sia x* un punto interno di A. Se x* è di massimo o minimo locale allora si ha che:

Condizione necessaria del primo ordine

Le Forme QuadraticheUna forma quadratica si può riscrivere sotto forma di una matrice simmetrica Q(x) = con si dice:

a)definita positiva se > 0 per ogni 0 di

b)semidefinita positiva se ≥ 0 per ogni 0 di

c)definita negativa se < 0 per ogni 0 di

d)semidefinita negativa se ≤ 0 per ogni 0 di

e) indefinita se > 0 per almeno un di e se < 0 per almeno un di

Il segno di una matrice

-se gli n Minori Principali di N.O. della Hessiana F) hanno segno alterno in è un Max Locale Stretto

0 ≥0 0

(ovvero i minori dispari ≤ 0, i pari ≥0 ) accogliendo F) sia semidefinita negativa

-se gli n Minori Principali di N.O. della Hessiana F) hanno segno concorde in è un Min Locale Stretto

≥0 ≥0 ≥0

(ovvero tutti i minori ≥0 ) accogliendo F) sia semidefinita positiva

-se almeno un Minore Principale di N.O.della Hessiana F) non rispetti l’andamento dei segni,alloraè un Punto di Sella di F.

Condizione sufficiente del secondo ordine

1)se gli n Minori Principali di N.O. della Hessiana F) hanno segno alterno in è un Max Locale Stretto

0 ≥0 0

(ovvero i minori dispari ≤ 0, i pari ≥0 ) accogliendo F) sia semidefinita negativa

2)se gli n Minori Principali di N.O. della Hessiana F) hanno segno concorde in è un Min Locale Stretto

≥0 ≥0 ≥0

(ovvero tutti i minori ≥0 ) accogliendo F) sia semidefinita positiva

3)se almeno un Minore Principale di N.O.della Hessiana F) non rispetti l’andamento dei segni,alloraè un Punto di Sella di F.

sia F :X →R una funzione di classe C2 ed un punto di Max (min) locale per f.

Allora:

ed

è semidefinita Negativa /semidefinita Positiva

Condizione necessaria del secondo ordine

L’ottimizzazione vincolata

Proprietà di un insieme compatto

1) un insieme si dice chiuso se:

2) un insieme è limitato se:

E’ possibile comunque dimostrare che X è chiuso se e solo se vale la seguente :

Teorema di Weierstrass

Sia . Se f è continua e X è compatto,allora esistono punti XM e Xm in X tali che:

Una funzione continua in un compatto sicuramente sarà dotata di un massimo e di un minimo globali.

max/min

m < n

numero vincoli minore del numero delle variabili, affi nchè Ch non si riduca ad un insieme di punti isolati o all’insieme vuoto

Un problema può essere formulato come:

La Condizione di Qualificazione dei Vincoli Se m=1

cioè ℎ(x₁,…, xn) = a

la CQV nel punto di ottimo è:

Se m>1, l’ulteriore generalizzazione della CQV, coinvolge la matrice Jacobiana della funzione vettoriale h=(h₁,h₂,…,ℎ)

La matrice Jacobiana

Un punto x* è un punto stazionario della funzione vettoriale h=(h₁,h₂,…,ℎ) se il rango di Jh(x*) è minore di m.

Siano funzioni di variabili di classe C1 .Consideriamo il problema di massimizzare (o minimizzare) la funzione sull’insieme ammissibile definito dalle condizioni

Ch sia un punto di massimo o minimo locale per su Ch e che soddisfi la QVND(Qualificazione dei vincoli di non degenerazione).Allora esistono moltiplicatori , tali che sono un punti stazionari della funzione Lagrangiana:

Teorema di Lagrange

Ossia:

𝜕𝐿𝜕𝑥𝑛

(𝑥∗ ,𝜇∗)=0

𝜕𝐿𝜕𝜇1

(𝑥∗ ,𝜇∗)=0

𝜕𝐿𝜕𝜇𝑚

(𝑥∗ ,𝜇∗)=0

𝜕𝐿𝜕𝑥1

(𝑥∗ ,𝜇∗ )=0

⋮ ⋮

Consideriamo la seguente funzione di utilità da massimizzare:

con il vincolo

p1 = prezzo del bene 1 p2 = prezzo del bene 2 x1 =bene 1 x2=bene 2 I = vincolo di spesa

Teorema di Lagrange: dimostrazione economica

Dal punto di vista geometrico, la massimizzazione vincolata della funzione obiettivo consistenell’individuazione della più “alta” curva di livello di f che tocca la curva C.

Pertanto essa deve soddisfare simultaneamente 3 requisiti:

- deve toccare C affinchè il vincolo sia soddisfatto

- deve giacere tutta da un lato di C perché non può intersecarla

-deve essere tangente a C (come il punto x* nella figura)

Se la curva di livello f è tangente alla curva C nel punto di massimo vincolato x*,in tale punto si devono uguagliare la pendenza della curva di livello e la pendenza della curva definita dal vincolo.

pendenza della curva di livello di f nel punto x* è:

pendenza della curva della funzione di vincolo in x* è:

Imponiamo l’uguaglianza delle due pendenze:

(1)

Conviene però scrivere la precedente uguaglianza nella forma

 

(2)

e indicare con il valore comune dei 2 rapporti:

(3)

Dalla precedente doppia uguaglianza si possono ricavare le 2 equazioni:

𝜕 𝑓𝜕𝑥1

(𝑥∗)−𝜇 𝜕h𝜕 𝑥1

(𝑥∗ )=0 𝜕 𝑓𝜕𝑥2

(𝑥∗ )−𝜇 𝜕h𝜕 𝑥2

(𝑥∗)=0

(1)

  (2) (3)

In conclusione abbiamo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite:

Per determinare i punti stazionari di questa funzione si calcolano le 3 derivate parziali:

La funzione Lagrangiana

porre equivale a soddisfare

Il moltiplicatore di Lagrange

Esprime la sensibilità del valore ottimo della funzione obiettivo alle variazioni della costante che compare al secondo membro dei vincoli.

𝒎𝒂𝒙 𝒇 (𝒙 , 𝒚 ) h (𝑥 , 𝑦 )=𝑎

Per mettere in evidenza la dipendenza della soluzione dal parametro a,possiamo scriverla come:

e indicare con il corrispondente valore del moltiplicatore.Dunque il valore ottimo della funzione obiettivo è:

Teorema:

Siano ,, funzioni di a e che la CQND sia verificata in allora vale:

il moltiplicatore misura il tasso di variazione del valore ottimo di f rispetto al parametro a.

I gradienti calcolati in un generico punto x sono:

e

sono perpendicolari rispettivamente agli insiemi di livello di f e h passanti per tale punto x*poiché gli insiemi di livello f e h hanno la stessa pendenza in x*,i gradienti e devono appartenere alla stessa retta,puntando nella stessa direzione o nella direzione opposta.

Teorema di Lagrange: dimostrazione geometrica

In entrambi i casi,i due gradienti sono uno il multiplo scalare dell’altro;pertanto esiste un numero reale detto appunto moltiplicatore tale che:

𝝏 𝒇𝝏 𝒙𝟏

𝝏 𝒇𝝏 𝒙𝟐

=𝝁∗

𝝏𝒉𝝏 𝒙𝟏

𝝏𝒉𝝏 𝒙𝟐

ossia:

da cui si ottiene immediatamente il sistema:

𝝏 𝒇𝝏𝒙𝟏

(𝒙∗ )−𝝁 𝝏𝒉𝝏𝒙𝟏

(𝒙∗)=𝟎 𝝏 𝒇𝝏𝒙𝟐

(𝒙∗ )−𝝁 𝝏𝒉𝝏𝒙𝟐

(𝒙∗)=𝟎

Applicazione economica

Teorema di Lagrange

Una compagnia necessita di €600000 per finanziare marketing e ricerca e vi destinerà 30x4/5 y1/3 euro derivanti dalla vendita dei suoi prodotti. A quanto ammontano i profitti derivanti dalla vendita dei prodotti x e y ? Che cosa accade se il budget a disposizione subisce un incremento dell’1%?e se subisce un decremento dell’1.5%?

600-x-y=0

la Lagrangiana è:

+

Le Condizioni del primo ordine sono:

600-x-y=0 (3)

Dalle prime due equazioni si ottiene:

=

ossia x = 2.4y. Sostituendo nella (3) otteniamo 600−2.4y−y = 0 equivalente a y = 600/3.4 ≈ 176.47. Allora x = 423.53.Sostituendo nell’equazione sopra otteniamo

La risoluzione del sistema di equazioni (1),(2) e (3) attestano che (Wx, Wy) = (423.53, 176.47) è soluzione del problema (1) ed il valore ottimale, ossia il totale massimo di prodotti che bisogna vendere è f(423.53, 176.47) =21257.83.

Che cosa accade se il budget a disposizione subisce un incremento dell’1%?

sfruttiamo il significato di , inteso come rilevatore della sensibilità dell’ottimo dell’obiettivo al variare della costante del vincolo.

Se il bilancio ´e aumentato dell’1% a €606000 otteniamo un aumento di 6 nella costante del vincolo e dunque:

6 = 6 ⋅ 40.15 = 240.90 (pari al 1,13% delle vendite precedenti)

(Se effettuassimo il calcolo con il nuovo budget di €606000, l’incremento attuale sarebbe 241.08.)

…e se il budget subisce un decremento dell’1.5%?

l’ 1,5% di 600.000= 591.000€

dunque anche il totale delle vendite subisce un decremento anch’esse di 9

9 = 9 ⋅ 40.15 = 361.35 (pari al 1,7% delle vendite precedenti )

Il decremento attuale nel massimo delle vendite ´e dai calcoli pari a 361.02 non troppo dissimile dal valore trovato!)