Appunti di Elettrotecnica

Giacomo Furia

Giugno 2017

Sommario

Appunti e formule utili per la prova scritta e orale di Elettrotecnica,corso di Ingegneria Informatica tenuto dal prof. MusolinoA.A. 2016/2017

Indice

1 Principi fondamentali 31.1 Ipotesi principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Problema fondamentale delle reti elettriche . . . . . . . . . . 31.3 Corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Bipoli elettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Riferimenti associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 Riferimenti non associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.8 Caratteristiche dei bipoli elettrici . . . . . . . . . . . . . . . . 41.9 Primo principio di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.10 Secondo principio di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Circuiti resistivi 52.1 Resistore lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Conduttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Generatore ideale di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Generatore ideale di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Generatori pilotati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Principio di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Principio di sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . . . . . 72.9 Teorema di Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.10 Teorema di Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.11 Elementi di teoria dei grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1

3 Regime Sinusoidale 83.1 Resistore in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Induttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Induttori mutuamente accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Impedenza e Ammettenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.6 Valore Efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.7 Potenza (in regime sinusoidale) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Trasformata di Laplace 234.1 Proprieta della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . 244.2 Antitrasformare la risposta di un circuito . . . . . . . . . . . 25

5 Reti due porte 265.1 Parametri Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Parametri Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Parametri h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4 Parametri T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Teorema di Thevenin e Norton generalizzato 29

7 Sistemi trifase 30

8 Circuiti Magnetici 308.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.2 Materiali ferromagnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.3 Circuito magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.4 Costruzione circuito magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.5 Legge di Hopkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9 Trasformatore 329.1 Trasformatore ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.2 Funzionamento trasformatore ideale . . . . . . . . . . . . . . 339.3 Potenza trasformatore ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.4 Circuito equivalente trasformatore ideale . . . . . . . . . . . . 349.5 Come viene vista l’impedenza Z dal primario ? . . . . . . . . 34

10 Trasformatore reale 3510.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.2 Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

11 Trasformatore Trifase 3811.1 Gruppo del trasaformatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811.2 Calcolo dei parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2

12 Conversione elettromeccanica dell’energia 39

13 Campo Magnetico Rotante 39

14 Macchina Asincrona trifase 4014.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014.2 Avvolgimenti di rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.3 Avvolgimenti di statore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.4 Funzionamento macchina asincrona . . . . . . . . . . . . . . . 4114.5 Circuito equivalente delle macchina asincrona . . . . . . . . . 4214.6 Velocita di rotazione dei campi . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.7 Scorrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.8 Rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1 Principi fondamentali

1.1 Ipotesi principale

La principale ipotesi che permette lo studio di fenomeni elettromagneticimediante il modello ”circuito elettrico” e che la lunghezza d’onda:

λ =c

f

sia molto maggiore della massima dimensione L del volume in cui avvengonoi fenomeni elettromagnetici in esame, da cui:

λ L −→ λ =c

f L −→ c Lf

Si deduce che minore e la frequenza f dei campi elettromagnetici maggioresara la possibilita di rappresentare tali fenomeni con un circuito elettrico.

1.2 Problema fondamentale delle reti elettriche

Un circuito elettrico si intende risolto se sono determinate tutte le tensionie correnti in ogni componente del circuito elettrico. Questo rappresenta ilproblema fondamentale delle reti elettriche.

1.3 Corrente elettrica

La corrente elettrica e generata da un moto di cariche elettriche e corrispon-de alla quantita di carica ∆q che attraversa un componente di un circuitoelettrico in un intervallo di tempo ∆t, da cui:

i =∆q

∆t

Essa si misura in Ampere [A] che e un’unita di misura del S.I.

3

1.4 Tensione

La tensione V e anch’essa legata alla presenza di cariche elettriche e corri-sponde al lavoro L compiuto (dal campo elettrico) per spostare un carica qtra due punti A e B di un circuito elettrico. Infatti:

L = q VAB

Essa si misura in Volt. 1 V olt = 1Watt1Ampere oppure 1 V olt = 1 Joule

1 Coulomb .

1.5 Bipoli elettrici

I bipoli elettrici sono gli elementi costitutivi elementari di un circuito elet-trico. Essi sono caratterizzati da:

• Due morsetti (o terminali o capi) attraverso i quali il bipolo si inter-faccia con il mondo esterno

• Una legge identificativa che lega la tensione ai morsetti con lacorrente che attraversa il bipolo stesso.

1.6 Riferimenti associati

Nei riferimenti associati, la corrente entra la morsetto (+) della tensione.Utilizzando questi riferimenti la potenza positiva (p > 0) valutata ai capidel bipolo e la potenza fornita al bipolo.

1.7 Riferimenti non associati

Nei riferimenti non associati, la corrente entra dal morsetto (-) della tensione.Utilizzando questi riferimenti la potenza positiva (p > 0) e la potenza fornitadal bipolo.

1.8 Caratteristiche dei bipoli elettrici

Le 4 caratteristiche dei bipoli elettrici sono:

1. Linearita: un bipolo di dice lineare se la curva rappresentativa dellasu equazione identificativa e una retta passante per l’origine.

2. Passivita: un bipolo si dice passivo se l’energia w(t), valutata conriferiementi associati e sempre maggiore od uguale a zero.

3. Tempo invarianza: un bipolo si dice tempo invariante se la curvarappresentativa della sua equazione identificativa non varia nel tempo.

4

4. Memoria: un bipolo si dice con memoria se i valori di tensione (cor-rente) ai suoi capi ad un certo istante di tempo dipendono dai valoriassunti dalla corrente (tensione) negli istanti precedenti. Si dice senzamemoria invece quando la tensione (corrente) ai suoi capi ad un certoistante di tempo dipende solo dal valore della corrente (tensione) inquell’istante.

1.9 Primo principio di Kirchhoff

La somma algebrica delle correnti appartenenti ai rami che tagliano unasuperficie chiusa e zero.Convenzione: le correnti uscenti dalla superficie hanno segno negativomentre quelle entranti hanno segno positivo.

1.10 Secondo principio di Kirchhoff

La somma algebrica delle cadute di tensione dei rami che formano una magliadi un circuito elettrico e zero.

2 Circuiti resistivi

2.1 Resistore lineare

Il componente circuitale la cui relazione identificativa e rappresentanta dauna retta nel piano tensione-corrente e detto resistore lineare e rappre-senta gli effetti del vettore densita di corrente ~J in un conduttore. La suarelazione costitutiva e:

v(t) = Ri(t)

2.2 Resistenza

La resistenza e il coefficiente di proporzionalita tra tensione e corrente aicapi di un resistore. Esso e allo stesso tempo un parametro che dipendeprincipalmente dalla geometria, dal materiale e dalla temperatura del di-spositivo. Si misura in [Ω] = [V ]

[A] .Per un conduttore cilindrico la resistenza e pari a:

R = ρl

S

dove:

• ρ e il coefficienti di reistivita del materiale [Ω ·m]

• l e la lunghezza del conduttore [m]

• S e la sezione del conduttore [m2]

5

2.3 Conduttanza

Dall’equazione costitutiva di un resistore, esprimendo la corrente in funzionedella tensione si ha: i(t) = 1

R v(t) = G v(t), dove si definisce il parametro Gcome conduttanza di un resistore. Essa viene misurata in [Ω−1] oppure in[Siemens].

2.4 Generatore ideale di tensione

Il componente circuitale a due morsetti la cui relazione identificativa e rap-presentabile nel piano tensione-corrente come una retta parallela all’assedella ascisse e detto generatore ideale di tensione.

• Piu generatori ideali di tensione, eroganti anche tensioni diverse, pos-sono essere connessi in serie.

• Piu generatori ideali di tensione possono essere connessi in parallelosolo se eroganti la stessa tensione.

2.5 Generatore ideale di corrente

Il componente circuitale a due morsetti la cui relazione identificativa erappresentabile mediante una retta parallela all’asse delle ordinate e dettogeneratore ideale di corrente.

• Piu generatori ideali di corrente,anche con correnti diverse, possonoessere connessi in parallelo.

• Piu generatori ideali di corrente possono essere connessi in serie solose eroganti la stessa corrente.

2.6 Generatori pilotati

I generatori pilotati sono dei generatori di tensione o di corrente che im-pongono tensioni e/o correnti determinate da altre grandezze di rete (siatensioni che correnti). Ne esistono 4 tipi:

1. Generatori di tensione pilotati in tensione

2. Generatori di tensione pilotati in corrente

3. Generatori di corrente pilotati in tensione

4. Generatori di corrente pilotati in corrente

6

2.7 Principio di sostituzione

Il principio di sostituzione afferma che:

1. Quando e noto il valore della corrente in un ramo di una rete, e pos-sibile inserire in quel ramo un generatore di corrente I uguale allacorrente che circola in quel ramo.

2. Quando e noto il valore della tensione tra due punti di una rete epossibile applicare tra quei due punti un generatore di tensione Vuguale alla tensione tra i due punti della rete.

2.8 Principio di sovrapposizione degli effetti

Il principio di sovrapposizione degli effetti afferma che e possibile deter-minare la tensione o la corrente su un ramo di un circuito sommando ivalori di tensione o corrente di quel ramo che si ottengono facendo agireseparatamente i generatori indipendenti della rete.

2.9 Teorema di Thevenin

Il teorema di Thevenin consente di determinare un circuito equivalente diuna rete nella quale sono presenrt anche generatori indipendenti.Questo teorema permette di rappresentare in modo equivalente agli effettiesterni un certo circuito sostituendolo con uno semplificato formato da ungeneratore di tensione e da una resistenza.Il teorema ci dice come trovare i valori di tensione del generatore e di resi-stenza del resistore.(dimostrazione sul libro)

2.10 Teorema di Norton

Il teorema di Norton consente di determinare un circuito equivalente di unarete nella quale sono presenti anche generatori indipendenti.Questo teorema permette di rappresentare in modo equivalente agli effettiesterni un certo circuito, sostituendolo con un semplificato formato da ungeneratore di corrente con in parallelo un resistenza.In pratica anche in questo caso il teorema ci dice come determinare il valoredella corrente del generatore e della resistenza del resistore.(dimostrazione sul libro)

2.11 Elementi di teoria dei grafi

Definizione 2.1 (Grafo associato ad una rete elettrica). Un grafo di unarete elettrica si costruisce a partire dal circuito elettrico sostituendo ogniramo con una linea chiamata ”lato del grafo”. I punti di incontro tra i latidel grafo si dicono nodi del grafo.

7

Definizione 2.2 (Percorso). Si dice percorso un insieme di lati distinti checollegano due nodi distinti di un grafo. I due nodi terminali devono esseretoccati da un solo lato del percorso mentre tutti gli altri nodi appartenential percorso devono essere toccati da due soli lati.

Definizione 2.3 (Grafo connesso). Dicesi grafo connesso un grafo in cuiper ogni coppia di nodi esiste un percorso che li collega.

Definizione 2.4 (Insieme di taglio). Dicesi insieme di taglio l’insieme deilati distinti di un grafo connesso, rimossi i quali si ottiene un grafo scon-nesso.

Definizione 2.5 (Maglia). Dicesi maglia il sottografo connesso in cui ogninodo viene toccato soltanto da due lati.

Definizione 2.6 (Albero). Dicesi albero un’insieme di lati che colleganotutti i nodi di un grafo senza formare maglie.

Definizione 2.7 (Lati d’albero). Dicesi lati d’albero i lati appartenenti adun albero.

Definizione 2.8 (Corde). Dato l’albero di un grafo, si defiscono corde irami non appartenenti all’albero del grafo.

Definizione 2.9 (Coalbero). Dicesi coalbero l’insieme di tutte le cordedell’albero di un grafo.

Definizione 2.10 (Maglia monocorda). Dicesi maglia monocorda una ma-glia formata da tutti lati d’albero e da una sola corda.

Definizione 2.11 (Proprieta 1). Dato un grafo con n nodi ed l lati, ilnumero di lati d’albero e; la = n − 1, mentre il numero di corde e: c =l − la = l − n+ 1

Definizione 2.12 (Proprieta 2). Le correnti nelle corde individuano univo-camente tutte le correnti dei lati di un grafo.

Definizione 2.13 (Proprieta 3). Le tensioni dei lati d’albero individuanounivocamente tutte le tensioni dei lati di un grafo.

3 Regime Sinusoidale

Definizione 3.1 (Regime periodico). Un circuito si dice a regime periodicoquando tutte le grandezze di rete hanno un andamento periodico ovveroquando esiste un intervallo di tempo T (detto periodo), tale che per ognigrandezza si ha: f(t) = f(t+ T ).

8

Definizione 3.2 (Regime periodico sinusoidale). Nell’ottica del regime pe-riodico, se in un circuito i generatori hanno una forma d’onda del tipoB(t) = BM sin(ωt + β) oppure A(t) = AM cos(ωt + α) e tutte le tensio-ni e correnti nel circuito hanno una forma d’onda dello stesso tipo, ovveroX(t) = XM sin(ωt+ γ), allora un circuito si dice in regime sinusoidale.

Definizione 3.3 (Fasore). Il vettore che individua la posizione di un vettorerotante nel piano di Gauss all’istante iniziale si dice fasore.

3.1 Resistore in regime sinusoidale

Data la corrente i(t) = IM sin(ωt + α) ho che la tensione ai capi del resi-store sara pari a v(t) = RIM sin(ωt + α). Sia ora I = IMe

jα il fasore rap-presentativo della corrente, ho che il fasore rappresentativo della tensionesara:

V = RI = RIMejα = ZRe

jα

dove ZR e detta impedenza del resistore.

3.2 Condensatore

Definizione 3.4 (Condensatore). Il componente circuitale a due morsetti lacui relazione identificativa e rappresentata da una retta nel piano tensione-carica elettrica e detto condensatore. La sua relazione identificativa e:

q(t) = Cv(t)

Definizione 3.5 (Capacita). La capacita e un parametro che rappresenta ilcoefficiente di proporzionalita tra la carica q distribuita sulle armature di uncondensatore e la tensione v ai capi del condensatore stesso. La sua unitadi misura e il Farad [F ].

Definizione 3.6 (Corrente in un condensatore).Dalla relazione identificativa del consensatore si ha: q(t) = Cv(t), ora poichei = dq

dt allora si ha che:

i =dq

dt=

d

dt(Cv) = C

dv

dt

Definizione 3.7 (Tensione ai capi di un condensatore).Dall’espressione della corrente in un condensatore i(t) = C dv

dt , moltiplicandoentrambi i membri per dt e dividendoli per C si ha:

dv =1

Ci dt

⇓

9

v =1

C

∫ t

−∞i dt =

1

C

∫ 0

−∞i dt+

1

C

∫ t

0i dt =

q0

C+

1

C

∫ t

0i dt = v0 +

1

C

∫ t

0i dt

dove v0 = q0C rappresenta la tensione sul condensatore all’istante t=0. Quin-

di, pouiche la tensione ad un certo istante t dipende dai valori assunti prece-dentemente dalla corrente, allora il condensatore di dice essere un elementocon memoria.

Definizione 3.8 (Potenza in un condensatore). L’espressione della potenzain un condensatore risulta essere:

p(t) = v(t) i(t) = v(t) Cdv

dt

Dove si nota che in base al segno di dvdt la potenza puo essere sia positiva chenegativa.

Definizione 3.9 (Energia in un condensatore). L’energia immagazzinatain un condensatore puo essere espressa in due modi diversi:

w(t) =

∫ t

0p(t)dt =

∫ t

0v(t) C

dv

dtdt = C

∫ t

0v dv = C

v2

2

∣∣∣∣t0

oppure:poiche v = q

C e i = dqdt allora:

w(t) =

∫ t

0p(t)dt =

∫ t

0

q dq

C dtdt =

1

C

∫ t

0q dq =

q2

2 C

∣∣∣∣t0

Quest’ultima espressione non e molto utilizzata perche non compaiono legrandezze fondamentali dei circuiti elettrici.

Osservazione: l’energia nel condensatore viene immagazzinata sottoforma di ”campo elettrico”.

Definizione 3.10 (Condensatore in regime sinusoidale). Le espressioni ditensione e corrente nel tempo sono:

i(t) = IM sin(ωt+ α)

v(t) = 1C

∫i dt = − IM

ωC cos(ωt+ α) = IMωC sin(ωt+ α− π

2 )

Da cui i fasori rappresentativi sono:

I = IM ejα

Vc =IMωC

ej(α−π2

) =IMωC

ejα e−jπ2 = −j IM

ωCejα = −j XC I = ZC I

10

dove ZC = −jXC = −j IMωC e detta impedenza del condensatore ed e l’ope-ratore matematico che permette di passare dal fasore della corrente a quellodella tensione e viceversa.

Osservazione: Seguendo il verso di rotazione antiorario, nel condensatoreil fasore della tensione e in ritardo rispetto a quello della corrente.

3.3 Induttore

Definizione 3.11 (Induttore). Il componente circuitale a due morsetti lacui relazione identificativa e rappresentabile mediante un retta nel pianotensione-flusso magnetico e detto induttore. La sua equazione identificativae:

φ(t) = L i(t)

Definizione 3.12 (Induttanza). L’induttanza e il parametro che rappresen-ta il coefficiente di proporzionalita tra la corrente circolante in un induttoreed il flusso magnetico φ(t) prodotto dalla stessa corrente e concatenatocon la superficie S delimitata dal conduttore nel quale essa circola. La suaunita di misura e l’Henry [H].

Definizione 3.13 (Tensione ai capi di un induttore). Dalla legge di Faradayv = dφ

dt e dalla relazione identificativa dell’induttore φ(t) = L i(t), si ha:

v =dφ

dt=

d

dt(L i(t)) = L

di

dt

Definizione 3.14 (Corrente in un induttore). Dall’ espressione della ten-sione ai capi di un induttore, moltiplicando entrambi i membri per dt edividendoli per L si ha:

di =1

Lv dt

⇓

i(t) =1

L

∫ t

−∞vdt =

1

L

∫ 0

−∞vdt+

1

L

∫ t

0vdt =

φ0

L+

1

L

∫ t

0vdt = i0+

1

L

∫ t

0vdt

dove i0 e la corrente che circola nell’induttore all’instante iniziale (t = 0),dunque anche l’induttore e un dispositivo con memoria.

Definizione 3.15 (Potenza in un induttore). La potenza in un induttore epari ha, poiche v = dφ

dt :

p(t) = v(t) i(t) =dφ

dti(t) = L

di(t)

dti(t)

Oppure, in modo equivalente:

p(t) = v(t) i(t) =φ

L

dφ

dt

11

La potenza in un induttore puo essere sia positiva che negativa quindi, l’in-duttore puo sia assorbire che erogare potenza (sotto forma di energiaimmagazzinata) quindi e un dispositvo reattivo.

Definizione 3.16 (Energia in un induttore). L’energia immagazzinata inun induttore nell’intervallo di tempo tra 0 e t e pari a:

w(t) =

∫ t

0p(t)dt =

∫ t

0i L

di

dtdt = L

∫ t

0i dt =

L

2i2∣∣∣∣t0

Oppure:

w(t) =

∫ t

0p(t)dt =

∫ t

0

φ

L

dφ

dtdt =

1

L

∫ t

0φ dφ =

1

2Lφ2

∣∣∣∣t0

Osservazione: l’energia nell’induttore viene immagazzinata sottoforma di ”campo magnetico”.

Definizione 3.17 (Induttore in regime sinusoidale). Le espressioni di ten-sione e corrente nel tempo sono:

i(t) = IM sin(ωt+ α)

v(t) = Ldidt = ω L IM cos(ωt+ α) = ω L IM sin(ωt+ α+ π

2 )

Per cui i fasori rappresentativi sono:

I = IM ejα

VL = ω L IM ej(α+π2

) = ω L IM ejαejπ2 = j ω L IM ejα =

= j ω L I = j XLI = ZL I

dove ZL e detta impedenza dell’induttore e rappresenta l’operatore matema-tico che permette di passare dal fasore della corrente a quello della tensionee viceversa.

Osservazione: Seguendo il verso di rotazione antiorario, nell’induttoreil fasore della tensione e in anticipo rispetto a quello della corrente.

3.4 Induttori mutuamente accoppiati

Definizione 3.18 (Fenomeno di mutuo accoppiamento). Il fenomeno dimutuo accoppiamento si presenta quando il flusso magnetico concatenatocon una superficie puo essere prodotto anche da correnti che non circolanonel conduttore che costituisce l’induttore stesso.Tale fenomeno e sempre reciproco ovvero: se il flusso magnetico in uninduttore e sostenuto anche dalla corrente che circola in un secondo induttoreallora, sicuramente, anche il flusso magnetico nel secondo induttore sarasostenuto dalla corrente che circola nel primo induttore.

12

Definizione 3.19 (Relazione identificativa ind. mutuamente acc.). La re-lazione identificativa di un sistema di due induttore mutuamente accoppiatie:

φ1 = L1 i1 ±M i2

φ2 = L2 i2 ±M i1

Definizione 3.20 (Realzione tensione corrente ind. mutuamente acc.). Larelazione tensione-corrente per un sistema di due induttori mutuamente ac-coppiati.Dalla legge di Faraday v = dφ

dt segue che:

v1 =dφ1

dt= L1

di1dt±Mdi2

dt

v2 =dφ2

dt= L2

di2dt±Mdi1

dt

Definizione 3.21 (Potenza ind. mutuamente acc.). La potenza in un si-stema di due induttori mutuamente accoppiati (2IMA) e pari alla sommadelle potenze del 1 e del 2 induttore:

p(t) = v1i1 + v2i2 =

(L1di1dt±Mdi2

dt

)i1 +

(L2di2dt±Mdi1

dt

)i2 =

= L1i1di1dt

+ L2i2di2dt±Md(i1i2)

dt

(l’ultimo termine e cosı perche e la derivata del prodotto di due funzioni)

Definizione 3.22 (Energia ind. mutuamente acc.). L’energia in un sistemadi due induttori mutuamente accoppiati e pari a:

w(t) =

∫ t

0p(t)dt =

∫ t

0

[L1i1

di1

dt+ L2i2

di2

dt±Md(i1i2)

dt

]dt =

si semplificano tutti i dt e

=

[L1(i1)2

2+

L2(i2)2

2± M(i1i2)

] ∣∣∣∣t0

3.5 Impedenza e Ammettenza

Definizione 3.23 (Impedenza). L’impedenza e un operatore matematicocomplesso che consente di passare dal fasore della corrente a quello dellatensione. In generale e costituita da un numero complesso con parte realeed immaginaria:

Z = R + j X

dove:

13

• R = Resistenza (e sempre positiva (R > 0))

• X = Reattanza

SeX > 0→ impedenza di tipo induttivo

SeX < 0→ impedenza di tipo capacitivo

Rappresentazione polare: Z = Zejϕ

Modulo: Z = |Z| =√R2 +X2

Angolo caratteristico (angolo di sfasamento tra tensione e corrente aicapi dell’impedenza): ϕ = arctan

(XR

)Triangolo della impedenza: (da disegnare)

Definizione 3.24 (Ammettenza). Corrisponde all’inverso dell’impedenza:

Y = G + j B

dove:

• G = Conduttanza

• B = Suscettanza

Rappresentazione polare: Y = Y ejφ

Modulo: Y = |Y | =√G2 +B2

Angolo caratteristico (angolo di sfasamento tra tensione e corrente aicapi dell’impedenza): φ = arctan

(BG

)Triangolo della ammettenza: (da disegnare)

3.6 Valore Efficace

Definizione 3.25 (Valore efficace). Si definisce valore efficace di una gran-dezza periodica, la quantita:

Veff =

√1

T

∫ T

0f2(t)dt

14

In particolare per una sinusoide il valore efficace si calcola come:

Veff =VM√

2

dove VM rappresenta il valore massimo della grandezza nel periodo.

Perche Veff = VM√2

?

Perche per esempio data la generica sinusoide f(t) = VM sin(t) si ha:

Veff =

√1

2π

∫ 2π

0V 2M sin2(t)dt =

√V 2M

2π

∫ 2π

0sin2(t)dt =

√V 2M

2π

[t

2− 1

4sin(2t)

]2π

0

=

=

√V 2M

2π

[2π

2− 1

4sin(4π)− 0

]=

√V 2M

2ππ =

VM√2

Definizione 3.26 (Significato fisico del valore efficace). Data l’espressionedell’energia dissipata in un periodo su una resistenza R:

attraversata da corrente costante (la chiamo Ic) :

w1 =

∫ T

0RI2

c dt = TRI2c

attraversata da una corrente sinusoidale (la chiamo i):

w2 =

∫ T

0Ri2dt = R

∫ T

0i2dt =

ora moltiplico e divido per T :

= TR1

T

∫ T

0i2dt = TRI2

eff

dove si nota che le due energie sono uguali se Ic = Ieff .Quindi il valore efficace di una corrente sinusoidale corrisponde all’intensitadi una corrente costante che dissipa in un periodo la stessa energia dissipata(sulla stessa resistenza) dalla grandezza sinusoidale.

3.7 Potenza (in regime sinusoidale)

Definizione 3.27 (Potenza). Considerati gli andamenti di tensione e cor-rente:

i(t) = Im sin(ωt)

v(t) = Vm sin(ωt+ φ)

15

l’andamento temporale della potenza e:

p(t) = v(t)i(t) = VmIm sin(

α︷ ︸︸ ︷ωt+ φ) sin(

β︷︸︸︷ωt ) =

Uso la formula di Werner: sin(α) sin(β) = 12 [cos(α− β)− cos(α+ β)]

=1

2VmIm

cos(ωt+ φ−ωt)− cos(

α︷︸︸︷2ωt +

β︷︸︸︷φ )

=

Uso la formula di addizione del coseno:cos(α+ β) = cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β)

=1

2

VmIm cos(φ)− VmIm cos(φ) cos(2ωt)︸ ︷︷ ︸Potenza attiva istantanea

+ VmIm sin(φ) sin(2ωt)︸ ︷︷ ︸Potenza reattiva istantanea

Si osserva che la potenza ha frequenza doppia rispetto a quella di tensionee corrente ed inoltre che puo assumere valori sia positivi che negativi.

Definizione 3.28 (Potenza attiva instantanea).La quantita VmIm cos(φ) − VmIm cos(φ) cos(2ωt) e legata a fenomeni dis-sipativi nel bipolo, infatti si annulla se cos(φ) = 0 (ovvero se il bipolo epuramente reattivo) ed e detta Potenza attiva istantanea pa(t).

Definizione 3.29 (Potenza reattiva istantanea).La quantita VmIm sin(φ) sin(2ωt) e legata a componenti reattivi nel bipolo,infatti si annulla se sin(φ) = 0 (ovvero se il bipolo e puramente resistivo) ede detta Potenza reattiva istantanea pr(t).

Definizione 3.30 (Potenza attiva). La potenza attiva corrisponde al valoremedio sul periodo della potenza istantanea:

P =1

T

∫ T

0p(t)dt =

VmIm2

cos(φ) = VeffIeff cos(φ)

La sua unita di misura e il Watt [W ].

dimostrazione

P =1

T

∫ T

0p(t)dt =

VmIm2T

∫ T

0[cos(φ)− cos(φ) cos(2ωt) + sin(φ) sin(2ωt)] dt =

=VmIm

2T

[cos(φ)[t]T0 − cos(φ)

∫ T

0cos(2ωt)dt+ sin(φ)

∫ T

0sin(2ωt)dt

]= (∗)

16

Calcolo i due integrali ed ottengo:∫ T

0cos(2ωt)dt =

[sin(2ωt)

2ω

]T0

=sin(2ωT )

2ω

e ∫ T

0sin(2ωt)dt =

[− 1

2ωcos(2ωt)

]T0

=1

2ω[1− cos(2ωT )]

(∗) =VmIm

2T

[T cos(φ)− cos(φ)

sin(2ωT )

2ω+

sin(φ)

2ω[1− cos(2ωT )]

]=

Ora poiche ω = 2πf ed f = 1T si ha:

=VmIm

2T

[T cos(φ)− cos(φ)

sin(4π)

2ω+

sin(φ)

2ω[1− cos(4π)]

]=

=VmIm

2TT cos(φ) =

VmIm2

cos(φ) = VeffIeff cos(φ)

Definizione 3.31 (Potenza reattiva). La potenza reattiva corrisponde alvalor massimo della potenza reattiva istantanea.

Q =VmIm

2sin(φ) = VeffIeff sin(φ)

La sua unita di misura e il Volt Ampere Reattivi [V AR]

dimostrazione: (prendo i valori efficaci di tensione e corrente)

Q = max [pr(t)] = max

[VmIm

2sin(φ) sin(2ωt)

]=VmIm

2sin(φ) max [sin(2ωt)] =

=VmIm

2sin(φ) · 1 =

VmIm2

sin(φ) = VeffIeff sin(φ)

17

Definizione 3.32 (Potenza apparente). La potenza apparente corrispondealla ampiezza della oscillazione della potenza istantanea attorno al suo valormedio.

Pa =vmIm

2= veffIeff

La sua unita di misura e il Volt Ampere [V A]

Definizione 3.33 (Potenza complessa). Si definisce potenza complessa S ilprodotto del fasore della tensione per il complesso coniugato del fasore dellacorrente.

S = V I∗ = P + jQ

dimostrazione:

S = V I∗ = V ejϕv · Ie−jϕI = V Iej(ϕv−ϕI) =

= V I cos(ϕv − ϕI)︸ ︷︷ ︸potenza attiva

+j V I sin(ϕv − ϕI)︸ ︷︷ ︸potenza reattiva

= P + jQ

NB: la potenza attiva, reattiva, apparente e complessa vanno calcolatesempre usando i valori efficaci di tensioni e correnti.

Definizione 3.34 (Potenza nel resistore). Date le espressioni di tensione ecorrente in un resistore in regime sinusoidale:

i(t) = IM sin(ωt)

v(t) = Ri(t) = RIM sin(ωt)

la potenza istantanea risulta:

p(t) = v(t)i(t) = RI2M sin2(ωt) = RI2

M (1− cos2(ωt)) = RI2eff (1− cos(2ωt))

dimostrazione

p(t) = RI2M (1− cos2(ωt)) = RI2

M (1− cos(ωt) cos(ωt)) = (∗)

Applico la formula di werner:

cos(α) cos(β) =1

2[cos(α− β) + cos(α+ β)]

(∗) = RI2M (1− 1

2[cos(0) + cos(2ωt)]) = RI2

M (1− 1

2[1 + cos(2ωt)])

18

= RI2M

(1

2− 1

2cos(2ωt)

)=RI2

M

2(1− cos(2ωt)) = RI2

eff (1− cos(2ωt))

NB: in un resistore si ha solamente potenza attiva in quanto l’angolo φ tratensione e corrente e zero e quindi Q = VeffIeff sin(φ) = 0

Definizione 3.35 (Potenza ed energia in un induttore). Date le espressionidi tensione e corrente:

iL(t) = IM sin(ωt)

vL(t) = Ldi

dt= L

d

dt(IM sin(ωt)) = ωLIM cos(ωt) = XLIM cos(ωt)

La potenza istantanea sara:

p(t) = iL(t)vL(t) = I2MXL sin(ωt) cos(ωt) =

1

2I2MXL sin(2ωt)

utilizzo la formula di duplicazione del seno: sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)

NB: in un induttore si ha solamente potenza reattiva positiva, in quantol’angolo di sfasamento tra tensione e corrente e di 90.

L’energia:

wL(t) =

∫pL(t)dt = L

∫di

dtdt =

1

2Li2(t) =

1

2LI2

M sin2(ωt) =

=LI2

M

2

(1− cos2(ωt)

)=

1

2LI2

eff (1− cos(2ωt))

applicando lo stesso ragionamento fatto per la potenza nel resistore.

Definizione 3.36 (Potenza ed energia nel condensatore). Dati gli anda-menti di tensione e corrente in un condensatore:

ic(t) = IM sin(ωt)

vc(t) = −VM cos(ωt) = −XCIM cos(ωt)

Allora, la potenza instantanea risulta:

p(t) = vc(t) · ic(t) = −XCI2M sin(ωt) cos(ωt) = −

XCI2M

2sin(2ωt)

utilizzo la formula di duplicazione del seno: sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)

19

L’energia invece risulta:

w(t) =1

2Cv2 =

1

2CV 2

M cos2(ωt) =1

2CV 2

M

(1 + cos(2ωt)

2

)=

1

2ωXCI

2eff (1+cos(2ωt))

Ha utilizzato la formula di Werner del coseno

NB: in un condensatore si ha solamente potenza reattiva negativa, inquanto l’angolo di sfasamento tra tensione e corrente e −90.

Definizione 3.37 (Potenza ed energia negli induttori mutuamente accop-piati). Dati i fasori delle correnti che scorrono nei due induttori:

I1 = I1ejα1 I2 = I2e

jα2

calcolo la potenza complessa S1 = V1I∗1 e S2 = V2I

∗2

e poi calcolo la tensione ai capi delle due reti:

V1 = (R1I1 + jXL1 I1 + jXM I2) V2 = (R2I2 + jXL2 I2 + jXM I1)

Sostituendo queste espressioni in quelle delle potenze complesse S1 ed S2 siha:

S1 = (R1I1 + jXL1 I1 + jXM I2)I∗1S2 = (R2I2 + jXL2 I2 + jXM I1)I∗2

⇓S1 = R1I

21 + jXL1I

21 + jXMI2I1e

j(α2−α1)

S2 = R2I22 + jXL2I

22 + jXMI1I2e

j(α1−α2)

⇓S1 = R1I

21 + jXL1I

21 + jXMI2I1 [cos(α1 − α2)− j sin(α1 − α2)]

S2 = R2I22 + jXL2I

22 + jXMI1I2 [cos(α1 − α2) + j sin(α1 − α2)]

Sommando membro a membro ora si ottiene:

S1 + S2 = R1I21 +R2I

22 +XMI1I2 sin(α1 − α2)−XMI1I2 sin(α1 − α2)+

+j[XL1I

21 +X2

L2+ 2XMI1I2 cos(α1 − α2)

]Dove, separando la potenza attiva da quella reattiva si ha:

P = R1I21 +R2I

22 +XMI1I2 [sin(α1 − α2)− sin(α1 − α2)] = R1I

21 +R2I

22

Q = XL1I21 +X2

L2+ 2XMI1I2 cos(α1 − α2)

20

Esistono quindi due componenti della potenza attiva P la cui somma e nulla,ma che presi singolarmente non dipendono dalle componenti resistive, bensıda quelle reattive, in particolare dalla mutua induzione. L’interpretazionedi questo fenomeno e che una aliquota di potenza attiva si trasferisce dalbipolo 1 al bipolo 2. Vi e quindi un trasferimento di potenza attiva dallaporta 2 alla porta 1.L’energia risulta:

Wm =L1

2I2

1 +L2

2I2

2 +MI1I2 cos(α1 − α2)

Teorema 3.1 (Teorema di Tellegan). La somma di tutte le potenza istanta-nee impegnate nei rami di una rete elettrica e complessivamente nulla.Ovveroconsiderati i generici nodi j e k del grafo di una rete con n nodi si ha:

n∑j,k=1

vjkijk = 0

Dimostrazione. Consideriamo un generico nodo di riferimento ed indichia-molo come nodo 0 (puo essere scelto anche un nodo non appartenente alcircuito) la tensione vj,k ,puo sempre essere scritta come:

vjk = vj0 + v0k

La sommatoria precedente diviene:

n∑j,k=1

vjkijk =n∑

j,k=1

(vj0 + v0k)ijk =n∑

j,k=1

vj0ijk +n∑

j,k=1

v0kijk =

=

n∑j=1

vj0

( n∑k=1

ijk

)+

(n∑k=1

v0k

) n∑j=1

ijk

= 0

In quanto i termini∑n

k=1 ijk e∑n

j=1 ijk rappresentano il Primo principio diKirchhoff applicato ai nodi j e k

Teorema 3.2 (Teorema di Boucherot). In un circuito a regime sinusoidalela somma delle potenza attive e reattive erogate dai generatori e uguale allasomma delle potenze attive e reattive impegnate nei componenti del ciruito.

Dimostrazione. La dimostrazione puo essere effettuataa a partire dal teo-rema di Tellegan considerato in regime sinusoidale ovvero a partire dallauguaglianza:

n∑j,k=1

VjkIjk = 0 =n∑

j,k=1

VjkI∗jk

21

dove e possibile considerare il complesso coniugato del fasore della correntein quanto l’espressione uguagliata a zero continua ad essere verificata. Con-sideriamo quindi un generico ramo tra i nodi j e k di un circuito a regimesinusoidale:La tensione vjk si puo rappresentare:

vjk = −Ejk + ZjkIjk

quindi si ottiene:

n∑j,k=1

VjkI∗jk =

n∑j,k=1

(−Ejk + ZjkIjk

)I∗jk =

n∑j,k=1

−Sjk + ZjkI2jk =

=

n∑j,k=1

−Pjk − jQjk +RI2jk + jXjkI

2jk = 0

da cui uguagliando a zero parte reale e parte immaginaria si ha:

n∑j,k=1

Pjk =

n∑j,k=1

RjkI2jk

n∑j,k=1

Qjk =n∑

j,k=1

XjkI2jk

Per cui in un circuito a regime sinusoidale le potenze attive e reattive erogatedai generatori del circuito sono uguali alla somma delle potenze attive ereattive impegnate nelle impedenze del circuito stesso.

NB: Questa operazione di somma tra potenze non e lecita per la potenzaapparente. Infatti si ha:PA =

√√√√√ n∑j,k=1

Pjk

2

+

n∑j,k=1

Qjk

2 6=

n∑j,k=1

√P 2jk +Q2

jk =n∑

j,k=1

PAjk

Teorema 3.3 (Teorema del massimo trasferimento di potenza). In un cir-cuito a regime sinusoidale in cui sono presenti un generatore con impeden-za interna Z = R + jX ed un carico ZC = RC + jXC si ha il massimotrasferimento di potenza dal generatore al carico se R = RC ed X = −XC .

Dimostrazione. La potenza fornita al carico e:

P = RCI2 = RC

E2

(R+RC)2 + (X +XC)2

22

,per massimizzare P occorre minimizzare il denominatore la prima condi-zione risulta quindi immediata, infatti si ha:

X +XC = 0→ P =RCE

2

(R+RC)2

,dopodiche e sufficiente fare la derivata di P rispetto ad RC ed uguagliare azero:

∂P

∂RC= 0

⇓

E2 (R+RC)2 −RC2(R+RC)

(R+RC)4= E2 R2 −R2

C

(R+RC)4= 0

che fornisce l’altra condizione R = RC . Nelle applicazioni reali le impedenzeZ e ZC non possono essere modificate a piacere quindi per avere il massi-mo trasferimento di potenza si interpone,tra il carico ed il generatore, uncomponente, detto adattatore d’impedenza, in modo tale che:

Zv =V

I= R− jX

Teorema 3.4 (di Millman). ll teorema di Millman consente di deterinarela tensione ai capi di n rami in parallelo in ognuno dei quali e in generalepresente un generatore di tensione Ei ed un ammettenza Yi. La tensione sicalcola come:

V =

∑ni=1EiYi∑ni=1 Yi

4 Trasformata di Laplace

Definizione 4.1 (Trasformata di Laplace). La trasformata di Laplace sta-bilisce una corrispondenza biunivoca tra una funzione reale ed una funzionecomplessa.

f(t)←→ F (s)

dove s = σ + jω.

Definizione 4.2 (Operazione di trasformazione). L’operazione che per-mette di passare dal dominio del tempo a quello della variabile s e dettaoperazione di trasformazione e consiste in:

F (s) = L[f(t)] =

∫ ∞0−

f(t)e−stdt

23

Definizione 4.3 (Operazione di antitrasformazione). L’operazione che per-mette di passare dal dominio della variabile s a quello del tempo e dettaoperazione di antitrasformazione e consiste in:

f(t) =1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞F (s)estds

Definizione 4.4 (delta di DIRAC). La funzione δ(t) detta ”delta di DI-RAC” viene definita formalmente tramite tramite le due seguenti proprieta:

1. Area unitaria ∫ +∞

−∞δ(τ)dτ = 1

2. Proprieta di campionamento∫f(τ)δ(t− τ)dτ = f(t)

Inoltre si ha anche che la delta di Dirac si puo ricavare come derivata dellafunzionea gradino infatti:

δ(t) =d u(t)

dt

4.1 Proprieta della trasformata di Laplace

1. Derivata

L

[df(t)

dt

]= sF (s)− f(0−)

2. Integrale

L

[∫f(t)dt

]=F (s)

s+

1

s

∫ 0−

−∞f(τ)dτ

3. Traslazione temporale

L [f(t− T )u(t− T )] = F (s)e−sT

4. Integrale di convoluzione

L [f1(t)⊗ f2(t)] = L

[∫f1(τ)f2(t− τ)dτ

]= F1(s)F2(s)

5. Teorema del vaore finale

limt→∞

f(t) = lims→0

sF (s)

6. Teorema del valore iniziale

limt→0

f(t) = lims→∞

sF (s)

24

4.2 Antitrasformare la risposta di un circuito

Lo studio di una rete nel dominio di Laplace fornisce sempre come risultatoun rapporto di polinomi in s. Quindi ha sempre la forma R(s) = N(s)

D(s) .Per antitrasformare la generica risposta di un circuito e conveniente scrivereil rapporto R(s) = N(s)

D(s) nella cosiddetta forma di ”somma di terminirazionali fratti semplici”, da cui si ha:

R(s) =N(s)

D(s)=ams

m + am−1sm−1 + · · ·+ a0

bnsn + bn−1sn−1 + · · ·+ b0=

amsm + am−1s

m−1 + · · ·+ a0

bn(s+ s1)n1(s+ s2)n2 . . . (s+ sm)nm

e sempre scomponibile nella seguente somma:

N(s)

D(s)=

An1(s1)

(s+ s1)n1+

An1−1(s1)

(s+ s1)n1−1+ · · ·+ A1(s1)

(s+ s1)+

+ · · ·+ Anm(sm)

(s+ sm)nm+ · · ·+ A1(sm)

(s+ sm)

dove ogni termine della somma ha al numeratore una costante indicata conAN1(s1), . . . , A1 e al denominatore ha una ed una sola radice sn del polinomioD(s), cioe del denominatore di partenza, con il grado ad essa corrispondente,cioe la sua molteplicita algebrica.Per calcolare le costanti si puo applicare il teorema dei residui ed applicarele formule:

1. Se la radice ha molteplicita uno:

Ani(si) = lims→−si

(s+ si)N(s)

D(s)

2. Se la radice ha molteplicita m > 1:

Ani−µ(si) = lims→−si

1

µ!

dµ

ds

[(s+ si)

niN(s)

D(s)

]per µ = 0, . . . , ni − 1

Proprieta: quando le radici sono complesse coniugate anche le relative co-stanti saranno complesse coniugate.

Riassumendo: le antitrasformate nel dominio del tempo di funzioni for-mate dal rapporto di polinomi in s possono essere formate soltanto da 3differenti tipi di forma d’onda:

1. Coppie di radici complesse coniugate producono come risposta formed’onda oscillanti esponenzialmente smorzate.

2. Radici reali producono come risposta forme d’onda esponenzialisemplici.

3. Radici complesse coniugate a parte reale nulla producono risposteoscillanti pure.

25

5 Reti due porte

Definizione 5.1 (Multipolo). Si definisce Multipolo un componente cir-cuitale con n morsetti.Un multipolo non puo essere caratterizzato da una relazione tensione-correntein quanto ci sono n tensioni ed n correnti, non tutte indipendenti tra di loro.Infatti dai principi di Krchhoff si ha:

n∑i=1

Ii = 0⇒ Le correnti indipendenti sono n− 1

n∑i=1

Vi = 0⇒ Le tensioni indipendenti sono n− 1

Definizione 5.2 (Porta). Si definisce porta di un multipolo una coppia dimorsetti in cui la corrente che entra in un morsetto e uguale a quella cheesce dall’altro morsetto.

Definizione 5.3 (Multiporta). Si definisce Multiporta un multipolo incui tutti i morsetti possono essere associati a coppie costituenti una porta.

Definizione 5.4 (Rete 2 porte). Si definisce rete 2 porte una multiportaformata da sole due porte.

5.1 Parametri Z

Usati per la connessione in serie di piu reti due porte (si sommano le matriciZ).

Equazioni:

V1 = Z11I1 + Z12I2

V2 = Z21I1 + Z22I2

Parametri:

Z =

Z11 = V1

I1

∣∣I2=0

Z12 = V1I2

∣∣I1=0

Z21 = V2I1

∣∣I2=0

Z22 = V2I2

∣∣I1=0

26

Definizione 5.5 (Rete a parametri Z reciproca). Una rete a parametriZ si dice reciproca se Z12 = Z21, in questo caso si ha che la matrice esimmetrica e se la matrice e simmetrica e possibile ottenere un circuitoequivalente utilizzando solo impedenze.

Definizione 5.6 (Rete a parametri Z simmetrica). Una rete a parametriZ si dice simmetrica se Z11 = Z22 e Z12 = Z21. Poiche Z11 = Z22 allora ilfunzionamento della rete e simmetrico rispetto alle due porte che possonoessere usate indifferentemente sia come ingresso che come uscita (invertendole porte l’operazione che la rete esegue sul segnale resta invariata).

Impedenza di ingresso Zin (vista dalla porta (1))

Una rete due porte descritta da parametri Z in cui la porta 2 e chiusasu un carico di impedenza pari a Zc e quivalente agli effetti esterni adun’impedenza di ingresso Zin calcolata come:

Zin = Z11 − Z12Z21

Zc + Z22

Come si trova la formula ? Scrivendo le quazioni di equilibrio al circuitoequivalente della rete a parametri Z in cui e stata collegata alla porta 2l’impedenza di carico Zc.

5.2 Parametri Y

Usati per la connessione in parallelo di piu reti due porte (si sommano lematrici Y): I1

I2

= Y

V1

V2

I1 = Y11V1 + Y12V2

I2 = Y21V1 + Y22V2

Parametri:

Y =

Y11 = I1

V1

∣∣V2=0

Y12 = I1V2

∣∣V1=0

Y21 = I2V1

∣∣V2=0

Y22 = I2V2

∣∣V1=0

27

Impedenza di ingresso e (ammettenza di ingresso in questo caso):

Zin =1

Y11 + Y12 Y21Y22 ZcZc Y22

oppure:

Yin = Y11 + Y12 Y21Y22 ZcZc Y22

ATTENZIONE!! nell’utilizzo di quest’ultima.

5.3 Parametri hV1

I2

= h

I1

V2

=

h11 h12

h21 h22

I1

V2

⇓

V1 = h11I1 + h12V2

I2 = h21I1 + h12V2

Definizione 5.7 (Rete a parametri h reciproca). Una rete a parametri h sidice reciproca se: h12 = −h21.

Definizione 5.8 (Rete a parametri h simmetrica). Una rete a parametri hsi dice simmetrica se: h11h22 − h12h21 = 1

Determinazione dei parametri:

h =

h11 = V1I1

∣∣V2=0

h12 = V1V2

∣∣I1=0

h21 = I2I1

∣∣V2=0

h22 = I2V2

∣∣I1=0

5.4 Parametri T

Usati per la connessione in cascata di reti due porte (si sommano le matriciT):

Le grandezze d ingresso sono calcolate in funzione di quelle di uscita:

V1

I1

= T

V2

−I2

=

A B

C D

=

V2

−I2

28

⇓V1 = AV2 +B(−I2)

I1 = CV2 +D(−I2)

Determinazione dei parametri:

1

T=

1A = V2

V1

∣∣−I2=0

1B = − I2

V1

∣∣V2=0

1C = V2

I1

∣∣−I2=0

1D = − I2

I1

∣∣V2=0

NB:A e C possono essere calcolati sullo stesso circuito (quello di C), prima cal-coli C poi A .B e D possono essere calcolati sullo stesso circuito (quello di D), prima cal-coli B poi D.

Impedenza di ingresso Zin (vista dalla porta (1))

Una rete due porte descritta dai parametri di trasmissione A,B,C,D, in cuila porta 2 e chiusa su un carico di impedenza pari a Zc e quivalente aglieffetti esterni ad un’impedenza di ingresso Zin calcolata come:

Zin =AZc +B

CZc +D

Come si ricava: poicheV1 = AV2 +B(−I2)

I1 = CV2 +D(−I2)

allora:

Zin =V1

I1=AV2 +B(−I2)

CV2 +D(−I2)=AZc(−I2) +B(−I2)

CZc(−I2) +D(−I2)= (−I2) (AZc +B)

(−I2) (CZc +D)

=AZc +B

CZc +D

6 Teorema di Thevenin e Norton generalizzato

(dimostrazione sul libro)

29

7 Sistemi trifase

Definizione 7.1 (Sistemi trifase). Dal punto di vista circuitale i sistemitrifase sono costituiti da componenti fondamentali rappresentati da tripoli(ovvero multipoli a 3 morsetti). Questi tripoli sono costituiti internamenteda 3 rami, detti anche fasi, che possono essere collegati a stella oppure atriangolo. Ogni Fase (cioe ogni ramo) ha due morsetti denominati principio(p) e fine (f).

Definizione 7.2 (Collegamento a stella). Nel collegamento a stella si uni-scono insieme 3 fini o 3 principi. I rimanenti 3 principi o 3 fini libericostituiscono i morsetti accessibili dall’esterno.

Definizione 7.3 (Collegamento a triangolo). Nel collegamento a triango-lo si collegano i principi e le fini delle tre fasi. I tre vertici del triangolocostituiscono i morsetti accessibili del tripolo.

Definizione 7.4 (Generatori trifase). I generatori trifase producono nelletre fasi tensioni di uguale frequenza e sfasate tra loro di 2

3π. Inoltre:

• Se le ampiezze delle tre tensioni sono uguali (ovvero stesso modulo)allora si parla di tensioni simmetriche.

• Se le ampiezza delle tre tensioni non sono uguali allora si parla ditensioni dissimmetriche.

Definizione 7.5 (Generatore trifase di terna diretta). Un generatore trifasesi dice di terna diretta se i fasori rappresentativi delle grandezze di fase sisuccedono in senso orario.

Definizione 7.6 (Generatore trifase di terna inversa). Un generatore trifasesi dice di terna inversa se i fasori rappresentativi delle grandezze di fase sisuccedono in senso antiorario.

8 Circuiti Magnetici

8.1 Introduzione

Le linee di forza del campo vettoriale dell’induzione magnetica ~B sono so-lenoidali (cioe formano delle linee chiuse). Quindi e possibile interpretarela distribuzione vettoriale di ~B come una circolazione interna ai tubi diflusso del campo (come avviene quando si descrive il moto di un liquidoall’interno di una conduttura).Le linee di forza del campo magnetico prodotto da un avvolgimento percorsoda corrente (sinusoidale) si dispongono in aria con distribuzione simmetricarispetto all’asse dell’avvolgimento.

30

8.2 Materiali ferromagnetici

I materiali ferro-magnetici hanno la proprieta di convogliare al loro internole linee di forza del campo prodotto da un avvolgimento percorso da corren-te (una piccola parte si richiude in aria). Quindi i materiali ferro-magneticiincanalano le linee di flusso del campo magnetico all’interno di un suppor-to solido. In questo modo e possibile realizzare dei mutui accoppiamentimolto efficienti in cui quasi tutte le linee di flusso del campo prodotto da uninduttore si concatenano con l’altro induttore.

8.3 Circuito magnetico

Per studiare la distribuzione del campo magnetico in materiali ferromagneti-ci si utilizza il cosiddetto circuito magnetico ossia un modello semplificatodell’effettivo dispositvo magnetico, costituito da un circuito elettrico sottole seguenti ipotesi:

1. La permeabilita relativa del materiale ferromagnetico e costante emolto elevata rispetto a quella dell’aria (tale da poter considerare ilcampo magnetico interamente confinato all’interno del materiale).

2. in ogni sezione del dispositvo si ha una distribuzione uniforme delcampo ~B (cioe in ogni sezione S si ha che: modulo, verso e direzionedi ~B devono essere costanti).

8.4 Costruzione circuito magnetico

La costruzione di un circuito magnetico si basa sull’applicazione della leggedi Ampere lungo una linea chiusa γ all’interno del materiale ferromagne-tico. Si ha che: ∮

γ

~Hdl = I

dove I e la corrente concatenata con la curva γ, equivale alla corrente checircola negli avvolgimenti esistenti attorno al nucleo magnetico. Essendo poiB = µH si ottiene: ∮

γ

~B

µ0µrd~l = I

Considerando ora che ~B e uniforme in ogni sezione S del materiale (ipotesi2) si ha che:

φ =

∫S

~Bd~S = B

∫SdS = BS

⇓

φ = BS

31

Sostituisco ora questa relazione nella legge di Ampere ed ottengo una rela-zione che lega il flusso magnetico φ e la corrente che scorre negli avvolgimentiesistenti attorno al nucleo magnetico.∮

γ

φ

µ0µrSdl =

φ

µ0µrS

∮γdl = φ

l

µ0µrS= I

Chiamo lµ0µrS

= R = ”Riluttanza”, da cui ho la legge:

φR = I

8.5 Legge di Hopkinson

Considerando in generale n solenoidi, ciascuno avente Ni spire disposti sum tronchi, ciascuno avente riluttanza Ri, la legge di Hopkinson afferma che:

n∑i=1

IiNi =m∑i=1

φiRi

9 Trasformatore

Definizione 9.1 (Trasformatore). Il trasformatore e un dispositivo magne-tico statico (cioe privo di parti in movimento) che viene di solito schema-tizzato con due avvolgimenti attorno ad un supporto di materiale ferro-magnetico. I due avvolgimenti vengono detti ”primario” e ”secondario”.

Inoltre si dice il trasformatore ”trasforma” i valori di tensione e correntesulle sue porte mantenendo pero invariata la potenza.

9.1 Trasformatore ideale

Il modello del trasformatore ideale si ottiene ipotizzando che la resistenzadei conduttori negli avvolgimenti sia trascurabile e che la permeabilita ma-gnetica sia costante e tenda ad infinito (µ→∞) (in questo modo e possibileconsiderare che il flusso sia interamento confinato all’interno del materialeferromagnetico).Inoltre nel trasformatore ideale si dice che ci sia un accoppiamento per-fetto (non ci sono linee di flusso disperso), ossia:

|M | =√L1L2

a differenza di quanto accade in un sistema reale di due induttori mutua-mente accoppiati: |M | ≤

√L1L2 (in quanto ci sono delle linee di flusso

disperso).

32

9.2 Funzionamento trasformatore ideale

Dato il seguente trasformatore ideale (Fig.9.12 pag 280), considerando ilsuo funzionamento in regime sinusoidale, le tensioni ai morsetti degli avvol-gimenti rispettano la legge di Faraday: φ e sem-

pre lostessopercheil flussoche scorrenel nucleotrasforma-torico euno solo

E1 = −dφcdt

= −jωL1I1 = −jωN1φ

E2 = −dφcdt

= −jωL2I2 = −jωN2φ

Dove il flusso nei due avvolgimenti e lo stesso. Ora, divido membro a mem-bro le due equazioni ed ottengo la Relazione fondamentale che lega letensioni ai capi degli avvolgimenti:

E1

E2=N1

N2= n

Dove n e detto ”rapporto spire” del trasformatore.Ora, applicando la legge di Hopkinson si ha: dove Req

e la ri-luttanzaequiva-lente delcircuito

N1I1 +N2I2 = Reqφ = 0

perche nel trasformatore ideale Req = 0 poiche µ→∞Allora si ottiene la Relazione fondamentale tra le correnti di untrasformatore:

I1

I2= −N2

N1= − 1

n

9.3 Potenza trasformatore ideale

Dalle due relazioni fondamentali sul trasformatore ideale ottengo che:

V1I1 = V2I2

Ovvero che la potenza nel primario e uguale alla potenza nel secondario.Quindi sfruttando questa proprieta e possibile trasferire una potenza dalprimario al secondario variando i valori di tensione e di corrente; e unadelle principali applicazioni dei trasformatori nel campo della trasmissionee distribuzione dell’energia. In questo modo i produttori di energia possonoprodurre energia a basse tensione e possono trasportarla con basse correnti→ basse dispersioni dovute all’effetto Joule.

33

9.4 Circuito equivalente trasformatore ideale

Il circuito equivalente del trasformatore ideale con il secondario collegato aduna impedenza di carico e:

L1 =φΣ1

I1=N1φ

I1=N1N1I1

I1Req=N2

1

Req→∞

L2 =φΣ2

I2=N2φ

I2=N2N2I2

I2Req=N2

2

Req→∞

Vanno a ∞ poiche Req = 0 poiche µ→∞

9.5 Come viene vista l’impedenza Z dal primario ?

Considero V2 = −ZI2 , quindi:

Zeq =E1

I1=nE2

− I2n

=−nZI2

− I2n

= n2Z

Il secondo passaggio si ottiene usando le relazioni fondamentali E1E2

= n e I1I2

= − 1n

NB: un’impedenza posta sul secondario viene vista dal primario comemoltiplicata per n2

Passaggio dal primario al secondario:

• Le impedenze si dividono per n2

• I generatori si dividono per n

Passaggio dal secondario al primario:

• Le impedenze si moltiplicano per n2

• I generatori si moltiplicano per n

34

10 Trasformatore reale

10.1 Definizione

Nel trasformatore reale:

1. La resistenza degli avvolgimenti non e piu trascurabile (vedi applica-zioni di elettronica di potenza)

2. Non e piu possibile considerare µ → ∞ (permeabilita magnetica chetende all’ infinito), in quanto ci sono delle linee di flusso che non sirichiudono all’ interno del circuito magnetico

10.2 Circuito equivalente

Per risolvere il problema (di descrizione) si inserisce ai capi dei morsettiprimari e secondari una resistenza ed una induttanza che schematizzino leresistenza dei conduttori ed il flusso disperso (quello che non si concatenacompletamente con entrambi gli avvolgimenti primari e secondari).

Altri problemi:

1. La permeabilita magnetica µ non e costante (in alcune condi-zioni di fuunzionamento), perche il campo magnetico H e l’induzionemagnetica B sono legati tra loro dal ciclo di Isteresi per cui la funzioneµ = B

H ha un andamento non lineare ed a piu valori(si dice anche fun-

zione polidroma). Nel senso che per uno stesso valore del campo ~H sipossono avere diversi valori di ~B in dipendenza dalla storia magneticache ha subito il materiale (per approfondimenti ho trovato utile questadispensa a pag 14).

2. Le correnti parassite (o vorticose) provocano delle perdite di po-tenza nel nucleo. Esse sono delle correnti che sono indotte nel nucleodal flusso magnetico (variabile nel tempo) che fluisce nel nucleo.

Gli effetti causati dall’ isteresi e dalle correnti vorticose nei materialiferromagnetici vengono rappresentati agli effetti esterni dal punto di vistadella potenza da loro complessivamente dissipata nel trasformatore, poiche

35

in pratica non interessa separare i due effetti. Si aggiunge, ai capi del pri-mario, un’ impedenza di magnetizzazione Zm in modo che la potenza attivadissipata nel nucleo trasformatorico a causa dell’ isteresi e delle correntivorticose (che coincide praticamente con la potenza assorbita a vuoto daltrasformatore) sia uguale alla potenza attiva dissipata nella Zm del circuitoequivalente.

La potenza attiva assorbita a vuoto si misura con un wattmetro esi calcola come:

P0 = E1I0 cos(ϕ0)

essa e sempre minore le potenza apparente (assorbita a vuoto)

PA = E1I0

in quanto il termine cos(ϕ0) non sara mai 1 perche tensione e corrente (avuoto) sono sfasate a causa delle correnti vorticose e dell’isteresi. Quindicorrente e tensione a vuoto sono sfasate dell’angolo

ϕ0 = cos−1

(P0

V0I0

)Per rappresentare questo sfasamento (tra E1 ed I0) si utilizza una resi-

stenza di magnetizzazione Rm ed una impedenza di magnetizzazioneXm. Per calcolarle si considera trascurabile la caduta su Z1d e per sempli-cita di calcolo si mette Zm in parallelo ai morsetti del primario. Dopodicheutilizzando i valori letti dalle misure si ha:

P0 =V 2

0

Rm→ Rm =

V 20

P0

Poi,

Ym =I0

V0

ed

Xm =1

Bmdove Bm =

√Y 2m −G2

m dove Gm =1

Rm

Dove: V0, I0, P0, sono tensione, corrente e potenza sul lato primario,misurati nella prova a vuoto.

NB: L’ impedenza di magnetizzazione Zm risulta quindi coincidere conla cosiddetta impedenza a vuoto Z0 vista dai morsetti del trasformatore nel-la prova a vuoto.

Infine la serie di Z1d ed n2Z2d puo essere sostituita agli effetti esterni con una

36

impedenza detta ”di cortocircuito” che si ottiene cortocircuitando il secon-dario. In questo modo il ramo in cui si trova la Zm puo essere consideratocome un circuito aperto ed utilizzando le misure Vcc Icc e Pcc si ha:

Zcc =VccIcc

cos(ϕ) =PccVccIcc

Zcc = Zcc

(cos(ϕcc) + j

√1− cos2(ϕcc)

)

Dove: Vcc, Icc, Pcc, sono tensione, corrente e potenza sul lato primario,misurati nella prova di cortocircuito.

37

11 Trasformatore Trifase

Definizione 11.1 (Trasformatore trifase). I trasformatori trifase costitui-scono degli esapoli in cui (come nelle linee trifase) si hanno 3 morsetti diingresso e 3 morsetti di uscita.Ognuna delle due terne di morsetti (quella a sinistra e que lla a destra) sicomporta come un tripolo isolato, in quanto i 3 morsetti sono collegati in-ternamente con 3 fasi a triangolo o a stella.Ogni fase corrisponde a un avvolgimento, quindi il trasformatore ha in totale6 avvolgimenti (3 sul primario e 3 sul secondario).Si possono avere 4 casi:

1. Triangolo - Triangolo

2. Triangolo - Stella

3. Stella - Triangolo

4. Stella - Stella

11.1 Gruppo del trasaformatore

Il gruppo del trasformatore e un numero (assegnato dal costruttore)legato all’angolo θ.Questo angolo e l’angolo di cui bisogna ruotare in senso orario il fasore dellatensione concatenata secondaria per sovrapporlo alla tensione concatenataprimaria.Questi angoli sono tutti multipli di 30 e il numero del gruppo (N) si calcolacome:

N =θ

30

NB: la tensione concatenata e la tensione che c’e tra due fili della linea.

11.2 Calcolo dei parametri

Calcolo dei parametri a partire dalle prove a vuoto e in corto circuito(validianche per la macchina asincrona trifase):Prova a vuoto (o rotore libero per la macchina asincrona):

Gm =1

Rm=

P103(

V10√3

)2 =P10

33

V 210

=P10

V 210

38

|Ym| = Ym =I10

V10√3

=I10

V10

√3

Bm =√|Ym|2 −G2

m

Zm =1

Gm − jBmProva in cortocircuito (o rotore bloccato per la macchina asincro-na):

|Z1cc| = Z1cc =Vcc√

3

1

Icc

cos(ϕ) =P1cc

3V1cc√

3I1cc

=P1cc

3√

3

V1ccI1cc

√

3√3

=P1cc

V1ccI1cc

√3

Z1cc = |Z1cc|(

cos(ϕ) + j√

1− cos2(ϕ))

12 Conversione elettromeccanica dell’energia

Definizione 12.1 (Macchina elettrica). Una macchina elettrica e un dispo-sitivo in grado di trasformare una potenza meccanica in potenza elettrica oviceversa

13 Campo Magnetico Rotante

Disegno la figura con statore, rotore e i conduttori alloggiati nel cave (pag290, figure 9.26 e 9.27).Si disegnano le linee di forza del campo magnetico attorno ai conduttori.Anche in questo caso si ipotizza che la permeabilita magnetica del ferro siamolto alta (µ→∞).Disegno il circuito magnetico equivalente. La riluttanza dello statore e delrotore e trascurabile perche abbiamo ipotizzato µferro →∞Ottengo 4 rami in parallelo. La tensione magnetica ai capi delle riluttanzadi traferro e pari a NI

2 a sinistra e −NI2 , (perche ?).

• Per ottenere un campo magnetico rotante nel traferro si pongono nellostatore 3 avvolgimenti posti con gli assi a 120 tra di loro (Fig. 9.35pag 295).

• Se vengono inviati nei 3 avvolgiementi 3 correnti che costituiscono unaterna trifase equilibrata si ottiene al traferro un andamento di tensionemagnetica sinusoidale e che ruota con velocita costante.

39

• I 3 andamenti di forza magneto-motrice sono proporzionali tramite lastessa costante k (?) alle 3 correnti che scorrono negli avvolgimenti,per cui si ha:

f.m.m bobina1 m1(t, θ) = ki1 cos(θ)

f.m.m bobina2 m2(t, θ) = ki2 cos(θ − 23π)

f.m.m bobina3 m3(t, θ) = ki3 cos(θ − 43π)

Esplicito le 3 correnti:

i1 = IMAX cos(ωt)

i2 = IMAX cos

(ωt− 2

3π

)i3 = IMAX cos

(ωt− 4

3π

)sostituendo e sommando, si ottiene la forza magneto-motrice totale:

mtot = m1 +m2 +m3 =3

2

2

πNIMAX cos(ωt− θ)

che e l’espressione di un’ onda sinusoidale che viaggia lungo la direzioneθ (circonferenza). Se gli avvolgimenti hanno un numero p di coppie dipoli, si ha:

mtot = m1 +m2 +m3 =3

2

2

πNIMAX cos(ωt− pθ)

Teorema 13.1 (di Galileo Ferraris). Il teorema di Galileo Ferraris affermache: tre avvolgimenti composti dallo stesso numero di spire, disposti a 2

3πuno rispetto all’altro e percorsi da una terna trifase equilibrata di correnti(ciascuna avente pulsazione ω e sfasate tra di loro di 2

3π) originano uncampo magnetico rotante, avente velocita angolare ω e ampiezza pari a32 il campo massimo prodotto da ogni avvolgimento.

14 Macchina Asincrona trifase

14.1 Definizione

La macchina asincrona (o ad induzione) e una delle macchine elettrichepiu diffuse. Essa viene principalmente utilizzata come motore, ovvero comedispositivoin grado di assorbire potenza elettrica ai morsetti di statore etrasformarla in potenza meccanica resa all’asse del motore.(Fig 9.37 pag 297)

40

14.2 Avvolgimenti di rotore

Gli avvolgimenti di rotore possone essere:

• di tipo avvolto: sono allocati nelle cave e richiusi alle base del rotoreunendo i principi e fine degli avvolgimenti nel collegamento a stella.

• a gabbia di scoiattolo: vengono inserite nelle cave delle sbarre dirame che poi vengono vincolate alle loro estremita con con anelli dirame in modo da formare una gabbia.

14.3 Avvolgimenti di statore

Gli avvolgimenti di statore sono normalmente avvolti e collegati allo stessomodo degli avvolgimenti di rotore, quando anch’essi sono avvolti.

14.4 Funzionamento macchina asincrona

• In analogia con la macchina rudimentale, il rotore della macchinaasincrona corrisponde al conduttore in movimento sui binari.

• Gli avvolgimenti di statore servono per produrre il campo ~B in movi-mento rispetto ai conduttori di rotore.

• Nell’asicrono (a differenza della macchina rudimentale) la potenza elet-trica viene scambiata ai morsetti dei conduttori di statore e non a quellidei conduttori in movimento (morsetti rotorici), che invece in questocaso sono chiusi in cortocircuito.

• Il funzionamento della macchina asincrona ha molte analogie con quel-lo del trasformatore, in quanto entrambi sono costituiti da un avvol-gimento primario (di statore) che induce tensioni e correnti nellavvol-gimento secondario (di rotore) in base alla legge di Faraday e = −dφ

dt .

• Ora, sia S la superficie su cui giace l’avvolgimento indotto (di rotore)si ha che (considerando ~B uniforme):

φ =

∫S

~Bd~S → e = −SdBndt

ovvero che la tensione indotta e dovuta ad una variazione temporaledella componente del campo normale al piano del conduttore in cui siinduce la tensione.

• Nel caso del trasformatore la tensione indotta sul secondario e:

e = −SBMax sin(ωt)

41

poche la direzione del campo e costante ma la sua ampiezza varia si-nusoidalmente.Nell’asincrono invece il campo ha intensita costante ma direzione va-riabile in quanto ruota con velocita angolare costante. Tuttavia inquesto caso la proiezione del vettore sulla normale al piano ha ampiez-za variabile sinusoidalmente e quindi il meccanismo di induzione e lostesso.

• Rotore bloccato: in questo caso la macchina si comporta esat-tamente come un trasformatore. Infatti le correnti sono le stesse diquelle nella prova in cc di un trasformatore trifase.Il circuito magnetico e diverso poiche nella macchina asincrona e pre-sente il traferro (mentre nel trasformatore no).

• Rotore libero: In una situazione ideale in cui non vi sono forzeresistenti, il campo di statore si muove con velocita costante e tagliagli avvolgimenti di rotore con velocita relativa sempre minore fino araggiungere l’equilibrio (velocita a regime Ω).In assenza di forze resistenti questa velocita coinciderebbe con la ve-locita del campo rotante.Ne segue quindi che in realta la frequenza delle grandezze di rotore ediversa da quella delle grandezze di statore in quanto imposta dalla ve-locita relativa tra il campo statorico (campo rotante) e gli avvolgimentidi rotore.

14.5 Circuito equivalente delle macchina asincrona

Inizialmente si considerano aperti gli avvolgimenti di rotore

⇓

stessa cosa della prova a vuoto nel trasformatore.Allora per la legge di Faraday si ha:

E1 = −dφdt

= −jkN1ω1φM

E2 = −dφdt

= −jkN2ω1φM

Perche ? Vedi rappresentazione fasoriale della rel. tensione-correntenegli induttori (pag 109)k e un coefficiente costante che dipende dalle caratteristiche costruttive degliavvolgimenti.

42

14.6 Velocita di rotazione dei campi

Un po’ di terminologia:

• ω1 = Pulsazione delle correnti di statore

• Ωs = Velocita (angolare) del campo magnetico di statore

• ω2 = Pulsazione delle grandezze elettriche di rotore

• Ωr = Velocita (angolare) di rotazione del rotore

Le velocita di rotazione dei campi di statore e rotore rispetto ai rispettiviavvolgimenti sono legate alla pulsazione delle rispettive correnti tramite lepaia di poli (p) che sono sempre uguali (in numero) tra il rotore e lo statore.Si ha:velocita del campo di statore:

Ωs =ω1

p

La velocita relativa tra il campo di rotore e gli avvolgimenti di rotore e:

Ωsr = Ωs − Ωr =ω2

p

NB: La velocita del campo di rotore rispetto agli avvolgimenti di statore euguale alla velocita del campo di statore (Ωs)

14.7 Scorrimento

Lo scorriemento e una quantita definita come:

s =Ωs − Ωr

Ωs→ Ωr = (1− s)Ωs

Si hanno due casi:

• s = 0→ Rotore libero (prova a vuoto del trasf.)

• s = 2→ Rotore bloccato (prova in cc del trasf.)

La resistenza Rc che schematizza la potenza meccanica scambiata all’assedel motore:

Rc = R2d(1− s)s

Ne segue che la Potenza meccanica (Pm) scambiata all’asse del rotore e:

Pm = Rc I22 = R2d

(1− s)s

I22

43

14.8 Rendimento

La formula del rendimento (vista in molti esercizi) e:

η =Pu

Pu + Pfe + Pcu

dove: Pu e detta potenza utile:

Pu = 3Rc|I2|2 = 3RcI22

Pfe e la potenza nel ferro del nucleo:

Pfe = 3Gm|V |2 = 3GmV2

Pcu e la potenza negli avvolgimenti (nel rame):

Pcu = 3Rcc|I|2 = 3RccI2

NB: si moltiplica tutto per 3 perche il sistema e trifase.

Il rendimento e in percentuale quindi se per esempio il rapporto e η = 0.33allora il rendimento sara: η = 30%

44