Lezione 13 1

Applicazioni

Lezione 13 2

Generalità 1/2

• Reti considerate: Reti passive con ingressi costanti o sinusoidali– I contributi associati alle condizioni iniziali

sono dei transitori– I contributi associati agli ingressi sono in parte

transitori, in parte termini a regime

Lezione 13 3

Generalità 2/2

• Contributo all’uscita dell’ingresso:

( )

funzione trasferime o

) )

t

(

n

(Y s

uscita ingres

H s S s

so

⇓=

⇑ ⇑

• I poli dell’uscita derivano dai poli della funzionedi trasferimento H(s) e dai poli dell’ingresso S(s)

Lezione 13 4

Proprietà poli uscita

• I poli della funzione di trasferimentoH(s) sono i poli di rete e danno luogo a transitori

• I poli dell’ingresso S(s) danno luogo aitermini di regime– I contributi dei poli di ingresso coincidono con

i contributi di regime e possono esserecalcolati in modo più semplice (senzaantitrasformare) con il calcolo fasoriale

Lezione 13 5

Esempio con ingresso costante1/6

• Calcolare la corrente i(t) erogata dopol’apertura dell’interruttore

• Rete nel dominio del tempo

• Ingresso: costante 12V

Lezione 13 6

Esempio con ingresso costante2/6

1(0 ) 12 41 2

12(0 ) (0 ) 43

C

L

v V

i i A

−

− −

= =+

= = =

• Condizioni iniziali:• Induttore è corto circuito• Condensatore è circuito aperto

Lezione 13 7

Esempio con ingresso costante3/6

12( )E ss

=( ) 12e t V=

• Trasformata E(s) dell’ingresso e(t)=12 volt

impedenza dell’induttore di 1H: s

impedenza del condensatore di 0.1F: 10/s

Lezione 13 8

Esempio con ingresso costante4/6

2

12 44 4( 2)( ) 10 2 102

ss sI ss ss

s

+ − += =

+ ++ +

Razionale fratta

⇓

• Rete nel dominio di Laplace

– si ottiene:

Lezione 13 9

Esempio con ingresso costante5/6

1,2 1 1 10 1 3s j= − ± − = − ±

11

1

4( 2) 4( 1 3 2) 2[ ] 22 2 2( 1 3) 2 3

s jR s js j+ − + +

= = = −+ − + +

2

4( 2)( )2 10sI s

s s+

=+ +

• Antitrasformazione

– non esiste polo nell’origine dell’ingresso: il termine di regime è nullo!– Poli di rete complessi coniugati

– Residuo

Lezione 13 10

Esempio con ingresso costante6/6

– si ottiene il transitorio cisoidale:

112

4( 1)( ) 2 Re [ ] 2 10

4( ) [4 cos(3 ) sin(3 )]3

s t

t

sI s R s es s

i t e t t−

+= ⇒ =

+ +

= = +

Lezione 13 11

Esempio con ingressosinusoidale 1/9

• Calcolare la tensione i(t) erogata dopo la chiusura dell’interruttore

• Rete nel dominio del tempo– Ingresso: sinusoidale ( ) 2 sin(3 30 )

3 /

oe t trad sω

= +=

Lezione 13 12

• Condizioni iniziali:– Prima della chiusura dell’interruttore c’è regime

sinusoidale e la rete viene rappresentata nel dominio dei fasori

• Il generatore vale

• Induttore (non è corto circuito) ha impedenza j3

Esempio con ingressosinusoidale 2/9

302ojE j e= −

Lezione 13 13

Esempio con ingressosinusoidale 3/9

00

3030

0 0

2 6 8( )4 3 25 25

( ) Re[ ]6 8cos( 30 ) sin( 30 )

25 25(0 ) Re[ ] 0.0478 [ ]

jj

L

j tL L

L L

j eI j ej

i t I e

t t

i I A

ω

ω ω

−

−= = − +

+

= =

= − + + +

= = −

Lezione 13 14

Esempio con ingressosinusoidale 4/9

2 2 2

( ) 2 sin(3 30 ) 3 sin(3 ) cos(3 )

3 3 3( ) 39 9 9

55

oe t t t t

s sE ss s s

Vs

= + = +

+= + =

+ + +

⇒

• Trasformata degli ingressi:

impedenza dell’induttore di 1H: s

– rete nel dominio di Laplace

Lezione 13 15

Esempio con ingressosinusoidale 5/9

2

(0 )( ) 2 1 4 || 5( )4 || 2 4 || 2 4 2 4 2 4 ||

(0 )(2 )(3 3 ) 52(4 3 )( 9) 4 3 2(4 3 )

L

L

iE s sI ss s s s

is ss s s s

−

−

= + − =+ + + +

+ += + −

+ + + +

• rete nel dominio di Laplace

– si ottiene (sovrapposizione degli effetti):

Lezione 13 16

– c’è solo un polo di rete in so=-4/3. Il transitorio è dato dal suo contributo

• Residuo

Esempio con ingressosinusoidale 6/9

2

(2 )(3 3 ) (0 ) 5( ) 0.80952 3( 9) 3 2 3

o o Lo

o

s s iR ss

−+ += + − = −

× + ×

2

(0 )(2 )(3 3 ) 5( )2(4 3 )( 9) 4 3 2(4 3 )

Lis sI ss s s s

−+ += + −

+ + + +

4 / 3( ) 0.8095 0.8095os t tti t e e−= − = −

• Antitrasformazione

– si ottiene il transitorio:

Lezione 13 17

– Invece di calcolare i residui, è più veloce calcolare direttamente i termini di regime.

• principio di sovrapposizione degli effetti

– non c’è contributo in continua sull’uscita

Esempio con ingresso sinusoidale7/9

2

(0 )(2 )(3 3 ) 5( )2(4 3 )( 9) 4 3 2(4 3 )

Lis sI ss s s s

−+ += + −

+ + + +

( ) ' ( ) " ( )p p pi t i t i t= +

' ( ) 0pi t =

• Termine di regime

Lezione 13 18

Esempio con ingresso sinusoidale8/9

302" 0.127 0.3434 ( 3) || 2

oj

pj eI jj

−= = −

+

• per il contributo in alternata

Lezione 13 19

Esempio con ingressosinusoidale 9/9

302" 0.127 0.3434 ( 3) || 2

( ) 0.127 cos(3 ) 0.343sin(3 )

oj

p

p

j eI jj

i t t t

−= = −

+= +

• Espressione finale:

4 / 3

( ) ( ) ( )

0.80950.127 cos(3 ) 0.343sin(3 ),

0

t p

t

i t i t i t

et t

t

−

= + =

= − ++ +

>

Lezione 13 20

Reti nel dominio delle frequenze

Lezione 13 21

Trasformate di Fourier

Lezione 13 22

Scopo

• Si consideri il circuito con ingresso arbitrario

Lezione 13 23

Rappresentazione di segnali con sinusoidi

• Integrale di Fourier

0 0( ) ( ) cos[ ( )] ( )Mf t F t d f t dωω ω ϕ ω ω ω

∞ ∞= + =∫ ∫

Valor massimo fase⇑⇑

pulsazione

⇓

– ogni funzione è somma di (infinite) sinusoidi elementari:

[ ]( ) ( ) cos ( )Mf t F tω ω ω ϕ ω= +

Lezione 13 24

Modulo e Fase delle sinusoidi1/2

• le funzioni rappresentabili con integrale di Fourier sono le distribuzioni temperate (segnali)

• la pulsazione varia in generale con continuità da zero ad infinito

0( ) ( )f t f t dω ω

∞= ∫ [ ]( ) ( ) cos ( )Mf t F tω ω ω ϕ ω= +

Lezione 13 25

Modulo e Fase delle sinusoidi2/2

• il valor massimo e la fase delle sinusoidielementari sono funzioni della pulsazione e sicalcolano con la formula

( ) 1( ) ( )j j tMF F e f t e dtϕ ω ω

ω ωπ

∞ −

−∞= = ∫

Lezione 13 26

Trasformate di Fourier

Lezione 13 27

Rappresentazione nel tempo• Rappresentare con integrale di Fourier

l’impulso rettangolare( ) ( 1) ( 1)f t u t u t= + − −

Lezione 13 28

Rappresentazione nellepulsazioni

• Risulta

1

1

1 sin( )2

sin( )( ) 2 , ( ) 0,

j t

M

F e dt

F

ωω

ωπ π ω

ωω ϕ ω ππ ω

−

−= =

= =

∫

0( ) ( )f t f t dω ω

∞= ∫

[ ]( ) ( ) cos ( )Mf t F tω ω ω ϕ ω= +

Lezione 13 29

Approssimazione con intervallofinito

• Approssimazione dell’integrale di Fourier– Nei casi pratici l’intervallo di integrazione infinito viene

approssimato con un intervallo di integrazione finito ma continuo

0 ω≤ ≤ ∞0 ω≤ ≤ Ω

10=Ω

20=Ω

0 0( ) ( ) ( )f t f t d f t dω ωω ω

∞ Ω= ≈∫ ∫

2contraccolpo= [ ] 1.179SinInt ππ

=

Lezione 13 30

Numero finito di pulsazioni 1/2• Approssimando successivamente l’integrale

con una somma, il numero di sinusoidi cherappresenta un segnale è finito

0 00

( ) ( ) ( ) ( )h

i hi

f t f t d f t d h f tω ωω ω

Ω

∞ Ω

=

= ≈ ≈ ∑∫ ∫/ hΩ– l’impulso rettangolare è approssimato con

sinusoidi con pulsazioni equispaziate di h

Lezione 13 31

Numero finito di pulsazioni 2/2

/ hΩ

20Ω =

1/10h =

Il segnale in rosso è la sovrapprosizione di 200 sinusoidielementari equispaziate (a partire dalla pulsazione nulla) di 0.1 rad/s

• l’impulso rettangolare è approssimato con sinusoidi con pulsazioni equispaziate di h

Contraccolpo indipendenteda h e da Ω

Lezione 13 32

Trasformate di Fourier

Lezione 13 33

Descrizione

• Calcolare l’uscita di una rete con ingressocostituito da un segnale arbitrario– Approssimare gli ingressi con funzioni

sinusoidali elementari– Calcolare l’uscita relativa ad ognuna delle

sinusoidi elementare con il metodo dei fasori– Sommare le uscite cosi ottenute

Il procedimento è esatto se le funzionielementari sono infinite cioè sono riferite a tutte le pulsazioni variabili con continuità da zero ad infinito

Lezione 13 34

Integrale e Trasformata di Fourier 1/2

• Da un punto di vista matematico è preferibileintrodurre l’integrale di Fourier nella forma:

1( ) ( )2

j tf t F e dωω ωπ

∞

−∞= ∫

– si introducono anche pulsazioni negative!

Lezione 13 35

– la trasformata di Fourier è in sostanza il fasore associato alla sinusoide elementare

presente nel segnale

Integrale e Trasformata di Fourier 2/2

( ) ( ) j tF f t e dtωω∞ −

−∞= ∫

[ ]( ) ( ) cos ( )Mf t F tω ω ω ϕ ω= +

• viene definita la seguente trasformata di Fourier:

Lezione 13 36

Serie di Fourier 1/2

• Se il segnale f(t) è periodico di periodo T: f(t+T)=f(t)

( ) ( ) 2 ( )

2 1: , ( ) o

j tm o

m

T j m to m o

F f t e dt F m

dove F f t e dtT T

ω

ω

ω π δ ω ω

πω

∞∞ −

−∞=−∞

−

= = −

= =

∑∫

∫

– la trasformata di Fourier è costituita da infiniti impulsi:

Lezione 13 37

Serie di Fourier 2/2

( ) oj m tm

m

f t F e ω∞

=−∞

= ∑

• L’integrale di Fourier diviene una serie: la serie di Fourier

• Le funzioni sinusoidali elementari presenti nel segnale si chiamano armoniche e costituiscono un insieme discreto (ancorchè infinito) anzichè continuo.

Lezione 13 38

Spettri di segnali 1/2

• Si definiscono due spettri:– spettro di ampiezza

• lo spettro di ampiezza molte volte si esprime in dB• lo spettro di ampiezza si misura con l’analizzatore

di spettro (la misura è in dB)– spettro di fase

| ( ) |F ω

( )F ω⟨

Lezione 13 39

Spettri di segnali 2/2

• Lo spettro (di ampiezza) può essere:• continuo:

– nella trasformata di Fourier non esistonoimpulsi

• a righe– nella trasformata di Fourier son presenti solo

impulsi (esempio negli spettri delle funzioniperiodiche)

• misto

Lezione 13 40

Banda di segnali 1/2

• Teoricamente un segnale contiene tutte le frequenze da zero ad infinito– In pratica ci si limita a considerare solo gli intervalli di

frequenza dove gli spettri di ampiezza sono significativi– Tali intervalli definiscono le bande del segnale

Lezione 13 41

Banda di segnali 2/2

Il segnale il cui spettro è indicato in rosso ha unabanda B più stretta di quella B1 del segnale con spettroindicato in nero

Impulso triangolare

u@t_D = UnitStep@tD;

f@t_D = t u@tD − t u@t − 1D;

Plot@f@tD, 8t, −1, 3<D

-1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

! Graphics !

Fω@ω_D =1$$$$π

‡0

1t Exp@−I ω tD 't

−1 + %−& ω H1 + & ωL(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((

π ω2

Calcolare il valore efficace Hin dBL alle frequenzefo = 0, f1 = 1 MHzf2 = 1 GHz

Fo = Limit@Fω@ωD, ω → 0D êê N0.159155

F1 = Fω@2 πD êê N0. + 0.0506606 &

F1000 = Fω@2 π 1000D êê N0. + 0.0000506606 &

FodB = 20 Log@10, Abs@FoDD−15.9636

aLezione13.nb 1

F1dB = 20 Log@10, Abs@F1DD−25.9066

F1000dB = 20 Log@10, Abs@F1000DD−85.9066

Gli analizzatori di spettro misuramo i dB dei valori efficaci. Quindi :

Foe = FodB − 3

−18.9636

F1e = F1dB − 3−28.9066

F1000e = F1000dB − 3−88.9066

Plot@Abs@Fω@ωDD, 8ω, 0, 10<D

2 4 6 8 10

0.04

0.06

0.08

0.12

0.14

0.16

! Graphics !

FωdB = 20 Log@Abs@Fω@ωDDD;

aLezione13.nb 2

Plot[FωdB,ω,0,10]

2 4 6 8 10

-26

-24

-22

-20

-18

-16

!Graphics!