Lezione 5 1

Lezione 5 2

Cosa c’è nell’Unità 2

• In questa sezione si affronteranno– Introduzione alle reti dinamiche– Determinazione dei valori iniziali– Transitori nelle reti ad una costante di tempo– Poli (o frequenze naturali) di una rete– Transitori nelle reti a due costanti di tempo– Equazioni differenziali di una rete

Lezione 5 3

Reti nel dominio del tempo

Lezione 5 4

Introduzione alle reti dinamiche

Lezione 5 5

Tagli e maglie di elementi reattivi• Classificazione:

• Reti non degeneri• Reti degeneri

• Elementi topologici che comportanodegeneranza:

• Maglie di condensatori:– maglie i cui lati sono o condensatori o

generatori di tensione• Tagli di induttori:

– tagli i cui lati sono o induttori o generatori di corrente

Lezione 5 6

• La rete presenta un taglio di induttori(indicato in blu) ed una maglia di condensatori (indicata in rosso)

Esempio

Lezione 5 7

Reti non degeneri 1/2

• Una rete che contiene maglie di condensatori e/o tagli di induttori si dice degenere. – Esempio di rete degenere:

Lezione 5 8

Reti non degeneri 2/2

– Esempio di rete non degenere:

Lezione 5 9

Ordine complessita’ di una rete

• L’ordine di complessità di una rete(degenere o non degenere) è definito dallecondizioni iniziali che devono esseredefinite per poter determinare la suaevoluzione temporale

– l’ordine di complessità di una rete si può esprimerecome differenza tra il numero totale di condensatori ed induttori e la somma totale di maglie di condensatori e tagli di induttori

Il di li di t i id il

Lezione 5 10

Introduzione alle reti dinamiche

Lezione 5 11

Variabili di stato 1/2

• Grandezze importanti nelle reti dinamiche:

– Variabili di stato:• tensioni sui condensatori• correnti sugli induttori

Lezione 5 12

Variabili di stato 2/2

• Nella rete le variabili di stato sono: vc1, vc2 e iL

Lezione 5 13

Uscite

• Uscite: tutte le tensioni e le correnti cheinteressa calcolare nella rete

• Nella rete le uscite sono vL, i1, i2, vc1. vc1 è anche variabile di stato

Lezione 5 14

Ingressi

• Ingressi: sono le tensioni e le correnti deigeneratori ideali indipendenti presenti nellarete

• Nella rete gli ingressi sono a, e1 e e2

Lezione 5 15

Reti nel dominio del tempo

Lezione 5 16

Determinazione dei valori iniziali

Lezione 5 17

Definizioni• Se non sarà indicato diversamente le

attivazioni delle reti saranno suppostenell’istante t=0

• Condizioni e valori iniziali– condizioni iniziali:

sono i valori delle grandezze di retenell’istante 0-. Esempio v(0-), i(0-)

– valori iniziali:sono i valori delle grandezze di rete

nell’istante 0+. Esempio v(0+), i(0+).

Lezione 5 18

Teoremi• Nelle reti che non sono degeneri dopo

l’attivazione di interruttori, non si hannodiscontinuità temporali delle variabili di stato

• Nelle reti non degeneri non si hadiscontinuità delle variabili di stato anche in presenza di discontinuità temporali neigeneratori

Lezione 5 19

Continuità

(0 ) (0 )c cv v+ −=

La rete non è degenere. Siha continuità dello stato

(0 ) 0 , (0 )c c ov v E− += =

La rete è degenere. Si puòavere discontinuità dello stato

Lezione 5 20

Discontinuità delle uscite 1/2

• In generale le uscite di una rete in presenza di interruttori e/o generatori discontinui sonodiscontinui.

(0 ) 0 , (0 ) oEi iR− += =

Lezione 5 21

Discontinuità delle uscite 2/2

• La rete non è degenere. Tuttavia la corrente i(t) non è una variabile di stato: il valore iniziale in questo caso è differente dalla condizione iniziale!

Lezione 5 22

Esempio 1/3• Calcolare i3(0+) dopo l’attivazione dell’interruttore

• Variabili di stato:– corrente i1(t) sull’induttore L1– corrente i2 (t) sull’induttore L2– tensione vC (t) sul condensatore C

Lezione 5 23

Esempio 2/3

• Continuità dello stato:

1 1 2 2(0 ) (0 ) 0 (0 ) (0 ) 0(0 ) (0 ) 0C C

i i i iv v

+ − + −

+ −

= = = == =

• Nell’istante t=0+:– Gli induttori equivalgono a circuiti aperti– Il condensatore equivale ad un corto circuito

Lezione 5 24

Esempio 3/3

3 (0 ) 0i + =• Ne consegue

Lezione 5 25

Determinazione dei valori iniziali

Lezione 5 26

Esercizio 1 (1/5)• Calcolare i3(0+) dopo l’attivazione

dell’interruttore

• Continuità della corrente sull’induttore e della tensione sul condensatore

Lezione 5 27

Esercizio 1 (2/5)

• Condizioni iniziali dello stato:– in t=0- la rete è a regime (stazionario)

• Il condensatore è un circuito aperto• l’induttore è un corto circuito

Lezione 5 28

Esercizio 1 (3/5)

(0 ) 1|| 2 1 0.66Cv V− = × =1(0 ) 1 0.33

2 1Li A− = × =+

• Condizione iniziale dell’uscita

32(0 ) 1 0.66

2 1i A− = × =

+

• Condizione iniziale dello stato

Lezione 5 29

Esercizio 1 (4/5)

• Situazione della rete in t=0+

Lezione 5 30

Esercizio 1 (5/5)• Valore iniziale dell’uscita: Si applichi Millman

3 3

(0 )10 (0 ) 111 2(0 ) 4.4 (0 ) 0.661 1 1 11 2 1

CL

v ii A i A

++

+ −

+ − += = ≠ =

+ +

Lezione 5 31

Esercizio 2 (1/5)

• Calcolare v(0+) dopo la deviazionedell’interruttore

• Continuità della corrente sull’induttore e della tensione sul condensatore

Lezione 5 32

Esercizio 2 (2/5)

• Condizioni iniziali dello stato:– in t=0- la rete è a regime (stazionario)

– Il condensatore è un circuito aperto– l’induttore è un corto circuito

Lezione 5 33

Esercizio 2 (3/5)

1||1(0 ) 10 3.33 ,1 1||1

(0 )(0 ) 3.331

C

CL

v V

vi A

−

−−

= =+

= =

• Condizione iniziale dell’uscita 1||1(0 ) 10 3.331 1||1

v V− = =+

Lezione 5 34

Esercizio 2 (4/5)

• Situazione della rete in t=0+

(0 ) (0 ) 3.33C Cv v V+ −= =

(0 ) (0 ) 3.33L Li i A+ −= =

Lezione 5 35

Esercizio 2 (5/5)• Valore iniziale dell’uscita: Si applichi Millman

(0 )20 (0 )1 1(0 ) 6.6 (0 )1 1 1

1 1 1

CL

viv V v

++

+ −

− += = ≠

+ +

Lezione 5 36

Reti nel dominio del tempo

Lezione 5 37

Transitori nelle reti ad una costante di tempo

Lezione 5 38

Tipologie

• Presenza di un induttore

• Presenza di un condensatore

Lezione 5 39

Formula fondamentale

( )

valore finale

( ) (0 )

valore iniziale

t

y t y Y e Yτ−

+ ∞ ∞

⇓

= − +

⇑

e

e

L induttoreRR C condensatore

τ

τ

=

=

Lezione 5 40

Esempio 1/8

• Calcolare i(t)

[ ]

( ) (0 ), 0

( ) (0 ) , 0t

i t i t

i t i I e I tτ

−

−

+ ∞ ∞

= <

= − + >

• Continuità della corrente sull’induttore

Lezione 5 41

Esempio 2/8

• Condizioni iniziali dello stato:– in t=0- la rete è a regime (stazionario)

– l’induttore è un corto circuito

Lezione 5 42

Esempio 3/8

12 52 4(0 ) 5.81 1 1

2 2 4

ABv V−

+= =

+ +

• Condizione iniziale dell’uscita (0 )(0 ) 2.72

ABvi A−− = =

12 (0 )(0 ) 3.12AB

Lvi A−

−

−= =

Lezione 5 43

Esempio 4/8• Situazione della rete in t=0+

(0 ) (0 ) 3.1L Li i A+ −= =

Lezione 5 44

Esempio 5/8• Valore iniziale dell’uscita:

(0 ) (0 ) 3.1 (0 ) 2.7Li i A i A+ + −= = ≠ =

Lezione 5 45

Esempio 6/8

• Costante di tempo

3 0.754e

L sR

τ = = =2 2 4 , 3eR L H= + = Ω =

Lezione 5 46

Esempio 7/8

• Valore finale dell’uscita:– l’induttore è un corto circuito

12 32 2

I A∞ = =+

Lezione 5 47

Esempio 8/8

0.75( ) 0.1 3 [ ], 0t

i t e A t−

= + >

• Transitorio dell’uscita

(0 ) 3.1, 3, 0.75i I τ+ ∞= = =