Lezione 5.Le Piastre Circolari

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Corso di Progetto di Strutture POTENZA, a.a. 2012 – 2013 Le piastre circolari ed anulari Dott. Marco VONA DiSGG, Università di Basilicata [email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/

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piastre

Transcript of Lezione 5.Le Piastre Circolari

Page 1: Lezione 5.Le Piastre Circolari

Corso diProgetto di Strutture

POTENZA, a.a. 2012 – 2013

Le piastre circolari ed

anulari

Dott. Marco VONADiSGG, Università di Basilicata

[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/

Page 2: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Sono considerate tali le piastre che abbiano carichi e vincoli dotatidi simmetria radiale

r r

Tutte le grandezze (spostamenti, deformazioni, tensioni …)

dipendono soltanto dalla variabile raggior

Il problema si risolve con equazioni differenziali ordinarie

Page 3: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

L’impostazione del problema è analoga a quella del calcolo dellapiastra in coordinate rettangolari

Per ragioni di simmetria leincognite si riducono aTRE

Consideriamo un elementinoinfinitesimo di una piastracircolare

dθθθθ

M t

Mr

M t bz

t

Page 4: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

M t bz

È evidente che sulle facceradiali si annullano i tagli etutti i momenti torcenti

dθθθθ

M t

Mr

z

t

Le equazioni siriducono a:

2 equazioni diequilibrio

2 di collegamento aMr ed Mt

Page 5: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Equazioni di collegamento

t

r

χχ Curvatura radiale

Curvatura tangenziale

⋅=

D

M

M

t

r

1

1

νν

t

r

χχ

2

2

dr

wdr =χ

w spostamento in P

w1 spostamento in P1 drdr

dwww +=1

( )222 drrr +=+ λDa cui (a meno di infinitesimi del II ordine):

rdr22 =λ

rP

P1

dr

λ

Page 6: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Equazioni di collegamento

Ricordando che la derivata seconda dell’abbassamento è propriopari alla curvatura si ha:

2

2

dr

wdr =χ

rdr

dw

rdr

drdr

dwwww

t ==+−=2

222

11

λχ

drLe equazioni di collegamento assumono quindi la forma

⋅=

D

M

M

t

r

1

1

νν

dr

dw

r

dr

wd

12

2

rdrrdr2λ

Page 7: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Equazioni di collegamento

Ovvero ricordando che la rotazione ha la seguente espressione:

dr

dw−=ϕ

Le equazioni di collegamento assumono quindi la forma

⋅=

D

M

M

t

r

1

1

νν

r

dr

d

ϕ

ϕ

Page 8: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

La forza corrispondente al caricoesternobz assume la forma:

Equilibrio delle forze in direzione verticale (assez)

r

z

bz ϑrdrdbz

Il corrispondente valore del taglio Q :

r

ϑQrddθθθθ

M t

Mr

M t bz

t

Page 9: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

r

z

bz

Mr

M t bz

Equilibrio delle forze in direzione verticale (assez)

r

L’incremento di taglio Q lungo un generico elementodθ dellapiastra vale:

( )[ ] ( ) ϑϑϑ ddrdr

QrdQrdQrdQrd

+−=+−

dθθθθ

M t t

Page 10: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Quindi l’equazione di equilibrio sipuò scrivere come:

[ ] ( )0=+ +−− ϑϑϑ rdrdbddr

QrdQrQrd

r

z

bz

Equilibrio delle forze in direzione verticale (assez)

[ ] ( )0=+

+−− ϑϑϑ rdrdbddrdr

QrdQrQrd z

Ovvero:

∫= rdrbQr z

( )rb

dr

Qrdz=

Integrandolungo il raggio ∫= rdrb

rQ z

1

Page 11: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Consideriamo un carico applicato su di circonferenza di raggior

Integrando e tenendo conto delle condizioni al contorno si ha

r

Equazioni di equilibrio

r

ρρππ dbrQr

z∫=0

22

Da cui si ricava ρρdbr

Qr

z∫=0

1

Page 12: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

In tali casi il problemadella soluzione

Piastre anulari vincolate lungo entrambi i bordi

Il taglio diviene iperstatico nel caso di piastre anulari vincolatelungo entrambi i bordi

In tali casi il problemadella soluzionenumerica si affronta riconducendo iltutto alla sovrapposizione di due o piùcasi a taglio isostatico

Quindi in generale il taglio Q può essere sempre consideratonoto

In tali termini lo si tratterà nel seguito

Page 13: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

In tutti i casi di piastra circolare deveessere Q = 0 al centro (r = 0 ) ovvero:

Condizioni al contorno

01 0

0

== ∫=

ρρdbr

Qr

z

r

0r

Nel caso di piastra anulare libera a uno deidue bordi (supponiamo di raggio R ) deveessere Q = 0 perr = R quindi il taglio sicalcola come:

ρρdbr

Qr

R

z∫= 1

R

Page 14: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

In tutti questi casi il taglio si puòdeterminare in base al solo equilibrioovvero il taglio èisostatico

Condizioni al contorno

r

Inoltre, deve essere ricordato che leespressioni per il calcolo del tagliopossono essere determinate anche inbase a condizioni di equilibrioglobale

R

Page 15: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Equilibrio dei momenti intorno all’asse tangentet

Il momento corrispondente aMt vale:

ϑdrdM t

Il momento corrispondente abtz è infinitesimo di ordine superiore

( )0=+− ϑϑϑ drdMdrd

dr

rMdQrdrd t

t

L’equazione di equilibrio si scrive come:

( )QrM

dr

rMdt

t =−

Ovvero:

Page 16: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Equilibrio dei momenti intorno all’asse tangentet

( ) ϑϑ drddr

rMdrdM r

r +Il momento corrispondenteal taglio Q vale:

ϑQrdrd

dθθθθt

ϑrdM r

ϑQrdrd

Il momento corrispondente aMr vale:

( ) ( ) ϑϑϑ drddr

rMdddr

dr

rMdrMrdM rr

rr =

+−

Page 17: Lezione 5.Le Piastre Circolari

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Equilibrio dei momenti intorno all’asse tangentet

( )0=+− ϑϑϑ drdMdrd

dr

rMdQrdrd t

t

( )QrM

dr

rMdt

t =−Ovvero:

QrMdr t =−

Equazioni di collegamento

⋅=

D

M

M

t

r

1

1

νν

r

dx

d

ϕ

ϕ

Page 18: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

Sostituendo le equazioni di collegamento nell’equazione diequilibrio intorno a t si ottiene:

D

Qr

dr

d

rdr

dr

dr

d =

++

+− ϕνϕνϕϕ

Ovveroderivandoulteriormenterispettoadr esemplificando:Ovveroderivandoulteriormenterispettoadr esemplificando:

D

Q

rdr

d

rdr

d −=−+22

2 1 ϕϕϕ

Che può essere messa nella forma :

D

Q

dr

rd

rdr

d −=

ϕ1

Page 19: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

Tale espressione può risolversi perintegrazioni successive

D

Q

dr

rd

rdr

d −=

ϕ1

Indicando con il segno di apice la( ) Q=

′ ′′1Indicando con il segno di apice la

derivata rispetto alla variabiler ( )D

Qwr

r=

′′1

∫= rdrbr

Q z

1Ricordando l’espressione del taglio

Page 20: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

Moltiplicando perr e derivando entrambi i membri

( )D

bwr

rr

rz=

′′11

Ricordando che l’equazione della superficie elastica

È evidente l’analogia con l’equazione della linea elastica

Page 21: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

È un’equazione differenziale ordinaria, lineare a coefficientivariabili

( )D

bwr

rr

rz=

′′11

Da tale espressione si può ricavare la curvatura

−++′

′−=−= ∫∫ ∫

221

00 02 2

11

r

CCQddQd

rDdr

d rr

r ρρρρϕχρ

++′

′−=−= ∫ ∫

221

0 02 2

11

r

CCdQd

rDdr

d r

r ρρρϕχρ

Page 22: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

È un’equazione differenziale ordinaria, lineare a coefficientivariabili

( )D

bwr

rr

rz=

′′11

Da tale espressione si possono ricavare i momenti

( ) ( ) ( )221

00 02

12

11

r

CCQddQd

rM

rr

r ννρρρρν ρ

−−+++′

′−−= ∫∫ ∫

( ) ( ) ( )221

00 02

12

11

r

CCQddQd

rM

rr

t ννρνρρρν ρ

−++++′

′−= ∫∫ ∫

Page 23: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

Infine, quindi, la soluzione di carattere generale per la superficieelastica assume la forma:

Soluzione particolarenon omogenea

+′′

′′−== ∫ ∫ ∫∫

′′ ′rr

ddQdD

dw0 0 00

11 ρρρρρ

ρϕρ ρ

0 0 00

Soluzione generaleomogenea associata

La costante C3 può essere posta nella forma

323 ln rCC =Con r3 da determinarsi in base alle condizioni al contorno

+++ 32

2

1 ln4

CrCr

C

Page 24: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

La soluzione di carattere generale del problema delle piastrecircolari è quindi la seguente

D

Q

dr

rd

rdr

d −=

ϕ1Da una prima integrazione di:

Si ottiene:

Integrando ancora

+−= ∫

r

CQdDdr

rd

r 0

1

11 ρϕ

+−= ∫

r

rCQdrDdr

rd

0

1

1 ρϕ

++′

′−= ∫ ∫

r r

CCr

dQdD

r0

21

2

0 2

1 ρρρϕ

Page 25: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

Ovvero:

La derivata seconda dello spostamentow ha forma:

++′

′−= ∫ ∫

r r

CCr

dQdrD 0

21

2

0 2

11 ρρρϕ

( ) ( ) =∂∂′

∂∂+

∂∂′

∂∂=

∂∂

xw

x

rw

rx

w ϑϑϑ

ϑ coscos2

2

∂∂∂∂∂ xxrx ϑ

rww

ϑϑ2

2 sincos ′+′′=

( ) ( ) =∂∂′

∂∂+

∂∂′

∂∂=

∂∂

yw

y

rw

ry

w ϑϑϑ

ϑ sinsin2

2

rww

ϑϑ2

2 cossin ′+′′=

Page 26: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

Applicando l’operatore di Laplace agli spostamenti

La derivata seconda dello spostamentow ha forma:

∂∂+

∂∂=∆

2

2

2

2

y

w

x

ww ν

( ) ( )ϑϑϑϑ 2222 cossin1

sincos +′++′′= wr

w ( ) ( )ϑϑϑϑ cossinsincos +′++′′= wr

w

( )′′=′+′′=∆ wrr

wr

ww11

EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

( )D

bwr

rr

rw z=

′′=∆ 112

Page 27: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

La derivata prima dello spostamentow ha forma:

x

w

x

r

r

w

x

w

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ ϑ

ϑ y

w

y

r

r

w

y

w

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ ϑ

ϑ

Per un problemadi tipo assialsimmetrico lo spostamentow nonPer un problemadi tipo assialsimmetrico lo spostamentow nondipende daϑ e dunque si può scrive :

0≡∂∂ϑw

wdr

dw

r

w ′==∂∂

ϑcoswx

w ′=∂∂

ϑsinwy

w ′=∂∂

Le derivate prime dellospostamentow si semplificanoquindi nella forma :

Page 28: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

Deve essere osservato che all’equazione della superficie elastica sipoteva pervenire considerando la trasformazione da coordinatecartesiane a coordinate polari

y r

ϑϑ

sin

cos

ry

rx

==

x

ϑϑsinry =

x

y

yxr

arctan

22

=

+=

ϑ

Page 29: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

y r

ϑ

Le derivate prime delle nuove coordinate polari

ϑcos22

==+

=∂∂

r

x

yx

x

x

r

ϑsin22

==+

=∂∂

r

y

yx

y

y

r

x

ϑ+∂ ryxy

rr

y

x

y

x

yx

ϑϑ sin

1

1222 −=−=

+−=

∂∂

rr

x

x

x

yy

ϑϑ cos1

1

122 ==

+−=

∂∂

Page 30: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

Quindi risulta come già ottenuto :

+′′

′′−== ∫ ∫ ∫∫

′′ ′rr

ddQdD

dw0 0 00

11 ρρρρρ

ρϕρ ρ

+++ 32

2

1 ln4

CrCr

C4

Piastra circolare

Per le piastre circolari, in virtù della simmetria, si può scrivere

0=ϕ 0=rper Da cui consegue: 02 =C

Inoltre, risulta anche perr = 0 ( )2

1 1CMM tr ν+==

Page 31: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

I risultati esposti in precedenza descrivono le procedure necessarieper trattare il problema delle piastre circolari ed anulari caricatesimmetricamente

Le applicazione sui singoli casi si traggono di conseguenzaconsiderando i carichi assegnati, i vincoli e le conseguenticondizioni al contorno specifiche del problema trattato

r

z

bz

dθθθθ

M t

Mr

M t bz

t

Page 32: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Deve essere ricordato che in qualsiasi piastra circolare caricatasimmetricamente una delle condizioni fondamentali è:

0=ϕ 0=rper

Quindi (soluzionedelproblema):

++′

′−= ∫ ∫

r r

CCr

dQdrD 0

21

2

0 2

11 ρρρϕ

Quindi (soluzionedelproblema):

02 =C

Page 33: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

Da cui, ricordando le espressioni dei momenti :

( ) ( ) ( )221

00 02

12

11

r

CCQddQd

rM

rr

r ννρρρρν ρ

−−+++′

′−−= ∫∫ ∫

( ) ( ) ( )221

21

21

1

r

CCQddQd

rM

rr

t ννρνρρρν ρ

−++++′

′−= ∫∫ ∫

200 0

2 2 rrt

∫∫ ∫

( )2

1 1CMM tr ν+==0=rper

In ogni piastra circolare si annulla la costante di integrazioneC2 = 0 e i momenti tangenziale e radiale sono uguali tra loro alcentro della piastra

Page 34: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Consideriamo una condizione divincolo di incastro lungo il bordo :

R R

0=ϕ Rr =per

Dalle condizioni alcontorno si ricavala rotazione

R

∫ ∫ =+′

′−=

′R RCdQd

RR

0

1

0

02

1)( ρρρϕ

ρ

∫ ∫ ′

′−=

′R

dQdR

C0 0

21

2 ρρρρ

la rotazione

C2 = 0

Page 35: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Casi particolari

R R

Carico uniformemente ripartitobz

rbQ z2

1=zbrrQ 22 ππ =

In questo caso il carico esterno definisce il valore del taglio nelseguente modo:

42

2

00

rbrdr

bQdr z

rz

r

== ∫∫Integrando

Page 36: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Casi particolari

R R

Carico uniformemente ripartitobz

( ) 2

0

3

20 0

21 82

1

2

12R

bd

R

bddb

RC z

Rz

R

z −=′′−=′

′−= ∫∫ ∫

ρρρρρρρ

−=

2

22

116 R

rr

D

Rbzϕ

Page 37: Lezione 5.Le Piastre Circolari

Ricordando l’espressione degli abbassamenti

∫=r

dw0

ρϕ

Casi particolari

Carico uniformemente ripartito

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

0

+++ 32

2

1 ln4

CrCr

C

′′

′′−= ∫ ∫ ∫

′′ ′r

ddQdD

w0 0 0

11 ρρρρρ

ρ ρ

EssendoC2 = 0

+−= 3

224

4864

1C

rRbrb

Dw zz

Page 38: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Viene determinato in base alla condizione3C 0=w Rr =per

Da cui 43 64

Rb

C z−=

Casi particolari

Carico uniformemente ripartito

64

Quindi:

2

2

24

164

−=

R

r

D

Rbw z

Si può osservare che w non dipende daν , come prevedibile,poichéν non compare ne nell’equazione della superficie elasticane nelle condizioni al contorno

Page 39: Lezione 5.Le Piastre Circolari

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

Ricordando le espressione dei momenti tangenziale e radiale

( ) ( ) ( ) 21 111 CC

QddQdMrr

r ννρρρρν ρ

−−+++′

′−−= ∫∫ ∫

Casi particolari

Carico uniformemente ripartito

( ) ( )2

00 02

12

1r

QddQdr

M r ννρρρρ −−+++′

′−= ∫∫ ∫

( ) ( ) ( )221

00 02 1

21

1

r

CCQddQd

rM

rr

t ννρνρρρν ρ

−++++′

′−= ∫∫ ∫

Sostituendo i valori ricavati dalle precedenti espressioni econsiderando le condizioni al contorno

Page 40: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

I momenti possono essere calcolati come:

( ) ( ) =+−+−−=16

1416

1222 Rbrbrb

M zzzr νν

Casi particolari

Carico uniformemente ripartito

16416

( ) ( )

++−−=

2

22

3116 R

rrbz νν

( ) ( ) =+−+−=16

1416

1222 Rbrbrb

M zzzt ννν

( ) ( )

−−+−=

2

22

31116 R

rrbz νν

Page 41: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

I diagrammi dei momenti e diw hanno andamenti che sonoqualitativamente simili a quelli visti per un trave incastrata agliestremi. I momenti dipendono daν

( ) ( ) 22 rrb

Casi particolari

Carico uniformemente ripartito

( ) ( )

++−−=

2

22

3116 R

rrbM z

r νν

( ) ( )

−−+−=

2

22

31116 R

rrbM z

t νν

2

2

24

164

−=

R

r

D

Rbw z

Page 42: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Sia il carico ripartito su un raggioR1 < R. Sia P la risultante

Carico ripartito lungo una circonferenza

0=Q

10 Rr ≤≤Per

Casi particolari

R

0=Q

r

PQ

π2=

RrR ≤≤1Per

R1 R

Page 43: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Casi particolari

Carico ripartito lungo una circonferenza

R R

00

=∫r

Qdr

R1 R

10 Rr ≤≤Per

RrR ≤≤1Per ∫∫∫ ==r

R

r

R

r

drr

PQdrQdr

1120 π

Page 44: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

La costante di integrazioneC1 è pari a:

Carico ripartito lungo una circonferenza

=′

′−=′

′−= ∫ ∫∫ ∫

′′ R

R R

R

R R

dd

R

PdQd

RC

1 11 1

221

2 ρρρρ

πρρρ

ρρ

∫∫′′′

−=′′′−=R

R

R

R R

d

RRR

R

R

Pd

RR

P

11 111

2

12

12

lnlnρρρ

πρρρ

π

1Rρµ ′=Posto: Si ha:

∫=

=

−=RR

dR

RPC

1

1

2

11 ln

µ

µ

µµµπ

Page 45: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Integrando per parti

( )1

1

222

11 1ln

4

RR

R

RPC

=

=

−=µ

µ

µµπ

Carico ripartito lungo una circonferenza

+

−=2

1

2

11 ln1

4 R

R

R

RPC

π

Page 46: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Carico ripartito lungo una circonferenza10 Rr ≤≤Per

( ) ( ) ( )221

00 02

12

11

r

CCQddQd

rM

rr

r ννρρρρν ρ

−−+++′

′−−= ∫∫ ∫

( ) ( ) ( )221

00 02 1

21

1

r

CCQddQd

rM

rr

t ννρνρρρν ρ

−++++′

′−= ∫∫ ∫

Dalle espressioni diMr e Mt si ricava

( ) ( )

+

−+=+==2

1

2

11 ln18

12

1R

R

R

RPCMM tr π

νν

Il cerchio di raggioR1 è soggetto a momentiMr = M t = cost

Essendo la curvatura dellaSM deformata uguale in ogni punto e inogni direzione, si è in un caso diFLESSIONE SFERICA

Page 47: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Carico ripartito lungo una circonferenza RrR ≤≤1Per

( ) ( )( )

+

−+−+

+

−+=22

1

2

1

2

1 ln11

1ln1

81

R

r

R

R

R

R

R

RPM r ν

νπ

ν

( ) ( )( )

+

−+−−

+

−+=2

1

2

1

2

1

2

1 ln11

1ln1

81

R

r

R

R

R

R

R

RPM t ν

νπ

ν

( )

+ 118 RRRR νπ

Page 48: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Casi particolari

Sia il carico ripartito su un cerchio di raggioa < R

Carico ripartito su un cerchio di raggio a

a R

R

Page 49: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Il carico ripartito su un cerchio di raggioa < R, può suddividersiin anelli di raggioρ e larghezzadρ

Carico ripartito su un cerchio di raggio a

ρπρdbz 2=ρρρρ

dρρρρ

Il carico corrispondente al singoloanello è:

ρπρdbz 2=

Qualunque effetto del carico può essere ricavato persovrapposizione degli effetti dai risultati dal casoprecedentemente visto relativo al carico ripartito su di unacirconferenza. Ad esempio i momenti al centro della piastravalgono:

( ) ρρρρπ

πνd

RR

bMM

az

tcrc ∫

+

−+==0

22

ln18

21

Page 50: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Ponendo

Carico ripartito su un cerchio di raggio a

R

ρµ =

( ) ( ) µµµµµν µ

µ

dRb

MMRa

ztcrc ∫

=

=

+−+==0

232

ln4

1

µ =0

( )

−+==22

4

1ln

4

1

R

a

R

aabMM z

tcrc

ν

Analogamente all’incastro si ottiene:

−=22

2

11

4 R

aabM z

rinc rinctc MM ν=

Page 51: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Casi particolari

I momenti Mt ed Mr risultano dalle espressioni per il caricoripartito su un cerchio conR1 che tende a zero

Carico P concentrato al centro

01 =R

R

R

01 =R

Page 52: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Carico P concentrato al centro

( ) rP ( ) rP

R

( )

++=R

rPM r ln11

π( )

++=R

rPM t ln1

4νν

π

Si può osservare che perr che tende a zero i due momentiMt ed Mr tendono a infinito

Ciò può essere spiegato innanzitutto osservando che(1) il caricoconcentrato è un’astrazione matematicae che il carico sarà inpratica applicato a un’area molto piccola

Page 53: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Carico P concentrato al centro

Inoltre (2) vengonomeno le ipotesi di basedella teoria, così

R

Inoltre (2) vengonomeno le ipotesi di basedella teoria, cosìcome avviene anche per i carichi non concentrati ma ripartiti suuna area molto piccola.

In particolare, leσz non saranno più trascurabili mentre le forzedi taglio in prossimità del carico concentrato saranno così grandida NON potersi più ammettere la CONSERVAZIONE DEISEGMENTI RETTILINEI

Page 54: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Carico P concentrato al centro

In sostanza ciò vuol dire che i risultati della trattazione del caricoconcentrato sono validisoltanto ad una certa distanza dal

R

punto di applicazione del carico stesso

In tal modo sono sempre verificate le ipotesi di calcolo mentre peril principio di de Saint Venant non si risentono gli effetti dellaconcentrazione del carico

La distanza può essere assunta pari allo spessore della piastra

Per r<h le tensioni devono essere determinate utilizzando lateoria dell’elasticità

Page 55: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Piastra appoggiata al contorno

Si può operare per sovrapposizione degli effetti

R

-M -M

In unaprima fase si considera una piastra incastrata e si calcola ilmomento radialeM all’incastro dovuto al carico

In unaseconda fasesi considera la piastra appoggiata soggetta adun momentoM negativo applicato al bordo

-M -M

Page 56: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

Piastra appoggiata al contorno

La soluzione risulterà dalla sovrapposizione delle due fasi.

In particolare risulta:

Dall’equazione generale dei momenti per la piastra circolare:

0=rM Rr =Per

( ) ( ) ( )221

00 02

12

11

r

CCQddQd

rM

rr

r ννρρρρν ρ

−−+++′

′−−= ∫∫ ∫

( ) ( ) ( )221

00 02 1

21

1

r

CCQddQd

rM

rr

t ννρνρρρν ρ

−++++′

′−= ∫∫ ∫

Page 57: Lezione 5.Le Piastre Circolari

PIASTRA APPOGGIATA AL CONTORNO

Piastra appoggiata al contorno

Nella seconda fase risulta Q = 0 e quindi, ricordando che in talecondizione risulta:

02 =C

( )MCMM tr =+== 12

1 νMCMM tr === 12

( ) rD

MC

r

D νϕ

+−=−=

12

11

In sostanza per un momento costante applicato al contorno, lapiastra circolare è soggetta aFLESSIONE SFERICA

Page 58: Lezione 5.Le Piastre Circolari

Casi particolari

Il momento M all’incastro (r = R ) vale:

a) Carico uniformemente ripartito

8

2RbM z

rinc =

Quindi il momento da applicare al bordo vale8

2RbM z

rinc −=−

PIASTRA APPOGGIATA AL CONTORNO

8M rinc −=−

I momenti Mt ed Mr della piastra appoggiata valgono:

( ) ( ) ( )

−+−=−

+−+−=

R

rRbRb

R

rRbM zzz

r

22222

13168

3116

ννν

( ) ( ) ( )

+−+−=−

+−+−=

R

rRbRb

R

rRbM zzz

r

22222

313168

31116

νννν

Page 59: Lezione 5.Le Piastre Circolari

Casi particolari

All’incastro ( r = R ) si ha:

a) Carico ripartito lungo una circonferenza di raggio R1 < R

( ) ( )( )

−=

+−+

−+−=

2

1

2

1

2

1 111

11 RPRRP

M r πνν

πν

PIASTRA APPOGGIATA AL CONTORNO

All’interno della circonferenza caricata si ha:

( )

−=

−+

+

−−= 14

11

18 RRR

M r πνπ

( )

−−

+

−+==2

1

2

1

2

1 14

ln18

1

R

RP

R

R

R

RPMM tr ππ

ν

Page 60: Lezione 5.Le Piastre Circolari

Casi particolari

a) Carico ripartito lungo una circonferenza di raggio R1 < R

All’interno della circonferenza caricata si ha:

( ) ( )

−−−

+==2

1

2

1 11ln8

1

R

R

R

RPMM tr ν

πν

PIASTRA APPOGGIATA AL CONTORNO

( )

−−−

== 11ln8 RR

MM tr νπ

Analogamente si possono determinare i momenti all’esternodella circonferenza caricata

Seguendo la stessa procedura è possibile studiare qualsiasi altracombinazione di carico