Lezione 5.Le Piastre Circolari

Corso diProgetto di Strutture

POTENZA, a.a. 2012 – 2013

Le piastre circolari ed

anulari

Dott. Marco VONADiSGG, Università di Basilicata

[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Sono considerate tali le piastre che abbiano carichi e vincoli dotatidi simmetria radiale

r r

Tutte le grandezze (spostamenti, deformazioni, tensioni …)

dipendono soltanto dalla variabile raggior

Il problema si risolve con equazioni differenziali ordinarie


L’impostazione del problema è analoga a quella del calcolo dellapiastra in coordinate rettangolari

Per ragioni di simmetria leincognite si riducono aTRE

Consideriamo un elementinoinfinitesimo di una piastracircolare

dθθθθ

M t

Mr

M t bz

t


M t bz

È evidente che sulle facceradiali si annullano i tagli etutti i momenti torcenti

dθθθθ

M t

Mr

z

t

Le equazioni siriducono a:

2 equazioni diequilibrio

2 di collegamento aMr ed Mt


Equazioni di collegamento

t

r

χχ Curvatura radiale

Curvatura tangenziale

⋅=

D

M

M

t

r

1

1

νν

⋅

t

r

χχ

2

2

dr

wdr =χ

w spostamento in P

w1 spostamento in P1 drdr

dwww +=1

( )222 drrr +=+ λDa cui (a meno di infinitesimi del II ordine):

rdr22 =λ

rP

P1

dr

λ



Ricordando che la derivata seconda dell’abbassamento è propriopari alla curvatura si ha:

2

2

dr

wdr =χ

rdr

dw

rdr

drdr

dwwww

t ==+−=2

222

11

λχ

drLe equazioni di collegamento assumono quindi la forma

⋅=

D

M

M

t

r

1

1

νν

⋅

dr

dw

r

dr

wd

12

2

rdrrdr2λ



Ovvero ricordando che la rotazione ha la seguente espressione:

dr

dw−=ϕ

Le equazioni di collegamento assumono quindi la forma

⋅=

D

M

M

t

r

1

1

νν

⋅

r

dr

d

ϕ

ϕ


La forza corrispondente al caricoesternobz assume la forma:

Equilibrio delle forze in direzione verticale (assez)

r

z

bz ϑrdrdbz

Il corrispondente valore del taglio Q :

r

ϑQrddθθθθ

M t

Mr

M t bz

t


r

z

bz

Mr

M t bz


r

L’incremento di taglio Q lungo un generico elementodθ dellapiastra vale:

( )[ ] ( ) ϑϑϑ ddrdr

QrdQrdQrdQrd

+−=+−

dθθθθ

M t t


Quindi l’equazione di equilibrio sipuò scrivere come:

[ ] ( )0=+ +−− ϑϑϑ rdrdbddr

QrdQrQrd

r

z

bz


[ ] ( )0=+

+−− ϑϑϑ rdrdbddrdr

QrdQrQrd z

Ovvero:

∫= rdrbQr z

( )rb

dr

Qrdz=

Integrandolungo il raggio ∫= rdrb

rQ z

1


Consideriamo un carico applicato su di circonferenza di raggior

Integrando e tenendo conto delle condizioni al contorno si ha

r

Equazioni di equilibrio

r

ρρππ dbrQr

z∫=0

22

Da cui si ricava ρρdbr

Qr

z∫=0

1


In tali casi il problemadella soluzione

Piastre anulari vincolate lungo entrambi i bordi

Il taglio diviene iperstatico nel caso di piastre anulari vincolatelungo entrambi i bordi

In tali casi il problemadella soluzionenumerica si affronta riconducendo iltutto alla sovrapposizione di due o piùcasi a taglio isostatico

Quindi in generale il taglio Q può essere sempre consideratonoto

In tali termini lo si tratterà nel seguito


In tutti i casi di piastra circolare deveessere Q = 0 al centro (r = 0 ) ovvero:

Condizioni al contorno

01 0

0

== ∫=

ρρdbr

Qr

z

r

0r

Nel caso di piastra anulare libera a uno deidue bordi (supponiamo di raggio R ) deveessere Q = 0 perr = R quindi il taglio sicalcola come:

ρρdbr

Qr

R

z∫= 1

R


In tutti questi casi il taglio si puòdeterminare in base al solo equilibrioovvero il taglio èisostatico

Condizioni al contorno

r

Inoltre, deve essere ricordato che leespressioni per il calcolo del tagliopossono essere determinate anche inbase a condizioni di equilibrioglobale

R


Equilibrio dei momenti intorno all’asse tangentet

Il momento corrispondente aMt vale:

ϑdrdM t

Il momento corrispondente abtz è infinitesimo di ordine superiore

( )0=+− ϑϑϑ drdMdrd

dr

rMdQrdrd t

t

L’equazione di equilibrio si scrive come:

( )QrM

dr

rMdt

t =−

Ovvero:



( ) ϑϑ drddr

rMdrdM r

r +Il momento corrispondenteal taglio Q vale:

ϑQrdrd

dθθθθt

ϑrdM r

ϑQrdrd

Il momento corrispondente aMr vale:

( ) ( ) ϑϑϑ drddr

rMdddr

dr

rMdrMrdM rr

rr =

+−



( )0=+− ϑϑϑ drdMdrd

dr

rMdQrdrd t

t

( )QrM

dr

rMdt

t =−Ovvero:

QrMdr t =−


⋅=

D

M

M

t

r

1

1

νν

⋅

r

dx

d

ϕ

ϕ

L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

Sostituendo le equazioni di collegamento nell’equazione diequilibrio intorno a t si ottiene:

D

Qr

dr

d

rdr

dr

dr

d =

++

+− ϕνϕνϕϕ

Ovveroderivandoulteriormenterispettoadr esemplificando:Ovveroderivandoulteriormenterispettoadr esemplificando:

D

Q

rdr

d

rdr

d −=−+22

2 1 ϕϕϕ

Che può essere messa nella forma :

D

Q

dr

rd

rdr

d −=

ϕ1


Tale espressione può risolversi perintegrazioni successive

D

Q

dr

rd

rdr

d −=

ϕ1

Indicando con il segno di apice la( ) Q=

′ ′′1Indicando con il segno di apice la

derivata rispetto alla variabiler ( )D

Qwr

r=

′′1

∫= rdrbr

Q z

1Ricordando l’espressione del taglio


Moltiplicando perr e derivando entrambi i membri

( )D

bwr

rr

rz=

′

′

′′11

Ricordando che l’equazione della superficie elastica

È evidente l’analogia con l’equazione della linea elastica


È un’equazione differenziale ordinaria, lineare a coefficientivariabili

( )D

bwr

rr

rz=

′

′

′′11

Da tale espressione si può ricavare la curvatura

−++′

′−=−= ∫∫ ∫

′

221

00 02 2

11

r

CCQddQd

rDdr

d rr

r ρρρρϕχρ

++′

′−=−= ∫ ∫

′

221

0 02 2

11

r

CCdQd

rDdr

d r

r ρρρϕχρ


È un’equazione differenziale ordinaria, lineare a coefficientivariabili

( )D

bwr

rr

rz=

′

′

′′11

Da tale espressione si possono ricavare i momenti

( ) ( ) ( )221

00 02

12

11

r

CCQddQd

rM

rr

r ννρρρρν ρ

−−+++′

′−−= ∫∫ ∫

′

( ) ( ) ( )221

00 02

12

11

r

CCQddQd

rM

rr

t ννρνρρρν ρ

−++++′

′−= ∫∫ ∫

′


Infine, quindi, la soluzione di carattere generale per la superficieelastica assume la forma:

Soluzione particolarenon omogenea

+′′

′

′

′′−== ∫ ∫ ∫∫

′′ ′rr

ddQdD

dw0 0 00

11 ρρρρρ

ρϕρ ρ

0 0 00

Soluzione generaleomogenea associata

La costante C3 può essere posta nella forma

323 ln rCC =Con r3 da determinarsi in base alle condizioni al contorno

+++ 32

2

1 ln4

CrCr

C


La soluzione di carattere generale del problema delle piastrecircolari è quindi la seguente

D

Q

dr

rd

rdr

d −=

ϕ1Da una prima integrazione di:

Si ottiene:

Integrando ancora

+−= ∫

r

CQdDdr

rd

r 0

1

11 ρϕ

+−= ∫

r

rCQdrDdr

rd

0

1

1 ρϕ

++′

′−= ∫ ∫

r r

CCr

dQdD

r0

21

2

0 2

1 ρρρϕ


Ovvero:

La derivata seconda dello spostamentow ha forma:

++′

′−= ∫ ∫

r r

CCr

dQdrD 0

21

2

0 2

11 ρρρϕ

( ) ( ) =∂∂′

∂∂+

∂∂′

∂∂=

∂∂

xw

x

rw

rx

w ϑϑϑ

ϑ coscos2

2

∂∂∂∂∂ xxrx ϑ

rww

ϑϑ2

2 sincos ′+′′=

( ) ( ) =∂∂′

∂∂+

∂∂′

∂∂=

∂∂

yw

y

rw

ry

w ϑϑϑ

ϑ sinsin2

2

rww

ϑϑ2

2 cossin ′+′′=


Applicando l’operatore di Laplace agli spostamenti

La derivata seconda dello spostamentow ha forma:

∂∂+

∂∂=∆

2

2

2

2

y

w

x

ww ν

( ) ( )ϑϑϑϑ 2222 cossin1

sincos +′++′′= wr

w ( ) ( )ϑϑϑϑ cossinsincos +′++′′= wr

w

( )′′=′+′′=∆ wrr

wr

ww11

EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

( )D

bwr

rr

rw z=

′

′

′′=∆ 112


La derivata prima dello spostamentow ha forma:

x

w

x

r

r

w

x

w

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ ϑ

ϑ y

w

y

r

r

w

y

w

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ ϑ

ϑ

Per un problemadi tipo assialsimmetrico lo spostamentow nonPer un problemadi tipo assialsimmetrico lo spostamentow nondipende daϑ e dunque si può scrive :

0≡∂∂ϑw

wdr

dw

r

w ′==∂∂

ϑcoswx

w ′=∂∂

ϑsinwy

w ′=∂∂

Le derivate prime dellospostamentow si semplificanoquindi nella forma :


Deve essere osservato che all’equazione della superficie elastica sipoteva pervenire considerando la trasformazione da coordinatecartesiane a coordinate polari

y r

ϑϑ

sin

cos

ry

rx

==

x

ϑϑsinry =

x

y

yxr

arctan

22

=

+=

ϑ


y r

ϑ

Le derivate prime delle nuove coordinate polari

ϑcos22

==+

=∂∂

r

x

yx

x

x

r

ϑsin22

==+

=∂∂

r

y

yx

y

y

r

x

ϑ+∂ ryxy

rr

y

x

y

x

yx

ϑϑ sin

1

1222 −=−=

+−=

∂∂

rr

x

x

x

yy

ϑϑ cos1

1

122 ==

+−=

∂∂


Quindi risulta come già ottenuto :

+′′

′

′

′′−== ∫ ∫ ∫∫

′′ ′rr

ddQdD

dw0 0 00

11 ρρρρρ

ρϕρ ρ

+++ 32

2

1 ln4

CrCr

C4

Piastra circolare

Per le piastre circolari, in virtù della simmetria, si può scrivere

0=ϕ 0=rper Da cui consegue: 02 =C

Inoltre, risulta anche perr = 0 ( )2

1 1CMM tr ν+==

PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO

I risultati esposti in precedenza descrivono le procedure necessarieper trattare il problema delle piastre circolari ed anulari caricatesimmetricamente

Le applicazione sui singoli casi si traggono di conseguenzaconsiderando i carichi assegnati, i vincoli e le conseguenticondizioni al contorno specifiche del problema trattato

r

z

bz

dθθθθ

M t

Mr

M t bz

t


Deve essere ricordato che in qualsiasi piastra circolare caricatasimmetricamente una delle condizioni fondamentali è:

0=ϕ 0=rper

Quindi (soluzionedelproblema):

++′

′−= ∫ ∫

r r

CCr

dQdrD 0

21

2

0 2

11 ρρρϕ

Quindi (soluzionedelproblema):

02 =C


Da cui, ricordando le espressioni dei momenti :

( ) ( ) ( )221

00 02

12

11

r

CCQddQd

rM

rr

r ννρρρρν ρ

−−+++′

′−−= ∫∫ ∫

′

( ) ( ) ( )221

21

21

1

r

CCQddQd

rM

rr


−++++′

′−= ∫∫ ∫

′

200 0

2 2 rrt

∫∫ ∫

( )2

1 1CMM tr ν+==0=rper

In ogni piastra circolare si annulla la costante di integrazioneC2 = 0 e i momenti tangenziale e radiale sono uguali tra loro alcentro della piastra


Consideriamo una condizione divincolo di incastro lungo il bordo :

R R

0=ϕ Rr =per

Dalle condizioni alcontorno si ricavala rotazione

R

∫ ∫ =+′

′−=

′R RCdQd

RR

0

1

0

02

1)( ρρρϕ

ρ

∫ ∫ ′

′−=

′R

dQdR

C0 0

21

2 ρρρρ

la rotazione

C2 = 0


Casi particolari

R R

Carico uniformemente ripartitobz

rbQ z2

1=zbrrQ 22 ππ =

In questo caso il carico esterno definisce il valore del taglio nelseguente modo:

42

2

00

rbrdr

bQdr z

rz

r

== ∫∫Integrando


Casi particolari

R R

Carico uniformemente ripartitobz

( ) 2

0

3

20 0

21 82

1

2

12R

bd

R

bddb

RC z

Rz

R

z −=′′−=′

′−= ∫∫ ∫

′

ρρρρρρρ

−=

2

22

116 R

rr

D

Rbzϕ

Ricordando l’espressione degli abbassamenti

∫=r

dw0

ρϕ

Casi particolari

Carico uniformemente ripartito


0

+++ 32

2

1 ln4

CrCr

C

′′

′

′

′′−= ∫ ∫ ∫

′′ ′r

ddQdD

w0 0 0

11 ρρρρρ

ρ ρ

EssendoC2 = 0

+−= 3

224

4864

1C

rRbrb

Dw zz


Viene determinato in base alla condizione3C 0=w Rr =per

Da cui 43 64

Rb

C z−=

Casi particolari


64

Quindi:

2

2

24

164

−=

R

r

D

Rbw z

Si può osservare che w non dipende daν , come prevedibile,poichéν non compare ne nell’equazione della superficie elasticane nelle condizioni al contorno


Ricordando le espressione dei momenti tangenziale e radiale

( ) ( ) ( ) 21 111 CC

QddQdMrr

r ννρρρρν ρ

−−+++′

′−−= ∫∫ ∫

′

Casi particolari


( ) ( )2

00 02

12

1r

QddQdr

M r ννρρρρ −−+++′

′−= ∫∫ ∫

( ) ( ) ( )221

00 02 1

21

1

r

CCQddQd

rM

rr


−++++′

′−= ∫∫ ∫

′

Sostituendo i valori ricavati dalle precedenti espressioni econsiderando le condizioni al contorno


I momenti possono essere calcolati come:

( ) ( ) =+−+−−=16

1416

1222 Rbrbrb

M zzzr νν

Casi particolari


16416

( ) ( )

++−−=

2

22

3116 R

rrbz νν

( ) ( ) =+−+−=16

1416

1222 Rbrbrb

M zzzt ννν

( ) ( )

−−+−=

2

22

31116 R

rrbz νν


I diagrammi dei momenti e diw hanno andamenti che sonoqualitativamente simili a quelli visti per un trave incastrata agliestremi. I momenti dipendono daν

( ) ( ) 22 rrb

Casi particolari


( ) ( )

++−−=

2

22

3116 R

rrbM z

r νν

( ) ( )

−−+−=

2

22

31116 R

rrbM z

t νν

2

2

24

164

−=

R

r

D

Rbw z


Sia il carico ripartito su un raggioR1 < R. Sia P la risultante

Carico ripartito lungo una circonferenza

0=Q

10 Rr ≤≤Per

Casi particolari

R

0=Q

r

PQ

π2=

RrR ≤≤1Per

R1 R


Casi particolari


R R

00

=∫r

Qdr

R1 R

10 Rr ≤≤Per

RrR ≤≤1Per ∫∫∫ ==r

R

r

R

r

drr

PQdrQdr

1120 π


La costante di integrazioneC1 è pari a:


=′

′−=′

′−= ∫ ∫∫ ∫

′′ R

R R

R

R R

dd

R

PdQd

RC

1 11 1

221

2 ρρρρ

πρρρ

ρρ

∫∫′′′

−=′′′−=R

R

R

R R

d

RRR

R

R

Pd

RR

P

11 111

2

12

12

lnlnρρρ

πρρρ

π

1Rρµ ′=Posto: Si ha:

∫=

=

−=RR

dR

RPC

1

1

2

11 ln

µ

µ

µµµπ


Integrando per parti

( )1

1

222

11 1ln

4

RR

R

RPC

=

=

−

−=µ

µ

µµπ


+

−=2

1

2

11 ln1

4 R

R

R

RPC

π


Carico ripartito lungo una circonferenza10 Rr ≤≤Per

( ) ( ) ( )221

00 02

12

11

r

CCQddQd

rM

rr

r ννρρρρν ρ

−−+++′

′−−= ∫∫ ∫

′

( ) ( ) ( )221

00 02 1

21

1

r

CCQddQd

rM

rr


−++++′

′−= ∫∫ ∫

′

Dalle espressioni diMr e Mt si ricava

( ) ( )

+

−+=+==2

1

2

11 ln18

12

1R

R

R

RPCMM tr π

νν

Il cerchio di raggioR1 è soggetto a momentiMr = M t = cost

Essendo la curvatura dellaSM deformata uguale in ogni punto e inogni direzione, si è in un caso diFLESSIONE SFERICA


Carico ripartito lungo una circonferenza RrR ≤≤1Per

( ) ( )( )

+

−+−+

+

−+=22

1

2

1

2

1 ln11

1ln1

81

R

r

R

R

R

R

R

RPM r ν

νπ

ν

( ) ( )( )

+

−+−−

+

−+=2

1

2

1

2

1

2

1 ln11

1ln1

81

R

r

R

R

R

R

R

RPM t ν

νπ

ν

( )

+ 118 RRRR νπ


Casi particolari

Sia il carico ripartito su un cerchio di raggioa < R

Carico ripartito su un cerchio di raggio a

a R

R


Il carico ripartito su un cerchio di raggioa < R, può suddividersiin anelli di raggioρ e larghezzadρ


ρπρdbz 2=ρρρρ

dρρρρ

Il carico corrispondente al singoloanello è:

ρπρdbz 2=

Qualunque effetto del carico può essere ricavato persovrapposizione degli effetti dai risultati dal casoprecedentemente visto relativo al carico ripartito su di unacirconferenza. Ad esempio i momenti al centro della piastravalgono:

( ) ρρρρπ

πνd

RR

bMM

az

tcrc ∫

+

−+==0

22

ln18

21


Ponendo


R

ρµ =

( ) ( ) µµµµµν µ

µ

dRb

MMRa

ztcrc ∫

=

=

+−+==0

232

ln4

1

µ =0

( )

−+==22

4

1ln

4

1

R

a

R

aabMM z

tcrc

ν

Analogamente all’incastro si ottiene:

−=22

2

11

4 R

aabM z

rinc rinctc MM ν=


Casi particolari

I momenti Mt ed Mr risultano dalle espressioni per il caricoripartito su un cerchio conR1 che tende a zero

Carico P concentrato al centro

01 =R

R

R

01 =R



( ) rP ( ) rP

R

( )

++=R

rPM r ln11

4ν

π( )

++=R

rPM t ln1

4νν

π

Si può osservare che perr che tende a zero i due momentiMt ed Mr tendono a infinito

Ciò può essere spiegato innanzitutto osservando che(1) il caricoconcentrato è un’astrazione matematicae che il carico sarà inpratica applicato a un’area molto piccola



Inoltre (2) vengonomeno le ipotesi di basedella teoria, così

R

Inoltre (2) vengonomeno le ipotesi di basedella teoria, cosìcome avviene anche per i carichi non concentrati ma ripartiti suuna area molto piccola.

In particolare, leσz non saranno più trascurabili mentre le forzedi taglio in prossimità del carico concentrato saranno così grandida NON potersi più ammettere la CONSERVAZIONE DEISEGMENTI RETTILINEI



In sostanza ciò vuol dire che i risultati della trattazione del caricoconcentrato sono validisoltanto ad una certa distanza dal

R

punto di applicazione del carico stesso

In tal modo sono sempre verificate le ipotesi di calcolo mentre peril principio di de Saint Venant non si risentono gli effetti dellaconcentrazione del carico

La distanza può essere assunta pari allo spessore della piastra

Per r<h le tensioni devono essere determinate utilizzando lateoria dell’elasticità


Piastra appoggiata al contorno

Si può operare per sovrapposizione degli effetti

R

-M -M

In unaprima fase si considera una piastra incastrata e si calcola ilmomento radialeM all’incastro dovuto al carico

In unaseconda fasesi considera la piastra appoggiata soggetta adun momentoM negativo applicato al bordo

-M -M



La soluzione risulterà dalla sovrapposizione delle due fasi.

In particolare risulta:

Dall’equazione generale dei momenti per la piastra circolare:

0=rM Rr =Per

( ) ( ) ( )221

00 02

12

11

r

CCQddQd

rM

rr

r ννρρρρν ρ

−−+++′

′−−= ∫∫ ∫

′

( ) ( ) ( )221

00 02 1

21

1

r

CCQddQd

rM

rr


−++++′

′−= ∫∫ ∫

′

PIASTRA APPOGGIATA AL CONTORNO


Nella seconda fase risulta Q = 0 e quindi, ricordando che in talecondizione risulta:

02 =C

( )MCMM tr =+== 12

1 νMCMM tr === 12

( ) rD

MC

r

D νϕ

+−=−=

12

11

In sostanza per un momento costante applicato al contorno, lapiastra circolare è soggetta aFLESSIONE SFERICA

Casi particolari

Il momento M all’incastro (r = R ) vale:

a) Carico uniformemente ripartito

8

2RbM z

rinc =

Quindi il momento da applicare al bordo vale8

2RbM z

rinc −=−


8M rinc −=−

I momenti Mt ed Mr della piastra appoggiata valgono:

( ) ( ) ( )

−+−=−

+−+−=

R

rRbRb

R

rRbM zzz

r

22222

13168

3116

ννν

( ) ( ) ( )

+−+−=−

+−+−=

R

rRbRb

R

rRbM zzz

r

22222

313168

31116

νννν

Casi particolari

All’incastro ( r = R ) si ha:

a) Carico ripartito lungo una circonferenza di raggio R1 < R

( ) ( )( )

−=

−

+−+

−+−=

2

1

2

1

2

1 111

11 RPRRP

M r πνν

πν


All’interno della circonferenza caricata si ha:

( )

−=

−+

+

−−= 14

11

18 RRR

M r πνπ

( )

−−

+

−+==2

1

2

1

2

1 14

ln18

1

R

RP

R

R

R

RPMM tr ππ

ν

Casi particolari

a) Carico ripartito lungo una circonferenza di raggio R1 < R

All’interno della circonferenza caricata si ha:

( ) ( )

−−−

+==2

1

2

1 11ln8

1

R

R

R

RPMM tr ν

πν


( )

−−−

== 11ln8 RR

MM tr νπ

Analogamente si possono determinare i momenti all’esternodella circonferenza caricata

Seguendo la stessa procedura è possibile studiare qualsiasi altracombinazione di carico

Lezione 5.Le Piastre Circolari

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