Teoria delle piastre inflesse

TEORIA DELLE LASTRE INFLESSE

1. Premesse

Nelle strutture navali gli elementi componenti il fondo, i ponti, le paratie sono essenzialmente costituiti dal complesso fasciame- nervature; tale complesso strutturale può essere ricondotto al sistema lastra-irrigidimenti, in generale a contorni rettangolari.

Le nervature di irrigidimento possono essere disposte a maglia ortogonale o in una sola direzione. Nel caso del doppio fondo le nervature sono assemblate ad una lastra posta al lembo superiore e ad una posta a quello inferiore; negli altri componenti la lastra è presente da un solo lato.

L’insieme strutturale può essere sottoposto a carichi posti nel piano del fasciame ed a carichi ad esso perpendicolari.

Nella teoria delle lastre si suppone siano presenti solamente carichi agenti ortogonalmente. Nel caso dei ponti tale ipotesi semplificativa non è rispettata se non per quei ponti che sono posti in prossimità dell’asse baricentrico della sezione trasversale della trave scafo, o per strutture limitate (copertini) che non partecipano alla robustezza longitudinale dello scafo.

La struttura costituita da fasciame e nervature, sottoposta al solo carico flessionale, può essere ricondotta a modelli semplificati di cui è possibile formulare trattazioni analitiche quali:

• lastra ortotropa

• grigliato di travi

• pannello isolato

Il primo caso, per poter essere applicato correttamente, richiede la presenza di nervature molto fitte.

Lo schema a grigliato consente di risolvere la struttura riconducendola ad un modello costituito di soli elementi “trave”: ciascuno di essi è ottenuto associando alla sezione costituente la nervatura una striscia di fasciame denominata “striscia associata” che collabora alla rigidezza dell’insieme fasciame-nervatura.

Ciascuno dei pannelli di fasciame delimitati dalle nervature è poi riconducibile ad un elemento in regime di lastra inflessa, le cui condizioni al contorno (vincoli) sono realizzate dagli irrigidimenti.

2. Applicabilità delle varie teorie

Per lo studio della lastra inflessa esistono fondamentalmente due formulazioni analitiche distinte:

Donatella Mascia Teoria delle lastre inflesse

2

• Teoria classica di Lagrange (small deflection)1

• Teoria di Von Kármán (large deflection)2

In funzione delle ipotesi su cui si basa ciascuna trattazione occorre individuare la schematizzazione che meglio si adegua allo studio del comportamento della struttura reale, non necessariamente legata al grado di complessità matematica ad essa connessa.

Le diverse teorie possono essere applicate a lastre caratterizzate da differenti rapporti dimensionali, o alla stessa struttura in diverse fasi dello stato di sollecitazione e di tensione (ad esempio in funzione dell’intensità del carico).

Poiché l’obbiettivo finale del progetto consiste nello stabilire il massimo carico (a parità di distribuzione) che può essere sopportato dalla struttura prima del collasso, il perseguimento di tale obbiettivo ha portato a sviluppare anche teorie applicabili in campo plastico.

Si consideri ad esempio una lastra di medio spessore (su tale concetto si tornerà più avanti), di materiale perfettamente elastico ed isotropo; per carichi di modesta intensità il comportamento potrà essere correttamente studiato mediante la teoria classica di Lagrange. All’aumentare della deformazione si svilupperanno anche tensioni di tipo membranale che renderanno il comportamento più prossimo a quello descritto della teoria dei grandi spostamenti. Supponendo che, al crescere del carico, il materiale continui a mantenersi in campo elastico si ricadrà nella teorie della membrana di Föppl. Se, al contrario, si verificassero fenomeni plastici occorrerà fare ricorso alla teoria elasto-plastica.

Con riferimento allo spessore può essere fatta una distinzione fondamentale in tre classi; si definiscono così tre comportamenti distinti in funzione dello spessore riferito alla deformazione massima:

• Lastra spessa: si applica la teoria classica tenendo conto del contributo di deformazione a taglio (teoria di Lagrange, modificata da Reissner). Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta prima dell’insorgere di tensioni membranali non trascurabili. Il carico di collasso può essere individuato mediante la teoria della linea di snervamento formulata da Johansen.

• Lastra molto sottile: si applica la teoria delle membrane di Föppl. Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta in regime membranale. Il comportamento a collasso può essere trattato con la formulazione di Greenspon.

• Lastra di spessore medio: è la più comunemente impiegata nella progettazione delle strutture navali. Si applica la teoria classica di Lagrange. Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta quando le tensioni membranali non sono più trascurabili. L’approccio in campo elasto-plastico può essere condotto applicando la trattazione proposta da Clarkson.

1 Teoria inizialmente formulata da Sofia Germain nel 1815 e successivamente corretta da J.L.Lagrange nel 1886, successivamente ampliata da Reissner ed altri introducendo la deformazione a taglio (1944-45) 2 Von Kármán (1910)


3

3. Condizioni al contorno

Le lastre, come componenti delle strutture navali, sono connesse ad altri elementi strutturali che costituiscono le condizioni al contorno, cioè le condizioni di vincolo per le lastre stesse.

In funzione della rigidezza degli elementi e del tipo di connessione si possono identificare i seguenti tipi di vincolo:

appoggio semplice

incastro

vincolo cedevole elasticamente alla traslazione in direzione ortogonale al piano della lastra

vincolo cedevole elasticamente alla rotazione (flessionale e/o torsionale)

Più avanti verranno formulate altre considerazioni sulle condizioni al contorno.

4. Metodo di Bach

Si tratta di un metodo approssimato che consente, in alcuni casi particolari, di calcolare il momento flettente totale M in una particolare sezione di una lastra, vincolata con semplice appoggio, facendo uso, come per le travi isostatiche, della sola condizione di equilibrio.

Si consideri (fig. 1) una lastra circolare di raggio R, appoggiata sul contorno, sottoposta ad un carico uniformemente ripartito di intensità p. Presa in esame una sezione lungo un diametro, con considerazioni di equilibrio, si ricava la risultante del momento flettente M che metà lastra trasmette alla rimanente lungo il diametro.

Fig. 1

La risultante delle reazioni vincolari di metà lastra sarà applicata nel baricentro G della semicirconferenza, la cui distanza dal centro risulta, come noto (vedi fig. 2):

π==

r2OGu (4.1)


4

Fig. 2

Tale risultante vale:

2rpR

2π= (4.2)

La risultante dei carichi agenti su metà lastra sarà applicata nel baricentro G1 del semicerchio, la cui distanza dal centro risulta, come noto (vedi fig. 3):

π

==r

34OGv 1 (4.3)

Tale risultante vale ancora:

2rpR

2π= (4.4)

La distanza tra G e G1 è espressa da:

π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π=

r32

342rvu (4.5)

Fig. 3

La risultante dei momenti distribuiti lungo il diametro è quindi:


5

3rpr

32

2rpM

32=

π×π= (4.6)

ed il valore medio, nell’ipotesi di distribuzione costante lungo il diametro, risulta:

6pr

R2Mm

2== (4.7)

5. La lastra di lunghezza infinita.

La soluzione particolare precedentemente esaminata (metodo di Bach) fornisce una soluzione approssimata, in quanto consente la determinazione della risultante M dei momenti flettenti, mentre la distribuzione lungo il diametro, staticamente indeterminata, viene ipotizzata costante. In realtà la distribuzione del momento flettente lungo il diametro varia con legge parabolica dal valore zero sul contorno al valore massimo al centro della lastra.

Fig. 4

Le lastre, essendo elementi bidimensionali, sono caratterizzati da flessione in due direzioni ortogonali, e lo studio risulta più complesso di quello della trave.

Si ha infatti un’indeterminazione statica interna, che non esiste per le travi: non si conosce la distribuzione dei momenti che una parte della struttura trasmette all’altra.

A differenza di quanto avviene per le travi risulta in questo caso impedita la contrazione trasversale ed è inoltre presente, nelle varie sezioni, una sollecitazione di momento torcente.

Un caso particolare che merita di essere analizzato è la lastra di lunghezza infinita. Assunta l’ipotesi di spessore t costante e di un carico uniformemente


6

ripartito, agente ortogonalmente al piano medio della lastra, questa presenta una configurazione deformata, denominata superficie elastica, di forma cilindrica: l’inflessione, infatti, si manifesta in una sola direzione. Indicato con rx il raggio di curvatura della superficie elastica, con riferimento agli assi3 indicati in fig. 4, la componente di deformazione εx è così espressa:

xx r

zx

zdxdu

=∂φ∂

==ε (5.1)

Fig. 5

Considerata una striscia di larghezza da, se si trattasse di una trave isolata, la sezione trasversale si deformerebbe come indicato in fig. 5, e la curvatura in direzione y risulterebbe:

xy r1rν

= (5.2)

essendo ν il coefficiente di contrazione trasversale proprio del materiale.

Trattandosi invece di una striscia appartenente alla lastra, si impone che vi sia la continuità tra le sezioni adiacenti; la deformazione εy è impedita dalle strisce adiacenti (εy=0) e nasce una tensione trasversale xy σν=σ .

Scrivendo le equazioni di deformazione si ha:

( )yxx E1

νσ−σ=ε (5.3)

( ) 0E1

xyy =νσ−σ=ε (5.4)

dalla seconda si ricava: 3 L’origine della terna di riferimento è posta a metà spessore della lastra.


7

xy νσ=σ (5.5)

e, sostituendo tale espressione nella prima:

( )2xx 1

Eν−

σ=ε (5.6)

da cui:

( ) x2x1

Eε

ν−=σ (5.7)

Per la lastra si definisce quindi convenzionalmente il modulo E’

( ) E1

E'E 2 >ν−

= (5.8)

Da quanto esposto precedentemente risulta che una lastra è sempre più rigida di un sistema di travi affiancate4. Nel caso di lastra di lunghezza infinita la maggior rigidezza è dovuta all’impedita contrazione trasversale ed è espressa facendo riferimento al modulo convenzionale E'.

Nel caso di carico uniformemente ripartito le espressioni della deformazione massima (freccia in mezzeria), con riferimento alla lastra di lunghezza infinita ed alla trave vengono messe a confronto, nella tab. T1, nelle due ipotesi di appoggio semplice e di incastro. Per la lastra si fa riferimento ad una striscia unitaria. L’inerzia I della striscia unitaria, di spessore t ha, come noto, l’espressione I= t3/12.

Carico p uniforme

Deformazione massima in mezzeria w

Vincolo Lastra di lunghezza ∞ e luce b

Trave di luce l

Semplice appoggio I'E

pb384

5w4

= EJpl

3845w

4=

Incastro I'Epb

3841w

4= EJ

pl3841w

4=

Tab. T1

5.1 Relazione momenti – curvature

Adottata l’ipotesi della conservazione del segmento piano, imponendo l’equilibrio tra forze esterne ed interne per la striscia unitaria, si ha:

4 A titolo di esempio, per un valore del coefficiente ν=0.33 risulta (1-ν2) = 0.89 ed E’ = 1.123 E.


8

momento flettente esterno = momento interno delle tensioni

( ) zdz1

EzdzM x2t

2t

2

2t

2t

x εν−

=σ= ∫∫−−

(5.9)

L’allungamento unitario in direzione x è dato da:

xx r

z=ε (5.1 rip)

L’espressione del momento risulta quindi:

( ) ( ) xx2

3

x

22t

2t

2 rD

r1

112Etdz

rz

1EM =

ν−=

ν−= ∫−

(5.10)

dove D rappresenta la costante di proporzionalità fra momenti e curvature, analogamente alla rigidezza k per la trave.5 5.2 Relazione spostamenti – curvature

Indicato con w lo spostamento in direzione z (ortogonale al piano medio della lastra), nell’ipotesi adottata di spostamenti e rotazioni infinitesimi, lo spostamento u su una fibra posta a distanza z dal piano medio è espresso dalla relazione

xwzu∂∂

−=

La curvatura k risulta quindi:

2

2x

x xw

xu

z1

zr1k

∂

∂−=

∂∂

=ε

== (5.11)

da cui6:

2

2

xwDM

∂

∂−= (5.12)

La soluzione è ottenuta dall’integrazione della (5.12).

Il momento flettente, nel caso di una distribuzione di carico p uniforme, è proporzionale al termine (pb2); la massima tensione è quindi proporzionale al termine pb2/(t2/6) e può essere espressa come segue:

5 Per la trave si ha k=1/r = M/EJ Per la lastra si ha k=1/rx=M/D, essendo D=E’I con E’ =E/(1-ν2) 6 Analoga all’espressione M=-EJ d2w/dx2 riferita alla trave


9

2

cmax tbpk ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=σ (5.13)

dove kc esprime un coefficiente che tiene conto delle condizioni al contorno.

Fig. 6

Per vincolo di appoggio semplice7 risulta: kc = 3/4; per vincolo di incastro: kc = 1/2.

Analoghe espressioni di kc si trovano in letteratura per lastre con deformate a doppia curvatura, dove il coefficiente kc conterrà anche il rapporto dimensionale tra i lati (a/b).

6. La formulazione della lastra inflessa

Come già accennato le ipotesi fondamentali alla base della trattazione possono essere così sintetizzate:

I. Conservazione del segmento piano

Tale ipotesi, analoga all’ipotesi di Bernoulli-Navier di conservazione delle sezioni piane per le travi, consiste nel supporre quanto segue:

7 Appoggio: σmax=pb2/8/(t2/6)=6/8 p (b/t)


10

un segmento rettilineo e normale al piano medio della lastra, dopo la deformazione si mantiene ancora rettilineo e normale alla superficie elastica

Affinché tale ipotesi possa essere rispettata lo spessore t, costante, dovrà essere abbastanza piccolo, perché la deformazione a taglio sia trascurabile rispetto alla deformazione flessionale.

II. Tensioni σx e σy nulle sul piano medio della lastra

Tale ipotesi è ammessa se si verificano le seguenti circostanze:

II.a) gli spostamenti elastici w fuori del piano sono abbastanza piccoli rispetto allo spessore t (wmax<3/4 t)

Se lo spessore è molto piccolo (lastre sottilissime) le deformazioni εx ed εy non sono più trascurabili nelle fibre poste sulla superficie media e quindi σx e σy sono diverse da zero su tale superficie (contraddistinta da z=0). Si è in tal caso in regime di grandi deformazioni. La lastra non deve quindi essere sottilissima, ossia deve essere sufficientemente rigida flessionalmente per non comportarsi come una membrana.

II.b) La lastra non è trattenuta al contorno

Essa deve poter scorrere nel suo piano, altrimenti nel verificarsi della deformazione si dilata anche il piano medio e nascono su tale piano tensioni σx e σy.

III. Il legame costitutivo è elastico

Ovunque la tensione è inferiore alla tensione di snervamento del materiale

IV. Il carico è di tipo flessionale, ortogonale al piano medio della lastra

Tutti i punti della superficie media si spostano solo secondo l’asse z, normale al piano medio della lastra.

Per l’ipotesi IIa) (spostamenti fuori del piano abbastanza piccoli rispetto allo spessore) è lecito confondere gli angoli φ con le tangenti di φ e le curvature con le derivate seconde di w. Si può quindi scrivere8:

ywztgzv

xwztgzu

y

x

∂∂

−≅φ−=

∂∂

−≅φ−= (6.1)

8 u e v risultano proporzionali alla distanza z dal piano medio.


11

yyw

r1

xxw

r1

y2

2

y

x2

2

x

∂

φ∂−=

∂∂

−=

∂φ∂

−=∂∂

−= (6.2)

dove:

xwtg xx ∂∂

=φ≅φ ; ywtg yy ∂∂

=φ≅φ (6.3)

e si suppone inoltre 0z =σ :

Se la faccia superiore della lastra è soggetta ad un carico ripartito di valore unitario p, in realtà esiste una σz variabile da –p in z = -t/2 a 0 in z = +t/2; se tuttavia lo spessore è piccolo la p non può avere un valore elevato e σz è molto piccolo rispetto a σx σy e τxy.

Dalle 6.1rip, che descrivono lo stato di spostamento, si può ricavare l’espressione dello stato di deformazione, essendo )y,x(ww = lo spostamento laterale:

xwzu∂∂

−= ywzv∂∂

−= (6.1 rip)

2

2

xxwz

∂

∂−=ε 2

2

yywz

∂

∂−=ε (6.4)

Occorre ancora esaminare la deformazione angolare γxy.

Vediamo prima le altre componenti di deformazione che, per le ipotesi introdotte, risultano nulle.

Per l’ipotesi di conservazione del segmento piano risulta:

0zw

z =∂∂

=ε (6.5)

Dalle note espressioni di γxz e γyz fornite dalla teoria dell’elasticità, derivando le (6.1 rip) e sostituendo si ha:

0yw

yw

yw

zv

0xw

xw

xw

zu

yz

xz

=∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

=γ

=∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

=γ

(6.6)


12

Per esprimere la deformazione angolare γxy consideriamo, con riferimento alla fig. 7, un punto A appartenente ad un piano, posto a distanza z dal piano medio (l’origine di z è coincidente con il piano medio, denominato superficie neutra).

Fig.7

A deformazione avvenuta il punto A si sposta in A’ con spostamenti u e v.

A distanza dx da A il punto B si sposta della quantità: dxxvv∂∂

+

Analogamente il punto D, distante dy da A si sposta in direzione x della

quantità: dyyuu∂∂

+

Il cambiamento d’inclinazione del lato AB sarà dato da xv∂∂ ; quello del lato

AD sarà: yu∂∂ .

Il rettangolo ABCD diventerà un parallelogramma A’B’C’D’ e la deformazione tangenziale, cioè la variazione dell’angolo retto, sarà lo scorrimento mutuo delle giaciture x, y nell’intorno di A:


13

yxwz2

xv

yu 2

xy ∂∂∂

−=∂∂

+∂∂

=γ (6.7)

La superficie elastica sarà in generale una superficie a doppia curvatura, di raggi rx ed ry.

Isolando un elemento infinitesimo (dx, dy) vi saranno, lungo i contorni, i momenti distribuiti per unità di lunghezza mx, my, mxy.

Riassumendo, le note relazioni di elasticità possono essere così riscritte (vedi equazioni 6.4 e 6.7):

Legge di Hooke Relazione deformazioni-curvature

EEyx

xσ

ν−σ

=ε (6.8) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂

∂−=

∂∂

=εx

2

2

x rz

xwz

xu

EExy

yσ

ν−σ

=ε (6.9) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂

∂−=

∂∂

=εy

2

2

y rz

ywz

yv

Gxy

xyτ

=γ yx

wz2xv

yu 2

xy ∂∂∂

−=∂∂

+∂∂

=γ

Fig. 8

Si può osservare che tali espressioni dipendono tutte da z.

Sommando alla (6.8) la (6.9) moltiplicata per ν si ha:


14

( )2xy2yyxyx 1

EEEEEν−

σ=

σν−

σν+

σν−

σ=νε+ε (6.10)

sostituendo le (6.4)

2

2

xxwz

∂

∂−=ε 2

2

yywz

∂

∂−=ε (6.4rip)

si ha:

( )( ) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

ν+∂∂

−ν−

=νε+εν−

=σ 2

2

2

2

2yx2x yw

xwz

1E

1E (6.11)

Analogamente si possono ricavare le espressioni di σy e di τxy:

( )( ) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

ν+∂∂

−ν−

=νε+εν−

=σ 2

2

2

2

2xy2y xw

ywz

1E

1E (6.12)

yxwGz2G

2

xyxy ∂∂∂

−=γ=τ (6.13)

7. Considerazioni riassuntive

Nella trattazione della lastra inflessa sono state introdotte le seguenti ipotesi semplificative:

• σzz=0

• i punti sul piano medio della lastra subiscono spostamenti9 nella sola direzione z

• tutti i punti che stanno su un segmento perpendicolare al piano medio hanno lo stesso spostamento w

• un segmento piano si mantiene tale dopo la deformazione (la tangente è uguale alla derivata di w rispetto a x): lo stato di spostamento è espresso in funzione di w

xwzu∂∂

−= ; ywzv∂∂

−= ; )y,x(ww =

Alla luce delle ipotesi enunciate e delle approssimazioni introdotte lo stato di deformazione è così espresso:

2

2

x xwz

xu

∂∂

−=∂∂

=ε

9 Lo spessore deve essere piccolo per rispettare l’ipotesi della conservazione del segmento piano; lo spessore non dev’essere piccolissimo affinché le tensioni membranali siano trascurabili.


15

2

2

yywz

yv

∂

∂−=

∂∂

=ε

0zw

z =∂∂

=ε [essendo )y,x(ww = ]

yxwz2

yxw

yxwz

xv

yu 222

xy ∂∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

+∂∂

∂−=

∂∂

+∂∂

=γ

0xw

xw

xw

zu

xz =∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

=γ

0yw

yw

yw

zv

yz =∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

=γ

Anche lo stato di deformazione risulta noto se è noto lo spostamento laterale w, cioè se è nota l’equazione della superficie elastica.

Fig. 9

8. Condizioni di equilibrio

Si esprima per il parallelepipedo elementare di dimensioni infinitesime dx, dy, dz, l’equilibrio alla traslazione in x (vedi fig. 10):


16

Fig. 10

0dxdydxdydzz

dxdzdxdzdyy

dydzdydzdxx

zxzx

zx

yxyx

yx

xx

x

=τ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂τ∂

+τ+

τ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

τ∂+τ+

σ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂σ∂

+σ

dove i termini fuori parentesi esprimono l’area su cui agisce la tensione; semplificando si ha dunque:

0zyxzxyxx =∂τ∂

+∂

τ∂+

∂σ∂ (8.1)

Analogamente, esprimendo l’equilibrio alla traslazione in y, si ottiene:

0zyxyzyxy =

∂

τ∂+

∂

σ∂+

∂

τ∂ (8.2)

Dalle (8.1) e (8.2) si ricava:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

τ∂+

∂σ∂

−=∂τ∂

yxzyxxzx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

σ∂+

∂

τ∂−=

∂

τ∂

yxzyxyyz

e, per le (6.11), (6.12), (6.13)


17

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

ν−+∂∂

∂ν+

∂∂

ν−=

∂τ∂

2

3

2

3

3

3

2xz

yxw1

xyw

xwz

1E

z

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

ν+∂∂

+∂∂

∂ν−

ν−=

∂τ∂

yxw

yw

yxw1z

1E

z 2

3

3

3

2

3

2yz

e sviluppando si ottiene:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

+∂∂

ν−=

∂τ∂

2

3

3

3

2xz

yxw

xwz

1E

z (8.3)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂ν−

=∂τ∂

3

3

2

3

2yz

yw

yxwz

1E

z (8.4)

Integrando le (8.3) e (8.4) si ottengono per le tensioni tangenziali τxz e τyz espressioni non nulle, in funzione di z2 (cioè con distribuzione parabolica sullo spessore).

Ricordando le note relazioni tensione-deformazione alla base della teoria dell’elasticità (Legge di Hooke), tenuto conto delle relazioni (6.6)

00 yzxz =γ=γ

dovrebbe risultare:

eaccettabilnon0G

eaccettabilnon0G

yxwGz2

G

yzyz

yz

xzxz

xz

2

xyxy

xy

=τ⇒τ

=γ

=τ⇒τ

=γ

∂∂∂

−=τ⇒τ

=γ

Da ciò risulterebbero necessariamente nulle le tensioni tangenziali corrispondenti, ma questo è in contrasto con le condizioni di equilibrio e quindi non può essere accettato. Le tensioni τxz e τyz devono dare risultanti non nulle in direzione z, per equilibrare il carico verticale (equilibrio alla traslazione in direzione z).

Nella trattazione si rinuncia quindi al soddisfacimento della congruenza per garantire l’equilibrio.

Le espressioni per τxz e τyz si ottengono integrando le (8.3) e (8.4)

( ) 08t

2z

yxw

xw

1E 22

2

3

3

3

2xz ≠⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

+∂∂

ν−=τ (8.5)

( ) 08t

2z

yw

yxw

1E 22

3

3

2

3

2yz ≠⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂ν−

=τ (8.6)


18

Consideriamo l’elemento infinitesimo dx dy. La distribuzione delle tensioni sullo spessore, in analogia a quanto avviene per la trave, è di tipo lineare per le tensioni σx, σy e τxy mentre per le tensioni τxz e τyz è di tipo parabolico, come illustrato in fig. 11.

Fig. 11

Se non fossero presenti le tensioni τxy, la lastra potrebbe essere assimilata ad una doppia serie di travi disposte ortogonalmente tra loro.

9. Le caratteristiche di sollecitazione

Poiché, per le citate ipotesi, risultano note le distribuzioni delle tensioni sullo spessore, integrando su di esso si possono considerare le loro risultanti. Vengono così introdotte, con riferimento all’elemento unitario, le caratteristiche di sollecitazione, avendo indicato con t lo spessore della lastra, ipotizzato costante. Si ha quindi:

0dzN0dzN0dzN2

t

2t

xyxy2

t

2t

yy2

t

2t

xx =τ==σ==σ= ∫∫∫−−−

Tali caratteristiche di sollecitazione rappresentano le caratteristiche non nulle per la lastra caricata parallelamente al suo piano medio

dz)z(yw

xw

1Ezdzm

2t

2t

22

2

2

22t

2t

2xx ∫∫−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

∂ν+

∂

∂

ν−−=σ=


19

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂ν+

∂

∂−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂ν+

∂

∂

ν−−= 2

2

2

2

2

2

2

23

2 yw

xwD

yw

xw

12t

1E

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂ν+

∂

∂−=σ= ∫

−2

2

2

22t

2t

yyxw

ywDzdzm

( )yx

w1Ddzyx

wGz2zdzm22

t

2t

222

t

2t

xyxy ∂∂∂

ν−=∂∂

∂=τ−= ∫∫−−

ponendo attenzione al segno10

Con riferimento alle note relazioni:

( )12t

1ED

3

2ν−= ( )ν+=

12EG

riassumendo si ha:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂ν+

∂

∂−= 2

2

2

2

xyw

xwDm (9.1)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂ν+

∂

∂−= 2

2

2

2

yxw

ywDm (9.2)

( ) yx

2

xy myx

w1Dm −=∂∂

∂ν−= (9.3)

Le tensioni τxz e τyz danno origine a forze di taglio per unità di lunghezza, così espresse:

∫−

τ=2

t

2t

xzx dzq (9.4)

∫−

τ=2

t

2t

yzy dzq (9.5)

10 Nell’espressione di mxy il cambiamento di segno è dovuto alla convenzione adottata per le τxy indicata in fig. 11. La convenzione assunta per le τxy corrisponde a segno opposto alla terna al lembo inferiore. Per le altre tensioni al lembo inferiore il segno è concorde.


20

Fig. 12

10. Equazione biarmonica di Lagrange

Con riferimento alla fig. 12, si esprimono ora le condizioni di equilibrio:

equilibrio alla traslazione verticale:

0dydxpdxqdxdyy

qqdyqdydx

xqq y

yyx

xx =+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

da cui:

0py

qx

q yx =+∂

∂+

∂∂

(10.1)

equilibrio alla rotazione attorno alla retta A-B (disposta parallela all’asse x).

0dxdyqdxdyy

mmdxmdymdydx

xm

m yy

yyxyxy

xy =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

da cui:

0qy

mx

my

yxy =+∂

∂−

∂

∂ (10.2)


21

Si osserva che le forze agenti su piani ortogonali al piano xz non danno contributo.

Analogamente, per l’equilibrio intorno ad y, tenuto conto che mxy= -myx si ha:

0qx

my

mx

xxy =−∂∂

+∂

∂− (10.3)

Sostituendo nella (10.1) le (10.2) e (10.3) si ottiene:

0px

my

my

xm

ym

x

xyy

xxy

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂−

∂∂

(10.4)

e, sviluppando:

0py

myx

m2

xm

2y

2xy

2

2x

2=+

∂

∂+

∂∂

∂−

∂

∂ (10.5)

Sostituendo nella (10.5) le espressioni

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂ν+

∂

∂−=

2

2

2

2

xyw

xwDm (9.1rip)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂ν+

∂

∂−= 2

2

2

2

yxw

ywDm (9.2rip)

( ) yx

2

xy myx

w1Dm −=∂∂

∂ν−= (9.3rip)

si ottiene

( ) px

wywD

yyxw1D

yx2

yw

xwD

x 2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ν+

∂

∂−

∂

∂+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂∂

ν−∂∂

∂−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ν+

∂

∂−

∂

∂

da cui:

Dp

yw

yxw2

xw

4

4

22

4

4

4=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂ (10.6)

con w < t/2 e

12t

1ED

3

2ν−=

La (10.6) è l’equazione differenziale della superficie elastica, denominata equazione biarmonica di Lagrange; in forma compatta può essere così riscritta:


22

Dpw4 =∇ (10.7)

L’equazione è valida solo se i contorni della lastra sono liberi di scorrere orizzontalmente (nel piano della lastra), non inducendo tensioni sul piano medio. Essa tuttavia è ancora applicabile, anche nel caso in cui la lastra sia trattenuta sul contorno, se la deformazione massima fuori del piano è abbastanza piccola (wmax<3/4 t), perché in tal caso le tensioni normali sul piano medio si mantengono comunque tanto modeste da poter essere trascurate.

11. Le forze di taglio

Si ricavano ora le espressioni delle forze di taglio in funzione dello spostamento.

Ricordando le (10.2) e (10.3)

xm

ym

q xyyy ∂

∂−

∂

∂= (10.2rip)

ym

xm

q xyxx ∂

∂−

∂∂

= (10.3rip)

e sostituendovi le

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂ν+

∂

∂−= 2

2

2

2

xyw

xwDm (9.1rip)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂ν+

∂

∂−= 2

2

2

2

yxw

ywDm (9.2rip)

( ) yx

2

xy myx

w1Dm −=∂∂

∂ν−= (9.3rip)

si ha:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂ν+

∂∂

∂−

∂∂

∂ν−

∂

∂−= 2

3

2

3

2

3

3

3

xyxw

yxw

yxw

xwDq

e quindi:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂∂∂

−= 2

2

2

2

xyw

xw

xDq (11.1)

e, analogamente:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂∂∂

−= 2

2

2

2

yxw

yw

yDq (11.2)


23

Da queste, applicando l’espressione della teoria approssimata del taglio, si potranno ricavare le tensioni tangenziali τxz e τyz (vedi equazioni 9.4 e 9.5)

∫−

τ=2

t

2t

xzx dzq (9.4rip)

∫−

τ=2

t

2t

yzy dzq (9.5rip)

Nella tavola A1 in appendice vengono messe a confronto le equazioni differenziali ottenute per la lastra inflessa con quelle della trave inflessa. Per determinare le soluzioni particolari si introducono, nei singoli casi, le relative condizioni al contorno.

12. Considerazioni intuitive

Come già visto al paragrafo 5 una lastra di lunghezza infinita, cioè vincolata lungo due soli lati paralleli, si comporta come una serie di travi affiancate che si aiutano con la sola contrazione trasversale impedita; per questo contributo la rigidezza passa dal termine EJ al termine EJ/(1-ν2), maggiore di EJ. La massima freccia w diminuisce di una quantità rappresentata dal rapporto 1/(1-ν2).

Quando invece la lastra, assunta di forma rettangolare, sia vincolata lungo tutti e quattro i lati, essa può essere considerata costituita da due serie di strisce ortogonali collaboranti. Le strisce in una direzione sostengono quelle in direzione perpendicolare (vedi fig. 13).

Ma non solo questo; come illustrato in fig. 13, la flessione delle strisce AB costringe le strisce CD a torcersi e queste, a loro volta, reagendo, trasmettono momenti torcenti e viceversa. Questi momenti, denominati momenti di sostentamento, sono di versi opposti sulle due metà, come illustrato in fig.14.

Fig.13


24

Fig. 14

Le stesse considerazioni valgono considerando due strisce contigue (fig. 15); la striscia CD, più prossima al lato vincolato, s’inflette meno della striscia AB , ad essa adiacente: le configurazioni deformate assunte dalle due strisce sono quindi diverse.

Se le strisce fossero indipendenti le loro facce comuni scorrerebbero l’una rispetto all’altra; essendo invece tra loro collegate, sulle facce comuni si generano deformazioni di scorrimento e, conseguentemente, tensioni tangenziali (τxy e τyx) le cui risultanti sono rappresentate dai momenti torcenti mxy e myx (fig. 16).

Fig. 15


25

Ogni striscia AB riceve dalla striscia EF momenti che la deprimono e dalla striscia CD momenti che la sostengono.

Poiché tali momenti myx crescono dalla mezzeria della lastra, dove sono nulli, verso gli appoggi, prevalgono i momenti di sostentamento, il cui verso è rappresentato sulla striscia denominata CD in fig. 16.

Ogni striscia è sostenuta dalla porzione di lastra compresa fra essa e l’appoggio più prossimo, mediante i momenti torcenti. Questi momenti sono successivamente trasmessi alle altre strisce, fino a scaricarsi sull’appoggio sotto forma di un aumento della reazione.

I benefici dei due tipi di collaborazione sono massimi per la lastra quadrata (a = b) e diminuiscono al crescere del rapporto b/a per le lastre rettangolari, diventando trascurabili per b/a > 2.

Fig.16

13. Metodi di soluzione

La soluzione si ottiene dall’equazione differenziale

Dpw4 =∇ (10.7rip)

completata dalle condizioni al contorno. 13.1 Sollecitazioni su una giacitura qualsiasi

Il momento flettente ed il momento torcente non esistono soltanto sulle sezioni normali agli assi x ed y, ma anche su qualsiasi altra sezione normale al piano medio della lastra.

Nell’intorno di un punto qualsiasi essi variano al variare dell’orientamento della sezione che si considera e possono essere determinati quando siano noti i valori sulle facce (x e y) normali agli assi di riferimento.

Si consideri il prisma infinitesimo, illustrato in fig. 17.


26

Si esprima l’equilibrio alla traslazione, trascurando il contributo dovuto al carico (pari a P/2 ds2senθcosθ), perché infinitesimo del second’ordine:

0dsqsendsqcosdsq nyx =+ϑ−ϑ− (13.1)

Dalla (13.1) si ha dunque:

ϑ+ϑ= senqcosqq yxn (13.2)

Noti che siano qx e qy questa relazione permette di calcolare il taglio in una qualsiasi giacitura.

Fig. 17

Si esprima l’equilibrio alla rotazione attorno all’asse s:

0dsmdscossenmdssenm

dscossenmdscosm

nyx2

y

xy2

x

=+ϑϑ−ϑ−

+ϑϑ+ϑ−

Ricordando che mxy= – myx si ha ancora:


27

ϑ+ϑ+ϑ= 2senmsenmcosmm yx2

y2

xn (13.3)

Si esprima ora l’equilibrio attorno all’asse n,

0dsmdssenmdscossenm

dscosmdscossenm

ns2

yxy

2xyx

=+ϑ−ϑϑ+

+ϑ−ϑϑ−

da cui:

( ) 0msencosmcossenmcossenm ns22

yxyx =+ϑ−ϑ+ϑϑ+ϑϑ−

e infine:

ϑ−ϑ−

= 2cosm2sen2

mmm yx

yxns (13.4)

I contributi dovuti alle forze di taglio sono stati trascurati perché infinitesimi del second’ordine.

Riassumendo si ha quindi:

ϑ+ϑ+ϑ= 2senmsenmcosmm yx2

y2

xn (13.3rip)

ϑ−ϑ−

= 2cosm2sen2

mmm yx

yxns (13.4rip)

Fig. 18

Le relazioni sono analoghe a quelle della lastra caricata nel suo piano, con la seguente corrispondenza:


28

xyxy

yy

xx

Nm

NmNm

↔

↔↔

14. Sollecitazioni principali: il cerchio di Mohr.

Si può utilizzare quindi il cerchio di Mohr, di cui si ricordano le relazioni fondamentali.

In ogni punto di un continuo esistono due direzioni ortogonali ξ ed η denominate direzioni principali tali che sulle sezioni normali ad esse i momenti mξ ed mη sono uno massimo ed uno minimo, mentre su tali sezioni il momento torcente mξη è nullo.

Tali giaciture si ottengono imponendo l’annullarsi del momento torcente nell’espressione (13.4):

( )yx

yxns mm

m22tg0m

−=ϑ⇒= (14.1)

I momenti mξ ed mη prendono il nome di momenti principali e sono individuati dalle seguenti relazioni, ottenute dalle (13.3) e (14.1):

( ) 2xy

2yx

yx m4mm21

2mm

m

m+−±

+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

η

ξ (14.2)

La (14.2) è l’equazione di una circonferenza, in cui il primo termine rappresenta le coordinate del centro (OC,0) ed il secondo termine rappresenta il raggio.

Il cerchio è rappresentato in fig. 18.

15. Analisi delle condizioni al contorno

Riassumendo, le caratteristiche di sollecitazione non nulle che devono essere determinate sono:

mx, my, mxy, Tzx, Tzy

Le condizioni al contorno sono in totale quattro, due condizioni statiche e due condizioni geometriche. 15.1 Condizioni geometriche

Considerando un elemento della lastra, possiamo definire come grandezze geometriche uno spostamento e due rotazioni (attorno all’asse n e attorno all’asse s, fig. 19).


29

Fig. 19

Fig. 20

Di queste tre grandezze, soltanto due sono incognite (w e ∂w/∂n), perché, noto w in funzione di s, è nota anche la tangente che, per angoli infinitesimi, può

essere confusa con l’angolo: swtg∂∂

=ϕ (fig. 20)


30

15.2 Condizioni statiche

Considerando una giacitura, definita dalle coordinate n, s, z, possiamo definire come caratteristiche statiche le seguenti tre grandezze (v. fig. 21):

qn mn mns

Si può dimostrare che le caratteristiche di taglio e momento torcente possono essere ricondotte ad una sola caratteristica.

Si consideri una faccia di normale n: su di un tratto ds si sostituisca la distribuzione di tensioni tangenziali con un sistema di forze equivalenti, come illustrato in fig. 22; si può scrivere la relazione:

Tdsdsmns = (15.1)

e procedendo per tutti i tratti infinitesimi adiacenti:

''ns

'ns

m''T

m'T

=

= (15.2)

Tali forze si annullano in parte tra di loro; rimarranno soltanto le forze residue dT, equivalenti ad un carico distribuito. In particolare, se mns cresce con s, tali forze saranno orientate verso l’alto, distribuite sul contorno ed espresse per unità di lunghezza (v. fig.22).

Fig. 21

dsdm

dsdTq ns*

n == (15.3)

Tali forze, *nq , equivalenti al momento torcente sul contorno, sono

denominate forze di sostituzione.


31

Fig. 22

Per il principio di De Saint Venant, in seguito alle aggiunte di momenti equilibrati espressi come

Tdsdsmns = (15.1rip)

lungo il contorno, il regime statico ed elastico della lastra si modifica solo nelle immediate vicinanze del contorno stesso, fino ad una distanza circa pari allo spessore della lastra, mentre altrove esso resta invariato.

Se il vincolo non è atto a reagire con un momento torcente mns, questo viene sostituito da una distribuzione di forze

dsdm

q ns*n = (15.3rip)

La reazione verticale Rn del vincolo per unità di lunghezza sul contorno non è uguale al taglio qn, ma risulta:

dsdmqqqR ns

n*nnn +=+= (15.4)

Se il momento torcente varia con continuità lungo s, le forze di sostituzione risultano ripartite lungo il tratto stesso:


32

xm

qR

ym

qR

yxyy

xyxx

∂

∂+=

∂

∂+=

(15.5)

Se invece in un punto So il momento mns varia bruscamente dal valore m1 prima di So al valore m2 dopo So, nel tratto infinitesimo (So-ε) - (So+ε) la forza che equilibra la forza di sostituzione risulta:

[ ] 12SSns

S

S

nsS

S

*n

mmm

dss

mdsqR

oo

o

o

o

o

−==

∂∂

==

ε+ε−

ε+

ε−

ε+

ε−∫∫

(15.6)

Quindi in So si ha una forza di sostituzione concentrata di valore uguale alla differenza dei due momenti.

In corrispondenza di uno spigolo del contorno il momento mns presenta di solito una discontinuità: si ha infatti un valore m1 su uno dei lati ed un valore m2 sull’altro. Se l’angolo tra i lati è retto si ha :

12 mm −=

e quindi

121 m2mmR −=+−=

La reazione è rappresentata da una forza concentrata uguale alla differenza dei due momenti. Questa forza è una reazione negativa che il vincolo trasmette alla lastra sullo spigolo, per impedire che l’angolo si sollevi.

xyxy mvv =−=−

da cui:

xyxy m2vvR =−−=

La reazione R esiste soltanto se il vincolo è in grado di trasmetterla (vincolo bilaterale). In caso contrario lo spigolo tende a sollevarsi.

In fig. 23 e 24 sono rappresentate rispettivamente le azioni trasmesse dalla lastra sul vincolo e le reazioni vincolari.


33

Fig. 23

Fig. 24


34

15.3 Condizioni al contorno per i differenti tipi di vincolo

0nw;0w =∂∂

=

0m;0w n ==

0R;0m nn ==

Le condizioni statiche e geometriche corrispondenti alle varie possibili condizioni di vincolo sono di seguito sintetizzate:


35

15. Soluzione particolare

Lastra rettangolare appoggiata, soggetta a carico ripartito con legge sinusoidale.

Fig. 25

Per la lastra, appoggiata lungo i bordi, si verificano le seguenti condizioni al contorno:

lato Condizioni di vincolo

A-D (x=0) 0w = (15.7)

0yw

xwD0m 2

2

2

2

x =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ν+

∂

∂−⇒= (15.8)

lo spostamento è nullo lungo tutto il lato, cioè lungo y, quindi il secondo termine della (15.8) è nullo; rimane la condizione:

0xw2

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ (15.9)

B-C (x=a) 0w = (15.10)

0yw

xwD0m 2

2

2

2

x =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ν+

∂

∂−⇒= (15.11)

lo spostamento è nullo lungo tutto il lato, cioè lungo y, quindi il secondo termine della (15.11) è nullo; rimane la condizione:

0xw2

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ (15.12)


36

C-D (y=0) 0w = (15.13)

0xw

ywD0m 2

2

2

2

y =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ν+

∂

∂−⇒= (15.14)

lo spostamento è nullo lungo tutto il lato, cioè lungo x, quindi il secondo termine della (15.14) è nullo; rimane la condizione:

0yw2

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ (15.15)

A-B (y=b) 0w = (15.16)

0xw

ywD0m 2

2

2

2

y =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ν+

∂

∂−⇒= 7)

lo spostamento è nullo lungo tutto il lato, cioè lungo x, quindi il secondo termine della (15.17) è nullo; rimane la condizione:

0yw2

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ (15.18)

La legge di variazione del carico è espressa dalla seguente relazione:

bysen

axsenPP 0

ππ= (15.19)

Si verifica se sia possibile risolvere il problema scegliendo per lo spostamento una legge analoga a quella che descrive il carico:

bysen

axsencw ππ

= (15.20)

La funzione scelta verifica le condizioni al contorno:

ax0x

==

0w =

0xw2

2=

∂

∂

by0y

==

0w =

0yw2

2=

∂

∂

quindi essa è una soluzione valida per la lastra appoggiata lungo i lati.

L’equazione differenziale assume dunque la seguente espressione:


37

bysen

axsen

DP

yxw2

yw

xw 0

22

4

4

4

4

4 ππ=

∂∂∂

+∂∂

+∂∂ (15.21)

e sostituendo l’espressione di w data dalla (15.20) si ottiene:

bysen

axsen

DP

ba2

babysen

axsenc 0

22

4

4

4

4

4 ππ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ π+

π+

πππ (15.22)

da cui:

DP

b1

a1c 0

2

224 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +π (15.23)

Si ricava così per la costante c l’espressione seguente:

2

22

40

b1

a1

1DPc

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

π= (15.24)

L’espressione per w diviene quindi:

bysen

axsen

b1

a1D

Pw 2

224

0 ππ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +π

= (15.25)

La (15.25) è l’equazione della superficie elastica.

Da essa si possono ricavare le espressioni per le caratteristiche di sollecitazione (vedi fig. 24):

Fig. 24


38

bysen

axsen

b1

a1

b1

a1P

yw

xwDm 2

222

220

2

2

2

2

xππ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

ν+∂∂

−= (15.26)

bysen

axsen

b1

a1

a1

b1P

xw

ywDm 2

222

220

2

2

2

2

yππ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

ν+∂∂

−= (15.27)

( ) ( )bycos

axcos

b1

a1

P1yx

w1Dm 2

222

02

xyππ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +π

ν−=∂∂

∂ν−= (15.28)

Le caratteristiche mx ed my sono massime nel centro della lastra (cioè in x=a/2 ed in y=b/2) e si annullano lungo i quattro lati (x=0, y=0; x=a; y=b).

La sollecitazione mxy è nulla lungo le mediane.

Si possono inoltre ricavare gli sforzi di taglio e le reazioni vincolari.

Lungo il lato x=a si ha:

bysen

b1

a1a

Pyw

xw

xDq

22

02

2

2

2

xπ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +π

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

−= (15.29)

e la reazione vincolare risulta:

bysen

b2

a1

b1

a1a

Py

mqV 22

22

0xyxx

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ν−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−= (15.30)

presentando quindi una distribuzione sinusoidale lungo il lato (vedi fig. 26).

Fig. 26


39

16. Lastra semplicemente appoggiata con distribuzione generica di carico

Il caso precedentemente esaminato può essere visto come un caso particolare del più generale dove la legge di variazione del carico è espressa dalla relazione11:

bynsen

axmsenPP mn

ππ= (16.1)

Come il precedente esso può essere risolto adottando per w la seguente espressione:

bynsen

axmsencw mn

ππ= (16.2)

Applicando, per lo spostamento laterale w, la relazione

bynsen

axmsen

bn

amD

Pw 2

2

2

2

24

mn ππ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+π

=

si ritrova infatti il caso precedente quando si ponga m=n=1.

Nell’espressione del carico il valore Pmn esprime il valore massimo, i termini a e b sono le dimensioni della lastra, m ed n sono numeri interi qualsiasi.

Quando sia assegnato un carico P(x,y) generico, esso può essere sviluppato in serie di Fourier, cioè può essere espresso come segue:

bynsen

axmsenP)y,x(P

m

1m

n

1nmn

ππ= ∑ ∑

∞=

=

∞=

= (16.3)

dove:

dxdyb

ynsena

xmsen)y,x(Pab4P

a

0

b

0mn

ππ= ∫ ∫ (16.4)

L’espressione per P(x,y) si ottiene dividendo la lastra in m×n rettangoli di lati a/m e b/n. Il carico è disposto a scacchiera, con ordinata massima Pmn alternativamente positivo e negativo.

Ciascuno dei termini Pmn ha una soluzione del tipo visto al paragrafo precedente.

Quindi, sovrapponendo gli effetti, la superficie elastica è rappresentata da una serie doppia. Essa è espressa come segue:

bynsen

axmsen

bn

amD

Pwm

1m

n

1n2

2

2

2

24

mn ππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+π

= ∑ ∑∞=

=

∞=

= (16.5)

11 La prima soluzione fu formulata da L.M.H. Navier (Accademia di Francia 1820)


40

Il momento flettente mx è espresso dalla relazione:

bynsen

axmsen

bn

am

bn

amP

yw

xwDm 2

2

2

2

22

2

2

2

2

mn

2

2

2

2

xππ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ν+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂ν+

∂∂

−= (16.6)

di cui la (15.26) rappresenta un caso particolare con m=n=1

Analogamente possono essere ricavate le espressioni di my e di mxy. Per lastra appoggiata sottoposta a carico uniforme si ha:

Se a=b ⇒ my = mx

Se b=1.5 a ⇒ mx ≅ 2.5 my

Se b=2 a ⇒ mx ≅ 5.2 my

17. Lastra appoggiata soggetta a carico uniforme P0

In generale l’espressione da assumere per il termine Pmn è del tipo:

dxdyb

ynsena

xmsen)y,x(Pab4P

b

0

a

0mn

ππ= ∫∫ (17.1)

Sussistono difficoltà analitiche a calcolare i termini Pmn. La soluzione per carico costante P(x,y)=P0 =cost. è data da:

parim,nper0

disparim,npermnP16

P 20

mn π⟨=

La soluzione è quindi così espressa :

bynsen

axmsen

bn

ammn

1DP16w

m n2

2

2

2

260 ππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π= ∑∑ (17.3)

dove n,m =1,3,5…

L’abbassamento massimo si ha nel centro della lastra (x=a/2; y=b/2) e vale:

( )∑∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

π=

−+

m n2

2

2

2

2

22nm

60

max

bn

ammn

1DP16w (17.4)

L’espressione che si ottiene per il momento è data da:


41

bynsen

axmsen

bn

ammn

bn

am

P16m

m n2

2

2

2

2

2

2

2

2

40

xππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν+

π= ∑∑ (17.5)

Dalla (17.4) si ottengono i valori di wmax in funzione del rapporto b/a.

Per le lastre rettangolari soggette a carico uniformemente ripartito sono disponibili in letteratura soluzioni tabellate.

I metodi di soluzione disponibili sono:

serie doppie

serie semplici

differenze finite

elementi finiti

altri metodi approssimati

Esempio: lastra quadrata appoggiata con carico uniforme P0.

L’abbassamento massimo si verifica nel centro della lastra (x=a/2; y=b/2) e vale:

( ) 2nsen

2msen

nmmn

1D

aP16w

m n2226

40

maxππ

+π= ∑∑

Limitando lo sviluppo in serie doppia ai primi 9 termini si ha:

m=1 n=1 m=3 n=1 m=5 n=1

m=1 n=3 m=3 n=3 m=5 n=3

m=1 n=5 m=3 n=5 m=5 n=5

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅+

+⋅⋅

−⋅⋅

+

+⋅⋅

−⋅⋅

+

+⋅⋅

−⋅⋅

+

+⋅⋅

−⋅⋅

⋅π

=

2

22

22

22

22

46

0max

50551

34351

26151

34531

18331

10131

26511

10311

2111

aDP16

w


42

da cui:

DaP

3845k

DaP

00406.0w4

01

40

max == (17.6)

essendo k1=0.35328

Tale valore risulta esatto.

Se nello sviluppo ci si arresta ai primi 4 termini:

m=1 n=1

m=1 n=3

m=3 n=1

m=3 n=3

risulta:

DaP004056.0w

40

max =

mentre per il primo termine si ha:

DaP00416.0w

40

max =

con un errore in eccesso dello 0.46%. Il caso esprime la soluzione per carico con distribuzione sinusoidale.

In fig. 27 è rappresentata la curva del coefficiente k1 della (17.6) in funzione del rapporto tra i lati b/a. Tale valore è messo a confronto con il valore k2 relativo alla lastra incastrata sul contorno essendo:

per la lastra appoggiata

DaP

3845kw

40

1max = (17.6rip)

per la lastra incastrata

DaP

3841kw

40

2max = (17.7)


43

Fig. 27

18. Soluzioni tabellate

In letteratura sono disponibili soluzioni tabellate, relative a lastre rettangolari con differenti condizioni di carico e di vincolo. I casi più ricorrenti sono presentati nel seguito.

18.1) Lastra rettangolare, appoggiata lungo i contorni, sottoposta a carico uniforme

La soluzione è relativa ad una lastra, di lati a e b, con b>a, soggetta ad un carico uniforme di intensità q.

Lo schema è illustrato in fig. 28.

I coefficienti che compaiono in Tabella 1, indicati rispettivamente con i simboli α, β, β1, γ, γ1, δ, δ1, n, inseriti nelle relazioni sotto riportate, consentono di calcolare i valori massimi di spostamento, caratteristiche di sollecitazione e reazioni vincolari.

Wmax: massima deformazione al centro della lastra

DqaW

4

max α= (18.1)

Mxmax: massimo momento flettente, sulla faccia di normale x, al centro della lastra:

2x qaM

maxβ= (18.2)

MYmax: massimo momento flettente, sulla faccia di normale y, al centro della lastra:


44

21y qaM

maxβ= (18.3)

QXmax: massima sollecitazione di taglio, in mezzeria del lato di normale x

qaQmaxx γ= (18.4)

QYmax: massima sollecitazione di taglio, in mezzeria del lato di normale y

qaQ 1ymaxγ= (18.5)

VXmax: massima reazione vincolare, in mezzeria del lato di normale x

qaVmaxx δ= (18.6)

VYmax: massima reazione vincolare, in mezzeria del lato di normale y

qaV 1ymaxδ= (18.7)

R: reazioni vincolari, concentrate sugli spigoli, di segno opposto a quello del carico:

2nqaR = (18.8)

Fig. 28

In Tabella 2, con riferimento alla fig. 28, in funzione del rapporto tra i lati, sono indicati i valori dei coefficienti β e β1 attraverso i quali sono espressi i momenti flettenti Mx e My lungo la mediana y=0, i valori sono espressi per l’ascissa x compresa tra 0.1a e 0.5a, essendo l’andamento sul rimanente tratto speculare rispetto all’asse verticale.


45

L’andamento dei momenti flettenti lungo la mediana coincidente con l’asse x è illustrato, per alcuni valori del rapporto tra i lati, nelle figg. 29 e 30.

Mx =βqa2 sulla mediana (y = 0)

00.050.1

0.15

0 0.5 1

x/a

β

b/a = 1.0 b/a = 1.5 b/a = 2.0

Fig. 29

In tabella 3, sempre in funzione del rapporto trai lati, sono indicati i valori dei coefficienti β e β1 attraverso i quali sono espressi i momenti flettenti Mx e My lungo la mediana x=a/2; i valori sono espressi per l’ascissa y compresa tra 0.4 e 0, essendo l’andamento sul rimanente tratto speculare rispetto all’asse x.

My = β 1qa2 sulla mediana (y = 0)

0

0.05

0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/a

β1

b/a = 1.0 b/a = 1.5 b/a = 2.0

Fig. 30

Nel caso particolare di lastra quadrata, in fig. 31 è illustrato l’andamento delle reazioni vincolari lungo il lato, ottenuto come somma del contributo dovuto al taglio e di quello torsionale.


46

Fig. 31

18.2) Lastra rettangolare, sottoposta a carico uniforme, con differenti condizioni di vincolo lungo i contorni.

Come illustrato in fig. 32, la soluzione tabellata in Tabella 4 è relativa a differenti combinazioni di vincolo lungo i quattro lati. In tabella sono riportati i valori dei coefficienti n ed n1 che consentono di calcolare i massimi momenti flettenti Mx ed My. Le espressioni che forniscono tali valori sono:

2

1x qa

n1Mmax = (18.9)

2

2y qa

n1Mmax = (18.10)

Fig. 32


47

Fig. 33

18.3) Lastra rettangolare, appoggiata sul contorno, sottoposta a carico idrostatico.

La soluzione è relativa ad una lastra, di lati a e b, con b>a, soggetta ad un carico idrostatico, applicato come illustrato in fig. 33, di intensità massima q0.

La soluzione è fornita attraverso quattro tabelle che descrivono rispettivamente i coefficienti β, β1, δ, δ1, n1, n2 da inserire nelle espressioni

2x qaM

maxβ=

2

1y qaMmax

β=

qaVmaxx δ=

qaV 1ymaxδ=

2nqaR =

I valori β e β1 sono riportati in tab. 5. In tab. 6 e 7 sono riportati rispettivamente δ, δ1 e n1, n2.


48

TABELLE

Lastra appoggiata – carico uniforme q

Coefficienti α, β, β1, γ, γ1, δ, δ1, n

b/a α β β1 γ γ1 δ δ1 n

1.0 0.0041 0.0479 0.0479 0.3380 0.3380 0.4200 0.4200 0.0650

1.1 0.0049 0.0554 0.0493 0.3600 0.3470 0.4400 0.4400 0.0700

1.2 0.0056 0.0627 0.0501 0.3800 0.3530 0.4550 0.4530 0.0740

1.3 0.0064 0.0694 0.0503 0.3970 0.3570 0.4680 0.4640 0.0790

1.4 0.0071 0.0755 0.0502 0.4110 0.3610 0.4780 0.4710 0.0830

1.5 0.0077 0.0812 0.0498 0.4240 0.3630 0.4860 0.4800 0.0850

1.6 0.0083 0.0862 0.0492 0.4350 0.3650 0.4910 0.4850 0.0860

1.7 0.0088 0.0908 0.0486 0.4440 0.3670 0.4960 0.4880 0.0880

1.8 0.0093 0.0948 0.0479 0.4520 0.3680 0.4990 0.4910 0.0900

1.9 0.0097 0.0985 0.0471 0.4590 0.3690 0.5020 0.4940 0.0910

2.0 0.0101 0.1017 0.0464 0.4650 0.3700 0.5030 0.4960 0.0920

3.0 0.0122 0.1189 0.0406 0.4930 0.3720 0.5050 0.4980 0.0930

4.0 0.0128 0.1235 0.0384 0.4980 0.3720 0.5020 0.5000 0.0940

5.0 0.0130 0.1246 0.0375 0.5000 0.3720 0.5010 0.5000 0.0950

∞ 0.0130 0.1250 0.0375 0.5000 0.3720 0.5000 0.5000 0.0950

Tabella 1.


49

Lastra appoggiata – carico uniforme q – momenti flettenti sulla mediana y=0

β⋅⋅= 2x aqM 1

2y aqM β⋅⋅=

x/a 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/a 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

b/a valori di β b/a valori di β1

1 0.0209 0.0343 0.0424 0.0466 0.0479 1 0.0168 0.0303 0.0400 0.0459 0.0479

1.1 0.0234 0.0389 0.0486 0.0541 0.0554 1.1 0.0172 0.0311 0.0412 0.0475 0.0493

1.2 0.0256 0.0432 0.0545 0.0607 0.0627 1.2 0.0174 0.0315 0.0417 0.0480 0.0501

1.3 0.0277 0.0472 0.0599 0.0671 0.0694 1.3 0.0175 0.0316 0.0419 0.0482 0.0503

1.4 0.0297 0.0509 0.0649 0.0730 0.0755 1.4 0.0175 0.0315 0.0418 0.0481 0.0502

1.5 0.0314 0.0544 0.0695 0.0783 0.0812 1.5 0.0173 0.0312 0.0415 0.0478 0.0498

1.6 0.0330 0.0572 0.0736 0.0831 0.0862 1.6 0.0171 0.0309 0.0411 0.0472 0.0492

1.7 0.0344 0.0599 0.0773 0.0874 0.0908 1.7 0.0169 0.0306 0.0405 0.0466 0.0486

1.8 0.0357 0.0623 0.0806 0.0913 0.0948 1.8 0.0167 0.0301 0.0399 0.0459 0.0479

1.9 0.0368 0.0644 0.0835 0.0948 0.0985 1.9 0.0165 0.0297 0.0393 0.0451 0.0471

2 0.0378 0.0663 0.0861 0.0978 0.1017 2 0.0162 0.0292 0.0387 0.0444 0.0464

2.5 0.0413 0.0729 0.0952 0.1085 0.1129 2.5 0.0152 0.0272 0.0359 0.0442 0.0430

3 0.0431 0.0763 0.1000 0.1142 0.1189 3 0.0145 0.0258 0.0340 0.0390 0.0406

4 0.0445 0.0791 0.1038 0.1185 0.1235 4 0.0138 0.0246 0.0322 0.0369 0.0384

∞ 0.0450 0.0800 0.1050 0.1200 0.1250 ∞ 0.0135 0.0240 0.0315 0.0360 0.0375

Tabella 2.


50

Lastra appoggiata – carico uniforme q – momenti flettenti sulla mediana x=a/2

β⋅⋅= 2x aqM 1

2y aqM β⋅⋅=

y/a 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 y/a 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

b/a valori di β b/a valori di β1

1 0.0168 0.0303 0.0465 0.0459 0.0479 1 0.02090 0.03430 0.04240 0.04660 0.04790

1.1 0.0197 0.0353 0.0526 0.0532 0.0554 1.1 0.02250 0.03630 0.04420 0.04810 0.04930

1.2 0.0225 0.0404 0.0585 0.0600 0.0627 1.2 0.02390 0.03790 0.04540 0.04900 0.05010

1.3 0.0252 0.0447 0.0639 0.0667 0.0694 1.3 0.02520 0.03910 0.04620 0.04940 0.05030

1.4 0.0275 0.0497 0.0690 0.0727 0.0755 1.4 0.02630 0.04020 0.04680 0.04950 0.05020

1.5 0.0302 0.0532 0.0737 0.0781 0.0812 1.5 0.02750 0.04100 0.04700 0.04920 0.04980

1.6 0.0324 0.0571 0.0780 0.0832 0.0862 1.6 0.02880 0.04170 0.04710 0.04890 0.04920

1.7 0.0348 0.0607 0.0819 0.0877 0.0908 1.7 0.02950 0.04230 0.04700 0.04840 0.04860

1.8 0.0371 0.0641 0.0854 0.0917 0.0948 1.8 0.03040 0.04280 0.04690 0.04780 0.04790

1.9 0.0392 0.0673 0.0887 0.0953 0.0985 1.9 0.03140 0.04330 0.04670 0.04720 0.04710

2 0.0413 0.0703 0.1012 0.0986 0.1017 2 0.03220 0.04360 0.04640 0.04650 0.04640

2.5 0.0505 0.0828 0.1092 0.1102 0.1129 2.5 0.03600 0.04460 0.04470 0.04350 0.04300

3 0.0586 0.0923 0.1180 0.1168 0.1189 3 0.03890 0.04470 0.04310 0.04130 0.04060

4 0.0723 0.1054 0.1250 0.1221 0.1235 4 0.04260 0.04360 0.04060 0.03890 0.03840

∞ 0.1250 0.1250 0.1050 0.1250 0.1250 ∞ 0.03750 0.03750 0.03750 0.03750 0.03750

Tabella 3.

51

Lastre con differenti condizioni al contorno – Carico uniforme – Momenti flettenti in campata Casi di vincolo 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

b/a n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 1 27.4 27.4 29.9 36.8 36.8 29.9 37.2 37.2 37.5 55.7 55.7 37.5 44.2 50.6 50.6 44.2 55.7 55.7

1.02 26.4 27.4 29.0 37.2 34.9 29.7 35.7 37.2 36.7 57.0 52.4 36.8 42.9 51.1 48.3 43.8 53.6 55.81.04 25.4 27.4 28.2 37.7 33.3 29.5 34.4 37.2 36.0 58.4 49.4 36.2 41.8 51.8 45.0 43.4 51.8 55.91.06 24.5 27.5 27.4 38.2 31.8 29.3 33.2 37.3 35.4 59.8 46.8 35.7 40.7 52.5 43.8 43.1 49.9 56.11.08 23.6 27.5 26.7 38.8 30.3 29.2 32.1 37.5 34.7 61.2 44.2 35.1 39.7 53.2 42.0 42.8 48.3 56.31.1 22.8 27.6 26.0 39.3 29.0 29.0 31.1 37.6 34.2 62.6 41.8 34.7 38.8 53.9 40.2 42.6 46.8 56.61.12 22.0 27.6 25.4 40.0 27.9 28.9 30.1 37.8 33.7 64.1 39.8 34.2 38.0 54.8 38.7 42.5 45.4 57.01.14 21.3 27.7 24.8 40.6 26.8 28.8 29.3 38.0 33.2 65.7 37.8 33.8 37.3 55.7 37.2 42.4 44.1 57.41.16 20.7 27.8 24.3 41.3 25.7 28.7 28.5 38.3 32.7 67.3 36.0 33.5 36.5 56.6 35.9 42.3 43.0 57.81.18 20.0 27.9 23.8 42.0 24.8 28.7 27.7 38.6 32.3 68.9 34.4 33.2 35.9 57.5 34.6 42.2 41.9 58.31.2 19.4 28.0 23.3 42.7 23.9 28.6 27.0 38.9 31.9 70.6 32.9 32.9 35.3 58.5 33.5 42.2 40.9 58.71.22 18.9 28.1 22.9 43.5 23.1 28.6 26.4 39.2 31.6 72.4 31.5 32.6 34.7 59.6 32.4 42.3 40.0 59.41.24 18.4 28.3 22.5 44.2 22.3 28.6 25.8 39.6 31.2 74.1 30.2 32.4 34.2 60.6 31.4 42.3 39.1 60.11.26 17.9 28.5 22.1 45.0 21.6 28.6 25.2 40.0 30.9 76.0 29.0 32.2 33.7 61.7 30.5 42.5 38.3 60.91.28 17.4 28.6 21.8 45.9 21.0 28.6 24.7 40.4 30.6 77.9 27.9 32.0 33.2 62.9 29.7 42.6 37.6 61.61.3 17.0 28.8 21.4 46.6 20.3 28.6 24.2 40.8 30.3 79.8 26.8 31.8 32.8 64.1 28.9 42.7 36.9 62.31.32 16.6 29.0 21.1 47.5 19.8 28.6 23.7 41.3 30.1 81.7 25.8 31.7 32.4 65.3 28.2 42.9 36.2 63.21.34 16.2 29.2 20.8 48.4 19.2 28.7 23.3 41.8 29.8 83.7 24.9 31.6 32.0 66.5 27.5 43.2 35.7 64.01.36 15.9 29.4 20.6 49.3 18.7 28.7 22.9 42.3 29.6 85.7 24.1 31.4 31.7 67.8 26.8 43.4 35.1 64.91.38 15.5 29.6 20.3 50.3 18.2 28.8 22.5 42.8 29.4 87.8 23.3 31.4 31.3 69.2 26.2 43.7 34.6 65.81.4 15.2 29.8 20.0 51.2 17.8 28.9 22.1 43.4 29.2 89.8 22.6 31.3 31.0 70.5 25.7 44.9 34.1 66.8

Tab. 4

52

Lastre con differenti condizioni al contorno – Carico uniforme – Momenti flettenti in campata

Casi di vincolo 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 b/a n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 1.42 14.9 30.1 19.8 52.2 17.4 28.9 21.8 43.9 29.0 91.9 21.9 31.2 30.7 71.9 25.1 44.3 33.6 67.81.44 14.6 30.4 19.6 53.2 17.0 29.0 21.5 44.5 28.8 94.1 21.2 31.1 30.4 73.3 24.6 44.6 33.2 68.81.46 14.4 30.6 19.4 54.3 16.6 29.1 21.2 45.1 28.6 96.2 20.6 31.2 30.2 74.7 24.2 45.0 32.8 69.91.48 14.1 30.9 19.2 55.3 16.2 29.2 20.9 45.8 28.5 98.5 20.1 31.1 29.9 76.2 23.7 45.4 32.4 71.01.5 13.9 31.2 19.0 56.4 15.9 29.4 20.6 46.4 28.3 100.8 19.5 31.1 29.7 77.7 23.3 45.8 32.0 72.11.52 13.6 31.5 18.9 57.5 15.6 29.5 20.4 47.1 28.2 103.1 19.0 31.1 29.5 79.2 22.9 46.2 31.7 73.31.54 13.4 31.9 18.7 58.6 15.3 29.6 20.1 47.8 28.0 105.4 18.6 31.2 29.3 80.8 22.6 46.7 31.4 74.51.56 13.2 32.2 18.5 59.7 15.0 29.8 19.9 48.5 27.9 107.8 18.1 31.2 29.1 82.4 22.2 47.1 31.1 75.71.58 13.0 32.6 18.4 60.9 14.7 29.9 19.7 49.2 27.8 110.3 17.7 31.2 28.9 84.0 21.9 47.6 30.8 76.91.6 12.9 32.9 18.2 62.0 14.5 30.1 19.5 49.9 27.7 112.7 17.3 31.3 28.7 85.7 21.6 48.1 30.5 78,21.62 12.7 33.3 18.1 63.2 14.2 30.3 19.3 50.7 27.5 115.2 16.9 31.4 28.6 87.4 21.3 48.6 30.3 79.51.64 12.5 33.7 18.0 64.4 14.0 30.5 19.1 51.4 27.4 117.8 16.6 31.4 28.4 89.1 21.0 49.2 30.0 80.81.66 12.3 34.1 17.9 65.6 13.8 30.6 19.0 52.2 27.3 120.3 16.2 31.5 28.2 90.8 20.8 49.7 29.8 82.21.68 12.2 34.5 17.7 66.8 13.6 30.9 18.8 53.0 27.2 122.9 15.9 31.6 28.1 92.6 20.5 50.3 29.6 83.51.7 12.1 34.9 17.6 68.1 13.4 31.1 18.6 53.8 27.1 125.5 15.6 31.7 28.0 96.3 20.3 50.9 29.4 85.91.74 11.8 35.7 17.4 70.7 13.0 31.5 18.3 55.5 26.9 130.8 15.0 31.9 27.7 98.0 19.8 52.1 29.0 87.91.78 11.6 36.6 17.2 73.3 12.7 32.0 18.1 57.3 26.8 136.4 14.5 32.2 27.5 101.8 19.5 53.4 28.7 90.91.82 11.3 37.6 17.1 76.0 12.3 32.5 17.8 59.1 26.6 142.0 14.1 32.5 27.3 105.7 19.1 54.8 28.4 93.91.86 11.1 38.6 16.9 78.9 12.1 33.1 17.6 60.9 26.5 147.9 13.7 32.8 27.1 109.5 18.8 56.2 28.1 97.21.9 11.0 39.6 16.8 81.8 11.8 33.7 17.4 62.9 26.4 150.8 13.3 33.2 26.9 113.8 18.5 57.7 27.8 100.51.94 10.8 40.6 16.6 84.7 11.6 34.3 17.2 64.8 26.3 159.9 12.9 33.6 26.7 117.0 18.2 59.2 27.6 103.9

2 10.6 42.3 16.5 89.2 11.3 35.2 17.0 67.9 26.1 169.3 12.6 34.3 26.5 124.4 17.9 61.6 27.3 109.1

Tab. 4 (continuazione)


53

Lastra appoggiata – carico idrostatico axqq 0 ⋅= – Inflessione laterale

3

40

Etaq

w α=

x/a 0.25 0.50 0.60 0.75 b/a Valori del coefficiente α 1.0 0.0143 0.0221 0.0220 0.0177 1.1 0.0173 0.0265 0.0264 0.0210 1.2 0.0203 0.0308 0.0305 0.0241 1.3 0.0231 0.0348 0.0344 0.0271 1.4 0.0257 0.0385 0.0380 0.0298 1.5 0.0281 0.0421 0.0414 0.0323 1.6 0.0303 0.0453 0.0444 0.0346 1.7 0.0323 0.0482 0.0472 0.0366 1.8 0.0342 0.0508 0.0497 0.0385 1.9 0.0358 0.0532 0.0519 0.0402 2.0 0.0373 0.0553 0.0539 0.0417 3.0 0.0454 0.0668 0.0647 0.0498 4.0 0.0477 0.0700 0.0679 0.0521 5.0 0.0482 0.0708 0.0687 0.0527 ∞ 0.0484 0.0711 0.0690 0.0529

Tabella 5


54

Lastra appoggiata – carico idrostatico axqq 0 ⋅= – momenti flettenti sulla mediana y=0

β⋅⋅= 20x aqM 1

20y aqM β⋅⋅=

x/a 0.1 0.2 0.3 0.4 x/a 0.1 0.2 0.3 0.4 b/a Valori di β b/a Valori di β1

1 0.0209 0.0343 0.0424 0.0466 1 0.0168 0.0303 0.04 0.0459 1.1 0.0234 0.0389 0.0486 0.0541 1.1 0.0172 0.0311 0.0412 0.0475 1.2 0.0256 0.0432 0.0545 0.0607 1.2 0.0174 0.0315 0.0417 0.0480 1.3 0.0277 0.0472 0.0599 0.0671 1.3 0.0175 0.0316 0.0419 0.0482 1.4 0.0297 0.0509 0.0649 0.0730 1.4 0.0175 0.0315 0.0418 0.0481 1.5 0.0314 0.0544 0.0695 0.0783 1.5 0.0173 0.0312 0.0415 0.0478 1.6 0.0330 0.0572 0.0736 0.0831 1.6 0.0171 0.0309 0.0411 0.0472 1.7 0.0344 0.0599 0.0773 0.0874 1.7 0.0169 0.0306 0.0405 0.0466 1.8 0.0357 0.0623 0.0806 0.0913 1.8 0.0167 0.0301 0.0399 0.0459 1.9 0.0368 0.0644 0.0835 0.0948 1.9 0.0165 0.0297 0.0393 0.0451 2 0.0378 0.0663 0.0861 0.0978 2 0.0162 0.0292 0.0387 0.0444

2.5 0.0413 0.0729 0.0952 0.1085 2.5 0.0152 0.0272 0.0359 0.0442 3 0.0431 0.0763 0.1000 0.1142 3 0.0145 0.0258 0.0340 0.0390 4 0.0445 0.0791 0.1038 0.1185 4 0.0138 0.0246 0.0322 0.0369 ∞ 0.0450 0.0800 0.1050 0.1200 ∞ 0.0135 0.0240 0.0315 0.0360

Tabella 6


55

Lastra appoggiata – carico idrostatico axqq 0 ⋅= – Razioni vincolari

aqV 0maxx δ= aqV 01maxy δ=

x/a 0 1 y/b ±0.5 y/a 0 0.25 0 0.25 x/a 0.25 0.50 0.60 0.75 b/a valori di δ b/a valori di δ1

1 0.126 0.098 0.294 0.256 1 0.115 0.210 0.234 0.239 1.1 0.136 0.107 0.304 0.267 1.1 0.110 0.199 0.221 0.224 1.2 0.144 0.114 0.312 0.276 1.2 0.105 0.189 0.208 0.209 1.3 0.150 0.121 0.318 0.284 1.3 0.100 0.178 0.196 0.196 1.4 0.155 0.126 0.323 0.292 1.4 0.095 0.169 0.185 0.184 1.5 0.159 0.132 0.327 0.297 1.5 0.090 0.160 0.175 0.174 1.6 0.162 0.136 0.330 0.302 1.6 0.086 0.151 0.166 0.164 1.7 0.164 0.140 0.332 0.306 1.7 0.082 0.144 0.157 0.155 1.8 0.166 0.143 0.333 0.310 1.8 0.078 0.136 0.149 0.147 1.9 0.167 0.146 0.334 0.313 1.9 0.074 0.130 0.142 0.140 2.0 0.168 0.149 0.335 0.316 2.0 0.071 0.124 0.135 0.134 3.0 0.169 0.163 0.336 0.331 3.0 0.048 0.083 0.091 0.089 4.0 0.168 0.167 0.334 0.334 4.0 0.036 0.063 0.068 0.067 5.0 0.167 0.167 0.334 0.333 5.0 0.029 0.050 0.055 0.054 ∞ 0.167 0.167 0.333 0.333 ∞

Tabella 7

Lastra appoggiata – carico idrostatico axqq 0 ⋅= – Reazioni concentrate sugli spigoli

R1 = n1q0ab R2 = n2q0ab

b/a 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 3.0 4.0 5.0

n1 0.026 0.026 0.026 0.026 0.025 0.024 0.023 0.022 0.021 0.021 0.020 0.014 0.010 0.008

n2 0.039 0.038 0.037 0.036 0.035 0.033 0.032 0.030 0.029 0.028 0.026 0.018 0.014 0.011

Tabella 8


56

Appendice: confronto trave-lastra

Fig. A1

Fig. A2

Relazione momento flettente - taglio

Tz

)z(M=

∂∂

ym

xmq xyx

x ∂

∂−

∂∂

=

xm

ym

q xyyy ∂

∂−

∂

∂=

Relazione taglio - carico

0pz

)z(T=+

∂∂ 0p

yq

xq yx =+

∂

∂+

∂∂

Relazione momento flettente - carico

0pzM2

2=+

∂

∂ 0pym

yxm

2xm

2y

2xy

2

2x

2=+

∂

∂+

∂∂

∂−

∂∂


57

Relazione tensioni – caratteristiche di sollecitazione

Mybt12

JyM

3zz =⋅

=σ

b2y

8hT

bt12

bJST 22

3yz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⋅⋅

=τ

zmt12

x3x =σ

zmt12

y3y =σ

zmt12

xy3xy =τ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=τ

2z

8tq

t12 22

x3xz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=τ

2z

8tq

t12 22

y3yz

Legame momenti - curvature

2

2

dzdEJM η

−=

2

23

dzd

12btEM η

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂ν+

∂

∂−= 2

2

2

2

xyw

xwDm

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂ν+

∂

∂−= 2

2

2

2

yxw

ywDm

( )yx

w1Dm2

xy ∂∂∂

ν−+=

Equazione differenziale

della linea elastica della superficie elastica

Ep

bt12

EJp

dzd

34

4==

η

+ condizioni al contorno

( )pEt112

yw

yxw2

xw

3

2

4

4

22

4

4

4 ν−=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+ condizioni al contorno

Ipotesi semplificative

0xyyyxx =τ=σ=σ

Conservazione delle sez. piane.

I punti sull’asse geometrico si spostano solo verticalmente.

0zz =σ

Conservazione del segmento piano.

I punti posti sulla superficie media si spostano solo in direzione z.

Teoria delle piastre inflesse

Documents

Transcript of Teoria delle piastre inflesse