Lezione 6_Le Piastre Anulari

Corso diProgetto di Strutture

POTENZA, a.a. 2012 – 2013

Le piastre anulari

Dott. Marco VONAScuola di Ingegneria, Università di Basilicata

[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Sono considerate tali le piastre che abbiano carichi e vincoli dotatidi simmetria radiale

r r

Tutte le grandezze (spostamenti, deformazioni, tensioni …)

dipendono soltanto dalla variabile raggior

Il problema si risolve con equazioni differenziali ordinarie

LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE

Mr

M t bz

Le equazioni si riducono a:

2 equazioni di equilibrio

2 di collegamento aMr ed

dθθθθ

M t

r

t

Mr

Mt

EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA

( )D

bwr

rr

rw z=

′

′

′′=∆ 112

PIASTRA ANULARE

Non valgono più le considerazioni svolte per le piastre circolari

0≠ϕ 0=rper

Quindi in generale sarà:R

Studiamo il caso dellapiastra anulare incastrata al bordoesterno e libera su quello interno che sia soggetta ad un caricoripartito lungo una circonferenza. Utilizziamo il procedimentodiretto

Sia P il carico totale applicato sulla circonferenza di raggioR1

02 ≠C

0=Q

10 RrR ≤≤PerR1

RR0

P

Carico applicato lungo una circonferenza

PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO

0=Q

r

PQ

π2=

RrR ≤≤1Per

R

R

0=rM

0Rr =Per

R1

P

Carico applicato lungo una circonferenza.

CONDIZIONI AL CONTORNO

Bordo interno libero


0=rM

R

RR0

0=ϕ

Rr =Per

Bordo esterno incastrato

Carico applicato lungo una circonferenza.

CALCOLO DELLE COSTANTI C 1 e C2


METODO DI SOVRAPPOSIZIONE

Invece di procedere direttamente alla determinazione dellecostanti d’integrazione C1 e C2 e conseguentementedeicostanti d’integrazione C1 e C2 e conseguentementedeimomenti Mr e M t si può applicare il principio diSOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

La piastra anulare si studia come somma di una piastra circolarecon carico lungo una circonferenza più una piastra anularesoggetta ad un momento pari a –Mr sul bordo interno

R1

RR0

P


SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI


Piastra anulare

=R1

R

P

-Mr0

RR0

Piastra circolare. Per:

00 ≠rM0Rr =

Piastra anulare soggetta a:– Mr0 sul bordo interno

=

+




Si ha quindi:

tmrtt

rmrrr

MMM

MMM

µµ

0

0

−=

−=

tmrtt MMM µ0−=

Con momenti della piastra circolaretr MM ;

Con momenti radiale e tangenziale dovuti ad unmomento unitario applicato al bordo interno

tmrm µµ ;




Valutiamo quindi gli effetti dovuti ad un momento unitarioapplicato al bordo interno della piastra anulare

Si haQ = 0 sututtala piastraequindianche:Si haQ = 0 sututtala piastraequindianche:

00 0

=′

′∫ ∫

′r

dQd ρρρρ

∫ =r

Qd0

0ρ

Considerando le condizioni al contorno

1=rM0Rr = 0=ϕRr =



Si ricava: ( ) ( )

=+

=−−+

02

112

1

21

20

21

R

CRC

R

CC νν

Risolvendo rispetto alle costanti C1 e C2 si ottiene

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

+−++−=

+−++=

ννν

ννν

111

111

2

2

0

2

0

2

2

2

0

2

01

RR

RRRC

RR

RRC



Sostituendo tali espressioni delle costanti nelle espressioni deimomenti unitari : ( ) ( )

( ) ( )

−++=

−−+=

21

221

11

1

2

1

CCr

CCrm

ννµ

ννµ

Si ottiene quindi:

+=2

21

2 rtmµ

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

−

+−

+−+=

+

+−

+−+=

11

1

1

11

11

1

1

11

22

0

2

0

22

0

2

0

RrRR

RR

RrRR

RR

tm

rm

νν

ννµ

νν

ννµ

PIASTRA ANULARE

Studiamo il caso dellapiastra anulare incastrata al bordoesterno e libera su quello interno che sia soggetta ad un caricoripartito uniformemente ripartito

R0

R

RR0

Carico ripartito uniformemente


METODO DI SOVRAPPOSIZIONE

Anche in questo caso possiamo applicare il principio diSOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI , invece di procederedirettamente alla determinazione delle costanti d’integrazioneC11e C2 , e conseguentemente dei momentiMr eM t

La piastra anulare si studia quindi come somma di una piastracircolare con carico uniformemente ripartito più una piastraanulare soggetta ad un momento pari a –M0 e – Q0 sul bordointerno



Piastra anulare

=R

R0


Piastra circolare. Per:

00 ≠rM0Rr =

Piastra anulare soggetta a:– Mr0 e –Qr0 sul bordo interno

=

+

R

R

-Mr0

RR0-Qr0


µµ −−=


Lungo la circonferenza interna la piastra circolare sarà soggettasia ad un momento radiale sia ad uno sforzo di taglio.

Tali sollecitazioni, cambiate di segno, devono essere riapplicatealla piastra anulare

tqtmrtt

rqrmrrr

QMMM

QMMM

µµ

µµ

00

00

−−=

−−=

Con momenti radiale e tangenziale dovuti ad untaglio unitario applicato al bordo interno

tmrm µµ ;


Valutiamo quindi gli effetti dovuti ad un taglio unitario applicatoal bordo interno della piastra

RRQ 002 == π

Considerando le condizioni al contorno 1=Q0Rr =


Perungenericoraggior invece:

000

0

ln00

R

rR

dRQdQd

r

R

r

R

r

=== ∫∫∫ ρρρρ

r

R

r

RQ 00

2

2 ==π

πPerungenericoraggior invece:

Quindi si ricava:

=′

′∫ ∫

′r

dQd0 0

ρρρρ

000

30

00

00

lnlnR

dRR

RdR

Rr

R

r

R

ρρρρρρ ′′′=′′′ ∫∫


Ponendo


Si ricava:

−

== ∫∫

===

µµµµµµµµµµ 000 2

33

21ln2ln

RrRrRr

dRdR

0R

ρµ ′=

−

== ∫∫===

µµµµµµµµµµ 11

0

1

0 21ln2ln dRdR

+

−=

2

0

2

0

2

0

30 ln1

4 R

r

R

r

R

rR



Considerando le condizioni al contorno

0=rM0Rr = 0=ϕRr =

Si ricava:

( ) ( ) ( ) +−−ν ln1122

RRRRR ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

+−++−

+−=

+−++−

+−=

νννν

νννν

11

ln1

1

1

4

11

ln1

1

1

2

2

0

2

0

2

002

2

0

2

0

2

001

RR

RRRRRC

RR

RRRRRC

Che forniscono infine i valori dei momenti unitari



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )( ) ( )

−+−−

+−+++−= 2

0

2

02

0

2

00 ln1

11

11

ln121

4rRrR

RR

RRRrq ν

ννν

ννµ

Che forniscono infine i valori dei momenti unitari

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )( ) ( )

−+−−

+−++++−−= 2

0

2

02

0

2

00 ln1

11

11

ln1221

4rRrR

RR

RRRtq ν

ννν

ννµ

PIASTRA ANULARE APPOGGIATA SUL CONTORNO ESTERNO

Anche in questo caso la soluzione del problema consiste neldeterminare gli effetti del momento unitario e del taglio unitario albordo interno

Valutiamo quindi gli effetti dovuti ad UN MOMENTOUNITARIO applicato al bordo interno della piastra

Per le condizioni al contorno si ha:

R

M=1

1=rM0Rr =

Rr = 0=rM

Si ricava:

( ) ( )

( ) ( )

=−−+

=−−+

01

2

1

11

2

1

221

20

21

R

CCR

CC

νν

νν


Si ottiene quindi:

2 R

( )( )

( )

( )( )

( )

−−−=

−+=

2

0

2

02

2

2

0

2

01

11

11

2

RR

RRRC

RR

RRC

ν

ν

Da cui si ricavano i momenti:


( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

+−

=

−−

=

11

11

2

2

2

0

2

2

0

2

0

rRRR

RR

rRRR

RR

tm

rm

µ

µ

E le rotazioni:

( ) −1 0 RR

( )( )

( )( )( )

−++

−+=

r

R

R

r

RR

RR

D

Rm ν

νν

ϕ1

1

11 2

0

2

0


Valutiamo ora gli effetti dovuti adUN TAGLIO UNITARIOapplicato al bordo interno della piastra

R

Q=1

′r ρr

Per le condizioni al contorno si ha:

0=rM0Rr = Rr = 0=rM

∫ ∫ ′

′

′r

dQd0 0

ρρρρ

∫r

Qd0

ρPer le espressioni

Vale quanto è stato ricavato in precedenza

Si ricava:


( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

−−+−−=

−−

−+−=

2

0

2

030

2

2

0

2

001

1

ln

1

11

4

1

ln

1

1

4

RR

RRRC

RR

RRRC

νν

νν

Da cui si ricavano i momenti:

E le rotazioni:

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ] ( )

−−−

++−−+=

−−−

+−=

2

0

2

02

0

2

00

2

0

2

02

0

2

00

ln11

ln

1

121

4

ln11

ln1

4

rRrRRR

RRR

rRrRRR

RRR

tq

rq

νννµ

νµ

( )( ) ( )

( )( )( )

+

−

−+

−+

+−=

22

2

0

2

0

2

00 ln11

1

1

ln

1

2

4 R

r

r

R

RR

RRRR

D

rRq ν

νν

ϕ

PIASTRA ANULARE VINCOLATA SUL CONTORNO INTERNO

RR0

Valgono le stesse applicazioni viste in precedenza

Infatti, nei casi trattati non esistono limitazioni alla condizione

Quindi per tutte le formule esposte vale l’estrapolazione al casodelle piastre vincolate sul bordo interno, incastrate o appoggiate chesiano, a condizione di attribuire ai i significati descritti

0RR >

PIASTRA APPOGGIATA LUNGO UNA CIRCONFERENZA

Nel caso di una piastra circolare vincolata come in figura

RR1

Con un carico applicato ortogonalmente :


RR1

Piastra appoggiata, caricata uniformemente

La reazione del vincolo di appoggio è isostatica e vale:

11 2 R

VF

π=

Dove V è la risultate di tutti i carichi esterni


Valgono le stesse applicazioni viste in precedenza ovvero si applicail PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

RR1

Piastra appoggiata lungo una circonferenza

=Piastra circolare caricatauniformemente

Piastra circolare caricatalungo una circonferenza

=

+


La reazione del vincolo diappoggio vale

RR1

11 2 R

VF

π=

V risultante dei carichiV risultante dei carichiapplicati

Le sollecitazioni si calcolanosovrapponendo le soluzionigià viste

In modo analogo si procedeper le piastre anulari

1F1F

PIASTRA APPOGGIATA LUNGO DUE CIRCONFERENZE

Per analogia con la trave continua si definiscepiastra continua

RR1

Piastra appoggiata lungo due circonferenze

L’incognita è la reazione vincolare

Si procede come in precedenza ovvero applicando ilPRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

PIASTRA APPOGGIATA LUNGO DUE CIRCONFERENZE

Si prescrive l’annullarsi dell’abbassamento in corrispondenzadell’appoggio intermedio

Piastra appoggiata lungo due circonferenze

=R

R1

Piastra circolare caricatauniformemente

Piastra circolare caricatalungo una circonferenza

=

+

PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO

Sono piuttosto frequenti casi in cui una piastra è irrigidita da unoo più anelli concentrici

Un semplice caso è quello di una piastra con un anello irrigidenteconcentrico posto sul perimetro

È evidente che la presenza di anelli modifica le caratteristiche disollecitazioneedi deformazionedellapiastrasollecitazioneedi deformazionedellapiastra


La piastra risulta vincolata con un incastro elastico pertanto le suesollecitazioni e deformazioni saranno intermedie tra quelle dipiastra appoggiata e di piastra incastrata

La ripartizione tra queste due componenti dipende ovviamentedalle rigidezze relative di piastra ed anello


Studiamo quindi l’anello separatamente.

Consideriamo un anello circolare, anche con sezione di formaqualsiasi, sollecitato da un momentoM per unità di lunghezza,misurata lungo la circonferenza baricentrica


Studio dell’anello isolato

Carico:M momento per unità di lunghezza (rotazione intorno allacirconferenza baricentrica)

Definiamo il raggio baricentrico della sezione come R

ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ

z

σσσσ

M

ϕϕϕϕ

R R

ϕϕϕϕ

M

Pr


Sotto l’azione del momentoM tutte le sezioni subiscono la stessarotazioneϕϕϕϕ . Il raggio r relativo ad un generico punto P, postoalla distanzaz dall’asse baricentrico, diviene per effetto dellarotazione pari a: ϕzr −

La deformazione è quindi pari a:r

zϕ−

z

σσσσ

M

ϕϕϕϕ

R R

ϕϕϕϕ

M

Pr

z

σσσσ

M

ϕϕϕϕ

R R

ϕϕϕϕ

M

Pr


Lungo tutta la fibra circolare passante per P ci sarà la stessadeformazione

Quindi è possibile determinare la tensione che (in regime elastico)sarà:

r

zE

ϕσ −=

z

σσσσ

M

ϕϕϕϕ

R R

ϕϕϕϕ

M

Pr


La sezione è soggetta ad una distribuzione di tensioni lineare ovveroa FLESSIONE SEMPLICE

Se consideriamo un’ipotesi semplificativa secondo cui le dimensionidell’anello sono piccole rispetto a R si avràr ≅ R e quindi

R

zE

ϕσ −=

z

σσσσ

M

ϕϕϕϕ

R R

ϕϕϕϕ

M

Pr


Si è supposto che la rotazioneϕ avvenga attorno alla fibrabaricentrica

In tale ipotesi si haN = 0 , infatti :

∫∫ −==AA

zdAR

EdAN

ϕσ

z

σσσσ

M

ϕϕϕϕ

R R

ϕϕϕϕ

M

Pr


Le distanzez sono misurate a partire da un asse baricentrico. Quindiin tale caso

Quindi:

Come deve essere in assenza di forze esterne (o vincoli) capaci diesercitare uno sforzo assialeN

0=∫A

zdA

0=N


Infatti, un caso di forze esterne capaci di fornire uno sforzoassiale, con N≠ 0, è rappresentato dall’esempio di una pressioneinterna all’anello :

NN

pMf

Mf

MNN

Il momento risultante delleσ vale

ϕϕσR

EJdAz

R

EzdAM

AA

f −=−== ∫∫2

EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DELL’ANELLO

Essendo J il momento d’inerzia della sezione rispetto all’assebaricentrico normale all’asse dell’anello


Scriviamo ora l’EQUAZIONE DI EQUILIBRIO

Mf0=+ ϑϑ dMMRd f

MRM −=

Consideriamo un elemento di anello di ampiezza angolaredθ

dθθθθ

MfM

MRM f −=

Da cui tenendo contodell’equazione di collegamento

EJ

MR 2

=ϕ


Casi particolari

L’anello vincolato

t

ϕϕϕϕ

R R

ϕϕϕϕConsideriamo gli spostamentiimpediti da un vincolo lungo unacirconferenza posta ad unadistanzat dal piano baricentrico

Tale condizione si può realizzare ad esempio per una piastra chepossa considerarsi indeformabile nel suo piano. In tal caso ilvincolo è rappresentato dal piano della Superficie Media dellapiastra


Casi particolari


t

ϕϕϕϕ

R R

ϕϕϕϕLa deformazione può scriversi

Dacui:

R

tz

r

tz ϕϕε )()( −−≅−−=

tz ϕσ )( −−=Dacui:R

tzE

ϕσ )( −−=

ϕϕσR

EJzdAtz

R

EzdAM

AA

f −=−−== ∫∫ )(

ϕϕR

EAtdAtz

R

EN

A

−=−−= ∫ )(

EQUAZIONI DI COLLEGAMENTO


Scriviamo orale EQUAZIONI DI EQUILIBRIO

Mf

Mf

M

N

t MZ


Sia Z la reazionedel vincolo per

dθθθθ

MfMN

M

=+−=−

0

0

ϑϑϑϑϑ

dMZRtdMRd

NdZRd

f

Le equazioni di equilibrio si scrivono come:

=+−=−

0

0

fMZRtMR

NZR

unita di lunghezza


L’anello vincolatoEQUAZIONE DI EQUILIBRIO

Mf

Mf

M

N

t MZ

ϕ2R

EAt

R

NZ ==

Ricavando Z dalla prima equazione e sostituendo nella seconda ericordando le equazioni di collegamento:

02

=−− ϕϕR

EJ

R

EAtMR

dθθθθM

N


L’anello vincolatoEQUAZIONE DI EQUILIBRIO

Mf

Mf

M

N

t MZ

Poiché e posto: si ha:2ρ=AJ 22 ρα t=

( ) ( )ϕαϕ +=+= 122 EJJAtEMR

Ovvero: ( )αϕ

+=

1

2

EJ

MR

dθθθθM

N


Mf

Mf

M

N

t MZ

Ricaviamo quindi leEQUAZIONE DI COLLEGAMENTO


ααϕ

+−=

+−=−=

1)1(

2 MR

EJ

MR

R

EJ

R

EJM f

αα

αϕ

+=

+==

1)1(

2

t

MR

EJ

MR

R

EAt

R

EAtN

dθθθθM

N



t

ϕϕϕϕ

R R

ϕϕϕϕ

Dal confronto con l’anello isolato si conclude che:

1. La rigidezzaM / ϕϕϕϕ cresce nel rapporto 1+αααα;

2. Il momento flettenteM f diminuisce nello stesso rapporto

3. Nasce uno sforzo assiale N del quale si deve tener contoinsieme aM f nelle verifiche dell’anello stesso

R R


RISOLUZIONE DI PIASTRA IRRIGIDITA DA UN ANELLO

R

h

s

b

µµµµµµµµ

In assenza dell’anello la rotazione in corrispondenza del bordo èquella prodotta dal momento d’incastro perfetto cambiato disegno e applicato al contorno esterno:

µµµµµµµµ

( ) ( )ννϕ

+=

+−=

1818

32

D

pR

D

RpRR



R

h

s

b

µµµµ

Consideriamo una piastra irrigidita da un anello che sia caricatada un carico uniformemente distribuito

µµµµµµµµ

In assenza dell’anello il problema è stato già risolto



R

h

s

b

Sotto l’azione del momentoµ tale rotazione diviene quindi:

µµµµµµµµ

( ) ( )νµ

νϕ

+−

+=

118

3

D

R

D

pRR



R

h

s

b

µµµµµµµµ

Poiché come abbiamo visto la rotazione dell’anello vale

µµµµµµµµ

( )αϕ

+=

1

2

EJ

MR

E inoltre per la congruenza deve essere: Rϕϕ =



R

h

s

b

µµµµµµµµ

Risulta infine:

µµµµµµµµ

( )( ) ( )( ) 8111

1

8

22 pR

EJRD

pR βαν

µ =+++

=

Avendo posto ( )( ) ( )( )ανβ

+++=

111

1

EJRD



R

h

s

b

µµµµµµµµ

La piastra con anello irrigidente può quindi considerarsi come unapiastra semplice più una piastra anulare che si scambiano ilmomentoµ e lo sforzo assiale indicato con Z

µµµµµµµµ

Zµµµµ µµµµZ principio diSOVRAPPOSIZIONEDEGLI EFFETTI


Il parametro


( )( )α

νβ

+++

=

11

1

1

EJ

RD

Rappresenta ilGRADO DI INCASTRO

− Vale 0 per la piastra senza anello

− Vale 1 per la piastra munita di anello molto rigido e quindiperfettamente incastrata all’anello stesso


( )α+==

18;25

Rbh

Il GRADO DI INCASTRO è notevole anche per dimensionirelativamente modeste dell’anello. Ad esempio consideriamo:

Si ha:( ) νν −=+=++ 21

11

1RD

Si ha:( )( ) ν

ννα

ν−−=

−+=

+++

1

2

1

11

1

11

EJ

RD

Ovvero:ννβ

−−=

2

1

Per ν = 0 risulta β = 1 / 2 ovvero la condizione diSEMINCASTRO

Lezione 6_Le Piastre Anulari

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