Lastre inflesse in c.a.

Proff. Claudio Mazzotti e Marco Savoia – Tecnica delle Costruzioni LM – Lastre inflesse in c.a.

3.1 / 28 29/11/10

LASTRE INFLESSE IN C.A.

3.1 LA TEORIA DELLE LASTRE DI KIRCHHOFF-LOVE

Si consideri una lastra sottile, cioè una lastra il cui spessore è molto più piccolo delle dimen-sioni in pianta della lastra stessa. Si scelga un sistema di riferimento cartesiano con gli assi x, y giacenti sul piano medio della lastra e l’asse z nella direzione dello spessore h (Figura 1). Nell’ambito dei piccoli spostamenti (cioè considerando spostamento trasversali molto più picco-li dello spessore della lastra), la teoria delle lastre inflesse di Kirchhoff-Love si basa sulle se-guenti ipotesi:

1) le deformazioni nel piano medio sono nulle, quindi tale piano è piano neutro per la lastra deformata;

2) i segmenti di retta normali al piano medio nella configurazione indeformata rimangono retti-linei e normali al piano medio dopo l’applicazione dei carichi (equivale all’ipotesi nella teo-ria della trave di Eulero-Bernulli che le sezioni si mantengano piane dopo la deformazione, implica la trascurabilità della deformabilità dovuta al taglio);

3) la componente di tensione normale trasversale σz è trascurabile poiché si suppone piccolo lo spessore.

..

x

y

z

h

Γ u

Γ f

p(x, y)

Figura 1: Lastra sottile inflessa: teoria di Kirchhoff.

Le ipotesi cinematiche alla base della teoria delle lastre inflesse di Kirchhoff-Love equival-gono ad assumere il seguente campo di spostamenti:


3.2 / 28 29/11/10

u = - z ϕx = - z w,x ; v = - z ϕy = - z w,y ; w = w(x, y) (1)

da cui si ottiene il seguente campo di deformazioni infinitesime:

εz = γxz = γyz = 0 (2)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

=

xy

yy

xx

xy

y

x

xy

y

x

f

wzwzwz

vuvu

,

,

,

,,

,

,

2ε (3)

Le (2) confermano che il modello di lastra di Kirchhoff-Love trascura gli scorrimenti tan-genziali 'trasversali' γxz e γyz e la deformazione nella direzione dello spessore εz . Le (3) indicano le deformazioni ‘nel piano’ in funzione delle derivate parziali dell’unica incognita del problema, lo spostamento trasversale.

Le curvature si scrivono:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

χχχ

=

xy

yy

xx

xy

y

x

f

www

,

,

,

2χ , (4)

Le prime due curvature sono dette curvature flessionali, χxy in analogia è detta curvatura torsio-nale. Le (3) si possono riscrivere pertanto come:

εf = z χf (5)

Per quanto riguarda il legame costitutivo, poiché si trascura la componente di tensione nor-male trasversale σz si fa uso della legge di Hooke per lo stato piano di tensione (σz=0) che, per un materiale isotropo, si scrive:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−νν

ν−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσ

xy

y

x

xy

y

x E

2100

0101

1 2 (6a)

o, in forma matriciale:

σf = Df εf (6b)

Pertanto, sostituendo le (5) nelle (6) si ottiene:


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⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−νν

ν−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσ

=

xy

yy

xx

xy

y

x

f

www

Ez

,

,

,

22

2100

0101

1s cioè σf =z Df χf (7)

Integrando le (7) sullo spessore, si ottengono i momenti flettenti e torcenti unitari – cioè de-finiti per unità di lunghezza – agenti rispetto al piano medio della lastra:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−νν

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−νν

ν−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσ

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= ∫∫−−

xy

yy

xx

xy

yy

xxh

h

h

hxy

y

x

xy

y

x

www

Bw

ww

zzEzzmmm

,

,

,

,

,

,2/

2/

22

2/

2/ 22

1000101

22

1000101

d1

dm

m = B Df χf = Df0 χf (8)

dove si è posto:

)1(12 2

3

ν−=

hEB ;

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−νν

==

2100

0101

0 BB ff DD (9)

Per ottenere le equazioni che governano il problema, è necessario imporre le condizioni di equilibrio. Tali condizioni possono essere imposte in forma diretta, o imponendo la stazionarie-tà dell’energia potenziale totale ed utilizzando i metodi del calcolo delle variazioni. La seconda strada deve essere necessariamente seguita quando si vuole cercare la soluzione via metodo de-gli elementi finiti.

Le equazioni di equilibrio possono essere scritte in forma diretta con riferimento alla Figura 4, che riporta un concio di lastra di dimensioni infinitesime in pianta dx, dy, soggetto sulle quat-tro facce ai momenti flettenti e torcenti ed ai tagli ed ai vaolri incrementati sulle facce opposte. Le equazioni di equilibrio alla rotazione attorno agli assi x, y e alla traslazione in direzione z so-no:


3.4 / 28 29/11/10

0,0,0 =+∂

∂+

∂∂

=−∂

∂+

∂

∂=−

∂

∂+

∂∂

qyt

xt

tx

my

mt

ym

xm yx

yxyy

xxyx (10)

Sostituendo le (10a,b) nella (10c) si ottiene:

qy

myx

m

xm yxyx −=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

2 (11)

La (11) mostra chiaramente come una lastra sia in grado di sostenere il carico per flessione nei piani x-z e y-z ed anche con il contributo del mamento torcente.

Infine, sostituendovi le espressioni dei momenti unitari riportate nelle (8) si ottiene:

( ) ( ) ( ) qwwy

Bwyx

Bwwx

B xxyyxyyyxx −=ν+∂∂

−∂∂

∂ν−−ν+

∂∂

− ,,2

2

,

2

,,2

22)1(

che, semplificata, fornisce l’equazione di equilibrio delle lastre inflesse di Lagrange:

Bqwww yyyyxxyyxxxx =++ ,,, 2 (12)

Si noti che, nel caso di lastre rettangolari molto allungate in una direzione (al esempio nella direzione x), a meno delle porzioni di estremità i momenti my e mxy sono trascurabili, per cui le (11), (12) si riducono alle equazioni caratteristiche delle travi inflesse.

Figura 2: Equilibrio di un concio di lastre di dimensioni infinitesime dx, dy. Equilibrio alla tra-slazione in direzione verticale.


3.5 / 28 29/11/10

3.2 LE CONDIZIONI AL CONTORNO

L’equazione di Lagrange deve essere integrata nel rispetto delle condizioni imposte sul con-torno della lastra. Le condizioni sul bordo possono essere ricavate in forma rigorosa solo per via variazionale. Tale derivazione è riportata in Appendice e se ne riporta qui il risultato finale.

Siano q0n, m

0n e m0

nt i carichi applicati sul contorno, ed in particolare rispettivamente le di-stribuzioni di forze unitarie (cioè per unità di lunghezza di contorno) in direzione verticale, di momenti flettenti unitari e di momenti torcenti unitari assegnati (Figura 4).

Su tale contorno si dimostra che le condizioni al contorno si scrivono:

0,,

0 ; stnnstnnnn mqmtmm +=+= (13)

dove mn e mnt sono il momento flettente ed il momento torcente unitari sulla faccia di normale n. Essi possono essere ottenuti a partire dai valori riferiti alla coppia di assi x e y secondo le regole classiche dei circoli di Mohr, in quanto essi non rappresentano altro che l’integrale sullo spesso-re delle componenti di tensione σn, τnt ,

nh..

q n

t x

t y

m xm y

m n

m n t

m x y

m x y

t

Figura 4: Carichi applicati qn, mn, mnt sul contorno della lastra e convenzioni adottate per i momenti ed i tagli unitari.

Figura 4: Variazione di momento torcente lungo il bordo e taglio di Kirchhoff; forza con-centrata in corrispondenza degli spigoli della lastra.


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yxyxyyxxn nnmnmnmm 222 ++= , )()( 22yxyxyxxytn nnmnnmmm −+−= (14)

Analogamente, il taglio unitario tn si scrive:

tn = tx nx + ty ny (15)

La condizione al contorno (13) stabilisce che, sul contorno ove siano prescritte forze, il mo-mento flettente unitario mn deve essere uguale al momento applicato mn

0 , mentre il taglio unita-rio tn ed il momento torcente mnt non possono essere assegnati singolarmente, ma opportuna-mente combinate. La (13b) è nota come condizione al contorno di Kirchhoff ed i tagli

rx = tx + mxy,y ; ry = ty + mxy,x (16)

sono detti tagli di Kirchoff in quanto, in assenza di m0nt (di difficile interpretazione fisica) su un

bordo parallelo all’asse y, le (13) assumono la forma:

xyxyxxxx qmtrmm =+== ,0 ; (17)

La forma anomala della condizione al contorno dipende strettamente dal modello utilizzato, che esclude la deformabilità tagliante della lastra (che è invece tenuta in conto dalla teoria di Reissner-Mindlin). Essa ammette una interessante interpretazione fisica (vedi Dispensa di Tec-nica delle costruzioni).

Pertanto, le condizioni al contorno più comuni che possono essere scritte sul bordo della la-stra sono:

Cinematiche Statiche

Bordo appoggiato w = 0 mn = 0

Bordo incastrato w = 0, 0=∂∂ nw

Bordo libero mn = 0 , 0, =+= stnnn mtr

Bordo caricato nstnnnn qmtmm =+= ,0 ;

In corrispondenza di spigoli della lastra, ad esempio appoggiata, si dimostra infine che

l’equilibrio sul contorno, in assenza di carico, richiede che sia presente una forza concentrata che, per angoli retti, vale (vedi Figura 4):

PtnmR 2= (18)


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Anche questo è il risultato di avere utilizzato un modello che non include la deformazione tagliante. Con un modello alla Reissner-Mindlin si troverebbe una piccola porzione di contorno, prossima allo spigolo, nella quale si hanno reazioni elevate (vedi esempio della lastra rettangola-re appoggiata).

3.3 SOLUZIONE DI NAVIER PER LASTRE RETTANGOLARI APPOGGIATE SUL CONTORNO

Il metodo proposto da Navier può essere utilizzato per risolvere i problemi di lastre rettango-lari appoggiate al contorno. Si consideri una lastra rettangolare di dimensioni a e b, semplice-mente appoggiata al contorno e soggetta ad un carico trasversale p(x,y) (Figura 5). Le condizioni al contorno sono:

w = 0 , mx = 0 per x = 0 e x = a (19) w = 0 , my = 0 per y = 0 e y = b

Si noti che sui due lati appoggiati posti a x=0, a la condizione w=0 implica che w è indipendente da y (w,y=0); pertanto la condizione mx = −B(w,xx+ν w,yy)=0 riscritta in termini di spostamenti si riduce a w,xx=0. Su tale lato si ha quindi anche my=0. Analogamente, per i due lati appoggiati posti a y=0, b, la condizione my=0 si riduce ad imporre w,yy=0.

La soluzione della (12) viene cercata per mezzo di una serie doppia trigonometrica che con-sente di soddisfare le condizioni al contorno (19):

∑∑∞

=

∞

=

ππ=

1 1sinsin),(

m nnm b

yna

xmWyxw (20)

dove le Wmn sono costanti da determinare. Inoltre, il carico applicato p(x,y) viene rappresentato per mezzo del suo sviluppo in serie di Fourier:

x

y

a

b

Figura 5: Lastra rettangolare appoggiata sul contorno.


3.8 / 28 29/11/10

∑∑∞

=

∞

=

ππ=

1 1sinsin),(

m nnm b

yna

xmpyxp (21)

dove pmn è il coefficiente di Fourier fornito dalla relazione:

∫ ∫ππ

=a b

nm yxb

yna

xmyxpba

p0 0

ddsinsin),(4 (22)

Sostituendo le (20), (21) nell’equazione di Lagrange (12) si ottiene:

0sinsin1 1

42

2

2

2

2=

ππ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−π⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑∑

∞

=

∞

=m n

nmnm b

yna

xmB

pW

bn

am (23)

Poiché le funzioni trigonometriche sin(mπx/a)sin(nπy/b) costituiscono un sistema di funzioni linearmente indipendente, ne risulta che per avere la validità della (23) per ogni x e y, il termine in parentesi quadra corrispondente al generico termine di ordine mn della serie doppia deve es-sere nullo. Pertanto il generico coefficiente Wmn risulta:

2

2

2

2

24

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+π=

bn

amBpW nmnm (24)

La funzione w(x,y) che definisce lo spostamento trasversale in ogni punto della lastra è quin-di completamente determinato una volta che sono stati determinati i coefficienti di Fourier pmn del carico. Ad esempio, nel caso di carico uniformemente distribuito p(x,y) = p0, il coefficiente (22) diventa:

...,6,4,2,se0;...,5,3,1,se162

0 ===π

= nmpnmnm

pp nmnm (25)

Infine, dalle (8) si deducono le sollecitazioni all’interno della lastra, mentre le reazioni vincolari in corrispondenza dei lati appoggiati e le forze concentrate negli spigoli si ricavano dalle equa-zioni (16), (18).

3.4 SOLUZIONE DI LEVY PER LASTRE RETTANGOLARI APPOGGIATE SU DUE LATI OPPOSTI E VINCOLATE GENERICAMENTE SUGLI ALTRI DUE

Il metodo proposto da Levy nel 1899 può essere utilizzato per risolvere il problema di lastre rettangolari aventi due lati opposti appoggiati e gli altri due con condizioni di vincolo arbitrarie (Figura 6). La metodologia è analoga a quella proposta da Nadai per le travi parete caricate nel piano. Il problema è affrontato sviluppando il carico p(x,y) in serie di Fourier nella direzione x:


3.9 / 28 29/11/10

∑∞

=

α=1

sin)(),(n

nn xypyxp (26)

con:

anxxyxp

ayp n

ann

π=αα= ∫ ;dsin),(2)(

0 (27)

La soluzione dell’equazione di Lagrange viene quindi ricercata esprimendo lo spostamento trasversale w per mezzo di una serie trigonometrica semplice che consente di soddisfare le con-dizioni al contorno di semplice appoggio sui due lati posti a x = 0 e x = a:

∑∞

=

α=1

sin)(),(n

nn xyWyxw (28)

Sostituendo le (27), (28) nell’equazione di Lagrange si ottiene la seguente equazione:

0sin)(21

4''2 =α⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −α+α−∑

∞

=nn

nnnnn

IVn x

BypWWW (29)

Poiché le funzioni trigonometriche sin(αnx) costituiscono un sistema di funzioni linearmente indipendente, il termine tra parentesi quadra deve essere nullo per ogni termine della serie. Si ottiene così un’equazione differenziale ordinaria per la funzione Wn(y):

BypWWW n

nnnnIV

n)(2 4''2 =α+α− (30)

La soluzione della (30) si può ottenere come somma di un integrale particolare pnW e della solu-

zione 0nW dell’equazione omogenea associata alla (30) (ponendo cioè pn=0). La soluzione

dell’equazione omogenea associata è del tipo:

x

y

a

b/2

b/2

Figura 6: Lastra rettangolare con due lati appoggiati e due con condizioni di vincolo gene-riche.


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yyDyyCyByAyW nnnnnnnnnnn αα+αα+α+α= coshsinhcoshsinh)(0 (31)

dove An, Bn, Cn e Dn sono costanti che devono essere determinate imponendo le condizioni al contorno sui lati y = ± b/2 (ad esempio lato libero, appoggiato o incastrato).

Per maggiori dettagli sulla soluzione di casi particolari con il metodo di Navier e di Levy si rimanda a Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959), Belluzzi (1960, vol. 3) e Giangreco (1970, vol. 3).

3.5 LASTRE QUADRATE APPOGGIATE SUL CONTORNO

Sono riportati in Figura 7 gli andamenti delle sollecitazioni più significative in una lastra quadrata appoggiata sul contorno. Si osserva che i momenti flettenti mx e my sono nulli sui bordi e massimi al centro mC=(mx)C =(my)C =(pa2/27.1) (1-ν). Il momento torcente riportato sull’asse y=0 risulta massimo negli spigoli (nel punto A) (mxy)A= (pa2/21.6) (1-ν) e nullo sull’asse di simmetria. Nella Figura Figura 7b si riporta il quadro delle linee isostatiche.

In prossimità dello spigolo, essendo nulli i momenti flettenti mx e my e diverso da zero il momento torcente, le direzioni principali sono a 45° rispetto ai lati. Si ricorda che le direzioni principali sono le direzioni lungo le quali i momenti flettenti assumono valore massimo e mini-mo e il momento torcente è nullo. In figura Figura 7d si riportano i momenti nelle direzioni principali mu e mv . I due momenti nello spigolo sono massimi e pari ad (mxy)A. Si osserva che il momento mu è negativo sullo spigolo (come nel caso di una trave incastrata alle due estremità) poiché le rotazioni (φx )A e (φy)A sono nulle nello spigolo, mentre mv risulta pressocchè costante lungo la diagonale.

Può essere interessante notare che per ν=0 i momenti sono superiori ai momenti flettenti che si hanno al centro della lastra.


3.11 / 28 29/11/10

Figura 7: (a) Diagrammi delle componenti di sollecitazione più significative in una lastra

appoggiata; (b) Andamento dei momenti principali; (c,d) stato di sollecitazione in prossimità di uno spigolo della lastra.

(a) (b)

(c)

(d)


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3.6 LASTRE INCASTRATE SUL CONTORNO

Per le lastre incastrate non è possibile scrivere la soluzione secondo uno sviluppo in serie poiché non vengono soddisfatte le condizioni al contorno lungo il bordo della lastra, che richie-de w=0 e 0=∂∂ xw . Nel caso di una lastra quadrata soggetto a carico distribuito uniforme, si

riportano in Figura 8 gli andamenti più significativi delle sollecitazioni per ν=0. Si osserva che il momento flettente mx lungo l’asse baricentrico parallelo all’asse x risulta negativo sui bordi (mx) =(pa2/19.4) e positivo al centro mC=(mx)C =(my)C =(pa2/56) (1+ν), come nel caso di trave incastrata alle due estremità. In Figura si riporta sul bordo parallelo all’asse y (x=a) l’andamento del momento flettente mx massimo per y=a/2 e nullo all’estremità

Analogamente, il momento flettente my lungo l’asse baricentrico parallelo all’asse y (non rappresentato in figura) risulta negativo sui bordi e positivo al centro mC=(mx)C =(my)C =(pa2/56) (1+ν), come nel caso di trave incastrata alle due estremità. Inoltre, è stato rappresentato il mo-mento flettente my lungo l’asse baricentrico parallelo all’asse x che risulta nullo sul bordo e massimo al centro mC=(mx)C =(my)C =(pa2/56) (1+ν).

Per quanto riguarda il momento torcente risulta nullo sul contorno, poiché w è costante lun-go x e pertanto 02 =∂∂∂ yxw . Essendo nullo il momento torcente nello spigolo, anche i mo-

menti flettenti, ed in particolare quelli lungo le direzioni inclinate a 45° mu e mv sono nulli negli spigoli.

Figura 8: Diagrammi delle sollecitazioni di una lastra quadrata incastrata sul contorno

Figura : Deformata di una lastra appoggiata con spigoli (a) non impediti e (b) impediti di

sollevarsi.


3.13 / 28 29/11/10

3.7 LASTRE RETTANGOLARI APPOGGIATE ED INCASTRATE

In Figura 9 si riportano le curve isostatiche per lastre appoggiate ed incastrate sul contorno, al variare del rapporto tra le lunghezze dei lati (da ly/lx==1, lastra quadrata, fino ad una lastra rettangolare con ly/lx =2).

Si osserva che per la lastra quadrata il comportamento è bidimensionale, aumentando la lun-ghezza del lato ly il comportamento della striscia centrale tende via via ad essere sempre più si-mile a quello di una trave in flessione cilindrica, in quanto non risente dell’irrigidimento dovuto alla presenza dei due lati corti appoggiati.

ANDAMENTO DELLE DIREZIONI DEI MOMENTI PRINCIPALI

APPOGGIATA INCASTRATA

Figura 9: Direzioni dei momenti principali in lastra rettangolari appoggiate ed incastrate sul

contorno, il funzione del rapporti tra le lunghezze dei lati.


3.14 / 28 29/11/10

3.8 ARMATURA LASTRA IN C.A. APPOGGIATA SUL CONTORNO

In Figura si riporta a titolo di esempio, per una lastra appoggiata in calcestruzzo armato l’armatura da disporre negli spigoli per sostenere le sollecitazioni lungo le direzioni principali mu e mv. L’armatura può essere disposta secondo le direzioni principali (45° e 135°) oppure at-traverso una rete con maglie parallele alle direzioni x ed y.

Per quanto riguarda il svincolamento sul contorno, la sezione a-a mostra due possibili situa-zioni: 1) presenza di un setto verticale che impedisce allo spigolo di sollevarsi, in tal caso è ne-cessario risvoltare l’armatura diagonale all’interno della lastra per assicuare la corretta lunghez-za di ancoraggio, in quanto la reazione vincolare in corrispondenza dello spigolo è assicurata dal peso del setto; 2) in assenza di un setto verticale sovrastante è necessario impedire allo spigolo di sollevarsi utilizzando un’armatura di ripresa dalla parete sottostante ancorata.nella lastra. Nel caso di utilizzo di rete metallica, in assenza di un setto superiore è necessario utilizzare dei ferri di ancoraggio supplementari.


3.15 / 28 29/11/10

Figura: Armatura di una lastra rettangolare appoggiata su tutti i lati e soggetta ad un carico uni-

formemente distribuito.


3.16 / 28 29/11/10

3.9 ARMATURA LASTRA IN C.A. APPOGGIATA SU TRE LATI CON UN LATO LIBERO

Armatura di piastre rettangolari con appoggio a rotazione libera su tre lati (sotto un carico uniformemente ripartito).


3.17 / 28 29/11/10

3.10 ARMATURA LASTRA INCASTRATA SUL CONTORNO In figura si riporta il diagramma semplificato dei momenti flettenti lungo il bordo e lungo i

due assi di simmetria e l’armatura corrispondente.


3.18 / 28 29/11/10

3.11 ARMATURA LASTRA INCASTRATA SU TRE LATI CON UN LATO LIBERO


3.19 / 28 29/11/10

3.12 ARMATURA LASTRA PARZIALMENTE A SBALZO


3.20 / 28 29/11/10

3.13 LASTRE IN C.A. SU APPOGGI DISCRETI: SOLAI A FUNGO

Un tipo di lastra che si usa spesso negli edifici industriali è il solaio a fungo, nel quale gli

appoggi intermedi, e spesso anche quelli perimetrali, sono isolati e disposti in modo regolare, ossia in file parallele ed equidistanti, nei vertici di rettangoli o di quadrati uguali fra loro. Gene-ralmente la costruzione è a più piani e i pilastri continuano al di sopra dei solai intermedi.

I solai piani sono piastre portanti in due direzioni che poggiano senza rinforzo direttamente sui pilastri. Devono avere uno spessore minimo di 15 cm e vanno dimensionati per momenti bia-ssiali positivo di campo e negativi sui supporti, come anche contro il punzonamento.

In Figura si riportano gli andamenti dei momenti principali di un solaio piano sotto un carico uniformemente distribuito. I momenti di campo sono positivi e si sviluppano su una grande zo-na in direzione x e y, per cui è necessari o armare con barre d’acciao nelle due direzioni x e y. Nella zona dei pilastri i momenti principali risultano negativi, di direzione radiale e circolare. Vengono assorbiti di regola da una rete d’armatura, ortogonale, generalmente in direzione x e y.


3.21 / 28 29/11/10

Lewe ha ricavato le sollecitazioni per vari rapporti tra i lati del campo. A titolo d’esempio per campi quadrati, i diagrammi dei momenti sono riportati nella Figura 7.24. Per la determina-zione di tali sollecitazioni si può ricorrere a metodi approssimati.


3.22 / 28 29/11/10

3.13.1 CRITERIO DI CALCOLO APPROSSIMATO DEI SOLAI A FUNGO: IL METODO AMERICANO

Per il calcolo approssimato di solai piani a più campi con reticoli rettangolari di pilastri, in cui si mantenga 0.75< lx/ ly <1.33, la piastra può essere suddivisa in due serie incrociate di stri-sce longitudinali e trasversali, che in funzione del tipo di appoggio (collegamento a cerniera o resistente a flessione della piastra con pilastri) vengono trattate come travi continue o come te-laio. Come larghezza di trave o di traversa si introduce la distanza ly e rispettivamente lx delle serie di pilastri ad angolo retto rispetto la direzione portante (come indicato in Figura). Decisa la condizione di carico accidentale, per questa e per i carichi permanenti, si potranno determinare le sollecitazioni impiegando gli ordinari metodi di calcolo dei telai.

Ricavati i momenti negativi e positivi massimi, è evidente che non sarà lecito consideratrli

ripartiti uniformemente nell’intera larghezza. Per il dimensionamento della piastra, ogni campo di solaio viene suddiviso in strisce. E’ possibile utilizzare due suddivisioni diverse:

a) secondo Leonhardt, ogni campo di solaio viene suddiviso in strisce di larghezza 0.6ly , e in due semistrisce di corrente , ciascuna di 0.2 ly (totale= 0.4 ly , Figura 10).

b) secondo un differente criterio, ogni campo di solaio viene suddiviso in strisce di larghezza 0.5ly , e in due semistrisce di corrente, ciascuna di 0.25 ly (totale= 0.5 ly).

L’armatura si ottiene come nelle piastre, dai momenti determinati secondo la figura riferiti all’unità di larghezza. Almeno il 50% delle armature di campo delle strisce di campo e di cor-rente, va prolungata fino agli assi dei pilastri.


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Figura 10: Criterio a) per la ripartizione dei momenti su strisce di campo e di corrente con

calcolo approssimato.

Figura 11: Criterio b) per la ripartizione dei momenti su strisce di campo e di corrente con

calcolo approssimato.

0.5 ly

0.25 ly

0.25 ly


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3.13.2 LASTRE IN C.A. PROBLEMA DEL PUNZONAMENTO

Una verifica va eseguita nei solai piani per la sicurezza al punzonamento. Ad una elevata sollecitazione dovuta a forze di taglio, le fessurazioni anulari da flessione proseguono con una pendenza di 30° ÷ 35° come fessurazioni da taglio. Per la sicurezza contro il punzonamento è sufficiente l’armatura superiore a flessione fino ad un determinato limite di tensioni tangenziali.

Se la forza sollecitante supera il limite indicato negli Eurocodici o DM’96 bisogna predi-sporre un’armatura per taglio come indicato in Figura 7.65.


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Si riportano le indicazioni del DM’96 per la forza resistente al punzonamento: Verifica al punzonamento di lastre soggette a carichi concentrati (DM’96) In corrispondenza dei pilastri e di carichi concentrati si verificherà la lastra al punzonamento

allo stato limite ultimo. In mancanza di una apposita armatura, la forza resistente al punzonamento è assunta pari a: F = 0,5 u h fctd dove:

h = è lo spessore della lastra; u = è il perimetro del contorno ottenuto dal contorno effettivo mediante una ripartizione a 45°

fino al piano medio della lastra; fctd = è il valore di calcolo della resistenza a trazione. Nel caso in cui si disponga una apposita armatura, l'intero sforzo allo stato limite ultimo do-

vrà essere affidato all'armatura considerata lavorante alla sua resistenza di calcolo.


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3.13.3 SOLAI A FUNGO: PILASTRI CON CAPITELLI

Le dimensioni dei pilastri sono relativamente piccole, per cui in corrispondenza di essi la lastra è soggetta a momenti flettenti e a sforzi di taglio assai elevati (come osservato nel paragrafo pre-cedente). Per ridurre i valori di tali sollecitazioni, le sommità delle colonne sono dotate di capi-telli che conferiscono ai sostegni quel particolare aspetto da cui ha tratto origine la denomina-zione del tipo del solaio. I capitelli possono assumere forme diverse (tronco di cono, tronco di piramide); le loro generatrici è bene che di norma non siano inclinate più di 45° rispetto la verti-cale, e se quest’inclinazione viene superata, si consideri la diffusione dei carichi soltanto entro le rette a 45°.


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3.14 LASTRE CIRCOLARI (ES. SERBATOI)


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Riferimenti Bibliografici Leonhardt F., c.a. & c.a.p.: calcolo di progetto & tecniche costruttive. Edizioni Tecniche,

Milano, voll. I-III, 1977.

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