ANALISI ELASTICA E VERIFICA DI SEZIONI IN C.A. INFLESSE E ...

FACOLTÀ DI STUDI INGEGNERIA E ARCHITETTURA A. A. 2015-2016 - Corso di Laurea Magistrale in Architettura

TECNICADELLECOSTRUZIONI(9CFU)DOCENTE:ING.GIUSEPPEMACALUSO

ANALISI ELASTICA E VERIFICA DI SEZIONI IN C.A. INFLESSE E PRESSOINFLESSE:

-RICHIAMI TEORICI

-APPLICAZIONI


RICHIAMI TEORICI • Sezione Rettangolare soggetta a flessione retta

• Sezione a T soggetta a flessione retta

• Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso generale (grande

eccentricità)

• Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso di piccola eccentricità e

armature simmetriche

• Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso di piccola eccentricità e

armature non simmetriche

• APPENDICE: Determinazione degli estremi di nocciolo della sezione

omogeneizzata

1. Sezione Rettangolare soggetta a flessione retta

In flessione retta l'asse di sollecitazione coincide con uno degli assi principali di inerzia (in

particolar modo con un asse di simmetria). In tal caso la direzione dell'asse neutro è già

determinata essendo questo ortogonale all'asse di sollecitazione stesso.

Lo stato di tensione sulla sezione è noto una volta valutata la posizione dell'asse neutro ed

il valore della tensione in un punto, parametri ricavabili dell'applicazione delle equazioni di

equilibrio alla traslazione e alla rotazione.

Fig. 1. Sezione rettangolare soggetta flessione retta.

L'asse neutro divide la sezione in due porzioni una compressa (acciaio compresso e

calcestruzzo compresso) ed una tesa (acciaio teso e calcestruzzo teso se si ipotizza che

questo sia resistente a trazione) (Fig.1).

La necessità tener conto della resistenza a trazione del calcestruzzo appartenente alla

zona tesa della sezione dipende dalla tipologia di verifica che è necessario eseguire.

E' ad ogni modo sempre opportuno verificare, qualora si tenga in considerazione questo

aspetto, che il valore di tensione di trazione sul calcestruzzo non superi i valori limite di

resistenza.

La posizione dell'asse neutro (prima incognita) è determinabile attraverso la scrittura

dell'equazione di equilibrio alla traslazione, che in flessione, tenuto conto delle condizioni

di elasticità lineare dei materiali, equivale ad imporre la condizione di annullamento del

momento statico Sn della sezione omogeneizzata rispetto all'asse neutro:

0=Sn (1)

Esplicitando Sn con riferimento alla simbologia riportata in Fig. 1 e nell’ipotesi generica di

calcestruzzo reagente a trazione si ottiene:

0)Xd(nA

2

)XH(b'n)X('nA

2

Xb

)Xd(nAxdxb'n)X('nAxdxb=S

cf

2c

cf

2c

cf

Xc-H

0cf

Xc

0n

=−−−

−δ−+=

=−−−δ−+ ∫∫ (2)

I simboli n ed n' rappresentano i coefficienti di omogeneizzazione dell'acciaio e del

calcestruzzo teso rispetto al calcestruzzo compresso e valgono rispettivamente Es/Ec ed

Ect/Ec , essendo Es il modulo elastico dell’acciaio, Ect il modulo elastico del calcestruzzo

teso ed Ec quello del calcestruzzo compresso. Si noti che se si assume che il calcestruzzo

sia non reagente a trazione allora può porsi n'=0. L'Eq. (2) rappresenta un'equazione di 2°

grado nell'incognita Xc, la quale, scartando la radice negativa fornisce la distanza dell’asse

neutro dal bordo compresso.

Dalla scrittura dell'equazione di equilibrio alla rotazione rispetto all'asse neutro ed in virtù

della validità del principio di conservazione delle sezioni piane, si ottiene un'espressione

analoga a quella di Navier per la valutazione della tensione in un punto della sezione

(seconda incognita) in funzione dell'incognita Xc precedentemente calcolata.

In particolare la tensione al bordo compresso può calcolarsi come:

cn

c XI

M=σ (3)

in cui In è il momento di inerzia della sezione omogeneizzata avente la seguente

espressione:

2

cf

3c2

cf

3c

2cf

Xc-H

0

22cf

Xc

0

2n

)Xd(nA3

)XH(b'n)X('nA

3

Xb

)Xd(nAdxxb'n)X('nAdxxb=I

−+−

+δ−+=

=−++δ−+ ∫∫ (4)

I valori di tensione su acciaio e calcestruzzo restano allora univocamente determinati ed in

particolar modo quelli di maggior interesse (tensione al bordo compresso σc, tensione al

bordo teso σct, tensione sull’acciaio compresso σ'f e sull’acciaio teso σf) sono così

calcolati:

cn

c XI

M=σ (5)

)XH(I

M'n c

nct −=σ (6)

)X(I

Mn' c

nf δ−=σ (7)

)Xd(I

Mn c

nf −=σ (8)

2. Sezione a T soggetta a flessione retta

L'analisi elastica di una sezione a T a causa della sua geometria può differire lievemente

da quanto precedentemente esposto per la sezione rettangolare.

In funzione della geometria e del possibile segno del momento esterno possono verificarsi

seguenti 3 casi fondamentali, dipendenti dalla posizione dell’asse neutro (Fig. 2):

Fig. 2. Sezione a T soggetta flessione retta: casistica in relazione alla posizione dell’asse neutro

Caso a): Il momento tende le fibre inferiori e l'asse neutro taglia l'ala della sezione;

Caso b): Il momento tende le fibre inferiori e l'asse neutro taglia l'anima della sezione;

Caso c): Il momento tende le fibre superiori e l'asse neutro taglia l'anima della sezione;

Risulta evidente che nei casi (a) e (c), se si trascura il contributo del calcestruzzo teso, lo

studio della sezione può condursi in perfetta analogia a quanto fatto per la sezione

rettangolare inflessa poiché la sezione a T, una volta parzializzata, risulta equivalente a

quella rettangolare a meno delle dimensioni delle basi (B nel caso (a) e b nel caso (c)).

E’ necessario dunque valutare a priori la posizione dell'asse neutro quando si possano

verificare i casi (a) o (b).

Per far ciò è sufficiente calcolare il valore di Xc nel caso più semplice ed analogo al quello

della sezione rettangolare (caso (a) - asse neutro che taglia l'ala) e osservando se si

verifichi che 0<Xc≤s.

Se entrambi i valori delle radici forniscono soluzioni non comprese nel suddetto intervello

allora certamente si rientra nel caso (b), dove l'asse neutro taglia l'anima della sezione

facendo variare le espressioni per il calcolo del momento statico e del momento di inerzia.

In questo caso, considerando le opportune differenze fra aree positive e negative (v. Fig.

3) e nell’ipotesi di calcestruzzo non reagente a trazione, l'annullamento del momento

statico può esprimersi come:

0)Xd(nA)X('nA2

)sX()bB(

2

XB=S cfcf

2c

2c

n =−−δ−+−

−− (9)

Fig. 3. Caso b): Asse neutro ricedente all’interno dell’anima e momento positivo.

Analogamente per il momento di inerzia si ha:

0)Xd(nA)X('nA3

)sX()bB(

3

XB=I 2

cf2

cf

3c

3c

n =−+δ−+−

−− (10)

Noti Xc e In la valutazione dello stato di tensione della sezione di effettua sempre

attraverso le espressioni (5-7).

3. Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso generale (grande eccentricità)

Nel caso di grande eccentricità (centro di pressione esterno al nocciolo centrale di inerzia

della sezione omogeneizzata) l'asse neutro è interno alla sezione, che risulta parzializzata

in una parte tesa ed una compressa. Anche in questo caso la resistenza a trazione del

calcestruzzo può essere inclusa o trascurata.

Fig. 4. Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta in grande eccentricità.

Le incognite che da che identificano lo stato di tensione della sezione sono anche in

questo caso la posizione dell’asse neutro ed il valore della tensione in una qualsiasi fibra.

Dalle equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione della sezione si ottiene che la

tensione su una generica fibra (ad esempio sulla fibra corrispondente al bordo

maggiormente compresso) e la distanza dell'asse neutro dal centro di compressione

possono essere valutate attraverso le seguenti espressioni (rif. Fig. 4):

cn

c XI

dN=σ (11)

n

n

s

Id = (12)

essendo d la distanza dell'asse neutro dal centro di compressione esprimibile anche

come:

cXd c += (13)

Il segmento c che individua la distanza del centro di compressione dal bordo comprsso

della sezione può a sua volta esprimersi in funzione dell’eccentricità:

2

H

N

M

2

Hec −=−= (14)

Sostituendo la Eq. (13) nella Eq.(12) si ottiene:

0)cX(SI cnn =+⋅− (15)

che rappresenta una equazione di 3° grado in Xc nella quale i termini Sn ed In (momento

statico e momento d'inerzia della sezione omogeneizzata rispetto all'asse neutro)

assumono sempre le espressioni riportate nelle Eqq. (2) e (4) ripetitivamente.

Svolgendo i prodotti e raccogliendo i termini la Eq. (15) può porsi nella forma canonica di

equazione di 3° grado una espressione del tipo:

0DCXBXAX c2

c3

c =+++ (16)

in cui i coefficienti A,B,C e D sono cosi caratterizzati:

;2

c+

3

HbHn' + c)(nA' +c)+d(dnA=D

;c+2

H bHn' - c)( nA' -c)+(dnA - =C

bc;2

(n'-1)=B

;6

bn' +

6

b-=A

2ff

ff

+δ

+δ (17)

Nel caso di calcestruzzo non reagente a trazione i coefficienti A,B,C e D si semplificano

nel modo seguente:

c)(nA' +c)+d(dnA=D

c)( nA' -c)+(dnA - =C

2

bc-=B

6

b-=A

ff

ff

+δ

+δ

(18)

Una volta ricavato il valore di Xc è possibile valutare lo stato di tensione su acciaio e

calcestruzzo per mezzo della Eq. (11) variando le distanze delle fibre dall’asse neutro ed

impiegando gli opportuni coefficienti di omogeneizzazione:

cn

c XI

dN=σ (19)

)XH(I

dN'n c

nct −=σ (20)

)X(I

dNn' c

nf δ−=σ (21)

)Xd(I

dNn c

nf −=σ (22)

4. Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso di piccola eccentricità e armature

simmetriche

Nel caso di piccola eccentricità (centro di pressione interno al nocciolo centrale di inerzia

della sezione omogeneizzata) la sezione risulta interamente compressa ed è pertanto

possibile determinare lo stato di tensione attraverso una espressione binomia basata sul

principio di sovrapposizione degli effetti.

In particolar modo se le aree superiori ed inferiori di acciaio sono uguali (A'f=Af), il

baricentro della sezione omogeneizzata coincide con il suo baricentro geometrico (Fig. 5).

Fig. 5. Sezione rettangolare con armature simmetriche soggetta a pressoflessione retta in piccola

eccentricità.

Lo stato si tensione sulla sezione può essere determinato valutando separatamente gli

effetti dello sforzo normale N centrato in G e del un momento flettente M=Ne.

La tensione sulla fibra di calcestruzzo maggiormente compressa può esprimersi allora in

analogia all’espressione di Navier binomia per le sezioni costituite da materiale elastico:

GGid

maxc, XI

M

A

N+=σ (23)

in cui

2Gf

2Gf

3

G )Xd(nA)X('nA12

bHI −+δ−+= (24)

è il momento di inerzia della sezione omogeneizzata rispetto al suo baricentro, coincidente

in questo caso con quello geometrico, mentre

)An(A'bH)An(A'AA ffffcid ++=++= (25)

è l'area ideale della sezione omogeneizzata.

Di conseguenza, è possibile calcolare in maniera analoga le rimanenti tensioni su acciaio

e calcestruzzo:

)X-(HI

M

A

NG

Gidcmin −=σ (26)

δ−+=σ )X(

I

M

A

Nn' G

Gidf (27)

−=σ )X-(d

I

M

A

Nn G

Gidf (28)

5. Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso di piccola eccentricità e armature non

simmetriche

Il caso è analogo al precedente ad eccezione del fatto che si hanno diverse aree di

armatura superiore ed inferiore (A'f≠Af).

L'analisi può essere sempre condotta separando gli effetti ed impiegando l'espressione

binomia ma in questo caso il baricentro meccanico della sezione non è più coincidente con

quello geometrico (Fig. 6).

Fig. 6. Sezione rettangolare con armature non simmetriche soggetta a pressoflessione retta in

piccola eccentricità.

L'espressione per la valutazione della tensione sulla fibra di calcestruzzo maggiormente

compressa è analoga a quella fornita in precedenza a meno della valutazione della

posizione del baricentro meccanico, la cui coordinata può essere valutata semplicemente

attraverso momento statico della sezione omogeneizzata rispetto ad un asse tangente la

sezione nella direzione ortogonale all'asse di simmetria (es. x-x, Fig. 6), essendo valida la

relazione

id

xxGM

A

SX = (29)

in cui Aid si assume come in Eq. (25) ed Sxx è il momento statico della sezione

omogeneizzata rispetto all’asse x-x, valutabile come:

)H(nA'nA2

bHS ff

2

xx δ−+δ+= (30)

Nota la coordinata XGM, le espressioni per la valutazione delle tensioni sull'acciaio e sul

calcestruzzo si riscrivono come segue:

GMGMid

maxc XI

M

A

N+=σ (31)

)X-(HI

M

A

NGM

GMidcmin −=σ (32)

δ−+=σ )X(

I

M

A

Nn' GM

GMidf (33)

−=σ )X-(d

I

M

A

Nn GM

GMidf (34)

essendo IGM il momento d'inerzia della sezione omogeneizzata valutato rispetto al suo

baricentro meccanico. Lo stesso, attraverso le note regole di trasporto della geometria

delle masse e con riferimento alla Fig. 6, può valutarsi come:

2GMf

2GMf

2GMG

3

GM )Xd(nA)X('nAbHd12

bHI −+δ−++= − (35)

APPENDICE

Determinazione degli estremi di nocciolo della sezione omogeneizzata

Per distinguere le condizioni di piccola e grande eccentricità della sezione rettangolare

soggetta a pressoflessione retta, è necessario determinare la posizione degli estremi del

nocciolo centrale di inerzia lungo l’asse verticale. In particolar modo è necessario

determinare la distanza di questi dal baricentro geometrico della sezione al fine di poter

eseguire un confronto con l’eccentricità fornita dal rapporto M/N.

Fig. 7. Posizione degli estremi di nocciolo lungo l’asse verticale di una sezione rettangolare

in c.a.

Tale determinazione dovrà tenere conto delle aree omogeneizzate, ma può essere svolta

sfruttando la nota relazione di antipolarità fra centro di compressione ed asse neutro. In particolar modo quando l’asse neutro è tangente al bordo della sezione, il centro di

compressione coincide con l’estremo di nocciolo (antipolo). La relazione di antipolarità

applicata a tale condizione (Fig. 7) fornisce:

GKGN2G ⋅=ρ (36)

essendo ρ2G il raggio di inerzia della sezione omogeneizzata rispetto all’asse baricentrico

che d’altra parte può esprimersi anche come:

id

G2G

A

I=ρ (37)

Combinando le Eqq. (36) e (37) e tenuto conto che, la distanza GN può determinarsi

come:

=

2

HA

IGN

id

G (38)

ed esplicitando i singoli termini si ottiene:

++

δ−+

δ−+

=

2

H)]A'A(nbH[

2

HnA

2

H'nA

12

bH

GN

ff

2

f

2

f

3

(39)

Nel caso di armature simmetriche (Af=A’f) la (39) si semplifica nel modo seguente

+

δ−+

=

2

H]nA2bH[

2

HnA2

12

bH

GN

f

2

f

3

(40)


APPLICAZIONI • Richiami normativi:

o Stato limite delle tensioni di esercizio

o Stato limite di formazione delle fessure

• Applicazione 1: Verifica allo stato limite delle tensioni di esercizio:

Sezione rettangolare semplicemente inflessa


Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta in grande

eccentricità


Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta in piccola

eccentricità

• Applicazione 4: Verifica allo stato limite di formazione delle fessure:

Sezione rettangolare semplicemente inflessa

Richiami normativi:

Stato limite delle tensioni di esercizio

Con riferimento alle verifiche delle tensioni di esercizio Le Norme Tecniche per le

Costruzioni (D.M. 14.01.2008) al §4.1.2.2.5 stabiliscono che:

“Valutate le azioni interne nelle varie parti della struttura, dovute alle combinazioni caratteristica e

quasi permanente delle azioni, si calcolano le massime tensioni sia nel calcestruzzo sia nelle

armature; si deve verificare che tali tensioni siano inferiori ai massimi valori consentiti di seguito

riportati.

§4.1.2.2.5.1. Tensione massima di compressione del calcestruzzo nelle condizioni di esercizio

La massima tensione di compressione del calcestruzzo σc , deve rispettare la limitazione seguente:

σc < 0,60 fck per combinazione caratteristica (rara) σc < 0,45 fck per combinazione quasi permanente.

Nel caso di elementi piani (solette, pareti, …) gettati in opera con calcestruzzi ordinari e con spessori di calcestruzzo minori di 50 mm i valori limite sopra scritti vanno ridotti del 20%. §4.1.2.2.5.2. Tensione massima dell’acciaio in condizioni di esercizio

Per l’acciaio avente caratteristiche corrispondenti a quanto indicato al Cap. 11, la tensione massima σs, per effetto delle azioni dovute alla combinazione caratteristica deve rispettare la limitazione seguente:

σs < 0,8 fyk

Nella circolare esplicativa n. 617/2009 è inoltre specificato che:

La verifica delle tensioni in esercizio si può effettuare nelle usuali ipotesi di comportamento lineare

dei materiali, trascurando la resistenza a trazione del calcestruzzo teso. Nei calcoli per azioni di

breve durata può assumersi il valore del modulo di elasticità del calcestruzzo Ec dato dalla (11.2.5)

delle NTC, ed un modulo di elasticità dell’acciaio Es pari a 210.000 N/mm2.

[…] Nei casi in cui si ritenga possibile effettuare un’unica verifica indipendente dal tempo, si può assumere un coefficiente di omogeneizzazione n fra i moduli di elasticità di acciaio e calcestruzzo pari a 15.

Stato limite di formazione delle fessure

Con riferimento alla Tab. 4.1.IV al §4.1.2.2.4.5, la verifica allo stato di limite di formazione

delle fessure è richiesta in condizioni ambientali molto aggressive ed armature molto

sensibili alla corrosione, nei confronti della combinazione frequente. La norma inoltre

specifica:

§4.1.2.2.4.6 Stato limite di decompressione e di formazione delle fessure

Le tensioni sono calcolate in base alle caratteristiche geometriche e meccaniche della

sezione omogeneizzata non fessurata.

La verifica si esegue controllando che la tensione al bordo maggiormente teso (σct) sia

inferiore alla resistenza caratteristica a trazione per flessione fcfk.

ctmctkcfkct f7.02.1f2.1f ⋅⋅=⋅=≤σ

Applicazione 1: Verifica allo stato limite delle tensioni di esercizio: Sezione

rettangolare semplicemente inflessa.

Dati: b= 30 cm H= 60 cm

Af= 3φ18 (7.63 cm2) A'f= 2φ18 (5.08 cm2)

CLS C25/30 !!!! fck=25 N/mm2

ACCIAIO B450C !!!!fyk=450 N/mm2

Ef=210000 N/mm2

n=15 n’=0

Sollecitazioni alle diverse combinazioni:

Md,rara=100 kNm Md,q.perm.=83 kNm

La posizione dell'asse neutro è indipendente dallo stato di sollecitazione e si ottiene

imponendo l'annullamento del momento statico della sezione omogeneizzata rispetto

all’asse neutro:

0)X57(63.715)3X(08.5152

X30)Xh(nA)X('nA

2

XbS cc

2c

cfcf

2c

n =−⋅×−−⋅×+=−−δ−+=

da cui si ottiene la radice positiva:

Xc= 15.8 cm

Il momento di inerzia della sezione omogeneizzata vale:

4223

2cf

2cf

3c

n

cm246221)8.1557(63.715)38.15(08.5153

8.1530

)Xd(nA)X('nA3

XbI

=−⋅×+−⋅×+=

=−+δ−+=

Noti Sn e In lo stato di tensione si determina attraverso l’espressione monomia di Navier in

funzione del momento agente alle diverse combinazioni.

Combinazione rara: stato di tensione e verifica

Per la combinazione rara i limiti tensionali per acciaio e calcestruzzo assumono i seguenti

valori

2ckc mm/N152560.0f60.0~ =⋅==σ (limite tensionale calcestruzzo compresso)

2ykf mm/N36045080.0f80.0~ =⋅==σ (limite tensionale acciaio)

Le stato di tensione generato dal momento Md,rara è cosi determinato

c22

cn

rara,dc

~mm/N41.6cm/N3.6418.15246221

10000000X

I

Mσ<====σ

f22

cn

rara,df

~mm/N92.77cm/N5,7792)38.15(246221

1000000015)X(

I

Mn' σ<==−=δ−=σ

f22

cn

rara,df

~mm/N05.251cm/N7.25104)8.1557(246221

1000000015)Xd(

I

Mn σ<==−==−=σ

Si osserva che tutti valori tensionali per acciaio e calcestruzzo rientrano al di sotto dei limiti

prescritti e pertanto la sezione risulta verificata nei confronti della combinazione rara.

Combinazione quasi permanente: stato di tensione e verifica

Per la combinazione quasi permanente si richiede la sola verifica del calcestruzzo

compresso il cui limite tensionale è il seguente

2ckc mm/N25.112545.0f45.0~ =⋅==σ (limite tensionale calcestruzzo compresso)

La tensione al bordo di calcestruzzo maggiormente compresso generata dal momento

Md,q.perm. è cosi determinata

c22

cn

perm.q,dc

~mm/N32.5cm/N31.5328.15246221

8300000X

I

Mσ<====σ

La verifica della sezione allo stato limite delle tensioni di esercizio risulta soddisfatta anche

nei confronti della combinazione quasi permanente.


rettangolare soggetta a pressoflessione retta in grande eccentricità


Af= 3φ18 (7.63 cm2) A'f= 3φ18 (7.63 cm2)

CLS C25/30 !!!! fck=25 N/mm2


Ef=210000 N/mm2

n=15 n’=0


Md,rara=30 kNm Nd,rara=100 kNm

Md,q.perm.=27 kNm Nd,q.perm.=85 kNm

In prima istanza è opportuno valutare l'eccentricità per entrambe le combinazioni:

m32.085

27

N

Me;m30.0

100

30

N

Me

perm.q,d

perm.q,d.perm.q

rara,d

rara,drara ======

In entrambi i casi l’eccentricità è maggiore della metà dell’altezza della sezione. Il centro di

compressione è dunque esterno alla sezione confermando il caso di grande eccentricità.

Lo stato di tensione è definito una volta determinata la posizione dell'asse neutro ed il

valore di tensione in una qualsiasi fibra.

La posizione dell'asse neutro può essere determinata dalla soluzione della seguente

equazione

0)cX(SI cnn =+−

in cui

2cf

2cf

3c

n )Xd(nA)X('nA3

bXI −+δ−+=

e

)Xd(nA)X('nA2

bXS cfcf

2c

n −−δ−+=

Il valore di c si determina per le diverse combinazioni in funzione dell’eccentricità

riscontrata:

m07.025.032.02

Hec;m05.025.030.0

2

Hec .perm.q.perm.qrararara =−=−==−=−=

Più speditamente è possibile determinare la posizione dell’asse neutro raccogliendo i

termini in una di un'equazione canonica di 3° grado del tipo:

0DCXBXAX c2

c3

c =+++

in cui i coefficienti A,B,C e D per le rispettive combinazioni valgono:

Combinazione rara

Arara=-b/6= -5

Brara= -bcrara/2= -75

Crara= -nAf (d+crara)- nA'f (δ+crara) =-6867.18;

Drara= nAf d(d+crara)+ nA'fδ (δ+crara)=282470

Combinazione quasi permanente

Aq.perm.=-b/6= -5

Bq.perm= -bcq.perm/2= -101.47

Cq.perm= -nAf (d+cq.perm)- nA'f (δ+cq.perm) =-7271.13

Dq.perm= nAf d(d+cq.perm)+ nA'fδ (δ+cq.perm)= 292569

Risolvendo si ottiene nei due casi:

Xc,rara=24.3 cm; Xc,q.perm.=23.54 cm;

rarad = Xc,rara+c rara =24.3+5 = 29.3 cm; .perm.qd = Xc,q.perm+cq.perm=23.54+7=30.54 cm;

Il momento di inerzia rispetto all’asse neutro della sezione omogeneizzata vale nei due

casi:

4223

2rara,cf

2rara,cf

3

raran,

cm254002)3.2447(63.715)33.24(63.7153

3.4230

)Xd(nA)X('nA3

bXI rarac,

=−⋅+−⋅+⋅

=

=−+δ−+=

4223

2q.perm.,cf

2q.perm.,cf

3

q.perm.n,

cm241687)54.2347(63.715)354.23(63.7153

54.3230

)Xd(nA)X('nA3

bXI q.perm.c,

=−⋅+−⋅+⋅

=

=−+δ−+=



valori

2ckc mm/N152560.0f60.0~ =⋅==σ (limite tensionale calcestruzzo compresso)


Le stato di tensione generato dalle sollecitazioni relative alla combinazione rara è cosi

determinato

c22

rara,craran,

rararara,dc

~mm/N89.2cm/N82.2893.24254002

3.29100000X

I

dNσ<==

×==σ

f22

rara,craran,

rararara,df

~mm/N80.36cm/N48,367833.24254002

3.2910000015)X(

I

dNn' σ<==−

×=δ−=σ

f22

rara,craran,

rararara,df

~mm/N3.39cm/N98.3930)3.2447(254002

3.2910000015)Xd(

I

dNn σ<==−

×=−=σ

Tutti valori di tensione su acciaio e calcestruzzo risultano al di sotto dei limiti prescritti e

pertanto la sezione risulta verificata nei confronti della combinazione rara.



compresso con il seguente limite tensionale


La tensione al bordo di calcestruzzo maggiormente compresso generata dalle

sollecitazioni all

c22

.perm.q,cq.perm.n,

.perm.q.perm.q,dc

~mm/N53.2cm/N83.25254.23241687

54.3085000X

I

dNσ<==

×==σ

La sezione risulta verificata allo stato limite delle tensioni di esercizio anche nei confronti

della combinazione quasi permanente.


rettangolare soggetta a pressoflessione retta in piccola eccentricità


Af= 3φ18 (7.63 cm2) A'f= 3φ18 (7.63 cm2)

CLS C28/35 !!!! fck=25 N/mm2


Ef=210000 N/mm2

n=15 n’=0


Md,rara=30 kNm Nd,rara=500 kNm

Md,q.perm.=27 kNm Nd,q.perm.=410 kNm

Dalla valutazione dell'eccentricità si ottiene:

m066.0410

27

N

Me;m06.0

500

30

N

Me

perm.q,d

perm.q,d.perm.q

rara,d

rara,drara ======

La distanza dell’estremo di nocciolo dal baricentro si determina come:

m098.0cm8.9

2

50]63.71525030[

302

5063.7152

12

5030

2

H]nA2bH[

2

HnA2

12

bH

GN

23

f

2

f

3

==

⋅⋅+⋅

−⋅⋅+⋅

=

+

δ−+

=

La condizione è quindi quella di piccola eccentricità, per cui è possibile condurre l'analisi

dello stato di tensione della sezione attraverso la formula binomia utilizzando il principio di

sovrapposizione degli effetti. La presenza delle armature simmetriche consente inoltre di

dedurre che il baricentro della sezione omogeneizzata (baricentro meccanico) coincide

con il baricentro geometrico e pertanto potrà farsi riferimento a questo nell'analisi

(XG=H/2). La tensione sulla fibra di calcestruzzo maggiormente compressa si può valutare

allora come:

GG

d

idmaxc, X

I

M

A

N+=σ

in cui IG e Aid valgono rispettivamente:

( ) ( ) 4223

2Gf

2Gf

3

G

cm432291254763.71532563.71512

5030

)Xd(nA)X('nA12

bHI

=−⋅×+−⋅×+×

=

=−+δ−+=

e

( ) 2ffffcid cm91.17287.637.63155030)An(A'bH)An(A'AA =+⋅+×=++=++=

La verifica viene dunque condotta nei confronti delle sollecitazioni che si generano per

effetto della combinazione rara e quasi permanente.



valori:



Lo stato di tensione generato dalle sollecitazioni associate alla combinazione rara è così

determinato:

c22

GG

rara,d

id

rara,dcmax

~mm/N66.4cm/N46625432291

3000000

91.1728

500000X

I

M

A

Nσ<==+=+=σ

c22

GG

rara,d

id

rara,dcmin

~mm/N12.1cm/N112)2550(432291

3000000

91.1728

500000)X-(H

I

M

A

Nσ<==−−=−=σ

( ) f22

GG

rara,d

id

rara,df

~mm/N77.66cm/N8.6676325432291

3000000

91.1728

50000015)X(

I

M

A

Nn' σ<==

−+=

δ−+=σ

( ) f2

GG

rara,d

G

rara,df

~mm/N99.19cm/N2.19992547432291

3000000

91.1728

50000015)X-(d

I

M

I

Mn σ<==

−−=

−=σ

Tutti valori tensionali per acciaio e calcestruzzo sono inferiori al di sotto dei limiti prescritti.

La sezione risulta essere verificata nei confronti della combinazione rara.



compresso con il seguente limite tensionale:


La tensione al bordo di calcestruzzo maggiormente compresso vale:

c22

GG

.perm.q,d

id

.qperm,dcmax

~mm/N93.3cm/N28.39325432291

2700000

91.1728

410000X

I

M

A

Nσ<==+=+=σ

La sezione risulta verificata allo stato limite delle tensioni di esercizio anche nei confronti

della combinazione quasi permanente.

Applicazione 4: Verifica allo stato limite di formazione delle fessurazione: Sezione

rettangolare semplicemente inflessa.


Af= 4φ16 (8.04 cm2) A'f= 3φ16 (6.03 cm2)

CLS C25/30 !!!! fck=25 N/mm2!!!!fctm=0.30 fck2/3 = 2.56 N/mm2


Ef=210000 N/mm2

n=15 n’=0.35

Sollecitazioni alla combinazione frequente:

Md,freq.=40 kNm

Il valore di tensione che compete alla fibra maggiormente tesa si determina, una volta nota

la posizione dell’asse neutro come:

)XH(I

M'n c

n

.freq,dct −=σ

Tuttavia non essendo a priori noto se la sezione per effetto del momento applicato è

soggetta a fessurazione, è opportuno valutare dapprima il momento che induce l’apertura

della prima fessura (momento di fessurazione) in maniera da portelo confrontare con il

momento esterno.

Imponendo che la tensione al bordo maggiormente teso sia proprio pari alla resistenza a

trazione per flessione (σct=fcfk), è possibile riscrivere la precedente espressione ponendo

come incognita il momento, che assume in tal modo il significato di momento di

fessurazione (Mfess).

)XH('n

IfM

c

ncfkfess

−=

La posizione dell’asse neutro è sempre fornita dalla condizione di annullamento del

momento statico:

0)X37(04.8152

)X40(2535.0)3X(03.615

2

X25

)Xd(nA2

)XH(b'n)X('nA

2

Xb=S

c

2c

c

2c

cf

2c

cf

2c

n

=−⋅⋅−−

⋅−−⋅+=

=−−−

−δ−+

da cui si ottiene la radice positiva:

Xc= 16.82 cm

Il momento di inerzia della sezione omogeneizzata vale:

423

23

2cf

3c2

cf

3c

n

cm142356)337(04.8153

)82.1640(2535.0)382.16(03.615

3

82.1625

)Xd(nA3

)XH(b'n)X('nA

3

XbI

=−⋅⋅+−

⋅+−⋅⋅+=

=−+−

+δ−+=

Si determina quindi il momento di fessurazione come:

kNm91.44Ncm4491430)82.1640(35.0

142356256

)XH('n

IfM

c

ncfkfess ==

−⋅

⋅=

−=

Dal confronto il momento di fessurazione risulta essere maggiore rispetto al momento

esterno e pertanto la sezione non si fessura. La verifica allo stato limite di formazione delle

fessure è conseguentemente soddisfatta e non è necessari procedere alla valutazione

della tensione al bordo teso di calcestruzzo.

ANALISI ELASTICA E VERIFICA DI SEZIONI IN C.A. INFLESSE E ...

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