piastre circolari

Piastre circolari inflesse assialsimmetriche

Corso di Costruzione di macchine Corso di laurea magistrale in Ingegneria meccanica Antonio Gugliotta

Piastre circolari assialsimmetriche

Come le piastre piane le piastre circolari sono caratterizzate da uno spessore h piccolo rispetto alle dimensioni nel piano medio.

2

a

b

h

z, w

y

x

r

z, w

hR

Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta


Studio dello stato di sollecitazione della piastra quando inflessa, con spostamenti normali al piano di giacitura della sua superficie media.

3

z, w

r

R



IPOTESI: il materiale omogeneo, isotropo e si comporta elasticamente; lo spessore h costante e piccolo rispetto alle dimensioni nel piano medio della piastra; la piastra quindi in stato di tensione piano; lo spostamento w piccolo rispetto allo spessore. lo spostamento w lungo lo spessore della piastra uguale a quello del piano medio, ne deriva che la deformazione lungo z nulla, in contrasto con lipotesi di stato di tensione piano. si assume che una sezione normale al piano medio della piastra indeformata si conserva piana e normale alla superficie media anche dopo la deformazione

4 Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta


IPOTESI (cont.): Vincoli assialsimmetrici (appoggio o incastro lungo il contorno). Carichi assialsimmetrici e normali al piano della lastra (paralleli allasse z). La legge di variazione del carico funzione di r ma non dipende da .



Se sono valide queste ipotesi si ha: Lo spostamento w funzione del solo raggio r e indipendente da Le tensioni , r e rz sono funzione del solo raggio r e indipendenti da . Le tensioni normali r e sono nulle nel piano z = 0 Le tensioni tangenziali r e z sono nulle. La tensione normale z nulla. La superficie elastica di rivoluzione. Non chiamata in causa la rigidezza membranale


Curvature spostamenti - rotazioni

8

2

2

1

1 1n

c

wR r r

wR r r r

wr

w

c cR AB R r


Curvature spostamenti - rotazioni

9

Le deformazioni possono essere calcolate da:

2

2

2

2

1

r

rn n

u wz z

r r r

z wz z

R r r R r

1c c

c

R AB R rR r

wu z z

r

2 2 12

1 1

c

cc c

r u r u wz

r r r r

z wz z

R r r r R r


wr

Relazioni tensioni - deformazioni

10

2

2rn

cc

z wz z

R r r

z z wz

R r r r

2

2

1

1

r r c

c c r

E

E

2

3 2 2

2

3 2 2

121

12 11

r

c

m Ez w wz

h r r r

m Ez w wz

h r r r

3

3

12

12

rr

tc

mz

hm

zh


Relazioni tensioni - deformazioni

11

3 2

22

3 2

22

12 1

1

12 1

r

c

Eh w wm

r r r

Eh w wm

r r r

2

2

2

2

1 1

1 1 1

rn c

cc n

w wm D D

r r r R R

w wm D D

r r r R R

3

212 1

EhD

r

c

m Dr r

m Dr r


Equazioni di equilibrio

Consideriamo un elemento infinitesimo della lastra, ottenuto con due sezioni cilindriche, al raggio r e dr, del settore individuato dallangolo d , soggetto ad un carico distribuito p (N/m2). Sullelemento agiranno momenti flettenti e forze di taglio:

12

p

rr

mm dr

r

QQ dr

r

Q

rm

cm

cm

il momento flettente, per unit di lunghezza, mr agente nel piano rz il momento flettente, per unit di lunghezza, mc agente in un piano normale al piano rz la forza di taglio, per unit di lunghezza, Q agente nel piano rz



13

drr

d

QQ dr

r

rr

mm dr

r

rmp

cm

cm

Q



Equazioni di equilibrio: momenti agenti

14

Al raggio r rm rd

Al raggio r+dr rrm

m dr r dr dr

Sui lati cm dr

Risultante sui lati 2 sin2c cd

m dr m drd

d

drr

QQ dr

r

rr

mm dr

r

rmp

cm

cm

Q



Piastra soggetta ad un carico distribuito p (N/m2) Equazioni di equilibrio: forze di taglio

15

Al raggio r Qrd

Al raggio r+dr QQ dr r dr dr

Trascurando la variazione di Q per il calcolo della coppia dovuta a Q:

Qrd dr

d

drr

QQ dr

r

rr

mm dr

r

rmp

cm

cm

Q



Equilibrio alla rotazione

16

0

r rr r

r c

m mm rd m drd rdrd drdrd

r rm rd m drd Qrd dr

0rr cm

m drd rdrd m drd Qrd drr

0rr r cm

m dr r dr d m rd m drd Qrd drr

=0




17

0rr cm

m r m Qrr

r cm r m Qrr

Sostituendo per mr e mc le espressioni in funzione di o w :

2

2 2

1 Qr r r r D3 2

3 2 2

1 1w w w Qr r r r r D




18

1 Qr

r r r D

1 w Qr

r r r r D



Altro modo di risoluzione, in termini di momenti: Riepilogo

19

r cm r m Qrr

In termini di rotazione le deformazioni sono:

r cz zr r1

c c

rr

z r z r

r c rr



Le deformazioni espresse in funzione dei momenti

20

3

1 11 1 121 1

r r r

c c c

m zmE E h

r c rr

3

1121

r r

c c

mzmEh

3 3

12 12r c c r

z zm m r m m

Eh Eh r



Lequazione di congruenza espressa in funzione dei momenti

21

c rr c c r

m mm m m m r

r r

c rr r c c

m mm m m m r

r r

11 c rr c

m mm m

r r r



Dallequazione di equilibrio

22

rc r

mm r m Qr

r

2

2 2c r rm m m Qr Q rr r r r

c rr

m mr m Qr

r r r



Sostituendo nellequazione di congruenza

23

11 r r rr r r

m m mm r m Qr r m Qr

r r r r r

r r r rr

m m m mQ Q r m Qr

r r r r r

11 c rr c

m mm m

r r rc r

r

m mr m Qr

r r rr

c r

mm r m Qr

r



24

r rr

m mr m Qr Q Q

r r r

2r rm

r m Qr Q Qr r r

21rr m Q Q Qrr r r r

21 2rQ

r m Q rr r r r


Piastre assialsimmetriche: Esempi

Riepilogo equazioni

25

0r cm r m Qrr

1 Qr

r r r D

1 w Qr

r r r r D

3

212 1

EhD

21 2rQ

r m Q rr r r r


Piastre assialsimmetriche: Esempi

Esempio n. 1: carico uniformemente distribuito

26

12

w qrr

r r r r D

Integrando una volta: 2

1

14

w qrr C

r r r D

3

14w qr

r C rr r D

222qr

rQ r q Q

p

rmQ Q

rm

r

p

ra


Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito Integrando una seconda volta:

27

4 2

1 216 2w qr r

r C Cr D

32

116 2w qr r C

Cr D r

(a)

4 2

1 2 3ln( )64 4qr r

w C C r CD

(b)

p

a

!wr


Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 1 bordo esterno incastrato

28

Condizioni al contorno: 0 0 ;

0, 0

r

r a w

Imponendo le condizioni su (a)

20 0r C3

10 16 2qa a

r a CD

2

1 8qa

CD

p

a

32

116 2w qr r C

Cr D r

(a)



29

!wr

3 22 2

16 16 16w qr qa qr

r r ar D D D

2 2

16w qr

a rr D

Dalleq. (b)

4 22

364 32qr qa

w r CD D

p

a



30

4 22

364 32qr qa

w r CD D

0r a w

4 4

3

4

3

064 32

64

qa qaC

D Dqa

CD

p

a



31

4 2 42

64 32 64qr qa qa

w rD D D

24 2 2 4 2 2264 64q q

w r a r a a rD D

4

max 064qa

w rD

p

a


Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito

32

piastra incastrata - carico uniforme

7.00

6.00

5.00

4.00

3.00

2.00

1.00

0.00- 20 40 60 80 100

raggio

defo

rmat

ap

a



33

Calcolo dei momenti mr, mc

r cm D m Dr r r r

2 2

16qr

a rD

2 2316q

a rr D

p

a



34

2 2 2 2316 16rq qr

m D a r a rD r D

2 2 2 2 2 2 2 23 316 16rq q

m a r a r a r a r

2 21 316rq

m a r

p

aCalcolo dei momenti mr, mc



35

2 2 2 21 316 16cqr q

m D a r a rr D D

2 2 2 2316cq

m a r a r

2 21 1 316cq

m a r

p

aCalcolo dei momenti mr, mc



36

2

116c rqa

m m2

116rqa

m

r = 0

22 2 2 23

16 8c rq qa

m a a a a m

r = a 2

2 2 2 2316 8rq qa

m a a a a

p

aValori caratteristici



37

piastra incastrata - carico uniforme

-15,000

-10,000

-5,000

-

5,000

10,000

- 20 40 60 80 100

raggio

mom

enti

mr mc

p

a


Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato

38

Condizioni al contorno:

0 0 ;

0, 0 0r

r

r a w mr r

32

116 2w qr r C

Cr D r

a

p



39


20 0 0r C

3

116 2w qr r

Cr D

213

16 2qr C

r D

a

p

32

116 2w qr r C

Cr D r

(a)



40

0rr a m

2 31

1

30

16 2 16 2r a

qr C qr rC

D r D

2 21 13 0

16 2 16 2qa C qa CD D

Imponendo le condizioni su (a) a

p



41

2

13 1 08qa

CD

2

1

3

8 1qa

CD

3 22 23 3

16 2 8 1 16 1qr r qa qr

r aD D D

Imponendo le condizioni su (a) a

p



42

Dallequazione (b)

0r a w

4 2

1 364 4qr r

w C CD

4 2

1 3 064 4qa a

C CD

a

p

4 2

1 2 3ln( )64 4qr r

w C C r CD

(b)



43

4 2 4 2 2

3 1

364 4 64 8 4 1qa a qa qa a

C CD D D

4 4 4

3

3 32 1

32 1 64 64 1qa qa qa

CD D D

4 4

3

6 2 1 564 1 64 1qa qa

CD D

a

p



44

4 2 2 43 564 8 1 4 64 1qr qa r qa

wD D D

4 2 2 43 564 32 1 64 1qr qa r qa

wD D D

4 2 2 43 5264 1 1q

w r a r aD2 2

2 2564 1

q a rw a r

D

a

p



45

piastra appoggiata - carico uniforme

30.00

25.00

20.00

15.00

10.00

5.00

0.00- 20 40 60 80 100

raggio

defo

rmat

a

a

p



46

r cm D m Dr r r r

2 2 316 1qr

r aD

2 2 213 3 3

16 2 16 16 1qr C qr qa

r D D D

Calcolo dei momenti mr, mc a

p



47

2 22 23 3 3

16 1 16 16 1rqa qr qr

m D a rD D r D

2 2 2 23 3316 1 1rq

m a r a r

2 2 2 231 3 316 1 16rq q

m a r a r


p



48

2 22 21 3 3 3

16 1 16 1 16cqr qa qr

m D a rr D D D

2 2 2 23 3 316 1 1cq

m a r a r

2 23 1 316cq

m a r


p



49

piastra appoggiata - carico uniforme

-

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

- 20 40 60 80 100

raggio

mom

enti

mr mc

a

p



50

valori caratteristici

4 564 1qa

wD

r = 0

2 316rq

m a

2 316cq

m a

a

p



51

0w

r = a

0rm

22 23 1 3 3 1 3

16 16cq qa

m a a

2

18cqa

m

valori caratteristici a

p


Esempio n. 2: Momento costante al bordo esterno Piastra appoggiata soggetta a M costante al bordo esterno

52

0rr cm

m r m Qrr

0 0rm

Qr

r cm D m Dr r r r

r cm m M

r r r r

a

M M



53

1 1r r

r r

1 1

n tr r r r1 1

n tr r

1rm D Dr r r

da:

1 1rm r Mr

D D

a

M M



54

!wr1

w Mrr D

2

12 1Mr

w CD

1 1rm r Mr

D D a

M M



55


0r a w2 2

1 10 2 1 2 1Mr Ma

C CD D

2 2

2 1M

w a rD

2

12 1Mr

w CD a

M M


Esempio n. 2: Momento costante al bordo esterno

56

piastra appoggiata - momento costante

0.18

0.16

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00- 20 40 60 80 100

raggio

defo

rmat

a

a

M M


Esempio n. 2: Momento costante al bordo esterno

57

piastra appoggiata - momento costante

-1.80E-03

-1.60E-03

-1.40E-03

-1.20E-03

-1.00E-03

-8.00E-04

-6.00E-04

-4.00E-04

-2.00E-04

0.00E+00- 20 40 60 80 100

raggio

rota

zion

e

a

M M


Esempio n. 1a: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato

58

Il problema della piastra con appoggio al bordo esterno e carico uniformemente distribuito pu essere risolto come sovrapposizione di:

Nel caso di piastra incastrata:

2

8r r aqa

m

p

a

aM M

Piastra incastrata e Piastra appoggiata con mr al raggio r = a pari al momento di incastro.



59

Se, nel caso di piastra appoggiata si pone:

Allora la rotazione e lo spostamento valgono:

22 2

16 1qa

w a rD

2

8 1qa r

D

2

8qa

M

a

2

8qa 2

8qa



60

e, combinando i due casi: 2

2 21 2 16 8 1

qr qa ra r

D D

2 2 2 2 2 22 2 2 2

16 1 16 1qr a qr a a r r a

a rD D

2 2 22 23 1 3

16 1 16 1

a a rqr qra r

D D

p

a

a

2

8qa 2

8qa



61

e, combinando i due casi:

222 2 2 2

1 2 64 16 1q qa

w w w a r a rD D

2 2 22 2 4

64 1

q a r aw a r

D

2 2 2 22 2 2 22 24 1 5

64 1 64 1

q a r q a ra a a rw a r

D D

p

a

a

2

8qa 2

8qa


Esempio n. 1b: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato

62

21 2 32 2 2rqr q qr

r m rr r r

2 2qr Q q

Qr

a

p

Il problema della piastra con appoggio al bordo esterno e carico uniformemente distribuito pu anche essere risolto utilizzando lequazione scritta in termini di momento:

21 2rQ

r m Q rr r r r



63

22

1

13

4rqr

r m Cr r

32

13 4rqr

r m C rr

4 22

1 23 16 2rqr r

r m C C

21 2

23 16 2rqr C C

mr

2 0C 0 rr maltrimenti per

a

p



64

213

16 2rqr C

m


0rr a m

21

2

1

0 316 2

38

qa C

qaC

a

p



65

2 23

16rq

m a r

3

8r qrmr

rc r

mm r m Qr

r

22 2 23 3 3

8 16 16 2cqr

m qr qa qr

a

p



66

2 2 23 3 8316 16 16c

m qa qr qr

2 2 2 23 9 8 316 16 16 16c

m qa qr qr qr

2 23 1 316cq

m a r

a

p


Esempio n. 3: Piastra circolare forata Le equazioni risolutive in termini di rotazione e di spostamento w sono:

67

10

Qr

r r r D

10

w Qr

r r r r D

0Q

1

1r C

r r

1r C rr

ab

M2M2M1M1


Esempio n. 3: Piastra circolare forata

68

2

1 22r

r C C

21 2r C

Cr

21 2

w r CC

r r

2

1 2 3ln4r

w C C r C

ab

M2M2M1M1


Esempio n. 3: Piastra circolare forata

69

21 2r C

Cr

21 2

12

CC

r r

rm D r r

1 2 1 22 22 2r

C C C Cm D

r r

1

2

r

r

r b m M

r a m M

ab

M2M2M1M1

Condizioni al contorno sul carico


Esempio n. 3: Piastra circolare forata Condizioni al contorno sul carico

70

1 21 2

1 22 2

1 12

1 12

C CM D

b

C CM D

a

1 2 1 22 1 2 21 1 1 12 2

C C C CM M D

a b

2 22 2

2 1 22 2 2 21 1C C a b

M M D D Cb a a b

ab

M2M2M1M1



71

2 22 1

2 2 21

a b M MC

a b D

2 22 11

1 22 2

11 1

2 1

a b m mCM D

ba b D

22 11

1 2 21

2

a m mCM D

D a b

ab

M2M2M1M1



72

2 2 2 21 1 2 1 1

2 2 12M a M b M a M a C

Da b

22 1 1

1 2 2 12

a M M CM D

a b

2 22 1

1 2 2

2

1

M a M bC

D a b

ab

M2M2M1M1


Esempio n. 3: Piastra circolare forata Condizioni al contorno su spostamenti e rotazioni

appoggio bordo esterno

73

0r a w

2

1 2 3ln4r

w C C r C

2

1 2 30 ln4a

C C a C

2

3 1 2 ln4a

C C C a

ab

M2M2M1M1


Esempio n. 3: Piastra circolare forata Lo spostamento w quindi dato da:

74

ab

M2M2M1M12

1 2 3ln4r

w C C r C

2 2

1 2 1 2ln ln4 4r a

w C C r C C a

2 212 ln ln4

Cw a r C r a

2 2 2 22 1 2 12 2

2 2 2 2

2ln

4 1 1

M a M b a b M M rw a r

aD a b D a b


Esempio n. 3: Piastra circolare forata La rotazione :

75

ab

M2M2M1M1

21 2r C

Cr

2 2 2 22 1 2 1

2 2 2 2

2 121 1

M a M b a b M MrrD a b D a b

2 2 2 22 1 2 1

2 2

1 11 1

M a M b a b M Mr

rD a b


Esempio n. 3: Piastra circolare forata I momenti mr e mc:

76

ab

M2M2M1M1

2 2 2 22 1 2 1

2 2 2 2 2

21 1

2 1 1r

M a M b a b M Mm D

D a b r D a b

2 22 22 12 1

2 2 2 2 2r

a b M MM a M bm

a b r a b

1 221 12r

C Cm D

r


Esempio n. 3: Piastra circolare forata I momenti mr e mc:

77

ab

M2M2M1M1

2 2 2 22 1 2 1

2 2 2 2 2

21 1

2 1 1c

M a M b a b M Mm D

D a b r D a b

2 22 22 12 1

2 2 2 2 2c

a b M MM a M bm

a b r a b

cm D r r1 2

22C C

r r

1 221 12c

C Cm D

r


Esempio n. 3: Piastra circolare forata Carico sul bordo interno

78

2 2b

rQ bp Q pr

12

w Q Pr

r r r r D rD

1

1ln

2w P

r r Cr r r D

1ln2w P

r r r C rr r D

ab

p

22P

P bp Qr


Esempio n. 3: Piastra circolare forata Piastra circolare forata con carico sul bordo interno

79

22 2

1 2ln4 8 2w P P r

r r r r C Cr D D

212ln 18 2

w P r Cr r C

r D r

ab

p

22

1 2 3ln 1 ln8 4P r

w r r C C r CD



80

1 2

3

0,

0

0

r

r

r b mC C

r a m

r a w C

2

2r

w wm D

r r r

21 2 1 2

2 2 22ln 1 2ln 18 4 2 8 2w P P C C P C C

r rr D D r D r

ab

p

212ln 18 2

w Pr r Cr C

r D r



81

1 22

21

2ln 18 2

2ln 18 2

r

Pr C Cm D r

D r

Pr r Cr C

r D r

ab

p

1 22

1 12ln 1 1

8 2rD DP

m r C Cr



82

ab

p

(a)

(b)

(a) (b):

2 2 2

1 11 ln 1 0

4P a

C Db a b

1 22

1 12ln 1 1 0

8 2

D DPa C C

a

1 22

1 12ln 1 1 0

8 2

D DPb C C

b



83

ab

p

2 2

2 2 2

1ln

4 1P a b a

CD a b b

2 2

1 2 2 2

1 1 12ln 1 1 ln 0

8 2 4 1

D DP P a b ba C

a D a b a

da (a):



84

ab

p

2

12 2

12ln 1 1 1 ln 0

8 2P b b

a Ca b a

2

1 2 2

1 22ln ln

4 1P b b

C aD a b a

22

1 2 3

1ln 1 ln 0

4 4a

w pba a C C a CD

30r a w C


Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno incastrato

85

22P

rQ P Qr

1 Qr

r r r D

1

1ln

2P

r r Cr r D

12P

rr r r rD

1ln2P

r r r C rr D

a

P



86

22 2

1 2

1 1ln

2 2 4 2P r

r r r r C CD

21

1 1ln

2 2 4 2Pr r C

r CD r

2 2

1 2 3

1 1ln ln

2 4 4 4Pr r

w r C C r CD

a

P



87

a

P


20 0r C

1

1 10 ln

2 2 4 2Pa a

r a a CD

1

1 1ln 2ln 1

2 4 4P P

C a aD D

Condizioni al contorno: 0 0 ;

0, 0

r

r a w



88

1 1 1 1ln ln

2 2 4 2 2 4Pr Pr

r aD D

a

P

ln4Pr rD a

2 2

1 3

1 1ln

2 4 4 4Pr r

w r C CD

2 2

3

1 1ln 2ln 1

2 4 4 4 4Pr P r

w r a CD D



89

a

P2

32ln 2 2ln 116Pr

w r a CD

2

32ln 116Pr r

w CD a

2

32ln 1 016Pa a

CD a

2

3 16Pa

CD

2 2

2ln 116 16Pr r Pa

wD a D

22 2 ln

16 8P Pr r

w a rD D a



90

r cm D m Dr r r r


a

P

ln ln 14 4Pr r P rD a r D a

ln 1 ln4 4rP r Pr r

m DD a r D a

1 ln 14rP a

mr



91

r cm D m Dr r r r

a

P

ln ln 14 4Pr r P rD a r D a

1ln ln 1

4 4cPr r P r

m Dr D a D a

1 ln4cP a

mr



Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato

92

piastra incastrata - carico concentrato

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

0.00- 20 40 60 80 100

raggio

defo

rmat

a

a

Pbordo esterno incastrato


Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato

93

piastra incastrata - carico concentrato

-1,000

-500

-

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

- 20 40 60 80 100

raggio

mom

enti

mr mc

a

Pbordo esterno incastrato



94

a

P

22 2 ln

16 8P Pr r

w a rD D a

r = 0 valori caratteristici

2

0lim ln 0

8rPr rD a

2

16Pa

wD



95

a

P

r = a

valori caratteristici

1 ln 14rP a

mr

1 ln4cP a

mr

,r cm m

r = 0

4rP

m

4c rP

m m


Esempio n. 5: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno appoggiato

96

Il problema della piastra con appoggio al bordo esterno e carico concentrato pu essere risolto come sovrapposizione di:

Nel caso di piastra incastrata:

4r r aP

m

aM M

a

P

Piastra incastrata e Piastra appoggiata con mr al raggio r = a pari al momento di incastro.



97

Se, nel caso di piastra appoggiata si pone:

allora la rotazione e lo spostamento valgono:

2 2

8 1P

w a rD4 1

PrD

4P

Ma

4P

4P

4r cP

m m

e il momento radiale mr e quello circonferenziale mc :



98

e, combinando i due casi: a

P

a4P

4Pln

4 4 1Pr r PrD a D

1ln

4 1Pr rD a

22 2 2 2ln

16 8 8 1P Pr r P

w a r a rD D a D

2 2 23ln

16 1 8

P a r Pr rw

D D a



99

e, combinando i due casi: a

P

a4P

4P

1 ln 1 1 ln4 4 4rP a P P a

mr r

1 ln 1 ln 14 4 4cP a P P a

mr r



100

r = 0


P

2 3

16 1Pa

wD

r = a

4 1Pa

D



101


P

r = a

0rm

14cP

m

,r cm m

r = 0



102

piastra appoggiata - carico concentrato

2.50

2.00

1.50

1.00

0.50

0.00- 20 40 60 80 100

raggio

defo

rmat

a

a

P



103

piastra appoggiata - carico concentrato

-

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

- 20 40 60 80 100

raggio

mom

enti

mr mc

a

P


piastre circolari

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