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1
La matrice CKM e la violazione di CP
Massimo LentiINFN-Firenze
2002
2
Sommario• L’angolo di Cabibbo• La matrice CKM• Le Simmetrie P, C, T• La violazione di CP• Il sistema K0 K0
La violazione indiretta di CP: La violazione diretta di CP: ´/• I triangoli di unitarietà• Il sistema B0 B0
Fit al triangolo di unitarietà Misura di sin2• Conclusioni
3
L’angolo di Cabibbo• Le transizioni con cambiamento di stranezza sono molto soppresse
pee, S = 1
npeeS = 0
K++S = 1
+S = 0
K+e+eS = 1
+e+e, S = 0
• La soppressione è circa 1/20 (corretta per lo spazio delle fasi)• Angolo di Cabibbo: l’autostato debole del quark di carica –1/3 è: d´ = cos d + sin s, sin
4
Sperimentalmente sono molto soppresse le transizioni di corrente neutra con cambiamento di stranezza: es. K0+
s W
W
d
u
Occorre allora introdurre un altro quark di carica +2/3, il c
Ed un altro autostato debole di carica –1/3: s´ = cos s sin d
Se le masse dei quark sono uguali si ha una cancellazione delle SCNC (GIM)
È stata poi scoperta la terza famiglia di quark: t e b
Generalizzazione dell’angolo di Cabibbo
5
La lagrangiana d’interazione per le correnti cariche deboli si può scrivere:
rappresenta uno dei tre doppietti lefthanded dei quark
Il settore di massa della lagrangiana non è diagonale:
e sono due matrici :
3
int 51
' 1 ' . .2 2 i i
i
gL u d W c c
''
i
i
dudove
''''3
1,ji
dijji
ji
uijmass ddmuumL
ddd
ddd
ddd
dij
uuu
uuu
uuu
uij
mmmmmmmmm
mmmmmmmmmm
m
333231
232221
131211
333231
232221
131211
,
uijm d
ijm
3 3
6
Diagonalizzando
con Uu e Ud matrici unitarie . Gli autostati di massa saranno allora:
La lagrangiana d’interazione assumerà quindi la forma:
† †
0 0 0 00 0 ; 0 00 0 0 0
u du d
u ij u c d ij d s
t b
m mU m U m U m U m
m m
3 3
'''
;'''
3
2
1
3
2
1
ddd
Ubsd
uuu
Utcu
du
3
†int 5
1
1 . .2 2
ik kji u d i
i
gL u U U d W c c
bt
sc
du
du
i
i , , dove
7
La matrice CKMSperimentalmente sono osservabili le masse mu, mc, mt, md, ms, mb e la matrice
unitaria:
†ud us ub
CKM u d cd cs cb
td ts tb
V V VV U U V V V
V V V
8
I moduli degli elementi della VCKM si possono misurare da larghezze parziali di decadimento o da sezioni d’urto:
n p
d
u
d
u
u
d
eW
| Vud | dal decadimento beta dei nuclei (npee oppure pne+e) paragonato al decadimento del leptone
| Vud | = 0.9735 0.0008
9
| Vus | dal decadimento Ke3 (K+0e+e oppure K0-e+e): | Vus | = 0.2196 0.0023
K+ 0
s
u
u
u
W
e+
e
d cW
| Vcd | dalla produzione di charm per interazione di fasci di neutrini sui quark d di valenza del bersaglio:
| Vcd | = 0.224 0.016
10
D
c
d
s
d
W
e
| Vcs | dal decadimento De3 dei mesoni con charm (DK0ee oppure D0K+ee):
| Vcs | = 1.04 0.16
K0
B+
b
u
c
u
W
e+
D0
| Vcb | dai decadimenti semileptonici dei mesoni con bottom in un mesone con charm (B+D0e+e oppure BdDe+e) e dai decadimenti semileptonici “inclusivi” del quark b nel quark c (in cui stato iniziale e finale sono ricostruiti solo parzialmente):
| Vcb | = 0.0407 0.0019
11
b cW
e
| Vub | dai decadimenti semileptonici inclusivi del quark b in cui l’impulso del leptone è superiore a quello permesso da un decadimento con un quark c associato:
| Vub / Vcb | = 0.089 0.012
Bd Bd
b
d
t
t
d
b
| Vtd | dalle oscillazioni dei mesoni BdBd: la frequenza di oscillazione
MBd= 0.489 0.008 ps-1 dipende dal prodotto Vtb
* Vtd attraverso un diagramma a box
con il quark top
| Vtb* Vtd | = 0.0083 0.016
W W
12
Bs Bs
b
s
t
t
s
b
| Vts | dalle oscillazioni dei mesoni Bs Bs: la frequenza di oscillazione
MBs> 14.6 ps-1 (95% CL) per confronto con Md
permette di stabilire il limite
| Vtd / Vts | < 0.24
t bW
e
W W
| Vtb | dal rapporto tra decadimenti semileptonici di un quark t in un quark b e quelli con anche quark s e d (ossia quando viene identificato un adrone con b nello stato finale e quando questo non avviene, corretto per le efficienze di identificazione)
| Vtb |2
| Vtb |2 + | Vts |2 + | Vtd |2= 0.99 0.29
13
Dalle misure fatte (escludendo | Vts | e | Vtd | ) ed imponendo il vincolo di unitarietà (ed assumendo solo tre famiglie di quark), i limiti al 90% di livello di confidenza sui moduli degli elementi della matrice CKM sono:
Se si permettono altre famiglie di quark i limiti diventano:
9993.09990.0043.0035.0014.0004.0043.0037.09749.09734.0225.0219.0005.0002.0226.0219.09757.09742.0
9994.005.0036.00010.00042.0036.0975.0847.0232.0199.00044.00018.0223.0217.09755.09724.0
14
La matrice CKM: parametrizzazione La matrice CKM è una matrice 3 x 3 unitaria in generale complessa Su 18 parametri liberi iniziali le 9 condizioni di unitarietà portano a 9 parametri
indipendenti Una matrice unitaria 3 x 3 reale ha 3 parametri liberi (rotazioni in tre dimensioni 3
angoli di Eulero). Gli altri 6 parametri liberi della matrice CKM possono quindi essere scelti come fasi complesse ( eij ).
Le funzioni d’onda dei quark sono definite a meno di una fase: la fisica deve essere invariante per trasformazioni q eiq q
Ridefiniamo le funzioni d’onda di ciascun quark con una fase, diversa per ciascun quark:
,00
0000
tcu
ee
e
tcu
t
c
u
i
i
i
bsd
ee
e
bsd
b
s
d
i
i
i
000000
15
Gli autostati deboli trasformeranno allora come:
e questo equivale a trasformare la matrice CKM in:
Possiamo fattorizzare una fase, per esempio e-iu, ottenendo:
†
' 0 0' 0 0 ,' 0 0
u
c
t
i
iu
i
u e uc U e ct e t
†
' 0 0' 0 0' 0 0
d
s
b
i
id
i
d e ds U e sb e b
)()()(
)()()(
)()()(
000000
000000
tbtstd
cbcscd
ubusud
b
s
d
t
c
u
itb
its
itd
icb
ics
icd
iub
ius
iud
i
i
i
CKMi
i
i
CKM
eVeVeVeVeVeVeVeVeV
ee
eV
ee
eV
)()()(
)()()(
tubtustud
cubcuscud
bsd
itb
its
itd
icb
ics
icd
iub
ius
iud
eVeVeVeVeVeV
eVeVeV
16
Una fase globale per tutta la matrice non comporta alcun vincolo per i parametri della matrice CKM
Le altre 5 fasi possono essere scelte arbitrariamente e tolgono altri 5 parametri liberi alla matrice CKM
I parametri indipendenti di VCKM sono allora 4: tre reali (angoli) ed una fase complessa
Nel caso di n famiglie di quark, con il vincolo di unitarietà restano n2 parametri liberi
Una rotazione in uno spazio n-dimensionale può essere parametrizzata con n(n-1)/2 angoli
2n-1 fasi possono essere riassorbite dalla ridefinizione delle funzioni d’onda dei quark
Restano quindi (n-1)(n-2)/2 fasi complesse libere
17
Una matrice ortogonale può sempre essere scritta come il prodotto di tre matrici R12, R23 e R31:
Vi sono 12 combinazioni di prodotti per generare la generica matrice ortogonale
,1000cossin0sincos
12
R
,cossin0sincos0
001
23
R
cos0sin010
sin0cos
31R
18
Vi sono 6 combinazioni con due rotazioni nello stesso piano (non consecutive)Vi sono 6 combinazioni con tutte e tre le rotazioni
1. R = R12() R23() R12(’)
2. R = R12() R31() R12(’)
3. R = R23() R12() R23(’)
4. R = R23() R31() R23(’)
5. R = R31() R12() R31(’)
6. R = R31() R23() R31(’)
7. R = R12() R23() R31()
8. R = R12() R31() R23()
9. R = R23() R12() R31()
10. R = R23() R31() R12()
11. R = R31() R12() R23()
12. R = R31() R23() R12()
19
Le 12 combinazioni non sono tutte indipendenti:R12() R31() R12(’) = R12() R23() R12(’)
R23() R31() R23(’) = R23() R12() R23(’)
R31() R23() R31(’) = R31() R12() R31(’)
Vi sono 9 combinazioni indipendenti: 1., 3., 5., 7.12.La fase complessa può essere introdotta in una matrice di rotazione in modo da ottenere una matrice unitariaPer esempio R12 può diventare:
oppure
oppure
ed analogamente per R23 e R31. Scegliamo la seconda possibilità (le altre si ottengono da una ridefinizione delle fasi dei quark)
Abbiamo quindi 9 parametrizzazioni possibili nelle quali la fase complessa è sempre posta in una sottomatrice 2 x 2 mentre gli altri parametri sono reali:
,1000cossin0sincos
,12
i
i
ee
R
,00
0cossin0sincos
,12
ie
R
1000cossin0sincos
,12
i
i
ee
R
20
P1: V = R12() R23() R12(’)
P2: V = R23() R12() R23(’)
P3: V = R23() R31() R12()
cscssscesscccecscscssescccsecccss
ii
ii
''
''''
''''
ii
ii
eccsscesccscssecssccessccccs
sscsc
''''
''''
''
ccescscsessscccseccsssecsssc
scscc
ii
ii
21
P4: V = R12() R31() R23()
P5: V = R31() R12() R31(’)
P6: V = R12() R23() R31()
cccssescscseccssscs
esssccecssscccii
ii
ii
ii
eccsscssesccscssccs
essccccsessccc
''''
''
''''
ccsscesscscccecssscesccsscseccsss
ii
ii
22
P7: V = R23() R12() R31()
P8: V = R31() R12() R23()
P9: V = R31() R23() R12()
ii
ii
eccsssscesccssecsscsccessccs
scscc
ii
ii
eccsssecsscsscscccs
esccssessccscc
ccesscscesscssscccs
scecsssceccsss
ii
ii
23
P3 con le trasformazioni c c ei, t t ei e b b ei è stata scelta dal Particle Data Group come rappresentazione standard di VCKM:
I simboli per gli angoli e la fase sono secondo il PDG
132313231223121323122312
132313231223121323122312
1313121312
1313
1313
13
ccescsscesccsscsesssccessccs
escsccV
ii
ii
i
PDG
24
La matrice CKM: sviluppo di Wolfenstein Sviluppiamo VCKM in serie di s12
Vcb = A2, con A di O(1); Vub = A3(i con e di O(1)
Trascurando elementi O (sufficienti per studi di CP nei B) otteniamo:
Per la violazione di CP nei K occorre uno sviluppo fino a O:
Vud , Vus , Vcs , Vcb e Vtb sono praticamente reali, Vcd e Vts sono leggermente complessi
Vtd e Vub sono complessi
1)1(21
)(21
23
22
32
AiAA
iA
V nWolfenstei
1)(2121)(121)(1
)(21
22223
2242
32
iAiA
AiA
iA
25
Gli operatori P, T, C In Fisica delle Particelle assumono particolare importanza gli operatori:
trtr ,, P Parità:
trtr ,, T Inversione Temporale:
trtr ,, C Coniugazione di Carica:
dove è la funzione d’onda
26
Parità Inversione Spaziale: zyxzyx , , , ,
1 P
,, P,, P 2
trtrtrtr
è un operatore unitario
Gli autovalori di P sono ±1
Se ha parità definita (è autostato di P) 1 1
PP Funzione Pari
Funzione Dispari
;sincos P;sincos
;sinsin P;sin;coscos P;cos
xxxxxxx
xxx
Esempi:
Pari
Dispari
Non è autostato di P
27
La Parità di un sistema si conserva se: 0PH,
dove H è l’hamiltoniana del sistema
Esempio: Funzioni d’onda dell’Atomo di Idrogeno
P P P P
P
P
P
2 1 !, , , cos ;
4 !
, , ;
( 1) ;
cos cos ( 1) cos ;
, , ( 1) , ;
m m iml l
imim m im
m m l m ml l l
m m l ml l l
l l mr r r P e
l m
r r r r
e e e
P P P
Le armoniche sferiche hanno parità (1)l
28
Parità intrinseca delle particelle
I mesoni hanno P (pseudoscalari)
I barioni p, n, …hanno P per convenzione (conservazione del numero barionico)
Fermioni e Antifermioni hanno Parità opposta
Bosoni e Antibosoni hanno Parità uguale
Vi sono mesoni:
Scalari (JP= 0): a0, f 0,… Pseudoscalari (JP= 0): , ´ Vettori (JP= 1):
Vettori Assiali (JP= 1): h1b1,…
qqqq
Pml
lmll
)1()1(
)1(P
P
29
Coniugazione di Carica trtr ,, C
;N ,N Q,N ,N Q,
; ,B ,E ,j ,B ,E ,j
ella;antipartic particella
opposto; magnetico momento magnetico momento
opposta;carica carica
LBC
LB
C
C
C
C
Gli autovalori di C sono ±1
30
Esempio 1: pioni
; C , non sono autostati di C
; C 00 ; C ; C ; 000
Esempio 2: neutrini
p
p p
p
P
C CP
vietato
vietato
Esempio 3: stati quark-antiquark
;)1()1()1( 1 SLLSC • Scambio di fermioni: • Simmetria di scambio degli stati di spin: S+1 • Inversione spaziale: (L
31
Inversione Temporale trtr ,, T
Antilineare: ;TTa T 2121 bab
Antiunitario: antilineare e unitario
Osservabile T P Cposizioneimpulso
spinE E E E campo elettricoB B B B campo magnetico
B B B B momento magnetico di dipoloE E E E momento ele
r r r rp p p p
r p
1 2 1 2 1 2 1 2
ttrico di dipolopolarizzazione longitudinale
polarizzazione trasversap p p p
p p p p p p p p
32
Il Teorema CPT
• Una simmetria S è conservata se: l’operatore S commuta con l’hamiltoniana: [H,S] = 0 lascia invariante la lagrangiana: S L = L lo stato iniziale e finale hanno lo stesso autovalore di S• Le interazioni e.m. e forti conservano sia P che C che T• Le interazioni deboli violano sia P che C• Si è osservata la violazione di CP nel sistema K0K0 e B0 B0
• Teorema CPT: tutte le interazioni sono invarianti sotto la successione di C, P, T applicate in qualunque ordine
33
La violazione di CP Nel Modello Standard delle interazioni elettrodeboli la violazione di CP è spiegata
dalla fase complessa della matrice CKM:
Per ottenere il coniugato hermitiano:
mentre applicando CP:
CP è conservata se e solo se V = Vossia se VCKM è reale
..122 5
3
1int ccWdVugL j
iji
i
†
5 51 1ij iji j i juV d W d V u W
WuVdWdVu j
Tijij
iji 55 11
34
Il sistema K0 K0
Il K0(ds) ha stranezza +1, il K0(sd) ha stranezza 1 K0 e K0 sono distinguibili solo dalla stranezza (conservata nelle interazioni e.m. e forti, non in quelle deboli) K0 e K0 hanno canali di decadimento comuni: un K0 si può trasformare in un K0 e viceversa
K0 K0
L’equazione di evoluzione di un sistema di K0 e K0 è:
dove H è l’hamiltoniana efficace del sistema.
dove ora H è una matrice 2 x 2 non hermitiana
dove M e sono hermitiane ossia: M21 = M12*, 21 = 12
*, mentre M11, M22, 11, 11 sono reali
se CPT è conservata allora M11 = M22 = M0 e 11 = 22 = 0
;tHtt
i ;00 KtbKtat
tbta
Htbta
ti
2221
1211
2221
1211
22i
MMMM
iMH
35
La soluzione dell’equazione di evoluzione è:
dove CS e CL sono delle costanti che dipendono dalle condizioni iniziali
Gli autostati di massa e vita media sono:
;tihL
tihS
LS eCeCpta ;tihL
tihS
LS eCeCqtb
;12
21
HH
pq
LSLSLSimHHHh ,,122111, 2
;120, MMm LS .120, LS
; 1 00
22KqpK
qpKS
; 1 00
22KqpK
qpKL
sono gli autovalori
36
Sperimentalmente:
;100008.08935.01 10 sS
S
;1004.017.51 8 sL
L
MeV10008.0489.3100012.05300.0 12110 smmm SL
; 0023.09455.02
LS
Kmmx
; 0003.09965.02
LS
LSKy
37
Se per t = 0 abbiamo uno stato puro di :0K ;0)0(
;1)0(
LS
LS
CCqbCCpa ;
21p
CC LS
);( )()0()(
);()()0()(
00
00
tfpqtKKAtb
tftKKAta
L
S
;
21)(,
tihtihLS
LS eetf
Se per t = 0 abbiamo uno stato puro di :0K ;1)0(
;0)0(
LS
LS
CCqbCCpa
;
21q
CC LS
);()()0()(
);()()0()(
00
00
tftKKAtb
tfqptKKAta
S
L
38
Violazione Indiretta di CP Se l’Hamiltoniana commuta con CP:
)()0(
)()0(
0000010
01100000
tKtKAKHKKCPHCPK
KCPCPHCPCPKKHKtKtKA
Se le due ampiezze sono invece diverse allora abbiamo violazione di CP, chiamata violazione indiretta o dovuta al mixing Definiamo il parametro di violazione indiretta di CP:
2
12
)()(
)()(
)()0()()0()()0()()0(
2
22
22
0000
0000
pqpq
tfqptf
pq
tfqptf
pq
tKtKAtKtKAtKtKAtKtKA
LL
LL
dove qpqp
39
Riscriviamo gli autostati di massa:
;1
11112
1
;1
11112
1
122
00
2
212
00
2
KKKKK
KKKKK
L
S
dove
;2
1
;2
1
002
001
KKK
KKK K1 e K2 sono autostati di CP:
;;
22
11
KCPKKCPK
con la convenzione: ,00 KCPK .00 KKCP
è in generale complesso e la sua fase, con questa convenzione, risulta:
4.43 arctan m
40
Gli stati a due o tre pioni sono autostati di CP: CP CP CP CPtranne nel caso, soppresso, in cui il momento angolare tra coppie di pioni sia dispari)
Se non vi è violazione di CP nel decadimento:
32
2
1
KK
da cui:
210322
222
2
3222
21
222
2
S
S
LS
LS
LLL
L
LL
KBRKBRKA
KAKAtuttoKA
KAKBR
mentre:
09020 310933
LL
SLS KBRKBRKBR
41
CP di e Gli stati a due o tre pioni sono autostati di CP: CP C CP C() Scambio() Pspaziale () I+L L
I = isospin i pioni sono bosoni (simmetrici nello scambio) I+L pari, I+L = 2L P(Pspaziale(CP(L
CP L pari tra ogni coppia di CPtranne nel caso, soppresso, in cui il momento angolare tra coppie di pioni sia dispari)
CP () = L CP ( Pspaziale((L
CP () = L+1
42
Sperimentalmente: 300
3
10020.0936.0
10035.0067.2
L
L
KBR
KBR
Se CP è conservata nel decadimento:
00
00
000000
S
L
S
L
KAKAe
KAKAe
Sperimentalmente:
3
300 00
2.276 0.017 10 , 43.3 0.5
2.262 0.017 10 , 43.2 1.0
Nei decadimenti semileptonici del KL:
2lKlKlKlK
LL
LL
Sperimentalmente: %025.0304.0)(
%,014.0333.0)(
lel
43
Il parametro
K0 K0
s
d t,c,u
d
sW W
t,c,u
I diagrammi con u sono trascurabili (mu << mc, mt ) Diagramma con c e c:
Diagramma con c e t:
Diagramma con t e t:
2622222 cccdcs mAimVV
tctctdtscdcs mmAiAmmVVVV 6262 2)1(22
21042210422)1(2)1( tttdts mAiAmVV
box
box
AA
La parte reale è dominata dal diagramma con c e c Per la parte immaginaria i tre contributi sono paragonabili
44
più precisamente…
ctctK xxxSxSAABC ),( )( 1 ˆ 1324262
Il primo termine vale circa il 75%, il secondo il 37%, il terzo(negativo)il 12%
;2
12
;
21
2
;04.047.0;004.0574.0
;53.038.1
3
2
1
;1085.326
42
222
K
WKKF
mMmfGC
;13.006.087.0ˆ KB
45
;ln12
31
123
11
49
41)(
3
2
t
t
t
tttt x
xx
xxxxS
;14
3ln14
48ln),( 2
2
t
tt
t
ttccctc x
xxxxxxxxxxS
;2
2
W
cc M
mx ;2
2
W
tt M
mx
;GeV 167;GeV 3.1
t
c
mm
Sperimentalmente: 310017.0271.2
46
Violazione diretta di CP CP puo’ essere violata anche nel decadimento:
; ;
000000
000000
00
00
KAKAKAKA
KAKAKAKA
Se CPT è conservata la larghezza totale di decadimento del K0 deve essere uguale a quella del K0: ;
2
00
2200
2 AAAA
e quindi 20000
2
AA
AA
Per simmetria di isospin: 002 AA
Se la violazione di CP è piccola: ;2 AAA 2
;2 ; 00
00
00
S
L
S
L
KAKA
KAKA
da cui:
47
Teorema di Watson Se vale il teorema CPT
Se T è conservata nelle interazioni forti
Allora per ogni decadimento debole di un adrone i a spin nullo in uno stato finale f :
fiAefiA i 2
dove è la fase dovuta alla diffusione elastica (causata dalle interazioni forti) tra gli adroni nello stato finale f
48
Violazione diretta di CP (II) Gli stati a due pioni possono essere scritti in funzione dell’isospin:
;2320
31 ;2
310
32 00 IIII
;)(
;)(0
0
I
I
iII
iII
eAKA
eAKA
Dal teorema di Watson:
Da cui per KS e KL:
;)1(2)1(2)1()1(1(6
;)1()1()1(2)1(21(6
;)1(2)1(2)1()1(1(6
;)1()1()1(2)1(21(6
2200
2200
2200
2200
2200002
22002
2200002
22002
iiiiL
iiiiL
iiiiS
iiiiS
eAeAeAeAKA
eAeAeAeAKA
eAeAeAeAKA
eAeAeAeAKA
49
; 2 2
20
20
2200
220000
00
00
ii
ii
S
L
eAiAeAiAeAAieAAi
KAKA
La convenzione di Wu-Yang consiste nell’imporre ;00 A
Definiamo: 045.00
2
0
2
AA
AA (dai rate sperimentali di decadimento di K0 e K+):
;2
2 21 22
21
2 )(
)(
0
22
)(
0
22
00
02
02
02
i
i
i
e
eA
AiA
eA
AAi
2 0( ) 2
0
;2
i Ai eA
Avremo:
50
Abbiamo:
;6100
00
2
200
LS
SL
KBRKBRKBRKBRR
R è chiamato il Doppio Rapporto
;
2
11
2
1
2
11
2
1
)(
)(
)(
0
22
)(
0
22
02
02
02
02
i
i
i
i
e
e
eA
AiA
eA
AAi
; 2 2
20
20
2200
2200
ii
ii
S
L
eAiAeAiAeAAieAAi
KAKA
Analogamente:
Con la convenzione di Wu-Yang:
;200
51
Sperimentalmente:
);(108.27.20
);48(106.23.15
);731(109.54.7
);31(105.60.23
4
4
4
4
KTEV
NA
E
NA
Schema dei fasci di NA48
I rivelatori di NA48
Se i 4 decadimenti vengono raccolticontemporaneamente e nello stessovolume fiduciale:
0 0
0 0
0 0
0 0;
L S
S L
L S
S L
BR K BR KR
BR K BR K
N K N K
N K N K
53
K0
s
d
u
d
W
u
d
K0
d d
s du, c, t
W
g, Zu
u
Il BR è dominato dal primo diagramma: 22 udusVV
´ è dominato dal secondo diagramma con il top: 52AVV tdts
In realtà i calcoli sono molto complicati
I “pinguini” forti(B6) ed elettrodeboli (B8) tendono a cancellarsi
MeV340GeV 1654.075.0
)( MeV110
074.0sin 5.2
86
2
MSt
cs
cbub MBBMM
VV
54
KL
K0
d d
s du, c, t
Z
E’ il canale preferito per la violazione di CP
W
CP( = , CP() = Pspaziale(() ) = L =
CP() =
22220
02
01
00
2
;
;
;2
1
AAAAAL
A
A
IRIRiIKBR
IiKAiKA
RKAKA
KAKA
;
104.1100.3
4
4
tdts
tdts
A
A
VVVV
IR
la violazione indiretta di CP è trascurabile
il pinguino con il top è dominante:
55
osservati] eventi 2 [E787, 1057.1 1075.182.0
KBR
sperimentalmente:
;109.25.72
14.11088.8
;102.16.21008.4
11
2222411
1122100
AKBR
AKBR L
dove
;2
1
;2
1
2
2
56
Triangoli di Unitarietà La Matrice CKM è unitaria vi sono 6 relazioni che devono essere uguali a zero:
;0 6 ;0 5
;0 4 ;0 3
;0 2 ;0 1
tbcbtscstdcdtbubtsustdud
cbubcsuscdudtbtscbcsubus
tbtdcbcdubudtstdcscdusud
VVVVVVVVVVVV
VVVVVVVVVVVV
VVVVVVVVVVVV
Si rappresentano come triangoli nel piano complesso (triangoli di unitarietà) I lati e gli angoli sono misurabili sperimentalmente e sono vincolati dalla teoriaTutti i triangoli hanno area uguale:
;
;, ; 21J
21A
6223
21312231312
CPtriangolo
13 AscccsssJ
ljkiVVVV
CP
kjilklij
57
;0 1 tstdcscdusud VVVVVV Im
ReusudVV
tstdVV
cscdVV
Non in scala
iiA
iA
222
52
4222
21
211
12
12
1 0
Im
RecbcdVV
tbtdVV
ubudVV
0 2 tbtdcbcdubud VVVVVV
211 1
21 0
23423
23 iAiAAiA
58
Im
RecbcsVV
ubusVV
tbtsVV
Non in scala
;0 3 tbtscbcsubus VVVVVV
2
1 2
1 0 22
22
24
iAAiA
Im
RecsusVV cbubVV cdudVV
Non in scala
;0 4 cbubcsuscdud VVVVVV
iAiA
52
242
2
2
1 12
1 0
59
Im
Re
tsusVV tdudVV tbubVV
;0 5 tbubtsustdud VVVVVV
iAiAiA
32
23
223
21
211
21 0
Im
RetbcbVV tdcdVV
tscsVV
Non in scala
;0 6 tbcbtscstdcd VVVVVV
2222
2
2424
2
12
1
2
11 1 0
AiA
iiAA
60
Il sistema Bd Bd
Il sistema Bd Bd è analogo a quello K0 K0 ma:
ps; 06.056.1
;ps 008.0489.0
21
1
BB
BdM
Non possiamo cercare violazioni di CP come KL2Si possono confrontare i decadimenti del Bd
e del Bd in uno stato finale fCP (che sia autostato di CP) in funzione del tempo:
;2
sin2
cos)0(, )2/(
tM
Apq
itM
AeetBtf d
CP
d
dd
CP
dBdB Bf
B
BBf
tiMtdCP
;2
sin2
cos)0(, )2/(
tM
Aqp
itM
AeetBtf d
CP
d
dd
CP
dBdB Bf
B
BBf
tiMtdCP
pBd e qBd
sono gli analoghi di p e q per i K0 mentre
; ; dCPfdCPf BfABfACPCP
;02
;03.076.0
d
d
d
d
d
d
B
BB
B
BB
y
Mx
61
Definiamo: ;
CP
CP
d
d
CPf
f
B
Bf A
Apq
r
Se CP non fosse violata ;dCPdCPdCP BfBCPCPfBf
dove ± dipende dall’autovalore di CP di fCP
Quindi:
tMrtM
rreAtftB
dCPd
CPCPdB
CP BfBfft
fCPd sincos2
1
2
1)(0
22
/2
tMrtM
rreAtftB
dCPd
CPCPdB
CP BfBfft
fCPd sincos2
1
2
1)(0
22
/2
L’asimmetria dipendente dal tempo sarà:
;
1
sin2cos1
)(0)(0)(0)(0)(
2
2
CP
dCPdCP
CP
f
BfBf
CPdCPd
CPdCPdf
r
tMrtMr
tftBtftBtftBtftBta
62
Bd è l’analogo di per i K0: 1
11
;1
d
d
d
d
dB
B
B
BB p
q
Se vi è un solo diagramma dominante nel decadimento:
; , D
CPCP
D
CPCP
iff
iff eAAeAA
;1 CP
CP
f
f
AA
Quindi ossia:1CPfr
D
CPfk
M2
è l’autovalore di CP di CPf
è la fase del mixing BdBd
è la fase debole dell’ampiezza di decadimento
;sin2sin )( tMktadCPCP BDMff
63
Bd Bd
b
d
t
t
d
bW W
td
d
d
d
d i
td
td
tdtb
tdtb
tdtb
tdtb
B
B
B
B eVV
VVVV
VVVV
HH
pq
2
2
2
12
21
11
Il triangolo di unitarietà (2) “normalizzato” è:Im
Re
cb
td
VV
cb
ub
VV
0,0
,
1,0
Vtb, Vcd, Vcb, Vud sono reali
td=
;2
1 ,2
122
64
J/S
L’fCP “d’oro” è J/S con kCP = 1
CP J/ = J/(stessi numeri quantici del fotone)
CP S = S
P lJ/S = 1
Bd
d d
b c
Wc
sS
J/
21
22 AVVA cscbfCP
D = 0 (diagrammi a pinguino trascurabili)
tMtadS BKJ sin 2sin )( /
65
fCP = con kCP = 1
ubudubf VVVA
CP 21
2
D =
tMtM
tMta
dd
d
BB
B
sin 2sinsin 2sin
sin 2sin )(
Bd
b
d
u
d
W
u
d
In realtà I diagrammi a pinguino non sono trascurabili
66
Il sistema Bs Bs
Vi è anche il sistema Bs Bs è analogo a quello K0 K0:
;ps 14.6 21
1BBBs
M al livello di qualche per cento
L’angolo può essere misurato dalle oscillazioni:.,
;,
KDKDB
KDKDB
sss
sss
Anche il trangolo di unitarietà (5) può essere studiato
Avremo angoli ´´´≡
può essere misurato dalle oscillazioni: /, JBB ss
Bs Bs
b
s
t
t
s
bW W
67
; ˆ 6
2222
22
tcBBBtdtbWF
B xSBfMVVMGMdddd
La relazione tra MB e gli elementi della matrice CKM è:
MeV;2025230ˆ
;01.055.0 GeV; 5167 ;2
2
dd BB
ctW
tt
Bf
mMmx
;1226222 AVV tdtb
Il rapporto tra il MB del Bd e del Bs è: ; ˆ ˆ
2
2
2
2
ts
td
BBB
BBB
B
B
VV
BfMBfM
MM
sss
ddd
s
d
dove possiamo sostituire: ;2
12
cbts VV
e conosciamo con maggiore precisione il rapporto: ;05.004.014.1ˆ
ˆ
ss
dd
BB
BB
Bf
Bf
68
Fit al Triangolo di Unitarietà Con I dati attuali:
;040.0316.02
1
;038.0218.02
1
0.037;813.0
2
2
2
cbV
A
da cui:
;2.65.55
;068.0696.02sin;24.042.02sin
69
Misura Sperimentale di sin2 Dall’asimmetria nelle oscillazioni di Bd
e Bd con decadimento in J/ KS ed altri:
);(04.009.075.02sin
);(05.012.082.02sin);(18.032.091.02sin
);(16.084.02sin
);(5.020.32sin82.004.1
8.10.2
BABARBELLECDF
Aleph
OPAL
siststat
siststat
siststat
siststat
siststat
)mondialemedia ( 08.078.02sin
70
Il Triangolo di unitarietà: le misure dei lati e dell’angolo sono per ora consistenti
71
LHCb funzionerà al collider LHCa partire dal 2007
E’ stato progettato per misurarei lati e gli angoli dei triangoli di unitarietà con grande precisioneutilizzando i decadimenti dei mesoni B
72
Il Triangolo di unitarietà può essere misurato anche usando solo i K
73
Conclusioni La violazione di CP è stata osservata nei sistemi K0 K0 e Bd
Bd
Nel modello standard è generata dalla fase complessa nella matrice CKM La violazione di CP nei K0 K0 è giunta inaspettata La violazione di CP nei Bd
Bdè stata predetta con notevole precisione Interrogativi aperti: Vi sono altre sorgenti di violazione di CP? La violazione di CP osservata è sufficiente per spiegare l’asimmetria barionica
nell’Universo? La matrice di mescolamento dei neutrini (matrice MNS) può produrre
violazione di CP nel settore leptonico?