1

La matrice CKM e la violazione di CP

Massimo LentiINFN-Firenze

2002

2

Sommario• L’angolo di Cabibbo• La matrice CKM• Le Simmetrie P, C, T• La violazione di CP• Il sistema K0 K0

La violazione indiretta di CP: La violazione diretta di CP: ´/• I triangoli di unitarietà• Il sistema B0 B0

Fit al triangolo di unitarietà Misura di sin2• Conclusioni

3

L’angolo di Cabibbo• Le transizioni con cambiamento di stranezza sono molto soppresse

pee, S = 1

npeeS = 0

K++S = 1

+S = 0

K+e+eS = 1

+e+e, S = 0

• La soppressione è circa 1/20 (corretta per lo spazio delle fasi)• Angolo di Cabibbo: l’autostato debole del quark di carica –1/3 è: d´ = cos d + sin s, sin

4

Sperimentalmente sono molto soppresse le transizioni di corrente neutra con cambiamento di stranezza: es. K0+

s W

W

d

u

Occorre allora introdurre un altro quark di carica +2/3, il c

Ed un altro autostato debole di carica –1/3: s´ = cos s sin d

Se le masse dei quark sono uguali si ha una cancellazione delle SCNC (GIM)

È stata poi scoperta la terza famiglia di quark: t e b

Generalizzazione dell’angolo di Cabibbo

5

La lagrangiana d’interazione per le correnti cariche deboli si può scrivere:

rappresenta uno dei tre doppietti lefthanded dei quark

Il settore di massa della lagrangiana non è diagonale:

e sono due matrici :

3

int 51

' 1 ' . .2 2 i i

i

gL u d W c c

''

i

i

dudove

''''3

1,ji

dijji

ji

uijmass ddmuumL

ddd

ddd

ddd

dij

uuu

uuu

uuu

uij

mmmmmmmmm

mmmmmmmmmm

m

333231

232221

131211

333231

232221

131211

,

uijm d

ijm

3 3

6

Diagonalizzando

con Uu e Ud matrici unitarie . Gli autostati di massa saranno allora:

La lagrangiana d’interazione assumerà quindi la forma:

† †

0 0 0 00 0 ; 0 00 0 0 0

u du d

u ij u c d ij d s

t b

m mU m U m U m U m

m m

3 3

'''

;'''

3

2

1

3

2

1

ddd

Ubsd

uuu

Utcu

du

3

†int 5

1

1 . .2 2

ik kji u d i

i

gL u U U d W c c

bt

sc

du

du

i

i , , dove

7

La matrice CKMSperimentalmente sono osservabili le masse mu, mc, mt, md, ms, mb e la matrice

unitaria:

†ud us ub

CKM u d cd cs cb

td ts tb

V V VV U U V V V

V V V

8

I moduli degli elementi della VCKM si possono misurare da larghezze parziali di decadimento o da sezioni d’urto:

n p

d

u

d

u

u

d

eW

| Vud | dal decadimento beta dei nuclei (npee oppure pne+e) paragonato al decadimento del leptone

| Vud | = 0.9735 0.0008

9

| Vus | dal decadimento Ke3 (K+0e+e oppure K0-e+e): | Vus | = 0.2196 0.0023

K+ 0

s

u

u

u

W

e+

e

d cW

| Vcd | dalla produzione di charm per interazione di fasci di neutrini sui quark d di valenza del bersaglio:

| Vcd | = 0.224 0.016

10

D

c

d

s

d

W

e

| Vcs | dal decadimento De3 dei mesoni con charm (DK0ee oppure D0K+ee):

| Vcs | = 1.04 0.16

K0

B+

b

u

c

u

W

e+

D0

| Vcb | dai decadimenti semileptonici dei mesoni con bottom in un mesone con charm (B+D0e+e oppure BdDe+e) e dai decadimenti semileptonici “inclusivi” del quark b nel quark c (in cui stato iniziale e finale sono ricostruiti solo parzialmente):

| Vcb | = 0.0407 0.0019

11

b cW

e

| Vub | dai decadimenti semileptonici inclusivi del quark b in cui l’impulso del leptone è superiore a quello permesso da un decadimento con un quark c associato:

| Vub / Vcb | = 0.089 0.012

Bd Bd

b

d

t

t

d

b

| Vtd | dalle oscillazioni dei mesoni BdBd: la frequenza di oscillazione

MBd= 0.489 0.008 ps-1 dipende dal prodotto Vtb

* Vtd attraverso un diagramma a box

con il quark top

| Vtb* Vtd | = 0.0083 0.016

W W

12

Bs Bs

b

s

t

t

s

b

| Vts | dalle oscillazioni dei mesoni Bs Bs: la frequenza di oscillazione

MBs> 14.6 ps-1 (95% CL) per confronto con Md

permette di stabilire il limite

| Vtd / Vts | < 0.24

t bW

e

W W

| Vtb | dal rapporto tra decadimenti semileptonici di un quark t in un quark b e quelli con anche quark s e d (ossia quando viene identificato un adrone con b nello stato finale e quando questo non avviene, corretto per le efficienze di identificazione)

| Vtb |2

| Vtb |2 + | Vts |2 + | Vtd |2= 0.99 0.29

13

Dalle misure fatte (escludendo | Vts | e | Vtd | ) ed imponendo il vincolo di unitarietà (ed assumendo solo tre famiglie di quark), i limiti al 90% di livello di confidenza sui moduli degli elementi della matrice CKM sono:

Se si permettono altre famiglie di quark i limiti diventano:

9993.09990.0043.0035.0014.0004.0043.0037.09749.09734.0225.0219.0005.0002.0226.0219.09757.09742.0

9994.005.0036.00010.00042.0036.0975.0847.0232.0199.00044.00018.0223.0217.09755.09724.0

14

La matrice CKM: parametrizzazione La matrice CKM è una matrice 3 x 3 unitaria in generale complessa Su 18 parametri liberi iniziali le 9 condizioni di unitarietà portano a 9 parametri

indipendenti Una matrice unitaria 3 x 3 reale ha 3 parametri liberi (rotazioni in tre dimensioni 3

angoli di Eulero). Gli altri 6 parametri liberi della matrice CKM possono quindi essere scelti come fasi complesse ( eij ).

Le funzioni d’onda dei quark sono definite a meno di una fase: la fisica deve essere invariante per trasformazioni q eiq q

Ridefiniamo le funzioni d’onda di ciascun quark con una fase, diversa per ciascun quark:

,00

0000

tcu

ee

e

tcu

t

c

u

i

i

i

bsd

ee

e

bsd

b

s

d

i

i

i

000000

15

Gli autostati deboli trasformeranno allora come:

e questo equivale a trasformare la matrice CKM in:

Possiamo fattorizzare una fase, per esempio e-iu, ottenendo:

†

' 0 0' 0 0 ,' 0 0

u

c

t

i

iu

i

u e uc U e ct e t

†

' 0 0' 0 0' 0 0

d

s

b

i

id

i

d e ds U e sb e b

)()()(

)()()(

)()()(

000000

000000

tbtstd

cbcscd

ubusud

b

s

d

t

c

u

itb

its

itd

icb

ics

icd

iub

ius

iud

i

i

i

CKMi

i

i

CKM

eVeVeVeVeVeVeVeVeV

ee

eV

ee

eV

)()()(

)()()(

tubtustud

cubcuscud

bsd

itb

its

itd

icb

ics

icd

iub

ius

iud

eVeVeVeVeVeV

eVeVeV

16

Una fase globale per tutta la matrice non comporta alcun vincolo per i parametri della matrice CKM

Le altre 5 fasi possono essere scelte arbitrariamente e tolgono altri 5 parametri liberi alla matrice CKM

I parametri indipendenti di VCKM sono allora 4: tre reali (angoli) ed una fase complessa

Nel caso di n famiglie di quark, con il vincolo di unitarietà restano n2 parametri liberi

Una rotazione in uno spazio n-dimensionale può essere parametrizzata con n(n-1)/2 angoli

2n-1 fasi possono essere riassorbite dalla ridefinizione delle funzioni d’onda dei quark

Restano quindi (n-1)(n-2)/2 fasi complesse libere

17

Una matrice ortogonale può sempre essere scritta come il prodotto di tre matrici R12, R23 e R31:

Vi sono 12 combinazioni di prodotti per generare la generica matrice ortogonale

,1000cossin0sincos

12

R

,cossin0sincos0

001

23

R

cos0sin010

sin0cos

31R

18

Vi sono 6 combinazioni con due rotazioni nello stesso piano (non consecutive)Vi sono 6 combinazioni con tutte e tre le rotazioni

1. R = R12() R23() R12(’)

2. R = R12() R31() R12(’)

3. R = R23() R12() R23(’)

4. R = R23() R31() R23(’)

5. R = R31() R12() R31(’)

6. R = R31() R23() R31(’)

7. R = R12() R23() R31()

8. R = R12() R31() R23()

9. R = R23() R12() R31()

10. R = R23() R31() R12()

11. R = R31() R12() R23()

12. R = R31() R23() R12()

19

Le 12 combinazioni non sono tutte indipendenti:R12() R31() R12(’) = R12() R23() R12(’)

R23() R31() R23(’) = R23() R12() R23(’)

R31() R23() R31(’) = R31() R12() R31(’)

Vi sono 9 combinazioni indipendenti: 1., 3., 5., 7.12.La fase complessa può essere introdotta in una matrice di rotazione in modo da ottenere una matrice unitariaPer esempio R12 può diventare:

oppure

oppure

ed analogamente per R23 e R31. Scegliamo la seconda possibilità (le altre si ottengono da una ridefinizione delle fasi dei quark)

Abbiamo quindi 9 parametrizzazioni possibili nelle quali la fase complessa è sempre posta in una sottomatrice 2 x 2 mentre gli altri parametri sono reali:

,1000cossin0sincos

,12

i

i

ee

R

,00

0cossin0sincos

,12

ie

R

1000cossin0sincos

,12

i

i

ee

R

20

P1: V = R12() R23() R12(’)

P2: V = R23() R12() R23(’)

P3: V = R23() R31() R12()

cscssscesscccecscscssescccsecccss

ii

ii

''

''''

''''

ii

ii

eccsscesccscssecssccessccccs

sscsc

''''

''''

''

ccescscsessscccseccsssecsssc

scscc

ii

ii

21

P4: V = R12() R31() R23()

P5: V = R31() R12() R31(’)

P6: V = R12() R23() R31()

cccssescscseccssscs

esssccecssscccii

ii

ii

ii

eccsscssesccscssccs

essccccsessccc

''''

''

''''

ccsscesscscccecssscesccsscseccsss

ii

ii

22

P7: V = R23() R12() R31()

P8: V = R31() R12() R23()

P9: V = R31() R23() R12()

ii

ii

eccsssscesccssecsscsccessccs

scscc

ii

ii

eccsssecsscsscscccs

esccssessccscc

ccesscscesscssscccs

scecsssceccsss

ii

ii

23

P3 con le trasformazioni c c ei, t t ei e b b ei è stata scelta dal Particle Data Group come rappresentazione standard di VCKM:

I simboli per gli angoli e la fase sono secondo il PDG

132313231223121323122312

132313231223121323122312

1313121312

1313

1313

13

ccescsscesccsscsesssccessccs

escsccV

ii

ii

i

PDG

24

La matrice CKM: sviluppo di Wolfenstein Sviluppiamo VCKM in serie di s12

Vcb = A2, con A di O(1); Vub = A3(i con e di O(1)

Trascurando elementi O (sufficienti per studi di CP nei B) otteniamo:

Per la violazione di CP nei K occorre uno sviluppo fino a O:

Vud , Vus , Vcs , Vcb e Vtb sono praticamente reali, Vcd e Vts sono leggermente complessi

Vtd e Vub sono complessi

1)1(21

)(21

23

22

32

AiAA

iA

V nWolfenstei

1)(2121)(121)(1

)(21

22223

2242

32

iAiA

AiA

iA

25

Gli operatori P, T, C In Fisica delle Particelle assumono particolare importanza gli operatori:

trtr ,, P Parità:

trtr ,, T Inversione Temporale:

trtr ,, C Coniugazione di Carica:

dove è la funzione d’onda

26

Parità Inversione Spaziale: zyxzyx , , , ,

1 P

,, P,, P 2

trtrtrtr

è un operatore unitario

Gli autovalori di P sono ±1

Se ha parità definita (è autostato di P) 1 1

PP Funzione Pari

Funzione Dispari

;sincos P;sincos

;sinsin P;sin;coscos P;cos

xxxxxxx

xxx

Esempi:

Pari

Dispari

Non è autostato di P

27

La Parità di un sistema si conserva se: 0PH,

dove H è l’hamiltoniana del sistema

Esempio: Funzioni d’onda dell’Atomo di Idrogeno

P P P P

P

P

P

2 1 !, , , cos ;

4 !

, , ;

( 1) ;

cos cos ( 1) cos ;

, , ( 1) , ;

m m iml l

imim m im

m m l m ml l l

m m l ml l l

l l mr r r P e

l m

r r r r

e e e

P P P

Le armoniche sferiche hanno parità (1)l

28

Parità intrinseca delle particelle

I mesoni hanno P (pseudoscalari)

I barioni p, n, …hanno P per convenzione (conservazione del numero barionico)

Fermioni e Antifermioni hanno Parità opposta

Bosoni e Antibosoni hanno Parità uguale

Vi sono mesoni:

Scalari (JP= 0): a0, f 0,… Pseudoscalari (JP= 0): , ´ Vettori (JP= 1):

Vettori Assiali (JP= 1): h1b1,…

qqqq

Pml

lmll

)1()1(

)1(P

P

29

Coniugazione di Carica trtr ,, C

;N ,N Q,N ,N Q,

; ,B ,E ,j ,B ,E ,j

ella;antipartic particella

opposto; magnetico momento magnetico momento

opposta;carica carica

LBC

LB

C

C

C

C

Gli autovalori di C sono ±1

30

Esempio 1: pioni

; C , non sono autostati di C

; C 00 ; C ; C ; 000

Esempio 2: neutrini

p

p p

p

P

C CP

vietato

vietato

Esempio 3: stati quark-antiquark

;)1()1()1( 1 SLLSC • Scambio di fermioni: • Simmetria di scambio degli stati di spin: S+1 • Inversione spaziale: (L

31

Inversione Temporale trtr ,, T

Antilineare: ;TTa T 2121 bab

Antiunitario: antilineare e unitario

Osservabile T P Cposizioneimpulso

spinE E E E campo elettricoB B B B campo magnetico

B B B B momento magnetico di dipoloE E E E momento ele

r r r rp p p p

r p

1 2 1 2 1 2 1 2

ttrico di dipolopolarizzazione longitudinale

polarizzazione trasversap p p p

p p p p p p p p

32

Il Teorema CPT

• Una simmetria S è conservata se: l’operatore S commuta con l’hamiltoniana: [H,S] = 0 lascia invariante la lagrangiana: S L = L lo stato iniziale e finale hanno lo stesso autovalore di S• Le interazioni e.m. e forti conservano sia P che C che T• Le interazioni deboli violano sia P che C• Si è osservata la violazione di CP nel sistema K0K0 e B0 B0

• Teorema CPT: tutte le interazioni sono invarianti sotto la successione di C, P, T applicate in qualunque ordine

33

La violazione di CP Nel Modello Standard delle interazioni elettrodeboli la violazione di CP è spiegata

dalla fase complessa della matrice CKM:

Per ottenere il coniugato hermitiano:

mentre applicando CP:

CP è conservata se e solo se V = Vossia se VCKM è reale

..122 5

3

1int ccWdVugL j

iji

i

†

5 51 1ij iji j i juV d W d V u W

WuVdWdVu j

Tijij

iji 55 11

34

Il sistema K0 K0

Il K0(ds) ha stranezza +1, il K0(sd) ha stranezza 1 K0 e K0 sono distinguibili solo dalla stranezza (conservata nelle interazioni e.m. e forti, non in quelle deboli) K0 e K0 hanno canali di decadimento comuni: un K0 si può trasformare in un K0 e viceversa

K0 K0

L’equazione di evoluzione di un sistema di K0 e K0 è:

dove H è l’hamiltoniana efficace del sistema.

dove ora H è una matrice 2 x 2 non hermitiana

dove M e sono hermitiane ossia: M21 = M12*, 21 = 12

*, mentre M11, M22, 11, 11 sono reali

se CPT è conservata allora M11 = M22 = M0 e 11 = 22 = 0

;tHtt

i ;00 KtbKtat

tbta

Htbta

ti

2221

1211

2221

1211

22i

MMMM

iMH

35

La soluzione dell’equazione di evoluzione è:

dove CS e CL sono delle costanti che dipendono dalle condizioni iniziali

Gli autostati di massa e vita media sono:

;tihL

tihS

LS eCeCpta ;tihL

tihS

LS eCeCqtb

;12

21

HH

pq

LSLSLSimHHHh ,,122111, 2

;120, MMm LS .120, LS

; 1 00

22KqpK

qpKS

; 1 00

22KqpK

qpKL

sono gli autovalori

36

Sperimentalmente:

;100008.08935.01 10 sS

S

;1004.017.51 8 sL

L

MeV10008.0489.3100012.05300.0 12110 smmm SL

; 0023.09455.02

LS

Kmmx

; 0003.09965.02

LS

LSKy

37

Se per t = 0 abbiamo uno stato puro di :0K ;0)0(

;1)0(

LS

LS

CCqbCCpa ;

21p

CC LS

);( )()0()(

);()()0()(

00

00

tfpqtKKAtb

tftKKAta

L

S

;

21)(,

tihtihLS

LS eetf

Se per t = 0 abbiamo uno stato puro di :0K ;1)0(

;0)0(

LS

LS

CCqbCCpa

;

21q

CC LS

);()()0()(

);()()0()(

00

00

tftKKAtb

tfqptKKAta

S

L

38

Violazione Indiretta di CP Se l’Hamiltoniana commuta con CP:

)()0(

)()0(

0000010

01100000

tKtKAKHKKCPHCPK

KCPCPHCPCPKKHKtKtKA

Se le due ampiezze sono invece diverse allora abbiamo violazione di CP, chiamata violazione indiretta o dovuta al mixing Definiamo il parametro di violazione indiretta di CP:

2

12

)()(

)()(

)()0()()0()()0()()0(

2

22

22

0000

0000

pqpq

tfqptf

pq

tfqptf

pq

tKtKAtKtKAtKtKAtKtKA

LL

LL

dove qpqp

39

Riscriviamo gli autostati di massa:

;1

11112

1

;1

11112

1

122

00

2

212

00

2

KKKKK

KKKKK

L

S

dove

;2

1

;2

1

002

001

KKK

KKK K1 e K2 sono autostati di CP:

;;

22

11

KCPKKCPK

con la convenzione: ,00 KCPK .00 KKCP

è in generale complesso e la sua fase, con questa convenzione, risulta:

4.43 arctan m

40

Gli stati a due o tre pioni sono autostati di CP: CP CP CP CPtranne nel caso, soppresso, in cui il momento angolare tra coppie di pioni sia dispari)

Se non vi è violazione di CP nel decadimento:

32

2

1

KK

da cui:

210322

222

2

3222

21

222

2

S

S

LS

LS

LLL

L

LL

KBRKBRKA

KAKAtuttoKA

KAKBR

mentre:

09020 310933

LL

SLS KBRKBRKBR

41

CP di e Gli stati a due o tre pioni sono autostati di CP: CP C CP C() Scambio() Pspaziale () I+L L

I = isospin i pioni sono bosoni (simmetrici nello scambio) I+L pari, I+L = 2L P(Pspaziale(CP(L

CP L pari tra ogni coppia di CPtranne nel caso, soppresso, in cui il momento angolare tra coppie di pioni sia dispari)

CP () = L CP ( Pspaziale((L

CP () = L+1

42

Sperimentalmente: 300

3

10020.0936.0

10035.0067.2

L

L

KBR

KBR

Se CP è conservata nel decadimento:

00

00

000000

S

L

S

L

KAKAe

KAKAe

Sperimentalmente:

3

300 00

2.276 0.017 10 , 43.3 0.5

2.262 0.017 10 , 43.2 1.0

Nei decadimenti semileptonici del KL:

2lKlKlKlK

LL

LL

Sperimentalmente: %025.0304.0)(

%,014.0333.0)(

lel

43

Il parametro

K0 K0

s

d t,c,u

d

sW W

t,c,u

I diagrammi con u sono trascurabili (mu << mc, mt ) Diagramma con c e c:

Diagramma con c e t:

Diagramma con t e t:

2622222 cccdcs mAimVV

tctctdtscdcs mmAiAmmVVVV 6262 2)1(22

21042210422)1(2)1( tttdts mAiAmVV

box

box

AA

La parte reale è dominata dal diagramma con c e c Per la parte immaginaria i tre contributi sono paragonabili

44

più precisamente…

ctctK xxxSxSAABC ),( )( 1 ˆ 1324262

Il primo termine vale circa il 75%, il secondo il 37%, il terzo(negativo)il 12%

;2

12

;

21

2

;04.047.0;004.0574.0

;53.038.1

3

2

1

;1085.326

42

222

K

WKKF

mMmfGC

;13.006.087.0ˆ KB

45

;ln12

31

123

11

49

41)(

3

2

t

t

t

tttt x

xx

xxxxS

;14

3ln14

48ln),( 2

2

t

tt

t

ttccctc x

xxxxxxxxxxS

;2

2

W

cc M

mx ;2

2

W

tt M

mx

;GeV 167;GeV 3.1

t

c

mm

Sperimentalmente: 310017.0271.2

46

Violazione diretta di CP CP puo’ essere violata anche nel decadimento:

; ;

000000

000000

00

00

KAKAKAKA

KAKAKAKA

Se CPT è conservata la larghezza totale di decadimento del K0 deve essere uguale a quella del K0: ;

2

00

2200

2 AAAA

e quindi 20000

2

AA

AA

Per simmetria di isospin: 002 AA

Se la violazione di CP è piccola: ;2 AAA 2

;2 ; 00

00

00

S

L

S

L

KAKA

KAKA

da cui:

47

Teorema di Watson Se vale il teorema CPT

Se T è conservata nelle interazioni forti

Allora per ogni decadimento debole di un adrone i a spin nullo in uno stato finale f :

fiAefiA i 2

dove è la fase dovuta alla diffusione elastica (causata dalle interazioni forti) tra gli adroni nello stato finale f

48

Violazione diretta di CP (II) Gli stati a due pioni possono essere scritti in funzione dell’isospin:

;2320

31 ;2

310

32 00 IIII

;)(

;)(0

0

I

I

iII

iII

eAKA

eAKA

Dal teorema di Watson:

Da cui per KS e KL:

;)1(2)1(2)1()1(1(6

;)1()1()1(2)1(21(6

;)1(2)1(2)1()1(1(6

;)1()1()1(2)1(21(6

2200

2200

2200

2200

2200002

22002

2200002

22002

iiiiL

iiiiL

iiiiS

iiiiS

eAeAeAeAKA

eAeAeAeAKA

eAeAeAeAKA

eAeAeAeAKA

49

; 2 2

20

20

2200

220000

00

00

ii

ii

S

L

eAiAeAiAeAAieAAi

KAKA

La convenzione di Wu-Yang consiste nell’imporre ;00 A

Definiamo: 045.00

2

0

2

AA

AA (dai rate sperimentali di decadimento di K0 e K+):

;2

2 21 22

21

2 )(

)(

0

22

)(

0

22

00

02

02

02

i

i

i

e

eA

AiA

eA

AAi

2 0( ) 2

0

;2

i Ai eA

Avremo:

50

Abbiamo:

;6100

00

2

200

LS

SL

KBRKBRKBRKBRR

R è chiamato il Doppio Rapporto

;

2

11

2

1

2

11

2

1

)(

)(

)(

0

22

)(

0

22

02

02

02

02

i

i

i

i

e

e

eA

AiA

eA

AAi

; 2 2

20

20

2200

2200

ii

ii

S

L

eAiAeAiAeAAieAAi

KAKA

Analogamente:

Con la convenzione di Wu-Yang:

;200

51

Sperimentalmente:

);(108.27.20

);48(106.23.15

);731(109.54.7

);31(105.60.23

4

4

4

4

KTEV

NA

E

NA

Schema dei fasci di NA48

I rivelatori di NA48

Se i 4 decadimenti vengono raccolticontemporaneamente e nello stessovolume fiduciale:

0 0

0 0

0 0

0 0;

L S

S L

L S

S L

BR K BR KR

BR K BR K

N K N K

N K N K

53

K0

s

d

u

d

W

u

d

K0

d d

s du, c, t

W

g, Zu

u

Il BR è dominato dal primo diagramma: 22 udusVV

´ è dominato dal secondo diagramma con il top: 52AVV tdts

In realtà i calcoli sono molto complicati

I “pinguini” forti(B6) ed elettrodeboli (B8) tendono a cancellarsi

MeV340GeV 1654.075.0

)( MeV110

074.0sin 5.2

86

2

MSt

cs

cbub MBBMM

VV

54

KL

K0

d d

s du, c, t

Z

E’ il canale preferito per la violazione di CP

W

CP( = , CP() = Pspaziale(() ) = L =

CP() =

22220

02

01

00

2

;

;

;2

1

AAAAAL

A

A

IRIRiIKBR

IiKAiKA

RKAKA

KAKA

;

104.1100.3

4

4

tdts

tdts

A

A

VVVV

IR

la violazione indiretta di CP è trascurabile

il pinguino con il top è dominante:

55

osservati] eventi 2 [E787, 1057.1 1075.182.0

KBR

sperimentalmente:

;109.25.72

14.11088.8

;102.16.21008.4

11

2222411

1122100

AKBR

AKBR L

dove

;2

1

;2

1

2

2

56

Triangoli di Unitarietà La Matrice CKM è unitaria vi sono 6 relazioni che devono essere uguali a zero:

;0 6 ;0 5

;0 4 ;0 3

;0 2 ;0 1

tbcbtscstdcdtbubtsustdud

cbubcsuscdudtbtscbcsubus

tbtdcbcdubudtstdcscdusud

VVVVVVVVVVVV

VVVVVVVVVVVV

VVVVVVVVVVVV

Si rappresentano come triangoli nel piano complesso (triangoli di unitarietà) I lati e gli angoli sono misurabili sperimentalmente e sono vincolati dalla teoriaTutti i triangoli hanno area uguale:

;

;, ; 21J

21A

6223

21312231312

CPtriangolo

13 AscccsssJ

ljkiVVVV

CP

kjilklij

57

;0 1 tstdcscdusud VVVVVV Im

ReusudVV

tstdVV

cscdVV

Non in scala

iiA

iA

222

52

4222

21

211

12

12

1 0

Im

RecbcdVV

tbtdVV

ubudVV

0 2 tbtdcbcdubud VVVVVV

211 1

21 0

23423

23 iAiAAiA

58

Im

RecbcsVV

ubusVV

tbtsVV

Non in scala

;0 3 tbtscbcsubus VVVVVV

2

1 2

1 0 22

22

24

iAAiA

Im

RecsusVV cbubVV cdudVV

Non in scala

;0 4 cbubcsuscdud VVVVVV

iAiA

52

242

2

2

1 12

1 0

59

Im

Re

tsusVV tdudVV tbubVV

;0 5 tbubtsustdud VVVVVV

iAiAiA

32

23

223

21

211

21 0

Im

RetbcbVV tdcdVV

tscsVV

Non in scala

;0 6 tbcbtscstdcd VVVVVV

2222

2

2424

2

12

1

2

11 1 0

AiA

iiAA

60

Il sistema Bd Bd

Il sistema Bd Bd è analogo a quello K0 K0 ma:

ps; 06.056.1

;ps 008.0489.0

21

1

BB

BdM

Non possiamo cercare violazioni di CP come KL2Si possono confrontare i decadimenti del Bd

e del Bd in uno stato finale fCP (che sia autostato di CP) in funzione del tempo:

;2

sin2

cos)0(, )2/(

tM

Apq

itM

AeetBtf d

CP

d

dd

CP

dBdB Bf

B

BBf

tiMtdCP

;2

sin2

cos)0(, )2/(

tM

Aqp

itM

AeetBtf d

CP

d

dd

CP

dBdB Bf

B

BBf

tiMtdCP

pBd e qBd

sono gli analoghi di p e q per i K0 mentre

; ; dCPfdCPf BfABfACPCP

;02

;03.076.0

d

d

d

d

d

d

B

BB

B

BB

y

Mx

61

Definiamo: ;

CP

CP

d

d

CPf

f

B

Bf A

Apq

r

Se CP non fosse violata ;dCPdCPdCP BfBCPCPfBf

dove ± dipende dall’autovalore di CP di fCP

Quindi:

tMrtM

rreAtftB

dCPd

CPCPdB

CP BfBfft

fCPd sincos2

1

2

1)(0

22

/2

tMrtM

rreAtftB

dCPd

CPCPdB

CP BfBfft

fCPd sincos2

1

2

1)(0

22

/2

L’asimmetria dipendente dal tempo sarà:

;

1

sin2cos1

)(0)(0)(0)(0)(

2

2

CP

dCPdCP

CP

f

BfBf

CPdCPd

CPdCPdf

r

tMrtMr

tftBtftBtftBtftBta

62

Bd è l’analogo di per i K0: 1

11

;1

d

d

d

d

dB

B

B

BB p

q

Se vi è un solo diagramma dominante nel decadimento:

; , D

CPCP

D

CPCP

iff

iff eAAeAA

;1 CP

CP

f

f

AA

Quindi ossia:1CPfr

D

CPfk

M2

è l’autovalore di CP di CPf

è la fase del mixing BdBd

è la fase debole dell’ampiezza di decadimento

;sin2sin )( tMktadCPCP BDMff

63

Bd Bd

b

d

t

t

d

bW W

td

d

d

d

d i

td

td

tdtb

tdtb

tdtb

tdtb

B

B

B

B eVV

VVVV

VVVV

HH

pq

2

2

2

12

21

11

Il triangolo di unitarietà (2) “normalizzato” è:Im

Re

cb

td

VV

cb

ub

VV

0,0

,

1,0

Vtb, Vcd, Vcb, Vud sono reali

td=

;2

1 ,2

122

64

J/S

L’fCP “d’oro” è J/S con kCP = 1

CP J/ = J/(stessi numeri quantici del fotone)

CP S = S

P lJ/S = 1

Bd

d d

b c

Wc

sS

J/

21

22 AVVA cscbfCP

D = 0 (diagrammi a pinguino trascurabili)

tMtadS BKJ sin 2sin )( /

65

fCP = con kCP = 1

ubudubf VVVA

CP 21

2

D =

tMtM

tMta

dd

d

BB

B

sin 2sinsin 2sin

sin 2sin )(

Bd

b

d

u

d

W

u

d

In realtà I diagrammi a pinguino non sono trascurabili

66

Il sistema Bs Bs

Vi è anche il sistema Bs Bs è analogo a quello K0 K0:

;ps 14.6 21

1BBBs

M al livello di qualche per cento

L’angolo può essere misurato dalle oscillazioni:.,

;,

KDKDB

KDKDB

sss

sss

Anche il trangolo di unitarietà (5) può essere studiato

Avremo angoli ´´´≡

può essere misurato dalle oscillazioni: /, JBB ss

Bs Bs

b

s

t

t

s

bW W

67

; ˆ 6

2222

22

tcBBBtdtbWF

B xSBfMVVMGMdddd

La relazione tra MB e gli elementi della matrice CKM è:

MeV;2025230ˆ

;01.055.0 GeV; 5167 ;2

2

dd BB

ctW

tt

Bf

mMmx

;1226222 AVV tdtb

Il rapporto tra il MB del Bd e del Bs è: ; ˆ ˆ

2

2

2

2

ts

td

BBB

BBB

B

B

VV

BfMBfM

MM

sss

ddd

s

d

dove possiamo sostituire: ;2

12

cbts VV

e conosciamo con maggiore precisione il rapporto: ;05.004.014.1ˆ

ˆ

ss

dd

BB

BB

Bf

Bf

68

Fit al Triangolo di Unitarietà Con I dati attuali:

;040.0316.02

1

;038.0218.02

1

0.037;813.0

2

2

2

cbV

A

da cui:

;2.65.55

;068.0696.02sin;24.042.02sin

69

Misura Sperimentale di sin2 Dall’asimmetria nelle oscillazioni di Bd

e Bd con decadimento in J/ KS ed altri:

);(04.009.075.02sin

);(05.012.082.02sin);(18.032.091.02sin

);(16.084.02sin

);(5.020.32sin82.004.1

8.10.2

BABARBELLECDF

Aleph

OPAL

siststat

siststat

siststat

siststat

siststat

)mondialemedia ( 08.078.02sin

70

Il Triangolo di unitarietà: le misure dei lati e dell’angolo sono per ora consistenti

71

LHCb funzionerà al collider LHCa partire dal 2007

E’ stato progettato per misurarei lati e gli angoli dei triangoli di unitarietà con grande precisioneutilizzando i decadimenti dei mesoni B

72

Il Triangolo di unitarietà può essere misurato anche usando solo i K

73

Conclusioni La violazione di CP è stata osservata nei sistemi K0 K0 e Bd

Bd

Nel modello standard è generata dalla fase complessa nella matrice CKM La violazione di CP nei K0 K0 è giunta inaspettata La violazione di CP nei Bd

Bdè stata predetta con notevole precisione Interrogativi aperti: Vi sono altre sorgenti di violazione di CP? La violazione di CP osservata è sufficiente per spiegare l’asimmetria barionica

nell’Universo? La matrice di mescolamento dei neutrini (matrice MNS) può produrre

violazione di CP nel settore leptonico?