Post on 01-May-2015
FunzioneFunzione didi distribuzionedistribuzione(detta anche cumulativa o di ripartizione)
{ }xXPxFX ≤=)(
X = variabile aleatoria quantitativa
= insieme dei risultati di un esperimento per i quali X risulta non superiore a x
2121
∞ +→∞ -→
≤)(≤)(
1=)(lim0=)(lim
1≤)(≤0
xxxFxF
xFxF
xF
XX
Xx
Xx
X
funzione monotona non decrescente
Proprietà
FunzioneFunzione didi distribuzionedistribuzione discretadiscreta
0 1 2 3 4 5 6 70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
FX(x)
FunzioneFunzione didi distribuzionedistribuzione continuacontinua
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
FX(x)
DensitàDensità didi probabilitàprobabilità
dx
xdFxf X
X)(
=)(
x
xxXxPxfxXxPdxxf
dfdfxF
xf
xX
x
x X
Xx
XX
X
≤≤lim)(→≤≤)(
1)(→)()(
0≥)(
0→21
∞
∞-∞-
2
1
X continua
Proprietà
Densità di probabilità Densità di probabilità gaussianagaussiana
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
fX(x)
x1 x2
}≤≤{ 21 xXxP
AffidabilitàAffidabilità didi unun sistemasistema (sanitario)(sanitario)
}>{=)( tTPtRT
{ }
)(-=)(
)(-1=≤=)(' tRtf
tRtTPtF
TT
TT
Probabilità che il sistema continui a erogare lo stesso servizio dopo un prefissato tempo t trascorso dal suo iniziale funzionamento
T = durata di funzionamento, v.a. continua
Probabilità di guasto nell’intervallo (t, t+dt)
Probabilità di guasto entro il tempo t
FunzioneFunzione didi distribuzionedistribuzione condizionatacondizionata
)(
},≤{=}/≤{=)/(
MP
MxXPMxXPMxFX
Con riferimento ad un esperimento qualsiasi, sia M un evento, tale che P(M)>0 e sia X una v.a. associata
all’insieme S dei possibili risultati, si definisce funzione di distribuzione FX(x/M) della v.a. X ,condizionata da M, la
probabilità condizionata dell’evento {X x}:
P{X x, M} consiste di tutti i risultati tali che X() x e M
DensitàDensità di probabilità di probabilità condizionatacondizionata
{ }
x
MxxXxPdx
MxdFMxf
x
XX
Δ
/Δ+≤≤lim=
=)/(
=)/(
0→Δ
Per v.a. continue, si definisce analogamente la densità di probabilità condizionata:
La fX(x/M) gode di tutte le proprietà della densità di probabilità ordinarie
AffidabilitàAffidabilità condizionatacondizionata
t
ttF
tFFtTF T
TT
T
≤per0
per)(-1
)(-)()/(
Con riferimento all’affidabilità del sistema si voglia valutare la probabilità di guasto, condizionata al fatto che
il sistema sia ancora funzionante al tempo t
t
ttF
ftTf T
T
T
≤per0
per)(-1
)()/(
TassoTasso didi guastoguasto
)(-1
)(=
)(-1
)(=)>/(=)(λ
'
tF
tF
tF
tftTtft
T
T
T
TT
Probabilità che il sistema si guasti nell’intervallo (t, t+dt) supposto che non si sia guastato prima di t
Il tasso di guasto è solo funzione del tempo,coincide con la d.p. condizionata solo per = t
0)0(
)(-1-ln)(0
T
Tt
F
tFd
La costante di integrazione è nulla perché
Integrando si ottiene la probabilità di guasto entro il tempo t
FunzioniFunzioni deldel tassotasso didi guastoguasto
t
0
t
0
t
0
)(-
)(-
)(-
)()(
-1)(
)(
d
T
dT
dT
ettf
etF
etR
1)∞( TF
Proprietà
∞)(
0≥)(
0
d
t
Prima o poi il sistema si guasta
Es.: valutare le funzioni per (t) costante = d.p. esponenziale e per = kt (k costante) d.p. di Rayleigh
SistemaSistema serieserie
∏1=
21 )(=}>,...,>,>{=)(n
iTnT tRtTtTtTPtR
i
Il guasto di una unità pregiudica il funzionamento dell’intero sistema
Eventi indipendenti
n
ii
1
Si dimostra facilmente come, nel caso di tasso di guasto costante per tutte le unità, si abbia
1 2 n
SistemaSistema paralleloparallelo
[ ]∏1=
)(-1-1=)(n
iTT tRtR
i
Numero di unità superiori a quelle strettamente necessarie (ridondanti)
P.es. nelle emergenze
Il sistema è guasto solo se tutte le unità sono guaste, cioè, in
alternativa, funziona se almeno una unità è funzionante
Es.: nell’ipotesi di unità tutte ugualmente affidabili, valutare l’affidabilità del sistema parallelo se si ritiene funzionante quando almeno 2 unità funzionano
1
2
n
ValoreValore mediomedioIndice che descrive sinteticamente la statistica di un
esperimento probabilistico. È il valore più significativo e rappresenta il baricentro dell’esperimento. È detto anche valore atteso (expected value). Tranne in casi particolari,
non è però è il punto più probabile (moda)
}{,}{
)(}{
∑
∫∞
∞-
iii
ii
X
xXPppxXE
dxxfxXE
nel caso X sia continua
se X è discreta
MomentiMomenti didi ordineordine kkForniscono una più completa caratterizzazione
della statistica della v.a.
∑
∫∞
∞-
)(}{
ii
ki
Xk
kk
px
dxxfxXEm
X continua
X discreta
}{=,1= 10 XEmm
MomentiMomenti centralicentrali didi ordineordine kkVarianzaVarianza
Operano sugli scarti dal valor medio ed eliminano l’effetto della posizione dell’origine nella scala di misura
∑
∫
}]E{-[
)(}]E{-[}}]E{-{[
∞
∞-
ii
ki
Xk
kk
pxx
dxxfxxxXE
22 σ=μ X
Il momento centrale del secondo ordine è detto varianza e rappresenta la dispersione dei
valori del fenomeno attorno al valor medio
DisuguaglianzaDisuguaglianza didi ChebyshevChebyshevVale per qualsiasi v.a. con varianza finita e fX(x) arbitraria
{ }2
2
ε
σ≤ε≥}E{- XxXP
Garantisce che tutti i valori sono addensati attorno al valor medio
definisce un limite dal valor medio oltre il quale la probabilità di X è nota (attraverso la varianza) ed è sufficientemente bassa
Applicazioni: scarto di valori di misura estremi (a ds e sn), che hanno poca probabilità di accadere; pulizia dati. Es.: volendo scartare il 5% di dati si fissa =0.025
FunzioneFunzione didi distribuzionedistribuzione
congiuntacongiuntadi due o più v.a. quantitativedi due o più v.a. quantitative
}≤,≤{=),( yYxXPyxFXY
= insieme dei risultati di un esperimento per i quali risulta sia X non superiore a x, sia Y non superiore a y
}≤,≤{ xYxX
}≤,...,≤,≤{=
=),...,,(
21
21...21
n
nXXX
xXxXxXP
xxxFn
IndipendenzaIndipendenza
nn
n
iiXnXXX
YXXY
xxx
xFxxxF
yxyFxFyxF
in
R
R
∈,...,,∀per
)(=),...,,(
∈,∀per)()(=),(
21
1=21
2
∏...21
Date due o più v.a. quantitative, esse sono indipendenti se:
ProbabilitàProbabilità congiuntacongiunta didi duedue
eventieventi discretidiscretiPer semplicità consideriamo due v.a. X e Y discrete o qualitative e rappresentiamo le probabilità dei rispettivi eventi A e B nello spazio S degli eventi. La probabilità congiunta è rappresentata dall’intersezione , cioè:
)/()(=)/()(=
=)∩(=}=,={
BAPBPABPAP
BAPBYAXP
S
Diagramma di Venn
BA AB
TeoremaTeorema didi BayesBayesDiscende dalla probabilità congiunta
)(
)/()(=)/(
BP
ABPAPBAP
Inferenza bayesiana: la probabilità ‘a posteriori’ (condizionata) di un evento A può essere valutata attraverso la sua probabilità ‘a priori’ e le probabilità di un evento B che condiziona A. B è un’evento già accaduto, rappresenta l’informazione incorporata nel meccanismo inferenziale e contribuisce a ridurre l’incertezza nella stima di A aumento della probabilità ‘a posteriori’
DensitàDensità didi probabilitàprobabilità
congiuntacongiuntadidi due v.a. continuedue v.a. continue Per analogia al caso discreto si ha:
1),(→
→),(),(
)()/(
)()/(),(
),(
∫∫
∫∫
∞
∞-
∞
∞-
∞-
y
∞-
/
/
2
ddf
ddfyxF
xfxyf
yfyxfyx
yxFyxf
XY
x
XYXY
XXY
YYXXY
XY
TeoremaTeorema didi BayesBayes per v.a. per v.a. quantitativequantitative
)(
)/()(=)/(
)(
)/()(=)/(
)(
)/()(=)/(
)(
)/()(=)/(
//
//
//
//
yF
xyFxfyxf
yf
xyfxFyxF
yf
xyfxfyxf
yF
xyFxFyxF
Y
XYXYX
Y
XYXYX
Y
XYXYX
Y
XYXYX
X, Y continue
X discreta Y continua
X continuaY discreta
X, Y generiche
Funzioni di distribuzione Funzioni di distribuzione marginalimarginali
Date due v.a. X, Y quantitative, si ha:
),(lim=)(
),(lim=)(
∞ +→
∞ +→
yxFxF
yxFyF
XYy
X
XYx
Y
0=),(lim0=),(lim∞ -→∞ -→
yxFyxF XYy
XYx
È noto anche che:
Densità di probabilità Densità di probabilità marginalimarginaliSe X e Y sono continue, si hanno le densità di probabilità marginali:
dxyxfyf
dyyxfxf
XYY
XYX
∫
∫∞
∞-
∞
∞-
),()(
),()(
In base alla formula delle d.p. congiunte si trova:
)}/({=)()}/({=)( // xyfEyfyxfExf XYXYYXYX
ProprietàProprietà delladella
marginalizzazionemarginalizzazioneData una v.a. continua che assume valori , è sempre possibile esprimere la densità di probabilità di un’altra v.a. X, come:
- / )()/()( dfxfxf XX