FunzioneFunzione didi distribuzionedistribuzione(detta anche cumulativa o di ripartizione)

{ }xXPxFX ≤=)(

X = variabile aleatoria quantitativa

= insieme dei risultati di un esperimento per i quali X risulta non superiore a x

2121

∞ +→∞ -→

≤)(≤)(

1=)(lim0=)(lim

1≤)(≤0

xxxFxF

xFxF

xF

XX

Xx

Xx

X

funzione monotona non decrescente

Proprietà

FunzioneFunzione didi distribuzionedistribuzione discretadiscreta

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

FX(x)

FunzioneFunzione didi distribuzionedistribuzione continuacontinua

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

FX(x)

DensitàDensità didi probabilitàprobabilità

dx

xdFxf X

X)(

=)(

x

xxXxPxfxXxPdxxf

dfdfxF

xf

xX

x

x X

Xx

XX

X

≤≤lim)(→≤≤)(

1)(→)()(

0≥)(

0→21

∞

∞-∞-

2

1

X continua

Proprietà

Densità di probabilità Densità di probabilità gaussianagaussiana

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

fX(x)

x1 x2

}≤≤{ 21 xXxP

AffidabilitàAffidabilità didi unun sistemasistema (sanitario)(sanitario)

}>{=)( tTPtRT

{ }

)(-=)(

)(-1=≤=)(' tRtf

tRtTPtF

TT

TT

Probabilità che il sistema continui a erogare lo stesso servizio dopo un prefissato tempo t trascorso dal suo iniziale funzionamento

T = durata di funzionamento, v.a. continua

Probabilità di guasto nell’intervallo (t, t+dt)

Probabilità di guasto entro il tempo t

FunzioneFunzione didi distribuzionedistribuzione condizionatacondizionata

)(

},≤{=}/≤{=)/(

MP

MxXPMxXPMxFX

Con riferimento ad un esperimento qualsiasi, sia M un evento, tale che P(M)>0 e sia X una v.a. associata

all’insieme S dei possibili risultati, si definisce funzione di distribuzione FX(x/M) della v.a. X ,condizionata da M, la

probabilità condizionata dell’evento {X x}:

P{X x, M} consiste di tutti i risultati tali che X() x e M

DensitàDensità di probabilità di probabilità condizionatacondizionata

{ }

x

MxxXxPdx

MxdFMxf

x

XX

Δ

/Δ+≤≤lim=

=)/(

=)/(

0→Δ

Per v.a. continue, si definisce analogamente la densità di probabilità condizionata:

La fX(x/M) gode di tutte le proprietà della densità di probabilità ordinarie

AffidabilitàAffidabilità condizionatacondizionata

t

ttF

tFFtTF T

TT

T

≤per0

per)(-1

)(-)()/(

Con riferimento all’affidabilità del sistema si voglia valutare la probabilità di guasto, condizionata al fatto che

il sistema sia ancora funzionante al tempo t

t

ttF

ftTf T

T

T

≤per0

per)(-1

)()/(

TassoTasso didi guastoguasto

)(-1

)(=

)(-1

)(=)>/(=)(λ

'

tF

tF

tF

tftTtft

T

T

T

TT

Probabilità che il sistema si guasti nell’intervallo (t, t+dt) supposto che non si sia guastato prima di t

Il tasso di guasto è solo funzione del tempo,coincide con la d.p. condizionata solo per = t

0)0(

)(-1-ln)(0

T

Tt

F

tFd

La costante di integrazione è nulla perché

Integrando si ottiene la probabilità di guasto entro il tempo t

FunzioniFunzioni deldel tassotasso didi guastoguasto

t

0

t

0

t

0

)(-

)(-

)(-

)()(

-1)(

)(

d

T

dT

dT

ettf

etF

etR

1)∞( TF

Proprietà

∞)(

0≥)(

0

d

t

Prima o poi il sistema si guasta

Es.: valutare le funzioni per (t) costante = d.p. esponenziale e per = kt (k costante) d.p. di Rayleigh

SistemaSistema serieserie

∏1=

21 )(=}>,...,>,>{=)(n

iTnT tRtTtTtTPtR

i

Il guasto di una unità pregiudica il funzionamento dell’intero sistema

Eventi indipendenti

n

ii

1

Si dimostra facilmente come, nel caso di tasso di guasto costante per tutte le unità, si abbia

1 2 n

SistemaSistema paralleloparallelo

[ ]∏1=

)(-1-1=)(n

iTT tRtR

i

Numero di unità superiori a quelle strettamente necessarie (ridondanti)

P.es. nelle emergenze

Il sistema è guasto solo se tutte le unità sono guaste, cioè, in

alternativa, funziona se almeno una unità è funzionante

Es.: nell’ipotesi di unità tutte ugualmente affidabili, valutare l’affidabilità del sistema parallelo se si ritiene funzionante quando almeno 2 unità funzionano

1

2

n

ValoreValore mediomedioIndice che descrive sinteticamente la statistica di un

esperimento probabilistico. È il valore più significativo e rappresenta il baricentro dell’esperimento. È detto anche valore atteso (expected value). Tranne in casi particolari,

non è però è il punto più probabile (moda)

}{,}{

)(}{

∑

∫∞

∞-

iii

ii

X

xXPppxXE

dxxfxXE

nel caso X sia continua

se X è discreta

MomentiMomenti didi ordineordine kkForniscono una più completa caratterizzazione

della statistica della v.a.

∑

∫∞

∞-

)(}{

ii

ki

Xk

kk

px

dxxfxXEm

X continua

X discreta

}{=,1= 10 XEmm

MomentiMomenti centralicentrali didi ordineordine kkVarianzaVarianza

Operano sugli scarti dal valor medio ed eliminano l’effetto della posizione dell’origine nella scala di misura

∑

∫

}]E{-[

)(}]E{-[}}]E{-{[

∞

∞-

ii

ki

Xk

kk

pxx

dxxfxxxXE

22 σ=μ X

Il momento centrale del secondo ordine è detto varianza e rappresenta la dispersione dei

valori del fenomeno attorno al valor medio

DisuguaglianzaDisuguaglianza didi ChebyshevChebyshevVale per qualsiasi v.a. con varianza finita e fX(x) arbitraria

{ }2

2

ε

σ≤ε≥}E{- XxXP

Garantisce che tutti i valori sono addensati attorno al valor medio

definisce un limite dal valor medio oltre il quale la probabilità di X è nota (attraverso la varianza) ed è sufficientemente bassa

Applicazioni: scarto di valori di misura estremi (a ds e sn), che hanno poca probabilità di accadere; pulizia dati. Es.: volendo scartare il 5% di dati si fissa =0.025

FunzioneFunzione didi distribuzionedistribuzione

congiuntacongiuntadi due o più v.a. quantitativedi due o più v.a. quantitative

}≤,≤{=),( yYxXPyxFXY

= insieme dei risultati di un esperimento per i quali risulta sia X non superiore a x, sia Y non superiore a y

}≤,≤{ xYxX

}≤,...,≤,≤{=

=),...,,(

21

21...21

n

nXXX

xXxXxXP

xxxFn

IndipendenzaIndipendenza

nn

n

iiXnXXX

YXXY

xxx

xFxxxF

yxyFxFyxF

in

R

R

∈,...,,∀per

)(=),...,,(

∈,∀per)()(=),(

21

1=21

2

∏...21

Date due o più v.a. quantitative, esse sono indipendenti se:

ProbabilitàProbabilità congiuntacongiunta didi duedue

eventieventi discretidiscretiPer semplicità consideriamo due v.a. X e Y discrete o qualitative e rappresentiamo le probabilità dei rispettivi eventi A e B nello spazio S degli eventi. La probabilità congiunta è rappresentata dall’intersezione , cioè:

)/()(=)/()(=

=)∩(=}=,={

BAPBPABPAP

BAPBYAXP

S

Diagramma di Venn

BA AB

TeoremaTeorema didi BayesBayesDiscende dalla probabilità congiunta

)(

)/()(=)/(

BP

ABPAPBAP

Inferenza bayesiana: la probabilità ‘a posteriori’ (condizionata) di un evento A può essere valutata attraverso la sua probabilità ‘a priori’ e le probabilità di un evento B che condiziona A. B è un’evento già accaduto, rappresenta l’informazione incorporata nel meccanismo inferenziale e contribuisce a ridurre l’incertezza nella stima di A aumento della probabilità ‘a posteriori’

DensitàDensità didi probabilitàprobabilità

congiuntacongiuntadidi due v.a. continuedue v.a. continue Per analogia al caso discreto si ha:

1),(→

→),(),(

)()/(

)()/(),(

),(

∫∫

∫∫

∞

∞-

∞

∞-

∞-

y

∞-

/

/

2

ddf

ddfyxF

xfxyf

yfyxfyx

yxFyxf

XY

x

XYXY

XXY

YYXXY

XY

TeoremaTeorema didi BayesBayes per v.a. per v.a. quantitativequantitative

)(

)/()(=)/(

)(

)/()(=)/(

)(

)/()(=)/(

)(

)/()(=)/(

//

//

//

//

yF

xyFxfyxf

yf

xyfxFyxF

yf

xyfxfyxf

yF

xyFxFyxF

Y

XYXYX

Y

XYXYX

Y

XYXYX

Y

XYXYX

X, Y continue

X discreta Y continua

X continuaY discreta

X, Y generiche

Funzioni di distribuzione Funzioni di distribuzione marginalimarginali

Date due v.a. X, Y quantitative, si ha:

),(lim=)(

),(lim=)(

∞ +→

∞ +→

yxFxF

yxFyF

XYy

X

XYx

Y

0=),(lim0=),(lim∞ -→∞ -→

yxFyxF XYy

XYx

È noto anche che:

Densità di probabilità Densità di probabilità marginalimarginaliSe X e Y sono continue, si hanno le densità di probabilità marginali:

dxyxfyf

dyyxfxf

XYY

XYX

∫

∫∞

∞-

∞

∞-

),()(

),()(

In base alla formula delle d.p. congiunte si trova:

)}/({=)()}/({=)( // xyfEyfyxfExf XYXYYXYX

ProprietàProprietà delladella

marginalizzazionemarginalizzazioneData una v.a. continua che assume valori , è sempre possibile esprimere la densità di probabilità di un’altra v.a. X, come:

- / )()/()( dfxfxf XX