Esercizi di Controlli Automatici - 7

A.A. 2016/2017

METTERE RETI A SELLAEsercizio 1. Dato il sistema di funzione di trasferimento

G(s) =10

s(s+ 1)

i) se ne tracci i diagrammi di Nyquist e di Bode evidenziando in entrambi, se esistono,pulsazione di attraversamento e margine di fase. Di tali parametri si calcoli il valorenumerico.

ii) Si consideri il sistema di funzione di trasferimento W (s), ottenuto per retroazioneunitaria negativa da G(s). Si tracci il diagramma di Bode di W (jω) e se ne calcolinobanda passante e, se esistono, pulsazione di risonanza e massimo di risonanza.

Esercizio 2. Con riferimento al processo di funzione di trasferimento

G(s) = 101 + s

s2 + 5s+ 100,

si progetti un controllo in retroazione in modo tale che

1) il risultante sistema retroazionato sia di tipo 1 con errore di regime permanente (algradino unitario) pari a e∗rp = 0.1;

2) la funzione di trasferimento in catena aperta C(s)G(s) abbia pulsazione di attraver-samento all’incirca ω∗A = 1000 rad/sec e

3) abbia margine di fase pari almeno a 80o.

Esercizio 3. Si consideri il processo di funzione di trasferimento

G(s) =1

1 + 10s.

Si progetti un controllore C(s) in modo tale che il risultante sistema retroazionato

i) sia di tipo 1, con errore di regime permanente (alla rampa lineare), e(2)rp , non superiore

a 0.1;

e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),

ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 10 rad/sec;

ii) abbia margine di fase pari almeno a 45o.

1

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare, tempo-invariante, a tempo continuo difunzione di trasferimento

G(s) =1

s+ 10.

Supponendo di controllare il sistema attraverso un sistema di controllo a retroazione uni-taria del tipo

- h+ - CPI(s) - G(s) -

6

r(t) e(t) u(t) y(t)−

si progetti, se possibile, un controllore PI

CPI(s) = Kp +Ki

s∈ R(s)

in modo tale che il risultante sistema retroazionato, di funzione di trasferimento W (s),soddisfi ai seguenti requisiti:

1) sia BIBO stabile;

2) la risposta impulsiva del sistema sia combinazione lineare di due modi sinusoidalismorzati;

3) la W (s) presenti uno zero instabile.

Esercizio 5. Si consideri il processo di funzione di trasferimento

G(s) =100

(1 + s)(1 + 0.1s).

Si progetti un controllore C(s) di tipo PD, e quindi con la seguente struttura

C(s) = Kp +Kds,

in modo tale che il risultante sistema retroazionato

i) sia di tipo zero con errore di regime permanente (al gradino) pari a 0.001;

ii) abbia banda passante all’incirca Bp = 104 rad/sec.

Esercizio 6. Si consideri il processo di funzione di trasferimento

G(s) =25

s(s+ 5)(s+ 10).

Si progetti un controllore C(s) in modo tale che il risultante sistema retroazionato

2

i) sia di tipo 1;

e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),

ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 8 rad/sec;

iii) abbia margine di fase pari almeno a 45o.

Esercizio 7. Si consideri il processo di funzione di trasferimento

G(s) =(1− s)

5s(1 + 0.5s).

Si progetti un controllore C(s)

i) di tipo P, ovveroC(s) = Kp,

in modo tale che il risultante sistema retroazionato sia BIBO stabile con poli com-plessi coniugati e fattore di smorzamento ξ = 1/2.

ii) di tipo PI, ovvero

C(s) = Kp +Ki

s,

in modo tale che il risultante sistema retroazionato sia BIBO stabile e la funzionedi trasferimento in catena aperta, C(s)G(s), abbia pulsazione di attraversamentoω∗A = 0.1 rad/sec e margine di fase almeno pari a 450.

Esercizio 8. Si consideri il processo di funzione di trasferimento

G(s) =(1 + s)

(1 + 0.1s)(1 + 0.01s).

Si progetti un controllore C(s) di tipo PI, e quindi con la seguente struttura

C(s) = Kp +Ki

s,

in modo tale che il sistema retroazionato

i) sia di tipo 1 con errore di regime permanente alla rampa lineare non superiore a 0.1;

e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),

ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 1000 rad/sec;

iii) abbia margine di fase pari almeno a 80o.

Esercizio 9. Si consideri il processo di funzione di trasferimento

G(s) =1

(s+ 1)2.

Si progetti un controllore C(s) in modo tale che il risultante sistema retroazionato

3

i) sia di tipo 1 con errore di regime permanente (alla rampa lineare) al piu 0.01;

e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),

ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 10 rad/sec;

iii) abbia margine di fase pari almeno a 45o.

Esercizio 10. Si consideri il processo di funzione di trasferimento

G(s) =s+ 1

s.

Si progetti un controllore C(s) in modo tale che il risultante sistema retroazionato

i) sia di tipo 2 con errore di regime permanente (alla rampa parabolica) al piu 0.01;

e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),

ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 105/2 rad/sec;

iii) abbia margine di fase pari almeno a 60o.

Esercizio 11. Si consideri un processo di funzione di trasferimento

G(s) =10

1 + s.

1. Si progetti un controllore C(s) ∈ R(s) proprio in modo tale che il risultante sistemaretroazionato di funzione di trasferimento

W (s) =C(s)G(s)

1 + C(s)G(s)

i) sia di tipo 1 con errore di regime permanente (alla rampa lineare unitaria) alpiu pari ad 0.01;

e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),

ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 103 rad/sec e

iii) margine di fase pari almeno a 90o.

iv) Si dimostri che il problema della reiezione di un disturbo costante agente sovrap-posto all’ingresso u(t) e automaticamente risolto. Come cambierebbe la rispostase il processo avesse funzione di trasferimento

G′(s) =10

s(1 + s)?

2. Sempre con riferimento a G(s), si progetti un controllore C(s) ∈ R(s) proprio inmodo tale che il risultante sistema retroazionato di funzione di trasferimento

W (s) =C(s)G(s)

1 + C(s)G(s)

4

i) sia BIBO stabile;

ii) sia di tipo 0 con errore di regime permanente (al gradino unitario) al piu pariad 0.1, e

ii) insegua senza errore a regime il segnale r(t) = 3 sin tδ−1(t).

Esercizio 12. Si consideri il processo di funzione di trasferimento

G(s) =1

1 + s/104.

Si progetti un controllore C(s) in modo tale che il risultante sistema retroazionato

i) sia di tipo 1, con errore di regime permanente (alla rampa lineare), e(2)rp , non superiore

a 0.01;

ii) insegua senza errore a il segnale r(t) = sin(10t)δ−1(t).

e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),

ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 100 rad/sec;

ii) abbia margine di fase pari almeno a 60o.

Si dica se il risultante sistema e in grado di annullare a regime l’effetto di eventuali disturbicostanti agenti tra controllore e processo.

Esercizio 13. Si consideri il processo di funzione di trasferimento

G(s) =10

1 + 0.1s+ s2.

1. Si progetti una rete a sella stabilizzante, in modo che l’errore a regime al gradino sia

e(1)rp ' 10−3, la pulsazione di attraversamento ωA ' 10 rad/s ed il margine di fasemψ ' 90o.

2. Si progetti un PID stabilizzante, in modo che l’errore a regime alla rampa lineare

sia e(2)rp ' 0.1, la pulsazione di attraversamento ωA ' 10 rad/s ed il margine di fase

mψ ' 90o.

Esercizio 14. Dato il sistema di funzione di trasferimento

G(s) =10

(s+ 1)2

e richiesto di progettare

i) una rete a sella stabilizzante C1(s) che garantisca e(1)rp ' 10−4 al gradino, ωA ' 10

rad/s e mψ ' 90◦;

ii) un PID stabilizzante C2(s) che garantisca e(2)rp ' 0.1 alla rampa lineare, ωA ' 10

rad/s e mψ ' 90◦.

5

Soluzioni numeriche di alcuni esercizi

Esercizio 2. Il requisito sul tipo richiede l’introduzione di un polo nell’origine. Ilvincolo sull’errore di regime permanente impone

erp =1

KB(C)0.1≈ 0.1

da cui segue KB(C) ≈ 100. Prendiamo KB(C) = 100 a cui corrisponde C ′(s) = 100s .

I diagrammi di Bode di G(s) = C ′(s)G(s) sono i seguenti:

10−1

100

101

102

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

dB

pulsazione

Diagramma di Bode − Modulo

6

10−1

100

101

102

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

gra

di

pulsazione

Diagramma di Bode − Fase

Si trova 103/2 rad/s ≈ ωA < ω∗A = 1000 rad/s e mψ(ω∗A) := 180◦+arg(C ′(jω∗A)G(jω∗A))soddisfa 0◦ ≈ mψ(ω∗A) < m∗ψ = 65◦. Possiamo quindi applicare un’azione anticipatrice inmodo da sollevare il diagramma delle ampiezze fino a far sı che la pulsazione di attraversa-mento diventi ω∗A = 1000 rad/s e di sollevare la fase di almeno 65◦. Va sottolineato che ilvincolo sull’errore di regime permanente mi impedisce di modificare il guadagno di Bodedel controllore e pertanto potro agire solo introducendo zeri e poli.

Una soluzione “ad occhio” puo essere ottenuta introducendo opportunamente uno zeroprima della pulsazione di attraversamento in modo tale da soddisfare entrambi i requisitisu pulsazione di attraversamento e fase. Tenuto conto del fatto che comunque il controlloreha gia un polo nell’origine, il risultante controllore C(s) sara comunque proprio e quindinon e necessario introdurre ulteriori poli. Introducendo semplicemente uno zero in −1,ovvero un fattore (1 + s), osservo che i diagrammi di Bode di

C(s)G(s) = 1001 + s

s· 0.1 1 + s

1 + 2 · 0.25 s10 + s2

102

diventano

7

10−1

100

101

102

103

104

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

dB

pulsazione

Diagramma di Bode − Modulo

10−1

100

101

102

103

104

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

gra

di

pulsazione

Diagramma di Bode − Fase

e pertanto tutte le specifiche sono soddisfatte. Pertanto un controllore che conseguel’obiettivo desiderato e

C(s) = 1001 + s

s.

Esercizio 3. Per soddisfare i vincoli su tipo ed errore di regime permanente scegliamoC ′(s) = KB(C)

s , con guadagno di Bode KB(C) che soddisfa

1

KB(C)≤ 0.1,

8

da cui segue KB(C) ≥ 10 Assumiamo nel seguito C ′(s) = 10s . I diagrammi di Bode di

C ′(s)G(s) = 10s(1+10s) sono illustrati di seguito:

10−2 10−1 100 101−60

−40

−20

0

20

40

60

dB

pulsazione

Diagramma di Bode − Modulo

10−2 10−1 100 101−180

−170

−160

−150

−140

−130

−120

−110

−100

−90

grad

i

pulsazione

Diagramma di Bode − Fase

La pulsazione di attraversamento desiderata e ω∗A = 10 rad/s, mentre il margine di fasealla pulsazione desiderata e mψ(ω∗A) ≈ 0◦. La pulsazione di attraversamento di C ′(s)G(s) eωA = 1 rad/s. Per alzare sia modulo che fase alla frequenza di attraversamento desderata,e necessario ricorrere ad una rete anticipatrice

Cant(s) =1 + sT

1 + sαT, T > 0, 0 < α < 1.

Una soluzione ad occhio e la seguente:

C ′′(s) =1 + 10s

1 + 10−3s.

Ne verifichiamo la correttezza:

9

100 101 102 103 104−100

−80

−60

−40

−20

0

20

dB

pulsazione

Diagramma di Bode − Modulo

100 101 102 103 104−180

−170

−160

−150

−140

−130

−120

−110

−100

−90

grad

i

pulsazione

Diagramma di Bode − Fase

Esercizio 4. Con semplici calcoli si verifica che la funzione di trasferimento W (s) delsistema retroazionato e data da

W (s) =CPI(s)G(s)

1 + CPI(s)G(s)=

Ki

(sKp

Ki+ 1

)s2 + (10 +Kp) s+Ki

.

Tale funzione di trasferimento presenta poli “stabili” (ovvero a parte reale negativa) se esolo se {

10 +Kp > 0,Ki > 0.

Inoltre, tale funzione presenta uno zero instabile se e solo se Kp/Ki < 0 e, tenuto contodel fatto che Ki deve essere positivo, quest’ultimo vincolo si riscrive come Kp < 0. Infine,affinche i poli della W (s) siano complessi coniugati occorre e basta che il discriminantedel polinomio al denominatore sia negativo, ovvero

(10 +Kp)2 − 4Ki < 0.

10

Riassumendo, le condizioni che i parametri Kp e Ki del controllore devono soddisfare sonole seguenti: {

−10 < Kp < 0(10 +Kp)

2 < 4Ki.

Tra le possibili soluzioni una e, ad esempio,

Kp = −9, Ki = 1.

Esercizio 7. i) La funzione di trasferimento del sistema retroazionato e:

W (s) =KpG(s)

1 +KpG(s)=

Kp(1− s)5s(1 + 0.5s) +Kp(1− s)

=Kp(1− s)

2.5s2 + (5−Kp)s+Kp.

Trattandosi di una rappresentazione irriducibile, per valutare la BIBO stabilita e sufficienteverificare che il polinomio al denominatore

d(s) = 2.5s2 + (5−Kp)s+Kp

sia Hurwitz. In base alla regola dei segni di Cartesio cio succede se e solo se 0 < Kp < 5.La condizione che i poli siano complessi coniugati impone che il discriminante di d(s) sianegativo, ovvero

∆ = (5−Kp)2 − 10Kp < 0. (1)

Mentre

d(s) = 2.5s2 + (5−Kp)s+Kp = 2.5

[s2 +

(5−Kp)

2.5s+

Kp

2.5

]≡ 2.5[s2 + 2ξωns+ ω2

n],

impone

ξ =5−Kp

5

√2.5

Kp= 0.5,

la cui soluzione e Kp = 2.5. Chiaramente Kp = 2.5 appartiene all’intervallo (0, 5). Verificoora che per esso valga la diseguaglianza (1). Si vede che

(2.5)2 − 25 < 0

e quindi la (1) e soddisfatta.

ii) Un modo possibile di procedere e il seguente: consideriamo il controllore PI comeespresso nella forma

C(s) =1

s· C ′′(s),

con

C ′′(s) = Ki

(1 +

Kp

Kis

).

Tracciamo allora i diagrammi di Bode di

C ′(s)G(s) =1

s·G(s) =

(1− s)5s2(1 + 0.5s)

,

11

e cerchiamo di scegliere il valore del guadagno di Bode del controllore, Ki, e la collocazionedello zero del controllore, in modo da soddisfare le specifiche. Dall’esame dei diagrammidi Bode

10−2 10−1 100 101 102−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

dB

pulsazione

Diagramma di Bode − Modulo

10−2 10−1 100 101 102−360

−340

−320

−300

−280

−260

−240

−220

−200

−180

arg(

W) [

°]

pulsazione [rad/s]

Diagramma di Bode − Fase

si deduce che una possibilita e quella di inserire lo zero in −0.01 = −10−2 rad/s.In questo modo la fase passerebbe da −180◦ a −90◦, in un intorno di 10−2 rad/s, e incorrispondenza a 10−1 rad/s la fase sarebbe approssimativamente −90◦, garantendo unmargine di fase maggiore di 45◦. A questo punto per imporre ω∗A = 10−1 rad/s e sufficienteabbassare il diagramma di Bode delle ampiezze scegliendo

Ki = 1/200.

Si trova quindi

C(s) =1

200

1

s(1 + 100s),

(che corrisponde a Ki = 1/200 e Kp = 1/2) e i diagrammi di Bode di C(s)G(s) sono iseguenti:

12

10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

dB

pulsazione

Diagramma di Bode − Modulo

10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102−280

−260

−240

−220

−200

−180

−160

−140

−120

−100

−80

arg(

W) [

°]

pulsazione [rad/s]

Diagramma di Bode − Fase

Il criterio di Bode assicura che il risultante sistema retroazionato sia BIBO stabile.

13