Equazioni goniometriche elementari

1 Daniela Valenti, Treccani scuola

Questa presentazione è dedicata a risolvere equazioni trigonometriche elementari

2 Daniela Valenti, Treccani scuola

•  Richiamare la funzione y = sin(x) e la sua inversa. •  Determinare tutte le soluzioni di equazioni del tipo

sin(x) = m. •  Ripetere i primi due passi per risolvere equazioni

del tipo cos(x) = m e tan(x) = m.

Percorso proposto

Sono dette ‘elementari’ le equazioni del tipo sin(x)=m, cos(x) = m e tan(x) = m, con m numero reale.

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La fisica suggerisce la legge d = sin(t)

Daniela Valenti, Treccani scuola

A sinistra, P gira sulla circonferenza in verso antiorario e percorre ogni secondo un arco AP lungo 1. Proietto P sul diametro verticale, dove leggo il seno dell’arco AP. A destra, riporto sull’asse delle ascisse l’arco AP e sull’asse delle ordinate il seno dell’arco AP.

Trigo_equazioni_Geogebra_Presenta1a

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Il movimento continua

Daniela Valenti, Treccani scuola

Per disegnare il grafico ripeto tante volte l’arco rosso, che ho disegnato all’inizio solo nell’intervallo [0; 2π], che è lungo 2π.

Si ottiene un grafico periodico con periodo T = 2π.

P continua a girare sulla circonferenza e la sua proiezione continua a oscillare sul diametro.

d = sin(t)�

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La funzione y = sin(x) e la sinusoide

Daniela Valenti, Treccani scuola

La legge d = sin(t) viene applicata per risolvere problemi del tipo: è dato il tempo t = x e ricavo d = y. Questo porta a ‘dimenticare’ la fisica e osservare le figure qui sotto: - In alto P può girare anche in verso opposto (cioè orario) -  In basso, per ricordare il cambiamento di verso, distendiamo l’arco AP

sull’asse delle ascisse, a partire dall’origine O anche nel verso negativo e continuiamo il grafico.

y =sin(x)

La curva prende il nome di sinusoide

Invertire la funzione y = sin(x)

6 Daniela Valenti, Treccani scuola

Ma gli oscillatori e la legge d = sin(t) possono essere applicati anche per scandire il tempo; in questi casi è data d = x e ricavo il tempo t = y. Questo porta a cercare la funzione inversa di y = sin(x).

La funzione y = sin x non è biunivoca

7 Daniela Valenti, Treccani scuola

In questo caso la formula y = sin x, con dominio sottinteso l’insieme R, definisce una funzione che non è biunivoca. Perciò la simmetrica rispetto a b non è il grafico di una funzione.

Per avere una funzione invertibile, sempre con la stessa formula, bisogna scegliere un dominio più ristretto.

y = sinx Dominio: [-π/2; π/2] Codominio: [-1; 1]

y = arcsinx Funzioni una inversa dell’altra

Inversa della funzione seno

8 Daniela Valenti, Treccani scuola

Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in radianti

Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in gradi

Con la matematica

Tasti del tascabile

Equazione elementare sin(x)=m. Un esempio

9 Daniela Valenti, Treccani scuola

È data la funzione y = sin(x) definita nell’insieme R dei numeri reali. Determina tutti gli archi x che corrispondono all’ordinata y = ½ .

€

sin(x) =12

L’equazione esprime in forma sintetica il seguente problema

Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell’equazione.

L’interpretazione grafica dà un primo orientamento.

Equazione sin(x) = m Interpretazione grafica dell’esempio

10 Daniela Valenti, Treccani scuola

€

sin(x) =12⇔

y = sin(x)

y =12

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

Il grafico ricorda che la funzione y = sin(x) è periodica con periodo 2π. Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo 2π. L’equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo l’asse delle x.

Come posso descrivere tutte le soluzioni dell’equazione?

Equazione sin(x) = m. Le soluzioni dell’esempio

11 Daniela Valenti, Treccani scuola

Una soluzione nell’intervallo

€

−π2

, π2

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

y = sin(x)

Equazione sin(x) = m Le soluzioni dell’esempio

12 Daniela Valenti, Treccani scuola

Due soluzioni nell’intervallo

€

−π2

, 32π

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

Equazione sin(x) = m. Tutte le soluzioni dell’esempio

13 Daniela Valenti, Treccani scuola

Nell’insieme R le soluzioni si ripetono con periodo 2π

Per riassumere tutte le soluzioni

€

xk =π6

+ 2kπ x'k =56π + 2kπ

Con k che varia nell’insieme Z dei numeri interi

Le equazioni del tipo sin(x) = m

14 Daniela Valenti, Treccani scuola

Se m < -1 oppure m > 1 NESSUNA SOLUZIONE REALE

Le equazioni del tipo sin(x) = m

15 Daniela Valenti, Treccani scuola

Solo se -1 ≤ m ≤ 1, tutte le soluzioni sono date da

€

xk =α + 2kπ x'k = π −α + 2kπCon

α= arcsin(m) k che varia nell’insieme Z dei numeri interi

Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1b

Risolvere equazioni del tipo sin(x) = m

16 Daniela Valenti, Treccani scuola

Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = sin(x). ESEMPI

Equazioni del tipo cos(x) = m

17 Daniela Valenti, Treccani scuola

Seguo lo stesso percorso, con qualche modifica

Inverto la funzione coseno

18 Daniela Valenti, Treccani scuola

Anche la funzione y = cos x non è biunivoca

19 Daniela Valenti, Treccani scuola

Anche la formula y = cos x, con dominio sottinteso l’insieme R, definisce una funzione che non è biunivoca. Perciò la simmetrica rispetto a b non è il grafico di una funzione. Per avere una funzione invertibile, sempre con la stessa formula, bisogna scegliere un dominio più ristretto.

y = cosx Dominio: [0; π] Codominio: [-1; 1]

y = arccosx

Funzioni una inversa dell’altra

20 Daniela Valenti, Treccani scuola

Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in gradi

Con la matematica Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in radianti

Inversa della funzione coseno

Equazione elementare cos(x)=m. Un esempio

21 Daniela Valenti, Treccani scuola

È data la funzione y = cos(x) definita nell’insieme R dei numeri reali. Determina tutti gli archi x che corrispondono all’ordinata y = ½ .

€

cos(x) =12

L’equazione esprime in forma sintetica il seguente problema

Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell’equazione.

L’interpretazione grafica dà un primo orientamento.

Equazione cos(x) = m Interpretazione grafica dell’esempio

22 Daniela Valenti, Treccani scuola

€

cos(x) =12⇔

y = cos(x)

y =12

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

Il grafico ricorda che la funzione y = cos(x) è periodica con periodo 2π. Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo 2π. L’equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo l’asse delle x.

Descrivo tutte le soluzioni anche di questa equazione

Equazione cos(x) = m. Le soluzioni dell’esempio

23 Daniela Valenti, Treccani scuola

Una soluzione nell’intervallo [0 , π]

y = cos(x)

Equazione cos(x) = m Tutte le soluzioni dell’esempio

24 Daniela Valenti, Treccani scuola

Nell’insieme R: -  la funzione y = cos(x) è pari, perciò trovo -  le soluzioni si ripetono con periodo 2π.

Per riassumere tutte le soluzioni

€

xk = ±π3

+ 2kπ

Con k che varia nell’insieme Z dei numeri interi

€

α =π3

, α'= −π3

Le equazioni del tipo cos(x) = m

25 Daniela Valenti, Treccani scuola

Se m < -1 oppure m > 1 NESSUNA SOLUZIONE REALE

Le equazioni del tipo cos(x) = m

26 Daniela Valenti, Treccani scuola

Solo se -1 ≤ m ≤ 1, tutte le soluzioni sono date da

€

xk = ±α + 2kπCon

α= arccos(m) k che varia nell’insieme Z dei numeri interi

Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1c

Risolvere equazioni del tipo cos(x) = m

27 Daniela Valenti, Treccani scuola

Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = cos(x). ESEMPI

Equazioni del tipo tan(x) = m

28 Daniela Valenti, Treccani scuola

Seguo lo stesso percorso, con qualche modifica

Inverto la funzione tangente

29 Daniela Valenti, Treccani scuola

Dominio l’insieme dei numeri reali esclusi i multipli dispari di π/2.

Anche la funzione y = tan x non è biunivoca

30 Daniela Valenti, Treccani scuola

Anche con la formula y = tanx, si può definire una funzione invertibile solo scegliendo opportunamente il dominio.

y = tanx Dominio: Codominio: R

y = arctanx

Funzioni una inversa dell’altra

€

−π2

, π2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

31 Daniela Valenti, Treccani scuola

Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in gradi

Con la matematica Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in radianti

Inversa della funzione tangente

Equazione elementare tan(x) =m. Un esempio

32 Daniela Valenti, Treccani scuola

È data la funzione y = tan(x) definita nell’insieme R dei numeri reali esclusi i multipli dispari di π/2. Determina tutti gli archi x che corrispondono all’ordinata y = －1 .

L’equazione esprime in forma sintetica il seguente problema

Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell’equazione.

L’interpretazione grafica dà un primo orientamento.

tan(x) = −1

Equazione tan(x) = m Interpretazione grafica dell’esempio

33 Daniela Valenti, Treccani scuola

€

tan(x) = −1⇔y = tan(x)y = −1

⎧ ⎨ ⎩

Il grafico ricorda che la funzione y = tan(x) è periodica con periodo π. Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo π. L’equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo l’asse delle x. Descrivo tutte le soluzioni anche di questa equazione

Equazione tan(x) = m. Le soluzioni dell’esempio

34 Daniela Valenti, Treccani scuola

Una soluzione nell’intervallo

€

−π2

, π2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

y = tan (x)

Equazione tan(x) = m Tutte le soluzioni dell’esempio

35 Daniela Valenti, Treccani scuola

Nell’insieme dei numeri reali esclusi i multipli dispari di π/2 le soluzioni si ripetono con periodo π.

Per riassumere tutte le soluzioni

€

xk = −π4

+ kπ

Con k che varia nell’insieme Z dei numeri interi

Le equazioni del tipo tan(x) = m

36 Daniela Valenti, Treccani scuola

€

xk = α + kπCon

α= arctan(m) k che varia nell’insieme Z dei numeri interi

Tutte le soluzioni sono date da

Posso scegliere a piacere il numero reale m e trovare le soluzioni dell’equazione.

Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1d

Risolvere equazioni del tipo tan(x) = m

37 Daniela Valenti, Treccani scuola

Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = tan(x). ESEMPI

Sintesi di equazioni trigonometriche elementari

38 Daniela Valenti, Treccani scuola

Risolvere equazioni senza tracciare il grafico di funzioni circolari. FORMULE RISOLUTIVE

39 Daniela Valenti, Treccani scuola

Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare.

Avete 15 minuti di tempo

Nel lavoro di gruppo sarete voi a risolvere equazioni trigonometriche elementari.

Attività 1. Risolvere equazioni goniometriche elementari

40 Daniela Valenti, Treccani scuola

Che cosa abbiamo ottenuto

41 Daniela Valenti, Treccani scuola

Soluzioni delle equazioni

42 Daniela Valenti, Treccani scuola

Soluzioni delle equazioni

43 Daniela Valenti, Treccani scuola

Soluzioni delle equazioni