Universita degli Studi di Milano

FACOLTA DI SCIENZE E TECNOLOGIE

Corso di Laurea Triennale in Fisica

Tesi di Laurea Triennale

Correzione al secondo ordine perturbativo dell’auto-energia pernucleoni in materia nucleare

Candidato:

Davide RotaMatricola 813215

Relatore:

Prof. Gianluca Colo

Correlatore:

Dott. Xavier Roca-Maza

Anno Accademico 2015-2016

Indice

Introduzione iii

1 Premesse e motivazioni sulla scelta del sistema 11.1 Proprieta nucleari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Densita di saturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Energia di saturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Particelle indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Materia nucleare simmetrica e omogenea . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Funzione d’onda di singola particella . . . . . . . . . . 5

2 Teoria di campo medio 72.1 Modelli teorici per le interazioni a due corpi . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Interazione di Skyrme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Interazione di Brink-Boeker . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Interazione di Gogny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Energia del sistema a livello Hartree-Fock . . . . . . . . . . . 112.3 Massa efficace in un modello Hartree-Fock . . . . . . . . . . . 122.4 Risultati per un potenziale Brink-Boeker . . . . . . . . . . . . 15

2.4.1 Energia del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Propreta di singola particella . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Secondo ordine perturbativo 213.1 Proprieta globali per il secondo ordine perturbativo . . . . . . 213.2 Proprieta di singola particella per il secondo ordine perturbativo 233.3 Risultati per un potenziale Brink-Boeker . . . . . . . . . . . . 25

3.3.1 Energia del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.2 Proprieta di singola particella . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Conclusioni 43

A Metodo Hartree-Fock 45

B Teoria delle perturbazioni 48

i

Bibliografia 51

ii

Introduzione

Uno dei principali obiettivi della fisica e quello di determinare quantitativa-mente la dinamica dei sistemi di cui si occupa. In questo senso le conoscenzeattuali permettono di risolvere alcuni problemi, tra i quali ad esempio quellodel moto degli elettroni intorno al nucleo, dove il potenziale elettromagne-tico e noto e mantiene il sistema legato, nel caso in cui gli elettroni sianopochi. Il problema a molti corpi e invece difficile da risolvere, anche quandol’interazione tra le particelle e nota. Nel caso del problema a molti nucleonivi sono anche incertezze sull’interazione.Il nucleo e quindi uno di quei sistemi per i quali non e ancora stato determi-nato un modello che ne descriva in maniera univoca la struttura dello statofondamentale e lo spettro di eccitazione. La maggior parte delle trattazionidi questo problema partono da un potenziale a due corpi fenomenologicosulla cui base costruire un modello che sia in grado di rendere conto deirisultati empirici.Ad oggi esistono sostanzialmente due metodi per costruire un’interazione adue (ed eventualmente a tre) corpi per i nucleoni:

• un possibile approccio, detto ab initio, modellizza l’interazione a parti-re da esperimenti di scattering tra nucleoni nel vuoto. Da un punto divista prettamente teorico questo tipo di modelli sono i migliori, percheil controllo sulla loro verosimiglianza viene posto, come ricorda il no-me, all’inizio, cioe sulle interazioni fondamentali. Due esempi di teorieab initio sono il potenziale CD-Bonn [1], oppure l’interazione Argonnev18 [2], che sfrutta i dati ricavati sia dalla diffusione n-n che n-p.Per i nuclei piu leggeri, e.g. il deutone, 3He e 4He, e possibile ef-fettuare un calcolo microscopico esatto partendo da queste interazionia due corpi; se invece il numero di nucleoni diventa maggiore di 4 enecessario adottare soluzioni approssimate, ottenute grazie a metodicome il Quantum Monte Carlo [3], il metodo Green’s Function MonteCarlo [4], il No-Core Shell Model [5];

• Il grande svantaggio dei modelli di cui si e parlato al punto precedentee dato dal grande costo computazionale, che spesso rende la mole deicalcoli da affrontare insostenibile anche per i moderni calcolatori. Con-viene allora abbandonare questo tipo di approccio e ricercare delle vie

iii

alternative che raggiungano un buon compromesso tra capacita predit-tive e tempi di calcolo. Si puo allora pensare di scegliere un potenzialea due corpi, dipendente da un certo numero di parametri, in modo ta-le che simuli delle simmetrie sull’interazione mutua tra nucleoni e cheriproduca dei dati sperimentali, come per esempio l’energia del siste-ma. Un potenziale di questo tipo, detto ad hoc, non tiene percio contodell’interazione NN, poiche il valore quantitativo dei parametri che locaratterizzano viene determinato imponendo dei vincoli sul risultatofinale, che dipende dalla teoria in cui si va a collocare l’interazione adue corpi. Alcuni esempi di potenziale ad hoc sono le forze di Skyrme[6], Gogny [7] e Brink&Boeker [8], che verranno introdotte nel corsodel lavoro. Questi potenziali vengono poi utilizzati nell’ambito dellateoria autoconsistente di campo medio (SCMF) di Hartree-Fock (HF),un modello a particelle indipendenti in cui un potenziale efficace stati-co sostituisce tutte le interazioni tra le particelle trasformando di fattoun problema ad A corpi in tanti problemi ad un corpo.;

Nel presente elaborato vengono mostrati i risultati ottenuti calcolando leproprieta globali e di singola particella per un sistema di materia nucleareuniforme, ottenuti utilizzando il secondo approccio a partire da un poten-ziale di tipo Brink&Boeker. Il potenziale efficace cosı ottenuto, che a causanatura fermionica dei nucleoni presenta una dipendenza dal momento diquesti ultimi, permette di ottenere un’equazione di stato (EoS), che in ge-nerale dipende dalla densita del sistema, sommando sull’energia di tuttele particelle considerate. Ovviamente bisogna tenere presente che quelloHartree-Fock non e l’unico schema autoconsistente ne il piu raffinato: trale possibili alternative citiamo a titolo di esempio il metodo del funzionaledensita proposto da Kohn e Sham nel 1965 [9].A partire dalla seconda meta del secolo scorso il metodo HF e stato inda-gato in moltissime situazioni differenti che hanno fatto emergere dei limitistrettamente legati all’approssimazione adottata. Si e pensato quindi di ab-bandonare l’idea di un potenziale statico e di considerare esplicitamente glieffetti di correlazione nel moto delle particelle estendendo il calcolo pertur-bativo al secondo ordine. Anche in questo caso, come in approssimazioneHF, verranno mostrati in questa tesi l’equazione di stato in materia nuclea-re al secondo ordine perturbativo e la forma del potenziale che governa ilmoto delle singole particelle. Infine, come per il primo ordine perturbativo,verranno mostrati i risultati numerici ottenuti adottando un’interazione adue corpi del tipo Brink&Boeker.

iv

Capitolo 1

Premesse e motivazioni sullascelta del sistema

In questo capitolo, dopo un breve riassunto di alcune proprieta nuclearinotevoli, vengono presentate funzione d’onda e Hamiltoniana per un sistemadi nucleoni in approssimazione di particelle indipendenti (IPA). Viene poidata una descrizione della materia nucleare simmetrica ed omogenea e dellemotivazioni che hanno determinato la scelta del sistema e del modello.

1.1 Proprieta nucleari

1.1.1 Densita di saturazione

Gli esperimenti di scattering elettronico su diversi nuclei sferici hanno per-messo di ricavare per ognuno di essi la distribuzione di carica radiale deinucleoni ρ(r). Osservando la figura 1.1 su cui sono riportati alcuni risultati,si possono notare due particolarita:

1. la densita di nucleoni rimane costante indipendentemente dal numerodi nucleoni entro una certa distanza dal centro del nucleo, per poicominciare a diminuire fino ad annullarsi seguendo un andamento ditipo Woods-Saxon, ovvero

ρ(r) =1

1 + er−Ra

, (1.1)

con R pari al raggio del nucleo1, a parametro che definisce la superficienucleare (a ≈ 0.5 fm [18]);

2. la densita per i nucleoni piu interni non dipende da A per la maggiorparte dei nuclei, ad eccezione di quelli piu leggeri, ma e costante e paria ρ0 ∼ 0.16fm−3.

1

Figura 1.1: Densita di nucleoni per alcuni nuclei [10].

La seconda proprieta ci fornisce una notevole indicazione circa le moda-lita di interazione tra nucleoni all’interno del nucleo, e cioe che una particellainteragisce solo con le sue prime vicine: le forze nucleari sono a corto range,dunque trascurando la repulsione coulombiana tra protoni non agiscono pernucleoni eccessivamente distanti. La condizione che si viene cosı a creare,detta di saturazione, genera nelle regioni interne del nucleo una densita co-stante dei nucleoni ρ0 chiamata densita di saturazione.Se trascuriamo la pelle del nucleo, ipotizzando una densita costante in tuttoil volume Ω occupato, quest’ultimo e proporzionale al numero di massa A,e vale la relazione

R = r0A13 , r0 ≈ 1.2 fm, (1.2)

con R raggio del nucleo ed r0 valore costante ricavato empiricamente [11], checi permette a sua volta di ricavare la distanza media tra nucleoni, dell’ordinedi 1 fm.

1.1.2 Energia di saturazione

Uno dei modelli piu semplici all’interno dei quali e possibile trovare inter-pretazione per i risultati sperimentali riguardanti l’energia di legame in unnucleo e sicuramente la formula semiempirica di massa proposta da Bethe eWeizsacker sulla base del modello a goccia[11]:

E(N,Z) = aΩA+ asA23 + ac

Z2

A13

+ asym(N − Z)2

A− δ(A), (1.3)

aΩ = −15.85MeV, as = 18.34MeV, ac = 0.71MeV, (1.4)

1Il valore di R viene definito successivamente

2

asym = 23.21MeV, δ(A) = ±12A− 12 MeV, (1.5)

dove

• il primo termine e detto di volume, poiche A ∝ r3, e rappresenta ilcontributo all’energia dell’interazione per i nucleoni piu interni;

• il secondo addendo, detto termine di superficie in quanto proporzionalead A

23 (∝ r2), e una correzione al primo termine dovuta al fatto che i

nucleoni presenti in prossimita della superficie nucleare contribuisconoall’energia di legame in maniera minore rispetto a quelli interni;

• la repulsione coulombiana e responsabile del contributo proporzionalea2 Z2/A1/3(∝ r−1). Questo contributo favorisce una configurazione incui N>Z per nuclei pesanti;

• il penultimo termine, detto di simmetria, fa si che l’energia di lega-me aumenti per configurazioni in cui si ha Z=N. E molto importantenei nuclei piu leggeri, mentre per quelli piu pesanti l’aumento dellarepulsione coulombiana richiede un numero di neutroni maggiore;

• L’ultimo termine, detto termine di pairing puo essere maggiore, minoreo uguale a zero a seconda del numero di protoni e neutroni. Sperimen-talmente infatti si osserva che i nuclei in cui il numero di protoni equello di neutroni e pari hanno una maggiore stabilita;

1.2 Particelle indipendenti

Il modello a particelle indipendenti (IPA) e un metodo di approssimazioneattraverso il quale una base nello spazio degli stati per A particelle vienetrattata come il prodotto di N stati di singola particella indipendenti. Inrealta per un sistema di fermioni come lo sono i nucleoni occorre tenereconto del principio di Pauli, che impedisce a due particelle di occupare lostesso stato: lo stato totale deve essere antisimmetrico sotto permutazio-ne di particelle, per cui in realta il moto di ognuna di esse dipende ancheda quello delle altre. Uno degli esempi piu celebri tra i modelli a particelleindipendenti e rappresentato dal metodo autoconsistente di Hartree-Fock,descritto in dettaglio in appendice A. Il modello a particelle indipendenticostituisce un ottimo punto di partenza per l’applicazione di numerose tec-niche volte a determinare le proprieta di un sistema a molti corpi, come lateoria perturbativa descritta in appendice B.

2Forma funzionale ricavata dall’espressione per l’energia elettrica di un nucleoassumendo una distribuzione omogenea di protoni.

3

L’Hamiltoniana per un sistema a molti corpi in assenza di un potenzialeesterno e definita, nel modello IPA, da

H = T + V (1.6)

= −N∑i

ℏ2∇2i

2m+

1

2

N∑i =j

v(i, j), (1.7)

dove v(i, j) e il potenziale a due corpi attraverso il quale interagiscono leparticelle i-esima e j-esima. Questi potenziali possono avere forme diversecostruite sulla base di evidenze sperimentali. Nel paragrafo 2.1 ne verrannopresentati alcuni in dettaglio. E evidente che mentre da una parte il terminecinetico agisce esclusivamente sulla i-esima particella, il termine di poten-ziale coinvolge tutte le particelle del sistema e la sua soluuzione non e banale.

Come detto all’inizio di questo paragrafo, per un sistema di fermionicome quello che andremo a considerare la funzione d’onda globale e data dalprodotto antisimmetrizzato degli autostati di singola particella e assume laforma di un determinante di Slater:

Φ0(r1, r2, . . . , rN ) =1√N !

∑σ

(−1)πPσ(ϕ1 . . . ϕN ), (1.8)

in cui la somma in (1.8) viene effettuata su tutte le possibili permutazionidegli stati di singola particella ϕi generate dall’operatore di scambio dellacoppia di stati di singola particella Pσ. Senza perdere in generalita possiamopoi scegliere gli stati ϕi in modo tale che essi formino un insieme completoe ortonormale, imponendo la condizione ⟨ϕi|ϕj⟩ = δij .

1.3 Materia nucleare simmetrica e omogenea

Descrivere la dinamica interna di un nucleo puo risultare un’impresa assaiardua, infatti a causa dei numerosi effetti che concorrono all’interazione tranucleoni sia le funzioni d’onda che l’Hamiltoniana diventano oggetti moltocomplicati con cui lavorare. La situazione puo essere notevolmente sempli-ficata affrontando il problema in materia nucleare simmetrica omogenea, unsistema ideale in cui vengono trascurati alcuni termini di (1.3):

1. sia Ω il volume del nucleo. Se esso e sufficientemente grande si possonoconsiderare trascurabili, nel limite in cui questo tende a infinito, ilcontributo degli effetti di superficie e anche di pairing, se lavoriamocon il modello dell’equazione (1.3);

2. assumendo un numero di protoni equivalente a quello dei neutroni(Z = N = A/2), il termine di simmetria si annulla. Questa condizio-ne e verificata anche per nuclei reali con A ≤ 50, dove il contributocoulombiano diventa rilevante rispetto a quello di simmetria;

4

3. trascurando il contributo coulombiano all’energia, si annulla il terzotermine dell’equazione (1.3);

4. la distribuzione della densita puo essere considerata costante (omoge-neita), come in effetti avviene all’interno dei nuclei reali.

Grazie a queste assunzioni l’unico termine a non essere soppresso in (1.3) equello relativo al contributo del volume, proporzionale ad A, e l’energia dilegame per nucleone diventa quindi una quantita costante che prescinde dalnumero di particelle componenti il sistema.La materia simmetrica e dunque un sistema ideale il cui studio rappresentapero un buon punto di partenza per capire le proprieta nucleari che noncoinvolgono la superficie o l’eccesso di neutroni, e in alcuni casi e anche ingrado di fornire informazioni circa alcuni sistemi reali, come accade per unaparte del profilo di densita delle stelle di neutroni.Per materia nucleare, l’energia per nucleone al punto di saturazione diventa[12]

e(ρ0) = −16.0± 0.1MeV. (1.9)

1.3.1 Funzione d’onda di singola particella

Sia Ω un volume di materia nucleare simmetrica e omogenea di lato L.Grazie alle proprieta di omogeneita e simmetria il sistema e invariante pertraslazioni e il momento e una costante del moto. Possiamo dunque sceglie-re di diagonalizzare l’Hamiltoniana insieme al momento sugli autostati diquest’ultimo, rappresentati da onde piane, che nello spazio delle coordinateassumono la forma3

ϕk(x) = ⟨x|k⟩ = 1

Ωeik·x. (1.10)

Le condizioni al contorno applicate alle estremita del volume impongonoche al momento k sia permesso di assumere solo valori discreti tali che

k =2π

Ln. (1.11)

Da qui, ricavando che la densita degli stati e pari a Ω/(2π)3, posso sfrut-tare questa condizione e covertire le sommatorie sui momenti in integrali,considerato il gran numero di stati per unita di volume:∑

k

→ Ω

(2π)3

∫d3k. (1.12)

3In realta l’autostato che decrive la particella e dato da |k, σmσ, τmτ ⟩ =(|k⟩ ⊗ |σmσ⟩ ⊗ |τmτ ⟩

), dove |σmσ⟩ e |τmτ ⟩ sono rispettivamente gli autostati di spin

e isospin del nucleone.

5

A causa della natura fermionica due nucleoni non possono occupare lo stessostato quantico, pertanto i valori dei momenti k per lo stato fondamentalesono i piu piccoli possibili tali per cui questo principio viene rispettato. L’in-sieme dei k e costituito da una sfera di raggio |k| nello spazio dei momenti,la cui superficie e definita dal valore massimo consentito, detto momento diFermi (kf = |k|max). Esiste un’equazione che lega il momento di Fermi e ladensita delle particelle: sapendo che

ρΩ = A =Ω

(2π)3

(∑σ,τ

1

)∫|k|<kf

d3k, (1.13)

,dove la somma e da intendersi sulle componenti lungo l’asse z, attraversosemplici calcoli si ottiene

ρ =2

3π2k3f . (1.14)

6

Capitolo 2

Teoria di campo medio

Uno dei principali obiettivi nello studio di un sistema a molti corpi e quellodi descrivere la dinamica dei singoli elementi che lo compongono. La solu-zione esatta a questo problema e molto difficile da trovare, tuttavia esistonodei sistemi, tra i quali alcuni di ioni ed elettroni, per cui sono stati elaboratidei modelli la cui predittivita e molto elevata. In materia nucleare, un buonmetodo per descrivere le interazioni di una particella con il sistema che lacirconda e quello di trattare l’effetto che le altre particelle generano su diessa come un potenziale efficace che sia mediato su tutte le possibili intera-zioni a due corpi.In questo capitolo verra per prima cosa mostrato qualche esempio di po-tenziale a due corpi, in particolare il potenziale Brink&Boeker, utilizzatonell’ultima parte del capitolo per mostrare alcuni risultati numerici. Succes-sivamente verra trattato lo studio delle proprieta globali e di singola parti-cella, con particolare riguardo al concetto di massa efficace, quantita stretta-mente legata alle proprieta di singola particella. Per finire, come anticipato,verranno mostrati alcuni risultati ottenuti applicando un potenziale a duecorpi di tipo Brink&Boeker.

2.1 Modelli teorici per le interazioni a due corpi

Le interazioni a due corpi prese come punto di partenza nel calcolo delpotenziale efficace possono essere calcolate adottando potenziali costruitisulla base di diversi modelli. Alcuni di essi, detti ab initio, definisconoun’interazione realistica prendendo come punto di partenza alcune proprietaricavate da esperimenti di scattering tra nucleoni nel vuoto. Tuttavia, ilcosto computazionale di tali metodi comincia a diventare molto pesantegia per nuclei con A superiore a 10/20: conviene quindi adottare un altrotipo di approccio, in cui si costruisce un potenziale ad hoc dipendente daun numero variabile di parametri, definiti in modo tale che l’interazioneeffettiva, calcolata in un modello a campo medio, sia in grado di riprodurre

7

determinate proprieta nucleari.Di seguito vengono presentati alcuni di questi potenziali, in particolare ilpotenziale di Brink&Boeker, che verra utilizzato nel presente lavoro permostrare alcuni risultati numerici.

2.1.1 Interazione di Skyrme

Negli anni ’50 Skyrme propose un modello di interazione a due corpi che inmateria nucleare simmetrica assume la forma[18][6]

vS(r1, r2) =t0(1 + x0)δ(r1 − r2)

+1

2t1[δ(r1 − r2)k

2 + k2δ(r1 − r2)]+ t2kδ(r1 − r2)k,

+t3

6(1 + Pσ)δ(r1 − r2)ρ, (2.1)

con t0, t1, t2, t3, x0 parametri e ρ densita del sistema. Pσ e invece l’operatoredi scambio degli spin definito come

Pσ =1 + σ1 · σ2

2. (2.2)

Questo potenziale e composto da tre termini: il primo e il secondo terminedescrivono una forza a range zero pura; il terzo termine contiene la dipen-denza di questo potenziale dalla densita del sistema, ed e ottenuto a partireda un potenziale a tre corpi mediato su una delle tre particelle.Nonostante sia un modello abbastanza elementare, il potenziale di Skyrmeviene spesso utilizzato per la sua semplicita e per la capacita di riprodur-re quantitativamente osservabili empiriche come le energie di legame lungotutta la tavola periodica[14].

2.1.2 Interazione di Brink-Boeker

Brink e Boeker in un articolo del 1966 [8] proposero un modello di potenzialea due corpi della forma

v′BB(r1, r2) =∑i=1,2

Si(1−mi +miPM )e− r2

µ2i , (2.3)

dove PM e l’operatore di scambio dei momenti per due particelle, definitoin maniera tale che

PMϕk(r1)ϕl(r2) = ϕl(r1)ϕk(r2), (2.4)

P 2M = 1. (2.5)

8

Il motivo di questa scelta fu la volonta di riprodurre tre regioni dipen-denti dalla distanza r tra nucleoni, definite dai due range µ1 e µ2: una primaregione, a una distanza r > µ1, in cui gli effetti dell’interazione sono tra-scurabili; una zona con µ2 < r < µ1, in cui il potenziale ha un carattereattrativo; infine una terza regione (r < µ2) che modellizza il carattere for-temente repulsivo dell’interazione a piccole distanze. I parametri vengonofittati in base al sistema e ai vincoli considerati, e in generale ci si aspettaper i range dei valori intorno a µ1 ≈ 0.8− 1.4 fm, µ2 ≈ 0.4− 0.7 fm

In questo lavoro viene considerata una forma semplificata di potenzialeBrink&Boeker (BB) con una sola Gaussiana:

vBB(r1, r2) = S(1−m+mPM )e− r2

µ2 . (2.6)

Il doppio carattere, attrattivo e repulsivo, del potenziale non viene piu ri-prodotto dall’interazione a due corpi nel caso di un potenziale semplificatocon un solo range, tuttavia la motivazione che ci spinge ad adottare questasoluzione e data dal fatto che tale comportamento viene riprodotto dallapresenza di un termine di scambio per un potenziale Hartree-Fock. Si pos-sono ottenere i tre parametri S,m e µ imponendo delle condizioni tali percui siano rispettati alcuni vincoli calcolati alla densita di saturazione ρ0. Diseguito vengono proposte alcune grandezze utilizzate a questo scopo:

1. l’energia per nucleone (1.9);

2. la pressione del sistema

P (ρ0) = ρ2∂e

∂ρ

ρ=ρ0

= 0MeV

fm3. (2.7)

Il fatto che la pressione debba essere nulla risulta ovvio considerandoche la condizione di saturazione rappresenta un punto di equilibriostabile per la materia nucleare, quindi la sua derivata prima rispettoalla densita si annulla necessariamente per ρ = ρ0;

3. l’incompressibilita: definiamo in primo luogo la compressibilita χ comela risposta del volume del sistema a piccole variazioni di pressione,

χ = − 1

V

(∂P

∂V

)−1

=1

ρ

(∂2P

∂ρ2

)−1

. (2.8)

Per un sistema in cui la temperatura T = 0 e il numero di particel-le A rimane costante, come accade per materia nucleare infinita, lapressione e legata all’energia per nucleone e:

P = −∂E

∂V= ρ2

∂e

∂ρ, (2.9)

9

percio, servendoci delle ultime due equazioni otteniamo l’inverso dellacompressibilita in funzione della densita:

χ−1(ρ) = ρ∂P

∂ρ

= 2ρ2∂e

∂ρ+ ρ3

∂2e

∂ρ2. (2.10)

Sfruttando la condizione (2.7), l’espansione di Taylor dell’energia pernucleone intorno al suo minimo diventa:

e(ρ) = e(ρ0) +1

18K∞

(ρ− ρ0ρ0

)2

+ O((ρ− ρ0)

2), (2.11)

e l’incompressibilita puo essere quindi definita come la quantita1

K∞ = 9 ρ2∂2e

∂ρ2

ρ=ρ0

(2.12)

=9

ρ0χ−1 (2.13)

= 240± 40MeV. (2.14)

Si puo estendere la nozione di incompressibilita ad ogni valore dellapressione:

Kρ = 9 ρ2∂2e

∂ρ2

ρ

. (2.15)

Dal punto di vista fisico si puo pensare a questa grandezza, che ricor-diamo essere direttamente proporzionale alla derivata seconda dell’e-nergia per nucleone, come al lavoro necessario ad allontanare il sistemadalla condizione di saturazione.

4. la Risonanza Gigante di Monopolo (GMR) e una risonanza nucleareche misura il modo di compressione dei nuclei finiti ed e direttamentecollegata all’incompressibilita.Secondo il modello di Blaizot[23] l’incompressibilita puo essere calco-lata, per quanto riguarda i nuclei finiti, grazie a un’espansione a goccialiquida simile a quella utilizzata da Bethe e Weizsacker per l’energiadi legame (1.3):

KA ≈ Kvol +KsurfA− 1

3 +KcoulZ2

A43

+Ksym(A− 2Z)2

A2, (2.16)

dove il primo termine e il contributo di volume corrispondente all’in-compressibilita per la materia nucleare infinita K∞, mentre Kcoul e

1Si e assunta un’incertezza del 20% sul valore ottenuto [19].

10

Ksym sono rispettivamente i coefficienti legati all’interazione Coulom-biana e di simmetria, nulli in materia nucleare. Il secondo terminecontiene il contributo della superficie all’energia, e il coefficiente Ksurf

puo esseere pensato approssimativamente come proporzionale alla de-rivata del termine di volume, valutato per densita caratteristiche dellospessore di bordo nucleare, ρc ≈ 0.7ρ0. Come e possibile osservarenella referenza [20], la quantita

M(ρc) = 3 ρ∂K

∂ρ

ρ=ρc

(2.17)

= 27ρc

(2∂e

∂ρ

ρ=ρc

+ 4ρc∂2e

∂ρ2

ρ=ρc

+ ρ3c∂3e

∂ρ3

ρ=ρc

)(2.18)

= 54P (ρc)

ρc+ 12K(ρc) +Q(ρc) (2.19)

= 1100± 70MeV (2.20)

ha un’incertezza relativa inferiore rispetto quella dell’incompressibilita.Cio e dovuto al fatto che M e derivabile dagli esperimenti con unaprecisione migliore di K, in quanto il suo valore in corrispondenza diρc e quasi indipendente dal modello teorico considerato.

2.1.3 Interazione di Gogny

L’interazione di Gogny puo essere considerata come uno sviluppo del modelloBB in cui oltre al potenziale a doppia gaussiana, e presente un termine arange zero in cui e resa esplicita la dipendenza dalla densita[7]:

vG(r, ρ) =∑i=1,2

(Wi +BiPσ −HiPτ −MiPσPτ ) e− r2

µi

+ t0 (1 + Pσ) ραδ(r), (2.21)

dove Wi, Bi, Hi,Mi, t0, α sono parametri costanti e gli operatori Pσ e Pτ so-no definiti in modo analogo a (2.2)2. Il primo termine di (2.21) include ladipendenza da un doppio range finito analogo al potenziale Brink&Boeker(2.3), dove µi assumono i valori µ1 ≈ 0.5 − 0.7 fm, µ2 ≈ 1 − 1.2 fm. Ilsecondo termine e formato da un contributo a range zero e dipendente dalladensita che tiene conto delle correlazioni a due corpi.

2.2 Energia del sistema a livello Hartree-Fock

Si e detto nei capitoli precedenti che lo studio di un problema ad N corpipuo essere notevolmente semplificato assumendo che il nucleone si muova

2Pτ e l’operatore di scambio degli isospin.

11

all’interno di un potenziale medio generato dalla presenza di tutte le altreparticelle. Il metodo di campo medio descritto nel seguente lavoro e il me-todo autoconsistente3 di Hartree-Fock, discusso in dettaglio in appendice A.Il punto di partenza e l’Hamiltoniana a molti corpi (1.6) in approssimazionea particelle indipendenti, dove lo stato del sistema e descritto dal determi-nante di Slater antisimmetrizzato (1.8).

L’energia del sistema assume dunque la forma

E = ⟨Φ0|H|Φ0⟩ = ⟨Φ0|T |Φ0⟩+ ⟨Φ0|V |Φ0⟩ , (2.22)

dove

⟨Φ0|T |Φ0⟩ = − ℏ2

2m

∑k

⟨k|∇2k|k⟩ , (2.23)

⟨Φ0|V |Φ0⟩ =1

2

N∑k =l

⟨kl| v(r1, r2) |kl − lk⟩ (2.24)

=1

2

N∑k =l

⟨kl| v(r1, r2)(1− Pkl) |kl⟩ , (2.25)

in cui Pkl = PMPσPτ e l’operatore di scambio per le particelle k e l.v(r1, r2) e invece un potenziale a due corpi di cui alcuni esempi sono statiriportati nel paragrafo 2.1.

2.3 Massa efficace in un modello Hartree-Fock

Il problema di determinare la dinamica dei singoli elementi che compongonola materia nucleare si traduce nella seguente equazione di Schrodinger[28]:

− ℏ2

2m∇2ϕk(r, t) +

∫d3r′

∫dt′v(r, r′, t, t′)ϕk(r

′, t′) = iℏ∂

∂tϕk(r, t), (2.26)

dove v(r, r′, t, t′) e la forma piu generale possibile del potenziale a due corpisu cui costruisco il potenziale efficace in maniera autoconsistente.E necessario innanzitutto introdurre il concetto di nonlocalita, che e la ca-ratteristica per cui volendo calcolare la funzione d’onda di singola particellaϕ(r, t) nella posizione r e al tempo t e necessario conoscere le ϕ(r′, t′) nel-le altre posizioni r′ e tempi t′[28][17]. Poiche nelle interazioni tra nucleoni

3Un metodo autoconsistente e un processo iterativo in cui, dato un insieme completodi autofunzioni di prova di singola particella, si ottiene, nel caso in cui l’iterazione delprocesso porti alla convergenza, un nuovo set di autofunzioni che descrive meglio lo statodel sistema e un potenziale efficace costruito sulla base di questi nuovi stati. In realta,per materia nucleare simmetrica le autofunzioni di singola particella sono onde piane edessendo quindi note a priori il potenziale e l’unico obiettivo dei calcoli.

12

l’Hamiltoniana deve essere invariante per traslazione temporale, la nonloca-lita temporale si risolve in una dipendenza di v da |t− t′|. Un ragionamentoanalogo puo essere fatto per quanto riguarda la nonlocalita nello spazio inun sistema omogeneo, qual e la materia nucleare: l’invarianza traslazionaleriduce la dipendenza di v da r e r′ a |r− r′|. Nel caso di uno stato stazionarioin materia uniforme l’autofunzione sara della forma:

ϕk(r, t) = eik·reiωt, (2.27)

cosa che consente di trattare il secondo termine del membro di sinistra di(2.26) come la trasformata di Fourier di v rispetto a tempo e posizione,che indichiamo Σ(k, ω) e chiamiamo con il nome di auto-energia. In questomodo la (2.26) diventa:

ϵ(k, ω) =ℏ2k2

2m+Σ(k, ω). (2.28)

Una particolarita sorprendente dei sistemi formati da molte particelle e chespesso si puo ipotizzare, in maniera lecita, che essi non siano costituiti daoggetti fortemente interagenti tra loro, come in realta accade, ma da corpivirtuali, tra i quali non vi e mutua interazione, o e molto debole. Questoschema trae giustificazione dal fatto che quando una particella reale si muo-ve in mezzo alle altre, l’interazione con queste ultime genera una “nube”di corpi che la circonda. La quasiparticella e dunque quell’oggetto virtuale,formato dalla particella reale e dalla nube che la circonda, la cui intera-zione con le altre particelle virtuali e trascurabile. Ovviamente questa none una configurazione che si verifica effettivamente, tuttavia le risposte chequesta rappresentazione ideale fornisce sono spesso soddisfacenti. In questaapprossimazione si puo scrivere

ϵ(k, ω) =ℏ2k2

2m∗ , (2.29)

dove m∗, detta massa efficace, e la massa della quasiparticella, o analo-gamente la massa che la particella reale avrebbe se possedesse un’energiapuramente cinetica.

Come si puo capire guardando la (2.29), la massa efficace m∗ e unaquantita di particolare importanza, poiche ad essa e direttamente legata alladensita dei livelli energetici. In linea di principio questa quantita dipende dadue grandezze: il momento e la frequenza, quantita direttamente collegataall’energia4 della particella(Σ = Σ(k, ω)). Infine e importante osservare chegrazie all’invarianza traslazionale di questo sistema Σ dipende unicamenteda k = |k|. L’espressione della massa efficace viene ricavata confrontando

4 ϵ = ℏω.

13

le energie della particella reale (2.28) e di quella virtuale (2.29). Derivandotali espressioni

dϵ(k)

dk=

(ℏ2km

+dΣ(k, ω)

dk

)(1− dΣ(k, ω)

dω

)−1

, (2.30)

dϵ(k)

dk=

ℏ2km∗ , (2.31)

ed eguagliandole, si ottiene:

ℏ2km∗ =

(ℏ2km

+dΣ(k, ω)

dk

)(1− dΣ(k, ω)

dω

)−1

(2.32)

m

m∗ (k, ω) =

(1 +

m

ℏ2kdΣ(k, ω)

dk

)(1− dΣ(k, ω)

dω

)−1

, (2.33)

fino al risultato

m∗

m(k, ω) =

mk(k)

m

mω(ω)

m, (2.34)

=

(1 +

m

ℏ2kdΣ(k, ω)

dk

)−1(1− dΣ(k, ω)

dω

), (2.35)

avendo ridefinito i due termini nell’ultimo passaggio per mettere in evi-denza le rispettive dipendenze.

Vi sono diverse strade per ricavare la forma precisa della auto-energia5.Nel presente elaborato vengono mostrati i risultati ottenuti facendo uso dellateoria di campo medio e di quella perturbativa all’ordine successivo. Ciconcentriamo ora sulla forma della massa efficace per un potenziale Hartree-Fock.Dato un sistema ipotetico su cui non agisce alcun potenziale esterno, come adesempio la materia nucleare, e possibile ottenere la forma analitica dell’auto-energia in approssimazione HF facendo uso del metodo dei diagrammi diFeynman, una rappresentazione pittorica delle interazioni tra particelle. Inquesta approssimazione tra le interazioni contemplate dominano quelle discattering, in cui due particelle di momento e posizione (k, r1) e (l, r1), dopoaver interagito emergono con momento pari a quello precedente l’interazione(termine diretto) o con i momenti scambiati (termine di scambio).

In figura 2.1 sono riportati i diagrammi relativi al caso diretto e di scam-bio per l’autoenergia risolta a livello HF. Risulta dunque che il termine diauto-energia e composto da due termini, di cui il primo diretto (ΣHF,d) e il

5E di conseguenza della massa efficace

14

(a) Termine diretto (b) Termine di scambio

Figura 2.1: Diagrammi per l’ auto-energia in approssimazione Hartree-Fock

secondo di scambio (ΣHF,e)6:

ΣHF =ΣHF,d +ΣHF,e =∑l

Vklkl +∑l

(−)Vkllk (2.36)

=

[∑σl

δσkσk· δσlσl

]·

[∑τl

δτkτk · δτlτl

]·∑|l|<kf

Vklkl (2.37)

+

[∑σl

δσkσl· δσlσk

]·

[∑τl

δτkτl · δτlτk

]·∑|l|<kf

(−)Vkllk, (2.38)

che, una volta valutati i contributi numerici delle somme su spin e isospin,diventa

ΣHF =4∑l<kf

Vklkl +∑l<kf

(−)Vkllk. (2.39)

2.4 Risultati per un potenziale Brink-Boeker

In questo paragrafo si fa uso di un potenziale a due corpi della forma

vBB(r1, r2) = Si(1−m+mPM )e− r2

µ2 , (2.40)

gia anticipato nel paragrafo 2.1.2, per calcolare l’energia totale e quellaassociata ai singoli nucleoni in materia nucleare in un modello Hartree-Fock.

6Come evidenziato nel capitolo 1.3 gli stati su cui eseguo la sommatoria sono definitidai tre numeri quantici di momento l, spin σl e isospin τl.

15

2.4.1 Energia del sistema

Per prima cosa occorre calcolare i due termini mostrati in (2.23-2.25) rap-presentanti il contributo cinetico e potenziale all’energia. Quest’ultimo, acausa dell’operatore di scambio PM , e formato da due contributi.

Termine cinetico

Ricordando che per materia nucleare simmetrica le funzioni d’onda di singolaparticella sono onde piane, ricordando che le somme possono essere estesead integrali sfruttando (1.12), e che il volume di integrazione sui momentiΩk e una sfera di raggio kf ,si ottiene

⟨T ⟩ = − ℏ2

2mN

∑i

⟨k|∇2r|k⟩

= − 4Ω

(2π)3ℏ2

2mN

∫Ωk

d3k

∫Ωd3r

e−ik·r√Ω

∇2r

eik·r√Ω

=4Ω

(2π)3ℏ2

2mN4π

∫ kf

0k4

=Ωℏ2

5π2mNk5f , (2.41)

dove mN e la massa del nucleone,media aritmetica tra le masse di protone eneutrone. Ricordando che il momento di Fermi e legato alla densita tramite

kf =

(3π2

2ρ

) 13

(2.42)

e che A = Ωρ, il valore dell’energia cinetica media per particella e

⟨t⟩ = ⟨T ⟩A

=3

5

ℏ2k2f2mN

. (2.43)

16

Termine di potenziale

Consideriamo ora l’energia potenziale (eq. 2.25):

⟨V ⟩ =1

2

∑k =l

⟨kl| vBB(r1, r2)(1− PMPσPτ ) |kl⟩ (2.44)

=1

2

∑k,l

|k|,|l|<kf

( ∑σk,σl

1 ·∑τk,τl

1 · ⟨kl| vBB(r1, r2) |kl⟩ (2.45)

−∑σk,σl

δσkσl·∑τk,τl

δτkτl ⟨kl|vBB(r1, r2)PM |kl⟩

)(2.46)

=1

2

∑k,l

|k|,|l|<kf

[16 ⟨kl|vBB(r1, r2)|kl⟩ − 4 ⟨kl|vBB(r1, r2)PM |kl⟩] . (2.47)

L’operatore di scambio PM e presente a causa della natura fermionica deinucleoni, ma anche nel potenziale di Brink&Boeker in cui e l’unico fattoreche simula la parte repulsiva dell’interazione [23], in quanto e stato scelto unpotenziale a due corpi in forma semplificata con un solo range. L’energia, perquanto riguarda il primo ordine perturbativo (o HF), si riduce alla sommadi due termini, uno diretto e uno di scambio, ottenuti dal rimescolamentodei diversi contributi di Hartree e di Fock:

⟨V ⟩ = 1

2

∑k =l

4

[S(4− 5m) ⟨kl|e−

|r1−r2|2

µ2 |kl⟩+ S(5m− 1) ⟨kl|e−|r1−r2|

2

µ2 |lk⟩].

(2.48)

Vediamo ora di calcolare gli elementi di matrice presenti in (2.48). Per ilcaso diretto si ottiene:

⟨Vd⟩ =2S(4− 5m)∑k,l

⟨kl|e−|r1−r2|

2

µ2 |kl⟩ (2.49)

=2S(4− 5m)∑k,l

∫Ωd3r1

∫Ωd3r2

e−ik·r1√Ω

e−il·r2√Ω

e− |r1−r2|

2

µ2eik·r2√

Ω

eil·r1√Ω

(2.50)

=2

Ω2S(4− 5m)

∑k,l

∫Ωd3R

∫Ωd3r e

− r2

µ2 (2.51)

=2

Ω2S(4− 5m)µ3π

32

Ω

(2π)6

∫|k|<kf

d3k

∫|l|<kf

d3 l (2.52)

=S(4− 5m)µ3π

32

8Ωρ2, (2.53)

17

dove nel passaggio da (2.50) a (2.51) e stato effettuato un cambio di coor-dinate nel sistema relativo e del centro di massa

R =r1 + r2

2, (2.54)

r = r1 − r2, (2.55)

|det(J)| = 1, (2.56)

con J matrice Jacobiana. Grazie all’invarianza traslazionale del sistema estato possibile fare cio senza cambiare la regione di integrazione. Infine,dividendo per il numero di nucleoni A = Ωρ si ricava il contributo medio deltermine diretto per nucleone

⟨vd⟩ =Sµ3π3

8(4− 5m)ρ. (2.57)

In modo analogo puo essere ricavato il contributo all’energia per nucleonedel termine di scambio, che assume la forma

⟨ve⟩ =S(5m− 1)

2√π

g(µkf ), (2.58)

g(q) =2

q3− 3

q−(

2

q3− 1

q

)e−q2 +

√π erf(q), (2.59)

dove

erf(q) =2√π

∫ q

0dxe−x2

(2.60)

e chiamata funzione d’errore.

Equazione di stato

Anche l’energia per nucleone puo essere scritta come funzione della densitasommando il termine cinetico (eq. 2.43) e i due contributi del potenziale(eq. 2.49, 2.58) calcolati precedentemente:

e(ρ) = ⟨t⟩+ ⟨vd⟩+ ⟨ve⟩ (2.61)

=3

5

ℏ2k2f2mN

+Sµ3π3

8(4− 5m)ρ+

S(5m− 1)

2√π

g(µkf ). (2.62)

I tre parametri dell’interazione S, µ e m sono stati calcolati in [15] vinco-lando il sistema a riprodurre i valori dell’energia e(ρo), della pressione P (ρ0)e dell’incompressibilita K∞ alla densita di saturazione. Sono stati ottenutii seguenti risultati:

S = −430MeV, (2.63)

m = 1.32, (2.64)

µ = 0.834. (2.65)

18

]­3

[fmρ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

) [M

eV

]ρ

e(

­20

­15

­10

­5

0

5

10

15

20

25

Figura 2.2: Energia media per nucleone in funzione della densita calcolataa livello HF

Sulla base di questi valori si puo notare come il primo termine dell’energiapotenziale possieda un carattere repulsivo e un andamento proporzionale aρ: per alte densita questo contributo e dominante e restituisce la tendenzaall’instabilita per un sistema in cui i nucleoni si trovano mediamente a unadistanza inferiore al range. Il termine di scambio domina invece a bassedensita, e alla densita di saturazione dove il termine diretto e trascurabile,bilancia il termine cinetico. In figua 2.2 e riportato l’andamento dell’energiain funzione della densita.

2.4.2 Propreta di singola particella

Riprendiamo il discorso sulla auto-energia in approssimazione HF affrontatonella sezione 2.3, applicandolo al potenziale a due corpi scelto. Gli elementidi matrice Vklkl e Vkllk contenuti in (2.39) diventano

Vklkl = ⟨kl|S(1−m+mPM )e− |r1−r2|

2

µ2 |kl⟩ (2.66)

Vkllk = ⟨kl|S(1−m+mPM )e− |r1−r2|

2

µ2 |lk⟩ , (2.67)

e l’auto-energia in approssimazione HF puo essere riscritta come[7][15]

ΣBBHF =

π3/2µ3

4S(4− 5m)ρ+

1√πS(5m− 1)u(µk, µkf ), (2.68)

u(q, qf ) =1

q

[e−

(q+qf )2

4 − e−(q−qf )2

4

]+

√π

2

[erf

(q + qf

2

)− erf

(q − qf

2

)],

(2.69)

dove, nella (2.68), k = |k|.Giunti a questo punto e finalmente possibile calcolare la quantita m∗/m a

19

livello HF, utilizzando la (2.35):

m∗

m(k) =

(1 +

m

ℏ2µ

1√πS(5m− 1)h(µk, µkf )

)−1

, (2.70)

h(µk, µkf ) =du

dk(q, qf ) =

1

q3

[(2− qqf )e

−(q−qf )2

4 − (2 + qqf )e−

(q+qf )2

4

](2.71)

Scegliendo i valolri che meglio riproducono il punto di saturazione (2.63-2.65), si puo ottenere l’andamento di m∗/m in funzione del momento, perun potenziale come quello presentato nel paragrafo 2.1.2, in approssimazioneHF (figura (2.3)).Si puo subito notare come il valore della massa efficace oscilli intorno a

]­1k [fm0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

/m (

k)

*m

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Figura 2.3: Andamento del rapporto tra massa efficace e massa del nucleonein funzione del range di interazione.

0.25, molto diverso dal valore atteso, compreso tra 0.6 e 0.8 per k = kf [18].L’approssimazione HF trascura dunque delle dinamiche che sono determi-nanti per definire le proprieta di singola particella. Nel paragrafo 3.2 vieneindicata una possibile soluzione a questo problema. Un’altra informazioneche si puo ricavare dal grafico e la debole dipendenza della massa efficace dalmomento. Questa caratteristica tornera poi utile nel capitolo successivo peril calcolo del contributo al secondo ordine perturbativo della auto-energia.

20

Capitolo 3

Secondo ordine perturbativo

Le teorie di campo medio hanno il grande pregio di semplificare notevolmen-te la trattazione di moltissimi sistemi a molti corpi di cui sarebbe impossibileuna conoscenza esatta a causa del gran numero di particelle, che spesso ren-de insostenibile il peso computazionale nello studio della dinamica. Per dipiu, la fisica del nucleo non e ancora arrivata a definire in maniera esattae sistematica quali siano i processi che regolano le interazioni tra protoni eneutroni all’interno del nucleo, quindi un metodo approssimativo e necessa-rio per affrontare il problema.Proprio per la loro natura non esatta, questi modelli si prestano a dellecorrezioni che permettono di ridurre il gap tra cio che si osserva sperimen-talmente e le predizioni del modello. La teoria perturbativa, descritta indettaglio in appendice B, e uno di questi metodi, e verra utilizzato in se-guito per correggere l’equazione di stato e l’energia associata alle singoleparticelle rispetto alla soluzione HF ricavata nel capitolo precedente.

3.1 Proprieta globali per il secondo ordine pertur-bativo

Si potrebbe pensare che la scelta migliore di un’Hamiltoniana imperturbata,sulla cui base sviluppare i vari ordini di perturbazione, sia quella relativaal solo contributo cinetico Hk: questa infatti e l’unica componente che pre-scinde da qualsiasi tipo di approssimazione. Tale scelta sarebbe tuttaviasbagliata, perche per rappresentare un sistema legato, qual e la materia nu-cleare, non e possibile utilizzare un’ Hamiltoniana imperturbata che descrivaun sistema di particelle libere e non interagenti. Una possibile soluzione con-siste nel considerare come termine imperturbato H0 = HK+UHF , dove UHF

e il contributo di Hartree-Fock definito come la somma su tutte le particelledell’auto-energia calcolata in (2.39) di cui sappiamo esattamente calcolarelo spettro, come mostrato nel capitolo precedente. La dinamica del sistema

21

puo essere quindi descritta da

H = (HK + UHF ) + (Vp − UHF ), (3.1)

dove il termine Vp rappresenta il potenziale a due corpi trattato perturba-tivamente. In questo modo l’energia dello stato fondamentale calcolata alprimo ordine perturbativo diventa

E0 = E(0)0 + E

(1)0 (3.2)

= ⟨Φ0|HK + UHF |Φ0⟩+ ⟨Φ0|Vp − UHF |Φ0⟩ (3.3)

= EHF , (3.4)

in quanto gli elementi di matrice ⟨Φ0|Vp|Φ0⟩ nel secondo termine di (3.3)coincidono con UHF e dunque il contributo perturbativo e nullo.La prima correzione all’energia HF compare con l’introduzione del secondoordine perturbativo (B.20), che per un sistema di fermioni diventa

E(2)0 =

∑n =0

⟨Φ0|Vp|Φn⟩ ⟨Φn|Vp|Φ0⟩ϵ0 − ϵn

(3.5)

=1

4

∑k,l,m,n

⟨kl|v(r1, r2)|mn⟩AS ⟨mn|v(r1, r2)|kl⟩AS

ϵk + ϵl − ϵm − ϵn, (3.6)

dove occorre ricordarsi che la sommatoria va intesa su tutti i numeri quanticiassociati allo stato, e dunque anche su spin e isospin. Gli stati |m⟩ e |n⟩rappresentano gli stati eccitati di singola particella. Dal momento che leparticelle nello stato fondamentale occupano tutti gli stati che giaccionoall’interno della sfera di Fermi nello spazio dei momenti, una particella chesi sposta in uno stato eccitato possiede un momento m tale per cui |m| > kf .Gli stati ϵi sono invece le energie di singola particella a liivello HF calcolatenel paragrafo date dalla somma tra l’energia cinetica e l’auto-energia (2.68)Facendo uso del fatto che lo scambio tra le particelle |m⟩ e |n⟩ introduce alpiu un fattore di fase che non contribuisce nel calcolo del modulo quadro

22

dell’elemento di matrice, posso riscrivere (3.6) come

E(2)0 =

1

4· 2

∑k,l,m,n

⟨kl|v(r1, r2)|mn⟩ ⟨mn|v(r1, r2)|kl⟩AS

ϵk + ϵl − ϵm − ϵn(3.7)

=1

2

∑k,l,m,n

[| ⟨kl|v(r1, r2)|mn⟩ |2

ϵk + ϵl − ϵm − ϵn·∑σk,σl,σm,σn

δσkσmδσlσn ·∑τk,τl,τm,τn

δτkτmδτlτn+

(3.8)

− ⟨kl|v(r1, r2)|mn⟩ ⟨mn|v(r1, r2)PM |kl⟩ϵk + ϵl − ϵm − ϵn

·∑

σm,σn

δσmσn ·∑τm,τn

δτmτn

](3.9)

=1

2

∑k,l,m,n

[16

| ⟨kl|v(r1, r2)|mn⟩ |2

ϵk + ϵl − ϵm − ϵn− 4

⟨kl|v(r1, r2)|mn⟩ ⟨mn|v(r1, r2)PM |kl⟩ϵk + ϵl − ϵm − ϵn

].

(3.10)

Le sommatorie su spin e isospin nel passaggio da (3.8) a (3.9) sono stateridotte utilizzando l’uguaglianza δσkσmδσlσnδσkσnδσlσm = δσmσn , ottenutafissando σk = σm e σl = σn ovunque.

3.2 Proprieta di singola particella per il secondoordine perturbativo

L’approssimazione di campo medio restituisce una buona compatibilita conle osservabili sperimentali legate alle proprieta globali del sistema, come l’e-nergia totale alla densita di saturazione; i valori di alcune variabili sperimen-tali come incompressibilita e risonanza gigante di monopolo sono compatibilicon i dati ottenuti in laboratorio [15]. Le aspettative vengono invece deluseper quanto riguarda le proprieta di singola particella: non e possibile rica-vare un Hamiltoniana di singola particella hi(k) che riesca a descrivere inmaniera soddisfacente la dinamica dei singoli nucleoni in materia nucleare.A tal proposito un possibile sviluppo nel modello puo essere quello di consi-derare gli effetti di correlazione nel moto delle particelle, cioe quegli effetti,trascurati in Hartree-Fock, tali per cui il moto di una particella e legato aquello di tutte le altre e che quindi fanno in modo che il potenziale efficacea cui essa e soggetta non viene piu approssimato a un valore costante nellavariabile ω.I diagrammi per la correzione al secondo ordine della auto-energia, dati duenucleoni interagenti sono mostrati in figura 3.1.

Le due pitture rappresentano i casi diretti e di scambio del potenzialedovuti alla natura fermionica dei nucleoni, e hanno un’interpretazione fisicaparticolarmente efficace per capire il problema: l’interazione virtuale avvie-ne in un lasso di tempo ∆t, all’interno del quale una coppia di particelle

23

(a) Termine diretto (b) Termine di scambio

Figura 3.1: Contributo diagrammatico del secondo ordine perturbativo allaauto-energia.

interagisce scambiando una certa quantita (dipendente dal tipo di interazio-ne) sufficiente ad eccitare i nucleoni che in un secondo momento, interagendonuovamente, possono tornare nello stato iniziale (caso diretto) o scambiaretra loro la quantita coinvolta nell’interazione (caso di scambio). Avendo poidiagonalizzato l’Hamiltoniana del sistema sugli autostati di momento, spine isospin, saranno necessariamente queste le quantita scambiate nel caso dimateria nucleare uniforme. Tradotti in formule questi diagrammi diventano

ΣVklmn = 4

∑l,m,n,

|l|<kf|n|,|m|>kf

V 2klmn

ϵk + ϵl − ϵm − ϵn(3.11)

ΣVklnm = −

∑l,m,n,

|l|<kf|n|,|m|>kf

VklmnVklnm

ϵk + ϵl − ϵm − ϵn, (3.12)

dove

• Vklmn e Vklnm sono gli elementi di matrice rappresentanti l’interazione;

• ϵi rappresentano i valori di energia di singola particella nello statoimperturbato HF;

• i fattori moltiplicativi precedenti le sommatorie sono dovuti alla de-generazione sugli stati di spin e isospin, in maniera analoga a quantoesplicitamente calcolato in (2.39-2.38);

24

3.3 Risultati per un potenziale Brink-Boeker

Prima di procedere con un’analisi quantitativa, conviene evidenziare duecaratteristiche del potenziale Brink&Boeker che semplificano notevolmentei calcoli relativi al secondo ordine perturbativo:

1. Il potenziale trattato e una funzione Gaussiana, percio l’interazionenon coinvolge la dinamica del centro di massa, ma solo quella rela-tiva, essendo dipendente dalla distanza reciproca. Momento e spinrimangono pertanto conservati durante l’interazione. Date due parti-celle interagenti con momento e spin iniziali (k, σk) e (l, σl) e (m, σm)e (n, σn) finali, avro dunque

k + l = m+ n, (3.13)

σk + σl = σm + σn. (3.14)

Questo comporta che le due particelle scambino nell’interazione unaquantita di momento uguale e contraria. Chiamando q questa quan-tita, un modo per scrivere (3.13) puo essere, per esempio

m = k + q, (3.15)

n = l − q, (3.16)

dove bisogna ricordarsi di non trascurare gli effetti dell’operatore discambio;

2. Come si e detto precedentemente, i termini nel denominatore di (3.11)e (3.12), che tenendo conto di quanto detto nel punto precedente circala conservazione dei momenti possono essere riscritti come

ϵk + ϵl − ϵk+q − ϵl−q, (3.17)

rappresentano le auto-energie a livello HF calcolate in 2.3 o equiva-lentemente le energie delle quasiparticelle (2.29) (sempre in approssi-mazione HF). L’utilizzo di queste quantita nel calcolo degli integralipotrebbe risultare molto complicato, poiche la dipendenza della massaefficace dal momento e non banale, tuttavia possono essere fatte delleconsiderazioni che rendono i calcoli molto piu semplici. Per quanto ri-guarda le energie HF per le particelle nel ground state, di momento k el, guardando la Figura 2.3 e possibile notare come la dipendenza dellamassa efficace dal momento sia debole per valori del momento inferio-ri a kf . Una buona approssimazione consiste quindi nel considerare ilvalor medio della massa efficace, ottenibile integrando numericamente(2.70) su [k, kf ] e dividendo per tale intervallo:

m′ = ⟨m∗⟩ρ=ρ0≈ 0.22mN . (3.18)

25

Per quanto rigurda gli ultimi due termini di (3.17), essi rappresentanole energie degli stati tali per cui |k| > kf . Si vedra piu avanti che ilnumeratore di (3.11) e (3.12) decresce esponenzialmente cosı da annul-larsi in un range dell’ordine di grandezza di µ−1. Questo smorzamentogarantisce che per valori del momento ≥ µ−1, minori dunque anche delmomento di Fermi, il corrispondente contributo viene smorzato condecrescita gaussiana e non partecipa in maniera determinante all’in-tegrazione. E lecito quindi considerare ϵk+q e ϵl−q in maniera analogaa quanto fatto per i due termini precedenti, ossia con un valore dellamassa efficace dato da (3.18). Verra dunque assunta l’approssimazione

ϵi =ℏ2i2

2m′ (3.19)

per tutte le energie di singola particella in approssimazione HF utiliz-zate di seguito.

3.3.1 Energia del sistema

Osservando l’equazione (3.10) si nota che l’operatore PM presente all’internodel potenziale introduce un ulteriore sviluppo dell’auto-energia. Infatti:

⟨kl|vBB(r1, r2)|mn⟩ = ⟨kl|e−r2

µ2 S[1−m+mPM ]|mn⟩

= S (1−m) ⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩+ Sm ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ , (3.20)

⟨kl|vBB(r1, r2)|nm⟩ = ⟨kl|e−r2

µ2 S[(1−m)PM +m]|mn⟩

= Sm ⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩+ S (1−m) ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ , (3.21)

26

e quindi

| ⟨kl|vBB(r1, r2)|mn⟩ |2 =S2 (1−m)2 | ⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ |2

+ 2S2m (1−m) ⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ ,

+ S2m2| ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ |2 (3.22)

⟨kl|vBB(r1, r2)|mn⟩ ⟨kl|vBB(r1, r2)|nm⟩ =

=S2m (1−m) | ⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ |2

+ S2(1 + 2m2 − 2m

)⟨kl|e−

r2

µ2 |mn⟩ ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩

+ S2m (1−m) | ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ |2, (3.23)

| ⟨kl|vBB(r1, r2)|nm⟩ |2 =S2m2| ⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ |2

+ 2S2m (1−m) ⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ ,

+ S2 (1−m)2 | ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ |2. (3.24)

(3.25)

Il doppio scambio dei momenti delle particelle1 provoca una divisione di E(2)0

in tre contributi. Tenendo conto di (3.15-3.16) posso cambiare gli indici dellasommatoria in q, k ed l. L’energia totale (3.6) per il sistema diventa

E(2)0 =2S2

(5m2 − 9m+ 4

) ∑k,l,q

|l|<kf

|k+q|,|l−q|>kf

| ⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ |2

ϵk + ϵl − ϵk+q − ϵl−q(3.26)

+ 2S2(5m2 −m

) ∑k,l,q

|l|<kf

|k+q|,|l−q|>kf

| ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ |2

ϵk + ϵl − ϵk+q − ϵl−q(3.27)

+ 2S2(−1− 10m2 + 10m

) ∑k,l,q

|l|<kf

|k+q|,|l−q|>kf

⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ϵk + ϵl − ϵk+q − ϵl−q

.

(3.28)

Come nell’approssimazione Hartree-Fock sono presenti un termine diretto⟨Vq⟩ e uno di scambio Vq+k−l, ma si puo notare anche la presenza di un

1Dovuto alla natura fermionica dei nucleoni e alla forma del potenziale a due corpi.

27

terzo termine che chiameremo ⟨V (2)q ⟩.

Di seguito sono mostrati i calcoli utilizzati per ottenere la forma esplicita diqueste tre componenti.

Termine diretto

Riscriviamo per prima cosa l’elemento di matrice presente in (3.26) ef-fettuando una risoluzione dell’identita sugli autostati delle posizioni delleparticelle r1 e r2:

⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ =∫Ω

∫Ωd3r1 d

3r2e−ik·r1√Ω

e−il·r2√Ω

e− |r1−r2|

2

µ2ei(k+q)·r1

√Ω

ei(l−q)·r2√Ω(3.29)

=1

Ω2

∫Ω

∫Ωd3r1 d

3r2 e− |r1−r2|

2

µ2 eiq·(r1−r2). (3.30)

Ci spostiamo ora nel sistema di coordinate relativa e del centro di massa,come avevamo fatto nella sezione 2.4.1 per calcolare gli elementi di matriceassociati all’energia potenziale del sistema in approssimazione HF:

⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ = 1

Ω2

∫Ω

∫Ωd3R d3r e

− r2

µ2 eiq·r (3.31)

=1

Ω

∫Ωd3re−iq·re

− r2

µ2 (3.32)

=1

Ωe−q2 µ2

4

∫Ωd3re

−(

rµ2

+ iqµ2

)2

, (3.33)

che con l’ulteriore cambio di variabili

y =r

µ2+

iqµ

2, (3.34)

d3y =d3r

µ3, (3.35)

diventa

⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ = 1

Ωe−q2 µ2

4 µ3

∫Ωd3ye−y2 (3.36)

=1

Ωµ3π

32 e−q2 µ2

4 . (3.37)

28

Torniamo ora al calcolo di (3.26). Ricordando l’approssimazione fatta in(3.19) e utilizzando il modulo quadro di (3.37), questo termine diventa

⟨Vq⟩ = 2S2(5m2 − 9m+ 4)π3µ6

Ω2

∑q,k,l

e−q2 µ2

2

ℏ22m′

(k2 + l2 − (k + q)2 − (l − q)2

)

(3.38)

= −2S2(5m2 − 9m+ 4)π3µ6

Ω2

m′

ℏ2∑q,k,l

|k|,|l|<kf

|k+q|,|l−q|>kf

e−q2 µ2

2

q ·(q + k − l

) , (3.39)

dove nell’ultimo passaggio e stato semplicemente sviluppato il denominato-re. A questo punto valutiamo la sommatoria sui momenti, che grazie allaproprieta (1.12) puo essere espressa come integrazione:

I(µ, kf ) =Ω

(2π)3

∫Ωk

d3qΩ

(2π)3

∫|k|<kf

|k+q|>kf

d3kΩ

(2π)3

∫|l|<kf

|l−q|>kf

d3 le−q2 µ2

2

q(q + k − l

) .(3.40)

Al fine di semplificare l’espressione effettuiamo il cambio di variabili

k′ =k

kfl′ =

l

kfq′ =

q

kf

x = kfµ, (3.41)

che consente di scrivere l’espressione precedente come

I(x) =Ω3

(2π)9k7f

∫Ωk

d3q

∫|k|<1

|k+q|>1

d3k

∫|l|<1

|l−q|>1

d3 le−q2 x2

2

q(q + k − l

) . (3.42)

H. Euler ha fornito la soluzione a tale integrale in [24], sfruttando la trasfor-mata di Laplace

1

x=

∫ ∞

0dαe−αx, ∀x > 0 (3.43)

per riformulare il denominatore, che risulta essere una quantita sempre po-sitiva in quanto opposto della differenza di energia tra lo stato fondamentale

29

e quello eccitato. Nell’articolo vengono poi mostrati i passaggi che portanoa

I(x) =32

15

Ω3

(2π)9π3

x4k7ffdir(x), (3.44)

fdir(x) = 2x4

[∫ 1

0duu e−2u2x2

(log(1 + u)(4 +

15

2u− 5u3 +

3

2u5) + 29u2 − 3u4+

+ log(1 + u)(4− 15

2u+ 5u3 − 3

2u5) + 40u2 log 2

)+∫ 1

0duu e−2u2x2

(log(1 + u)(4− 20u2 − 20u3 + 4u5) + 4u3 + 22u+

+ log(1 + u)(−4 + 20u2 − 20u3 + 4u5) + log u(40u3 − 8u5))]

.

(3.45)

Tale integrazione e stata effettuata numericamente in linguaggio C++ sfrut-tando il metodo di Simpson [26], che calcola l’area sotto la curva della fun-zione integranda dividendo il dominio di quest’ultima in intervalli e appros-simandola in ognuno di essi ad un polinomio di secondo grado. Tenendopresente che la densita varia in un intervallo compreso tra 0 e 0.5 fm−3,sono stati considerati valori di x ∈ [0, 2.8], con un passo di pari a 0.05.Per il metodo Simpson l’errore stimato e e = kh4, dove k e una costanteche dipende dalla funzione integranda e dall’intervallo di integrazione e he l’ampiezza dei sottointervalli di integrazione. Il metodo di dimezamentodel passo ha poi permesso di stimare, per 106 segmenti, un errore sempreinferiore allo 0.0001%.Il valore dell’integrale in funzione di diversi valori di x e stato usato pertrovare per tali punti la funzione interpolante, ottenuta grazie ad un fit ese-guito con ROOT cern. Il risultato che ha restituito un valore del χ2 piubasso e dato dalla somma di un polinomio di grado dieci e una gaussiana:

fdir(x) =− 6.15874 + 11.390x+ 0.617621x2 − 3.58541x3 + 0.0244709x4 + 0.345463x5+

+ 0.103764x6 − 0.00502348x7 − 0.0157602x8 − 0.0049893x9 + 0.00200924x10+

+ 8.10397e− (x+0.32559)2

(0.617621)2 . (3.46)

Possiamo ora utilizzare il risultato (3.44) per ottenere i valori del contributo

30

all’energia per il termine diretto (3.39). Si ottiene:

⟨Vq⟩ = −2S2(5m2 − 9m+ 4)π3µ6

Ω2

m′

ℏ2· 3215

Ω3

(2π)9π3

(kfµ)4k7ffdir(kfµ)

= −S2(5m2 − 9m+ 4)µ2

120π3

m′

ℏ2Ωk3ffdir(kfµ) (3.47)

= −S2(5m2 − 9m+ 4)µ2

80π

m′

ℏ2Ωρfdir(kfµ), (3.48)

ottenuta ancora una volta facendo uso della relazione tra momento di Fermie densita del sistema (1.14).Infine si ricava l’espressione dell’energia media per nucleone corrispondenteal termine diretto dividedo per il numero di nucleoni A = Ωρ:

⟨vq⟩ = −S2(5m2 − 9m+ 4)µ2m′

80πℏ2fdir(kfµ). (3.49)

Termine di scambio

L’elemento di matrice in cui le particelle sono invertite, contenuto in (3.26)viene trattato come nel caso diretto, a meno della sostituzione del vettore qcon (q + k − l):

⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ = 1

Ωµ3π

32 e−(q+k−l)2 µ2

4 (3.50)

e il termine di scambio per l’energia assume la forma

⟨Vq+k−l⟩ = 2S2(1− 10m2 + 10m)π3µ6m′

Ω2ℏ2∑q,k,l

|k|,|l|<kf

|k+q|,|l−q|>kf

e−q2 µ2

2−(q+k−l)2 µ2

4

q ·(q + k − l

) .

(3.51)

Anche in questo caso la somma sui momenti puo essere estesa al continuo,e attuando un cambio di variabili analogo a (3.41) questa assume la forma

J(x) =Ω3

(2π)9k7f

∫Ωk

d3q

∫|k|<1

|k+q|>1

d3k

∫|l|<1

|l−q|>1

d3 le−q2 x2

2−(q+k−l)2 x2

4

q ·(q + k − l

) . (3.52)

Come per (3.42), anche la soluzione a questo integrale e stata trovata da H.Euler [24], adottando il cambio di variabili⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a = k−l2

b = k+l2

r = q + k−l2

⎧⎪⎨⎪⎩k = a+ b

l = b− a

q = r − a,

|detJ| = 8 (3.53)

31

che mi restiruisce l’integrale (3.52) nella forma

J(x) =Ω3

(2π)98k7f

∫Ωk

d3r

∫Ωk

d3ae−

x2

2(r2+a2)

r2 − a2

∫|b±r|≥1

|b±a|≥1

d3b. (3.54)

L’integrale in d3b e risolubile utilizzando il teorema dei residui: vengonotrovati cinque risultati diversi Ii(a, r) su altrettanti domini di integrazione ,la cui unione forma l’insieme che soddisfa le condizioni in (3.54):

∫|b±r|≥1

|b±a|≥1

d3b = − π

4ar

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

I1(a, r) Dominio I

I2(a, r) Dominio II

I3(a, r) Dominio III

I4(a, r) Dominio IV

I5(a, r) Dominio V,

(3.55)

dove le regioni di integrazione, definite per i moduli delle variabili a e r,sono

Dominio Estremi di integrazionea r

I1 (1−√1− r2, 1) (0, 1)

I2 (1−√1− r2, r) (0, 1)

I3 (0, 1) (1, 2− a)

I4 (0, 1) (2− a, 1 +√1− a2)

I5 (0, 1) (2,∞)

(1,√2r − r2) (2,∞).

I volumi di queste regioni di integrazione sono stati trovati analiticamentegrazie al softwareMathematica. Poiche la funzione integranda (3.54) dipendesolo da |a| e |a|, passando in coordinate polari posso esprimere J(x) come

J(x) =Ω3

16π6k7f

1

x4find(x) (3.56)

32

find(x) = −x4

[∫ 1

0dr

∫ r

1−√1−r2

da rae−

x2

2(r2+a2)

r2 − a2I1(a, r)+

∫ 1

0dr

∫ 1

1−√1−r2

da rae−

x2

2(r2+a2)

r2 − a2I2(a, r)∫ 1

0da

∫ 2−a

1dr ra

e−x2

2(r2+a2)

r2 − a2I3(a, r)+∫ 1

0dr

∫ 1+√1+a2

2−ada ra

e−x2

2(r2+a2)

r2 − a2I4(a, r)∫ ∞

2dr

∫ 1

0da ra

e−x2

2(r2+a2)

r2 − a2I5(a, r)+∫ 2

0dr

∫ √2r−r2

1da ra

e−x2

2(r2+a2)

r2 − a2I5(a, r)

]. (3.57)

Come per il caso precedente, non e stato possibile ottenere una soluzioneanalitica per questi integrali, che sono stati risolti analiticamente con ilmetodo di integrazione di Simpson. Ancora una volta si sono scelti valoridi x compresi tra 0 e 2.8, con un passo di 0.05. La regressione dei puntiottenuti ha fornito un polinomio di sesto grado:

find =0.00459373− 0.110997x+ 0.5688x2 − 0.678573x3

+ 0.0506679x4) + 0.102246x5 − 0.0222115x6. (3.58)

Ritornando a (3.51) con i risultati ottenuti, esprimendo kf in funzione delladensita, si ottiene il contributo all’energia dato dal termine di scambio alsecondo ordine perturbativo:

⟨Vq+k−l⟩ = 2S2(1− 10m2 + 10m)πµ6m′

Ω2ℏ2Ω3

16π6k7f

1

(µkf )4find(µkf ) (3.59)

= S2(1− 10m2 + 10m)3µ2m′

16πℏ2Ωρfind, (3.60)

e dividendo per il numero dei nucleoni A = Ωρ si ricava infine l’espressionedel contributo per nucleone all’energia dovuto a questo termine:

⟨vq+k−l⟩ =3S2(1− 10m2 + 10m)µ2m′

16πℏ2find(µkf ). (3.61)

33

Terzo termine

L’elemento di matrice presente in (3.28) e lo stesso che compare in (3.50).Possiamo quindi scrivere il contributo energetico per questo termine come

⟨V (2)q ⟩ = 2S2(5m2 −m)

π3µ6m′

Ω2ℏ2∑q,k,l

|k|,|l|<kf

|k+q|,|l−q|>kf

e−(q+k−l)2 µ2

2

q ·(q + k − l

) . (3.62)

Di nuovo il cambio di variabili (3.41) e il passaggio alla somma continua suimomenti restituiscono

G(x) =Ω3

(2π)9k7f

∫Ωk

d3q

∫|k|<1

|k+q|>1

d3k

∫|l|<1

|l−q|>1

d3 le−(q+k−l)2 x2

4

q ·(q + k − l

) , (3.63)

che essendo simile a 3.52 e stato trattato allo stesso modo [16]. Risulta

G(x) =Ω3

16π6

1

(µkf )4k7fgdir(x), (3.64)

dove gdir(x) e uguale a (3.57) a meno dell’esponenziale. Come nel casoprecedente sono stati trovati numericamente i valori dei vari integrali alvariare del parametro x = kfµ. La funzione interpolante per questi punticon il valore χ2 piu basso e risultata essere un polinomio di decimo gradosommato a una gaussiana:

gdir(x) =0.132398 + 0.108804x− 0.415623x2 + 0.0567186x3 + 0.0459325x4 + 0.00885137x5+

− 0.00212052x6 − 0.0019782x7 − 0.000473296x8 + 0.000242721x9+

− 0.13860 ∗ e−(x−0.108804,2)2(−0.415623)2. (3.65)

Riportandoci a (3.62) con i rusltati ottenuti ed esprimendo i momenti in fun-zione della densita, il contributo all’energia del sistema per il terzo terminediventa

⟨V (2)q ⟩ = 2S2(5m2 −m)

π3µ6m′

Ω2ℏ2Ω3

16π6

1

(µkf )4k7fgdir(µkf ) (3.66)

= S2(5m2 −m)3µ3m′

16ℏ2π6Ωρgdir(µkf ). (3.67)

Il contributo per nucleone al terzo termine dell’energia e dunque

⟨v(2)q ⟩ = S2(5m2 −m)3µ3m′

16ℏ2π6gdir(µkf ). (3.68)

34

Equazione di stato

L’espressione dell’energia per nucleone e(ρ) valutata al secondo ordine per-turbativo per un potenziale a due corpi di tipo Brink&Boeker a singolagaussiana e data da

e(ρ) =3

5

ℏ2k2f2mN

+Sµ3π3

8(4− 5m)ρ+

S(5m− 1)

2√π

g(µkf )+

− S2(5m2 − 9m+ 4)µ2m′

80πℏ2fdir(kfµ) +

3S2(1− 10m2 + 10m)µ2m′

16πℏ2find(µkf )+

+ S2(5m2 −m)3µ3m′

16ℏ2π6gdir(µkf ). (3.69)

I parametri (2.63-2.65), scelti in modo tale da riprodurre alcune proprietadella materia nucleare in approssimazione HF, non sono piu adeguati unaintrodotte le correzioni al secondo ordine perturbativo. E stato dunquenecessario definire dei nuovi valori per S, m e µ, servendosi dei vincolidefiniti nel paragrafo 2.1.2:

S = −351.177MeV, (3.70)

m = 1.27106, (3.71)

µ = 0.8. (3.72)

In figura 3.2 sono mostrati i contributi relativi al primo2 e al secondo ter-mine perturbativo. La loro somma rappresenta proprio l’equazione di stato(3.69), mostrata in figura 3.3. Come si puo notare il contributo relativoal secondo ordine e molto grande, solo qualche MeV inferiore al contributoin approssimazione HF. Questo comportamento evidenzia il carattere nonperturbativo del modello. Per densita inferiori alla densita di saturazione idue termini mostrano lo stesso andamento, mentre al di sopra di questo va-lore entrambi crescono linearmente, ma la dipendenza del termine HF dalladensita e molto piu forte rispetto a quella del secondo termine.

3.3.2 Proprieta di singola particella

Analogamente a quanto osservato nel calcolo dell’energia del sistema, ancheper l’energia di singola particella il doppio scambio dei momenti delle par-ticelle3 provoca una divisione dell’auto-energia in tre contributi. Tenendoconto di quanto detto in (3.15-3.16) l’auto-energia totale per un potenzialeBrink&Boeker, data dalla somma tra (3.11) e (3.12), diventa

2In questo termine e incluso anche il contributo dell’energia cinetica.3Dovuto alla natura fermionica dei nucleoni e alla forma del potenziale a due corpi.

35

Figura 3.2: Contributo all’equazione di stato dei termine cinetico e HF (Blu)e dei termini associati al secondo ordine perturbativo (Rosso). Grafico presoda [16].

]-3 [fmρ0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

[MeV

]ρe

20−

10−

0

10

20

30

Figura 3.3: Equazione di stato arrestata al secondo ordine perturbativo.

36

ΣBB(2) =ΣBB

klmn +ΣBBklnm =

∑l,q

|l|<kf

|k+q|,|l−q|>kf

4V 2klmn − VklmnVklnm

ϵk + ϵl − ϵk+q − ϵl−q

=S2(5m2 − 9m+ 4

) ∑l,q

|l|<kf

|k+q|,|l−q|>kf

| ⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ |2

ϵk + ϵl − ϵk+q − ϵl−q(3.73)

+ S2(−1− 10m2 + 10m

) ∑l,q

|l|<kf

|k+q|,|l−q|>kf

⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ϵk + ϵl − ϵk+q − ϵl−q

(3.74)

+ S2(5m2 −m

) ∑l,q

|l|<kf

|k+q|,|l−q|>kf

| ⟨kl|e−r2

µ2 |nm⟩ |2

ϵk + ϵl − ϵk+q − ϵl−q(3.75)

=ΣBB1 +ΣBB

2 +ΣBB3 (3.76)

dove gli elementi di matrice proiettati sugli autostati della posizione assu-mono una forma analoga a (3.37),(3.50) e (3.62) rispettivamente.

Anche in questo caso sono stati studiati separatamente i tre termini(3.73-3.75)

37

Termine Diretto

Il contributo all’auto-energia del termine (3.73)

ΣBB1 = −S2

(3m2 − 5m+ 2

) π3µ6m′

Ω2ℏ2∑q,l

|l|<kf

|l−q|,|k+q|>kf

e−q2 µ2

2

q(q + k − l

)

= −S2(3m2 − 5m+ 2

) π3µ6m′

Ω2ℏ2Ω2

(2π)3

∫|l|<kf

|l−q|,|k+q|>kf

d3q d3 le−q2 µ2

2

q(q + k − l

)

= −S2(3m2 − 5m+ 2

) µ6m′

8ℏ2k4f

∫|l|<1

|l−q|,|k+q|>1

d3q d3 le−q2 x2

2

q(q + k − l

)(3.77)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo posto q′ = qkf, k′ = k

kf, l = l

kf, x = µkf

cambiando anche i differenziali corrispondenti.L’integrale presente in (3.77) e stato poi sviluppato utilizzando ancora unavolta il metodo di Euler [24], tenendo pero conto del fatto che in questocaso il momento k ha un ruolo puramente parametrico con valori permessiall’interno della sfera di Fermi, e non rappresenta quindi una variabile diintegrazione. Facendo uso della trasformata di Laplace (3.43) ed effettuatoil cambio dalla variabile α a y = α|q| si ottiene

I =

∫|k+q|>1

d3q e− q2

2µ2

∞∫0

dα e−α(q2+kq cos θ)∫

|l|<1

|l−q|>1

d3 l e−αq·l

=2π

2∫0

|k+q|>1

dq q2π∫

0

d (cos θ) e− q2

2µ2

∞∫0

dy

qe−y(q+k cos θ) 2π

y3

(e

yq2 qy + (e−y − ey(q−1)) (1 + y)

)

+ 2π

∞∫2

|k+q|>1

dq q2π∫

0

d (cos θ) e− q2

2µ2

∞∫0

dy

qe−y(q+k cos θ) 2π

y3(ey (y − 1) + e−y (y + 1)

)(3.78)

dove nel prodotto kq cos θ si e posta la direzione dell’asse z lungo k, e θrappresenta l’angolo compreso tra q e tale asse. E stato possibile risolvere

38

l’integrale in d3 l dividendo l’intervallo di integrazione di |q| in [0, 2] e [2,∞].Le difficolta presentatesi nel calcolo di questo integrale non hanno permessodi raggiungere risultati numerici ne tantomeno analitici.

Termine di scambio

Con calcoli analoghi a quelli effettuati per il termine diretto, il contributodi scambio (3.74) all’auto-energia risulta

ΣBB2 = S2(−1− 6m2 + 6m)

1

Ω2µ6π3

∑q,l

|l|<kf

|l−q|,|k+q|>kf

e−[q2µ2

4+(q+k−l)2 µ2

4

]ℏ22m′ (k2 + q2 − (q − l)2 − (q + k)2)

(3.79)

= −S2(−1− 6m2 + 6m)µ6π3

Ω2

m′

ℏ2Ω2k4f(2π)3

∫|l|<1

|l−q|,|k+q|>1

d3q d3 le−[q2µ2

4+(q+k−l)2 µ2

4

](k2 + q2 − (q − l)2 − (q + k)2)

(3.80)

= −S2(−1− 6m2 + 6m)µ6m′

8ℏ2k4f

∫|l|<1

|l−q|,|k+q|>1

d3q d3 le−[q2µ2

4+(q+k−l)2 µ2

4

]q(q + k − l)

.

(3.81)

Anche in questo caso non e stato possibile risolvere l’integrale in manieraanalitica o computazionale, sempre per le difficolta riscontrate nel terminediretto.

Terzo termine

Anche per il terzo termine del contributo all’auto-energia (3.75) sono statisvolti i calcoli fino al calcolo dell’integrale:

39

ΣBB3 = S2(3m2 −m)

µ6π3

Ω2

∑q,l

|l|<kf

|l−q|,|k+q|>kf

e−(q+k−l)2 µ2

2

ℏ22m′ (k2 + q2 − (q − l)2 − (q + k)2)

= S2(3m2 −m)µ6π3

Ω2

Ω2

(2π)3

∫|l|<1

|l−q|,|k+q|>1

d3q d3 le−(q+k−l)2 x2

2

ℏ22k4fm

′ (k2 + q2 − (q − l)2 − (q + k)2)

= −S2(3m2 −m)µ6m′

8ℏ2k4f

∫|l|<1

|l−q|,|k+q|>1

d3q d3 le−(q+k−l)2 x2

2

q(q + k − l). (3.82)

Come nei casi precedenti, anche per il terzo termine sono state riscontratedelle difficolta che non hanno permesso di proseguire nel calcolo.

Nonostante le approssimazioni adottate in materia nucleare uniforme, ilcalcolo della auto-energia non ha dato esito positivo per i suoi tre termini,sia attraverso metodi analitici che numerici.

Si e quindi pensato di adottare due nuove approssimazioni:

1. il range di interazione µ puo essere considerato molto piu piccolo ri-spetto alla distanza media tra i nucleoni rm ∝ ρ−

13 . Nelle condizioni

di saturazione che sono state considerate in questo lavoro puo quindiassumere un valore di µ con un ordine di grandezza minore di 1 fm;

2. ipotizzando che le particelle che interagiscono tra loro siano solo quellegiacenti sulla superficie di Fermi, il momento trasferito q puo assumerein modulo solo valori compresi nell’intervallo [0, 2kf ]. Vale dunquel’approssimazione per cui la lunghezza d’onda associata all’onda pianadi momento q, λ = 2π/|q|, e molto maggiore rispetto alle lunghezzecaratteristiche del problema;

Questo sistema, chiamato liquido di Fermi [29], permette di trattare glielementi di matrice dell’interazione in maniera alquanto semplificata rispettoa quanto fatto finora. Infatti dato un potenziale di interazione a due corpidi forma gaussiana come il potenziale Brink&Boeker, sia per il termine di

40

scambio che per quello diretto, a meno di diversi coefficienti numerici risulta

⟨kl|e−r2

µ2 |mn⟩ =∫Ω

∫Ωd3r1 d

3r2e−ik·r1√Ω

e−il·r2√Ω

e− |r1−r2|

2

µ2ei(k+q)·r1

√Ω

ei(l−q)·r2√Ω(3.83)

=1

Ω2

∫Ω

∫Ωd3r1 d

3r2 e− |r1−r2|

2

µ2 eiq·(r1−r2) (3.84)

=1

Ω2

∫Ω

∫Ωd3R d3r e

− r2

µ2 eiq·r (3.85)

=1

Ω

∫Ωd3re−iq·re

− r2

µ2 (3.86)

dove nel passaggio da (3.84) a (3.85) e stato effettuato un cambio di va-riabili nel sistema relativo e del centro di massa analogo a (3.3), che noncambia la regione di integrazione per la proprieta di invarianza traslazionalein materia nucleare simmetrica. Grazie alla prima approssimazione il ter-mine gaussiano risulta essere molto piccato e puo essere considerato comeuna delta di Dirac centrata in zero. Per quanto riguarda invece l’onda pianadi momento q, il suo contributo puo essere considerato unitario grazie allaseconda approssimazione fatta. Come risultato il termine (3.86) diventa unvalore costante.Per questo sistema abbiamo adattato la soluzione proposta in [30] ad unsistema di materia nucleare, in cui e neccesario tener conto, oltre agli spindelle particelle, anche del loro isospin. Attraverso un procedimento di ri-normalizzazione del potenziale di interazione e possibile, in questo modellosemplificato, sostituire all’interazione vera e propria un valore costante checonsenta di applicare la teoria delle perturbazioni. La semplice assunzionedi un’interazione con una forza costante non sarebbe sufficiente, in quantodi per se il potenziale nucleare non ha una natura perturbativa per via delrapido incremento della forza a due corpi a brevi distanze. Una quantitache puo essere utilizzata come coefficiente perturbativo e la lunghezza didiffusione, che in approssimazione di Born vale

a =mU0

4πℏ2. (3.87)

Nel caso di un potenziale a due corpi di tipo Brink&Boeker la quantita U0

e il parametro S che rappresenta l’intensita dell’interazione. L’espressionedella massa efficace al secondo ordine perturbativo in approssimazione aliquido di Fermi per la materia nucleare simmetrica vale quindi:

m∗

m= 1 + 3 · 8

15π2(7 ln 2− 1) (akf )

2 , (3.88)

dove il fattore 3 e il contributo degenerativo portato da spin e isospin acausa dello scambio dei momenti delle particelle. Questa semplificazione

41

restituisce un valore della quantita m∗/m coerente con le dimensioni attese,tuttavia, forse a causa dei molti rimaneggiamenti, non rappresenta ancoraun buon modello per descrivere le proprieta di singola particella in materianucleare alla densita di saturazione.

42

Capitolo 4

Conclusioni

Nel corso degli anni le teorie di campo medio hanno raggiunto risultati sem-pre migliori in quanto a capacita predittive sui sistemi a molti corpi. Ilmodello Hartree-Fock, partendo da un potenziale a due corpi costruito adhoc, definisce un potenziale efficace statico mediato su esse che permette ditrattare il problema nucleare a molti corpi come prodotto di problemi disingola particella. Nel primo capitolo della tesi sono state illustrate alcuneproprieta riguardandi il sistema in cui si sono svolti i calcoli: la materianucleare simmetrica, un sistema ideale infinito composto da un numero diprotoni pari a quello di neutroni, in cui viene trascurata l’interazione cou-lombiana. E stato introdotto il concetto di saturazione nucleare, configura-zione che, come evidenziato dagli esperimenti di scattering elettronico, puoessere comparata in prima approssimazione alla condizione che si presentaall’interno dei nuclei con molti nucleoni. Per ultimo e stata presentata l’ap-prossimazione di particelle indipendenti, all’interno della quale operano leapprossimazioni di campo medio, che tratta la funzione d’onda che descrivelo stato del sistema come il prodotto antisimmetrizzato delle funzioni d’ondadei singoli nucleoni, che per le simmetrie della materia nucleare sono ondepiane.Nel secondo capitolo e stato introdotto nel dettaglio il modello di Hartree-Fock, in materia nucleare simmetrica:

• per prima cosa sono stati presentati alcuni modelli di interazione adue corpi con cui potrebbero essere affrontati i calcoli, tra i qualiil potenziale di Brink&Boeker che riproduce tramite due contributigaussiani il comportamento attrattivo tra nucleoni a medio range equello fortemente repulsivo a piccole distanze reciproche;

• e stato caratterizzato il modello Hartree-Fock e come e possibile rica-vare da esso le proprieta collettive per un sistema di nucleoni e quelledi singola particella. Per quanto riguarda queste ultime, ricavate sfrut-tando la rappresentazione pittorica dei diagrammi di Feynman, e stato

43

definito il concetto di nonlocalita nello spazio e nel tempo ed introdot-ta la quantita chiamata massa efficace, grazie alla quale e possibileriscrivere la forma dell’energia di singola particella in modo tale chevenga messa in evidenza la densita dei livelli energetici;

• infine sono stati mostrati i calcoli effettuati in [15] con il potenziale diBrink&Boeker illustrato in precedenza. I risultati ottenuti in appros-simazione HF ben riproducono le quantita legate all’energia totale delsistema, mentre il valore ottenuto per la massa efficace oscilla alla satu-razione intorno a 0.25, molto inferiore rispetto al valore oggi accettatoper la materia nucleare. La motivazione di questo comportamento po-trebbe ricercarsi nel fatto che con questo tipo di approssimazione nonviene tenuto conto degli effetti di correlazione nel moto dei nucleoni;

Nel terzo capitolo si e quindi tenuto conto di questi effetti, trattando l’Ha-miltoniana Hartree-Fock come termine imperturbato nell’ambito della teoriadelle perturbazioni:

• come nel secondo capitolo e stato introdotto il calcolo perturbativo perstati di fermioni e si e mostrato il metodo per ricavare l’energia delsistema e di singola particella con un potenziale a due corpi generico;

• sono stati presentati i calcoli effettuati in [16] per l’energia del sistemacalcolata con un’interazione di Brink&Boeker. Sono stati evidenziatigli effetti che questa nuova approssimazione ha su tale quantita e imiglioramenti per quanto rigurda le capacita predittive delle quantitaempiriche;

• sono stati presentati i calcoli per il calcolo dell’energia di singola par-ticella. Le condizioni emerse nel calcolo di questi integrali non hannopermesso di raggiungere un risultato numerico. Si e quindi pensatodi adottare l’ulteriore approssimazione a liquido di Fermi, grazie allaquale e stata trovata una soluzione per il valore della massa efficaceche tuttavia non e ancora in grado di riprodurre le proprieta di singolaparticella in materia nucleare simmetrica;

44

Appendice A

Metodo Hartree-Fock

Il successo del modello a shell nel descrivere il moto di protoni e neutroniall’interno del nucleo giustifica l’assunzione che ogni nucleone si muova indi-pendentemente dagli altri in un potenziale medio prodotto da tutti gli altri.Il metodo Hartree-Fock (HF) e un metodo autoconsistente che permette diricavare tale potenziale efficace a partire dalla somma di tutte le possibiliinterazioni a due corpi per mezzo di un principio variazionale che sfrutta,come funzioni di prova, dei determinanti di Slater.

Il punto di partenza e l’Hamiltoniana imperturbata H0, che descrive ilmoto libero di N particelle, eventualmente soggette ad un potenziale localeesterno:

H0 =N∑i

h(i) =N∑i

(− ℏ2∇2

i

2m+ Uext(i)

), (A.1)

dove ∇2i =

3∑l=1

∂i,l∂i,l rappresenta l’operatore laplaciano che fornisce il ter-

mine cinetico, mentre Uext(i) e il potenziale esterno agente sulla i-esimaparticella, che pero non e presente nel caso nucleare. A tale sistema va poiaggiunto il contributo dovuto alle interazioni a due corpi v(i, j):

H1 =1

2

N∑i =j

v(i, j). (A.2)

Partendo da N autofunzioni iniziali di singola particella ϕi ortonormali,attraverso un metodo iterativo e possibile trovare l’insieme che minimizzail valore di aspettazione dell’Hamiltoniana. L’approsimazione attuata daquesto modello, detta a particelle indipendenti, consiste nel fatto che lafunzione d’onda totale venga sostituita con un determinante di Slater, una

45

combinazione antisimmetrica delle suddette funzioni di singola particella:

Φ(r1, r2, . . . , rN ) =1√N !

∑σ

(−1)σPσ(ϕ1 . . . ϕN ) (A.3)

=1√N !

ϕ1(r1) ϕ2(r1) . . . ϕN (r1)ϕ1(r2) . . . . . . ϕN (r2)

......

ϕ1(rN ) ϕ2(rN ) . . . ϕN (rN )

, (A.4)

⟨ϕi|ϕj⟩ = δij , (A.5)

dove σ e la permutazione considerata e Pσ e l’operatore di scambio tradue stati di singola particella. Nello sviluppo del calcolo del valore diaspettazione dell’Hamiltoniana va tenuto connto che l’ortonormalita dellefunzioni d’onda a singola particella garantisce che per H0, contenente tuttigli operatori ad un corpo, la permutazione σ sul bra sia la stessa di quellasul ket; invece per quanto riguarda gli operatori a due corpi, raccolti in H1,la permutazione sul bra puo differire da quella sul ket al piu per lo scambiodi una sola coppia di particelle (i, j). Si trova quindi (ponendo Uext = 0):

⟨ΨHF |H0 |ΨHF ⟩ =1

N !

∑σ,σ′

(−1)σ+σ′N∑i

⟨ϕ1 . . . ϕN |Pσh(i)Pσ′ |ϕ1 . . . ϕN ⟩

(A.6)

=1

N !

∑σ,σ′

(−1)σ+σ′N∑i

⟨ϕi|h(i) |ϕi⟩ (A.7)

=N∑i

⟨ϕi|h(i) |ϕi⟩ , (A.8)

⟨ΨHF |H1 |ΨHF ⟩ =1

N !

∑σ,σ′

(−1)σ+σ′ 1

2

N∑i =j

⟨ϕ1 . . . ϕN |Pσv(i, j)Pσ′ |ϕ1 . . . ϕN ⟩

(A.9)

=1

N !

∑σ,σ′

(−1)σ+σ′δσ,σ′

1

2

N∑i =j

⟨ϕiϕj | v(i, j) |ϕiϕj − ϕjϕi⟩

(A.10)

=1

2

N∑i =j

⟨ϕiϕj | v(i, j) |ϕiϕj − ϕjϕi⟩ , (A.11)

46

in modo tale che

⟨ΨHF |H |ΨHF ⟩ = ⟨ΨHF |H0 |ΨHF ⟩+ ⟨ΨHF |H1 |ΨHF ⟩ (A.12)

=N∑i

⟨ϕi|h(i) |ϕi⟩+1

2

N∑i =j

⟨ϕiϕj | v(i, j) |ϕiϕj − ϕjϕi⟩ .

(A.13)

Per calcolare il valore di aspettazione EHF [ϕ1 . . . ϕN ] occorre considerareil vincolo di ortonormalita imposto sulle autofunzioni di singola particella,condizione matematicamente soddisfatta mediante l’uso dei moltiplicatoridi Lagrange ϵij :

EHF [ϕ1 . . . ϕN ] = ⟨ΨHF |H |ΨHF ⟩ − ϵij(⟨ϕi⟩ϕj − δij). (A.14)

Infine per ricavare le N equazioni HF, si cerca il minimo di tale funzionaleattuando una variazione infinitesima δϕi della i-esima autofunzione di sin-gola particella ϕi, procedimento che porta a un set di N equazioni simili alproblema di Schrodinger:

h(i) |ϕi⟩+∑j

⟨·ϕj | v(i, j) |ϕiϕj − ϕjϕi⟩ =∑j

ϵij |ϕj⟩ . (A.15)

Poiche ogni combinazione lineare di soluzioni e ancora soluzione di questeequazioni, vi e un grado di liberta che permette di diagonalizzare la matrice.Moltiplicando a sinistra per ⟨ϕi|, l’equazione assume la forma

⟨ϕi|h(i) |ϕi⟩+∑j

⟨ϕiϕj | v(i, j) |ϕiϕj − ϕjϕi⟩ = ϵi. (A.16)

Un importante risultato circa l’energia totale ottenuta con il metdo HFe che

Eesatta = EHF + Ecorr ≥ EHF , (A.17)

dove Ecorr rappresenta l’energia di correlazione, ovvero quella porzione dienergia, di cui HF non tiene conto, generata dal fatto che il moto della i-esimaparticella perturba quello delle restanti N-1, alterando il campo medio.

47

Appendice B

Teoria delle perturbazioni

I metodi perturbativi sono strumenti utili per risolvere la maggior parte deiproblemi fisici, dal momento che quelli risolubili esattamente sono moltopochi.In questa appendice viene discussa la teoria delle perturbazioni indipendentidal tempo, particolarmente utili nella risoluzione di problemi di stato legato,nell caso in cui lo spettro dell’Hamiltoniana imperturbata sia non degenere

(E(0)n = E

(0)m , ∀m = n).

Consideriamo un sistema in cui l’Hamiltoniana puo essere scritta comela somma di un termine H0, il cui spettro e noto esattamente e ortonorma-lizzato

H0 |(0)⟩ = E(0)n |n(0)⟩

⟨m(0)|n(0)⟩ = δmn

, (B.1)

e un termine H ′, in presennza del quale lo spettro non e piu determina-bile esattamente.L’idea del metodo perturbativo e di pesare il contributo diH ′ con un parame-tro ϵ, e di determinare autofunzioni e autovalori dell’Hamiltoniana completa

H |n⟩ = En |n⟩ (B.2)

come uno sviluppo in serie di ϵ, scrivendo l’Hamiltoniana come

H = H0 + ϵH ′, (B.3)

e sviluppando autovalori e autovettori Eq. (B.2) dell’Hamiltoniana completaEq. (B.3) in serie di ϵ:

En = E(0)n + ϵE(1)

n + ϵ2E(2)n + . . . (B.4)

|n⟩ = |n(0)⟩+ ϵ |n(1)⟩+ ϵ2 |n(2)⟩+ . . . . (B.5)

48

E importante osservare che in generale nulla garantisce che la serie per-turbativa per l’autovalore o l’autostato converga.

Sostituendo gli sviluppi (B.4,B.5) nell’equazione (B.3) si ottiene

(H0+ϵH ′)(|n(0)⟩+ϵ |n(1)⟩+ϵ2 |n(2)⟩+. . . ) = (E(0)n +ϵE(1)

n +ϵ2E(2)n +. . . )(|n(0)⟩+ϵ |n(1)⟩+ϵ2 |n(2)⟩+. . . ).

(B.6)Una volta identificati i termini dello stesso ordine in ϵ si ottiene una sequenzadi equazioni

ϵ0(H0 − E(0)n ) |n(0)⟩ = 0 (B.7)

ϵ1(H0 − E(0)n ) |n(1)⟩ = (E(1)

n −H ′) |n(0)⟩ (B.8)

ϵ2(H0 − E(0)n ) |n(2)⟩ = (E(1)

n −H ′) |n(1)⟩+ E2n |n(0)⟩ (B.9)

...

ϵk(H0 − E(0)n ) |n(k)⟩ = (E(1)

n −H ′) |n(k−1)⟩+k∑

l=2

E(l)n |n(k−l)⟩ . (B.10)

La soluzione di (B.7-B.10) puo essere ottenuta proiettando ciascunaequazione sugli autostati |n(0)⟩ dell’Hamiltoniana imperturbata. A tal fi-ne tutti i termini successivi al primo nello sviluppo perturbativo dello statoB.5 possono essere scelti ortogonali al primo 1:

⟨n(0)|n(i)⟩ = 0 , ∀i = 0. (B.11)

Proiettando dunque su |n(0)⟩ le (B.7-B.10), tutti i membri di sinistra si

annullano, cosı come tutti i contributi a destra non proporzionali a E(k)n .

Supponendo che gli stati siano normalizzati, risulta:

E(1)n = ⟨n(0)|H ′ |n(0)⟩ (B.12)

E(2)n = ⟨n(0)|H ′ |n(1)⟩ (B.13)

...

E(k)n = ⟨n(0)|H ′ |n(k−1)⟩ . (B.14)

1Se |n(i)⟩ e soluzione della i-esima equazione (B.7-B.10) allora lo e anche |n(i)⟩ =|n(i)⟩+ λ |n(0)⟩. Infatti

(H0 − E(0)n ) |n(1)⟩ = λ(H0 − E(0)

n ) |n(0)⟩+ (H0 − E(0)n ) |n(1)⟩ = (H0 − E(0)

n ) |n(1)⟩ ,

e quindi il membro sinistro della i-esima equazione coincide se valutato per |n(i)⟩ e |n(i)⟩.Pertanto, data una soluzione n(i) della i-esima equazione tale che ⟨n(i)|n(0)⟩ = 0 e possi-bile costruirne una nuova |n(i)⟩, anch’essa soluzione della i-esima equazione, tale che siasoddisfatta la condizione di ortonormalita, ponendo |n(i)⟩ = |n(i)⟩+λi |n(0)⟩ e scegliendo

λi = −⟨n(0)|n(i)⟩ .

49

Per il primo ordine la correzione all’energia dell’Hamiltoniana imperturbatacorrisponde ai termini di H ′ diagonali negli autostati di H0.

Per calcolare la correzione al secondo ordine E(2)n e necessario ricavare la

correzione all’autostato usando (B.8), che si risolve moltiplicando entrambi

i membri per l’inverso di (H0−E(0)n ). Nello spazio degli stati fisici pero (H0−

E(0)n ) |n(0) = 0⟩, e per l’esistenza di un autovalore nullo non sarebbe possibile

invertire tale operatore. Tuttavia la (B.11) implica che tutte le |n(i)⟩, equindi in particolare anche |n(1)⟩, appartengono al sottospazio ortogonalead |n(0)⟩, pertanto e possibile riscrivere |n(1)⟩ come

|n(1)⟩ =∑k

|k(0)⟩ ⟨k(0)|n(1)⟩ =∑k =n

|k(0)⟩ ⟨k(0)|n(1)⟩ , (B.15)

A questa risoluzione dell’identita contribuiscono tutti gli stati tranne |n(0)⟩.Dunque (H0 − E

(0)n )−1 esiste nello spazio degli stati ortogonale a |n(0)⟩.

Sfruttando la proprieta generale f(H0) |k(0)⟩ = f(E(0)k ) |k(0)⟩, in tale sotto-

spazio si ha

|n(1)⟩ = 1

H0 − E(0)n

(E(1)n −H ′) |n(0)⟩ (B.16)

=∑k =n

1

E(0)k − E

(0)n

|k(0)⟩ ⟨k(0)| (E(1)n −H ′) |n(0)⟩ (B.17)

=∑k =n

1

E(0)k − E

(0)n

|k(0)⟩[δknE

(1)n − ⟨k(0)|H ′ |n(0)⟩

](B.18)

=∑k =n

⟨k(0)|H ′ |n(0)⟩E

(0)k − E

(0)n

|k(0)⟩ . (B.19)

La perturbazione modifica lo stato di partenza aggiungendo ad esso com-ponenti lungo tutte le altre direzioni(gli altri autostati imperturbati) nellospazio di Hilbert. la componente lungo una direzione |k(0)⟩ e tanto minorequanto piu e diverso l’autovalore di energia.La correzione all’energia diventa, per il secondo ordine

E(2)n = ⟨n(0)|H ′

∑k =n

⟨k(0)|H ′ |n(0)⟩H0 − E

(0)n

|k(0)⟩ =∑k =n

⟨n(0)|H ′|k(0)⟩ ⟨k(0)|H ′|n(0)⟩E

(0)k − E

(0)n

,

(B.20)e conseguentemente l’energia di ground state:

EGS = ⟨n(0)|H ′|n(0)⟩+∑k =n

⟨n(0)|H ′|k(0)⟩ ⟨k(0)|H ′|n(0)⟩E

(0)k − E

(0)n

. (B.21)

50

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