UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE Dipartimento...

“DIFFUSIONE DELLE TENSIONI”

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleSezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)

Johann [email protected]

http://www.dicea.unifi.it/~johannf/

Corso di GeotecnicaIngegneria Edile, A.A. 2012/2013

Pressioni di contatto

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Dr. Ing. Johann FacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2012/2013

PRESSIONI DI CONTATTOUna fondazione superficiale trasmette al terreno il carico proveniente dalla struttura in elevazione.Le pressioni mutue all’intradosso della fondazione sono dette pressioni di contatto.

La distribuzione delle pressioni di contatto dipende:

Ip. Si suppone che il carico trasmesso dalla fondazione abbia unadistribuzione uniforme e si studiano gli effetti della rigidezza della strutturadi fondazione e della rigidezza del terreno di appoggio sulla distribuzionedella pressione di contatto.

dall’entità e distribuzione del carico all’estradosso della fondazione dalla rigidezza della struttura di fondazione dalla rigidezza del terreno di fondazione

Estradosso

Intradosso

Carico



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FONDAZIONI FLESSIBILI

Se la fondazione è priva di rigidezza (non resistente a flessione), la distribuzionedelle pressioni di contatto è necessariamente eguale alla distribuzione del caricoapplicato, e la sua deformata si adatta ai cedimenti del terreno di appoggio (es.fondazione di rilevati).

I cedimenti del terreno dipendono dalla sua rigidezza :

p

p

p

p

p

min

m in

W

W

m ax

m ax

W

W

terreno con eguale rigidezza sottoogni punto della fondazione (argilla)il cedimento è massimo in mezzeria eminimo al bordo (deformata conconcavità verso l’alto)

terreno con rigidezza crescente con lapressione di confinamento (sabbia)il cedimento è minimo in mezzeria emassimo al bordo (deformata conconcavità verso il basso)


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FONDAZIONI RIGIDE

Se la fondazione ha rigidezza infinita (indeformabile e di infinita resistenza aflessione), per effetto di un carico a risultante verticale centrata, subisce unatraslazione verticale rigida (cedimenti uniformi).

terreno di appoggio con egualerigidezza sotto ogni punto dellafondazione (argilla), le pressioni dicontatto sono massime al bordo eminime in mezzeria. terreno di appoggio con rigidezzacrescente con la pressione diconfinamento (sabbia), le pressioni dicontatto sono massime al centro e minimeal bordo

p

p

p

minq

W

W

max

max

q

q

La distribuzione delle pressioni dicontatto è simmetrica per equilibrio edipende dalla rigidezza del terreno diappoggio. (es. plinti in calcestruzzo, alti epoco armati).


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FONDAZIONI SEMI‐RIGIDE

Se la fondazione ha rigidezza finita, il suo comportamento è intermedio fra i duesopradescritti (es. platee di fondazione).

La deformata è curvilinea ma menopronunciata di quella dellafondazione priva di rigidezza, conconcavità verso l’alto (argilla) o versoil basso (sabbia) a seconda del tipo diterreno di appoggio

min

min

max

m ax

min

minmax

q

qq

W

W

W

W

m axq

p

p

p

La distribuzione delle pressioni dicontatto è simmetrica per equilibrio edipende dalla rigidezza del terreno diappoggio con un andamento analogoal caso di fondazioni rigide.

ARGILLA

SABBIA


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Se il carico proveniente dalla struttura in elevazione (e applicato all’estradossodella struttura di fondazione) non è uniforme ma ha comunque risultanteverticale centrata, la distribuzione delle pressioni di contatto è:

per fondazioni flessibili, eguale alla distribuzione del carico applicato

per fondazioni di rigidezza infinita, eguale alla distribuzione per caricouniforme di pari risultante

per fondazioni di rigidezza finita, intermedia ai due casi precedenti

Per quantificare la distribuzione delle pressioni di contatto si utilizza spessoil modello di Winkler

Diffusione delle tensioni

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CEDIMENTI NEL NEL TERRENO

La realizzazione di un’opera di ingegneria geotecnica produce un’alterazionedello stato di tensione naturale nel terreno, e quindi deformazioni e cedimenti.

Per stimare i cedimenti è necessario conoscere:a) La distribuzione delle pressioni indotte dal carico applicato

(pressioni di contatto)b) lo stato tensionale iniziale nel sottosuolo

(tensioni geostatiche)c) l’incremento delle tensioni prodotto dalla realizzazione dell’opera

(diffusione delle tensioni)d) la relazione fra incrementi di tensione e incrementi di deformazione

(legge costitutiva).

N.B. La non corrispondenza fra le ipotesi del modello e la realtà fisica, porta a risultati generalmente inaccettabili in termini di deformazioni calcolate, ma accettabili limitatamente alla stima delle tensioni verticali


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Le principali differenze tra il modello del continuo elastico lineare e i terreni reali, sono: i depositi di terreno reale sono spesso stratificati, e ogni strato ha

differente rigidezza, e/o è presente un substrato roccioso (bedrock) dirigidezza molto superiore a quella degli strati sovrastanti

anche nel caso di terreno omogeneo, la rigidezza dei terreni reali non ècostante ma cresce con la profondità

i terreni reali non sono isotropi (Ev/Eh, è di norma maggiore di uno perterreni normalmente consolidati e debolmente sovraconsolidati, mentreè minore di uno per terreni fortemente sovraconsolidati)

l’ipotesi di elasticità lineare può essere accolta solo per argillesovraconsolidate e sabbie addensate limitatamente a valori molto bassidi tensione, ma non è accettabile per tutti gli altri casi

Ip. Semispazio omogeneo, isotropo, elastico lineare e senza peso

DIFFUSIONE DELLE TENSIONI NEL TERRENO


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PROBLEMA DI BOUSSINESQIPOTESI: carico verticale concentrato applicato in superficie di un semispazioideale, continuo, omogeneo, isotropo, elastico lineare e privo di peso.

SOLUZIONE: la soluzione analitica, in termini di tensioni e deformazioniindotte, fornita da Boussinesq (1885) costituisce il punto di partenza di tutte lesuccessive soluzioni a problemi più complessi (sempre adottando il modelloelastico lineare).

r

P

R

r

z

z

5

3

z Rz

2P3

zRR21

Rzr3

R2P

3

2

2r

zR

RRz

R2P21

2

5

2

rz Rrz

2P3

dove R2 = r2+z2Sistema di coordinate cilindriche

Indipendente da

N.B. In corrispondenza dell’asse del carico (r = 0), z = + per z = 0 (p.c.), ma ilterreno non può sostenere una tensione infinita (il carico concentrato èun’astrazione teorica)


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Superfici di rivoluzione intorno all’asse z(Volume = P)

0

4

8

12

-10 -5 0 5 10

r (m)

z (k

Pa)

Z = 2m

Z = 5m

Z = 10m

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5

z (kPa)z

(m)

r = 0mr = 2mr = 5m

z = z(z,r)

z = cost.r = cost.


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Passando dal caso teorico di mezzo ideale al caso di un terreno reale, purconservando l’ipotesi di mezzo omogeneo, isotropo, con piano di campagnaorizzontale e infinitamente esteso e con comportamento elastico lineare, madotato di peso:‐ le tensioni corrispondenti alla soluzione di Boussinesq rappresentano gliincrementi di tensione totale indotti dal carico (z, r, e rz) che devonoessere sommati alle tensioni litostatiche, per determinare lo stato tensionalefinale, ovvero (in coordinate cartesiane):

‐ lo stato tensionale preesistente all’applicazione del carico (litostatico) è di tipoassial‐simmetrico, mentre quello successivo all’applicazione del carico non lo èpiù, per la comparsa di tensioni tangenziali (zx e zy) e per il fatto che letensioni orizzontali (x e y) siano differenti.

zf = v0 +z

Imp. ad es. per il calcolo dei cedimenti

xf = h0 +x yf = h0 +y zx = +zx zy = +zy


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0) Carico verticale q uniformemente distribuito e infinitamente esteso(o comunque con una estensione molto più grande dello spessore dello stratoentro cui si valuta la diffusione)

B

q

H

B >>H

vf (z) = v0(z) + q

hx = hy= hf =K0 ∙vf (in assenza di falda)

z (z) = q per ogni z

SOLUZIONI DERIVATE DA BOUSSINESQ

per ragioni di simmetria e di equilibrio, l’effetto del carico si traduce in unsolo incremento della tensione verticale totale costante pari a q ed unconseguente incremento della tensione orizzontale totale, mentre lo statorimane assial‐simmetrico:

Poiché, per l’ipotesi di elasticità lineare, è valido il principio disovrapposizione degli effetti, la soluzione di Boussinesq è stata integrata perottenere le soluzioni elastiche relative a differenti condizioni di caricoapplicato in superficie.


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1. Carico verticale distribuito su una linea retta

x

y

x

z

z

R

x

y

z

P’

dove P’ = carico per unità di lunghezza

4

3

z Rz'P2

4

2

x Rxz'P2

2y Rz'P2

4

2

xy Rzx'P2

y ≡ linea di carico

Indipendenti da y

dove:‐ R2 = x2+z2

‐ y ≡ linea di carico‐ P’ = carico per unità di lunghezza


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2. Pressione verticale uniforme su una striscia indefinita

q = carico per unità di superficie

dove:

q

y

z

x

x

y

z

B

2cossenqz

2cossenqx

q2

y

2sensenqxy

y ≡ striscia di carico di carico

Indipendenti da y

e sono espressi in radianti (<0 sotto la striscia)


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3. Pressione verticale triangolare su una striscia indefinita

‐ q = valore massimo del carico per unità di superficie

dove:

q

x

x

y

z

z

R

R

2

1

B

2sen

21

Bxq

z

2sen

21

RR

lnBz

Bxq

22

21

x

Bz22cos1

2q

xz

‐ y ≡ striscia di carico di carico

‐ e sono espressi in radianti (<0 sotto la striscia)


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4. Pressione verticale trapezia su una striscia indefinita

dove q = valore massimo del caricoper unità di superficie

2a'

2a x

z

q

La soluzione, sempre per il principio di sovrapposizione degli effetti, può essere espressa come somma delle soluzioni relative al caso (2) e al caso (3), oppure con riferimento alla sola tensione verticale totale e ungo l’asse del rilevato (x = 0):

N.B. Si tratta di un problema tipico che sipresenta ad esempio nel caso dei rilevati stradali

z'aarctan'a

zaarctana

'aaq2

0xz

2 a’

2 ax

z


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dove q = carico per unità di superficie

5. Pressione uniforme su una superficie circolare

320rz

zR1

11q

2R

q

z

rLa soluzione con riferimento alla solatensione verticale totale e lungo l’asse delcarico, è data da:

Per r >RPer r =R

Per r <R

0

1

2

3

4

5

0 0.25 0.5 0.75 1

z/q

z/R

r/R=0

r/R=0,5

r/R=1

r/R=2

2 R

r

z

N.B. Si tratta di un problema tipico che sipresenta ad esempio nel caso delle fondazioni,in genere rettangolari


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q = carico per unità di superficie

6. Pressione uniforme su una superficie rettangolare q

x

z

y

L

B

B

x

y

z

R

RR

1

23

x

z

22

2133

z R1

R1

RzBL

RzBLarctan

2q

3

213

x RRzBL

RzBLarctan

2q

3

223

y RRzBL

RzBLarctan

2q

3

21

2

2zx RR

zBRB

2q

5,02223

5,0222

5,0221

zBLR

zBR

zLR

dove:

Sotto lo spigolo


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In prima approssimazione si può ipotizzareche la pressione uniforme q agente su un’arearettangolare si diffonda a “tronco di piramide”con pendenza degli spigoli (1:2), ovvero:

1

2z

L + z

z/2

qL

Impronta di carico

B

L

zBzLBLq)z(z

Diffusione delle tensioniDr. Ing. Johann FacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2012/2013

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In un qualsiasi punto a profondità z sotto o all’esterno dell’area caricata (principio di sovrapposizione degli effetti):

C D

A

M

B

1

3 4

2

)''()''()''()''()( MCCDzMMDDBzMMBBAzMMCAAzMABCDzM

A

M

B B'

C D D'

C' D''

)''MD'DD(zM)'MC'CD(zM)''MD'BB(zM)'MC'AB(zM)ABCD(zM

N.B. Ricorrendo allo stesso criterio è possibile ricondurre la soluzione relativa adaree rettangolari ai casi più generali di aree irregolari.

Cedimenti elasticiDr. Ing. Johann FacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2012/2013

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L’equazione per il calcolo del cedimento elastico in corrispondenza dellospigolo O dell’area flessibile di carico uniforme q, di forma rettangolare BxLsu un semispazio continuo, elastico lineare, omogeneo e isotropo, aventemodulo di Young E, e coefficiente di Poisson , è (posto = L/B):

CEDIMENTI ELASTICI

2

22 11

ln1lnE

1Bqw

Per calcolare il cedimento elastico in qualunque punto della superficie, persovrapposizione degli effetti, si segue la stessa procedura descritta per ilcalcolo delle tensioni verticali.

N.B. A differenza dei valori stimati per le tensioni verticali totali, i valori calcolati per i cedimenti nell’ipotesi di comportamento elastico lineare non sono attendibili

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