UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE Dipartimento di...

“SPINTA DELLE TERRE”

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleSezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)

Johann [email protected]

http://www.dicea.unifi.it/~johannf/

Corso di GeotecnicaIngegneria Edile, A.A. 2012/2013

Introduzione

2/42

Dr. Ing. Johann FacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2012/2013

SPINTA DELLE TERRELa determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un’opera disostegno è un problema classico di ingegneria geotecnica che vieneaffrontato utilizzando due teorie “storiche”:

Entrambe le teorie, nel calcolo della spinta del terreno, si riferiscono aglistati limite (ovvero agli stati prossimi alla rottura) ed ipotizzano superfici discorrimento piane, ma per effetto dell’attrito fra la parete e il terreno:

• le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee• i risultati che si ottengono applicando i metodi classici sono spesso non

cautelativi.

la teoria di Rankine (1857) la teoria di Coulomb (1776).

È pertanto opportuno riferirsi a metodi che assumono superfici discorrimento curvilinee, tra i quali, il più noto e applicato è il metodo diCaquot e Kérisel (1948).


Teoria di Rankine

TEORIA DI RANKINE

terreno omogeneo ( costante con la profondità) p.c. piano, orizzontale ed infinitamente esteso (stato assial-simmetrico) terreno incoerente (c’ = 0) assenza di falda (u = 0, = ’) validità del criterio di rottura di Mohr- Coulomb (f = ’n tg ’) assenza di attrito ( = 0)

IPOTESI:

Stato tensionale assial-simmetrico

’v0 = ’1’h0 = ’2 = ’3

Z

Q

v0

v00h0

’ = Z

’ = K ’

1

1

K0

per K0 < 1 (terreni NC o debolmente OC)

Cerchio O

’

’

’h0 ’ v0

ZK0Z

Press.Orizzontali,

’h0

Press.Verticali,

’v0

’v0, ’h0

3/42

Ipotesi removibili


Teoria di Rankine

SPINTA A RIPOSO

vengono inserite due pareti verticali ideali, cioè tali da non modificare lostato tensionale nel terreno (assenza di attrito)

IPOTESI:

Stato tensionale a riposo (cerchio O)La spinta orizzontale S0 (spinta a riposo)presente sui due lati di ciascuna parete(risultante delle tensioni orizzontali dallasuperficie fino alla generica profondità H)vale:

02

000 2

1' KHdZSH

h

ed è applicata alla profondità (baricentro deltriangolo della distribuzione delle tensioniorizzontali):

HS

dZZZ

H

h

32

0

0

'0

0

Q

4/42


Teoria di Rankine

5/42

SPINTA ATTIVA

Stato tensionale limite attivo (cerchio A) nel punto Q permangono condizioni di simmetria (la tensione verticale ed

orizzontale sono ancora principali); la tensione verticale ’v0 = ·Z non varia la tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente

Q

v0

ha

’ ’

Si allontanano gradualmente le due pareti:IPOTESI:

Il valore minimo della tensione orizzontale , ’ha, compatibile con l’equilibrioè detto tensione limite attiva, e corrisponde alla tensione principale minoredel cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura.

Cerchio OCerchio A

’

’

/4+ ’/2

’ha h0 ’ v0

f

C

F

RO ’


Teoria di Rankine

6/42

R = ½ (’v0 - ’ha)

Il raggio del cerchio di Mohr a rottura (A) vale:

OC = ½ (’v0 + ’ha)

Considerando il triangolo (rettangolo) OFC:

02

0

0

00

'2'

4tan'

'1'1'

)'1(')'1('

'''21''

21

'

vvha

vha

havhav

sensen

sensen

sen

senOCFCR

2'

4tan

'sen1'sen1K 2

A

voAha ʹKʹ Coefficiente di spinta attiva

e l’ascissa del centro:Cerchio O

Cerchio A

’

’

/4+ ’/2

’ha h0 ’ v0

f

C

F

R

O ’


Teoria di Rankine

7/42

La tensione agente sulla superficie di scorrimento (ipotizzata piana) èrappresentata dal punto F del cerchio di Mohr, ha componente normale n etangenziale f ed agisce su un piano forma un angolo di con ladirezione orizzontale.

Q

v0

ha

f

n

’

’ ’

/4+ ’/2

2'

4

Z

Q

/4+ ’/2

In condizioni di rottura perraggiungimento dello stato diequilibrio limite inferiore (spintaattiva), il terreno inizia a scorrerelungo questi piani.

Cerchio OCerchio A

’

’

/4+ ’/2

’ha h0 ’ v0

f

C

F

R

O ’’n


Teoria di Rankine

8/42

La spinta attiva SA (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie finoalla generica profondità H) è orizzontale, agisce sulla parte interna diciascuna parete vale:

S

ha

A

’

A

K HA

Z = 2/3 HA

H

A

H

hAA KHdZS 2

0 21'

032 ZHZ A

ed è applicata alla profondità(baricentro del triangolo delladistribuzione delle tensioniorizzontali): Q


Teoria di Rankine

9/42

Stato tensionale limite passivo (cerchio P) nel punto Q permangono condizioni di simmetria (la tensione verticale ed

orizzontale sono ancora principali); la tensione verticale ’v0 = ·Z non varia la tensione orizzontale efficace cresce progressivamente

Si avvicinano gradualmente le due pareti:IPOTESI:

Il valore massimo della tensione orizzontale , ’hp, compatibile conl’equilibrio è detto tensione limite passiva, e corrisponde alla tensioneprincipale maggiore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo arottura.

Q

v0

hp

’ ’

SPINTA PASSIVA

Cerchio O

Cerchio P

’ /4- ’/2

’

f

C

F

R

O ’hp’ v0C’ h0


Teoria di Rankine

10/42

R = ½ (’hp - ’v0)

Il raggio del cerchio di Mohr a rottura (P) vale:

OC = ½ (’v0 + ’hp)


Coefficiente di spinta passiva

e l’ascissa del centro:

02

0

0

00

'2'

4tan'

'1'1'

)'1(')'1('

'''21''

21

'

vvhP

vhP

hPvvhP

sensen

sensen

sen

senOCFCR

Cerchio O

Cerchio P

’ /4- ’/2

’

f

C

F

R

O ’hp’ v0C’ h0

voPhp ʹKʹ

A

2P K

12'

4tan

'sen1'sen1K


Teoria di Rankine

11/42

La tensione agente sulla superficie di scorrimento (ipotizzata piana) èrappresentata dal punto F del cerchio di Mohr, ha componente normale n etangenziale f ed agisce su un piano forma un angolo di con ladirezione orizzontale.

2'

4

Z

Q

/4 - ’/2

A

v0

hp

f

n

’

’

’

/4 - ’/2

In condizioni di rottura perraggiungimento dello stato diequilibrio limite superiore (spintapassiva), il terreno inizia a scorrerelungo questi piani.

Cerchio O

Cerchio P

’ /4- ’/2

’

f

C

F

R

O ’hp’ v0C’ h0 ’n


Teoria di Rankine

12/42

La spinta passiva SP (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficiefino alla generica profondità H) è orizzontale, agisce sulla parte interna diciascuna parete e vale:

ed è applicata alla profondità(baricentro della distribuzione delletensioni orizzontali):

P

H

hPP KHdZS 2

0 21'

032 ZHZP

S

hp

P

’

Q

K HP

Z = 2/3 HP

H


Teoria di Rankine

13/42

OSS.

1) I coefficienti di spinta attiva, KA, e passiva, KP, rappresentano i valorilimite, rispettivamente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioniefficaci orizzontale e verticale:

Pv

hA KK

0''

2) Le tensioni limite inferiore e superiore e i rispettivi coefficienti di spintaattiva e passiva possono anche essere ricavati esprimendo il criterio dirottura di Mohr-Coulomb in funzione delle tensioni principali a rottura, per ilquale risulta (nel caso c’=0):

fff sensen

32

31 '2'

4tan'

'1'1'

assumendo alternativamente :’1f = ’hp

’3f = ’v0

’1f = ’v0

’3f = ’ha

Rotazione del muro, Y/H

Stato passivo

Sabbia densa

Sabbia densaR

appo

rto tr

a pr

essi

one

oriz

zont

ale

e ve

rtica

le, K

Stato attivo

Sabbia sciolta

Sabbia scioltaSabbia compatta

K

K

K

0

a

p


Teoria di Rankine

15/42

OSS.La spinta che il terreno esercita su un’opera geotecnica (ad es. una parete oun muro di sostegno) dipende dalla direzione e dall’entità dello spostamento(traslazione e/o rotazione) della parete rispetto al terreno:

A

B

D

C

Caso aA

B

D

C

Caso b

Nel Caso a la parete non può muoversi (condizione di simmetria) e la spintaeserecitata sulla parete da entrambi i lati del deposito sarà quella a riposoNel Caso b la parete può ruotare e/o traslare verso valle, dove il terreno saràsollecitato in compressione e mentre il terreno a monte si espande (incondizione di equilibrio si considera agente sulla parete AB la spinta attiva esulla parete CD la spinta passiva).

montevalle


Teoria di Rankine

16/42

Si suppone che il deposito sia delimitato superiormente da una superficiepiana, inclinata di un angolo < ‘ rispetto all’orizzontale (le tensioniverticali ed orizzontali non sono più principali, non essendovi piùsimmetria).

Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito

le risultanti, S, delle tensioni cheagiscono sulle due superfici laterali(per ragioni di simmetria eguali edopposte, aventi la stessa retta d’azioneinclinata dell’angolo sull’orizzontale) il peso (verticale) W = ·Z· b

l = b/cos

Sul concio agiscono:

la risultante delle tensioni normali allabase del concio: N = W ·cos la risultante delle tensioni tangenziali allabase del concio: T = W ·sen

b

l

ZWS

S

T

N

N.B. Per ragioni di simmetria la reazione alla base del concio è verticale edopposta a W e la spinta del terreno è inclinata di .


Teoria di Rankine

17/42

La tensione normale alla base del concio vale:’n = N/l = ·Z ·cos2 La tensione tangenziale alla base del concio vale: =T/l = ·Z · sen ·cos .

’v = W/l = ·Z ·cos

La tensione verticale sulla base del concio:

Aa KcosZʹ con

22

22

A'coscoscos'coscoscos

K

e A

2

A K2

ZcosS

Pp KcosZʹ con

22

22

P'coscoscos'coscoscos

K

eP

2

P K2

ZcosS

Per la condizione di spinta a riposo, staticamente indeterminata, si assume ingenere: )sen1()ʹsen1()sen1(KK 0,0

SA


Teoria di Rankine

18/42

Si suppone il deposito dotato anche di coesione oltre che di attrito, ovveroresistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr-Coulomb:

Effetto della coesione

'tan''c

O

c’

’

’C

R

F

’ ’ 3 1

c’tan ’

’ + ’1 32

D

R = ½ (’1 - ’3)Il raggio del cerchio di Mohr a rottura vale:

OC = ½ (s’1 + s’3)


e l’ascissa del centro:

'cos'2)'1(')'1('

'cos'2'''

'''''21''

21

')('

31

'3

'131

3131

csensencsen

senctgc

senOCDOsenDCFCR

2'

4tan'2

2'

4tan'' 2

31 c

2'

4tan'2

2'

4tan'' 2

13 c

Criterio di Mohr-Coulomb: ’1f,’3f = f(’,c’)


Teoria di Rankine

19/42

AAah KcKZcZ

'2

2'

4tan'2

2'

4tan' 2

,

PPph KcKZcZ

'2

2'

4tan'2

2'

4tan' 2

,

assumendo alternativamente:

’1f = ’hp

’3f = ’v0

’1f = ’v0

’3f = ’ha

Si assume che per Z<Zc, ’ha= 0 (terreno nonresistente a trazione), tranne che nel caso incui vi sia adesione tra parete e terreno.OSS. Nella fascia di spessore Zc il terreno saràinteressato da fessure verticali di trazione chepossono riempirsi d’acqua. In tal caso si devetenere conto della corrispondente spintaidrostatica agente al di sopra di Zc

Z

2c’K

2 c’ K

’ (Z)

Z =

S’

S

A

W

ha

C

Ca

a

2/3 (Z - Z )cw

per Z< Zc, dove Zc (profondità critica) è laprofondità per cui ’ha = 0:

Ac K

'c2Z

N.B. La pressione limite attiva in un terreno coesivo può diventare negativa


Teoria di Rankine

20/42

H

2c’K

2 c’ K

’ (Z)

Z =

S’

S

A

W

ha

Ca

a

1/3 (2H+Z )ccw

2)'2(21)()'2(

21 cKHZHKcKHS AcAAA

La spinta attiva SA (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie finoalla generica profondità H > Zc) vale dunque:

ed è applicata alla profondità(baricentro della distribuzionedelle tensioni orizzontali):

)2(31)(

32

cccA ZHZHZZ


Teoria di Rankine

21/42

PPPPP KHHKcSSZS 22,1, 2

1'2)(

)(

32

2)(2,1,

ZS

ZSZSSZ

P

PP

P

Z

2 c’ K

’ (Z)

S’ (1)P

hp

p

2/3 ZZ/2

S’ (2)P

N.B. La pressione limite passiva è sempre positiva.

La spinta passiva SP (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficiefino alla generica profondità H ) vale dunque:

ed è applicata alla profondità(baricentro della distribuzione delletensioni orizzontali):

PPph KcKZcZ

'2

2'

4tan'2

2'

4tan' 2

,

’

u = 0

/4 /4

c

ha

u

O v0 h,a h,p


Teoria di Rankine

22/42

Con riferimento a condizioni non drenate (a breve termine, per terrenicoesivi), come ad esempio nel caso di uno scavo in parete verticale, nonpotendo conoscere le pressioni interstiziali e quindi le tensioni efficaci, ilcriterio di rottura è espresso in tensioni totali:

Le tensioni (totali) limite attiva e passiva diventano rispettivamente:

uah cZ 2,

uph cZ 2,

N.B. Le superfici di rottura sono inclinate di 45° rispetto all’orizzontale e, nelcaso di spinta attiva, la profondità critica vale:

= cu (Criterio di Tresca)

u

cucZ

2


Teoria di Rankine

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Effetto della presenza di strati orizzontaliSi suppone che il deposito sia costituito da strati orizzontali omogenei.La spinta risultante esercitata sulla parete verticale è la somma deicontribuiti di ciascuno strato.

iAiiAiviha KcKZZ ,,101 '2)(')('

1i

1jjj1i0v Hʹ)Z(ʹ

ii1i0vi0v Hʹ)Z(ʹ)Z(ʹ

Per ciascuno strato di spessore Hi, peso di volume i e resistenza al taglio:'' tan' iic

le tensioni efficaci verticali valgono alle estremità di ciascuno strato:

le tensioni efficaci orizzontali limite in condizioni di spinta attiva e passivaagli estremi dello strato valgono:

iAiiAiviha KcKZZ ,,01 '2)(')(' iPiiPivihp KcKZZ ,,0 '2)(')('

iPiiPivihp KcKZZ ,,101 '2)(')('


Teoria di Rankine

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H1 1

H 2

Hi

2

i

i-1

i+1

’ ha

Z

S’A,i

’ (Z )ha i-1

’ (Z )ha i

c , ’i i

c , ’2 2

c , ’1 1

e il diagramma delle pressioni orizzontali può essere: nullo (se le pressioni orizzontali all’estremità sono entrambe nulle), triangolare (se le pressioni sono una negativa e l’altra positiva), trapezio (se le pressioni sono entrambe positive):

H1 1

H 2

Hi

2

i

i-1

i+1

’ hp

Z

S’P,,i

’ (Z )hp i-1

’ (Z )hp i

N.B. Nelle zone di ciascun strato non compresse in direzione orizzontale sidovrà tenere conto della spinta esercitata dall’acqua di percolazione.


Teoria di Coulomb

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TEORIA DI COULOMB

terreno omogeneo ( costante con la profondità) superficie del terrapieno piana, orizzontale ed infinitamente estesa terreno incoerente (c’ = 0) assenza di falda (u = 0, = ’) resistenza al taglio costante e validità del criterio di rottura di Mohr-

Coulomb ( = ’ ·tg ’) parete verticale assenza di attrito tra parete e terreno ( =0) superficie di scorrimento piana

IPOTESI:

È un metodo basato sull’equilibrio globale delle forze in gioco agenti sulcuneo di terreno delimitato dalla superficie di scorrimento sempre conriferimento agli stati limite inferiore e superiore (metodo dell’equilibrio limiteglobale)

Ipotesi removibili


Teoria di Coulomb

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SPINTA ATTIVAForze che agiscono sul cuneo in condizioni di equilibrio limite attivo(ovvero quando la parete si allontana fino al raggiungimento dellacondizione di equilibrio limite inferiore): peso proprio , che agisce in direzione verticale: cotH

21W 2

risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie discorrimento, inclinata di un angolo ’ rispetto alla normale alla superficieAC, con componente tangente diretta verso l’alto, ovvero tale da opporsi almovimento incipiente del cuneo (per il criterio di Mohr-Coulomb) spinta attiva PA, che agisce in direzione orizzontale (per l’ipotesi diassenza di attrito tra parete e terreno).

’W

R

AP

EQUILIBRIO DELLE FORZE

H

H

’

W

RA

A’

B’

B

AP

tan C

C’


Teoria di Coulomb

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Per l’equilibrio è: )('tancot

21)'tan( 2 fHWPA

Tra le soluzioni che si ottengono al variare dell’angolo d’inclinazione delpiano di rottura e che soddisfano l’equazione di equilibrio, si considera lasoluzione massima (trattandosi di uno stato di equilibrio limite inferiore èla prima soluzione che si incontra quando partendo dalla condizione diriposo, la parete si allontana fino al raggiungimento della condizione dispinta attiva):

0

AP 2'

4crit

A222

A KH21

2'

4tanH

21P

COINCIDENTE CON LA SOLUZIONE DI RANKINE

SAS0

K0Insieme delle soluzioni


Teoria di Coulomb

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SPINTA PASSIVA

peso proprio, che agisce in direzioneverticale:

cotH21W 2

risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie discorrimento, che è inclinata di un angolo ’ rispetto alla normale allasuperficie AC, con componente tangente diretta verso il basso, ovverotale da opporsi al movimento incipiente del cuneo (per il criterio di Mohr-Coulomb) spinta passiva PP, che agisce in direzione orizzontale (per l’ipotesi diassenza di attrito tra parete e terreno).

’W

R

PPEQUILIBRIO DELLE FORZE

H

H

’

WR

AA’

B’B

PP

tan

C

C’

Forze che agiscono sul cuneo in condizioni di equilibrio limite passivo(ovvero quando la parete si avvicina fino al raggiungimento dellacondizione di equilibrio limite superiore):


Teoria di Coulomb

29/42

Per l’equilibrio è:

COINCIDENTE CON LA SOLUZIONE DI RANKINE

)('tancot21)'tan( 2 fHWPP

Tra le soluzioni che si ottengono al variare dell’angolo d’inclinazione delpiano di rottura e che soddisfano l’equazione di equilibrio, si considera lasoluzione minima (trattandosi di uno stato di equilibrio limite superiore è laprima soluzione che si incontra quando partendo dalla condizione diriposo, la parete si avvicina fino al raggiungimento della condizione dispinta passiva):

0

PP 2'

4crit

P222

P KH21

2'

4tanH

21P

SPS0

K0 Insieme delle soluzioni


Teoria di Coulomb

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terrapieno delimitato da una superficie inclinata di un angolo sull’orizzontale parete inclinata di un angolo sulla verticale presenza di attrito tra parete e terreno, con coefficiente d’attrito tan

IPOTESI:

Si rimuovono alcune delle ipotesi ma non quella di superficie discorrimento piana:

H

’

W

RAP

Per la condizione di spinta attiva:

AA KHP 2

21

2

2

2

coscos''1coscos

'cos

sensenKA

(+)

(+)

(+)

Ipotesi non soddisfatte da Rankine


Teoria di Coulomb

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Per la condizione di spinta passiva:

PP KHP 2

21

2

2

2

coscos''1coscos

'cos

sensenKP

H

’

W

R

PP


Teoria di Coulomb

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terreno coesivo (c’ ≠ 0) presenza di adesione e attrito tra parete e terreno ( = ca + ’·tg )

IPOTESI:

Nel caso ancora più generale di:

Per la condizione di spinta attiva:

W

A

F

E

B

C’ = c’ BEA a

D

Ca

Zc

C’

AP

’

R

C = c BF

W

Ca

C’

AP

R

La soluzione si trova per via grafica o numerica


Teoria di Coulomb

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TEORIA DI RANKINE E DI COULOMB

La teoria di Coulomb è più versatile della teoria di Rankine, ed è alla basedel più diffuso metodo pseudo-statico di calcolo della spinta in condizionisismiche.Il metodo di Coulomb basato sulle equazioni di equilibrio globale allatraslazione, non consente tuttavia di determinare la quota di applicazionedelle forze in gioco, ma solo modulo, direzione e verso.

Entrambi i metodi ipotizzano superfici di scorrimento piane, ma a causadelle presenza di attrito fra la parete e il terreno:

• le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee• i risultati che si ottengono applicando i metodi derivati dalla teoria di

Rankine e dalla teoria di Coulomb sono spesso non cautelativi

H

Aa)

B

C

DH/3

A’ /4 - ’/2

/2+ ’

PP

/4 + ’/2

/2 - ’

H

H/3

AP

B

D

A CA’b)


Teoria di Caquot e Kerisel

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< 0 > 0

È pertanto opportuno riferirsi al metodo di Caquot e Kérisel (1948)che è il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superficidi scorrimento curvilinee:

TEORIA DI CAQUOT E KERISEL

SPINTA PASSIVA SPINTA ATTIVA



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Soluzione ottenuta per via numerica e riportata in grafici e tabelle in terminidi coefficienti di spinta attiva, KA, e passiva, KP, al variare dell’ angolo :

Esempio: terrapieno orizzontale ( = 0°) e parete verticale ( = 0°)

di resistenza al taglio ’, di attrito parete-terreno , di inclinazione della parete rispetto alla verticale , di inclinazione del piano che delimita il terrapieno rispetto all’orizzontale

KAKP



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|| < ’Effetto dell’angolo d’attrito tra parete e terreno > 0 (spinta attiva) < 0 (spinta passiva)Al crescere di || (fissati e ’) KA varia poco e KP cresce sensibilmente

Effetto dell’angolo d’inclinazione del terrapieno || < ’

Al crescere di (fissati e ’) KA e KP crescono (perché cresce il volumedi terreno interessato dalla rottura)

> 0 (pendio inclinato verso l’alto) < 0 (pendio inclinato verso il basso)

Effetto dell’angolo d’inclinazione della parete

-(/2 – ’) < < (/4 - ’/2)

Al decrescere di (fissati e ’) KA decresce e KP cresce

> 0 (parete inclinata verso monte, cioè verso il terrapieno)

in condizioni di spinta attiva-(/2) < < (/4 + ’/2) in condizioni di spinta passiva

< 0 (parete inclinata verso valle)

|| <



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CONFRONTI TRA LE TEORIE DI COULOMB E CAQUOT E KERISEL

Il metodo di Coulomb impone la forma della superficie di scorrimentopiana: i valori di PA e di PP, rispettivamente ottenuti dalle condizioni dimassimo e di minimo della funzione P() ( angolo tra la superficie dirottura e l’orizzontale) non sono il massimo ed il minimo assoluti (varianocon la forma della superficie di scorrimento).In genere, ipotizzando una superficie di scorrimento curvilinea (Caquot eKérisel):

PA (Coulomb) < PA (Caquot e Kérisel)

PP (Coulomb) >> PP (Caquot e Kérisel)

PA (Coulomb) non è massimoassolutoPP (Coulomb) non è minimoassoluto



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OSSERVAZIONI

2. Nel caso di spinta attiva, nella maggior parte dei casi pratici (ovveroper >0) le differenze sono modeste

3. Nel caso di spinta passiva, invece, le differenze possono esseremolto sensibili

4. In entrambi i casi, essendo in genere la spinta attiva un’azionedestabilizzante e la spinta passiva un’azione resistente, il metodo diCoulomb non è conservativo

1. Le differenze con il metodo di Coulomb, in termini quantitativi, sonotanto più rilevanti quanto più la superficie ipotizzata si discosta daquella piana


Spinta dell’acqua

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SPINTA DOVUTA ALLA PRESENZA DELL’ACQUA Se un terreno è anche solo parzialmente sotto falda, la spinta totale STOTesercitata contro una parete è la somma di due forze:1. la spinta S’ esercitata dal terreno (valutata, come si è visto,

utilizzando le tensioni verticali efficaci)2. la spinta SW esercitata dall’acqua interstiziale (che si calcola

integrando il diagramma delle pressioni interstiziali)

N.B. Con riferimento a condizioni non drenate (a breve termine, perterreni coesivi), come ad esempio nel caso di uno scavo in pareteverticale, possono essere determinate solo la tensione (totale) limiteattiva e passiva e le relative spinte risultanti, Su, che sono comprensiveanche della spinta idrostatica:

STOT = S’ + SW

STOT = Su

N.B. Nell’ipotesi di terreno coesivo, e falda al di sotto della profonditàcritica, la spinta idrostatica deve comprendere anche il contributodell’acqua di infiltrazione

STOT = S’ + SW + SW(inf)


Spinta dell’acqua

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La spinta idrostatica agisce sempre ortogonalmente alla parete e siottiene integrando il diagramma triangolare delle pressioni interstizialia) Nel caso di falda freatica a profondità Zw:

u(Z) = 0 per Z < Zw

u(Z) = w (Z-Zw) per Z ≥ Zw

2www ZZ21)Z(S

)ZZ2(31)ZZ(

31Z)S(Z www

b) Nel caso in cui si consideri anchel’acqua di infiltrazione al di sopra delleprofondità critica nei terreni coesivi :

2cw(inf)w Z

21S

C(inf)w Z32)S(Z

Z 3

(Z-Z )

Sw

w

w

w

wZ

1 (Z + 2Z)

H

2c’K

2 c’ K

’ (Z)

Z =

S’

S

A

W

ha

Ca

a

1/3 (2H+Z )ccw


Spinta dell’acqua

41/42

Se vi è filtrazione sotto e intorno alla parete si deve considerare anche ilcontributo idrodinamico. Si può assumere in prima approssimazione (se ilterreno è omogeneo) che il carico idraulico vari linearmente con laprofondità (altrimenti si deve determinare il reticolo idrodinamico).

hAB = h + k – jL = h + 2d –j – ki = h/L = (h + k – j) / (h + 2d – j – k)

A monte la filtrazione è discendente u si riduce rispetto alla condizione idrostaticaA valle la filtrazione è ascendente u aumenta rispetto alla condizione idrostatica

)1()()1()( ikdijdhu wwb

Al piede della parete (trascurandone lo spessore):

Pressionenetta

A

B


Spinta dell’acqua

42/42

SPINTA DOVUTA ALLA PRESENZA DI UN SOVRACCARICO Una pressione q verticale, uniforme ed infinitamente estesa sulla superficiedi un deposito delimitato da un piano orizzontale produce in ogni punto delsemispazio un incremento costante della tensione verticale ’v0=q ed unincremento costante della tensione orizzontale ’h= K·qcon K coefficiente di spinta.

2q HK

21HqKSSS

applicate rispettivamente alle profondità : Z(Sq) = H/2; Z(S) = 2H/3

q

z

’h

K·q K··z

HLa spinta orizzontale S fino ad una genericaprofondità H può essere calcolata come somma:• dell’area rettangolare di base K·q e altezza H, Sq• dell’area triangolare di base K··H e altezza H, S

− le tensioni verticale ed orizzontali continuanoad essere le tensioni principali,− il diagramma delle tensioni orizzontali ètrapezio,

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