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Corso di GEOTECNICA Docente: Giovanni Vannucchi

Percorsi tensionali1

PERCORSI TENSIONALIPERCORSI TENSIONALILo stato tensionale in un punto di un mezzo continuo solido in condizioni assial‐simmetriche è rappresentato nel piano di Mohr (, ) da un cerchio avente il centro sull’asse delle ascisse.

La successione continua di stati tensionali definisce il percorso tensionale.

2

t

2s

31

31

Posto: Nel sistema di assi cartesiani (s, t) ad un punto corrisponde un cerchio di Mohr

O

A

t

s

a)

1

1

-3)/2

1+

3)/2

b)

1+

3)/2

O

1+

3)/2

A

O

Percorso tensionale



Percorsi tensionali in tensioni efficaci (ESP) e in tensioni totali (TSP):

s = ss = s’’ + u+ u t = tt = t’’

Utilizzando i percorsi tensionali è possibile descrivere la successione continua nel tempo degli stati tensionali totali ed efficaci di un provino di terreno durante l’esecuzione di prove geotecniche assial‐simmetriche

Percorsi tensionali nei piani Percorsi tensionali nei piani ss‐‐t e st e s’’‐‐t per compressione t per compressione isotropaisotropa

(prima fase delle prove (prima fase delle prove triassialitriassiali con consolidazione con consolidazione isotropa)isotropa)

A s,s’

t

B.P.

A’ B’ B



Percorsi tensionali nei piani sPercorsi tensionali nei piani s‐‐t e st e s’’‐‐t per compressione edometricat per compressione edometrica

A

B

s,s’

t

u(t)45°

TSP

s = p

( ) p1+k

( ) p1-k

( ) p1-k 2

2

2

ESP TSP

A’

B’

V’V

k 0 0 0

= arctg[(1-K )/(1+K )]

(T = 0) (T = 0)

0

0 0

0

0

(T = T )c

C

s’ =

t =

s -s’ =

Stati tensionali totale (A) e efficace (A’) prima dell’applicazione del carico

Stati tensionali totale (B) e efficace (B’) al termine della consolidazione

Retta K0: 's

K1K1

t0

0



Percorsi tensionali nei piani sPercorsi tensionali nei piani s‐‐t e st e s’’‐‐t per compressione triassiale drenatat per compressione triassiale drenata

s,s’

t

45°

B.P.

B’

C’ C

B

ESP

TSP



Percorsi tensionali nei piani sPercorsi tensionali nei piani s‐‐t e st e s’’‐‐t per compressione triassiale non drenatat per compressione triassiale non drenata

s,s’

t

45°

B.P.u

B’

a)

C’ C

B

ESP

TSP

s,s’

t

45°

B.P.u

B’

b)

C’ C

B

ESP

TSP

a) Terreno N.C. b) Terreno fortemente O.C.



Parametri invarianti di tensioneParametri invarianti di tensione

32131p tensione media totale:

tensione media efficace:

tensione deviatorica:

up'''31'p 321

5,0213

232

221

21'qq

per 2 = 3 divengono:

tensione media totale:

tensione media efficace:

tensione deviatorica:

32p 31

up32'p

'3

'1

'3

'131'qq



Relazioni biunivoche tra i parametri s, sRelazioni biunivoche tra i parametri s, s’’, t e i parametri p, p, t e i parametri p, p’’, q, q

3tsp

3t's'p

t2q

6qps

6q'p's

2qt


Stato critico8

Parametri utilizzati nella teoria dello stato criticoParametri utilizzati nella teoria dello stato critico

Parametri di tensione: p, p’, q

Deformazione assiale:

Deformazione radiale:

Deformazione volumetrica:

Deformazione deviatorica o distorsione:

La deformazione deviatorica è definita nel modo soprascritto affinché valga la relazione:

01a H

H

03r D

D

031rav V

V22

31ras 32

32

sv3'32

'21

'1 dqd'pddd


Stato critico9

Volume specifico: )e1(VVv

S

Vale la relazione:00

v vdv

e1ded


Stato critico10

Percorso di carico di compressione (e decompressione) isotropa drenata nei piani p’‐q e p’‐v

p’

q

p’

v

B

A

A

C

C

D

DB


Stato critico11

Curva sperimentale (a) e curva schematizzata (b) del percorso di carico di compressione (e decompressione) isotropa drenata nel piano semi‐logaritmico ln p’‐v

ln p’

v

B

A

a)

C

D

p’ (ln)

v

1

11

-

-

N

vB

A

b)

C

c

D

p’

Ipotesi semplificativa: si trascura il (piccolo) ciclo di isteresi nel percorso scarico‐ricarico e si assume comportamento elastico


Stato critico12

ABD = linea di consolidazione normale (NCL)

0q)'pln(v

BCB = una delle infinite linee di scarico‐ricarico (URL)

0q)'pln(vv

p’c = pressione di consolidazione

Dalla condizione di appartenenza del punto B alla NCL ed alla URL

'cplnv

vexpp'c


Stato critico13

Rapporto di sovraconsolidazione isotropo:'0

'c

0 pp

R

OCRK21K21

ROC0

NC0

0

Relazione fra R0 e OCR:

I risultati sperimentali possono essere riprodotti da un modello elastico‐non lineare – plastico a incrudimento positivo


Stato critico14

p’(ln)

v

1

11

-

-

N

v 1

B1

A

C1

p’c 1

1-

1-

B2

B3

C2

C3

v 2

v 3

p’c 2

p’c 3

Schematizzazione di un percorso di carico isotropo drenato con piùcicli di scarico‐ricarico a pressione di consolidazione crescente


Stato critico15

Pressione efficace media equivalente, pPressione efficace media equivalente, p’’e e

La pressione efficace media equivalente di un elemento di terreno A caratterizzato dai parametri p’A, qA e vA è la pressione p’eA del punto sulla linea di consolidazione normale (NCL) avente volume specifico vA

p’(ln)p’

v

1-

N

v AA

A

A

A

A eA

eA

NCL

p’ p’

v

q

q

v

A

NCL

p’ p’

a) b)

A'eA

vNexpp

p’e non varia nei percorsi tensionali non drenati


Stato critico16

Linea KLinea K00 (compressione edometrica) (compressione edometrica)

Dalle condizioni al contorno:

)K1(q;K213

'p

K

;0

0'10

'1

'10

'3

'2

1v32

ad ogni incremento di carico:


Stato critico17

Se il terreno è N.C., K0 è costante e il percorso tensionale nel piano p’‐q èrettilineo (linea K0).

'pm'p

K21

K13q

0K0

0


Stato critico18

In condizioni di scarico tensionale il terreno diviene sovraconsolidato e il coefficiente di spinta a riposo K0(OC) aumenta al diminuire della tensione verticale efficace, ovvero all’aumentare di OCR

K0(OC) ≈ K0(NC) OCRK0(NC) ≈ 1 ‐ sen’

≈ 0.5


Stato critico19

Nel piano p’‐v il percorso tensionale è del tutto simile a quello della compressione isotropa e, analogamente ad esso, può essere schematizzato nel piano semilogaritmico con tratti rettilinei definiti dalle equazioni:

'plnNv 0 linea di compressione edometrica vergine

'plnvv0K linee di scarico‐ricarico

edometriche

p’(ln)

v

1

11

-

-

N0

c,edo

K0vB

A

Linea K0

C

D

p’Linea NCL

N

La proiezione della linea K0 sul piano lnp’–v èparallela alla linea NCL


Stato critico20

p’(ln)

v

1

11

-

-

N0

c,edo

K0vB

A

Linea K0

C

D

p’Linea NCL

N

Le proiezioni delle linee di scarico‐ricarico edometriche (URLK0) e isotrope (URL) sul piano lnp’–v sono parallele

Dalla condizione di appartenenza del punto B alla linea K0 e alla URLK0

'edo,c0K plnv

0

0K0'

edo,c

vexpp

303,210lnCs

303,210lnCc


Stato critico21

Le linee NCL e KLe linee NCL e K00 nello spazio pnello spazio p’’ ‐‐ q q ‐‐ vvq

p’ 1

Linea K0

Linea NCL

v

Linea NCL

q = 0

v = N – lnp’

Linea K0

q = mK0 p’

v = N0 – lnp’

0

0K21K13


Stato critico22

Compressione triassiale drenata di argilla N.C. (prova Compressione triassiale drenata di argilla N.C. (prova TxCIDTxCID) )

A

B

a) b)

c)

B

q

p’

v

a

A

A

B

B

q

31

p’

v

p’c

p’f

qf

a

a

baq

La curva sperimentale a – q è ben rappresentata dall’equazione iperbolica:

Percorsi tensionali di compressione drenata su un provino di argilla N.C


Stato critico23

A = A = A1 2 3

A1

A1

B1 B1

a) b)

c)

q

p’

v

a

q

p’

NCLCSL

CSL

v

M1

qf1

qf2

qf3B2

B3

B 1

B1

p’c1

A2

A2

B2

B2

A3

A3

B3

B3p’f3

p’c2p’c3

p’f2p’f1

vf1vf2vf3

B 2

B3

Risultati di prove TxCID su provini della stessa argilla N.C. consolidati a pressioni diverse


Stato critico24

OSSERVAZIONIOSSERVAZIONI

‐ Le tre curve a – q hanno la stessa forma e, normalizzate rispetto alla pressione di consolidazione p’c, sono (quasi) coincidenti,

‐ la deformazione volumetrica durante la compressione assiale aumenta al crescere della deformazione assiale e della pressione di consolidazione,

‐ i punti B rappresentativi dello stato finale dei tre provini giacciono su una linea, detta di Stato Critico (CSL)Stato Critico (CSL) la cui equazione è:

qf = M∙p’f

vf = ‐ ·ln(p’f)

q

p’ 1

M

CSL

NCL

v


Stato critico25

La relazione: qf = M p’fequivale al criterio di rottura di Mohr‐Coulomb: f = ’n – tan’

con ’ = ’cscondizione di stato critico (al crescere di a rimangono costanti q e v)

'r

'2

'3

'a

'1

quindi

f

'r

'a

f

'3

'1'

f

f'r

'af

'3

'1f

32

32p

q

ed essendo:'cs

'cs

f'3

'1

sen1sen1

si ha:

Se il provino è portato a rottura per compressione assiale:


Stato critico26

2sen1sen1

1sen1sen1

3

2/1/3

23

pq

MM

cs

cs

cs

cs

f'r

'a

f'r

'a

f'r

'a

f'r

'a

'f

fc

'

cs

'cs

f'cs

'cs

'cs

'cs

sen3sen6

sen22sen1sen1sen13

c

c'cs M6

M3sen


Stato critico27

Se il provino è portato a rottura per estensione assiale, incrementando la tensione radiale a tensione assiale costante (procedura non usuale):

'a

'3

'r

'2

'1

f

'a

'r

f

'3

'1'

f

f'a

'rf

'3

'1f

32

32p

q

'

cs

'cs

f'r

'a

f'a

'r

'f

fe sen3

sen62

3pqMM

e

e'cs M6

M3sen

p’

q CSL

CSL

Mc

Me

1

(a)

(b)

1

Mc > Me


Stato critico28

Il percorso tensionale nello spazio p’‐ q – v durante la fase di compressione drenata si svolge su un piano detto piano drenato

q

A

A’

B’

Bp’ 13

CSLPiano drenato

NCL

v

q

p’ 1

M

CSL

NCL

v


Stato critico29

Compressione triassiale non drenata di argilla N.C. (prova Compressione triassiale non drenata di argilla N.C. (prova TxCIUTxCIU) )

A

B

TSPES

P

a) b)

c)

B

NCL

q

p,p’

u

uf

uf

a

A

A’

B

q

31

p’

v

pc

pf

qf

B’

B’

A’p’

cp’

f

u0

u0

Percorsi tensionali di compressione non drenata su un provino di argilla N.C


Stato critico30

Risultati di prove TxCIU su provini della stessa argilla N.C. consolidati a pressioni diverse

TSP 3

ESP3

A = A = A1

2 3

A1 A

2

B’1

B’2

B’3

A’1

A’2

A’1B’

1

a) b)

c)

q

p,p’a

q

p’

NCLCSL

CSL

v

M1

qf 1

qf 2

qf 3

B1

p’f 3

v0 1

B2

B3

u

uf 1

uf 2

uf 3

uf 2

uf 3

B1

B1

B2

B2

B3

B3

A’2

A’3

B’2

B’3

A3

A’3

v0 2

v0 3

p’f 2

p’f 1

uf 1


Stato critico31


o la tensione deviatorica q cresce progressivamente con la deformazione assiale a fino ad un valore massimo qf e poi si mantiene circa costante,

o la deformazione avviene a volume costante (v = 0) e con progressivo incremento della pressione interstiziale (u) fino ad un valore massimo, uf, crescente con la pressione di consolidazione,

o i percorsi tensionali totali (TSP) sono rettilinei ed hanno pendenza 3:1,

o i percorsi tensionali efficaci (ESP) sono curvilinei ed hanno la stessa forma,

o la distanza tra ESP e TSP rappresenta la pressione interstiziale u,

o i punti rappresentativi dello stato tensionale efficace iniziale (A’) sono sulla linea di consolidazione normale (NCL),

o i punti rappresentativi della condizione di rottura (B’) sono sulla linea di stato critico (CSL).


Stato critico32

Il percorso tensionale nello spazio p’‐ q – v durante la fase di compressione non drenata si svolge su un piano detto piano non drenato

q

A

A’

B’

Bp’

CSL

ESP

Piano non drenato

NCL

v


Stato critico33

In prova TxCIU su provino saturo non si hanno variazioni di volume, pertanto:

'ff0 plnvv

0'f

vexpp

0'ff

vexppq

ovvero

e

0fu

vexp

22qc

La resistenza al taglio di una data argilla in condizioni non drenate, cu, dipende dal suo volume specifico, ovvero dal contenuto in acqua essendo:

v = 1 + e = 1 + Gs w


Stato critico34

q

p’

CSLSuperficie di Roscoe

NCL

v

Tutti i percorsi tensionali efficaci, di prove drenate e non drenate, che dalla linea di consolidazione normale (NCL) pervengono alla linea di stato critico (CSL) giacciono su una superficie nello spazio p’ ‐ q ‐ v, detta Superficie di Roscoe, che limita il dominio degli stati tensionali possibili


Stato critico35

Compressione triassiale drenata di argilla Compressione triassiale drenata di argilla O.C.O.C. (prova (prova TxCIDTxCID) )

A

A

D

D

B

B

C

C

a) b)

d)

q

p’

v

a

A

A

B

C = D

B

C

D

qESP

31

p’

v

p’0

p’0

p’f

p’f

qf

qf

a

qc s

qc s

p’c

vD

vA

vB

vC

c)


Stato critico36

o la condizione di rottura (punto B ‐ qf) non coincide con la condizione di stato critico (punto C ‐ qcs),

o Il volume del provino prima diminuisce, poi aumenta, supera il valore iniziale e si stabilizza,

o la curva a‐v presenta tangente orizzontale (dv/da = 0) nei punti C e D che corrispondono al valore q = qcs, e un flesso (dv/da)max nel punto B che corrisponde a q = qf.,

o la proiezione del percorso tensionale efficace (ABC) nel piano p’‐q ha pendenza 3:1,

o nel tratto AB fino alla rottura il percorso è ascendente, nel tratto BC èdiscendente,

o nel piano p’‐v il punto A rappresentativo dello stato iniziale si trova su una curva di scarico‐ricarico,

o la proiezione del percorso tensionale efficace (ABC) nel piano p’‐v ha tangente orizzontale nei punti C e D.



Stato critico37

a)

b)p’

q

p’

NCL

URL

CSL

CSL

v

M

Linea di inviluppoa rottura

m

q

1

1

A2

A2

A1

A1

B2

B2B

1

B1

C1

C1

A3

A3

B3

B3

p’c

p’0 2

p’0 1

D1

D1

Risultati di prove TxCID su provini della stessa argilla con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa e linee di inviluppo a rottura

A1 – provino fortemente sovraconsolidato (sotto la CSL nel piano p’‐v),

A2 – provino debolmente sovraconsolidato (sotto la NCL ma sopra la CSL nel piano p’‐v),

A3 – provino normalmente consolidato (sulla NCL nel piano p’‐v),


Stato critico38

a)

b)p’

q

p’

NCL

URL

CSL

CSL

v

M


m

q

1

1

A2

A2

A1

A1

B2

B2B

1

B1

C1

C1

A3

A3

B3

B3

p’c

p’0 2

p’0 1

D1

D1

un provino fortemente sovraconsolidato (A1) ha un deviatore a rottura (qf) molto maggiore del deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento dilatante(aumento di volume),

un provino debolmente sovraconsolidato (A2)ha un deviatore a rottura (qf) poco maggiore o eguale al deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento contraente(diminuzione di volume),

oun provino normalmente consolidato (A3) ha un deviatore a rottura (qf) eguale al deviatore allo stato critico (qcs), e manifesta un comportamento contraente (diminuzione di volume),


Stato critico39

a)

b)p’

q

p’

NCL

URL

CSL

CSL

v

M


m

q

1

1

A2

A2

A1

A1

B2

B2B

1

B1

C1

C1

A3

A3

B3

B3

p’c

p’0 2

p’0 1

D1

D1

La linea inviluppo a rottura per i terreni sovraconsolidati:

'pmqq ff

rappresenta il luogo dei punti di rottura per le argille sovra‐consolidate e corrisponde nello spazio p’‐ q ‐ v ad una superficie piana detta Superficie di Superficie di HvorslevHvorslev.


Stato critico40

OO’c’

c’ ctg ’1

1

R

’’

inviluppo di rottura

C ’3

3

’

( ’ + ’ )/2

Inviluppo a rottura per argilla O.C.

'tan'c 'nf

ovvero

'sen'gcot'c

221 f

'3

'1

f'3

'1


Stato critico41

'pmqq ff qf = (’1 – ’3)fessendo: p’f = (’1 + 2’3)f / 3

3

2mq f

'3

'1

f'3

'1

m3

q3m3m23

f'3f

'1

risulta:

ovvero: 'sen'gcot'c

221 f

'3

'1

f'3

'1

'cos'c2'senf'3

'1f

'3

'1

e quindi:

'sin1'cos'c2

'sin1'sin1

f'3f

'1


Stato critico42

eguagliandom3

q3m3m23

f'3f

'1

e

'sin1'cos'c2

'sin1'sin1

f'3f

'1

si ottiene:'sin1'sin1

m3m23

'sin1'cos'c2

m3q3

da cui:'sin3

'sin6m

'sin3'cos'c6q

e


Stato critico43

Compressione triassiale non drenata di Compressione triassiale non drenata di argilla argilla O.C.O.C. (prova (prova TxCIUTxCIU) )

A

a) b)

d)

q

+

+

-

-

p,p’

u

aAA’

A’

BB’

B’

q

TSP

ESP

ESP

NCL

URL

3u

u u0

1

p’

v

p0

u0ufuf

p’0

p’0 p’f

a

qcsqcs

p’c

v0

c)

o la curva a‐q èmonotona (non presenta un picco),

o l’incremento di pressione interstiziale u èinizialmente positivo, poi diviene negativo (comportamento duale della curva a‐v della prova TxCID).


Stato critico44

a)

b)

p,p’

q

p’

NCL

URL

CSL

CSL

v

MLinea di inviluppo

a rottura

m

q

1

1

A2

A2

A1

A1 B

2

B2

B1

B1

A3

A3

B3

B3

p’c

OCR = p’1 c

/p’ = 60 1

p’0 2

p’0 1

OCR = p’2 c

/p’ = 1.50 2

OCR 3

= 1

A1 provino fortemente sovraconsolidato

A2 provino debolmente sovraconsolidato

oA3 provino normalmente consolidato

tre provini della stessa argilla satura con differenti rapporti di sovraconsolidazione isotropa portati a rottura in condizioni non drenate


Stato critico45

AA

BE

D

F

D

E F

C

C E

a) b)q

p,p’a

A

D BC

F

q

NCLCSL

URL

p’

v

MCSL

m

1

1

p’0

p’0

qc s u

qc s

p’c

v0

c)

qf

qf u

BC

Confronto fra i percorsi tensionali efficaci di due provini della stessa argilla egualmente sovraconsolidati e sottoposti a rottura in condizioni drenate (TxCID) e non drenate (TxCIU)


Stato critico46

a)

b)p’

q

p’

NCLCSL

CSL

v

M1

A2

BC

BC

A2

A1

A1

A3

A3

Percorsi tensionali efficaci di tre provini della stessa argilla con differente rapporto di sovra consolidazione isotropa ed eguale volume specifico iniziale portati a rottura in condizioni non drenate


Stato critico47

q

Rappresentazione nello spazio p’‐q‐ v delle tre superfici (di Roscoe, di Hvorsleve del piano limite di rottura per trazione) che assieme formano la Superficie di StatoSuperficie di Stato, la quale delimita il volume degli stati di tensione possibili.


Modello CCM48

MODELLO CAM CLAY MODIFICATO (CCM) MODELLO CAM CLAY MODIFICATO (CCM)

Il modello Cam Clay Modificato è un modello matematico che viene utilizzato per la previsione quantitativa del comportamento dei terreni e che si basa sulle definizioni di dominio elastico e curva di plasticizzazione.

q

p’

CSLSuperficie di Roscoe

Superficie di Hvorslev

Pareteelastica

NCL

URL

v

Si definisce parete elastica (o dominio elastico) nello spazio p’‐q‐v una superficie cilindrica avente come direttrice una linea di scarico‐ricarico (URL) e come generatrice una retta parallela all'asse q, limitata dalla superficie di stato.

Un punto appartenente ad una parete elastica può muoversi liberamente su di essa provocando solo deformazioni elastiche.


Modello CCM49

q

p’

CSL

NCL

A

B

B’

C

C’

v

Un punto appartenente ad una parete elastica può spostarsi su un'altra parete elastica solo raggiungendo prima la superficie limite e muovendosi anche su di essa.

Nel percorso sulla superficie limite si producono deformazioni plastiche


Modello CCM50

q

A

B C

p’

CSLPiano non drenato

Parete elasticaNCLURL

v

Percorso tensionale efficace in prova TxCIU di un provino di argilla isotropicamentesovraconsolidato

AB = percorso elastico (verticale), non varia p’ → non variano K e G → elasticità lineare

BC = percorso elasto‐plastico

Percorso non drenato (v = cost.) Percorso non drenato (v = cost.)


Modello CCM51URL

q

A

B

Cp’ 13

CSL

Piano drenato

NCL

v

Parete elastica

Percorso tensionale efficace in prova TxCID di un provino di argilla isotropicamentesovraconsolidato

AB = percorso elastico, varia p’ → variano K e G →elasticità non lineare

BC = percorso elasto‐plastico)

Percorso drenato (Percorso drenato (qq//pp’’ = 3)= 3)


Modello CCM52

Curva di plasticizzazioneCurva di plasticizzazione

Nello spazio delle tensioni esiste una curva, detta di curva di plasticizzazione, che separa gli stati di tensione che producono risposte elastiche dagli stati di tensione che producono risposte elasto‐plastiche.

Nel modello CCM tale curva è rappresentata da un’ellisse F di equazione:

0M

qp'p'pF

2

2'c

2

p’'

qM

p’c

1

0

L’asse maggiore dell’ellisse corrisponde alla pressione di preconsolidazione p’c , l’asse minore vale M∙p’c / 2

V


Modello CCM53

La proiezione del punto V sul piano p’‐v corrisponde all’intersezione tra il ramo di carico‐scarico relativo alla pressione di consolidazione p’c e la linea CSL.

00

p' (kPa)

q (k

Pa)

20

p' (kPa)

v ( -

)

V

V

Curva di plasticizzazione

CSL

CSL

NCL

URL

Da tale condizione segue la relazione fra i parametri di stato critico per il modello CCM:

ln


Modello CCM54

q

Mc

A

V

A - Stato di tensione elasticoB - Inizio della plasticizzazioneC - Stato elasto-plastico

BC Curva di plasticizzazione

iniziale

Curva di plasticizzazioneespansa

p’p’ /2c p’c

Se lo stato di tensione di un elemento di terreno è rappresentato da un punto interno alla curva di plasticizzazione iniziale (ad es. punto A di Figura) la risposta del terreno è elastica.

Se lo stato di tensione è rappresentato da un punto sulla curva di plasticizzazione iniziale (ad es. punto B) ogni incremento di tensione che comporti un movimento verso l’esterno della curva èaccompagnato da deformazioni elasto‐plastiche e da un’espansione della superficie di plasticizzazione.

Se il percorso dal punto C si muove verso l’interno vi saranno deformazioni elastiche, poiché la curva di plasticizzazione si è espansa e la regione elastica è divenuta più grande.


Modello CCM55

ESP

CSL

13

a) b)

d)

q

p’ 1

q

v

qf qf

c)A

B

C

E

F

D

C

B

A

F

p’0 p’f

A AB

BC C

F F

D

E

p’

v

vfp’c

NCLCSL

1

V

V

Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCID su un provino di argilla debolmente sovraconsolidato


Modello CCM56

TSP

CSL

13

a) b)

d)

q

p’,p 1

q

qf

qf

c)A

BC

F

u0

F

F

ED

CB

A

p’0p’f

A

A

BB C F

C DE

p’

v

v = vA f

p’c

NCLCSL

1

u

Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCIU su un provino di argilla debolmente sovraconsolidato


Modello CCM57

ESP

CSL

13

a) b)

d)

q

p’ 1

q

qfqcs

c)A

B

C

F

F

F

D

C

B

A

p’0

A

A

B

BC

F

CD

p’

v

p’c

NCLCSL

1

v

p’ /2c

Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCID su un provino di argilla fortemente sovraconsolidato


Modello CCM58

TSP

ESP

CSL

13

a) b)

d)

q

p’,p 1

q

qfq

c s

c)

B

B

C

C

F

F

F

F

D

B

A

C

p’0

A

A

C B

B

C

F

D

p’

v

p’c

NCLCSL

1

u

uc s

uc s

uf

uf

p’ /2c

A u0

Risultati previsti dal modello CCM di una prova TxCIU su un provino di argilla fortemente sovraconsolidato


Modello CCM59

Il calcolo delle deformazioniIl calcolo delle deformazioni

Le deformazioni volumetricheL’incremento di deformazione volumetrica totale dv può in generale essere scomposto in due parti: la prima elastica (reversibile) dve e la seconda plastica (irreversibile) dvp

pv

evv ddd

ESP

CSL

s

v

pp

p

s

v

q,

p’,A

BC

F

E1

3D

O

dd

d

p’ p’

AB

C

F

D

E

p’

v NCL

CSL

0 c

Consideriamo un provino di terreno isotropicamente consolidato in cella triassiale ad una pressione efficace media p’c e quindi decompresso isotropicamente fino alla pressione media efficace p’0, come rappresentato dal percorso tensionale ODA in Figura.


Modello CCM60

ESP

CSL

s

v

pp

p

s

v

q,

p’,A

BC

F

E1

3D

O

dd

d

p’ p’

AB

C

F

D

E

p’

v NCL

CSL

0 c

La curva di plasticizzazione iniziale èl’ellisse che ha per asse maggiore il segmento OD.

Il provino venga poi sottoposto a compressione assiale drenata (TxCID).

Il suo ESP inizia nel punto A ed èrettilineo con pendenza 3:1.

Fino a quando il percorso tensionale non raggiunge il punto B, e quindi èinterno alla curva di plasticizzazione iniziale, il comportamento è elastico.

Dal punto B il terreno inizia ad avere deformazioni elasto‐plastiche.


Modello CCM61

ESP

CSL

s

v

pp

p

s

v

q,

p’,A

BC

F

E1

3D

O

dd

d

p’ p’

AB

C

F

D

E

p’

v NCL

CSL

0 c

Consideriamo l’incremento di tensione corrispondente al tratto BC dell’ESP.

Esso produce un’espansione della superficie di plasticizzazione come mostrato in Figura.

La variazione (negativa) di volume specifico totale del provino per tale incremento di tensione vale:

dv = (vC – vB) =

= (vC – vE) + (vE – vD) + (vD – vB)

in cui:


Modello CCM62

ESP

CSL

s

v

pp

p

s

v

q,

p’,A

BC

F

E1

3D

O

dd

d

p’ p’

AB

C

F

D

E

p’

v NCL

CSL

0 c

dv = (vC – vB) =

= (vC – vE) + (vE – vD) + (vD – vB)

'

C

'E

EC pplnvv

'

E

'D

DE pplnvv

'

D

'B

BD pp

lnvv


Modello CCM63

Per passare dall’incremento di volume specifico all’incremento di deformazione volumetrica si utilizza la relazione: dv = ‐ dv/v0.

L’incremento di deformazione volumetrica elastica può essere calcolato con la relazione:

dve = ‐dp’/K’

Poiché le costanti elastiche (modulo di deformazione cubica K’, modulo di Young, E’, e modulo di taglio, G) non sono costanti ma proporzionali allapressione media efficace p’, il valore di K’ da utilizzare è quello che corrisponde al valore medio di p’ m nell’intervallo dp’, ed è dato dall’equazione:

0'm vp

'K


Modello CCM64

L’incremento di deformazione volumetrica plastica si ottiene per differenza:

dvp = dv ‐ dve

In condizioni non drenate, essendo zero la deformazione volumetrica totale, risulterà :

dve = ‐ dvp


Modello CCM65

Le deformazioni deviatoriche

ESP

CSL

s

v

pp

p

s

v

q,

p’,A

BC

F

E1

3D

O

dd

d

p’ p’

AB

C

F

D

E

p’

v NCL

CSL

0 c

Hp.:

per un generico incremento di tensione (dp’, dq) l’incremento di deformazione plastica è un vettore con direzione normale alla curva del potenziale plastico,

e che quest’ultima coincida con la curva di plasticizzazione F

(ipotesi di normalità – legge di flusso associata)


Modello CCM66

ESP

CSL

s

v

pp

p

s

v

q,

p’,A

BC

F

E1

3D

O

dd

d

p’ p’

AB

C

F

D

E

p’

v NCL

CSL

0 c

Per determinare la direzione normale alla curva di plasticizzazione si differenzia l’equazione della curva di plasticizzazione F rispetto alle variabili p’ e q:

0Mdqq2'dpp'dp'p2dF 2

'c

da cui si ricava la direzione tangente alla curva:

q2

M'p2p'dp

dq 2'c


Modello CCM67

ESP

CSL

s

v

pp

p

s

v

q,

p’,A

BC

F

E1

3D

O

dd

d

p’ p’

AB

C

F

D

E

p’

v NCL

CSL

0 c

e quindi la direzione normale alla curva:

2'c Mp'p2q2

dq'dp

L’incremento di deformazione plastica totale dp ha due componenti:

l’incremento di deformazione volumetrica plastica dvp , di cui abbiamo detto come calcolare il valore, e

l’incremento di deformazione deviatorica plastica dsp.


Modello CCM68

ESP

CSL

s

v

pp

p

s

v

q,

p’,A

BC

F

E1

3D

O

dd

d

p’ p’

AB

C

F

D

E

p’

v NCL

CSL

0 c

Il rapporto fra la componente deviatorica e la componente volumetrica è la direzione del vettore incremento di deformazione plastica totale, ovvero la direzione normale alla curva di plasticizzazione, dunque:

'c

2pv

pS

p'p2Mq2

dd

dq'dp

da cui:

pv'

c2

ps d

p'p2Mq2d


Modello CCM69

La componente elastica dell’incremento di deformazione deviatorica può essere calcolata con la teoria dell’elasticità:

G3dqd e

s

Il valore di G da utilizzare è quello che corrisponde al valore medio di p’:

)1(2)21(vp3

G 0'm

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