Politecnico di Milano Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio

Insegnamento di Geotecnica 1 con Laboratorio prof. Cristina Jommi

Raccolta di esercizi tratti dai vecchi temi d’esame e classificati per argomenti a cura di Carlo Pretara – luglio 2006

Indice

CLASSIFICAZIONE DEI TERRENI .............................................................................................3

Soluzioni degli esercizi sulla classificazione dei terreni ................................................................................................. 5

FILTRAZIONE................................................................................................................................10

Soluzioni degli esercizi sulla filtrazione ........................................................................................................................ 29

STATO DI SFORZO GEOSTATICO ...........................................................................................58

Soluzione degli esercizi sullo stato di sforzo geostatico................................................................................................ 65

PROVE PER LA DETERMINAZIONE DELLE CARATTERISTICHE MECCANICHE ...73

Prove edometriche ........................................................................................................................................................... 73

Prove di taglio .................................................................................................................................................................. 79

Soluzione degli esercizi sulle prove di taglio ............................................................................................................ 85

Prove triassiali ................................................................................................................................................................. 89

Soluzione degli esercizi sulle prove triassiali ........................................................................................................... 99

CONSOLIDAZIONE.....................................................................................................................103

Soluzione degli esercizi sulla consolidazione .............................................................................................................. 118

SPINTE SU PARETI.....................................................................................................................126

Soluzione degli esercizi sulle Spinte su pareti............................................................................................................. 129

Classificazione dei terreni Esercizio 1 Due campioni di sabbia vengono preparati in laboratorio utilizzando le medesime procedure e consolidati isotropicamente alla stessa pressione isotropa efficace. Il campione A ha grani arrotondati di dimensioni uniformi. Il campione B è granulometricamente ben assortito e ha grani a spigoli vivi. a) quale campione avrà l’indice dei vuoti, e, più alto a fine compressione isotropa? b) quale campione avrà maggiore resistenza al taglio? Esercizio 2 Di un campione di limo argilloso vengono forniti i seguenti valori per le proprietà indice: peso specifico delle particelle solide γs = 2.72 g/cm3 peso dell’unità di volume totale γtot = 1.40 g/cm3 indice dei vuoti e = 1.000 grado di saturazione Sr = 0.85 contenuto in acqua w = 31.25% uno dei valori forniti è inconsistente con gli altri; dire quale, e darne il valore corretto. determinare la porosità n del campione. determinare il valore del peso dell’unità di volume dello stesso campione in condizioni secche γd e in condizioni sature γsat . Esercizio 3 Un campione di sabbia (a) secca di peso Ps = 750 g, contenuta in un cilindro di volume V0 = 500 cm3, viene assoggettato a un incremento di sforzo pari a 200 kPa, e subisce una variazione di volume ΔV1 = 1%. Un identico campione di sabbia (b), sottoposto ad addensamento per vibrazione, mostra una diminuzione di volume ΔV2 = 10%. Il peso specifico delle particelle solide è pari a γs = 2.65 g/cm3. Si calcolino la porosità n e il peso dell’unità di volume γd dei due campioni originali (uguali fra loro), del campione (a) dopo l’applicazione del carico, e del campione (b) dopo vibrazione. Esercizio 4 Un campione di terreno è caratterizzato da un contenuto in acqua pari a w = 25 %, una porosità n = 0,46 ed un peso di volume dei costituenti solidi γs = 29,6 kN/m3. Si determinino il grado di saturazione Sr ed il peso totale γtot del campione. Esercizio 5 Un provino cilindrico di terreno completamente saturo (Sr = 1) di sezione A =100 cm2 viene sottoposto ad una prova di compressione in condizioni edometriche. Il provino ha una altezza iniziale di H0 =3,81 cm e un contenuto in acqua w0 = 31,40%. Al termine della prova la variazione di altezza è pari a ΔH = - 0,762 cm e il contenuto in acqua risulta wf =17,84%. Si misura il peso del provino in condizioni secche, che risulta pari a Ps = 561,8 g. Determinare:

a) il peso specifico dei grani γs; b) l’indice dei vuoti, e, nelle condizioni iniziale e finale. Esercizio 6 Uno strato superficiale di terreno, inizialmente non saturo, raggiunge, a seguito di una pioggia intensa, le condizioni di totale saturazione (Sr = 1) con w = 22.8%. Sapendo che per il terreno in oggetto γs = 27 kN/m3, valutare: l’indice dei vuoti nelle condizioni sature; il peso totale di volume nelle condizioni sature; il peso di volume immerso. Esercizio 7 Un terreno limo-argilloso, compattato all’ottimo, ha un peso di volume allo stato secco γd = 15.5 kN/m3. Il suo contenuto in acqua è pari a w = 24%. Il peso specifico delle particelle solide è stato determinato in laboratorio e risulta γs = 26.5 kN/m3. Si determini: il grado di saturazione Sr del materiale compattato all’ottimo; l’indice dei vuoti, e; il peso di volume del terreno γsat saturato a indice dei vuoti costante; se il terreno durante la fase di saturazione rigonfiasse, il peso di volume in condizioni sature sarebbe maggiore o minore del precedente? Esercizio 8 La costruzione di un rilevato viene effettuata compattando un limo argilloso e sabbioso con un contenuto in acqua pari a w = 26.5% in modo da raggiungere un indice dei vuoti pari a e = 0.786. Sapendo che il peso specifico delle particelle solide è γs = 2.71 g/cm3, determinare il grado di saturazione Sr del terreno compattato; il peso per unità di volume totale, γtot; il peso dell’unità di volume del terreno in condizioni secche γd (Sr = 0). Domanda 1 Dare la definizione di peso di volume totale, peso di volume immerso e peso specifico delle particelle solide.

Soluzioni degli esercizi sulla classificazione dei terreni Esercizio 2 Ricordando che

3

3

2.72 / 2.721 /

s

w

g cmGsg cm

γγ

= = = (1)

ed essendo noti dai dati del problema i valori del grado di saturazione Sr, dell’indice dei vuoti e, e del contenuto in acqua w, è possibile facilmente verificare che risulta soddisfatta la relazione:

Sr e Gs w⋅ = ⋅ (2)

in quanto

0,85 1 2.72 0.31250.85 0.85

⋅ = ⋅=

(3)

Conseguentemente il valore inconsistente è quello del peso dell’unità di volume totale γtot. Poiché:

( )1tot s wn n Srγ γ γ= − + (4)

e

0.51

ene

= =+

(5)

si ricava

( ) 31 0.5 2.72 0.5 0.85 1 1.785 /tot g cmγ = − ⋅ + ⋅ ⋅ = (6)

La valutazione del peso dell’unità di volume in condizioni secche e in condizioni sature avviene impiegando la relazione (4), ove si sostituisce rispettivamente 0Sr = :

( ) 31 0.5 2.72 0.5 0 1 1.36 /d g cmγ = − ⋅ + ⋅ ⋅ = (7)

e 1Sr = :

( ) 31 0.5 2.72 0.5 1 1 1.86 /d g cmγ = − ⋅ + ⋅ ⋅ = (8)

Esercizio 3 La porosità n del terreno è data da:

v t s

t t

V V VnV V

−= = (9)

avendo indicato con pedice t, v, s, rispettivamente il volume totale, della parte solida e dei vuoti. Il volume della parte solida dei due campioni risulta essere il medesimo (i due campioni sono perfettamente identici) e può essere calcolato mediante:

3750 2832.65

ss

s

PV cmγ

= = = (10)

Nelle condizioni iniziali il volume totale dei due campioni è pari a V0 e conseguentemente:

00

0

500 283 0.434500

sV VnV− −

= = = (11)

Il peso dell’unità di volume si può quindi calcolare attraverso la (4), ricordando che il campione è secco ( 0Sr = ):

( )0

31 0.434 2.65 1.5 /d g cmγ = − = (12)

Il primo campione di sabbia dopo l’incremento di carico avrà raggiunto un volume pari a:

1

3500 (1 0.01) 495tV cm= ⋅ − = (13)

ovvero

1

1

1495 283 0.428

495t s

t

V Vn

V− −

= = = (14)

cui corrisponde un peso di volume:

( )1

31 0.428 2.65 1.516 /d g cmγ = − = (15)

Il secondo campione di sabbia al termine dell’addensamento per vibrazione occuperà un volume totale pari a

1

3500 (1 0.1) 450tV cm= ⋅ − = (16)

da cui

2

2

2450 283 0.371

450t s

t

V Vn

V− −

= = = (17)

cui corrisponde un peso di volume:

( )2

31 0.371 2.65 1.667 /d g cmγ = − = (18)

Esercizio 5 Per la determinazione del peso specifico dei grani si tiene presente che prima di eseguire la prova di compressione il provino è saturo e pertanto il volume occupato dall’acqua, Vw, coincide con il volume dei vuoti, Vv. Essendo noto il contenuto in acqua w0, e il peso secco, è possibile ricavare il peso dell’acqua presente all’interno del campione:

0 0 561.8 0.3140 176.41= ⋅ = ⋅ =wP w Ps g (19)

cui corrisponde un volume:

0

0

33

3

176.41 176.411. /

= = =ww

w

P cmV cmg cmγ

(20)

E’ pertanto possibile risalire al volume occupato dalla parte solida:

0 0 0 0s t v t wV V V V V= − = − (21)

con 0t

V volume totale del provino:

0

30 100 3.81 381= ⋅ = ⋅ =tV A H cm (22)

Sostituendo i valori nella (21) si ha:

381 176.41 204.59= − =sV (23)

da cui poter ricavare il peso specifico dei grani:

3561.8 2.75 /204.59

= = =ss

s

P g cmV

γ (24)

L’indice dei vuoti nelle condizioni iniziali e0 si ricava tenendo presente che:

2.75 2.751

= = =s

w

Gs γγ

(25)

e che

Sr e Gs w⋅ = ⋅ (26)

da cui

02.75 0.3140 0.864

1⋅ ⋅

= = =Gs we

Sr (27)

Al termine della prova varia il volume totale,

( ) ( ) 30100 100 3.81 0.762 100 3.048 304.8= ⋅ + Δ = ⋅ − = ⋅ =

ftV H H cm (28)

mentre il volume della parte solida rimane costante. Pertanto il volume dei vuoti può essere calcolato come differenza tra

ftV e sV :

3304.8 204.59 100.21= − = − =f fv t sV V V cm (29)

da cui:

0100.21 0.490204.59

= = =fv

s

Ve

V (30)

Esercizio 6 L’indice dei vuoti in condizioni sature si può valutare mediante la (26):

2.7 0.228 0.6161

⋅ ⋅= = =sat

Gs weSr

(31)

essendo:

3

3

27 / 2.710 /

= =kN mGskN m

(32)

Ricordando poi che la porosità n è data da:

0.616 0.3811 1 0.616

= = =+ +en

e (33)

si può ricavare il peso dell’unità di volume in condizioni sature mediante la:

( )1 s wn n Srγ γ γ= − + (34)

ove si ponga 1Sr = , ovvero:

( ) 31 0.381 27 0.381 10 16.71 3.81 20.52 /= − ⋅ + ⋅ = + =sat kN mγ (35)

Il peso di volume immerso è pari a: 3' 20.52 10 10.52 /sat w kN mγ γ γ= − = − = (36)

Esercizio 7 Scrivendo

( )1 1 0.415 0.7091

dd s

s

nn n en

γγ γγ

= − ⇒ = − = ⇒ = =−

(37)

si ha

0.896 89.6%w Gsw Gs Sr e Sre⋅

⋅ = ⋅ ⇒ = = = (38)

Il peso di volume del campione saturo è pari a: 319.65 /sat d wn kN mγ γ γ= + ⋅ = (39)

Se il terreno rigonfiasse il peso γsat sarebbe minore del precedente:

( ) ( )[ ]

2 12 1

1 1sat w w w

sat sat

rigonfiamento

n Gs n Gs n Gs

n n

γ γ γ γ

γ γ

= − ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅ −

⇓> ⇒ <

(40)

Filtrazione Esercizio 1 In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione nel terreno di fondazione di una traversa fluviale. Il terreno è omogeneo e isotropo e il suo coefficiente di permeabilità e’ pari a k = 10-5 m/sec.

a) calcolare la portata del moto di filtrazione b) determinare il valore della pressione nei punti A,B,C,D.

Esercizio 2 Si calcolino il gradiente idraulico totale i, la portata del moto di filtrazione Q e l’andamento della pressione u lungo la direzione s del sistema costituito dai due strati rappresentati in figura.

coefficienti di permeabilità: k1 = 10-5 m/sec k2 = 2*10-5 m/sec lunghezze: L1 = 20 cm L2 = 10 cm pressioni : uA = 10 kPa uB = 5 kPa area: A = 10 cm2 inclinazione direzione s: α = 30°

Esercizio 3 Su un provino cilindrico di limo, di altezza L = 7.60 cm e diametro D = 3.80 cm, viene eseguita una prova di permeabilità a carico costante, imponendo un flusso idraulico dal basso verso l’alto. Il provino è assoggettato a uno sforzo verticale totale pari a σv = 100 kPa e a uno sforzo di confinamento radiale totale σr = 50 kPa. La differenza di carico idraulico totale, ΔhAB = 1m, viene

imposta collegando la base del provino a un attuatore di pressione che mantiene la pressione di base uB = 30 kPa, mentre alla testa del campione viene mantenuta una pressione uA = 20 kPa. La portata misurata in un’ora è pari a Q = 5.37 cm3/h. a) determinare il coefficiente di permeabilità k del limo. b) trascurando le componenti di sforzo dovute al peso proprio del provino, si tracci l’andamento

degli sforzi efficaci σ’v e σ’r lungo l’altezza del provino.

Esercizio 4 Due bacini idrici sono collegati da uno strato permeabile confinato fra due strati impermeabili. La geometria e le proprietà idrauliche degli strati sono schematizzati in figura. Si determini, a regime: a) il gradiente del moto di filtrazione b) la portata del moto

Esercizio 5 Con riferimento allo schema per la prova di permeabilità a carico costante già presentato nell’esercizio 3, si consideri la presenza alla testa e alla base del provino di due pietre porose di area uguale a quella del provino, di spessore tP = 2.5 mm con permeabilità kP = 10-6 cm/sec. La differenza di carico idraulico ΔhA’B’ = 1m viene imposta all’intero sistema tramite una pressione di base uB’ = 30 kPa e una pressione in testa uA’ = 20 kPa. La portata attraverso l’intero sistema (provino + pietre porose) misurata in un’ora è pari a Q = 5.37 cm3/h. Determinare nuovamente la permeabilità del limo, tenendo in conto l’effetto della presenza delle pietre porose.

Esercizio 6 Data la situazione schematizzata in figura e supposto che il moto di filtrazione sia a regime:

a) si determini la portata che transita dal serbatoio di monte verso il serbatoio di valle; b) si determini il valore della pressione nel punto P indicato in figura.

Dati: hm = 30 m hv = 8 m sA = 3 m kA = 4 ·10-5 m/s sB = 1,5 m kB = 2 ·10-5 m/s L = 750 m LP = 250 m

sB

sA

BA

L

LP

h m

vh

P

α

Esercizio 7 Si consideri una prova di permeabilità a carico variabile eseguita su un provino di limo saturo avente sezione A=3800 mm2. Come rappresentato in figura, inizialmente (t=0) viene posta sul provino una buretta d’acqua avente sezione a=80 mm2 imponendo un carico h0=800mm. Trascorso un tempo t1= 75 minuti dall’inizio della prova, si osserva che la colonna d’acqua al di sopra del provino si è abbassata fino a raggiungere l’altezza h1= 400 mm. Determinare il valore della permeabilità del campione di terreno sottoposto alla prova.

a

A

h

h0

1

t = t

t = t

0

1

provino

Esercizio 8 Si consideri la schematizzazione del moto di filtrazione in un terreno stratificato rappresentata in figura. Determinare l’andamento delle pressioni e la portata del moto di filtrazione nelle seguenti situazioni:

- ΔHA=2 m; - ΔHB=4,5 m;

h1=1,5 m h2=3 m h3=2 m k1= 4102 −⋅ m/s k2= 8102 −⋅ m/s k3= 4104 −⋅ m/s Sezione: A=1 m2

h1

h2

h3

AΔh

BΔh

k1

2k

3k

A

Esercizio 9 Con riferimento al sistema in figura, si calcolino:

a) il gradiente idraulico totale medio i; b) la portata del moto di filtrazione Q; c) l’andamento della pressione u lungo la direzione z del sistema costituito dai due strati

rappresentati in figura.

coefficienti di permeabilità: k1 = 10-5 m/sec k2 = 2*10-5 m/sec lunghezze: L1 = 60 cm L2 = 40 cm carico idraulico: ha = 1.5 m hb = 0.0 m area: A = 10 cm2

Esercizio 10

Su un provino cilindrico di sabbia limosa, di altezza L e area A, viene eseguita una prova di permeabilità a carico variabile, secondo lo schema indicato in figura. I dati geometrici e le misure di altezza piezometrica nel tempo sono riportati in tabella.

d) determinare il coefficiente di permeabilità k della terra esaminata; e) dire quali condizioni devono essere verificate affinché la stima del coefficiente di

permeabilità sia accurata con l’assetto sperimentale proposto; f) determinare il massimo e il minimo gradiente idraulico a cui è assoggetato il provino durante

il corso della prova (t = 0÷1h); g) determinare il modulo e la direzione della massima forza di filtrazione a cui è assoggetato il

provino durante il corso della prova.

lunghezza: L = 10 cm carico idraulico h (t1=0) = 0.5 m h (t2=1 ora) = 0.4 m area provino: A = 20 cm2 area capillare: ac = 1 cm2

Esercizio 11 Su un provino cilindrico di sabbia limosa, di altezza L e area A, viene eseguita una prova di permeabilità a carico costante, secondo lo schema indicato in figura. I dati geometrici e le misure di altezza piezometrica sono riportati in tabella.

h) determinare il coefficiente di permeabilità k della terra esaminata; i) determinare il modulo e la direzione della massima forza di filtrazione a cui è assoggettato il

provino durante il corso della prova.

lunghezza: L = 10 cm carico idraulico h (a’) = 2.5 m h (b’) = 0.5 m area provino: A = 20 cm2 portata, Q: 4 10-3 m3/sec

Esercizio 12 In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione alle spalle di un muro di sostegno, con dreno verticale in ghiaia. La permeabilità del terreno è pari a k = 10-7 m/sec. a) Tracciare l’andamento qualitativo della pressione dell’acqua lungo la retta inclinata a 45°

rispetto alla direzione orizzontale; b) determinare la portata del moto; c) determinare la spinta dell’acqua sulla parete del muro di sostegno.

Esercizio 13 Un deposito stratificato è costituito da due strati sabbiosi separati da uno strato di argilla, così come indicato in figura. Le caratteristiche di ciascuno strato sono riassunte in tabella.

Strato Spessore (m) Sr n e Gs γs (kN/m3) Permeabilità (m/s)1 3 1 0,4 ---- 2,7 ---- 10-3 2 5 1 0,8 ---- 26 2·10-9 3 ---- 1 0,35 ---- 2,7 ---- 10-3

Si determini:

j) il gradiente idraulico all'interno dello strato di argilla; k) la portata del moto di filtrazione; l) l'andamento delle pressioni fino ad una profondità dal piano campagna z = 6 m. m) lo stato di sforzo verticale, totale ed efficace fino alla profondità z = 6 m;

Si ipotizzi ora un abbassamento di 3 m del livello di falda nello strato sabbioso profondo rispetto alla situazione precedente. Determinare l'andamento delle pressioni nella nuova configurazione.

Sabbia e ghiaia

Argilla

Sabbia

3 m

5 m

6 m

1,5 m

3 m

livello a seguitoabbassamento

1

2

3

z

Esercizio 14 In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione all'interno di una diga in terra. Al piede della diga, come indicato in figura, è posizionato un dreno in materiale ghiaioso. La diga è stata realizzata impiegando un limo argilloso, la cui permeabilità può essere assunta pari -82 10 /k m s= ⋅ .

n) Determinare la portata del moto di filtrazione per unità di lunghezza in direzione ortogonale al piano del moto.

o) Determinare il valore della pressione nei punti A, A', P e P'.

Esercizio 15 Un deposito stratificato è costituito da due strati sabbiosi separati da uno strato di argilla, così come indicato in figura. Nel primo strato, il livello di falda coincide con il piano campagna. Nel secondo acquifero il livello piezometrico è posizionato a –4.5. m dal piano campagna. Le caratteristiche di ciascuno strato sono riassunte in tabella.

Strato Spessore (m) Sr n e Gs γs (kN/m3) Permeabilità (m/s)1 3 1 0,4 ---- 2,7 ---- 10-3 2 5 1 0,8 ---- 26 2·10-9 3 ---- 1 0,35 ---- 2,7 ---- 10-3

Si determini:

p) il gradiente idraulico nello strato di argilla; q) la portata del moto di filtrazione; r) l'andamento delle pressioni fino ad una profondità dal piano campagna z = 8 m; s) l’andamento della componente verticale di sforzo, totale ed efficace, fino alla profondità z = 8

m. Si ipotizzi ora un innalzamento di 3 m del livello di falda nel secondo strato sabbioso, mentre il livello della prima falda rimane inalterato a piano campagna. Si determini:

t) l’andamento della pressione neutra a regime; u) la variazione della componente verticale di sforzo totale ed efficace a regime; v) il grado di sovraconsolidazione OCR dopo l’innalzamento della falda, sapendo che il deposito

era originariamente normalconsolidato.

Sabbia e ghiaia

Argilla

Sabbia

3 m

5 m

6 m

1,5 m

3 m

innalzamentodella falda

1

2

3

z

Esercizio 16

In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione nell’intorno di una traversa. Il terreno, sede del moto di filrazione è un limo sabbioso, con conducibilità idraulica omogenea e isotropa pari a k = 10-6 m/s.

w) determinare la portata del moto di filtrazione;

x) eseguire la verifica a sifonamento a valle della traversa, secondo il meccanismo di Terzaghi.

h = 3.5m0.75 m

k = 10-6 m/s

γsat = 20 kN/m3

h = 1.5 m

Esercizio 17 Su un provino cilindrico di limo, di altezza L e diametro D, viene eseguita una prova di permeabilità a carico idraulico costante, secondo lo schema indicato in figura (caso 1). I dati geometrici e le misure di altezza piezometrica sono riportati in tabella. Determinare il coefficiente di permeabilità k1 del limo.

b

L

D

a

b

L

a

D

(1) (2)

L = 7,60 cm h (a) = 1m h (b) = 2 m D = 3,80 cm

Q = 5,37 cm3/h

Lo stesso tipo di prova viene eseguita in presenza, alla testa e alla base del provino, di due pietre porose, di diametro pari a quello del provino, con permeabilità kp = 10-8 cm/s (caso 2). La differenza di carico idraulico, ancora pari a 1 m, viene applicata all’intero sistema provino + pietre porose. La portata misurata attraverso l’intero sistema è ancora pari a 5,37 cm3/h. Dire se la permeabilità k2 del materiale sottoposto a prova è maggiore, minore o uguale alla precedente, e giustificare la risposta.

Esercizio 18 In figura è riportato il reticolo di filtrazione nell’intorno di una paratia in terreno granulare omogeneo e isotropo, con peso di volume saturo γsat = 20 kN/m3 e coefficiente di permeabilità k = 10-6 m/sec. Calcolare: a) la portata del moto di filtrazione; b) il coefficiente di sicurezza nei confronti del sifonamento a valle della paratia.

Esercizio 19 Il deposito schematizzato in figura, è costituito da uno strato sabbioso superficiale (1) di spessore 3 m e sede della falda F1, sovrastante due strati di argilla (2 e 3) di spessore 2m e 4m rispettivamente. Lo strato argilloso superiore risulta caratterizzato da un coefficiente di permeabilità doppio rispetto allo strato argilloso inferiore. Lo strato più profondo del deposito è costituito da ghiaia (4). Il carico idraulico totale dello strato di ghiaia 4 è governato dal livello idrometrico F3. A seguito dell’abbassamento del livello idrometrico di –1.5 m (da F3A a F3B) determinare, con riferimento alle condizioni di lungo termine:

a) la portata del moto di filtrazione che viene a generarsi, essendo la permeabilità dello strato di argilla (3) pari a k3 = 2ּ10-10 m/s;

b) l’andamento delle pressioni neutre lungo la direzione z;

c) la variazione della componente verticale di sforzo efficace lungo lo spessore dei due strati argillosi.

Esercizio 20 In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione nel terreno alle spalle di un’opera di sostegno. La

permeabilità del terreno è k = 5. 10 –6 m/s.

a) Tracciare l’andamento della pressione dell’acqua lungo la retta inclinata diagrammata in

figura.

b) Determinare la portata del moto di filtrazione.

c) Determinare la spinta dell’acqua sulla parete di sostegno.

Esercizio 21 In figura è rappresentato il reticolo di filtrazione nell’intorno di una traversa fluviale. Il terreno, sede del moto di filrazione è un limo sabbioso, con conducibilità idraulica omogenea e isotropa pari a k = 10-6 m/s.

y) determinare la portata del moto di filtrazione;

z) eseguire la verifica a sifonamento a valle della traversa, secondo il meccanismo di Terzaghi

h = 3.5m0.75 m

k = 10-6 m/s

γsat = 20 kN/m3

h = 1.5 m

Esercizio 22 Con riferimento al reticolo di filtrazione tracciato in figura 1: a) Tracciare l’andamento delle pressioni sulla paratia.

b) Determinare la portata del moto di filtrazione.

c) Effettuare la verifica a sifonamento a valle dell’opera di sostegno.

Esercizio 23 Sapendo che k1 = 0.4·10-6 m/sec e k2 = 0.6 10-6 m/sec, nei due casi schematizzati in figura, a) determinare il gradiente idraulico totale.

b) determinare l’andamento del carico idraulico lungo le rette s indicate in figura.

c) determinare l’andamento delle pressioni lungo le stesse rette.

caso (I) caso (II)

Esercizio 24 Rispondere alle stesse domande dell’esercizio precedente, assumendo: k1 = 0.4·10-6 m/sec k2 = 0.6 10-10 m/sec Esercizio 25 Su un provino cilindrico di limo, di altezza L = 7.60 cm e diametro D = 3.80 cm, viene eseguita una prova di permeabilità a carico costante, imponendo un flusso idraulico dal basso verso l’alto. Il provino è assoggettato a uno sforzo verticale totale pari a σv = 100 kPa e a uno sforzo di confinamento radiale totale σr = 50 kPa. La differenza di carico idraulico totale, ΔhAB = 1m, viene imposta collegando la base del provino a un attuatore di pressione che mantiene la pressione di base uB = 30 kPa, mentre alla testa del campione viene mantenuta una pressione uA = 20 kPa. La portata misurata in un’ora è pari a Q = 5.37 cm3/h. c) determinare il coefficiente di permeabilità k del limo. d) trascurando le componenti di sforzo dovute al peso proprio del provino, si tracci l’andamento

degli sforzi efficaci σ’v e σ’r lungo l’altezza del provino. Esercizio 26 Con riferimento allo schema per la prova di permeabilità a carico costante già presentato nell’esercizio 4, si consideri la presenza alla testa e alla base del provino di due pietre porose di area uguale a quella del provino, di spessore tP = 2.5 mm con permeabilità kP = 10-6 cm/sec. La differenza di carico idraulico ΔhA’B’ = 1m viene imposta all’intero sistema tramite una pressione di base uB’ = 30 kPa e una pressione in testa uA’ = 20 kPa. La portata attraverso l’intero sistema (provino + pietre porose) misurata in un’ora è pari a Q = 5.37 cm3/h. Determinare nuovamente la permeabilità del limo, tenendo in conto l’effetto della presenza delle pietre porose. Esercizio 27 Determinare l’andamento delle pressioni lungo la direzione s nei quattro casi schematizzati in figura. In tutti i casi, il valore del carico idraulico nella sezione A, hA, è pari a 10 m, mentre quello in corrispondenza della sezione B è hB = 5 m. L’origine del sistema di riferimento è posta in corrispondenza della sezione A (zA = 0.)

Figura 1a Figura 1b

Figura 1c Figura 1d ------------------------------------------------------------------------------------------------------- coefficienti di permeabilità: k1 = 4*10-5 m/sec k2 = 2*10-5 m/sec k3 = 2*10-9 m/sec lunghezze: a = 1 m b = 5 m carichi idraulici : hA = 10 m quota: zA = 0 hB = 5 m inclinazione direzione s: α = 30° Esercizio 28 Il deposito in figura, costituito da due strati sabbiosi, è sede di un moto di filtrazione. Il piano di falda coincide con il piano campagna. La misura della pressione alla quota del punto P fornisce uP = 65 kPa.

Si determini: a) la portata Q per unità di area che filtra attraverso il sistema; b) l’andamento della componente verticale di sforzo totale ed efficace da piano campagna, fino alla

profondità di 5 metri (alla quota del punto P). Esercizio 29

Il versante in figura è costituito da due strati di materiale colluviale, sovrastanti un substrato roccioso impermeabile. Lo strato superficiale, 1, può essere considerato impermeabile. Lo strato inferiore, 2, ha elevata permeabilità. In tabella 1 sono riassunte le proprietà dei due strati. Le caratteristiche geometriche del versante e le condizioni al contorno idrauliche sono riassunte in tabella 2. Inizialmente (caso 1) il livello idraulico nei due bacini coincide con l’interfaccia fra i due strati. Successivamente (caso 2), entrambi i livelli risalgono fino al massimo, indicato in figura.

Tabella 1 strato γ tot

(kN/m3) k

(m/sec) spessore H (m)

1 22 ---- 5 2 20 10-5 10

Tabella 2

condizione L (m)

H (m)

carico idraulico di

monte

carico idraulico di

valle 1 b’ a’ 2 400. 145.6 b a

h a

bh

L

12

aa'

bb'

a'h

b'h

H

z

Determinare:

a) il gradiente idraulico, la portata, e la distribuzione delle pressioni in funzione di z nella condizione 1 (livelli idraulici: a’-b’);

b) il gradiente idraulico, la portata, e la distribuzione delle pressioni in funzione di z nella condizione 2 (livelli idraulici: a-b).

Esercizio 30 Con riferimento al sistema in figura, si calcolino:

a) la portata del moto di filtrazione Q; b) l’andamento del carico idraulico h della pressione u lungo la direzione z del sistema costituito

dai due strati rappresentati in figura

coefficienti di permeabilità: k1 = 10-10 m/sec k2 = 10-5 m/sec lunghezze: L1 = 60 cm L2 = 40 cm carico idraulico: ha = 1.6 m hb = 0.0 m area: A = 10 cm2

Domanda 1 Con riferimento a un moto di filtrazione monodimensionale in direzione s, dire sotto quali ipotesi l’andamento delle pressioni u (s) è lineare Domanda 2 Definire i coefficienti di permeabilità equivalenti a un sistema composto da più strati. Domanda 3 Con riferimento a un moto di filtrazione monodimensionale in direzione s, dire sotto quali ipotesi l’andamento delle pressioni u (s) è lineare

Soluzioni degli esercizi sulla filtrazione Esercizio 2 Il sistema è costituito da due strati di caratteristiche differenti posti in serie

z

zB

Fig. 1 Assumendo come riferimento l’asse z con origine in A, è possibile valutare il carico idraulico nei punti A e B. In particolare si ha:

( ) ( )1 2

015 0.15

A

B

zz L L sen cm mα

=

= + = = (41)

da cui:

100 110

50.15 0.6510

AA A

w

BB B

w

uh z m

uh z m

γ

γ

= + = + =

= + = + = (42)

Ricordando quindi la legge di Darcy e che la portata risulta essere la medesima nei due strati si può scrivere:

( ) ( )

1 21 2

1 2

1 2

1 2C A B C

h hk kL L

k kh h h hL L

Δ Δ=

− = − (43)

e quindi

5 51 2

1 25 5

1 2

1 2

10 2 101 0.650.2 0.1 0.72

10 2 100.2 0.1

A B

C

k kh hL Lh mk k

L L

− −

− −

⋅+ += = =

⋅+ + (44)

La pressione nel punto C è pertanto:

( ) ( )10 0.72 0.1 6.2C W C Cu h z kPaγ= − = − = (45)

L’andamento delle pressioni risulta essere pertanto quello riportato nelle figure seguenti:

0 0.1 0.2 0.3s (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

h, z

(m)

AC B

A

CB

h(s)z(s)

u/γw

Fig. 2

0 0.1 0.2 0.3s (m)

0

2

4

6

8

10

12

u (k

Pa)

A

C

B

z(s)

Fig. 3 Il gradiente idraulico nei due strati è pari a:

( )

( )

11

1

22

2

1 0.72 1.40.2

0.72 0.65 0.70.1

hiLhi

L

Δ −= = =

Δ −= = =

(46)

mentre la portata che attraversa i due strati:

5 5 311

1

0.280.001 10 0.0014 10 /0.2

hQ A k m sL

− −Δ= = ⋅ ⋅ = ⋅ (47)

Esercizio 3 Per la legge di Darcy:

Q k A i= (48)

e risolvendo rispetto a k:

52 10 /

4

Q Qk cm sD hA i

Lπ

−= = =Δ

(49)

L’andamento degli sforzi è quello rappresentato in figura:

z

Fig. 4

7.6

0

z (cm

)

100

100

50

50

20

30

80

70

30

20

σv (kPa) σr (kPa) σ'v (kPa) σ'r (kPa)u (kPa)

Fig. 5 Esercizio 4 Il gradiente idraulico i è pari a:

0,18AB

AB

hiL

Δ= = (50)

Per il calcolo della portata, lo strato permeabile può essere schematizzato come costituito da due elementi in serie (fig. 6):

– lo strato 1;

– uno strato avente la permeabilità equivalente ottenuta tenendo presente che gli strati 2 e 3 sono in parallelo

(a)

k1 keq_23

(b)

keq_1_23A B

(c)

Fig. 6 Conseguentemente occorrerà determinare il valore di keq. Per due strati posti in parallelo questo è dato da:

i iieq

ii

k Hk

H= ∑

∑ (51)

Sostituendo i valori per gli strati 2 e 3: (fig. 6 a):

8 88

_ 2310 2 0.5 10 3 0.7 10 /

2 3eqk m s

− −−⋅ + ⋅ ⋅

= = ⋅+

(52)

Ora occorre valutare la permeabilità equivalente considerando lo strato 1 e quello equivalente agli strati 2 e 3 (fig. 6 c) posti in serie l’uno rispetto all’altro. Ricordando che per una sequenza di strati posti in serie:

iieq

ii

i

Lk L

k

⊥

= ∑∑

(53)

si ottiene:

8_123

5 8

6 5 1.54 10 /6 510 0.7 10

eqk m s⊥

−

− −

+= = ⋅

+⋅

(54)

Pertanto, la portata del moto di filtrazione sarà pari a:

_123AB

eqAB

hQ k AL

Δ= ⋅ ⋅ (55)

essendo ΔhAB la perdita di carico tra i punti A e B (2 m, pari alla differenza di quota tra i bacini idrici di valle e di monte) e LAB la distanza (11 m). Sostituendo:

8 8 321.4 10 5 1.4 10 /11

Q m s− −= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ (56)

Esercizio 5 In questo caso occorre tenere presente che la filtrazione avviene all’interno del sistema costituito da tre strati posti in serie, e pertanto:

9 3' '

' '

1.49 10 /A Beq

A B

HQ k A m sL

⊥−Δ

= ⋅ ⋅ = ⋅ (57)

da cui si ricava:

7

' '

' '

1.06 10 /eqA B

A B

Qk m sHAL

⊥−= = ⋅

Δ⋅

(58)

Ma per gli strati posti in serie eqk⊥

è dato dalla (53) e quindi:

2

2

peq

p

p

L tk t L

k k

⊥ +=

+

(59)

da cui

72 2

8

0.0811.06 100.25 10 7.6 102

10 k

−− −

−

⋅ =⋅ ⋅⋅ +

(60)

e quindi 72.88 10 /k m s−= ⋅ Esercizio 9 Il gradiente idraulico medio è dato da:

( )( )

1.5 0 1.5 1.50.6 0.4 1

Δ −= = = =

+ab

ab

hiL

(61)

La portata del moto di filtrazione è invece data da:

eqQ k A i⊥

= ⋅ ⋅ (62)

con

5

5 5

0.6 0.4 1.25 10 /0.6 0.410 2 10

iieq

ii

i

Lk m sL

k

⊥−

− −

+= = = ⋅

+⋅

∑∑

(63)

e: 2 4 2 3 310 10 10 10A cm m m− −= = ⋅ = (64)

Quindi: 5 3 8 31.25 10 10 1.5 1.875 10 /− − −= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅Q m s (65)

Per la determinazione dell’andamento delle pressioni è possibile scrivere per un generico punto P:

PP P

w

uh zγ

= + (66)

Per quanto riguarda il punto b, dai dati del problema si ricava 0bh = , e dal sistema di riferimento adottato 0bz = . Pertanto dalla (66) si ricava:

0 0 0bb

w

u uγ

= + ⇒ = (67)

za

zc

Fig. 7 Per il punto b si ha invece dai dati del problema 1.5=ah m e dal sistema di riferimento adottato

1 2 1az L L m= + = e pertanto:

( )1.5 1 10 1.5 1 5= + ⇒ = ⋅ − =aa

w

u u kPaγ

(68)

L’andamento delle pressioni sarà lineare tra a e c e tra b e c: occorre quindi determinare la pressione nel punto c. A tal scopo, dette Q1 e Q2 le portate che passano attraverso lo strato 1 e lo strato 2 si ha che:

1 2Q Q Q= = (69)

e pertanto

1 1bchQ k A

bcΔ

= ⋅ ⋅ (70)

si ha:

81

5 31

1.875 10 0.6 1.12510 10

−

− −

⋅Δ = = =

⋅bcQh bc m

k A (71)

Conseguentemente

0 1.125 1.125= + Δ = + =c b bch h h m (72)

e quindi essendo 1 0.6= =cz L m

( )1.125 0.6 10 5.25= − =bcu kPa (73)

L’andamento delle pressioni in funzione della coordinata z è riportato in fig.

0 1 2 3 4 5 6u (kPa)

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1z (

m)

a

c

b

u(z)

Esercizio 10 La prova di permeabilità viene eseguita con un permeametro a carico variabile:

( )

1

2

2 1

lnc

hhak L

A t t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=−

(74)

Le misure effettuate consentono di stimare il coefficiente di permeabilità:

( )5 7

0.5ln1 0.410 3.1 10 / 3.1 10 /20 3600 0

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = ⋅ = ⋅

−k cm s m s (75)

Il massimo e il minimo gradiente idraulico in [ ]0,1t h= sono pari a:

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )

0, 1

0,1

max

max 0 0.5 50.1

min 1 0.4 40.1

∈

∈

⎧= = = =⎪

⎪⎨⎪

= = = =⎪⎩

t h

t h

min

h t hiL Lh t h hi

L L

(76)

La massima forza di filtrazione per unità di volume sarà pari pertanto a: 3

max 10 5 50 /max wf i kN mγ= ⋅ = ⋅ = (77)

ed è diretta come il vettore velocità (vedi fig):

f

L’assetto sperimentale consente una stima affidabile del coefficiente di permeabilità se: 1) la perdita di carico idraulico nelle pietre porose è trascurabile kp >> k, o può essere

quantificata (conoscendo la permeabilità kp delle pietre porose). 2) la variazione di porosità durante il corso della prova è trascurabile Esercizio 11 La permeabilità è data da:

( ) ( ) 0.1 /' '

'

Q Qk m sh a h bA i A

L

= = =−⋅ ⋅

(78)

mentre la forza di filtrazione, costante per tutta la durata della prova, è diretta dall’alto verso il basso e ha modulo:

( ) ( ) 3' ' 200 /'w w

h a h bf i kN mL

γ γ −= ⋅ = ⋅ = (79)

Esercizio 12 Considerando il tubo di flusso più profondo, il carico idraulico da dissipare è pari a 6.1 m e i salti di potenziale sono 8. Pertanto:

6.1 0.7628magliah mΔ = = (80)

Lo stessa informazione può essere ricavata anche dalla scala graduata riportata in figura alla sinistra del muro. Sebbene nel testo del problema venga richiesto un andamento qualitativo, a titolo di completezza viene riportata la soluzione analitica. A tal scopo, prendendo in esame i punti da 1 a 9, (fig. 8) si costruisce la tabella seguente, ricordando che per il k-esimo punto:

( )

( )6.1 1k maglia

k w k k

h k h

u h z

Δ

γ

= − − ⋅

= − (81)

87

6

5

4

3

2

1

9

s

Fig. 8

PUNTO zk (m) hk (m) uk (kPa) 1 6.10 6.10 0 2 4.23 5.34 10.89 3 3.06 4.58 14.91 4 2.25 3.82 15.40 5 1.62 3.06 14.13 6 1.08 2.30 11.97 7 0.72 1.54 8.04 8 0.32 0.76 4.32 9 0 0 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

s (m)

20

16

12

8

4

0

u (kPa)

Fig. 9 La portata del singolo tubo di flusso per unità di lunghezza in direzione ortogonale al moto è pari a:

8 27.6 10 /magliaq k h m sΔ −= ⋅ = ⋅ (82)

mentre la portata complessiva (sempre per unità di lunghezza) è pari a:

274.56 10tubi

mQ q Ns

−= ⋅ = ⋅ (83)

La spinta esercitata dall’acqua sulla parete è nulla in quanto, per effetto della presenza del dreno la pressione dell’acqua è nulla. Esercizio 13 Data la differenza di permeabilità tra gli strati sabbiosi e quelli argillosi, si può supporre che le perdite di carico siano tutte concentrate nello strato di argilla. In particolare il gradiente idraulico sarà dato da:

1.5 0.35m

argilla

hih

Δ= = = (84)

da cui una portata per unità di area:

39 9

2

12 10 0.3 0.6 10Q k i A mq k iA A s m

− −⋅ ⋅= = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ (85)

I pesi di volume saturo per ciascuno strato possono essere ricavati dalle relazioni di fase e in particolare si ottiene:

( ) 31: 1 20.2sat s w wkNstrato G n nm

γ = γ − + γ =

( ) 32 : 0.444 1 18.91 sat s w

e kNstrato n n ne m

= = ⇒ γ = γ − + γ =+

(86)

La componente verticale di sforzo totale, lineare a tratti, è in equilibrio con i pesi di volume totali. La componenente efficace può essere ricavata per differenza: '

v v uσ = σ − L’andamento delle pressioni è idrostatico nello strato superiore sabbioso. E’ lineare nello strato di argilla, con un valore all’interfaccia con lo strato inferiore pari a 65 kPa. Il carico idraulico nel secondo acquifero è, infatti pari a 6.5 m (fig. 10)

8

6

4

2

0

z (m

)

0

60.6

117

155

0

30

51

65

0

30.6

66.3

90

σv (kPa) σ'v (kPa)u (kPa)

Fig. 10 Dopo l’abbassamento del livello di falda, a regime:

aa) andamento della pressione neutra: l’andamento rimane idrostatico nello strato superiore sabbioso, e lineare nello strato di argilla. Il valore di pressione all’interfaccia con lo strato inferiore, governato dal nuovo carico idraulico nel secondo acquifero (3.5 m), scende a 35 kPa.

bb) variazione della componente verticale di sforzo a regime, fino alla profondità z = 8m: la componente verticale di sforzo totale rimane ovunque invariata 0.vΔσ ≡ Nello strato 1, la pressione u rimane invariata e, di conseguenza, anche la componente verticale di sforzo efficace. Nello strato di argilla, la pressione varia linearmente da zero a –30 kPa. La variazione della componente verticale di sforzo efficace è uguale ed opposta alla variazione di pressione:

'v uΔσ ≡ −Δ . Gli andamenti sono riportati in grafico (fig. 11)

0

30

33

35

0

0

30

Δσ'v (kPa)u (kPa)

Fig. 11 Esercizio 14

z

Fig. 12 Dalla fig. 12 si possono ricavare le seguenti informazioni:

– differenza di carico idraulico totale: 35TOTh mΔ =

– numero di salti di potenziale: 14saltiN =

– numero di tubi di flusso: 4tubiN =

La perdita di carico idraulico per ciascun salto di potenziale vale pertanto:

35 2.514

TOTi

salti

hh mNΔ

Δ = = = (87)

La portata complessiva del moto di filtrazione, per unità di lunghezza di diga è pari a:

28 72 10 2.5 4 2 10i tubi

mQ k h Ns

− −= ⋅Δ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ . (88)

La pressione nel punto P è nulla in quanto sul pelo libero. Anche la pressione nel punto A' è nulla in quanto il punto si trova in corrispondenza del dreno. La pressione nel punto A è data dal valore della pressione idrostatica, ovvero:

35 350A wu kPaγ= ⋅ = (89)

La pressione nel punto P, assumendo il sistema di riferimento in fig. 12 è ricavabile scrivendo che:

' ' 35 2.5 4 25P A AP A ih h h h h n m= − Δ = − Δ ⋅ = − ⋅ = (90)

da cui

( )' ' ' ' 25 10 250P P P w P wu h z h kPaγ γ= − ⋅ = ⋅ = ⋅ = (91)

Esercizio 15 Data la differenza di permeabilità tra gli strati sabbiosi e quelli argillosi, si può supporre che le perdite di carico siano tutte concentrate nello strato di argilla. In particolare il gradiente idraulico sarà dato da:

4.5 0.95m

argilla

hih

Δ= = = (92)

da cui una portata per unità di area:

39 9

2

12 10 0.9 1.8 10Q k i A mq k iA A s m

− −⋅ ⋅= = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ (93)

I pesi di volume saturo per ciascuno strato possono essere ricavati dalle relazioni di fase e in particolare si ottiene:

( ) 31: 1 20.2sat s w wkNstrato G n nm

γ = γ − + γ =

( ) 32 : 0.444 1 18.91 sat s w

e kNstrato n n ne m

= = ⇒ γ = γ − + γ =+

(94)

La componente verticale di sforzo totale, lineare a tratti, è in equilibrio con i pesi di volume totali. La componente efficace può essere ricavata per differenza: '

v v uσ = σ −

L’andamento delle pressioni è idrostatico nello strato superiore sabbioso. E’ lineare nello strato di argilla, con un valore all’interfaccia con lo strato inferiore pari a 35 kPa. Il carico idraulico nel secondo acquifero è, infatti pari a 3.5 m (fig. 10)

8

6

4

2

0z (

m)

0

60.6

117.3

155

0

30

33

35

0

30.6

84.27

120

σv (kPa) σ'v (kPa)u (kPa)

Fig. 13 Dopo l’innalzamento del livello di falda, a regime:

cc) andamento della pressione neutra: l’andamento rimane idrostatico nello strato superiore sabbioso, e lineare nello strato di argilla. Il valore di pressione all’interfaccia con lo strato inferiore, governato dal nuovo carico idraulico nel secondo acquifero (6.5 m), sale a 65 kPa.

dd) variazione della componente verticale di sforzo a regime, fino alla profondità z = 8m: la componente verticale di sforzo totale rimane ovunque invariata 0.vΔσ ≡ Nello strato 1, la pressione u rimane invariata e, di conseguenza, anche la componente verticale di sforzo efficace. Nello strato di argilla, la pressione varia linearmente da zero a +30 kPa. La variazione della componente verticale di sforzo efficace è uguale ed opposta alla variazione di pressione:

'v uΔσ ≡ −Δ . Gli andamenti sono riportati in grafico (fig. 11)

8

6

4

2

0

z (m

)

0

30

51

65

0

0

0

0

0

0

-18

-30

u (kPa) Δσ'v (kPa)Δσv (kPa)

Fig. 14

In relazione al grado di sovraconsolidazione OCR, nello strato di sabbia non vi è variazione di sforzo efficace e quindi, essendo il deposito inizialmente normalconsolidato OCR si mantiene pari ad 1. Per lo strato di argilla l'andamento con la profondità è riportato in figura Errore. L'origine riferimento non è stata trovata..

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2OCR

8

7

6

5

4

3

2

1

0

z (m

)

1

1.14

1.22

1.27

1.306

1.332

Esercizio 16 Dalla fig. 15 si ricava:

– differenza di carico idraulico totale: 3.5TOTh mΔ =

– numero di salti di potenziale: 7saltiN =

– numero di tubi di flusso: 3tubiN =

A B

h = 3.5m0.75 m

h = 1.5 m

z

A'

Fig. 15 La portata complessiva del moto di filtrazione, per unità di lunghezza di paratia è pari a:

36 63 110 3.5 1.5 10

7tubi

salti

N mQ k hN s m

− −= ⋅Δ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . (95)

Per la verifica al sifonamento, ricordiamo la definizione del fattore di sicurezza secondo Terzaghi:

' / 2B

ecc

A

h hFSu dx

γ ⋅ ⋅=

∫

(96)

con υecc pressione in eccesso. Nel caso in esame:

( ) ' 10ecc idrA A A w A A w w A A A w

salti

hu u u h z h h n z h kPanΔγ γ γ γ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤= − = − − ⋅ = − ⋅ − − ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (97)

con nA numero di salti da A ad A' e zA quota del punto a con riferimento al sistema in figura. Con analogo ragionamento per il punto B:

5eccBu kPa= (98)

da cui:

( ) ( )' / 2 ' / 2 10 1.5 2

10 5/ 2 22

B ecc eccecc A B

A

h h h hFSu uu dx h

γ γ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

++⋅∫

(99)

Esercizio 27 Indipendentemente dalla configurazione dei due strati nei differenti casi il calcolo della pressione nei punti A e B può essere effettuato una sola volta in virtù del fatto che la distanza AB e l’inclinazione α non varia nelle differenti situazioni analizzate.

z

zB

Fig. 16 Con riferimento alla fig. 16, e ricordando che per un generico punto P si ha:

PP P

w

uh zγ

= + (100)

è possibile scrivere:

A AA A

w w

u uh zγ γ

= + = (101)

essendo 0Az = , mentre

( ) ( )sinB BB B

w w

u uh z a b αγ γ

= + = + + (102)

Sostituendo il valori numerici:

( ) ( )

1010

5 5 1 sin 3010

A

B

u

u

⎧ =⎪⎪⎨⎪ = + ° +⎪⎩

(103)

da cui si ricava:

10020

A

B

u kPau kPa

=⎧⎨ =⎩

(104)

Vengono ora presi in esame i differenti casi. Le situazioni 1a) e 1c) (fig. 17) sono sostanzialmente identiche, potendo essere schematizzate come due strati posti in parallelo tra loro (la permeabilità dei due strati anche se differente nei due casi non influisce sull’andamento delle pressioni, ma solo sulla portata). Con questa configurazione l’andamento della pressione sarà di tipo lineare (fig. 18).

Caso 1a) Caso 1c)

Fig. 17

0 2 4 6s (m)

0

20

40

60

80

100

120

u (k

Pa)

A

B

ucaso_ac(s)

Fig. 18 Viceversa per quanto riguarda i casi 1b) e 1d), il sistema è costituito da due strati posti in serie. Pertanto per determinare l’andamento delle pressioni occorre valutare la pressione uC nel punto C, che risulterà differente in entrambi i casi. Valutato hC in ogni situazione si avrà per la (66)

( )C C C wu h z γ= − (105)

con, in entrambi i casi:

( )sin 0.5Cz a mα= = (106)

zzB

zC C

zzB

CzC

Caso 1b) Caso 1d)

Fig. 19 – Prendendo in esame il caso 1d) si può osservare che 1 3k k : conseguentemente la perdita di carico nel tratto AC può ritenersi del tutto trascurabile e quindi:

C Ah h= (107)

da cui sostituendo nella (105) si ottiene:

( )10 0.5 10 95Cu kPa= − = (108)

L’andamento delle pressioni è rappresentato in fig. 20. Analizzando il caso 1a) occorre invece valutare la perdita di carico nel tratto AC. A tal scopo ricordando la legge di Darcy, si ha che:

eqv k i⊥

= ⋅ (109)

con

5 0.8336

ABhiAB

Δ= = = (110)

0 2 4 6s (m)

0

20

40

60

80

100

120

u (k

Pa)

A C

B

ucaso_d(s)

Fig. 20 Ricordando che per una sequenza di strati posti in serie:

iieq

ii

i

Lk L

k

⊥

= ∑∑

(111)

si ottiene:

5

5 5

1 5 2.18 10 /1 54 10 2 10

eqk m s⊥

−

− −

+= = ⋅

+⋅ ⋅

(112)

In questo caso occorre tenere presente che la filtrazione avviene all’interno del sistema costituito da due strati posti in serie, e pertanto:

5 52.18 10 0.833 1.817 10v − −= ⋅ ⋅ = ⋅ (113)

Considerando ora le velocità v1 e v2 dell’acqua nei due strati, poiché sono posti in serie si ha:

1 2v v v= = (114)

e poiché:

1 1AChv k

ACΔ

= ⋅ (115)

si ha:

51

51

1.817 10 1 0.4544 10AC

vh AC mk

−

−

⋅Δ = = =

⋅ (116)

Conseguentemente

10 0.454 9.546C A ACh h h= − Δ = − = (117)

e quindi

( )9.546 0.5 10 90.5Cu kPa= − = (118)

L’andamento delle pressioni è riportato in figura 21.

0 2 4 6s (m)

0

20

40

60

80

100

120

u (k

Pa)

AC

B

ucaso_b(s)

Fig. 21 Esercizio 28

P'P''

zζ

Fig. 22 Per il punto P:

65 6.510

= + = + = +PP P P P

w

uh z z zγ

(119)

mentre per il punto P':

'' ' '

PP P P

w

uh z zγ

= + = (120)

poiché ' 0Pu = , essendo sul pelo libero. Sottraendo membro a membro la (119) e la (120) si ottiene:

( ) ( )' ' 6.5 5 6.5 1.5− = − + = − + =P P P Ph h z z m (121)

La filtrazione avviene attraverso due strati posti in serie di caratteristiche geometriche note. Pertanto è possibile valutare la permeabilità equivalente:

5

5 5

3 2 1.47 10 /3 210 5 10

⊥−

− −

+= = = ⋅

+⋅

∑∑

iieq

ii

i

Lk m sL

k

(122)

da cui, ricordando che la portata per unità di area Qq vA

= = ,

5 61.51.47 10 4.41 10 /5

⊥− −= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅eqv k i m s (123)

essendo:

'

'

PP

PP

HiL

Δ= (124)

Per valutare l’andamento verticale degli sforzi efficaci, occorre determinare la distribuzione delle pressioni, procedendo in maniera del tutto analoga all’esercizio 3 con riferimento al punto P'':

1 2= =v v v (125)

Pertanto:

''1 1 1 1''

Δ= ⋅ =PPHv k k i

PP (126)

da cui

61

'' 51

4.41 10'' 3 1.3210

−

−

⋅Δ = = =PP

vH PP mk

(127)

Scrivendo ora

'''' ''

PP P

w

uh zγ

= + (128)

e sottraendo membro a membro la (119) e la (128) si ottiene:

( ) ( ) '''' '' 6.5

10⎛ ⎞− = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

PP P P P

uh h z z (129)

Ricordando che ( )'' 1.32− =P Ph h m e che ( )'' 3P Pz z m− = − si ricava che:

''''1.32 3 6.5 21.76

10= − + − ⇒ =P

Pu u kPa (130)

L’andamento della componente verticale della pressione, degli sforzi verticali totali ed efficaci sono rappresentati in fig. 23. Per il calcolo degli sforzi verticali si fa riferimento alle prime tre relazioni delle (145).

5

0

ζ (m

)

0

40

103

0

21.76

65

0

18.24

38

σv (kPa) u (kPa) σ'v (kPa)

Fig. 23 Esercizio 29 Il gradiente idraulico del moto di filtrazione, parallelo al pendio, è pari a:

( )sen 0.342i α= = (131)

con 20α = ° , inclinazione del pendio. La portata specifica per unità di lunghezza in direzione ortogonale al piano di filtrazione è data da:

[ ]5 5 210 110 0.342 3.42 10 /

1 1m mA mq k i m s

s m− −⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ (132)

Per il calcolo dell’andamento della pressione, si fa riferimento solo allo strato 2 , in quanto nello strato 1 , è nulla lungo tutto lo spessore. Si introduce a tal scopo la coordinata z.

L

12

a'

b'

a'h

b'h

H

z

P

A

zP'

B

P'

zP

12

z

Fig. 24 Con riferimento alla fig. 24 si può scrivere ( ' 0Pu = essendo P' sul pelo libero):

'' '

P PP P P P

w w

u uh h z zγ γ

= ⇒ − + = − +

' 0Pu =

(133)

quindi

( )'P w P Pu z zγ= − (134)

Ma da considerazioni geometriche:

( )' cosPPP z α= (135)

e

( ) ( ) ( )2' ' cos cosP P Pz z PP zα α− = = (136)

da cui:

( ) ( )2cosP w Pu z zγ α= (137)

ottenendo:

Punto z (m) u (kPa) A 0 0 B 10.6 94

L’andamento di u lungo l’asse z è riportato in figura 25.

u (kPa)

z

0

0

94

A

B

1

2

Fig. 25 Per effetto della risalita dei livelli idraulici il gradiente del moto di filtrazione e la portata che attraversa lo strato 2 rimane la medesima (si ricorda che lo strato 1 è impermeabile e pertanto non è interessato da fenomeni di filtrazione). Per quanto riguarda l’andamento delle pressioni, si osservi la fig. 26.

h a

bh

L

12

aa'

bb'

a'h

b'h

H

z

z

P

AzP'

B

P'

zP

1

2

P''

l

( )1 cosH α⋅

( )senl α⋅

P'''

Fig. 26 Si ha:

( )' '' senP P Ph h h l α= = − (138)

e allo stesso tempo,

'' '''P Ph h= (139)

Quindi si può scrivere:

( )' ''' senP Ph h l α= − (140)

da cui:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

''' '

''' '''' '

sen

sen

P P

P PP P

w

h h l

u uz z l

α

αγ

− =

−− + − =

(141)

e dalla geometria

( ) ( ) ( )1''' ' sen cosP Pz z l Hα α− + − = (142)

e quindi, ricordando che ''' 0Pu =

( )1' cosP wu Hγ α= (143)

Noto ora 'Pu si procede in maniera del tutto analoga al caso precedente:

( ) ( )

( )( )( )

( ) ( )

'' '

12

21

cos0 cos

cos cos

P PP P P P

w

P wP

w

P w P w

u uh h z z

u Hz

u z H

γ

γ αα

γ

γ α γ α

−− = − + −

−= −

= +

(144)

Punto z (m) u (kPa)

A 0 47 B 10.6 141

La pressione nel primo strato continuerà ad essere nulla poiché essendo impermeabile non risentirà dell’effetto della risalita della falda. Il nuovo andamento delle pressioni in funzione di z è rappresentato in fig. 27.

u (kPa)

z

0

0 47

141

A

B

1

2

Fig. 27

Stato di sforzo geostatico Esercizio 1 Il livello medio di un lago è di 5 m rispetto al fondo (fig. 3). Determinare l’andamento dello sforzo efficace geostatico (σ'v e σ'h) al di sotto del letto del lago fino ad una profondità di 10 m (punto C), note le caratteristiche di ogni strato sotto riportate.

Strato 1 (NC): γsat=20 kN/m3 K0=0,5 Strato 2 (NC): γ sat= 18 kN/m3 K0=0,6 α =0,5

( ) ( ) αOCRNCKOCRK ⋅= 00

2

1

5 m2 m

5 m

5 m

A

B

C Un periodo di secca causa un abbassamento del livello dell’invaso di 3 m in maniera pressoché istantanea. Qual è l’andamento degli sforzi verticali totali ed efficaci nella nuova configurazione? Qual è ora lo sforzo orizzontale totale ed efficace nei punti A e B?

Esercizio 2 Con riferimento al deposito rappresentato in fig.1, si determini lo stato di sforzo geostatico, totale ed efficace, in corrispondenza dei punti medi dei due strati, denominati A e B. Le caratteristiche degli strati di terreno rappresentati sono riassunte in tabella 1.

argilla

A

B

2m

4m

1

2

sabbia fine

Figura 1

γtot [ kN/m3] φ’ H [m] OCR strato 1 16 30° 2 1,6 strato 2 20 25° 4 1

Tabella 1

Esercizio 3 Con riferimento al deposito argilloso normalconsolidato di figura a, si determini lo stato di sforzo geostatico in corrispondenza del punto A e si individui nel piano degli sforzi q - p’ il punto corrispondente. I dati relativi al deposito sono raccolti in tabella. In un secondo momento (t = 0), sulla superficie dello strato viene applicato, in maniera pressoché istantanea, un carico uniformemente distribuito pari a 50 kPa (fig. 8b). Si individuino nel piano q - p’ i punti rappresentativi degli stati tensionali efficaci del punto A, relativi agli istanti t = 0+ e t = :.

γd [kN/m3] γsat [kN/m3] h1 [m] h2 [m] hA [m] K0 Argilla 15 21 2 1,5 0,5 0,53

Ah2

1h

Ah

Figura a

2

1h

hhA A

50 kPa

Figura b

Esercizio 4

Il deposito stratificato, schematizzato in figura, è costituito da uno strato superficiale di sabbia di spessore H0 = 2 m con peso di volume γsat = 20 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio φ’ = 30°, sovrastante un banco argilloso di spessore H0 = 10 m con peso di volume γsat = 18 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio φ’ = 25°, appoggiato su uno strato di ghiaia. Il deposito è inizialmente normalconsolidato e saturo. Il piano di falda coincide con il piano campagna e il regime di pressione è idrostatico.

K0 = (1-sin φ’) * OCR0.5

Si determini: lo stato di sforzo, totale ed efficace, ad una profondità di 2m dal piano campagna (all’interfaccia fra lo strato sabbioso e quello argilloso); lo stato di sforzo, totale ed efficace, in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = -7m dal piano campagna). Sul deposito viene costruito un rilevato su un’area molto estesa rispetto allo spessore degli strati, il cui peso equivale a un carico verticale uniforme per unità di area pari a q = 40 kPa.

determinare la variazione di sforzo, totale ed efficace, indotta a lungo termine dalla costruzione del rilevato in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = -7m dal piano campagna). Il rilevato viene successivamente rimosso. determinare lo stato di sforzo, totale ed efficace a lungo termine, dopo la rimozione del rilevato in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = -7m dal piano campagna). Infine, il livello della falda presente nello strato ghiaioso si abbassa di due metri, mentre quello della falda superiore nello strato sabbioso rimane inalterato.

determinare lo stato di sforzo, totale ed efficace finale in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = -7m dal piano campagna), dopo la rimozione del rilevato e l’abbassamento del livello di falda. Esercizio 5 Stimare lo spostamento a livello di piano campagna a seguito della costruzione del rilevato: a seguito della rimozione del rilevato: a) a seguito dell’abbassamento del livello di seconda falda.

Si ricorda che lo spostamento richiesto è somma delle variazioni di altezza dei due strati deformabili. Nel calcolo si assuma il modulo edometrico Eed/carico se il terreno è in condizioni normalconsolidate, e Eed/scarico se, invece, si trova in condizioni sovraconsolidate.

Esercizio 6 Un deposito normalconsolidato è costituito da due strati di terreno granulare separati da uno strato di argilla, così come indicato in figura. Le caratteristiche di ciascuno strato sono riassunte in tabella.

Strato Spessore (m) φ’ (°)

γtot (kN/m3)

1 2 30 16 2 4 25 21 3 ---- 32 ----

Si determini lo stato di sforzo, totale ed efficace, ed i valori della pressione interstiziale in corrispondenza dei punti A e B.

Sabbia

Argilla

Ghiaia

2 m

4 m

1

2

3

A

B

Sabbia

Argilla

Ghiaia

2 m

4 m

1

2

3

B

A

scavo

A seguito di uno scavo, lo strato 1 di sabbia viene completamente rimosso. I livelli di falda rimangono inalterati. Si determini lo stato di sforzo, totale ed efficace, ed i valori della pressione interstiziale a regime, in corrispondenza dei punti A e B. Si determini, inoltre, il grado di sovraconsolidazione OCR in corrispondenza dei punti A e B. Si ricorda che K0 = (1-sin φ’) * OCR0.5.

Esercizio 7 Dato il deposito schematizzato in figura 1, si diagrammino gli andamenti dello stato di sforzo geostatico, totale ed efficace, fino ad una profondità di –10 m dal piano campagna, con riferimento alla condizione (a). Il deposito è inizialmente normalconsolidato. Il primo strato è sede di una falda con livello piezometrico coincidente con il piano campagna. Lo strato inferirore di sabbia è anch’esso sede di una falda con livello piezometrico indicato dal piezometro in figura. I coefficienti di spinta a riposo, in condizione di normale consolidazione, possono essere assunti pari a: K0 = 0.4 per lo strato superficiale di sabbia, K0 = 0.5 per il banco di argilla e K0 = 0.3 per lo strato sabbioso più profondo. I pesi per unità di volume sono indicati in figura.

Fig.1 Successivamente, il livello piezometrico della falda profonda si innalza fino a piano campagna

(condizione (b)). Dire quanto vale il grado di sovraconsolidazione in corrispondenza del punto P.

Esercizio 8

Il deposito stratificato, schematizzato in figura (a), è costituito da uno strato superficiale di sabbia di spessore H0 = 2 m con peso di volume γsat = 20 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio φ’ = 30°, sovrastante un banco argilloso di spessore H0 = 10 m con peso di volume γsat = 18 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio φ’ = 25°, appoggiato su uno strato di ghiaia. Il deposito è inizialmente normalconsolidato e saturo. Il piano di falda coincide con il piano campagna e il regime di pressione è idrostatico.

K0 = (1-sin φ’) * OCR0.5 Sul deposito (fig. (b)) viene costruito un rilevato su un’area molto estesa rispetto allo spessore degli strati, il cui peso equivale a un carico verticale uniforme per unità di area pari a q = 40 kPa.

z

Si determini: la variazione di sforzo totale ed efficace a breve e lungo termine nel punto medio dello strato argilloso; il grado di sovraconsolidazione OCR ad una profondità z = 9,5 m dal piano campagna dopo la costruzione del rilevato. Esercizio 9 Il deposito stratificato, schematizzato in figura, è originariamente costituito da uno strato superficiale 1 sovrastante uno strato sabbioso 2, a sua volta poggiante su uno strato argilloso 3. Il deposito è originariamente normalconsolidato. I dati relativi ai tre strati sono riassunti in tabella (si ricorda che K0

OC = K0NC * OCR0.5 ). Originariamente il piano di falda è posto a –2 m dal piano

campagna (figura 2a). STRATO Η0 γsat γd K0

NC [m] [kN/m3] [kN/m3] --- 1 2. --- 15. 0.6 2 2. 20. 18. 0.4 3 4. 18. --- 0.5

a) determinare l’andamento degli sforzi efficaci (σ’V0 , σ’H0 ) su tutto lo spessore del deposito nella

configurazione originaria b) lo strato superficiale viene successivamente eroso. Determinare il grado di sovraconsolidazione

OCR e la componente orizzontale di sforzo efficace,σ’H0 alla fine del processo di erosione (figura b) in corrispondenza della profondità A

c) nel corso del tempo, il piano di falda subisce un abbassamento di 2m rispetto alla sua posizione originaria (figura c). Determinare OCR e σ’H0 in A

d) infine sul deposito vengono riportati 4m di terreno con peso di volume totale γtot = 18 kN/m3. Determinare nuovamente OCR e σ’H0 in A (figura d)

Figura a Figura b

Figura c Figura d

Soluzione degli esercizi sullo stato di sforzo geostatico Esercizio 4 Ai fini della determinazione dello stato di sforzo nelle condizioni iniziali, si fa riferimento alle seguenti relazioni:

0

'' '

'

v

w

v v

h v

h h

zu z

uk

u

σ γγ

σ σσ σσ σ

= ⋅= ⋅

= −= ⋅

= +

(145)

con k0 dato dalla formula di Jaky:

( )0 1 sen 'k φ= − (146)

A

B 5m

zC

Fig. 28 Individuando il punto A e il punto B rispettivamente ad una profondità di –2m e di –7m dal piano campagna (fig. 28), è possibile scrivere la seguente tabella riassuntiva:

Punto z (m) 0vσ (kPa) u0 (kPa)

0'vσ (kPa)

0NCk

0'hσ (kPa)

0hσ (kPa)

sabbia: 0.500 10 30 A 2 40 20 20

argilla: 0.577 11.5 31.5

B 7 130 70 60 0.577 34.6 104.6

Occorre osservare che essendo il punto A di interfaccia tra lo strato di sabbia e lo strato di argilla, occorre valutare lo sforzo orizzontale con riferimento ad entrambi, essendo un punto di discontinuità per ( )'h zσ . Con riferimento alle condizioni di lungo termine, la variazione degli sforzi verticali totali ed efficaci a seguito della costruzione del rilevato è indipendente da z e pari al carico q:

' 40v v kPaσ σΔ = Δ = (147)

Analogamente anche la variazione degli sforzi orizzontali totali ed efficaci coincidono:

'h hσ σΔ = Δ (148)

e poiché il terreno si trova in condizioni normalconsolidate sia prima che dopo la realizzazione del rilevato tale variazione può essere espressa nella forma:

0' NCh h k qσ σΔ = Δ = ⋅ (149)

ovvero

' 0.577 40 23.08Δ = Δ = ⋅ =h hσ σ (150)

La successiva rimozione del rilevato, porta, a lungo termine, ad avere sforzi verticali coincidenti con quelli valutati nelle condizioni iniziali.

Punto z (m) 0dv vσ σ= (kPa) u (kPa)

0' '

dv vσ σ= (kPa)

B 7 130 70 60

La componente orizzontale di sforzo sarà invece differente rispetto a quella in condizioni indisturbate in quanto il terreno, a seguito dello scarico, risulta essere sovraconsolidato. Il grado di sovraconsolidazione OCR nel generico punto P è pari a:

( )( )( )

''

max

attuale

v

v

POCR P

Pσσ

= (151)

con 'maxvσ , massimo sforzo verticale efficace cui è stato soggetto il terreno in quel punto e '

attualevσ sforzo verticale efficace cui è soggetto il terreno nelle condizioni attuali. Quindi ricordando che

0.50 0OC NCk k OCR= (152)

le componenti di sforzo orizzontale totale ed efficace a seguito della rimozione del rilevato sono indicate nella tabella seguente:

0

' 'maxv v qσ σ= + (kPa) ' '

attuale dv vσ σ= (kPa) OCR 0OCk '

dhσ (kPa) dhσ (kPa)

B 100 60 1,667 0,745 44,7 114,7

Il successivo abbassamento della falda presente nello strato ghiaioso provoca una variazione della pressione nel punto B e conseguentemente una variazione degli sforzi efficaci. Poiché la permeabilità dello strato argilloso risulta essere notevolmente più bassa rispetto a quella dello strato sabbioso e dello strato ghiaioso, è possibile schematizzare la situazione nel seguente modo (fig. 29):

– la distribuzione delle pressioni è di tipo idrostatico sia nello strato sabbioso che in quello ghiaioso;

– all’interno dello strato di argilla si instaura un moto di filtrazione caratterizzato da un andamento lineare delle pressioni tra A e C.

A

B

C

20

100

0

20

0

0

100

z

sabbia

argilla

ghiaia

falda sup. falda inf. complessiva.

Fig. 29 Pertanto per la determinazione dell’andamento delle pressioni si valuteranno le pressioni nei punti A e C considerando le distribuzioni idrostatiche nei due strati indicati e successivamente il conseguente andamento nel tratto AC. Pertanto essendo il punto B di interesse a metà dello strato argilloso, ovvero punto medio di AC:

(100 20) (100 20)20 5 6010 2− +

= + ⋅ = =eBu kPa (153)

Quindi il nuovo valore di sforzo verticale efficace nel punto B sarà (quelli totali sono invariati):

0' 60 70= − =

ev v kPaσ σ (154)

Poiché il massimo sforzo efficace sopportato dal terreno nel punto B risulta essere stato pari a 100 kPa (dopo la costruzione del rilevato), ci si viene a trovare ancora in condizioni di sovraconsolidazione:

0

' 'maxv v qσ σ= + (kPa) ' '

attuale ev vσ σ= (kPa) OCR 0OCk '

ehσ (kPa) ehσ (kPa)

B 100 70 1.43 0.690 48.3 108.3

Esercizio 5 La componente verticale di deformazione εv (z) nel punto P a seguito di una variazione dello sforzo efficace Δσ’v (z) è data da:

( ) ( )( )

'ΔΔ = v

ved

zz

E zσ

ε (155)

con ( ) ( ) ( )' ' 'Δ = −v v fin vinizz z zσ σ σ . La variazione di altezza di ciascuno strato, ΔHi, è l’integrale della componente verticale di deformazione sull’altezza iniziale dello strato. Se la variazione di sforzo e il modulo edometrico sono costanti sullo spessore dello strato, quest’ultima è semplicemente data dal prodotto

( )/Δ = Δ ⋅ = Δ ⋅i v i v ed iH H E Hε σ . Se la variazione di sforzo è lineare, e il modulo edometrico è costante, l’integrale può essere semplicemente calcolato con il valor medio delle variazioni di sforzo e deformazione:

Δ = Δ ⋅i puntomedio iH Hε (156)

Lo spostamento del p.c. sarà dato da:

iiH HΔ = Δ∑ (157)

A seguito della costruzione del rilevato il terreno si mantiene in condizioni normalconsolidate e pertanto andrà utilizzato /

ied caricoE .

La variazione di sforzo verticale efficace nella soluzione dell’esercizio precedente è stata vista essere indipendente dalla profondità z e pari a q. Quindi si potrà scrivere:

1 1 3/

2 2 3/

40 0.00220 10

40 0.022 10

Δ = = =⋅

Δ = = =⋅

ed carico

ed carico

qE

qE

ε

ε (158)

da cui un abbassamento del piano campagna:

11 2

2

0.002 2 0.0040.204 20.4

0.02 10 0.2Δ = ⋅ =

⇒ Δ = Δ + Δ = =Δ = ⋅ =

H mH H H m cm

H m (159)

La rimozione del rilevato provoca una variazione di carico anch’essa costante con la profondità e pari a –q. Pertanto, trovandosi in condizioni sovraconsolidate (vedi esercizio precedente) sarà:

1 1 3/

2 2 3/

40 0.0002200 10

40 0.00410 10

− −Δ = = = −

⋅− −

Δ = = = −⋅

ed scarico

ed scarico

qE

qE

ε

ε (160)

da cui un innalzamento del piano campagna (indicato dal segno negativo di ΔH):

11 2

2

0.0002 2 0.00040.0404 4

0.004 10 0.04Δ = − ⋅ = −

⇒ Δ = Δ + Δ = − ≅ −Δ = − ⋅ = −

H mH H H m cm

H m (161)

La successiva variazione del livello della falda, non provoca alcuna variazione del regime delle pressioni, e quindi dello sforzo efficace, nei punti dello strato sabbioso (vedi esercizio precedente). Lo spostamento a livello del piano campagna in questo caso sarà pari a:

2H HΔ = Δ (162)

La variazione di sforzo efficace è lineare lungo lo spessore dello strato. Nel suo punto medio è pari a:

' ' ' 70 60 10Δ = − = − =e dv v kPaσ σ σ (163)

Sempre dall’esercizio precedente si osserva che il terreno si mantiene in condizioni sovraconsolidate e pertanto:

2 2 3/

' 10 0.00110 10

ΔΔ = = =

⋅ed scaricoEσε (164)

da cui un abbassamento del piano campagna:

2 20.001 10 0.01 0.01 1Δ = ⋅ = ⇒ Δ = Δ = =H m H H m cm (165)

Esercizio 8 Con riferimento alle condizioni di breve termine, la variazione degli sforzi efficaci totali, a seguito della costruzione del rilevato è indipendente da z e pari al carico q:

40v kPaσΔ = (166)

mentre:

40h u kPaσΔ = Δ = (167)

Con riferimento alle condizioni di lungo termine invece, si ha:

' 40v v kPaσ σΔ = Δ = (168)

La variazione degli sforzi orizzontali totali ed efficaci coincidono e si ha:

'h hσ σΔ = Δ (169)

e poiché il terreno si trova in condizioni normalconsolidate sia prima che dopo la realizzazione del rilevato tale variazione può essere espressa nella forma:

0' NCh h k qσ σΔ = Δ = ⋅ (170)

ovvero

' 0.577 40 23.08Δ = Δ = ⋅ =h hσ σ (171)

Il terreno rimane ovunque normalconsolidato poiché 0

' 'fv vσ σ> e conseguentemente anche alla

profondità z=9,5 m OCR=1. Esercizio 9

z

AH2

Fig. 1 Il calcolo dell’andamento degli sforzi verticali totali ed efficaci, quelli orizzontali e la pressione dell’acqua prima nella configurazione originaria (fig.1) sono rappresentati in fig. 2, tenendo presente che:

0

'' '

'

v

v v

h v

h h

zu

ku

σ γσ σσ σσ σ

= ⋅= −= ⋅

= +

(172)

ove dγ γ= per lo strato 1 (secco) e satγ γ= per gli strati 2 e 3.

8

7

6

5

4

3

2

1

0

z (m

)

0

3030

7070

142

0

00

2020

60

0

3030

5050

82

σv (kPa) σ'h (kPa)σ'v (kPa)u (kPa)

41

25

15A 12

20

Fig. 2 Il grado di sovraconsolidazione OCR nel generico punto P è pari a:

( )( )( )

''

max

attuale

v

v

POCR P

Pσσ

= (173)

con 'maxvσ , massimo sforzo cui è stato soggetto il terreno in quel punto e '

attualevσ sforzo cui è soggetto il terreno nelle condizioni attuali. Dopo il processo di erosione, poiché il terreno si trova inizialmente in condizioni normalconsolidate, '

maxvσ coincide con lo sforzo valutato nelle condizioni precedenti all’erosione ( ' 50

maxv kPaσ = ) mentre

( )2 2' ' 20 10 2 20

attualev H kPaσ γ= ⋅ = − ⋅ = (174)

Pertanto il grado di sovraconsolidazione e lo sforzo orizzontale efficace nella nuova configurazione sono indicati nella tabella seguente:

'attualevσ (kPa) OCR 0

OCk 'attualehσ (kPa)

max

''

attuale

v

v

OCRσσ

= 0.50 0OC NCk k OCR= 0' '

fin fin

OCh vkσ σ=

strato 2: 0.63 12.65 A 20 2.5

strato 3: 0.79 15.81

Occorre osservare che essendo il punto A di interfaccia tra lo strato 2 e lo strato 3, occorre valutare lo sforzo orizzontale con riferimento ad entrambi, essendo un punto di discontinuità per ( )'h zσ . Il successivo abbassamento del piano di falda, provoca una ulteriore variazione dello sforzo efficace nel punto A. Lo strato 2 si viene a trovare in condizioni secche e la pressione dell’acqua sempre nel punto A è nulla. Pertanto:

2 2' 18 2 36attualev d H kPaσ γ= ⋅ = ⋅ = (175)

Il massimo sforzo 'maxvσ risulta essere ancora quello valutato nella configurazione originaria

(50kPa) e pertanto il terreno è in condizioni sovraconsolidate. Pertanto le quantità richieste nel punto C sono riassunte nella tabella seguente:

'attualevσ (kPa) OCR 0

OCk 'attualehσ (kPa)

max

''

attuale

v

v

OCRσσ

= 0.50 0OC NCk k OCR= 0' '

fin fin

OCh vkσ σ=

strato 2: 0.47 16.98 A 36 1.39

strato 3: 0.59 21.22

A seguito del posizionamento del riporto, nel punto A, lo sforzo attuale è dato da:

2 2' 18 4 18 2 92attualev tot riporto dH H kPaσ γ γ= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = (176)

Si osserva che in questo caso, lo sforzo verticale valutato supera il massimo sforzo mai sopportato dal terreno fino ad ora (che si ricorda essere stato valutato in 50 kPa). Conseguentemente il terreno ritorna ad essere in condizioni normalconsolidate e pertanto:

'attualevσ (kPa) OCR 0

NCk 'attualehσ (kPa)

max

''

attuale

v

v

OCRσσ

= 0' 'fin fin

OCh vkσ σ=

strato 2: 0.4 36.8 A 92 1

strato 3: 0.5 46

Prove per la determinazione delle caratteristiche meccaniche

Prove edometriche

Esercizio 1 In figura 1 sono riportati gli abbassamenti misurati all’applicazione di un incremento di sforzo Δσv = 1600 kPa in un passo di carico di una prova edometrica eseguita su un campione di limo indisturbato. Per l’intervallo tensionale σv = 1600 ÷ 3200 kPa si determini: a) il modulo edometrico Eed b) il coefficiente di consolidazione cv (si ricorda che TV

50 = 0.197) c) il coefficiente di permeabilità k

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000tempo, t (min)

2.6

2.5

2.4

2.3

2.2

2.1

2.0

1.9

1.8

1.7

abba

ssam

ento

, δ (

mm

)

PROVA EDOMETRICA altezza iniziale del provino: H0 = 23.0mmlettura di zero del passo: δ0 = 1.71mm

passo di carico: 1600-3200 kPa

t1 4t1

δ0

Figura 1

Esercizio 2 Uno strato di limo normalconsolidato saturo, di altezza H0 = 6m viene sottoposto ad un incremento di sforzo verticale q = 50 kPa su un’area molto estesa rispetto al suo spessore (figura a). Si consideri il processo di carico istantaneo. Le caratteristiche dello strato sono riassunte in tabella. STRATO k γtot e0 IC cv Η0

[m/sec] [kN/m3] [---] [---] [m2/sec] [m] LIMO 10-9 20. 0.500 0.05 0.33*10-6 6.0

ARGILLA 10-11 18. 0.900 0.40 0.55*10-9 0.2

Si determini: a) il cedimento istantaneo dello strato di limo δBT b) il cedimento a lungo termine δLT c) il tempo t90 necessario per raggiungere un grado di consolidazione pari al 90% (si ricorda che

TV90 = 0.848)

d) il cedimento accumulato dopo 100 giorni (si faccia riferimento alla figura c). e) si valuti l’influenza sul cedimento complessivo e sui tempi di consolidazione della eventuale

presenza di una intercalazione continua di argilla (figura 2b) le cui caratteristiche sono riportate nella tabella precedente (è sufficiente una risposta qualitativa).

Figura a Figura b

Figura c Esercizio 3 Il deposito, schematizzato in figura, è costituito da uno strato sabbioso superficiale (1) sede della falda F1, sovrastante uno strato di argilla (2) di spessore 3m, a sua volta poggiante su uno strato di sabbia (3). Il carico idraulico totale dello strato di sabbia 3 è governato dal livello idrometrico F3. In tempi brevi rispetto ai tempi di risposta dello strato argilloso il livello idrometrico F3 scende di –1.5m (da F3A a F3B). Si consideri l’abbassamento del livello idrometrico F3 istantaneo. La falda superficiale F1 mantiene inalterato il suo livello. Si valuti: a) la variazione della componente verticale di sforzo efficace a breve termine Δσ’v

BT lungo lo spessore dello strato argilloso

b) la variazione della componente verticale di sforzo efficace a lungo termine Δσ’vLT lungo lo

spessore dello strato argilloso c) il valore della pressione u a 130 giorni di distanza dall’abbassamento idrometrico (è sufficiente

fornire i valori in corrispondenza delle quote corrispondenti ai punti A, B, C). Si faccia

riferimento alla soluzione analitica riportata in figura. Il coefficiente di consolidazione dello strato argilloso è pari a cv = 1. *10-7 m2/sec.

Esercizio 4 Sul deposito stratificato schematizzato in figura 1 deve essere realizzato un rilevato di altezza H=7m costipando della terra con peso di volume di 18 kN/m3 su un’area molto estesa rispetto allo spessore H1=8m dello strato argilloso saturo superficiale ( γargilla=20 kN/m3) al di sotto del quale si trova un strato impermeabile. Per la caratterizzazione meccanica dello strato argilloso intermedio è stata eseguita una prova edometrica su un campione indisturbato che ha fornito i dati riportati in fig. 2. Stimare la variazione di altezza dello strato argilloso a lungo termine indotta dalla costruzione del rilevato.

8m argilla

7m

edo4m

Figura 1

1 10 100 1000σ'v (kPa)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Indi

ce d

ei v

uoti,

e1 10 100 1000

σ'vmax

Figura 2

Esercizio 5 In figura sono riportati i dati di una prova edometrica eseguita su un provino indisturbato, prelevato a una profondità di –4.0 metri dal piano campagna in un deposito saturo di argilla limosa. Il livello di falda, in regime idrostatico, è coincidente con il piano campagna. Il peso saturo è pari a 20 kN/m3. L’indice dei vuoti iniziale, e0, è pari a 0.950. a) Si determini il grado di sovraconsolidazione OCR del deposito alla quota di prelievo del

campione; b) si determini graficamente la curva di compressibilità del materiale naturale.

1 10 100 1000sforzo verticale efficace, σ'v (kPa)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

indi

ce d

ei v

uoti,

e1 10 100 1000

Soluzione degli esercizi sulle prove edometriche

Esercizio 5 La costruzione per la determinazione di

max'vσ (pari a 110 kPa) è riportata in figura 30.

Conseguentemente:

100 2.540

OCR = = (177)

1 10 100 1000σ'v (kPa)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Indi

ce d

ei v

uoti,

e

1 10 100 1000

σ'vmax≅ 100 kPa

Fig. 30

Prove di taglio

Esercizio 1 In figura sono riportati i dati di una prova di taglio radiale. Determinare i parametri di resistenza al taglio di picco e residua.

0 1 2 3 4 5 6 7 8spostamento relativo, x (cm)

0

20

40

60

80

100

120

140

tens

ione

tang

enzi

ale

med

ia, τ

(kP

a)

σ'n=50 kPa

σ'n=150 kPa

σ'n=200 kPa

Esercizio 2 In tabella sono riportati i dati di rottura relativi a prove di taglio diretto eseguite su provini di un campione indisturbato aventi sezione circolare di diametro D = 60 mm.

Prova σv (kPa) T (N) 1 50 147 2 100 218 3 150 277 4 200 350

a) Determinare i parametri di resistenza al taglio che possono essere ricavati dai dati a

disposizione. b) Considerando una prova sul medesimo campione condotta a sforzo verticale di 350 kPa,

qual è il valore dello sforzo tangenziale a rottura τmax che ci si aspetta di rilevare?

Esercizio 3 In tabella sono riportati i dati di rottura relativi a prove di taglio diretto eseguite su provini di un campione indisturbato aventi sezione circolare di diametro d = 60 mm. Determinare i parametri di resistenza al taglio che possono essere ricavati dai dati a disposizione.

Prova Ν (kg) Tp (kg) Tres (kg)

1 14.13 8.54 4.60 2 28.27 14.18 9.10 3 56.54 26.10 18.55

Se sul medesimo terreno si eseguisse una prova triassiale standard consolidata drenata (CD) in cui si misura qf = 180 kPa, determinare i valori degli sforzi efficaci assiale e radiale a rottura σ’a

f e σ’rf.

Esercizio 4 In figura sono riportati i risultati di una prova di taglio anulare. Determinare i parametri di resistenza al taglio di picco e residua.

σn=200 kPa

σn=150 kPa

σn=100 kPa

I dati relativi a un’ulteriore prova, eseguita a sforzo normale pari a 50 kPa sono riportati in fig. 9.2. Sono consistenti con i precedenti? Perché?

Esercizio 5 In figura sono riportati i dati della fase di taglio di prove triassiali standard su sabbia di media densità relativa. Determinare i parametri di resistenza al taglio.

0 0.02 0.04 0.06 0.08deformazione assiale, εa

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

devi

ator

e, q

(M

Pa)

σ'r = 0.1 MPa

σ'r = 0.3 MPa

σ'r = 0.5 MPa

Esercizio 6 In tabella sono riportati i dati a rottura di una serie di prove di taglio diretto effettuate su campioni del medesimo terreno.

Provino σn (kPa) τp (kPa) 1 100 87 2 200 123 3 400 195

Determinare i parametri di resistenza al taglio. Dire inoltre, motivando la risposta, di che tipo di terreno si tratta.

Esercizio 7 Considerati i seguenti risultati ottenuti da prove di taglio diretto:

Prova σn (kPa) τf (kPa) 1 100 56 2 200 105 3 400 215

a) valutare i parametri di resistenza al taglio del terreno; b) Ipotizzando di eseguire su un campione del medesimo materiale una prova TXCU che a rottura

fornisce i valori q=180 kPa, e σr= 210 kPa dire se il valore u=110 kPa indicato dal trasduttore di pressione risulta essere consistente sulla base dell'inviluppo di rottura ricavato precedentemente.

Esercizio 8 La resistenza al taglio di un terreno è stata caratterizzata mediante l’esecuzione di tre prove di taglio diretto eseguite su tre provini cilindrici aventi sezione circolare di diametro 60 mm. Le tre prove eseguite a tre differenti livelli di carico verticale, pari rispettivamente a 300 N, 560 N e 700 N, hanno fornito i risultati riportati in figura, ove si riporta l’andamento della forza T in funzione dello spostamento orizzontale x.

Si determinino i parametri di resistenza al taglio del terreno in esame.

Esercizio 9

In figura sono riportati i dati di prove di taglio diretto eseguite su campioni indisturbati saturi di argilla. Si ricavino i parametri di resistenza a taglio del materiale.

0 2 4 6 8 10spostamento orizzontale, x (mm)

0

20

40

60

80

100

120

140

sfor

zo d

i tag

lio, τ

(kPa

)

σ'v = 275 kPa

σ'v = 151 kPa

σ'v = 69 kPa

Domanda 1 Descrivere brevemente una prova di taglio diretto. Dire a che scopo può essere eseguita e quali parametri possono essere deteminati.

Soluzione degli esercizi sulle prove di taglio

Esercizio 2 Dividendo i valori di T per l’area del provino (28.27 cm2) si ottiene:

Prova σv (kPa) τp (kPa) 1 50 52 2 100 77 3 150 98 4 200 124

Diagrammando tutte le prove nel medesimo piano τ, σ'n:

0 200 400 600σ' (kPa)

0

200

400

600

τ (k

Pa)

20

Fig. 31 da cui graficamente ' 27φ ≅ ° e ' 20c kPa≅ . Pertanto l’inviluppo di rottura è dato da:

( )20 ' tan 'maxτ σ φ= + ⋅ (178)

ovvero, eseguendo una prova a sforzo verticale di 350 kPa, 198max kPaτ ≅ .

Esercizio 4 Dai dati sperimentali riportati per ciascuna prova si ricavano i valori di resistenza a taglio di picco e residui:

Provino σn (kPa) τp (kPa) τr (kPa) 1 100 45 26 2 150 63 42 3 200 82 50

Diagrammando i valori di picco e residui nel medesimo piano τ, σ'n:

0 100 200 300σ'n (kPa)

0

40

80

120

τ (k

Pa)

10

Punti sper piccoInv. piccoPunti sper residuoInv. residuo

Fig. 32 da cui, interpolando i dati sperimentali mediante due opportune rette:

– picco: ' 20piccoφ ≅ ° , ' 10c kPa≅

– residuo: ' 15resφ ≅ ° Ricordando poi l’inviluppo di rottura:

( )( )

' tan ' '

' tan '

picco picco

res res

cτ σ φ

τ σ φ

= +

= (179)

si ricava, per che per la quarta prova piccoτ è consistente con gli inviluppi trovati mentre non lo è resτ .

0 100 200 300σ'n (kPa)

0

40

80

120

τ (k

Pa)

10

Inv. piccoInv. residuoPunti sper picco 50 kPaPunti sper residuo 50 kPa

Fig. 33

Esercizio 5 Dai grafici riportati nel testo del problema si ricava al picco:

σ' r (MPa) q (MPa) 0.1 0.39 0.3 1.08 0.5 1.63

Quindi per ogni prova si ricava

σ'r ' 'a r qσ σ= + 0.1 0.49 0.3 1.38 0.5 2.13

Disegnando i cerchi di Mohr rappresentativi dello stato di sforzo limite nel medesimo piano τ, σ':

0 1 2 3σ' (MPa)

0

0.4

0.8

1.2

1.6

τ (M

Pa)

0.490.1 2.1350.495 1.380.3

Fig. 34 si ricava graficamente: ' 40φ ≅ ° e ' 0c = . Esercizio 6 Diagrammando tutte le prove nel medesimo piano τ, σ'n:

0 200 400 600σ'n (kPa)

0

200

400

600

τ (k

Pa)

50

Fig. 35 si ricava graficamente: ' 20φ ≅ ° e ' 50c kPa= . Dai dati sperimentali ottenuti si può ipotizzare che il terreno sia un'argilla sovraconsolidata (c'>0).

Prove triassiali

Esercizio 1 In tabella sono riportati i dati a rottura relativi a prove triassiali eseguite su provini di un campione indisturbato: a) determinare i parametri di resistenza al taglio che possono essere ricavati dai dati (c’, φ’, cu) b) dire che tipo di terreno è stato presumibilmente sottoposto a prova c) determinare il valore della pressione uf che si sarebbe misurata a rottura nella prova TXUU

provino tipo prova σrf σa

f uf [kN/m2] [kN/m2] [kN/m2]

1 TXCD 300 477 200 2 TXCU 300 390 250 3 TXCD 500 1030 200 4 TXUU 200 280 ???

Esercizio 2 Su un provino di terreno con resistenza caratterizzata da coesione nulla c’= 0, e angolo di resistenza al taglio φ’ = 30°, viene eseguita una prova triassiale non standard nei seguenti passi:

- consolidazione isotropa fino a una pressione di cella σr = 500 kPa con contropressione B.P = 300 kPa

- incremento di sforzo deviatorico con Δσr = - Δσa/ 2 in condizioni drenate a B.P costante a) diagrammare i percorsi degli sforzi totali TSP ed efficaci ESP seguiti nel corso della prova b) determinare il valore del deviatore a rottura qf

Esercizio 3 In figura sono riportati i dati della fase di taglio di una prova triassiale consolidata non drenata standard eseguita su un terreno morenico. Un elemento di volume saturo dello stesso materiale viene assoggettato a un incremento di sforzo totale caratterizzato da Δσa = 50 kPa e Δσr = 20 kPa, in condizioni non drenate. Determinare l’incremento di sforzo efficace Δσ’a , Δσ’r indotto dalla variazione di sforzo totale.

0.000 0.004 0.008 0.012 0.016 0.020εa

0

5

10

15

20

25

30

35

40

q (k

Pa)

GRUBEN MORAINETXCU - p'0 = 50 kPa

0.000 0.004 0.008 0.012 0.016 0.020εa

0

10

20

30

40

50

Δu

(kP

a)

Esercizio 4 Su provini indisturbati di limo argilloso vengono eseguite tre prove triassiali non drenate di compressione standard i cui dati sono riportati in figura. Determinare i parametri di resistenza al taglio del terreno.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

εa [%]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

q [k

Pa]

σc = 600 kPa

σc = 400 kPa

σc = 200 kPa

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

εa [%]

0

50

100

150

200

250

300

350

u [k

Pa]

σc = 600 kPa

σc = 400 kPa

σc = 200 kPa

Esercizio 5 Su un provino di terreno, caratterizzato da un angolo di resistenza al taglio φ’=30° e coesione c’ nulla, viene eseguita una prova triassiale drenata non standard nei seguenti passi:

consolidazione isotropa fino a una pressione radiale σr = 450 kPa con contropressione B.P. = 300 kPa;

decremento di sforzo deviatorico con Δσr<0 e sforzo assiale totale costante. a) Si diagrammino i percorsi degli sforzi totali TSP ed efficaci ESP seguiti nel corso della prova. b) Si determinino i valori del deviatore a rottura qf e della pressione media efficace p’f a rottura.

Esercizio 6 L’esecuzione di una serie di prove triassiali standard consolidate non drenate hanno fornito su campioni di un medesimo terreno hanno fornito i seguenti risultati:

Prova σr (kPa) q (kPa) 1 100 210 2 200 438 3 300 644

Determinare i parametri di resistenza al taglio del terreno. Si ipotizzi ora, di eseguire le una prova non standard lungo un percorso di carico costituito da una consolidazione isotropa fino alla pressione di 250 kPa. e seguito da una fase di rottura drenata a pressione media costante. Determinare il valore atteso del deviatore a rottura. Un’interruzione di corrente ha poi reso inaffidabile il sistema di misura della pressione di cella durante l’esecuzione di una prova standard consolidata non drenata con BP=50 kPa. A partire dalla conoscenza del valore del deviatore a rottura qf= 90 kPa e del valore della pressione dei pori a rottura uf = 73 kPa sapreste dare una indicazione del valore della pressione di cella all’inizio della fase di taglio? Esercizio 7 Su un campione omogeneo di terreno vengono eseguite alcune prove triassiali. In tabella 1 sono riportati i dati a rottura di provini sottoposti a prove standard consolidate non drenate (TXCU).

provino pressione di cella, σr (kPa)

sforzo deviatorico a rottura, qf (kPa)

pressione interstiziale a rottura, uf (kPa)

1 200 117 110 2 400 242 210 3 800 465 440

Tabella 1

a) Determinare i parametri di resistenza al taglio del terreno.

b) In base al dato ottenuto, dire di che tipo di terreno si tratta.

c) Determinare il valore atteso per lo sforzo deviatorico a rottura per un provino omogeneo ai precedenti, sottoposto a una prova standard consolidata drenata, a partire da una pressione efficace di confinamento, p’0 = 200 kPa.

d) Determinare il valore atteso per lo sforzo deviatorico a rottura per un provino omogeneo ai precedenti, sottoposto a una prova non standard in condizioni drenate, che prevede una fase di consolidazione isotropa fino a una pressione efficace di confinamento, p’0 = 200 kPa, seguita da una diminuzione dello sforzo radiale, a sforzo assiale costante.

e) Diagrammare i percorsi tensionali efficaci seguiti dai provini c) e d) nel piano (p’, q).

Esercizio 8 In figura 1 sono riportati i dati di prove triassiali drenate standard su due provini di sabbia ricostituiti a differenti densità relative.

a) Determinare l’angolo di resistenza al taglio della sabbia alle due diverse densità relative.

b) Determinare i parametri di rigidezza E’ e ν’ per le due densità relative, e se ne difinisca l’intervallo di applicabilità.

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20deformazione assiale, εa (-)

0

50

100

150

200

250

300

350

sfor

zo d

evia

toric

o, q

(kP

a)

σ'r = 100 kPaDr = 20 %

Dr = 80 %

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20deformazione assiale, εa (-)

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

defo

rmaz

ione

vol

umet

rica,

εvo

l (-

)

σ'r = 100 kPaDr = 20%

Dr = 80%

Figura 1

Esercizio 9 In figura 1 e 2 sono riportati i dati di prove triassiali standard, rispettivamente consolidata drenata (TxCD) e consolidata non drenata (TxCU), eseguite su due provini dello stesso terreno.

0 10 20 30deformazione assiale, εa (%)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

sfor

zo d

evia

toric

o, q

(kP

a)

TxCDσc = 750 kPaBP = 200 kPa

0 5 10 15 20 25deformazione assiale, εa (%)

0

50

100

150

200

250

300

sfor

zo d

evia

toric

o, q

(kP

a)

TxCUσc = 300 kPaBP = 200 kPa

0 10 20 30deformazione assiale, εa (%)

-8

-6

-4

-2

0

2

defo

rmaz

ione

vol

umet

rica,

εvo

l (%

)

0 5 10 15 20 25deformazione assiale, εa (%)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

sovr

apre

ssio

ne n

eutra

, Δu

(kP

a)

Figura 1

Figura 2

a) Tracciare i percorsi tensionali totale ed efficace nei piani (p – q) e (p’ – q).

b) Determinare i parametri di resistenza al taglio del terreno.

c) Dire su che tipo di terreno sono state eseguite le prove.

Esercizio 10 Prove triassiali standard consolidate drenate (TxCD) hanno fornito su campioni di un medesimo terreno i seguenti risultati:

Provino σ’r (kPa) qf (kPa)

1 100 210 2 200 438 3 300 644

d) Determinare i parametri di resistenza al taglio del terreno. e) Si ipotizzi ora, di eseguire una prova non standard lungo un percorso tensionale costituito da

una consolidazione isotropa fino alla pressione di 250 kPa, seguita da una fase di rottura drenata a pressione media, p’, costante. Determinare il valore atteso del deviatore a rottura.

f) In una prova standard consolidata non drenata (TxCU) la rottura viene raggiunta per un valore del deviatore qf = 90 kPa, e misurando una pressione uf = 123 kPa. Determinare il valore della pressione isotropa efficace all’inizio della fase di taglio.

Esercizio 11

Un campione di argilla sovraconsolidata ha un inviluppo di resistenza al taglio di picco descritto da un angolo di resistenza al taglio φ’ = 25° e coesione intercetta c’ = 10 kPa.

Determinare il valore atteso per il deviatore a rottura qf in prove drenate eseguite secondo i seguenti percorsi tensionali:

a) Rottura triassiale standard a partire da una pressione isotropa efficace p’ = 200 kPa.

b) Rottura a p’ costante, dopo consolidazione isotropa a p’ = 200 kPa

c) Rottura a q = cost, dopo consolidazione anisotropa a p’ = 200 kPa, q = 50 kPa.

Esercizio 12 Nelle figure 1 e 2 sono riportati i dati di prove triassiali standard, rispettivamente consolidata

drenata (TxCD) e consolidata non drenata (TxCU), eseguite su due provini dello stesso terreno.

d) Determinare i parametri di rigidezza che possono essere ricavati dalle prove eseguite.

e) Determinare i parametri di resistenza al taglio del terreno.

f) Determinare la dilatanza a rottura per la prova eseguita in condizioni drenate e il valore del parametro di pressione interstiziale A di Skempton, a rottura per la prova eseguita in condizioni non drenate.

g)

0 10 20 30deformazione assiale, εa (%)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

sfor

zo d

evia

toric

o, q

(kP

a)

TxCDσc = 750 kPaBP = 200 kPa

0 5 10 15 20 25deformazione assiale, εa (%)

0

50

100

150

200

250

300

sfor

zo d

evia

toric

o, q

(kP

a)

TxCUσc = 300 kPaBP = 200 kPa

0 10 20 30deformazione assiale, εa (%)

-8

-6

-4

-2

0

2

defo

rmaz

ione

vol

umet

rica,

εvo

l (%

)

0 5 10 15 20 25deformazione assiale, εa (%)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

sovr

apre

ssio

ne n

eutra

, Δu

(kP

a)

Figura 1

Figura 2

Esercizio 13 Una sabbia con angolo di resistenza al taglio pari a 30° viene portata a rottura per compressione triassiale drenata non standard, secondo il seguente percorso:

1) compressione isotropa fino a p’ = σ’a = σ’r = 100 kPa. 2) incremento della componente assiale di sforzo Δσ’a = 50 kPa, a σ’r costante. 3) diminuzione della pressione isotropa efficace p’, a deviatore q costante, fino a rottura. a) tracciare il percorso degli sforzi efficaci nel piano p’ – q. b) determinare il valore del deviatore a rottura q f. c) determinare il valore della pressione isotropa efficace a rottura p’ f. Esercizio 14 Un limo argilloso normalconsolidato ha un angolo di resistenza al taglio pari a 30° e coesione intercetta c’ = 0. d) determinare il valore del deviatore qf a rottura in una prova di compressione drenata standard,

eseguita a partire da una pressione di confinamento totale p = 400 kPa con contropressione B.P. = 300 kPa.

e) determinare il valore della pressione neutra uf attesa a rottura in una prova di compressione non drenata standard, eseguita a partire da una pressione di confinamento totale p = 400 kPa con contropressione iniziale B.P. = 300 kPa, se il valore del deviatore a rottura è pari a qf = 50 kPa.

f) tracciare il percorso degli sforzi efficaci delle due prove nel piano p’ – q. Esercizio 15 Un limo argilloso normalconsolidato ha un angolo di resistenza al taglio pari a 30° e coesione intercetta c’ = 0. g) determinare il valore del deviatore qf a rottura in una prova di compressione drenata standard,

eseguita a partire da una pressione di confinamento totale p = 400 kPa con contropressione B.P. = 300 kPa.

h) determinare il valore della pressione neutra uf attesa a rottura in una prova di compressione non drenata standard, eseguita a partire da una pressione di confinamento totale p = 400 kPa con contropressione iniziale B.P. = 300 kPa, se il valore del deviatore a rottura è pari a qf = 50 kPa.

i) tracciare il percorso degli sforzi efficaci delle due prove nel piano p’ – q. Esercizio 16 Una serie di prove di laboratorio ha fornito per un certo tipo di terreno i seguenti parametri di resistenza al taglio:

c’ = 20 kPa φ’ = 28° cu = 35 kPa Se sul medesimo terreno si eseguissero:

- una prova triassiale non consolidata non drenata (UU) in cui si misura σrf = 170 kPa,

determinare il valore dello sforzo assiale totale a rottura σaf ;

- una prova triassiale consolidata drenata (CD) in cui si misurano qf = 215 kPa e uf = 200 kPa, determinare i valori degli sforzi totali assiale e radiale a rottura σa

f e σrf.

Esercizio 17 Una serie di prove triassiali standard drenate eseguite su provini omogenei di terreno ha fornito i seguenti valori a rottura:

Test σr kPa BP σ’a kPa A 392 200 710 B 248 100 545 C 392 100 1078

a) determinare i parametri di resistenza al taglio; b) si ipotizzi di eseguire una prova triassiale non standard che prevede una fase di consolidazione

anisotropa, fino a σr = 470 kPa, σa = 620 kPa, con B.P. = 300 kPa, e una successiva fase di rottura a p’ = costante. Determinare il valore del deviatore atteso a rottura.

Soluzione degli esercizi sulle prove triassiali

Esercizio 5 Ricordando che:

23

a rp σ σ+= (180)

che:

' 2 ''3

a rp p uσ σ+= = − (181)

e che

' 'a r a rq σ σ σ σ= − = − (182)

Alla fine del processo di consolidazione

' ' 150rp kPaσ= = e 0q = (183)

Poiché la prova è drenata, u = cost, cioè Δu=0 pertanto

2'3

a rp p σ σΔ + ΔΔ = Δ = (184)

e

a rq σ σΔ = Δ − Δ (185)

Sostituendo nella (184) e (185) gli incrementi di sforzo indicati ( 0aσΔ = ) si ottiene:

32' 23

r

r

q qp p

σ

σ

−ΔΔ Δ= = = −

Δ Δ Δ

(186)

Diagrammando il percorso nel piano (p', p) - q:

0 100 200 300 400 500p, p'(kPa)

0

100

200

300

400

500

q (k

Pa)

TSPESP

η=M

Fig. 36 Il provino raggiunge le condizioni limite per η=M:

' ' 83.31.5 ' 225 100

q Mp pq p q

= =⎧ ⎧⇒⎨ ⎨= − + =⎩ ⎩

(187)

con

( )( )

6sen '1.2

3 sen 'M

φφ

= =−

(188)

Esercizio 16 Il valore dello sforzo assiale a rottura nella prova triassiale non drenata è pari a:

240fa kPaσ = (189)

calcolato ricordando che:

2

f

uqc = (190)

Il cerchio di Mohr a rottura in termini di sforzi totali nella prova non drenata è rappresentato in fig. 37.

0 100 200 300σ' (kPa)

0

40

80

120

160

τ (k

Pa)

240170

uf

Fig. 37 Per la prova drenata, con riferimento alla fig. 38 l’inviluppo di rottura può essere scritto nella forma:

( ) ( )' ' ' '' cotg ' sen '2 2

f f f fa r a rcσ σ σ σφ φ

⎡ ⎤− += +⎢ ⎥⎣ ⎦

(191)

da cui ricordando che

' 'f f fa rq σ σ= − (192)

si ottiene:

' 299 e ' 84f fa rkPa kPaσ σ= = (193)

e

499 e 284f fa rkPa kPaσ σ= = (194)

0 400 800σ' (kPa)

0

200

400

600

τ (k

Pa)

49928429984

Sfrozi totaliSforzi efficaci

uf

φ'

c'

Fig. 38

Consolidazione

Esercizio 1 Un deposito è costituito da uno strato di sabbia ghiaiosa, sovrastante due strati di argilla, a loro volta poggianti su un substrato rigido. Il piano di falda è originariamente coincidente con il piano campagna (a). Valutare il cedimento a breve termine e il cedimento a lungo termine conseguenti ad un abbassamento della falda, su tutto lo spessore del deposito stratificato, pari a 4m (b).

strato spessore

[m] γd

[kN/m3]

γsat

[kN/m3]

k

[m/sec]

Eed

[kN/m2]

1 4. 16. 19. 5. * 10-5 50* 103

2 2. -- 20.5 6. * 10-9 5* 103

3 4. -- 19.5 5. * 10-9 3* 103

Esercizio 2 Su un banco argilloso omogeneo saturo, di spessore pari a 8m sovrastante uno strato di ghiaia sabbiosa permeabile, viene costruito un rilevato di dimensioni 80m x 80m, di altezza pari 2.m. Il peso di volume della terra messa in opera, γr , può essere assunto pari a 16 kN/m3 .

Prove di laboratorio eseguite su campioni indisturbati prelevati in sito hanno fornito i seguenti valori per i parametri meccanici e idraulici del banco argilloso:

• grado di sovraconsolidazione iniziale: OCR = 1

• indice dei vuoti iniziale: e0 = 0.800

• peso dell’unità di volume saturo: γsat = 19.5 kN/m3

• indice di compressione: IC = 0.10

• indice di ricarico: IR = 0.02

• coefficiente di consolidazione: cv = 2*10-7 m2/sec

• modulo di elasticità in condizioni non drenate: Eu = 4 MPa (da una prova triassiale standard consolidata non drenata eseguita a partire da p’o = 50 kPa)

• modulo di elasticità in condizione drenate E’ = 2 MPa (da una prova triassiale standard consolidata drenata eseguita a partire da p’o = 50 kPa)

• coefficiente di contrazione trasversale ν’ = 0.4 (dalla medesima prova TXCD).

a) stimare il massimo cedimento a breve termine δ ΒΤ del banco argilloso indotto dalla costruzione del rilevato.

b) stimare il massimo cedimento a lungo termine δ LΤ.

c) stimare il tempo necessario per maturare un cedimento pari al 90% del cedimento di consolidazione (Tv

90 = 0.848).

Esercizio 3 Rispondere alle domande a) e b) dell’esercizio precedente, assumendo che l’area di costruzione del rilevato sia di 4m x 4m.

Per un carico verticale uniformemente distribuito di intensità q su un’area quadrata di lato B poggiante su semispazio elastico, il cedimento massimo δ , al centro dell’area caricata, è dato dall’espressione:

δ = q B (1-ν 2) Iδ / Ε con Iδ = 1.15 Esercizio 4 Un deposito è costituito da un banco argilloso saturo di spessore pari a 8m sovrastante uno strato di sabbia ghiaiosa. Sul deposito viene costruito un rilevato di altezza Hr = 5m, compattando il terreno in modo che il suo peso di volume totale risulti pari a γr= 18 kN/m3. Il piano di falda può essere assunto coincidente con il piano campagna. Il peso totale del banco argilloso è stato stimato mediamente pari a γsat = 20 kN/m3. Per la sua caratterizzazione meccanica, è stato prelevato un campione indisturbato a una profondità di –4m dal piano campagna. Una prova edometrica, eseguita su un provino del campione prelevato, ha fornito le seguenti informazioni:

• il terreno è sovraconsolidato (OCR = 2)

• l’indice dei vuoti iniziale è pari a e0 = 0.685

• l’indice di compressione è pari a IC = 0.30

• l’indice di scarico-ricarico è pari a IR = 0.05

Calcolare il cedimento δ del banco argilloso indotto dalla costruzione del rilevato. Nel calcolo si faccia riferimento ai valori medi delle grandezze di interesse sull’intero spessore del banco.

Esercizio 5 Con riferimento all’esercizio precedente, determinare il tempo necessario per raggiungere un grado di consolidazione pari al 90% (Tv = 0.848), sapendo che il coefficiente di consolidazione e’ mediamente pari a cv = 10-3 cm2/sec.

Se il banco argilloso è interrotto da uno strato di sabbia di piccolo spessore, continuo, posizionato a circa 1/4 del suo spessore complessivo, quanto cambia il cedimentoa lungo termine? Quanto cambia il tempo necessario per raggiungere un grado di consolidazione pari al 90% ?

Esercizio 6 Su un deposito inizialmente normalconsolidato viene costruito un rilevato di altezza 1,5 m (fig.1) su un’area molto estesa rispetto allo spessore complessivo degli strati che costituiscono il deposito. Le caratteristiche degli strati di terreno rappresentati e del rilevato sono riassunte in tabella 1.

3m

5m

sabbia fine

argilla

1,5m

1

2

A

B

ghiaia

Figura 1

γtot [ kN/m3] φ’ H [m] e0 IC cv [m2/s] rilevato 18 32° 1,5 strato 1 15 30° 3 0,5 0,03 strato 2 20 25° 5 0,8 ??? 0,55*10-6

Tabella 1 Si determinino:

- gli andamenti dello sforzo verticale efficace σ’v con la profondità, prima e dopo la costruzione del rilevato;

- il grado di sovraconsolidazione OCR in corrispondenza dei punti A e B; - gli andamenti dello sforzo orizzontale efficace σ’h con la profondità, prima e dopo la

costruzione del rilevato. Sapendo, inoltre, che il cedimento complessivo δ del deposito è pari a 10 cm, si stimi l’indice di compressione IC2 dello strato di argilla. Infine, si calcoli il tempo necessario affinché lo strato di argilla raggiunga un grado di consolidazione Um = 40 % (si faccia riferimento alla fig. sottostante).

Esercizio 7 Sopra un deposito argilloso saturo superficiale, al di sotto del quale si trova un substrato impermeabile, viene realizzato un rilevato su un’area molto estesa rispetto allo spessore, H = 8 m, del deposito (fig. 1). Sapendo che lo strato argilloso è caratterizzato da un coefficiente di consolidazione cv = 0,5*10-6 m2/s, determinare: - il tempo t90 necessario per raggiungere un grado di consolidazione pari al 90% (si ricordi che

TV90

= 0,848); - il grado di consolidazione raggiunto dopo 150 giorni (si faccia riferimento alla figura 2)

8m argilla

7m rilevato

Figura 1

Figura 2 Esercizio 8 Dopo un anno dalla fine della costruzione del rilevato in figura, equivalente a un carico uniformemente distribuito pari a q = 40 kPa, l’assestimetro misura uno spostamento verticale della superficie superiore dello strato argilloso, δ, pari a 10 cm, mentre il piezometro, misura una pressione pari a 74 kPa a metà dello strato. Lo strato argilloso ha uno spessore originario H0 pari a 10m, e il livello di falda coincide con il piano campagna. Lo strato di sabbia superficiale ha spessore pari a 2 m. Dire se le misure sono compatibili una con l’altra e giustificare la risposta.

Esercizio 9 Dopo un anno dalla fine della costruzione del rilevato in figura, equivalente a un carico uniformemente distribuito pari a q = 40 kPa, un assestimetro posizionato all'interfaccia tra lo strato sabbioso e argilloso (fig. (c)) misura uno spostamento verticale della superficie dello strato argilloso

pari a 8,6 cm. Determinare quanto tempo occorre ancora attendere perché si possa ritenere conclusa la fase di consolidazione ovvero si registri un cedimento pari al 90% di quello finale. Lo strato di argilla ha un'altezza iniziale H0=10 m.

(c)

Esercizio 10 Si consideri la stratigrafia del bacino fluviale rappresentata in figura. Il banco di limo argilloso è normalconsolidato. Il suo modulo edometrico è pari a Eed = 4 MPa. Si valuti il cedimento indotto da un abbassamento del livello idrometrico del fiume pari a –2m rispetto al livello originario:

ee) a breve termine, ammettendo che l’abbassamento avvenga in tempi rapidi rispetto ai tempi di consolidazione dello strato di limo argilloso.

ff) a lungo termine, all’esaurimento del processo di consolidazione.

Esercizio 11 Si consideri il deposito in figura. Il livello piano di falda nel primo strato sabbioso coincide con il piano campagna, mentre la falda nel secondo strato sabbioso soggiace originariamente di 2m rispetto al piano campagna (a).

A seguito della modifica del regime idrologico, la seconda falda si abbassa, in tempi rapidi rispetto ai tempi di consolidazione del banco argilloso intermedio, di –2.m rispetto al livello originario, mentre il livello della prima falda rimane inalterato (b). Sapendo che il coefficiente di consolidazione dello strato argilloso è pari a cv = 8. 10-3 m2/giorno, determinare: a) il tempo necessario perché il grado di consolidazione medio Um raggiunga un valore pari al

90%. b) la pressione che si misurerebbe in corrispondenza della superficie superiore dello srato argilloso

dopo un anno; c) la pressione che si misurerebbe all’interfaccia con lo strato sabbioso inferiore dopo 90 giorni; d) la pressione che si misurerebbe al centro dello strato argilloso dopo 6 mesi.

Esercizio 12 Il deposito stratificato, schematizzato in figura, è costituito da uno strato superficiale di sabbia di spessore H0 = 2 m con peso di volume γsat = 20 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio φ’ = 30°, sovrastante un banco argilloso di spessore H0 = 10 m con peso di volume γsat = 18 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio φ’ = 25°, appoggiato su uno strato di ghiaia. Il deposito è inizialmente normalconsolidato e saturo. Il piano di falda coincide con il piano campagna e il regime di pressione è idrostatico.

e0=0.95

Sul deposito viene realizzata una fondazione superficiale di larghezza L su un'area molto estesa rispetto allo spessore degli strati sottoposta ad un carico uniforme q=75 kPa.

75 kPa

10 m5 m

5 m

2.5 m

2.5 m

argilla A

B

Sono inoltre noti i risultati di una prova edometrica eseguita su un provino di argilla prelevato dallo strato in esame ha fornito i seguenti risultati:

IC IR 0.30 0.025

Determinare: c) il cedimento a breve termine nello strato argilloso; e con riferimento alle condizioni di lungo termine: d) la deformazione nei punti A e B; e) il cedimento complessivo dello strato di argilla, valutato come somma dei cedimenti dei due

strati in cui è stato suddiviso. Esercizio 13 Un deposito normalconsolidato è costituito da due strati di terreno granulare separati da uno strato di argilla, così come indicato in figura. Le caratteristiche di ciascuno strato sono riassunte in tabella.

Strato Spessore (m) φ’ (°)

γtot (kN/m3) Ιc Ιr cv (m2/giorno)

1 2 30 16 0.02 0.004 ---- 2 4 25 21 0.2 0.05 4. 10-3 3 ---- 32 ---- ---- ---- ----

Sabbia

Argilla

Ghiaia

2 m

4 m

1

2

3

Sabbia

Argilla

Ghiaia

2 m

4 m

1

2

3B

A

scavo

C

Si ipotizzi ora che, a seguito di uno scavo, lo strato 1 di sabbia venga completamente rimosso. Assumendo che lo strato ghiaioso possa essere considerato un substrato rigido per gli strati soprastanti, si determini: a) l’entità del rigonfiamento a breve termine del sistema a seguito dello scavo;

b) l’entità del rigonfiamento a lungo termine; c) il valore della pressione in eccesso, in corrispondenza del punto C, a metà dello strato

argilloso, dopo un anno dalla fine dello scavo; d) il valore della pressione neutra che si misurerebbe dopo 6 mesi e dopo 2 anni dalla fine dello

scavo in corrispondenza dei punti A e B. Esercizio 14 Sul deposito saturo normalconsolidato rappresentato in figura, viene realizzato un rilevato su un’area molto estesa rispetto allo spessore complessivo del deposito, il cui peso equivale ad un carico uniforme verticale per unità di area pari a 50 kPa. Le caratteristiche del deposito sono riassunte in tabella1.

strato spessore

(m) γsat

(kN/m3) cv (m2/s)

1 3 21 8 · 10-3 2 8 19 5 · 10-7 3 ---- 22 1 · 10-2

Tabella 1

Assumendo che la costruzione sia portata a termine in tempi molto brevi rispetto ai tempi di consolidazione dello strato di argilla, si determinino:

f) il tempo necessario perché lo strato di argilla raggiunga un grado di consolidazione medio pari al 90%;

g) il grado di consolidazione medio raggiunto dallo strato di argilla 200 giorni dopo la fine della costruzione;

h) la pressione totale dell’acqua uw, nel punto medio P dello strato di argilla 200 giorni dopo la fine della costruzione.

i) il valore della pressione all’interfaccia fra lo strato argilloso e quello ghiaioso a 170 giorni dalla fine della costruzione.

Grado di consolidazione Uz – caso A

Grado di consolidazione Um

Esercizio 15 Su un deposito inizialmente normalconsolidato viene costruito un rilevato di altezza 1.5 m (fig.1) su un’area molto estesa rispetto allo spessore complessivo degli strati che costituiscono il deposito. Le caratteristiche degli strati di terreno rappresentati e del rilevato sono riassunte in tabella 1.

Figura 1

γtot [ kN/m3] φ’ H [m] e0 IC cv [m2/s]

rilevato 18 32° 1,5 strato 1 15 30° 3 0,5 0,03 strato 2 20 25° 5 0,8 ??? 0,55*10-6

Tabella 1 Si determinino, con riferimento a condizioni di lungo termine:

- gli andamenti dello sforzo verticale efficace σ’v con la profondità, prima e dopo la costruzione del rilevato;

- gli andamenti dello sforzo orizzontale efficace σ’h con la profondità, prima e dopo la costruzione del rilevato.

Sapendo, inoltre, che il cedimento complessivo δ del deposito è pari a 10 cm, si stimi l’indice di compressione IC2 dello strato di argilla. Si calcoli il tempo necessario affinché lo strato di argilla raggiunga un grado di consolidazione Um = 40 % (si faccia riferimento alla fig.2).

Figura 2

Esercizio 16 Un deposito normalconsolidato è costituito da uno strato superficiale di sabbia sovrastante due strati di argilla limosa (fig.1) e da uno strato inferiore di sabbia ghiaiosa. I parametri significativi degli strati sono riassunti in tabella 1. Inizialmente i livelli della falda superficiale e profonda coincidono. Successivamente, a seguito di un intenso sfruttamento, il livello piezometrico della falda più profonda diminuisce di 4m, mentre quello superficiale rimane inalterato. Determinare il cedimento indotto dall’abbassamento di falda.

γtot [ kN/m3] H [m] e0 IC k [m/s] sabbia 18 2 1.00 0.01 7. 10-4

argilla 1 20 4 0.80 0.10 4. 10-8 argilla 2 20 4 1.00 0.20 1. 10-8

Tabella 1

Figura 1 Esercizio 17 Su un deposito inizialmente normalconsolidato viene costruito un rilevato di altezza 1.5 m (fig.1) su un’area molto estesa rispetto allo spessore complessivo degli strati che costituiscono il deposito. Le caratteristiche degli strati di terreno rappresentati e del rilevato sono riassunte in tabella 1.

Figura 1

γtot [ kN/m3] φ’ H [m] e0 IC cv [m2/s]

rilevato 18 32° 1.5 strato 1 18 30° 3. 0.500 0.02 1.00*10-3 strato 2 20 25° 5. 1.000 0.10 0.50*10-6

Tabella 1 a) Determinare l’andamento dello stato tensionale efficace (σ’v e σ’h) con la profondità, sia a

breve termine, sia a lungo termine. b) Stimare il cedimento del deposito in tempi brevi rispetto ai tempi di costruzione, δBT, e il

cedimento complessivo a lungo termine, δLT . c) Stimare il tempo necessario perché lo strato di argilla raggiunga un grado di consolidazione

medio pari a Um = 35 % (si faccia riferimento alla fig.2). Con riferimento al medesimo istante temporale, si stimi il valore della pressione che verrebbe misurata da un piezometro posto all’interfaccia fra lo strato di argilla e lo strato di ghiaia sottostante.

Figura 2

Esercizio 18 Un deposito è costituito da uno strato di ghiaia sabbiosa, sovrastante due strati di argilla, a loro volta poggianti su un substrato rigido e permeabile. Il piano di falda è originariamente coincidente con il piano campagna (a).

strato spessore

(m)

γd

(kN/m3)

γsat

(kN/m3)

k

(m/sec)

Eed

(kN/m2)

1 4. 15. 20. 5. ∗ 10-5 100. ∗ 103

2 2. ------ 18. 5. ∗ 10-9 5. ∗ 103

3 4. ------ 20. 2. ∗ 10-9 10. ∗ 103

Nel tempo la falda si abbassa uniformemente su tutto lo spessore del deposito di 4m (b). Dopo l’abbassamento della falda, il peso di volume dello strato superiore può essere considerato pari a quello in condizioni secche γd. Assumendo che l’abbassamento della falda avvenga istantaneamente, si determini:

a) il cedimento indotto dall’abbassamento di falda a breve termine δBT; b) il cedimento a lungo termine δLT.

Soluzione degli esercizi sulla consolidazione

Esercizio 6 Prendendo il sistema di riferimento in fig. 39, l’andamento dello sforzo verticale efficace prima e dopo la costruzione del rilevato sono riportati in fig. 40. Viceversa quelli dopo la costruzione del rilevato, con riferimento alle condizioni di lungo termine sono rappresentati in fig. 41.

3m

5m

sabbia fine

argilla

1,5m

1

2

A

B

ghiaia

z

Fig. 39

8

7

6

5

4

3

2

1

0

z (m

)

0

22.5

4545

95

145

0

0

00

25

50

0

22.5

4545

70

95

0

40.6

σv (kPa) σ'h (kPa)σ'v (kPa)u (kPa)

55.1

22.5A 26.1

B

Fig. 40

8

7

6

5

4

3

2

1

0

z (m

)

27

49.5

7272

122

172

0

0

00

25

50

27

49.5

7272

97

122

13.5

56.26

σv (kPa) σ'h (kPa)σ'v (kPa)u (kPa)

70.76

36A 41.6

B

Fig. 41 Il cedimento dello strato di sabbia è dato da:

0 0

0

1 '1 1

1 1 10

' 3 22,5 27log 0.03log 0.021 2.11 0,5 22,51 '

v vC

v

HH I m cm

e

σ σ

σ

⎡ ⎤⎛ ⎞+ Δ ⎡ ⎤+⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟Δ = − = − = =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎢ ⎥+ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

(195)

da cui un cedimento dello strato di argilla:

2 17,9H H cmδΔ = − Δ = (196)

Invertendo la relazione utilizzata nella (195) si può determinare:

( )

0 0

0

202

22

2 '

2

1

0.200'

log'

C

v v

v

H eH

Iσ σ

σ

Δ ⋅ +

= − =⎛ ⎞+ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(197)

Il tempo necessario al raggiungimento di 40%mU = è (dal grafico: ( )40% 0.14v mT U = = ):

2 2

6

0.14 2.5 18.410.55 10

v v

v

T Ht giornic −

⋅ ⋅= = =

⋅ (198)

Esercizio 8 Il cedimento a lungo termine è dato da:

0' 20LT V vm H cmδ Δσ= ⋅ ⋅ = (199)

L’assestimetro, misura un cedimento di 10 cm, corrispondente ad un grado di consolidazione medio sullo strato pari a:

0.50mLT

U δδ

= = (200)

Fig. 42 Entrando con tale valore nel grafico in fig. 42 si legge il corrispondente Tv=0.2. Nel punto medio dello strato (Z=1), dove viene misurata la pressione nel medesimo istante, il grado di consolidazione UZ vale (leggendo dal grafico in fig. 43 sulla curva corrispondente a Tv=0.2):

( )0.2, 1 0.24Z vU T Z= = = (201)

Il valore teorico della pressione alla quota di misura è:

( )70 1 70 30.4 100.4idr eccteo zu u u U kPaΔσ= + = + − = + = (202)

che differisce sensibilmente dalla pressione misurata dal piezometro. Le due misure appaiono quindi incompatibili.

Fig. 43 OSSERVAZIONE: Il controllo della compatibilità delle misure può essere fatto anche, alternativamente, partendo dalla misura della pressione. Il piezometro misura una pressione di 74 kPa in corrispondenza del punto medio dello strato. A quella stessa quota, la pressione idrostatica vale

. 70idrwu z kPaγ= = (203)

pertanto il processo di consolidazione è ancora in atto e la sovrapressione che deve essere ancora dissipata è

74 70 4eccu kPa= − = (204)

Poiché la sovrapressione iniziale (a t=0) è uguale al carico q = 40 kPa, il grado di consolidazione locale Uz nel punto medio dello strato vale

1 0.9ecc

zuUq

= − = (205)

Entrando in fig. 43 con questo valore in corrispondenza di Z = 1, si legge il corrispondente Tv ≈ 0.97. Per questo valore di Tv, il grado di consolidazione medio (fig. 42) è Um ≈ 0.95. Ricordando la definizione di

( ). .

mL T

tU

δδ

= (206)

ed essendo

0' 20LT V vm H cmδ Δσ= ⋅ ⋅ = (207)

Si ricava dalla (205) che

( ) . .1 . 19m L Tanno U cmδ δ= = (208)

che differisce dallo spostamento verticale misurato dall’assestimetro.

Esercizio 9 A partire dalla conoscenza del valore del coefficiente di compressibilità volumetrica mv dello strato argilloso, è possibile ricavare il valore del cedimento a lungo termine dello strato argilloso:

0' 20LT V vm H cmδ Δσ= ⋅ ⋅ = (209)

L’assestimetro, misura un cedimento di 8,6 cm, corrispondente ad un grado di consolidazione medio sullo strato pari a:

0.43 43%mLT

U δδ

= = = (210)

Entrando con tale valore nel grafico in fig. 42 si legge il corrispondente Tv=0.15.

Fig. 44 Conseguentemente ricordando che:

2mm v UU

v

c tT

D⋅

= (211)

si ricava che, essendo 43 1t anno= , per 43%mU =

43 2 2 2

43

0,15 5 3,751

vv

T D mct anno⋅ ⋅

= = = (212)

Conseguentemente per 90%mU = si ha:

90 2 2

900,848 5 5,65

3,75v

v

T Dt annic⋅ ⋅

= = = (213)

ovvero occorre attendere ancora un tempo pari a:

90 43 4,65t t t anniΔ = − = (214)

Alternativamente è anche possibile scrivere che:

90 43 90

90 434390 43

v v v

v

T T Tt tt t T

= ⇒ = ⋅ (215)

Esercizio 10 A breve termine:

. .B T sabbiaδ δ= (216)

trascurabile rispetto ad un successivo cedimento dello strato argilloso. A lungo termine:

. .L T argillaδ δ≅ (217)

La variazione di sforzo efficace nello strato di argilla è pari a:

( ) ( )' ' 2 15 10 2 10v d m kPaΔσ γ γ= − ⋅ = − ⋅ = (218)

in quanto i 2 metri di sabbia inizialmente saturi divengono secchi per effetto dell'abbassamento del livello di falda. Pertanto:

0 3

' 10 4 0.01 14 10

v

ed

H m cmE

Δσδ = ⋅ = ⋅ = =⋅

(219)

Esercizio 11 La componente verticale di sforzo totale rimane inalterata mentre varia la pressione u sullo strato argilloso. Si ha con riferimento alla fig. 45

20

40

20

20

0

20

u0(kPa) uecc (kPa)uregime (kPa)

Fig. 45 Perché il grado di consolidazione medio raggiunga il 90%, ricordando che 90 0.848vT = , si ha:

2

90 8 2

0.848 4 4248 10 /

mt giornim giorno−

⋅= =

⋅ (220)

In corrispondenza della superficie superiore si ha la dissipazione istantanea delle sovrapressioni e pertanto si leggerà 20u kPa= indipendentemente dal tempo trascorso dall'inizio del processo di consolidazione. Analogo discorso all'interfaccia con lo strato sabbioso e pertanto sarà 20u kPa= indipendentemente dal tempo. Nel punto medio dello strato argilloso occorre invece valutare 6mesi

vT ovvero:

8 26

2

182 8 10 / 0.3644

mesiv

giorni m giornoTm

−⋅ ⋅= = (221)

Leggendo dal grafico sulla curva corrispondente a 6mesivT per 1.0Z = (fig. 46) si ottiene 0.75zU ≅ ,

da cui la pressione che si registrerà dopo 6 mesi nel punto medio dello strato:

( )20 1 0.75 20 25eccregimeu u u kPa= + = + − ⋅ = (222)

0.364

Fig. 46

Spinte su pareti

Esercizio 1 Determinare il valore della spinta agente sull’opera di sostegno schematizzata in figura. Si consideri che il paramento sia liscio e che il terreno alle spalle del muro di sostegno sia saturo, con drenaggio perfettamente efficiente. Successivamente, si determini il valore della spinta esercitata sull’opera nel caso in cui il drenaggio perda completamente la propria efficacia.

Esercizio 2 Si consideri il muro di sostegno rappresentato in figura. L’opera, di altezza pari a 3m, sostiene un terrapieno di argilla satura avente peso di volume γsat = 20 kN/m3, angolo di resistenza al taglio φ’ = 30°, coesione non drenata cu = 50 kPa e coesione efficace c’ = 10 kPa. Trascurando l’eventuale presenza di fessure di trazione nella parte superficiale del terreno di rinfianco, si determini lo stato di sforzo in corrispondenza del punto A, posto a quota –1m da piano campagna, nelle seguenti condizioni:

a) a breve termine, alla fine della costruzione dell’opera; b) a lungo termine, con terrapieno saturo e dreno perfettamente funzionante; c) a lungo termine, con terrapieno saturo e dreno completamente inefficiente.

Immaginando successivamente che sul terrapieno venga applicato un carico verticale uniforme per unità di area pari a 40 kPa, si determini l’incremento di sforzo, a breve e a lungo termine, agente sul muro in corrispondenza del punto A.

Esercizio 3 Considerato il muro di sostegno rappresentato in figura:

e note le caratteristiche di ciascuno strato:

strato γd (kN/m3)

γsat (kN/m3)

Cu (kPa)

c’ (kPa)

φ’ (°)

sabbia 15 18 --- 0 30 argilla --- 21 50 10 25

determinare la spinta complessiva sull’opera di sostegno, e la sua retta di applicazione dopo aver posizionato il sovraccarico q=20 kPa sia a breve che a lungo termine.

Esercizio 4 In figura è schematizzata una paratia a sbalzo che sostiene uno scavo in argilla.

a) Diagrammare le spinte agenti sulla parete a breve termine e a lungo termine, con riferimento al possibile meccanismo di collasso rotazionale attorno al punto P.

b) Dire fino a che altezza lo scavo sarebbe in grado di autosostenersi, in assenza della paratia di sostegno sia a breve termine che a lungo termine.

Soluzione degli esercizi sulle Spinte su pareti

Esercizio 1 La spinta sull’opera di sostegno viene calcolata con riferimento alla condizione limite attiva. Pertanto per il calcolo degli sforzi orizzontali occorre fare riferimento alla relazione:

' 'h a vkσ σ= ⋅ (223)

con

( )( )

1 sen ' 10.3331 sen ' 3ak

φφ

−= = =

+ (224)

Le due situazioni da analizzare sono:

gg) con dreno efficiente: la pressione dell’acqua è nulla in tutto il terreno alle spalle del muro (e conseguentemente la spinta Sw sul muro) mentre si instaura un moto di filtrazione 1D dal p.c. verso il dreno con gradiente idraulico unitario di cui si dovrà tenere conto. Lo sforzo efficace è somma dei contributi del peso del terreno e delle forze di filtrazione:

' 'v wz i zσ γ γ= ⋅ + ⋅ ⋅ (225)

da cui:

( )

0

3 2

0

' '

1 2010 10 30 /3 3 2

H

a vS S k z dz

zz dz kN m

σ= = ⋅ ⋅ =

= + ⋅ = =

∫

∫ (226)

hh) con dreno inefficiente: il moto di filtrazione si arresta e la distribuzione delle pressioni lungo lo spessore dello strato diviene idrostatica: occorre valutare oltre alla spinta esercitata dallo scheletro solido

0

' ' ' ' 15 /H

v a vz S k z dz kN mσ γ σ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ =∫ (227)

anche quella esercitata dall’acqua:

0

45 /H

w wS z dz kN mγ= ⋅ =∫ (228)

e quindi:

' 60 /wS S S kN m= + = (229)

Esercizio 2 A breve termine, alla fine della costruzione dell'opera, il terreno non risente dell'influenza del dreno e pertanto si avrà:

1 20v sat kPaσ γ= ⋅ = (230)

ed essendo in condizioni non drenate si opererà in termini di sforzi totali:

2 20 60 0 0h v hCuσ σ σ= − = − < ⇒ = (231)

Le due situazioni da analizzare a lungo termine sono:

ii) con dreno efficiente: la pressione dell’acqua è nulla in tutto il terreno alle spalle del muro (e conseguentemente la spinta Sw sul muro) mentre si instaura un moto di filtrazione 1D dal p.c. verso il dreno con gradiente idraulico unitario di cui si dovrà tenere conto. Lo sforzo efficace è somma dei contributi del peso del terreno e delle forze di filtrazione:

' 'v wz i zσ γ γ= ⋅ + ⋅ ⋅ (232)

Lo sforzo orizzontale in condizioni di spinta attiva sarà pari a:

( )( )

1 sen ' 1' ' 2 ' ,1 sen ' 3h a v a ak c k k

φσ σ

φ−

= ⋅ − ⋅ ⋅ = =+

(233)

Di conseguenza alla profondità di 1m:

' 20v kPaσ = e ' 0 ' 0h hkPaσ σ< ⇒ = (234)

jj) con dreno inefficiente: il moto di filtrazione si arresta e la distribuzione delle pressioni lungo lo spessore dello strato diviene idrostatica: occorre valutare oltre alla spinta esercitata dallo scheletro solido

' ' 1 10 ' ' 2 ' 0 ' 0v h a v a hkPa k c kσ γ σ σ σ= ⋅ = ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ < ⇒ = (235)

anche quella esercitata dall’acqua:

1 10w wu kPaγ= ⋅ = (236)

e quindi:

' 10h h wu kPaσ σ= + = (237)

A seguito dell'applicazione del carico verticale, l'incremento di sforzo agente sul muro a breve termine è pari a

40 kPaΔσ = (238)

e pertanto:

1 40 60v satσ γ= ⋅ + = (239)

da cui:

2 20 60 0 0h v hCuσ σ σ= − = − < ⇒ = (240)

e pertanto a breve termine:

0hΔσ = (241)

A lungo termine con dreno funzionante:

( )' ' 1 60v wi kPaσ γ γ= + ⋅ ⋅ = (242)

e quindi:

' ' 2 ' 8.45h a v ak c k kPaσ σ= ⋅ − ⋅ ⋅ = (243)

ovvero:

8.45h kPaΔσ = (244)

A titolo di completezza si riporta anche lo sforzo nel caso in cui il dreno sia occluso:

( )' ' 2 ' ' 1 2 ' 5.1h a v a a ak c k k q c k kPaσ σ γ= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = (245)

e

' 5.1 10 15.1h h wu kPaσ σ= + = + = (246)