Esercizi di Geotecnica
-
Upload
bruno-savino-masciandaro -
Category
Documents
-
view
1.793 -
download
44
description
Transcript of Esercizi di Geotecnica
Esercizi di Geotecnica
1
POLITECNICO DI TORINO
I FACOLTA’ DI INGEGNERIA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA EDILE
Esercizi svolti nel Corso di Geotecnica relativamente a:
Prove triassiali su rocce
Prove triassiali su argille
Verifiche di stabilità su muri e diaframmi
Carico limite e capacità portante su fondazione
Esercizi di Geotecnica
2
E S E R C I Z I O 1.
Tre provini cilindrici in roccia sono sottoposti a prova di compressione triassiale, tutti e tre hanno diametro
pari a 40mm e sono noti i valori della sollecitazione radiale e del carico normale alla rottura. Saranno
determinati:
a. i parametri di resistenza al taglio del materiale e rappresentati i corrispondenti criteri di resistenza sui
piani 𝜏 − 𝜎 , 𝜎1 − 𝜎3 , 𝑡 − 𝑠
b. il piano di rottura su un provino di riferimento
c. il valore della resistenza a compressione monoassiale
Ϭ3 [MPa] N [kg] N [kN]
prov.1 2 18600 186
prov.2 4 20400 204
prov.3 8 24800 248
I valori di N sono stati convertiti essendo 1𝑘𝑔 = 10−2𝑘𝑁
Area dei provini 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝐷2/4 = 1256,6 𝑚𝑚2 = 0,00125 𝑚2
Dal rapporto tra N ed A si ottengono le sollecitazioni assiali riportati in MPa
𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 1 𝜎1 =186
0,00125𝑘𝑁/𝑚2 = 148800 𝑘𝑁/𝑚2 → 𝜎1 = 148,8 𝑀𝑃𝑎
𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 2 𝜎1 =204
0,00125𝑘𝑁/𝑚2 = 163200 𝑘𝑁/𝑚2 → 𝜎1 = 163,2 𝑀𝑃𝑎
𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 3 𝜎1 =248
0,00125𝑘𝑁/𝑚2 = 198400 𝑘𝑁/𝑚2 → 𝜎1 = 198,4 𝑀𝑃𝑎
Esercizi di Geotecnica
3
a.1. PIANO 𝑡 − 𝑠
Nel seguito sono riportati i valori per t ed s rappresentati nel piano rispettivo
Ϭ1 [MPa] Ϭ3 [MPa] s = (Ϭ1+Ϭ3)/2 t = (Ϭ1-Ϭ3)/2
prov.1 148,8 2 75,4 73,4
prov.2 163,2 4 83,6 79,6
prov.3 198,4 8 103,2 95,2
La retta interpolante ha equazione 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 dove
𝑏 =𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣
𝑑𝑒𝑣= 0,786 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎
𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�) ∙ (𝑦𝑖 − �̅�) = 320,88 [𝑀𝑃𝑎]
𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 = 408,08 [𝑀𝑃𝑎]
�̅� = ∑𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
𝑁= 87,4 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥
�̅� = ∑𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3
𝑁= 82,73 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦
Con l’interpolazione dei punti t ed s si ricavano i parametri relativi
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 82,73 − 0,78 ∙ 87,4 = 14,01 [𝑀𝑃𝑎]
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,78) = 38° 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑡 − 𝑠
14
75,4; 73,483,6; 79,6
103,2; 95,2
y = 0,786x + 14
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120
t [M
Pa]
s [MPa]
Piano t-s
Esercizi di Geotecnica
4
a.2. PIANO 𝜏 − 𝜎
Riportando le coppie 𝜎1, 𝜎3 ricavate dai tre provini si ottengono i cerchi di Mohr a rottura rappresentati nel
piano 𝜏 − 𝜎 e sono dati i parametri indipendenti dallo stato tensionale 𝑐 e 𝜑
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(tan 𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0,78) = 51° 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑑′𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜
𝑐 =𝑎
cos 𝜑=
14
0,629= 22,25 [𝑀𝑃𝑎] 𝑐𝑜𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒
Ϭ1 [MPa] Ϭ3 [MPa]
prov.1 148,8 2
prov.2 163,2 4
prov.3 198,4 8
Esercizi di Geotecnica
5
a.3. PIANO 𝜎1 − 𝜎3
la retta interpolante ha equazione 𝜎1 = 𝐶𝑜 + 𝜎3𝑁Ф
𝑁Ф =1 + sin 𝜑
1 − sin 𝜑=
1 + sin 51
1 − sin 51= 7,97
𝐶𝑜 =2c cos φ
1 − sin φ=
2(22,25 MPa) cos 51°
1 − sin 51°= 125,66 MPa
2; 148,8
4; 163,2
8; 198,4
0
50
100
150
200
250
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ϭ1
[M
Pa]
ϭ3 [MPa]
Piano ϭ1-ϭ3
Esercizi di Geotecnica
6
b. INCLINAZIONE DEL PIANO DI ROTTURA
Considerando il provino 1 è individuato nel piano 𝜏 − 𝜎 il piano di rottura ottenuto con il metodo dell’origine
dei piani.
𝛼 =𝜋
4+
φ
2= 70,5° ; 𝛽 =
𝜋
4−
φ
2= 19,5°
c. RESISTENZA A COMPRESSIONE MONOASSIALE
Il valore della resistenza coincide con il parametro di resistenza a taglio del materiale che è già stato
utilizzato per la rappresentazione del criterio di resistenza nel piano 𝜎1 − 𝜎3
𝐶𝑜 =2c cos φ
1 − sin φ=
2(22,25 MPa) cos 51°
1 − sin 51°= 125,66 MPa
Esercizi di Geotecnica
7
E S E R C I Z I O 2.
Su un provino di calcare viene effettuata una prova di compressione monoassiale, il diametro del provino è di 62 mm e l’altezza è doppia rispetto al diametro. Di seguito sono ricavati i valori di
a. Resistenza a compressione monoassiale 𝐶𝑜
b. Modulo elastico secante 𝐸𝑆50 e rapporto di Poisson secante 𝜈𝑆50 in corrispondenza del valore 𝐶𝑜/2
La resistenza a compressione monoassiale è nota → 𝜎1 = 𝐶𝑜 = 68 𝑀𝑃𝑎
Si terrà conto della resistenza a compressione monoassiale media 𝐶𝑜/2 = 34 𝑀𝑃𝑎
Presa una retta parallela all’asse delle ascisse e passante per il punto 𝐶𝑜/2, si individuano le parallele
considerando un intervallo ∆𝜎 = 10 𝑀𝑃𝑎.
Per le due curve del diagramma, mandiamo le secanti che intercettano il punto 𝐶𝑜/2 e l’origine, quindi nei punti in cui le parallele incontrano la secante tracciamo l’ortogonale che ci darà i valori specifici sull’asse
delle ascisse (∆휀𝑠1, ∆휀𝑠3).
ricordando che 𝜇휀 = 휀 ∙ 10−6, ∆휀𝑠1 = 200𝜇휀, ∆휀𝑠3 = 75𝜇휀
𝐸𝑆50 =∆𝜎
∆휀𝑆1
=10 𝑀𝑃𝑎
200 ∙ 10−6= 50000 𝑀𝑃𝑎
𝜈𝑆50 =∆휀𝑆3
∆휀𝑆1
=50 ∙ 10−6
200 ∙ 10−6= 0,25
Esercizi di Geotecnica
8
E S E R C I Z I O 3.
Da una serie di prove di compressione triassiale su campioni di roccia sono ottenuti i risultati in tabella.
Saranno determinati:
a. i parametri di resistenza al taglio del materiale e rappresentati i corrispondenti criteri di resistenza sui
piani 𝜏 − 𝜎 , 𝜎1 − 𝜎3 , 𝑡 − 𝑠
b. il piano di rottura su un provino di riferimento
c. il valore della resistenza a compressione monoassiale
Ϭ3 [MPa] Ϭ1 [MPa]
prov.1 5 86
prov.2 10 104
prov.3 20 147
a.1. PIANO 𝑡 − 𝑠
Nel seguito sono riportati i valori per t ed s rappresentati nel piano rispettivo
Ϭ1 [MPa] Ϭ3 [MPa] s = (Ϭ1+Ϭ3)/2 t = (Ϭ1-Ϭ3)/2
prov.1 86 5 45,5 40,5
prov.2 104 10 57 47
prov.3 147 20 83,5 63,5
�̅� = ∑𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
𝑁
3
𝑖=1
= 62 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥
�̅� = ∑𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3
𝑁
3
𝑖=1
= 50,33 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦
La retta interpolante ha equazione 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 dove
𝑏 =𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣
𝑑𝑒𝑣= 0,608 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎
𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�) ∙ (𝑦𝑖 − �̅�)
3
𝑖=1
= 462 [𝑀𝑃𝑎]
𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
3
𝑖=1
= 759,5 [𝑀𝑃𝑎]
Esercizi di Geotecnica
9
Con l’interpolazione dei punti t ed s si ricavano i parametri relativi
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 50,33 − 0,608 ∙ 62 = 12,62 [𝑀𝑃𝑎]
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,608) = 31° 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑡 − 𝑠
12,62
45,5; 40,5
57; 47
83,5; 63,5
y = 0,608x + 12,62
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t [M
Pa]
s [MPa]
Piano t-s
Esercizi di Geotecnica
10
a.2. PIANO 𝜏 − 𝜎
Riportando le coppie 𝜎1, 𝜎3 ricavate dai tre provini si ottengono i cerchi di Mohr a rottura rappresentati nel
piano 𝜏 − 𝜎 e sono dati i parametri indipendenti dallo stato tensionale 𝑐 e 𝜑
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(tan 𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0,6) = 36° 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑑′𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜
𝑐 =𝑎
cos 𝜑=
12,62
0,809= 15,6 [𝑀𝑃𝑎] 𝑐𝑜𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒
Ϭ3 [MPa] Ϭ1 [MPa]
prov.1 5 86
prov.2 10 104
prov.3 20 147
Esercizi di Geotecnica
11
a.3. PIANO 𝜎1 − 𝜎3
la retta interpolante ha equazione 𝜎1 = 𝐶𝑜 + 𝜎3𝑁Ф
𝑁Ф =1 + sin 𝜑
1 − sin 𝜑=
1 + sin 36
1 − sin 36= 3,85
𝐶𝑜 =2c cos φ
1 − sin φ=
2(15,6 MPa) cos 36°
1 − sin 36°= 61,26 MPa
5; 86
10; 104
20; 147
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 5 10 15 20 25
ϭ1
[M
Pa]
ϭ3 [MPa]
Piano ϭ1-ϭ3
Esercizi di Geotecnica
12
b. INCLINAZIONE DEL PIANO DI ROTTURA
Considerato il provino 1 è stato individuato nel piano 𝜏 − 𝜎 il piano di rottura ottenuto con il metodo
dell’origine dei piani O.P.)
c. RESISTENZA A COMPRESSIONE MONOASSIALE
Il valore della resistenza coincide con il parametro di resistenza a taglio del materiale che è già stato
utilizzato per la rappresentazione del criterio di resistenza nel piano 𝜎1 − 𝜎3
𝐶𝑜 =2c cos φ
1 − sin φ=
2(15,6 MPa) cos 36°
1 − sin 36°= 61,26 MPa
Esercizi di Geotecnica
13
E S E R C I Z I O 4.
Un provino in roccia è interessato da una discontinuità avente le seguenti caratteristiche di resistenza a
taglio:
𝐽𝑅𝐶 = 14
𝐽𝐶𝑆 = 75 𝑀𝑃𝑎
𝜑𝑟 = 32°
ipotizzando che il provino sia sottoposto a stato tensionale in cui 𝜎1 = 80 𝑀𝑃𝑎, 𝜎3 = 20 𝑀𝑃𝑎 determinare:
a. le tensioni agenti sulla discontinuità e verificare la stabilità della stessa
b. la direzione del piano su cui agisce la massima 𝜏
c. tutti i risultati sul provino e sul cerchio di Mohr
stato tensionale principale 𝜎𝑥𝑦 = |20 00 80
| [𝑀𝑃𝑎]
angolo tra la normale al piano e l’asse x 𝛼 = 90° − 50° = 40°
𝜎𝑛 = 𝜎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝜎𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 20 ∙ 0,586 + 80 ∙ 0,413 → 44,79 𝑀𝑃𝑎
𝜏 = −1
2𝜎𝑥 cos 2𝛼 +
1
2𝜎𝑦 sen 2𝛼 = −
1
2∙ 20 ∙ 0,173 +
1
2∙ 80 ∙ 0,984 → 29,544 𝑀𝑃𝑎
Stato tensionale agente sulla superficie della discontinuità nel cerchio di Mohr
{𝐶 = (
𝜎1 + 𝜎3
2; 0) = (𝜎𝑚𝑒𝑑; 0)
𝑅 =𝜎1 − 𝜎3
2= 𝜏𝑚𝑎𝑥
→ {𝐶 = (50; 0) [𝑀𝑃𝑎]
𝑅 = 30 [𝑀𝑃𝑎]
Esercizi di Geotecnica
14
Applicando il criterio di Barton
𝜑𝑝 = 𝐽𝑅𝐶 ∙ log𝐽𝐶𝑆
𝜎𝑛
+ 𝜑𝑟 = 14 ∙ log75
44,79+ 32° = 35°, 13
𝜏𝑝 = 𝜎𝑛 ∙ tan 𝜑𝑝 = 44,79 𝑀𝑃𝑎 ∙ 0,7 = 31,51 𝑀𝑃𝑎
31,51 𝑀𝑃𝑎 > 29,54 𝑀𝑃𝑎 → 𝜏𝑝 > 𝜏𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
b. la direzione del piano su cui agisce la massima 𝜏
c. tutti i risultati sul provino e sul cerchio di Mohr
Esercizi di Geotecnica
15
E S E R C I Z I O 5.
Una superficie con lunghezza di 18m è sottoposta alla tensione normale media 𝜎𝑛 = 50 𝑘𝑃𝑎 lungo tutta la superficie. Determinare la resistenza a taglio della superficie sapendo che su porzioni di essa (L=10cm) sono noti i parametri
𝐽𝑅𝐶 = 14
𝐽𝐶𝑆 = 80 𝑀𝑃𝑎
𝜑𝑟 = 25°
Effetti di scala
𝐽𝑅𝐶𝑛 = 𝐽𝑅𝐶0 ∙ (𝐿𝑛
𝐿0
)−0,002𝐽𝑅𝐶0
= 14 ∙ (18𝑚
0,1𝑚)
−0,002∙14
= 3,27
𝜑𝑝 = 𝐽𝑅𝐶 ∙ log𝐽𝐶𝑆
𝜎𝑛+ 𝜑𝑏 = 3,27 ∙ log
80 𝑀𝑃𝑎
0,05 𝑀𝑃𝑎+ 25° = 35°, 47
𝜏𝑟 = 𝜎𝑛 ∙ tan 𝜑𝑝 = 50 ∙ 10−3MPa ∙ tan35°, 47 = 0,035 MPa = 35 KPa
Esercizi di Geotecnica
16
E S E R C I Z I O 6.
Una prova triassiale di tipo UU è effettuata su tre provini. In tabella sono riportati i risultati relativi a tale
prova, nell’esercizio verranno ricavati l’inviluppo di rottura e i parametri di resistenza a taglio.
prov.1 prov.2 prov.3
Ϭc [KPa] 300 400 500
(Ϭ1-Ϭ3)r [KPa] 350 338 342
PIANO 𝜏 − 𝜎
Per questo tipo di prova i calcoli sono effettuati in termini di tensioni totali
calcolo di 𝜎3𝑅, 𝜎1𝑅
𝜎3𝑅 = 𝜎𝐶
𝜎1𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅 + 𝜎3𝑅
prov.1 prov.2 prov.3
Ϭ3r=Ϭc [KPa] 300 400 500
Ϭ1r [KPa] 650 738 842
Esercizi di Geotecnica
17
PIANO 𝑡 − 𝑠
calcolo di 𝑡𝑅, 𝑠𝑅 dove
𝑡𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅/2
𝑠𝑅 = (𝜎1 + 𝜎3)𝑅/2
prov.1 prov.2 prov.3
𝑡𝑅 [𝑘𝑃𝑎] 175 169 171
𝑠𝑅 [𝑘𝑃𝑎] 475 569 671
Parametri di resistenza a taglio:
𝐶𝑢 = (𝑡𝑅1 + 𝑡𝑅2 + 𝑡𝑅3)/3 = 171,66 𝑘𝑃𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑎 𝑡𝑎𝑔𝑙𝑖𝑜 𝑛𝑜𝑛 𝑑𝑟𝑒𝑛𝑎𝑡𝑎
ϕu = 0
Esercizi di Geotecnica
18
E S E R C I Z I O 7.
In tabella sono riportati i risultati di tre prove triassiali CIU su argilla. Di seguito sono riportati nei punti i calcoli
necessari alla rappresentazione dello stato tensionale ed al tracciamento dell’inviluppo di resistenza a taglio
oltre che ad indicare gli stress-path totali ed efficaci della prova.
prov.1 prov.2 prov.3
Ϭ'c [KPa] 200 400 600
Ϭ3 [KPa] 200 400 600
(Ϭ1-Ϭ3)r [KPa] 147 301 473
Ur [kPa] 104 208 294
PIANO 𝜏 − 𝜎
essendo ∆𝑢 ≠ 0 le tensioni totali saranno diverse da quelle efficaci
calcolo di 𝜎3𝑅, 𝜎1𝑅 𝜎3𝑅′ , 𝜎1𝑅
′
𝜎3𝑅 = 𝜎𝐶 = 𝜎𝐶′ 𝜎1𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅 + 𝜎3𝑅
𝜎3𝑅′ = 𝜎3𝑅 − 𝑢𝑅 𝜎1𝑅
′ = 𝜎1𝑅 − 𝑢𝑅
prov.1 prov.2 prov.3
Ϭ3r=Ϭc=Ϭ'c [KPa] 200 400 600
Ϭ1r [KPa] 347 701 1073
Ϭ'3r [KPa] 96 192 306
Ϭ'1r [KPa] 243 493 779
Esercizi di Geotecnica
19
PIANO 𝑡 − 𝑠
Lo stato tensionale in questo piano sarà
𝑡𝑅′ = 𝑡𝑅 = (𝜎1𝑅
′ − 𝜎3𝑅′ )/2 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅/2
𝑠𝑅 = (𝜎1𝑅 + 𝜎3𝑅)/2
𝑠𝑅′ = (𝜎1𝑅
′ + 𝜎3𝑅′ )/2
prov.1 prov.2 prov.3
tr = t'r [KPa] 73,5 150,5 236,5
sr [KPa] 273,5 550,5 836,5
s'r [KPa] 169,5 342,5 542,5
Esercizi di Geotecnica
20
Rappresentazione dei risultati nel piano t-s,s’
Parametri di resistenza a taglio (graficamente)
𝑎′ = 0 𝛼′ = 24°
𝜑′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼′) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛32) = 26,44°
𝑐′ = 𝑎′/𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 0
Parametri di resistenza a taglio (analiticamente)
�̅� = ∑𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
𝑁= 351,5 [𝑘𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥
�̅� = ∑𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3
𝑁= 153,5 [𝑘𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦
𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�) ∙ (𝑦𝑖 − �̅�) = 30440 [𝑘𝑃𝑎]
𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 = 69686 [𝑘𝑃𝑎]
𝑏 =𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣
𝑑𝑒𝑣= 0,437 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎
Esercizi di Geotecnica
21
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 153,5 − 0,437 ∙ 351,5 = −0,05
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,437) = 23,60°
Parametri di resistenza a taglio (analiticamente)
𝛼′ = 24° 𝜑′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼′) = 25,90°
𝑎′ = 0 𝑐′ = 𝑎′/𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 0
Esercizi di Geotecnica
22
E S E R C I Z I O 8.
Da un deposito di argilla sono estratti 4 campioni alla profondità di 5m rispetto al piano di campagna e su tali campioni sono eseguite prove di compressione triassiale CK0U. Verranno determinati i parametri di resistenza a taglio 𝑐′, 𝜑′ relativi all’argilla in esame e la resistenza a taglio non drenata Cu per ognuno dei quattro provini.
prov.1 prov.2 prov.3 prov.3
Ϭ'vc [KPa] 20 50 100 200
Ϭ'hc [KPa] 9 22.5 45 90
(Ϭ1-Ϭ3)r [KPa] 17 44 95 190
Ur [KPa] 4 7 11 20
Stima dei parametri di resistenza a taglio
𝜎1𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅 + 𝜎3𝑅
𝜎3𝑅 = 𝜎ℎ𝐶 = 𝜎ℎ𝐶′
𝜎1𝑅′ = 𝜎1𝑅 − 𝑢𝑅
𝜎3𝑅′ = 𝜎3𝑅 − 𝑢𝑅
𝑡𝐶′ = 𝑡𝐶 = (𝜎𝑣𝐶
′ − 𝜎ℎ𝐶′ )/2 = (𝜎𝑣𝐶 − 𝜎ℎ𝐶)/2
𝑠𝐶′ = 𝑠𝐶 = (𝜎𝑣𝐶
′ + 𝜎ℎ𝐶′ )/2 = (𝜎𝑣𝐶 + 𝜎ℎ𝐶)/2
𝑡𝑅′ = 𝑡𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅/2 = (𝜎1𝑅
′ + 𝑢𝑅 − 𝜎3𝑅′ − 𝑢𝑅)/2
𝑠𝑅 = (𝜎1𝑅 + 𝜎3𝑅)/2 = (𝜎1𝑅′ + 𝑢𝑅 + 𝜎3𝑅
′ + 𝑢𝑅)/2
𝑠𝑅′ = 𝑠𝑅 − 𝑢𝑅
I calcoli sopracitati sono riportati nella tabella seguente per tutti i quattro provini
prov.1 prov.2 prov.3 prov.3
Ϭ'vc [KPa] 20 50 100 200
Ϭ'hc [KPa] 9 22,5 45 90
(Ϭ1-Ϭ3)r [KPa] 17 44 95 190
Ur [KPa] 4 7 11 20
Ϭ1r [KPa] 26 66,5 140 280
Ϭ3r [KPa] 9 22,5 45 90
Ϭ'1r [KPa] 22 59,5 129 260
Ϭ'3r [KPa] 5 15,5 34 70
tc = t'c [KPa] 5,5 13,75 27,5 55
sc = s'c [KPa] 14,5 36,25 72,5 145
tr=t'r [KPa] 8,5 22 47,5 95
sr [KPa] 17,5 44,5 92,5 185
s'r [KPa] 13,5 37,5 81,5 165
Esercizi di Geotecnica
23
Parametri di resistenza a taglio (graficamente)
𝑎′ = 0 𝛼′ = 30°
𝜑′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼′) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛30) = 35°
𝑐′ = 𝑎′/𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 0
Analiticamente
�̅� = ∑𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
𝑁= 74,375 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥
�̅� = ∑𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3
𝑁= 43,5 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦
𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�) ∙ (𝑦𝑖 − �̅�) = 7619,125 [𝑀𝑃𝑎]
𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 = 13329,19 [𝑀𝑃𝑎]
𝑏 =𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣
𝑑𝑒𝑣= 0,572 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 43,5 − 0,572 ∙ 74,375 = 0,74
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,572) = 29,77°
Esercizi di Geotecnica
24
Parametri di resistenza a taglio (analiticamente)
𝜑′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼′) = 34,89°
𝑐′ = 𝑎′/𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 0,85
Stima della resistenza a taglio non drenata in ogni campione
per il provino 1 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 8,5
per il provino 2 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 22
per il provino 3 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 47,5
per il provino 4 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 95
Resistenza a taglio non drenata nel provino in cui 𝜎𝑉0′ = 𝜎𝑉𝐶
′
se in uno dei quattro provini accade che 𝜎𝑉0′ = 𝜎𝑉𝐶
′ allora la 𝑡𝑚𝑎𝑥 a rottura corrisponde alla Cu in sito. Alla
profondità di estrazione dei provini (5m)
𝜎𝑉0′ = 𝜎𝑉0 − 𝑢0 = 𝛾𝑧 − 𝛾𝑤𝑧𝑤 = 20𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 5𝑚 − 10𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 5𝑚 = 100𝑘𝑃𝑎 − 50𝑘𝑃𝑎 = 50𝑘𝑃𝑎
𝜎𝑉0′ = 𝜎𝑉𝐶
′ → 𝑛𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 2
𝐶𝑢 = 𝜏𝑚𝑎𝑥𝑅 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 22 𝑘𝑃𝑎 → 𝐶𝑢 = 𝑓(𝜎𝑉0′ )
Esercizi di Geotecnica
25
E S E R C I Z I O 9.
Un muro è soggetto alla spinta del terreno (sabbia) su cui grava un carico uniformemente distribuito ed è
presente una falda a 8m. verrà calcolata la spinta attiva e verrà eseguita la verifica a ribaltamento e
scorrimento trascurando la spinta passiva.
In conformità con le ipotesi di Rankine:
- piano di campagna orizzontale
- paramento del muro verticale
- attrito nullo tra terreno e muro
i calcoli sono effettuati sulla base degli sforzi efficaci essendo le condizioni a lungo termine quelle più
sfavorevoli.
Sabbia 𝛾 = 21 𝑘𝑁/𝑚3 , 𝜑′ = 38°
Presenza di falda 𝛾𝑤 = 10 𝑘𝑁/𝑚3
Presenza di sovraccarico 𝑞 = 35 𝑘𝑃𝑎 = 35 𝑘𝑁/𝑚2
Di seguito sono riportate le formule da cui si ottengono i valori nella tabella che segue
𝜎𝑉0 = 𝛾 ∙ 𝑧 [𝑘𝑁/𝑚2]
𝑢0 = 𝑧 ∙ 𝛾𝑤 [𝑘𝑁/𝑚2]
𝜎′𝑉0 = 𝜎𝑉0 − 𝑢0 [𝑘𝑁/𝑚2]
𝜎′𝑎 = 𝜎′𝑉0 ∙ 𝑘𝑎 [𝑘𝑁/𝑚2]
𝑄 = 𝑞 ∙ 𝑘𝑎
𝑘𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2 (𝜋
4−
𝜑′
2) = 0,24
Esercizi di Geotecnica
26
𝜎𝑉0 𝑢0 𝜎𝑉0′ 𝜎𝑎
′ 𝑄
punti z [m] KN/m KN/mq KN/mq KN/mq KN/mq
A 0 0 0 0 0
8,4 B 8 168 0 168 40,32
C 9 189 10 179 42,96
Esercizi di Geotecnica
27
I calcoli sono stati eseguiti su 1metro lineare :
Le spinte sono date calcolando le rispettive aree
𝑃1 = 8 𝑚 ∙ 40,32 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 161,28 𝑘𝑁/𝑚
𝑃2 = 1 𝑚 ∙ 40,32 𝑘𝑁/𝑚2 = 40,32 𝑘𝑁/𝑚
𝑃3 = 1 𝑚 ∙ (42,96 − 40,32) 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 1,32 𝑘𝑁/𝑚
𝑃𝑤 = 1 𝑚 ∙ 10 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 5 𝑘𝑁/𝑚
𝑃𝑞 = 9 𝑚 ∙ 8,4 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 75,6 𝑘𝑁/𝑚
La spinta risultante (spinta attiva) è la seguente
𝑃𝑎 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃𝑤 + 𝑃𝑞 = 283,52 𝑘𝑁/𝑚
Il punto di applicazione delle spinte è quello più valle del muro, rispetto a tale punto sono calcolati i momenti
𝑀1 = 𝑃1 ∙ 𝑏1 = 161,28 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 3,67 𝑚 = 591,90 𝑘𝑁𝑚/𝑚
𝑀2 = 𝑃2 ∙ 𝑏2 = 40,32 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 0,5 𝑚 = 20,16 𝑘𝑁𝑚/𝑚
𝑀3 = 𝑃3 ∙ 𝑏3 = 1,32 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 0,33 𝑚 = 0,44 𝑘𝑁𝑚/𝑚
𝑀𝑤 = 𝑃𝑤 ∙ 𝑏𝑤 = 5 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 0,33 𝑚 = 1,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚
𝑀𝑞 = 𝑃𝑞 ∙ 𝑏𝑞 = 75,6 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 4,5 𝑚 = 340,20 𝑘𝑁𝑚/𝑚
Il momento totale è
𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑤 + 𝑀𝑞 = 954,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚
Esercizi di Geotecnica
28
VERIFICA A RIBALTAMENTO A MONTE DEL MURO
Calcolo dei momenti ribaltanti :
Il momento ribaltante è dato dalle rispettive spinte attive (forze orizzontali) moltiplicate per i relativi bracci;
esso tende ad instabilizzare la struttura.
Essendo state moltiplicate le spinte per i bracci rispettivi in precedenza, il momento ribaltante è il momento
totale
𝑀𝑟𝑖𝑏 = 𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑤 + 𝑀𝑞 = 648,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚
Calcolo dei momenti stabilizzanti :
Esercizi di Geotecnica
29
Il momento stabilizzante è dato dalle forze verticali moltiplicate per i rispettivi bracci, esso tende a
stabilizzare la struttura e quindi e a contrastare il ribaltamento della struttura.
Dividendo la sezione del muro in figure geometriche regolari.
Per ogni figura, moltiplicando il volume V per la densità del calcestruzzo (𝛾𝑐𝑙𝑠 = 25 𝑘𝑁/𝑚3) per le figure P1,
P2,P3 e per la densità della sabbia (𝛾𝑠𝑎𝑏𝑏𝑖𝑎 = 21 𝑘𝑁/𝑚3) per la figura P4, si ottiene il peso W. Dall’equilibrio
alla rotazione intorno al punto A si ottiene il valore di M.
V W bw M
mc/m kN/m m kNm/m
P1 4 100 0,66 66
P2 5,6 140 1,35 189
P3 5 125 2,5 312,5
P4 26,4 554,14 3,35 1857,24
Nel calcolo è stato trascurato il sovraccarico q che contribuisce alla stabilità del muro, andando quindi a
FAVORE DI SICUREZZA.
Infatti se la struttura è verificata senza considerare il carico (Q=q . 3,3); a maggior ragione considerandolo,
aumenterà il carico e il momento stabilizzante e con esso anche il Fattore di Sicurezza.
𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏 = 2424,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚
𝐹𝑠 = 𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏/𝑀𝑟𝑖𝑏 ≥ 1,5
𝐹𝑠 = 𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏/𝑀𝑟𝑖𝑏 = 2424,9/954,65 = 2,54 > 1,5 VERIFICATO
VERIFICA A SCORRIMENTO A MONTE DEL MURO
Tenendo conto dei pesi W delle figure calcolati per la verifica a ribaltamento, del coefficiente d’attrito 𝛿
terreno/piede del muro e della spinta attiva 𝑃𝑎 deve essere soddisfatta la disuguaglianza
𝐹𝑠 =∑ 𝑊𝑖 tan 𝛿
𝑃𝑎≥ 1,3
dove
𝛿 =2
3𝜑′ = 25,33 → tan 𝛿 = 0,47
𝑊𝑖 = 919,14 𝑘𝑁/𝑚
𝑃𝑎 = 283,52 𝑘𝑁/𝑚
→ 𝐹𝑠 =919,14 ∙ 0,47
283,52= 1,52 ≥ 1,3
VERIFICATO
Esercizi di Geotecnica
30
E S E R C I Z I O 10.
Con riferimento al caso riportato nel disegno eseguire la verifica a sifonamento del diaframma ( Fs=4 ),
nell’ipotesi di percorso semplificato. Calcolare la spinta attiva agente sul diaframma ed il suo punto di
applicazione, trascurando l’attrito tra struttura e terreno e considerando il moto di filtrazione.
In conformità con le ipotesi di Rankine:
- piano di campagna orizzontale
- paramento del muro verticale
- attrito nullo tra terreno e muro
i calcoli sono effettuati sulla base degli sforzi efficaci essendo le condizioni a lungo termine quelle più
sfavorevoli.
Argilla 𝛾 = 21 𝑘𝑁/𝑚3, 𝜑′ = 32°
Presenza di falda 𝛾𝑤 = 10 𝑘𝑁/𝑚3
Presenza di coesione 𝑐′ = 10 𝑘𝑃𝑎 = 10 𝑘𝑁/𝑚2
Esercizi di Geotecnica
31
Verifica a sifonamento del diaframma, nell’ipotesi di percorso semplificato:
𝐹𝑆 = 4
gradiente critico:
𝑖𝑐 =𝛾′
𝛾𝑤
=𝛾 − 𝛾𝑤
𝛾𝑤
=21 − 10
10= 1,1
gradiente richiesto:
𝑖𝑐𝐹𝑠 =𝑖𝑐
𝐹𝑠=
1,1
4= 0,275
Percorso semplificato di filtrazione:
𝐿 = 9𝑚 + 9𝑚 + 4𝑚 = 22𝑚
gradiente di efflusso:
𝑖𝑒 =∆𝐻
𝐿=
5
22= 0,227
0,275 > 0,227 → 𝑖𝑐𝐹𝑠 > 𝑖𝑒 VERIFICATO
Una ulteriore verifica è il calcolo del fattore di sicurezza reale
𝐹𝑆 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒 =𝑖𝑐
𝑖𝑒
≥ 𝐹𝑆 𝑟𝑖𝑐ℎ𝑖𝑒𝑠𝑡𝑜 → 𝐹𝑆 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒 =1,1
0,227= 4,85 ≥ 4
Esercizi di Geotecnica
32
Di seguito sono riportate le formule da cui si ottengono i valori nella tabella che segue:
𝜎𝑉0 = 𝛾 ∙ 𝑧 [𝑘𝑁/𝑚2]
𝑢𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝑧𝑤 ∙ 𝛾𝑤 [𝑘𝑁/𝑚2]
𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎 = 𝑖 ∙ 𝑧𝑤 ∙ 𝛾𝑤 [𝑘𝑁/𝑚2]
𝑢𝑡𝑜𝑡 = 𝑢𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 − 𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎 [𝑘𝑁/𝑚2] ( moto di filtrazione dall’alto verso il basso )
𝜎′𝑉0 = 𝜎𝑉0 − 𝑢0 [𝑘𝑁/𝑚2]
𝐶′ = − 2 ∙ 𝑐′ ∙ √𝑘𝑎
𝜎′𝑎 = 𝜎′𝑉0 ∙ 𝑘𝑎 − 2 ∙ 𝑐′ ∙ √𝑘𝑎 [𝑘𝑁/𝑚2]
𝑘𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2 (𝜋
4−
𝜑′
2) = 0,31
𝑖 = 0,227
punti z [m] KN/m KN/mq KN/mq KN/mq KN/mq KN/mq KN/mq
A 0 0 0 0 0 0 0 0
B 1 10 10 0 10 0 -11,14 -11,14
C 14 283 140 29,51 110,49 172,51 -11,14 42,34
Esercizi di Geotecnica
33
(11,14 + 42,34)𝑘𝑁/𝑚2 ∶ 13𝑚 = 42,34 𝑘𝑁/𝑚 ∶ 𝑋
𝑋 = 13𝑚 ∙ 42,34 𝑘𝑁/𝑚
(11,14 + 42,34)𝑘𝑁/𝑚2= 10,29 𝑚
Esercizi di Geotecnica
34
I calcoli sono stati eseguiti su 1metro lineare:
Le spinte sono date calcolando le rispettive aree
𝑃1 = 10,29𝑚 ∙ 42,34 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 217,84 𝑘𝑁/𝑚
𝑃𝑤1 = 1,00 𝑚 ∙ 10,00 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 5,00 𝑘𝑁/𝑚
𝑃𝑤2 = 13 𝑚 ∙ 10 𝑘𝑁/𝑚2 = 130 𝑘𝑁/𝑚
𝑃𝑤3 = 13 𝑚 ∙ (110,49 − 10,00) 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 653,18 𝑘𝑁/𝑚
La spinta risultante (spinta attiva) è la seguente:
𝑃𝑎 = 𝑃1 + 𝑃𝑤1 + 𝑃𝑤2 + 𝑃𝑤3 = 1006,02 𝑘𝑁/𝑚
Il punto di applicazione delle spinte è quello più valle del muro, rispetto a tale punto sono calcolati i momenti
𝑀1 = 𝑃1 ∙ 𝑏1 = 217,84 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 3,41 𝑚 = 747,19 𝑘𝑁𝑚/𝑚
𝑀𝑤1 = 𝑃𝑤1 ∙ 𝑏𝑤1 = 5,00 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 13,33 𝑚 = 66,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚
𝑀𝑤2 = 𝑃𝑤2 ∙ 𝑏𝑤2 = 130,00 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 6,5 𝑚 = 845,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚
𝑀𝑤3 = 𝑃𝑤3 ∙ 𝑏𝑤3 = 653,18 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 4,33 𝑚 = 2828,27 𝑘𝑁𝑚/𝑚
Il momento totale è
𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑤 + 𝑀𝑞 = 4487,11 𝑘𝑁𝑚/𝑚
Punto di applicazione della spinta attiva:
𝑀𝑡𝑜𝑡 = 𝑃𝑡𝑜𝑡 ∙ 𝑧𝑡𝑜𝑡 => 𝑧𝑡𝑜𝑡 =𝑀𝑡𝑜𝑡
𝑃𝑡𝑜𝑡
= 4487,11
1006,02= 4,46 𝑚
Esercizi di Geotecnica
35
E S E R C I Z I O 11.
Con riferimento alla fondazione riportata in figura si richiede di calcolare 𝑞𝑙𝑖𝑚, 𝑞𝑎𝑚𝑚
Nel caso in esame il terreno è un’argilla poco SC, le condizioni a breve termine in termini di sforzi efficaci
sono quelle più sfavorevoli, ma non conoscendo le ∆𝑢 ≠ 0 la formula di Brinch-Hansen non può essere
applicata. Quindi verrà applicato il Criterio di Tresca in termini di sforzi totali.
𝑞𝑙𝑖𝑚 = 𝐶𝑢 ∙ 𝑁𝑐 ∙ 𝑠𝑐0 ∙ 𝑑𝑐
0 ∙ 𝑖𝑐0 ∙ 𝑏𝑐
0 ∙ 𝑔𝑐0 + 𝑞
𝐶𝑢/𝜎′𝑣0 = 0,34
𝑁𝑐 = 2 + 𝜋 = 5,14 𝑓𝑎𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡à 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑞 = 𝜎𝑣0 = 𝛾 ∙ 𝐷 𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑐𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 (𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖)
𝑠𝑐0 = 1 + 0,4𝐵/𝐿 = 1,16 𝑓𝑎𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
𝑑𝑐0 = 1 + 0,2𝐷/𝐵 = 1,08 𝑓𝑎𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡à 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑎 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 1𝑚
𝑖 = 1 𝑖𝑛 𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐ℎ𝑖
𝑏 = 𝑔 = 1 𝑝𝑒𝑟𝑐ℎè 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑖
I coefficienti correttivi s, d, i, b, g hanno lo stesso significato di quelli considerati nella formula di Brinch-
Hansen
𝑞 = 𝛾 ∙ 𝐷 = 19 𝑘𝑁/𝑚2
𝑧𝑢 = 𝐷 + 𝑧 = 1𝑚 +2𝐵
𝜋= 4,18𝑚 𝑧 = 3,18𝑚
𝜎′𝑉0 = (𝛾 ∙ 𝑧𝑢) − 𝛾𝑤(𝑧𝑢 − 𝐷) = (19𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 4,18𝑚) − (10𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 3,18𝑚) = 47,62 𝑘𝑁/𝑚2
𝐶𝑢 = 0,34 ∙ 𝜎′𝑣0 = 16,19 𝑘𝑁/𝑚2
𝑞𝑙𝑖𝑚 = 𝐶𝑢 ∙ 𝑁𝑐 ∙ 𝑠𝑐0 ∙ 𝑑𝑐
0 ∙ 𝑖𝑐0 ∙ 𝑏𝑐
0 ∙ 𝑔𝑐0 + 𝑞 → 𝑞𝑙𝑖𝑚 = 123,25 𝑘𝑁/𝑚2
𝑞𝑎𝑚𝑚 =𝑞𝑙𝑖𝑚−𝑞
𝐹𝑠+ 𝑞 → 𝑞𝑎𝑚𝑚 = 53,75 𝑘𝑁/𝑚2
Esercizi di Geotecnica
36
E S E R C I Z I O 12.
Con riferimento alla fondazione nastriforme poggiante su sabbia, si richiede di calcolare il 𝑞𝑙𝑖𝑚 ed eseguire
la verifica a capacità portante.
Dato che il terreno è una sabbia, siamo in condizioni drenate, ∆𝑢 = 0, la verifica è effettuata con la formula di
Brinch-Hansen in termini di gli sforzi efficaci.
𝑞𝑙𝑖𝑚 =1
2𝛾′ ∙ 𝐵 ∙ 𝑁𝛾 ∙ 𝑠𝛾 ∙ 𝑖𝛾 ∙ 𝑏𝛾 ∙ 𝑔𝛾 + 𝑞′ ∙ 𝑁𝑞 ∙ 𝑠𝑞 ∙ 𝑑𝑞 ∙ 𝑖𝑞 ∙ 𝑏𝑞 ∙ 𝑔𝑞
Calcolo dell’eccentricità
𝑒 =𝑀
𝑁=
20𝑘𝑁𝑚
170𝑘𝑁= 0,12 𝑚
Tenendo conto dell’eccentricità la base della fondazione di cui si tiene conto non è la base iniziale 𝐵, bensì
una base ridotta 𝐵𝑟
𝐵𝑟 = 𝐵 − 2𝑒 = 2,76 𝑚
Influenza della falda a livello di piano di campagna
𝛾′ = 𝛾 − 𝛾𝑤 = 22𝑘𝑁/𝑚3 − 10𝑘𝑁/𝑚3 = 12 𝑘𝑁/𝑚3
𝑞′ = 𝜎′𝑣0 = 𝛾′ ∙ 𝐷 = 12𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 3𝑚 = 36 𝑘𝑁/𝑚2
Esercizi di Geotecnica
37
Coefficienti correttivi
𝑠 = 1 𝑝𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑛𝑎𝑠𝑡𝑟𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑖
𝑏 = 1 𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒
𝑔 = 1 𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑎𝑔𝑛𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒
𝑑 = 1 𝑝𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑐𝑢𝑟𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐ℎ𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎
𝑖𝛾 = [1 −𝐻
𝑁]
𝑚+1
= [1 −85
170]
3
= 0,125
𝑖𝑞 = [1 −𝐻
𝑁]
𝑚
= [1 −85
170]
2
= 0,25
Fattori di capacità portante per 𝜑′ = 39° → {𝑁𝛾 = 92,25
𝑁𝑞 = 55,96
𝑞𝑙𝑖𝑚 =1
2𝛾′ ∙ 𝐵 ∙ 𝑁𝛾 ∙ 𝑖𝛾 + 𝑞′ ∙ 𝑁𝑞 ∙ 𝑖𝑞 → 𝑞𝑙𝑖𝑚 = 694,6 𝑘𝑁/𝑚2
VERIFICA DELLA CAPACITA’ PORTANTE
𝑞𝑠𝑒𝑟𝑣 =𝑊
𝐵𝑟∙1𝑚=
170𝑘𝑁
2,76𝑚2= 61,59 𝑘𝑁/𝑚2
𝐹𝑠 =𝑞𝑙𝑖𝑚
𝑞𝑠𝑒𝑟𝑣> 3 →
694,6
61,59= 11,28 > 3 VERIFICATO