Esercizi di Geotecnica

1

POLITECNICO DI TORINO

I FACOLTA’ DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA EDILE

Esercizi svolti nel Corso di Geotecnica relativamente a:

Prove triassiali su rocce

Prove triassiali su argille

Verifiche di stabilità su muri e diaframmi

Carico limite e capacità portante su fondazione

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2

E S E R C I Z I O 1.

Tre provini cilindrici in roccia sono sottoposti a prova di compressione triassiale, tutti e tre hanno diametro

pari a 40mm e sono noti i valori della sollecitazione radiale e del carico normale alla rottura. Saranno

determinati:

a. i parametri di resistenza al taglio del materiale e rappresentati i corrispondenti criteri di resistenza sui

piani 𝜏 − 𝜎 , 𝜎1 − 𝜎3 , 𝑡 − 𝑠

b. il piano di rottura su un provino di riferimento

c. il valore della resistenza a compressione monoassiale

Ϭ3 [MPa] N [kg] N [kN]

prov.1 2 18600 186

prov.2 4 20400 204

prov.3 8 24800 248

I valori di N sono stati convertiti essendo 1𝑘𝑔 = 10−2𝑘𝑁

Area dei provini 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝐷2/4 = 1256,6 𝑚𝑚2 = 0,00125 𝑚2

Dal rapporto tra N ed A si ottengono le sollecitazioni assiali riportati in MPa

𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 1 𝜎1 =186

0,00125𝑘𝑁/𝑚2 = 148800 𝑘𝑁/𝑚2 → 𝜎1 = 148,8 𝑀𝑃𝑎

𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 2 𝜎1 =204

0,00125𝑘𝑁/𝑚2 = 163200 𝑘𝑁/𝑚2 → 𝜎1 = 163,2 𝑀𝑃𝑎

𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 3 𝜎1 =248

0,00125𝑘𝑁/𝑚2 = 198400 𝑘𝑁/𝑚2 → 𝜎1 = 198,4 𝑀𝑃𝑎

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3

a.1. PIANO 𝑡 − 𝑠

Nel seguito sono riportati i valori per t ed s rappresentati nel piano rispettivo

Ϭ1 [MPa] Ϭ3 [MPa] s = (Ϭ1+Ϭ3)/2 t = (Ϭ1-Ϭ3)/2

prov.1 148,8 2 75,4 73,4

prov.2 163,2 4 83,6 79,6

prov.3 198,4 8 103,2 95,2

La retta interpolante ha equazione 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 dove

𝑏 =𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣

𝑑𝑒𝑣= 0,786 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�) ∙ (𝑦𝑖 − �̅�) = 320,88 [𝑀𝑃𝑎]

𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 = 408,08 [𝑀𝑃𝑎]

�̅� = ∑𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

𝑁= 87,4 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥

�̅� = ∑𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3

𝑁= 82,73 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦

Con l’interpolazione dei punti t ed s si ricavano i parametri relativi

𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 82,73 − 0,78 ∙ 87,4 = 14,01 [𝑀𝑃𝑎]

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,78) = 38° 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑡 − 𝑠

14

75,4; 73,483,6; 79,6

103,2; 95,2

y = 0,786x + 14

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120

t [M

Pa]

s [MPa]

Piano t-s

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4

a.2. PIANO 𝜏 − 𝜎

Riportando le coppie 𝜎1, 𝜎3 ricavate dai tre provini si ottengono i cerchi di Mohr a rottura rappresentati nel

piano 𝜏 − 𝜎 e sono dati i parametri indipendenti dallo stato tensionale 𝑐 e 𝜑

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(tan 𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0,78) = 51° 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑑′𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜

𝑐 =𝑎

cos 𝜑=

14

0,629= 22,25 [𝑀𝑃𝑎] 𝑐𝑜𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒

Ϭ1 [MPa] Ϭ3 [MPa]

prov.1 148,8 2

prov.2 163,2 4

prov.3 198,4 8

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a.3. PIANO 𝜎1 − 𝜎3

la retta interpolante ha equazione 𝜎1 = 𝐶𝑜 + 𝜎3𝑁Ф

𝑁Ф =1 + sin 𝜑

1 − sin 𝜑=

1 + sin 51

1 − sin 51= 7,97

𝐶𝑜 =2c cos φ

1 − sin φ=

2(22,25 MPa) cos 51°

1 − sin 51°= 125,66 MPa

2; 148,8

4; 163,2

8; 198,4

0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ϭ1

[M

Pa]

ϭ3 [MPa]

Piano ϭ1-ϭ3

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b. INCLINAZIONE DEL PIANO DI ROTTURA

Considerando il provino 1 è individuato nel piano 𝜏 − 𝜎 il piano di rottura ottenuto con il metodo dell’origine

dei piani.

𝛼 =𝜋

4+

φ

2= 70,5° ; 𝛽 =

𝜋

4−

φ

2= 19,5°

c. RESISTENZA A COMPRESSIONE MONOASSIALE

Il valore della resistenza coincide con il parametro di resistenza a taglio del materiale che è già stato

utilizzato per la rappresentazione del criterio di resistenza nel piano 𝜎1 − 𝜎3

𝐶𝑜 =2c cos φ

1 − sin φ=

2(22,25 MPa) cos 51°

1 − sin 51°= 125,66 MPa

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E S E R C I Z I O 2.

Su un provino di calcare viene effettuata una prova di compressione monoassiale, il diametro del provino è di 62 mm e l’altezza è doppia rispetto al diametro. Di seguito sono ricavati i valori di

a. Resistenza a compressione monoassiale 𝐶𝑜

b. Modulo elastico secante 𝐸𝑆50 e rapporto di Poisson secante 𝜈𝑆50 in corrispondenza del valore 𝐶𝑜/2

La resistenza a compressione monoassiale è nota → 𝜎1 = 𝐶𝑜 = 68 𝑀𝑃𝑎

Si terrà conto della resistenza a compressione monoassiale media 𝐶𝑜/2 = 34 𝑀𝑃𝑎

Presa una retta parallela all’asse delle ascisse e passante per il punto 𝐶𝑜/2, si individuano le parallele

considerando un intervallo ∆𝜎 = 10 𝑀𝑃𝑎.

Per le due curve del diagramma, mandiamo le secanti che intercettano il punto 𝐶𝑜/2 e l’origine, quindi nei punti in cui le parallele incontrano la secante tracciamo l’ortogonale che ci darà i valori specifici sull’asse

delle ascisse (∆휀𝑠1, ∆휀𝑠3).

ricordando che 𝜇휀 = 휀 ∙ 10−6, ∆휀𝑠1 = 200𝜇휀, ∆휀𝑠3 = 75𝜇휀

𝐸𝑆50 =∆𝜎

∆휀𝑆1

=10 𝑀𝑃𝑎

200 ∙ 10−6= 50000 𝑀𝑃𝑎

𝜈𝑆50 =∆휀𝑆3

∆휀𝑆1

=50 ∙ 10−6

200 ∙ 10−6= 0,25

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E S E R C I Z I O 3.

Da una serie di prove di compressione triassiale su campioni di roccia sono ottenuti i risultati in tabella.

Saranno determinati:

a. i parametri di resistenza al taglio del materiale e rappresentati i corrispondenti criteri di resistenza sui

piani 𝜏 − 𝜎 , 𝜎1 − 𝜎3 , 𝑡 − 𝑠

b. il piano di rottura su un provino di riferimento

c. il valore della resistenza a compressione monoassiale

Ϭ3 [MPa] Ϭ1 [MPa]

prov.1 5 86

prov.2 10 104

prov.3 20 147

a.1. PIANO 𝑡 − 𝑠

Nel seguito sono riportati i valori per t ed s rappresentati nel piano rispettivo

Ϭ1 [MPa] Ϭ3 [MPa] s = (Ϭ1+Ϭ3)/2 t = (Ϭ1-Ϭ3)/2

prov.1 86 5 45,5 40,5

prov.2 104 10 57 47

prov.3 147 20 83,5 63,5

�̅� = ∑𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

𝑁

3

𝑖=1

= 62 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥

�̅� = ∑𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3

𝑁

3

𝑖=1

= 50,33 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦

La retta interpolante ha equazione 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 dove

𝑏 =𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣

𝑑𝑒𝑣= 0,608 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�) ∙ (𝑦𝑖 − �̅�)

3

𝑖=1

= 462 [𝑀𝑃𝑎]

𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2

3

𝑖=1

= 759,5 [𝑀𝑃𝑎]

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Con l’interpolazione dei punti t ed s si ricavano i parametri relativi

𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 50,33 − 0,608 ∙ 62 = 12,62 [𝑀𝑃𝑎]

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,608) = 31° 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑡 − 𝑠

12,62

45,5; 40,5

57; 47

83,5; 63,5

y = 0,608x + 12,62

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t [M

Pa]

s [MPa]

Piano t-s

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a.2. PIANO 𝜏 − 𝜎

Riportando le coppie 𝜎1, 𝜎3 ricavate dai tre provini si ottengono i cerchi di Mohr a rottura rappresentati nel

piano 𝜏 − 𝜎 e sono dati i parametri indipendenti dallo stato tensionale 𝑐 e 𝜑

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(tan 𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0,6) = 36° 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑑′𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜

𝑐 =𝑎

cos 𝜑=

12,62

0,809= 15,6 [𝑀𝑃𝑎] 𝑐𝑜𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒

Ϭ3 [MPa] Ϭ1 [MPa]

prov.1 5 86

prov.2 10 104

prov.3 20 147

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a.3. PIANO 𝜎1 − 𝜎3

la retta interpolante ha equazione 𝜎1 = 𝐶𝑜 + 𝜎3𝑁Ф

𝑁Ф =1 + sin 𝜑

1 − sin 𝜑=

1 + sin 36

1 − sin 36= 3,85

𝐶𝑜 =2c cos φ

1 − sin φ=

2(15,6 MPa) cos 36°

1 − sin 36°= 61,26 MPa

5; 86

10; 104

20; 147

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20 25

ϭ1

[M

Pa]

ϭ3 [MPa]

Piano ϭ1-ϭ3

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b. INCLINAZIONE DEL PIANO DI ROTTURA

Considerato il provino 1 è stato individuato nel piano 𝜏 − 𝜎 il piano di rottura ottenuto con il metodo

dell’origine dei piani O.P.)

c. RESISTENZA A COMPRESSIONE MONOASSIALE

Il valore della resistenza coincide con il parametro di resistenza a taglio del materiale che è già stato

utilizzato per la rappresentazione del criterio di resistenza nel piano 𝜎1 − 𝜎3

𝐶𝑜 =2c cos φ

1 − sin φ=

2(15,6 MPa) cos 36°

1 − sin 36°= 61,26 MPa

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E S E R C I Z I O 4.

Un provino in roccia è interessato da una discontinuità avente le seguenti caratteristiche di resistenza a

taglio:

𝐽𝑅𝐶 = 14

𝐽𝐶𝑆 = 75 𝑀𝑃𝑎

𝜑𝑟 = 32°

ipotizzando che il provino sia sottoposto a stato tensionale in cui 𝜎1 = 80 𝑀𝑃𝑎, 𝜎3 = 20 𝑀𝑃𝑎 determinare:

a. le tensioni agenti sulla discontinuità e verificare la stabilità della stessa

b. la direzione del piano su cui agisce la massima 𝜏

c. tutti i risultati sul provino e sul cerchio di Mohr

stato tensionale principale 𝜎𝑥𝑦 = |20 00 80

| [𝑀𝑃𝑎]

angolo tra la normale al piano e l’asse x 𝛼 = 90° − 50° = 40°

𝜎𝑛 = 𝜎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝜎𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 20 ∙ 0,586 + 80 ∙ 0,413 → 44,79 𝑀𝑃𝑎

𝜏 = −1

2𝜎𝑥 cos 2𝛼 +

1

2𝜎𝑦 sen 2𝛼 = −

1

2∙ 20 ∙ 0,173 +

1

2∙ 80 ∙ 0,984 → 29,544 𝑀𝑃𝑎

Stato tensionale agente sulla superficie della discontinuità nel cerchio di Mohr

{𝐶 = (

𝜎1 + 𝜎3

2; 0) = (𝜎𝑚𝑒𝑑; 0)

𝑅 =𝜎1 − 𝜎3

2= 𝜏𝑚𝑎𝑥

→ {𝐶 = (50; 0) [𝑀𝑃𝑎]

𝑅 = 30 [𝑀𝑃𝑎]

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14

Applicando il criterio di Barton

𝜑𝑝 = 𝐽𝑅𝐶 ∙ log𝐽𝐶𝑆

𝜎𝑛

+ 𝜑𝑟 = 14 ∙ log75

44,79+ 32° = 35°, 13

𝜏𝑝 = 𝜎𝑛 ∙ tan 𝜑𝑝 = 44,79 𝑀𝑃𝑎 ∙ 0,7 = 31,51 𝑀𝑃𝑎

31,51 𝑀𝑃𝑎 > 29,54 𝑀𝑃𝑎 → 𝜏𝑝 > 𝜏𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

b. la direzione del piano su cui agisce la massima 𝜏

c. tutti i risultati sul provino e sul cerchio di Mohr

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E S E R C I Z I O 5.

Una superficie con lunghezza di 18m è sottoposta alla tensione normale media 𝜎𝑛 = 50 𝑘𝑃𝑎 lungo tutta la superficie. Determinare la resistenza a taglio della superficie sapendo che su porzioni di essa (L=10cm) sono noti i parametri

𝐽𝑅𝐶 = 14

𝐽𝐶𝑆 = 80 𝑀𝑃𝑎

𝜑𝑟 = 25°

Effetti di scala

𝐽𝑅𝐶𝑛 = 𝐽𝑅𝐶0 ∙ (𝐿𝑛

𝐿0

)−0,002𝐽𝑅𝐶0

= 14 ∙ (18𝑚

0,1𝑚)

−0,002∙14

= 3,27

𝜑𝑝 = 𝐽𝑅𝐶 ∙ log𝐽𝐶𝑆

𝜎𝑛+ 𝜑𝑏 = 3,27 ∙ log

80 𝑀𝑃𝑎

0,05 𝑀𝑃𝑎+ 25° = 35°, 47

𝜏𝑟 = 𝜎𝑛 ∙ tan 𝜑𝑝 = 50 ∙ 10−3MPa ∙ tan35°, 47 = 0,035 MPa = 35 KPa

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E S E R C I Z I O 6.

Una prova triassiale di tipo UU è effettuata su tre provini. In tabella sono riportati i risultati relativi a tale

prova, nell’esercizio verranno ricavati l’inviluppo di rottura e i parametri di resistenza a taglio.

prov.1 prov.2 prov.3

Ϭc [KPa] 300 400 500

(Ϭ1-Ϭ3)r [KPa] 350 338 342

PIANO 𝜏 − 𝜎

Per questo tipo di prova i calcoli sono effettuati in termini di tensioni totali

calcolo di 𝜎3𝑅, 𝜎1𝑅

𝜎3𝑅 = 𝜎𝐶

𝜎1𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅 + 𝜎3𝑅

prov.1 prov.2 prov.3

Ϭ3r=Ϭc [KPa] 300 400 500

Ϭ1r [KPa] 650 738 842

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PIANO 𝑡 − 𝑠

calcolo di 𝑡𝑅, 𝑠𝑅 dove

𝑡𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅/2

𝑠𝑅 = (𝜎1 + 𝜎3)𝑅/2

prov.1 prov.2 prov.3

𝑡𝑅 [𝑘𝑃𝑎] 175 169 171

𝑠𝑅 [𝑘𝑃𝑎] 475 569 671

Parametri di resistenza a taglio:

𝐶𝑢 = (𝑡𝑅1 + 𝑡𝑅2 + 𝑡𝑅3)/3 = 171,66 𝑘𝑃𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑎 𝑡𝑎𝑔𝑙𝑖𝑜 𝑛𝑜𝑛 𝑑𝑟𝑒𝑛𝑎𝑡𝑎

ϕu = 0

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18

E S E R C I Z I O 7.

In tabella sono riportati i risultati di tre prove triassiali CIU su argilla. Di seguito sono riportati nei punti i calcoli

necessari alla rappresentazione dello stato tensionale ed al tracciamento dell’inviluppo di resistenza a taglio

oltre che ad indicare gli stress-path totali ed efficaci della prova.

prov.1 prov.2 prov.3

Ϭ'c [KPa] 200 400 600

Ϭ3 [KPa] 200 400 600

(Ϭ1-Ϭ3)r [KPa] 147 301 473

Ur [kPa] 104 208 294

PIANO 𝜏 − 𝜎

essendo ∆𝑢 ≠ 0 le tensioni totali saranno diverse da quelle efficaci

calcolo di 𝜎3𝑅, 𝜎1𝑅 𝜎3𝑅′ , 𝜎1𝑅

′

𝜎3𝑅 = 𝜎𝐶 = 𝜎𝐶′ 𝜎1𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅 + 𝜎3𝑅

𝜎3𝑅′ = 𝜎3𝑅 − 𝑢𝑅 𝜎1𝑅

′ = 𝜎1𝑅 − 𝑢𝑅

prov.1 prov.2 prov.3

Ϭ3r=Ϭc=Ϭ'c [KPa] 200 400 600

Ϭ1r [KPa] 347 701 1073

Ϭ'3r [KPa] 96 192 306

Ϭ'1r [KPa] 243 493 779

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PIANO 𝑡 − 𝑠

Lo stato tensionale in questo piano sarà

𝑡𝑅′ = 𝑡𝑅 = (𝜎1𝑅

′ − 𝜎3𝑅′ )/2 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅/2

𝑠𝑅 = (𝜎1𝑅 + 𝜎3𝑅)/2

𝑠𝑅′ = (𝜎1𝑅

′ + 𝜎3𝑅′ )/2

prov.1 prov.2 prov.3

tr = t'r [KPa] 73,5 150,5 236,5

sr [KPa] 273,5 550,5 836,5

s'r [KPa] 169,5 342,5 542,5

Esercizi di Geotecnica

20

Rappresentazione dei risultati nel piano t-s,s’

Parametri di resistenza a taglio (graficamente)

𝑎′ = 0 𝛼′ = 24°

𝜑′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼′) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛32) = 26,44°

𝑐′ = 𝑎′/𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 0

Parametri di resistenza a taglio (analiticamente)

�̅� = ∑𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

𝑁= 351,5 [𝑘𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥

�̅� = ∑𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3

𝑁= 153,5 [𝑘𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�) ∙ (𝑦𝑖 − �̅�) = 30440 [𝑘𝑃𝑎]

𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 = 69686 [𝑘𝑃𝑎]

𝑏 =𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣

𝑑𝑒𝑣= 0,437 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎

Esercizi di Geotecnica

21

𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 153,5 − 0,437 ∙ 351,5 = −0,05

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,437) = 23,60°

Parametri di resistenza a taglio (analiticamente)

𝛼′ = 24° 𝜑′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼′) = 25,90°

𝑎′ = 0 𝑐′ = 𝑎′/𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 0

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22

E S E R C I Z I O 8.

Da un deposito di argilla sono estratti 4 campioni alla profondità di 5m rispetto al piano di campagna e su tali campioni sono eseguite prove di compressione triassiale CK0U. Verranno determinati i parametri di resistenza a taglio 𝑐′, 𝜑′ relativi all’argilla in esame e la resistenza a taglio non drenata Cu per ognuno dei quattro provini.

prov.1 prov.2 prov.3 prov.3

Ϭ'vc [KPa] 20 50 100 200

Ϭ'hc [KPa] 9 22.5 45 90

(Ϭ1-Ϭ3)r [KPa] 17 44 95 190

Ur [KPa] 4 7 11 20

Stima dei parametri di resistenza a taglio

𝜎1𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅 + 𝜎3𝑅

𝜎3𝑅 = 𝜎ℎ𝐶 = 𝜎ℎ𝐶′

𝜎1𝑅′ = 𝜎1𝑅 − 𝑢𝑅

𝜎3𝑅′ = 𝜎3𝑅 − 𝑢𝑅

𝑡𝐶′ = 𝑡𝐶 = (𝜎𝑣𝐶

′ − 𝜎ℎ𝐶′ )/2 = (𝜎𝑣𝐶 − 𝜎ℎ𝐶)/2

𝑠𝐶′ = 𝑠𝐶 = (𝜎𝑣𝐶

′ + 𝜎ℎ𝐶′ )/2 = (𝜎𝑣𝐶 + 𝜎ℎ𝐶)/2

𝑡𝑅′ = 𝑡𝑅 = (𝜎1 − 𝜎3)𝑅/2 = (𝜎1𝑅

′ + 𝑢𝑅 − 𝜎3𝑅′ − 𝑢𝑅)/2

𝑠𝑅 = (𝜎1𝑅 + 𝜎3𝑅)/2 = (𝜎1𝑅′ + 𝑢𝑅 + 𝜎3𝑅

′ + 𝑢𝑅)/2

𝑠𝑅′ = 𝑠𝑅 − 𝑢𝑅

I calcoli sopracitati sono riportati nella tabella seguente per tutti i quattro provini

prov.1 prov.2 prov.3 prov.3

Ϭ'vc [KPa] 20 50 100 200

Ϭ'hc [KPa] 9 22,5 45 90

(Ϭ1-Ϭ3)r [KPa] 17 44 95 190

Ur [KPa] 4 7 11 20

Ϭ1r [KPa] 26 66,5 140 280

Ϭ3r [KPa] 9 22,5 45 90

Ϭ'1r [KPa] 22 59,5 129 260

Ϭ'3r [KPa] 5 15,5 34 70

tc = t'c [KPa] 5,5 13,75 27,5 55

sc = s'c [KPa] 14,5 36,25 72,5 145

tr=t'r [KPa] 8,5 22 47,5 95

sr [KPa] 17,5 44,5 92,5 185

s'r [KPa] 13,5 37,5 81,5 165

Esercizi di Geotecnica

23

Parametri di resistenza a taglio (graficamente)

𝑎′ = 0 𝛼′ = 30°

𝜑′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼′) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛30) = 35°

𝑐′ = 𝑎′/𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 0

Analiticamente

�̅� = ∑𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

𝑁= 74,375 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥

�̅� = ∑𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3

𝑁= 43,5 [𝑀𝑃𝑎] 𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑦

𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�) ∙ (𝑦𝑖 − �̅�) = 7619,125 [𝑀𝑃𝑎]

𝑑𝑒𝑣 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 = 13329,19 [𝑀𝑃𝑎]

𝑏 =𝑐𝑜𝑑𝑒𝑣

𝑑𝑒𝑣= 0,572 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎

𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 43,5 − 0,572 ∙ 74,375 = 0,74

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑏) = arctan(0,572) = 29,77°

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24

Parametri di resistenza a taglio (analiticamente)

𝜑′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑎𝑛𝛼′) = 34,89°

𝑐′ = 𝑎′/𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 0,85

Stima della resistenza a taglio non drenata in ogni campione

per il provino 1 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 8,5

per il provino 2 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 22

per il provino 3 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 47,5

per il provino 4 𝐶𝑢 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 95

Resistenza a taglio non drenata nel provino in cui 𝜎𝑉0′ = 𝜎𝑉𝐶

′

se in uno dei quattro provini accade che 𝜎𝑉0′ = 𝜎𝑉𝐶

′ allora la 𝑡𝑚𝑎𝑥 a rottura corrisponde alla Cu in sito. Alla

profondità di estrazione dei provini (5m)

𝜎𝑉0′ = 𝜎𝑉0 − 𝑢0 = 𝛾𝑧 − 𝛾𝑤𝑧𝑤 = 20𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 5𝑚 − 10𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 5𝑚 = 100𝑘𝑃𝑎 − 50𝑘𝑃𝑎 = 50𝑘𝑃𝑎

𝜎𝑉0′ = 𝜎𝑉𝐶

′ → 𝑛𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑜 2

𝐶𝑢 = 𝜏𝑚𝑎𝑥𝑅 = 𝑡𝑅 = 𝑡′𝑅 = 22 𝑘𝑃𝑎 → 𝐶𝑢 = 𝑓(𝜎𝑉0′ )

Esercizi di Geotecnica

25

E S E R C I Z I O 9.

Un muro è soggetto alla spinta del terreno (sabbia) su cui grava un carico uniformemente distribuito ed è

presente una falda a 8m. verrà calcolata la spinta attiva e verrà eseguita la verifica a ribaltamento e

scorrimento trascurando la spinta passiva.

In conformità con le ipotesi di Rankine:

- piano di campagna orizzontale

- paramento del muro verticale

- attrito nullo tra terreno e muro

i calcoli sono effettuati sulla base degli sforzi efficaci essendo le condizioni a lungo termine quelle più

sfavorevoli.

Sabbia 𝛾 = 21 𝑘𝑁/𝑚3 , 𝜑′ = 38°

Presenza di falda 𝛾𝑤 = 10 𝑘𝑁/𝑚3

Presenza di sovraccarico 𝑞 = 35 𝑘𝑃𝑎 = 35 𝑘𝑁/𝑚2

Di seguito sono riportate le formule da cui si ottengono i valori nella tabella che segue

𝜎𝑉0 = 𝛾 ∙ 𝑧 [𝑘𝑁/𝑚2]

𝑢0 = 𝑧 ∙ 𝛾𝑤 [𝑘𝑁/𝑚2]

𝜎′𝑉0 = 𝜎𝑉0 − 𝑢0 [𝑘𝑁/𝑚2]

𝜎′𝑎 = 𝜎′𝑉0 ∙ 𝑘𝑎 [𝑘𝑁/𝑚2]

𝑄 = 𝑞 ∙ 𝑘𝑎

𝑘𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2 (𝜋

4−

𝜑′

2) = 0,24

Esercizi di Geotecnica

26

𝜎𝑉0 𝑢0 𝜎𝑉0′ 𝜎𝑎

′ 𝑄

punti z [m] KN/m KN/mq KN/mq KN/mq KN/mq

A 0 0 0 0 0

8,4 B 8 168 0 168 40,32

C 9 189 10 179 42,96

Esercizi di Geotecnica

27

I calcoli sono stati eseguiti su 1metro lineare :

Le spinte sono date calcolando le rispettive aree

𝑃1 = 8 𝑚 ∙ 40,32 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 161,28 𝑘𝑁/𝑚

𝑃2 = 1 𝑚 ∙ 40,32 𝑘𝑁/𝑚2 = 40,32 𝑘𝑁/𝑚

𝑃3 = 1 𝑚 ∙ (42,96 − 40,32) 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 1,32 𝑘𝑁/𝑚

𝑃𝑤 = 1 𝑚 ∙ 10 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 5 𝑘𝑁/𝑚

𝑃𝑞 = 9 𝑚 ∙ 8,4 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 75,6 𝑘𝑁/𝑚

La spinta risultante (spinta attiva) è la seguente

𝑃𝑎 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃𝑤 + 𝑃𝑞 = 283,52 𝑘𝑁/𝑚

Il punto di applicazione delle spinte è quello più valle del muro, rispetto a tale punto sono calcolati i momenti

𝑀1 = 𝑃1 ∙ 𝑏1 = 161,28 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 3,67 𝑚 = 591,90 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝑀2 = 𝑃2 ∙ 𝑏2 = 40,32 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 0,5 𝑚 = 20,16 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝑀3 = 𝑃3 ∙ 𝑏3 = 1,32 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 0,33 𝑚 = 0,44 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝑀𝑤 = 𝑃𝑤 ∙ 𝑏𝑤 = 5 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 0,33 𝑚 = 1,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝑀𝑞 = 𝑃𝑞 ∙ 𝑏𝑞 = 75,6 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 4,5 𝑚 = 340,20 𝑘𝑁𝑚/𝑚

Il momento totale è

𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑤 + 𝑀𝑞 = 954,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚

Esercizi di Geotecnica

28

VERIFICA A RIBALTAMENTO A MONTE DEL MURO

Calcolo dei momenti ribaltanti :

Il momento ribaltante è dato dalle rispettive spinte attive (forze orizzontali) moltiplicate per i relativi bracci;

esso tende ad instabilizzare la struttura.

Essendo state moltiplicate le spinte per i bracci rispettivi in precedenza, il momento ribaltante è il momento

totale

𝑀𝑟𝑖𝑏 = 𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑤 + 𝑀𝑞 = 648,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚

Calcolo dei momenti stabilizzanti :

Esercizi di Geotecnica

29

Il momento stabilizzante è dato dalle forze verticali moltiplicate per i rispettivi bracci, esso tende a

stabilizzare la struttura e quindi e a contrastare il ribaltamento della struttura.

Dividendo la sezione del muro in figure geometriche regolari.

Per ogni figura, moltiplicando il volume V per la densità del calcestruzzo (𝛾𝑐𝑙𝑠 = 25 𝑘𝑁/𝑚3) per le figure P1,

P2,P3 e per la densità della sabbia (𝛾𝑠𝑎𝑏𝑏𝑖𝑎 = 21 𝑘𝑁/𝑚3) per la figura P4, si ottiene il peso W. Dall’equilibrio

alla rotazione intorno al punto A si ottiene il valore di M.

V W bw M

mc/m kN/m m kNm/m

P1 4 100 0,66 66

P2 5,6 140 1,35 189

P3 5 125 2,5 312,5

P4 26,4 554,14 3,35 1857,24

Nel calcolo è stato trascurato il sovraccarico q che contribuisce alla stabilità del muro, andando quindi a

FAVORE DI SICUREZZA.

Infatti se la struttura è verificata senza considerare il carico (Q=q . 3,3); a maggior ragione considerandolo,

aumenterà il carico e il momento stabilizzante e con esso anche il Fattore di Sicurezza.

𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏 = 2424,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝐹𝑠 = 𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏/𝑀𝑟𝑖𝑏 ≥ 1,5

𝐹𝑠 = 𝑀𝑠𝑡𝑎𝑏/𝑀𝑟𝑖𝑏 = 2424,9/954,65 = 2,54 > 1,5 VERIFICATO

VERIFICA A SCORRIMENTO A MONTE DEL MURO

Tenendo conto dei pesi W delle figure calcolati per la verifica a ribaltamento, del coefficiente d’attrito 𝛿

terreno/piede del muro e della spinta attiva 𝑃𝑎 deve essere soddisfatta la disuguaglianza

𝐹𝑠 =∑ 𝑊𝑖 tan 𝛿

𝑃𝑎≥ 1,3

dove

𝛿 =2

3𝜑′ = 25,33 → tan 𝛿 = 0,47

𝑊𝑖 = 919,14 𝑘𝑁/𝑚

𝑃𝑎 = 283,52 𝑘𝑁/𝑚

→ 𝐹𝑠 =919,14 ∙ 0,47

283,52= 1,52 ≥ 1,3

VERIFICATO

Esercizi di Geotecnica

30

E S E R C I Z I O 10.

Con riferimento al caso riportato nel disegno eseguire la verifica a sifonamento del diaframma ( Fs=4 ),

nell’ipotesi di percorso semplificato. Calcolare la spinta attiva agente sul diaframma ed il suo punto di

applicazione, trascurando l’attrito tra struttura e terreno e considerando il moto di filtrazione.

In conformità con le ipotesi di Rankine:

- piano di campagna orizzontale

- paramento del muro verticale

- attrito nullo tra terreno e muro

i calcoli sono effettuati sulla base degli sforzi efficaci essendo le condizioni a lungo termine quelle più

sfavorevoli.

Argilla 𝛾 = 21 𝑘𝑁/𝑚3, 𝜑′ = 32°

Presenza di falda 𝛾𝑤 = 10 𝑘𝑁/𝑚3

Presenza di coesione 𝑐′ = 10 𝑘𝑃𝑎 = 10 𝑘𝑁/𝑚2

Esercizi di Geotecnica

31

Verifica a sifonamento del diaframma, nell’ipotesi di percorso semplificato:

𝐹𝑆 = 4

gradiente critico:

𝑖𝑐 =𝛾′

𝛾𝑤

=𝛾 − 𝛾𝑤

𝛾𝑤

=21 − 10

10= 1,1

gradiente richiesto:

𝑖𝑐𝐹𝑠 =𝑖𝑐

𝐹𝑠=

1,1

4= 0,275

Percorso semplificato di filtrazione:

𝐿 = 9𝑚 + 9𝑚 + 4𝑚 = 22𝑚

gradiente di efflusso:

𝑖𝑒 =∆𝐻

𝐿=

5

22= 0,227

0,275 > 0,227 → 𝑖𝑐𝐹𝑠 > 𝑖𝑒 VERIFICATO

Una ulteriore verifica è il calcolo del fattore di sicurezza reale

𝐹𝑆 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒 =𝑖𝑐

𝑖𝑒

≥ 𝐹𝑆 𝑟𝑖𝑐ℎ𝑖𝑒𝑠𝑡𝑜 → 𝐹𝑆 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒 =1,1

0,227= 4,85 ≥ 4

Esercizi di Geotecnica

32

Di seguito sono riportate le formule da cui si ottengono i valori nella tabella che segue:

𝜎𝑉0 = 𝛾 ∙ 𝑧 [𝑘𝑁/𝑚2]

𝑢𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝑧𝑤 ∙ 𝛾𝑤 [𝑘𝑁/𝑚2]

𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎 = 𝑖 ∙ 𝑧𝑤 ∙ 𝛾𝑤 [𝑘𝑁/𝑚2]

𝑢𝑡𝑜𝑡 = 𝑢𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 − 𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎 [𝑘𝑁/𝑚2] ( moto di filtrazione dall’alto verso il basso )

𝜎′𝑉0 = 𝜎𝑉0 − 𝑢0 [𝑘𝑁/𝑚2]

𝐶′ = − 2 ∙ 𝑐′ ∙ √𝑘𝑎

𝜎′𝑎 = 𝜎′𝑉0 ∙ 𝑘𝑎 − 2 ∙ 𝑐′ ∙ √𝑘𝑎 [𝑘𝑁/𝑚2]

𝑘𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2 (𝜋

4−

𝜑′

2) = 0,31

𝑖 = 0,227

punti z [m] KN/m KN/mq KN/mq KN/mq KN/mq KN/mq KN/mq

A 0 0 0 0 0 0 0 0

B 1 10 10 0 10 0 -11,14 -11,14

C 14 283 140 29,51 110,49 172,51 -11,14 42,34

Esercizi di Geotecnica

33

(11,14 + 42,34)𝑘𝑁/𝑚2 ∶ 13𝑚 = 42,34 𝑘𝑁/𝑚 ∶ 𝑋

𝑋 = 13𝑚 ∙ 42,34 𝑘𝑁/𝑚

(11,14 + 42,34)𝑘𝑁/𝑚2= 10,29 𝑚

Esercizi di Geotecnica

34

I calcoli sono stati eseguiti su 1metro lineare:

Le spinte sono date calcolando le rispettive aree

𝑃1 = 10,29𝑚 ∙ 42,34 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 217,84 𝑘𝑁/𝑚

𝑃𝑤1 = 1,00 𝑚 ∙ 10,00 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 5,00 𝑘𝑁/𝑚

𝑃𝑤2 = 13 𝑚 ∙ 10 𝑘𝑁/𝑚2 = 130 𝑘𝑁/𝑚

𝑃𝑤3 = 13 𝑚 ∙ (110,49 − 10,00) 𝑘𝑁/𝑚2/2 = 653,18 𝑘𝑁/𝑚

La spinta risultante (spinta attiva) è la seguente:

𝑃𝑎 = 𝑃1 + 𝑃𝑤1 + 𝑃𝑤2 + 𝑃𝑤3 = 1006,02 𝑘𝑁/𝑚

Il punto di applicazione delle spinte è quello più valle del muro, rispetto a tale punto sono calcolati i momenti

𝑀1 = 𝑃1 ∙ 𝑏1 = 217,84 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 3,41 𝑚 = 747,19 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝑀𝑤1 = 𝑃𝑤1 ∙ 𝑏𝑤1 = 5,00 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 13,33 𝑚 = 66,65 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝑀𝑤2 = 𝑃𝑤2 ∙ 𝑏𝑤2 = 130,00 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 6,5 𝑚 = 845,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝑀𝑤3 = 𝑃𝑤3 ∙ 𝑏𝑤3 = 653,18 𝑘𝑁/𝑚 ∙ 4,33 𝑚 = 2828,27 𝑘𝑁𝑚/𝑚

Il momento totale è

𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑤 + 𝑀𝑞 = 4487,11 𝑘𝑁𝑚/𝑚

Punto di applicazione della spinta attiva:

𝑀𝑡𝑜𝑡 = 𝑃𝑡𝑜𝑡 ∙ 𝑧𝑡𝑜𝑡 => 𝑧𝑡𝑜𝑡 =𝑀𝑡𝑜𝑡

𝑃𝑡𝑜𝑡

= 4487,11

1006,02= 4,46 𝑚

Esercizi di Geotecnica

35

E S E R C I Z I O 11.

Con riferimento alla fondazione riportata in figura si richiede di calcolare 𝑞𝑙𝑖𝑚, 𝑞𝑎𝑚𝑚

Nel caso in esame il terreno è un’argilla poco SC, le condizioni a breve termine in termini di sforzi efficaci

sono quelle più sfavorevoli, ma non conoscendo le ∆𝑢 ≠ 0 la formula di Brinch-Hansen non può essere

applicata. Quindi verrà applicato il Criterio di Tresca in termini di sforzi totali.

𝑞𝑙𝑖𝑚 = 𝐶𝑢 ∙ 𝑁𝑐 ∙ 𝑠𝑐0 ∙ 𝑑𝑐

0 ∙ 𝑖𝑐0 ∙ 𝑏𝑐

0 ∙ 𝑔𝑐0 + 𝑞

𝐶𝑢/𝜎′𝑣0 = 0,34

𝑁𝑐 = 2 + 𝜋 = 5,14 𝑓𝑎𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡à 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑞 = 𝜎𝑣0 = 𝛾 ∙ 𝐷 𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑐𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 (𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖)

𝑠𝑐0 = 1 + 0,4𝐵/𝐿 = 1,16 𝑓𝑎𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒

𝑑𝑐0 = 1 + 0,2𝐷/𝐵 = 1,08 𝑓𝑎𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡à 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑎 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 1𝑚

𝑖 = 1 𝑖𝑛 𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐ℎ𝑖

𝑏 = 𝑔 = 1 𝑝𝑒𝑟𝑐ℎè 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑖

I coefficienti correttivi s, d, i, b, g hanno lo stesso significato di quelli considerati nella formula di Brinch-

Hansen

𝑞 = 𝛾 ∙ 𝐷 = 19 𝑘𝑁/𝑚2

𝑧𝑢 = 𝐷 + 𝑧 = 1𝑚 +2𝐵

𝜋= 4,18𝑚 𝑧 = 3,18𝑚

𝜎′𝑉0 = (𝛾 ∙ 𝑧𝑢) − 𝛾𝑤(𝑧𝑢 − 𝐷) = (19𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 4,18𝑚) − (10𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 3,18𝑚) = 47,62 𝑘𝑁/𝑚2

𝐶𝑢 = 0,34 ∙ 𝜎′𝑣0 = 16,19 𝑘𝑁/𝑚2

𝑞𝑙𝑖𝑚 = 𝐶𝑢 ∙ 𝑁𝑐 ∙ 𝑠𝑐0 ∙ 𝑑𝑐

0 ∙ 𝑖𝑐0 ∙ 𝑏𝑐

0 ∙ 𝑔𝑐0 + 𝑞 → 𝑞𝑙𝑖𝑚 = 123,25 𝑘𝑁/𝑚2

𝑞𝑎𝑚𝑚 =𝑞𝑙𝑖𝑚−𝑞

𝐹𝑠+ 𝑞 → 𝑞𝑎𝑚𝑚 = 53,75 𝑘𝑁/𝑚2

Esercizi di Geotecnica

36

E S E R C I Z I O 12.

Con riferimento alla fondazione nastriforme poggiante su sabbia, si richiede di calcolare il 𝑞𝑙𝑖𝑚 ed eseguire

la verifica a capacità portante.

Dato che il terreno è una sabbia, siamo in condizioni drenate, ∆𝑢 = 0, la verifica è effettuata con la formula di

Brinch-Hansen in termini di gli sforzi efficaci.

𝑞𝑙𝑖𝑚 =1

2𝛾′ ∙ 𝐵 ∙ 𝑁𝛾 ∙ 𝑠𝛾 ∙ 𝑖𝛾 ∙ 𝑏𝛾 ∙ 𝑔𝛾 + 𝑞′ ∙ 𝑁𝑞 ∙ 𝑠𝑞 ∙ 𝑑𝑞 ∙ 𝑖𝑞 ∙ 𝑏𝑞 ∙ 𝑔𝑞

Calcolo dell’eccentricità

𝑒 =𝑀

𝑁=

20𝑘𝑁𝑚

170𝑘𝑁= 0,12 𝑚

Tenendo conto dell’eccentricità la base della fondazione di cui si tiene conto non è la base iniziale 𝐵, bensì

una base ridotta 𝐵𝑟

𝐵𝑟 = 𝐵 − 2𝑒 = 2,76 𝑚

Influenza della falda a livello di piano di campagna

𝛾′ = 𝛾 − 𝛾𝑤 = 22𝑘𝑁/𝑚3 − 10𝑘𝑁/𝑚3 = 12 𝑘𝑁/𝑚3

𝑞′ = 𝜎′𝑣0 = 𝛾′ ∙ 𝐷 = 12𝑘𝑁/𝑚3 ∙ 3𝑚 = 36 𝑘𝑁/𝑚2

Esercizi di Geotecnica

37

Coefficienti correttivi

𝑠 = 1 𝑝𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑛𝑎𝑠𝑡𝑟𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑖

𝑏 = 1 𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒

𝑔 = 1 𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑎𝑔𝑛𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒

𝑑 = 1 𝑝𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑐𝑢𝑟𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐ℎ𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎

𝑖𝛾 = [1 −𝐻

𝑁]

𝑚+1

= [1 −85

170]

3

= 0,125

𝑖𝑞 = [1 −𝐻

𝑁]

𝑚

= [1 −85

170]

2

= 0,25

Fattori di capacità portante per 𝜑′ = 39° → {𝑁𝛾 = 92,25

𝑁𝑞 = 55,96

𝑞𝑙𝑖𝑚 =1

2𝛾′ ∙ 𝐵 ∙ 𝑁𝛾 ∙ 𝑖𝛾 + 𝑞′ ∙ 𝑁𝑞 ∙ 𝑖𝑞 → 𝑞𝑙𝑖𝑚 = 694,6 𝑘𝑁/𝑚2

VERIFICA DELLA CAPACITA’ PORTANTE

𝑞𝑠𝑒𝑟𝑣 =𝑊

𝐵𝑟∙1𝑚=

170𝑘𝑁

2,76𝑚2= 61,59 𝑘𝑁/𝑚2

𝐹𝑠 =𝑞𝑙𝑖𝑚

𝑞𝑠𝑒𝑟𝑣> 3 →

694,6

61,59= 11,28 > 3 VERIFICATO