Corso di Laurea a ciclo Unico in Ingegneria Edile ‐ Architettura

Geotecnica e Laboratorio

Distribuzione delle tensioni nel terreno per effetto di carichi in superficie Cedimenticarichi in superficie ‐ Cedimenti

Prof Ing Marco FavarettiProf. Ing. Marco Favarettie‐mail:  marco.favaretti@unipd.it

b i f iwebsite:  www.marcofavaretti.net1

Con il termine cedimento si intende uno spostamento verso il basso di unafondazione superficiale o profonda, di un'opera in terra (rilevato stradale of i i il i l di i ) di l i i i ilferroviario, rilevato arginale, diga in terra, ecc.) o di una qualsiasi opera civile.Il cedimento totale viene schematizzato come somma di tre differenti contributi

si: cedimento elastico (?) immediato

scit ssss si: cedimento elastico (?) immediato (distorsione)

sc: cedimento di consolidazione (f d l )primaria (funzione del tempo)

ss: cedimento per compressione secondaria (funzione del tempo)( p )

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CEDIMENTI

Il cedimento immediato si verifica subito dopo l'applicazione di un carico 

esterno; pur essendo dovuto a deformazioni di natura sia elastica (reversibile 

qualora il carico venga rimosso) sia plastica (irreversibile), viene generalmente 

calcolato ricorrendo alla teoria dell'elasticità, ipotizzando il terreno come un 

mezzo omogeneo, elastico ed isotropo. In tal modo il cedimento immediato è g , p

dovuto ad una distorsione del terreno sottostante il carico, che si deforma e 

cambia forma a volume costantecambia forma a volume costante. 

Il cedimento immediato coincide pressoché con il cedimento totale nei terreni 

granulari (ghiaie sabbie e mescolanze di ghiaia e sabbia) mentre ègranulari (ghiaie, sabbie e mescolanze di ghiaia e sabbia), mentre è 

generalmente una parte trascurabile del cedimento totale nel caso di terreni 

i i ( ill li i)3

coesivi (argille e limi).

CEDIMENTI

Il cedimento di consolidazione primaria è dovuto all'espulsione di una parte 

dell'acqua interstiziale (l'acqua che riempie i vuoti del terreno) per effettodell acqua interstiziale (l acqua che riempie i vuoti del terreno) per effetto 

dell'eccesso di pressione neutrale (pressione dell'acqua) prodotto da una 

variazione di tensione efficace nel terrenovariazione di tensione efficace nel terreno. 

Nei terreni coesivi inorganici costituisce generalmente la parte più rilevante del 

di d ll d bili à d i i i i il dicedimento; a causa della modesta permeabilità dei terreni coesivi il cedimento 

di consolidazione primaria si sviluppa più o meno lentamente nel tempo. 

Il processo è tanto più lento quanto maggiore è la plasticità del terreno.

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CEDIMENTI

Il cedimento di compressione secondaria è dovuto a fenomeni di natura 

viscosa, a scorrimenti interparticellari ed alla riorientazione dei grani; è 

caratteristico dei terreni coesivi organici e dei terreni torbosi. Si sviluppa a 

tensione verticale efficace costante ed è indipendente dal processo di 

consolidazione primaria.

Di direzione opposta al cedimento è il rigonfiamento, dovuto ad un eventualeDi direzione opposta al cedimento è il rigonfiamento, dovuto ad un eventuale 

scarico tensionale conseguente allo scavo fino al piano di fondazione.

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Calcolo del cedimento ‐ sequenza

Determinazione delle condizioni inizialiprofilo stratigrafico e stato tensionale iniziale (v0 – u0 ‐ ’v0)proprietà dei terreni (cc – cR – cv – c)proprietà dei terreni (cc cR cv c)

Determinazione della geometria e dell’entità dei carichi agenti sulla fondazione

Valutazione delle variazioni delle tensioni negli strati compressibili1‐D: v = q03‐D: teoria dell’elasticità/metodo 2:1 

Stima della pressione di preconsolidazione ’p e del rapporto OCR

Calcolo del cedimento di consolidazione primaria sc

Stima dei tempi di consolidazione

Stima dell’entità e della velocità dell’eventuale cedimento per comprex secondaria ss

Stima del cedimento immediato (o per distorsione) si

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Stima del cedimento immediato (o per distorsione) siterreno coesivo: teoria dell’elasticitàterreno granulare: metodi empirici

Metodo empirico 2:1

1zB1Bq

1zBP

areacarico 0

z

1

LBqPcarico 0

z

2

(1) F d i ti (2) F d i i l t

zLzBzLzBareaz

(1) Fondazione continua  (2) Fondazione isolata

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Esempio 01

2 metri di riempimento di terra vengono stesi e compattati ( = 2.04 Mg/m3). Sopra del riempimento viene realizzata una fondazione rettangolare (3 m x 4 m) che trasmette sul terreno un carico di 1.200 kN. Ipotizza una densità iniziale del terreno di fondazione di 1 68 M / 3 N i t f ld f ti1.68 Mg/m3. Non sia presente falda freatica.  

8

Esempio 01

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Teoria di Boussinesq (1885) SEMISPAZIO LINEARMENTE ELASTICO OMOGENEO, ISOTROPO

La teoria dell’elasticità viene usata per stimare le tensioni nel sottosuolo. Il terreno non deve presentare necessariamente un comportamento

B22/522

3z N

zQ

zr2

z3Q

presentare necessariamente un comportamento elastico, almeno per quel che concerne la valutazione delle le tensioni verticali. Le deformazioni sono considerate all’incirca 

zr2

La tensione verticale è indipendente dalleproprietà del terreno.Boussinesq ha ricavato anche i valori delle

proporzionali alle tensioni. Boussinesq ha ricavato anche i valori delletensioni radiali, tangenziali e di taglio.

B = BoussinesqCarico puntiforme

B   BoussinesqW = Westergaard

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Teoria di Boussinesq (1885) SEMISPAZIO LINEARMENTE ELASTICO OMOGENEO, ISOTROPO

w24

3z NQzP2

24 zx

Carico lineare

P

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Area di forma circolare (raggio R) caricata uniformemente

12

13Striscia continua (larghezza 2a)  caricata uniformemente

Newmark (1935)

Integrando l’espressione della dia 10 su una superficie uni‐f i diformemente caricata di forma rettangolare si ottiene:

Iq0z

xm z

zyn

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z

Esempio 02

Sia caricata un’area di forma rettangolare (5 m x 10 m) con 

i if diuna pressione uniforme di 100 kPa.

15

Superficie di forma circolare caricata con una pressione uniforme q0

16

Carico trapezoidale di lunghezza infinita 

17

Carico triangolare di lunghezza finita 

18

Abaco di Newmark, 1942

19

Esempio 03

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Teoria di Westergaard (1938)

Altra teoria utilizzabile, specie in presenza di terreni stratificati, è quella di Westergaard, che considera le tensioni su un mezzo elastico, nel quale le deformazioni orizzontali sono impedite. 

E d l i d llEssa conduce a valori della tensione verticale minori di quelli ottenuti da Boussinesq. 

La soluzione di Boussinesqfornisce tuttavia risultati soddisfacenti anche insoddisfacenti anche in presenza di terreni stratificati e caratterizzati da costanti elastiche molto diverse

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elastiche molto diverse.

Confronto tra 

teorie di 

Boussinesq e di 

Westergaard

P / < 1 5 i l i di (B)Per r/z < 1.5 i valori di (B) sono maggiori di quelli di (W).

Per r/z 1 5 le teoriePer r/z  1.5 le teorie forniscono valori confrontabili

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Confronto tra 

teorie diteorie di 

Boussinesq e 

di 

Westergaard

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Pressione di contatto

Finora è stato esaminato il problema del calcolo dei cedimenti quasi semprenell’ipotesi che l’area caricata sia flessibile.

Il calcolo dei cedimenti nell’ipotesi di area caricata flessibile e facendoriferimento ad una distribuzione delle tensioni verticali alla Boussinesq, indicadei cedimenti del piano di fondazione sottoposto a carico uniforme distribuitidei cedimenti del piano di fondazione sottoposto a carico uniforme, distribuiticon i valori massimi nella zona centrale e i valori minimi ai bordi, poiché questa èanche la distribuzione delle tensioni verticali sui piani orizzontali.

In realtà l’area è spesso caricata da un’opera che ha una sua rigidezza data dallastruttura di fondazione e da quella in elevazione.

L’opera con la sua rigidezza influisce sulla distribuzione dei carichi sullefondazioni e sull’entità e distribuzione della pressione di contatto, cioè dellapressione unitaria esistente in ciascun punto di appoggio di una fondazione sulterreno.

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Pressione di contatto

La pressione di contatto è generalmente considerata uniforme per i calcoli distrutture sotto carichi di esercizio, cioè per carichi lontani dal carico di rottura.

Ma qual è l’andamento della distribuzione reale di questa pressione con i carichidi esercizio e al momento della rottura, limitandosi al caso di fondazione rigida,cioè di fondazione che dà luogo ad un cedimento uniforme?cioè di fondazione che dà luogo ad un cedimento uniforme?

Poiché il cedimento della base di una struttura perfettamente rigida èi t if l i ti i d ll i ll b è id tinecessariamente uniforme, la ripartizione della pressione sulla base è identica

alla ripartizione del carico che produce una distribuzione delle tensioni verticalinel terreno, tale da dar luogo ad un cedimento uniforme della superficiecaricata.

Per ottenere un cedimento uniforme è quindi necessario spostare parte delcarico dal centro ai bordi in modo che la pressione di contatto sulla base di unastruttura rigida vada aumentando dal centro ai bordi.

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Pressione di contatto

Per una fondazione rigida di larghezza B, su terreno elastico ed omogeneo fino agrande profondità, e sottoposta a un carico uniforme q, la pressione di contattodeterminata con la teoria di Boussinesq, indica valori un po’ inferiori a 0,76q aldeterminata con la teoria di Boussinesq, indica valori un po inferiori a 0,76q alcentro ed un valore infinito al bordo. Nel caso di una piastra circolare al centro lapressione di contatto è pari a 0,5q.

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Pressione di contatto

Se la fondazione poggia su un materiale reale la pressione sul bordo non puòoltrepassare un certo valore finito qc a partire dal quale il materiale passa allostato plastico. La ripartizione corrispondente a materiale coesivo in assenza distato plastico. La ripartizione corrispondente a materiale coesivo in assenza didrenaggio ( = cu) è rappresentata in figura dalla curva c.

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Pressione di contatto

Se si aumenta il carico, lo stato di equilibrio plastico si propaga a partire daibordi e la ripartizione della pressione di contatto si modifica. Se la base dellafondazione è liscia, la ripartizione diviene uniforme quando il terreno cede perfondazione è liscia, la ripartizione diviene uniforme quando il terreno cede perscorrimento plastico. La curva c rappresenta la pressione di contatto in questomomento e la curva c2 la pressione in un momento intermedio.

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Pressione di contatto

Se una fondazione rigida poggia su un materiale non coesivo l’intensità dellapressione di contatto per un carico q diminuisce, a partire da un valore massimo,al centro della fondazione per annullarsi ai bordi come indicato in figura. Inal centro della fondazione per annullarsi ai bordi come indicato in figura. Inrealtà, abbastanza spesso, la fondazione è più o meno flessibile e ladistribuzione della pressione di contatto non è uniforme, ma ha un andamentomeno marcato di quello corrispondente ad una fondazione rigidameno marcato di quello corrispondente ad una fondazione rigida.

Questa ripartizione dipende dall’intera‐i f d i d èzione tra terreno e fondazione ed èquesto che rende difficile lo studio dellapressione di contatto. Come è stato detto,l’ostacolo in genere viene superatoadottando una ripartizione uniforme, chepuò essere in parte giustificata tenendop p gconto dell’elasticità non lineare delterreno e della non completa rigidità dellastruttura.

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struttura.

Pressione di contatto

La distribuzione della pressione di contatto influenza quindi il comportamentodella struttura di fondazione e della sovrastruttura. Il problema viene spessosemplificato considerando solo l’interazione fondazione‐terreno, trascurando lasemplificato considerando solo l interazione fondazione terreno, trascurando larigidezza della struttura in elevazione. Tale ipotesi è accettabile se la rigidezzadella sovrastruttura è < a quella della fondazione. Nell’interazione fondazione‐terreno le condizioni di equilibrio e di congruenza devono essere soddisfatteterreno le condizioni di equilibrio e di congruenza devono essere soddisfattenella struttura di fondazione, nel terreno e all’interfaccia.E perciò necessario rappresentare la fondazione ed il terreno con modelli

li i N ll li il d ll i d t t i i l t d llsemplici. Nello scegliere il modello si deve tenere conto principalmente dellepossibilità di analisi con i vari metodi a disposizione (analitici, numerici, ecc.), delsignificato fisico dei parametri che caratterizzano il modello e delle possibilità dideterminarli e del fatto che le risposte del modello siano sufficientementeaderenti al comportamento reale. La fondazione è solitamente formata da unelemento strutturale abbastanza semplice (trave, piastra) per il quale in generesi ha a disposizione l’equazione differenziale che ne descrive il comportamentoelastico. A questa equazione se ne deve associare un’altra che rappresenti ilcomportamento del terreno, cioè indichi gli spostamenti all’interfaccia in

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p , g pfunzione della distribuzione della pressione di contatto.

Modello alla Winkler

Un modello semplice è quello di Winkler che caratterizza il terreno con unarelazione lineare tra la pressione di contatto p in un punto ed il cedimento s delpunto stesso:punto stesso:

sKp r

K è t t d tt “ d l ffi i t di i ” l i d lKr è una costante detta “modulo o coefficiente di reazione” e la reazione delterreno (pressione di contatto p) è proporzionale al cedimento s. La relazione sibasa sull’ipotesi che il cedimento di ogni elemento dell’area caricata siaindipendente dal carico sugli elementi vicini (serie di molle indipendentiaccostate). Nella realtà, per una fondazione di dimensioni usuali, poggiante sulterreno, il rapporto tra pressione/cedimento (p/s) diminuisce all’aumentare delcarico e può variare per punti diversi della base di fondazione.

L’utilizzazione del modello di Winkler richiede quindi una valutazione di Krq rappropriata al singolo caso; appare accettabile fare riferimento ad un Kr dato dalrapporto tra la pressione media p e il cedimento s calcolato per il caso in esame.

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Modello alla Winkler

Terzaghi ha proposto di fare riferimento ad un modulo Kp corrispondente ad unapiastra quadrata di 0,3 m di lato ed ha indicato per Kp i valori medi riportati nellatabella per sabbie e per argille.tabella per sabbie e per argille.

Kp

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Modello alla Winkler

2Ha poi proposto per le sabbie la relazione

2

pr B2bBKK

Con “b” larghezza della piastra e “B” la larghezza della fondazione continua e per B51

bKK p

r

larghezza della fondazione continua e per le argille la relazione

B5,1

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Cedimento immediato

Avviene immediatamente dopo l’applicazione del carico, principalmente per

distorsione (variazione di forma ma non di volume) del terreno di fondazione.

La maggior parte del cedimento di un terreno granulare è del tipo immediato.

Nei terreno coesivi il cedimento per distorsione non è elastico, sebbene esso

venga spesso valutato mediante espressioni basate sulla teoria dell’elasticità.

20 Bq s2

u

0i I1

EBqs

B: dimensione caratteristica della superficie caricata con pressione q0

: rapporto di Poisson

Eu: modulo di Young non drenato

Is: fattore di forma e di rigidezza

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Cedimento immediato

Il coefficiente Is prende in considerazione la forma e la rigidezza dell’area caricata e

dipende dalla posizione dal punto su cui si desidera valutare il cedimento

immediato. Nella tabella 10.4 a e b sono indicati i valori di Is per due casi distinti:

(A) Strato di spessore infinito

(B) Strato di spessore illimitato soprastante un substrato rigido

Dobbiamo ovviamente considerare a quale dei due casi virtuali la applicazione in

esame più si avvicina. E’ necessario valutare i parametri elastici Eu e .

Per argille sature = 0.5 (distorsione senza variazione di volume), mentre g ( ),

=0.25÷0.33 per argille non sature.

Difficile la stima di E Il disturbo arrecato ai provini per prove di resistenza lal taglioDifficile la stima di Eu. Il disturbo arrecato ai provini per prove di resistenza lal taglio

in laboratorio (es.: TX UU)può determinare una sottostima del parametro e quindi

una sovrastima del cedimento35

una sovrastima del cedimento.

Cedimento immediato

Campo di valori del modulo non drenato delle argille

Consistenza Eu/paMolle 15÷40

Media 40÷80

Elevata 80÷200

Campo di valori del modulo drenato delle sabbie

Densità E /pDensità Ed/paBassa 100÷200

Media 200÷500Media 200 500

Elevata 500÷1000

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Cedimento immediato

37

Cedimento immediato

38

Cedimento immediato Effetto della profondità del piano di posa

Per aree caricate ad una certa profondità D dal piano campagna si può usare l’abaco riportato a fianco.p

0 Bq Effetto della distanza tra piano 

di posa e substrato rigido

u

010i E

qs

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Cedimento di consolidazione

Le usuali espressioni utilizzate per il calcolo dei cedimenti di consolidazione si 

basano su coefficienti derivati sperimentalmente da prove edometriche (prove di p p (p

consolidazione ad espansione laterale impedita). Nella realtà il terreno il più delle 

volte può deformarsi anche lateralmente, essendo le tensioni tangenziali molto piùvolte può deformarsi anche lateralmente, essendo le tensioni tangenziali molto più 

elevate di quelle agenti sui provini in laboratorio. Nelle argille OC l'incremento di 

pressione dei pori u prodottosi dopo il carico e le variazione di volume Vpressione dei pori u, prodottosi dopo il carico, e le variazione di volume V, 

conseguenti alla consolidazione, sono fortemente ridotti dall'aumento di 

d f i i di t li t ti di t i t t tdeformazioni di taglio: questo tipo di terreni presenta un comportamento 

dilatante, ossia tende ad aumentare di volume per effetto delle tensioni di taglio. 

Conseguentemente la variazioni di volume che si verificano sono molto minori di 

quelle stimate con metodi edometrici, specialmente nella zona immediatamente al 

40di sotto della fondazione (tensioni tangenziali molto elevate).

Cedimento di consolidazione

Skempton e Bjerrum hanno così suggerito di utilizzare un coefficiente correttivo µ, pari al rapporto tra cedimento reale e cedimento edometrico, e funzione del coefficiente della pressione dei pori A e della geometria della fondazione e delcoefficiente della pressione dei pori A e della geometria della fondazione e del rapporto H/B

S Sc ed

BB

H

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