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DEFORMAZIONI E CEDIMENTI NEI TERRENILa

deformazione volumetrica, V

,

di un elemento di terreno di volume iniziale V0

(e

indice dei vuoti iniziale e0

) è data da:

elemento cilindrico e stato tensionale assial‐simmetrico

0RR

r

0H

Ha

0

01

0

01

0 1)()(

eee

VVV

VV

v

R0

H0

H

R

Deriva dalla definizione di e = VV

/VS

Se 1

, 2

e 3

sono le deformazioni principali (ovvero le deformazioni lungo le 3

direzioni ortogonali, x, y e z, in cui è

presente la sola deformazione longitudinale),

allora vale la relazione:

hzrazyxv 22

N.B. : convenzionalmente si assume:v

> 0 per riduzioni di volume

(COMPRESSIONE)v

< 0 per aumenti di volume(ESPANSIONE)

dove:

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Docente: Giovanni Vannucchi

Compressibilità 1

dZZzsz

0z

H0

H

oo HRV 20

Il cedimento verticale, s,

si ottiene integrando la deformazione

verticale z

:

zhzv 2 z000

v HH

e1e

VV

Variazione di volume (v

≠

0) ma

non di forma (

= 0)

Variazione di forma (

≠

0), ma

non di volume (v

= 0)

N.B.

In un terreno si possono avere:

Variazione di volume (v

≠

0) e di

forma (

≠

0)

ll0 0l

l Deformazione

di taglio

CONDIZIONI EDOMETRICHEStato tensionale assial‐simmetrico e deformazioni laterali impedite

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Compressibilità 2

In seguito ad una

variazione dello stato tensionale

(efficace, per il

principio delle tensioni efficaci) nel terreno si hanno

deformazioni

(e quindi

cedimenti) che possono essere attribuite alla:

fase solida:a)

prevalentemente elastiche

(compressioni e inflessioni dovute all’incremento

delle forze di contatto)b)

prevalentemente plastiche

(scorrimento dovuto alle forze di taglio

intergranulari)c)

plastiche

(frantumazione in presenza di elevati livelli tensionali delle particelle

solide)d)

in parte elastiche e in parte plastiche

(variazione di distanza tra particelle di

minerali argillosi, dovuta a fenomeni di interazione elettrochimica)e)

in gran parte plastica

(deformazione dello strato di acqua adsorbita)

fase liquida e gassosa (vuoti):f

)

compressione dell’aria e/o dell’acqua all’interno dei vuoti

g)

espulsione dell’aria dai vuoti nei terreni non saturi

h)

espulsione dell’acqua dai vuoti in terreni saturi

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Compressibilità 3

Nella pratica ingegneristica occorre conoscere l’entità

e l’evoluzione nel tempo

dei

cedimenti

di uno strato di terreno sotto l’azione di un carico applicato in superficie.

g) espulsione dell’aria

dai vuoti nei terreni non saturi

(costipamento)

h) espulsione dell’acqua

dai vuoti nei terreni saturi

(consolidazione primaria)

Trascurando

la compressibilità

delle singole particelle solide, compresa l’acqua

adsorbita nel caso delle argille (a, c, d, e), e del fluido interstiziale (f), e trascurando,

soprattutto nel caso dei terreni a grana fine, i cedimenti dovuti allo scorrimento delle

particelle (b) i cedimenti possono manifestarsi in conseguenza di:

i) deformazioni volumetriche

a tensione efficace costante

(creep) dovute a fenomeni

viscosi (consolidazione secondaria)j) deformazioni di taglio a volume costante

(che si verificano a breve termine nei

terreni saturi e poco permeabili in condizioni non edometriche)

a cui possono aggiungersi:

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Compressibilità 4

nel caso di terreni saturi molto permeabili, le deformazioni volumetriche e i

cedimenti sono pressoché

immediati e attribuibili interamente a fenomeni di

consolidazione primaria

e, in presenza di viscosità, secondaria (in tal caso

avvengono nel tempo).

nel caso di terreni saturi poco permeabili, occorre distinguere una:

Se il terreno è

saturo, possono aversi solo deformazioni del tipo h), i), j):

condizione a breve termine

(immediatamente conseguente l’applicazione del

carico), dove le deformazioni volumetriche sono all’inizio nulle

e i cedimenti in

condizioni edometriche

sono nulli (V

= z

), mentre in condizioni non edometriche

si

verificano cedimenti dovuti a deformazioni di taglio (j).

condizione a lungo termine

dove le deformazioni volumetriche e i cedimenti

sono diversi da zero

e dovuti a fenomeni di consolidazione primaria (h) e, in

presenza di viscosità, secondaria (i)

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Compressibilità

e consolidazione 5

CONSOLIDAZIONE PRIMARIA

nel caso di incremento del carico tensionale, le particelle di terreno si assestano

in una configurazione più

stabile e con meno vuoti, con conseguente

diminuzione di volume (consolidazione)

nel caso di scarico tensionale

si ha invece un richiamo dell’acqua all’interno dei

vuoti con conseguente aumento di volume (rigonfiamento)

Il meccanismo di uscita/ingresso dell’acqua nei vuoti è un fenomeno dipendente dal

tempo (ovvero dal coefficiente di permeabilità

del terreno) ed è regolato dalla

teoria della consolidazione.

La consolidazione primaria

è un fenomeno conseguente all’espulsione (o al

richiamo) dell’acqua interstiziale dai pori di un terreno saturo sottoposto ad una

variazione dello stato tensionale efficace:

L’entità

della variazione di volume (e il cedimento) che si registra al

termine del

fenomeno è invece legata alla rigidezza/deformabilità

dello scheletro solido

(compressibilità)

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Compressibilità

e consolidazione 6

Compressibilità: è la risposta in termini di variazione di volume di un terreno

sottoposto ad una variazione (incremento o riduzione) delle tensioni efficaci

1. serve a stimare l’entità

delle deformazioni volumetriche (e dei cedimenti)

2. è

dipendente

dalla rigidezza/deformabilità

del terreno

Consolidazione: è la legge di variazione di volume del terreno nel tempo

1. serve a stimare il decorso

delle deformazioni volumetriche nel tempo

2. è

dipendente dalla permeabilità

del terreno.

N.B.: sono problemi rilevanti soprattutto per i terreni a grana fine

(argille) dove si

manifestano in genere cedimenti maggiori e tempi di consolidazione molto più

lunghi

(anche se gli stessi concetti possono applicarsi anche ai terreni a grana grossa).

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Compressibilità

e consolidazione 7

COMPRESSIBILITÀ

EDOMETRICA

Def. Le

condizioni edometriche, come già

ricordato, sono caratterizzate da uno stato

tensionale assial‐simmetrico e condizioni di deformazioni laterali impedite

zv

In tali condizioni valgono le seguenti relazioni:

00 HH

e1e

Tali condizioni possono realizzarsi nei terreni solo in condizioni di simmetria, ad

esempio nel caso di un deposito:

delimitato da piano di campagna orizzontale ed infinitamente esteso

in direzione

orizzontalecon sovraccarico verticale applicato in superficie, uniformemente distribuito ed

infinitamente esteso.

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Compressibilità

e consolidazione 8

HYP. Si consideri il caso della formazione di un deposito di terreno per

sedimentazione lacustre

che realizza tutte le ipotesi di condizione

edometrica. Si studi la compressibilità

del terreno in relazione al carico applicato, ovvero

l’evoluzione dell’indice dei vuoti (o dei cedimenti) con l’intensità

del carico applicato

ad una data profondità.

1) Sedimentazione

(fase di primo carico)

P

e

’ (log)v

B

A

(B)

(A)

e

’v

(B)

B

N.B.

Il percorso tensioni –

deformazioni è

rappresentato (in scala logaritmica) da una

retta, AB

(linea di compressione vergine o di primo carico)

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Compressibilità 9

2) Erosione (fase scarico)

P

e

’ (log)v

C B

A

(B)(C)(A)

e

’v

e

(C)

C

N.B. La fase di scarico

avviene su una retta, BC, a pendenza inferiore

(linea di scarico)

Quando si ritorna al livello tensionale iniziale (’vA

), una parte della

deformazione (plastica) non viene recuperata (AA’)

A’(A)

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Compressibilità 10

3) Risedimentazione (fase di ricarico)

P

(B)(C)(A)

(D)

e

’ (log)v

C B

A

e

’v

D

(D)

D(A)(C)

N.B.

La fase di ricarico

avviene inizialmente sulla stessa retta BC

(fase elastica), fino a

raggiungere il valore massimo di tensione raggiunto nella sua storia (pressione di

preconsolidazione), per poi muoversi nuovamente sulla linea di compressione

vergine (fase plastica)

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Compressibilità 11

4) Nuova erosione (fase di scarico)

P

(B)

(C)(A)

(D)

e

’ (log)v

C B

A

’v

DEe

(E)(E) E(A)(C)

N.B. La fase di scarico

avviene nuovamente su una retta a pendenza inferiore della

linea di primo carico (la retta DE è

parallela alla retta BC)

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Compressibilità 12

II. Nei TRATTI BC, CB e DE

(approssimati con

l’asse del ciclo d’isteresi) il comportamento è

elastico

(carico e scarico coincidono) non lineare

(il legame tra tensioni e deformazioni è lineare in

scala logaritmica, ovvero la rigidezza cresce con

la tensione efficace).

I. Nei TRATTI AB e BD

il comportamento è

elasto‐

plastico

con incrudimento positivo

(la maggior

parte delle deformazioni prodotte durante la

compressione vergine non viene recuperata nella

successiva fase di scarico).

OSS.

La

pendenza

dei

tratti

elastici

di

scarico‐ricarico

(BC,

CB,

DE)

è la

stessa

e

sono

rappresentati da un ciclo a causa della dissipazione interna

di energia del materiale

e

p ’ (log)v’

A

BC

DE

Ciclo d’isteresi

o v

per la relazione:0

v e1e

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Compressibilità 13

e

p ’ (log)v’

A

BC

DE

Def.

La massima pressione verticale efficace sopportata dall’elemento di terreno

durante la sua storia tensionale è detta pressione di consolidazione

(o

preconsolidazione), ’c

.

NOTE:

I. Sulla linea di carico vergine

(ABD) la pressione

verticale efficace ’v0

è pari alla pressione di

preconsolidazione ’c

:terreno NORMALCONSOLIDATO (NC)

II. Nei tratti di scarico‐ricarico

BC, CB, DE la pressione

verticale efficace ’v0

è inferiore alla pressione di

preconsolidazione ’cterreno SOVRACONSOLIDATO (OC)

Si definisce

rapporto di

sovraconsolidazione

(OCR): '

0

'

v

cOCR

a) La pressione di consolidazione rappresenta la soglia elastica o di snervamento del

materiale;b) Il comportamento del terreno

in condizioni edometriche

è

elastico non lineare‐plastico

a incrudimento positivo

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Compressibilità 14

DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DELLA COMPRESSIBILITÀ

EDOMETRICA

Determinare le caratteristiche di compressibilità

di un terreno

significa determinare, sul

piano e‐’v

(o

v

‐’v

) l’andamento della linea di compressione vergine e dei rami di

scarico e ricarico

nelle condizioni edometriche

, cioè

nelle condizioni di carico e di

vincolo presenti durante il processo di formazione di un deposito per sedimentazione:

Per studiare in laboratorio la compressibilità

(e la consolidazione) nelle suddette

condizioni viene eseguita una prova di compressione a espansione laterale impedita,

detta prova edometrica

carico verticale infinitamente esteso strati orizzontali infinitamente estesi filtrazione e deformazioni solo verticali

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Prova edometrica 15

PROVA EDOMETRICA

La

prova edometrica

viene in genere eseguita su provini di terreno a grana fine

(argille e limi) indisturbati e saturiN

CapitelloAnello edometrico

Pietre porose

Cella edometricaD

H0

< 42.5 <

D = 6 cm

H = 2 cm0

La forma “schiacciata

“

del provino è motivata dalla necessità

di:

• ridurre al minimo le tensioni tangenziali

indesiderate di attrito e di aderenza

con la parete dell’anello• contenere i tempi di consolidazione

(favorita anche dalla presenza di pietre

porose e carta filtro alle estremità

del provino)

L’anello edometrico

riproduce la condizione di assenza di deformazioni radiali

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Prova edometrica 16

1) Consiste nell’applicazione di un carico verticale N per successivi incrementi con

progressione geometrica

(di norma a partire da 25 kPa

fino a 68 s’p

) ed eventuali

decrementi (in fase di scarico), ciascuno mantenuto il tempo necessario ad esaurire

il cedimento di consolidazione primaria (in genere 24h).

2) Durante l’applicazione di ciascun gradino di carico viene misurata

l’

altezza del

provino, H, nel tempo

Prova edometrica ad incrementi di carico (EdoIL)

N(24h)

N(24h)

NN

N

N(24h)

H1

(t), H2

(t),….., Hn

(t)

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Prova edometrica 17

a) Esaurite le 24 h di carico, a partire dal

diagramma Hi

(t), per ciascun gradino di carico,

viene determinata sperimentalmente (metodo

di Casagrande o Taylor) l’altezza iniziale, H0,i

, e

finale, Hfin,i

corrispondenti alla fase di

consolidazione primaria

(ovvero calcolate

trascurando gli effetti della viscosità)

b) Quindi partendo dal valore dell’indice dei vuoti,

e0

, e dell’altezza del provino, H0

, misurati prima

dell’inizio della prova, è

possibile determinare

per ciascun gradino di carico:

Modalità

di interpretazione:

0

0i,fin

0

ii,ai,v H

HHHH

00

i0i,fini e1

HHeee

00

0i,fin ee1

HHe

2ii'

i,v DN4

AN

pressione verticale

media efficace

Corso di GEOTECNICA


Prova edometrica 18

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.01 0.1 1 10

Tensione efficace verticale, 'v (Mpa)

indi

ce d

ei v

uoti,

e

1 2 34

5

6

7

89

10

11

CURVA DI

COMPRESSIBILITÀ

EDOMETRICA

un tratto iniziale

a

debole pendenza(punti 1‐2)

un tratto intermedio

a pendenza crescente(punti 2‐5)

un tratto finale

a

pendenza maggiore

e quasi costante(punti 5‐8)

un tratto di scarico

(punti 8‐11)

a pendenza minore e quasi costante (confrontabile

con la pendenza del tratto iniziale 1‐2)

Riportando in grafico le coppie di valori ei

(eVi

), ’vi

per i diversi gradini di carico e di

scarico si ottiene la curva di compressibilità

edometrica, nella quale si possono

distinguere:

Deform

azione assiale, a

[%]

5

10

15

N.B.

La curva a

(v

)‐’v

ha lo stesso andamento di e‐’v

(e è

proporzionale a a

)

00afin ee1e

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Prova edometrica 19

1.

Il provino, quando si trova in sito, è

soggetto alla

pressione litostatica, ’v0

2.

Durante il campionamento, l’estrazione, il trasporto, l’estrusione dal

campionatore, subisce una serie di disturbi e una decompressione

fino a

pressione atmosferica in condizioni di espansione libera

3.

A causa della decompressione il provino si espande

e, mantenendosi costante il

contenuto d’acqua, si riduce il grado di saturazione

e si generano pressioni

interstiziali negative

4.

Poi viene fustellato con l’anello metallico

della prova edometrica e inserito nella

cella riempita d’acqua, dove in parte rigonfia

assorbendo acqua in condizioni di

espansione laterale impedita ritornando saturo

5.

Infine inizia la fase di carico

Per l’interpretazione della curva edometrica è da tener presente la

STORIA TENSIONALE

DEL PROVINO:

Interpretazione della curva di compressibilità

edometrica:

Corso di GEOTECNICA


Prova edometrica 20

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.01 0.1 1 10


indi

ce d

ei v

uoti,

e1 2 3

4

5

6

7

89

10

11

1.

Il tratto iniziale

della curva

(punti 1‐2) corrisponde ad una ricompressione in

condizioni edometriche che segue ad uno scarico (non riportato sul grafico) non

edometrico. Perciò non è

rettilineo, e comunque non ha pendenza eguale a quella

del ramo di scarico.

2.

Il

secondo tratto

della curva

(punti 2‐5) è

marcatamente curvilineo e comprende il

valore ’p

della

pressione di consolidazione in sito

3.

Il terzo tratto

della curva

(punti 5‐8) corrisponde ad

una compressione

edometrica vergine

e ha

pendenza quasi costante

4.

Il

quarto tratto

della curva

(punti 8‐11) corrisponde ad

un ramo di scarico

edometrico e ha pendenza

quasi costante.

Deform

azione assiale, a

[%]

5

10

15

Con la curva sperimentale di compressione edometrica

e‐log'v

si determinano i

principali

parametri di compressibilità

e la

pressione di consolidazione in sito.

Corso di GEOTECNICA


Prova edometrica 21

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.01 0.1 1 10


indi

ce d

ei v

uoti,

e

1 2 34

5

6

7

89

10

11)log(log

)ee(C '7v10

'8v10

87c

)log(log)ee(C '

1v10'

2v10

21r

)log(log)ee(C '

9v10'

8v10

89s

INDICE DI

RICOMPRESSIONE

INDICE DI

COMPRESSIONE

INDICE DI

RIGONFIAMENTO

1Cr 1

Cc

1

Cs

’p ’v

(log)

A

La curva viene approssimata con tratti rettilinei

a differente pendenza; il tratto

“ginocchio”

(punti 2‐5) è

sostituito con un punto angolare (punto A), corrispondente

alla pressione di consolidazione, ’p

(in sito):

TIPICAMENTE: Cr

poco significativo; Cc

= 0.009∙(wL

‐10) ≅

0.1

0.8; Cs

= 1/51/10 Cc

PARAMETRI DI

COMPRESSIBILITÀ

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 22

PRESSIONE DI

PRECONSOLIDAZIONE Per determinare con maggiore precisione

la pressione di preconsolidazione

sono state proposte varie procedure, tra cui la più

comunemente utilizzata è quella di

Casagrande, che prevede i seguenti passi:

1.

si determina il punto di massima curvatura (M) del grafico e‐log’V

2.

si tracciano per M la retta tangente alla curva (t), la retta

orizzontale (o), e la retta bisettrice (b) dell'angolo formato

da t

e o3.

l'intersezione di b

con la retta

corrispondente al tratto terminale della curva di primo carico

individua la pressione di preconsolidazione. ’ (log)v

’p

’’

e

tb

o

p,min p,max

M

R

S

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 23

Per stimare la curva di compressibilità

in sito

(e quindi la pressione di

preconsolidazione in sito) si possono applicare delle procedure di correzione alla

curva di compressibilità

ottenuta in laboratorio (Schmertmann, 1955)

Il disturbo

tende a distruggere la

struttura del terreno

(e quindi la memoria

dello stato tensionale), rendendo meno

pronunciato il passaggio dal tratto di

ricompressione a quello di compressione:

È

più

difficoltosa la determinazione di, Cc

e ’pIn

dice

dei

vuo

ti, e

log ’

Curva dicompressione

“in sito”

Provino indisturbato

e ’ (= ’ )

Provino disturbato

Provino ricostituito

0 v0 p

v0’ v

la pressione di preconsolidazione è

meno riconoscibile

le pendenze non sono

rappresentative dei parametri di

compressibilità

in sito.

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 24

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50


Indi

ce d

ei v

uoti,

e [-

]

1 23

4

5

6

7

89

10

11

ALTRI PARAMETRI DI

COMPRESSIBILITÀLa curva di compressibilità

edometrica può anche essere rappresentata in scala naturale,

rendendo ancor più

evidente la non linearità

e l’aumento di rigidezza al crescere della

tensione applicata. In tal caso i parametri di compressibilità

sono dipendenti dal campo

di tensione

cui si riferiscono:

'v

avm

a

'v

vm1M

'v

vea

M1

e1a

mo

vv

Coefficiente di compressibilità

di volume

[F

‐1

L2]

Modulo edometrico

[F L‐2]

Coefficiente di compressibilità

[F

‐1

L2] 'v

c

0

Ce1

3,2M

Tra tali parametri sussistono le seguenti relazioni:

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 27

2828/78/78

CEDIMENTO DI

CONSOLIDAZIONE PRIMARIA

Calcolo del cedimento edometrico

(H)

di uno strato di terreno in seguito

all’applicazione di un carico uniformemente distribuito

v

.

e

a

’vo ’vo

+v’p’v

(log)

Cr

Cc

1

1

e

si assume Cr

= Cs

I.Deformazione

monodimensionale

(deformazioni laterali impedite)

Ipotesi: Comportamento dello strato

assimilato a quello di un provino

sottoposto ad una prova

edometricaII. Parametri dello strato

parametri

determinati per il provino

’ , e )v 0 0

H

0

v

H

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 28

TERRENI OC (Cr

≅

Cs

)

]logClogC[e1

HH '

p

v'vo

c'vo

'p

so

o

se

’vo

+ ’v

> ’p

]logC[e1

HH '

vo

v'vo

so

o

se

’vo

+ ’v

< ’p

TERRENI NC (’vo

= ’p

)

]logC[e1

HH '

vo

v'vo

co

o

In condizioni edometriche:oo e1

eH

H

ee1

HH

o

o

da prova edometrica

e

a

’vo ’vo

+v’p’v

(log)

Cr

Cc

1

1

e

si assume Cr

= Cs

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 29

Con riferimento al

coefficiente di compressibilità

di volume, mv

,

o al

modulo edometrico,

M,

o al

coefficiente di compressibilità, av

,

scelti con riferimento all'intervallo tensionale

significativo per il problema in esame, il cedimento di consolidazione primaria

può anche

essere così

calcolato:

vv0

ovovvo a

e1H

MHmHH

Nel caso di

terreno eterogeneo

(con strati di elevato spessore) , è

opportuno

suddividere lo strato in più

sottostrati, differenziando (quando possibile) i parametri di

compressibilità

(riferiti, come le pressioni, al centro di ogni strato):

n

1i'pi

v'voi

ci'voi

'pi

sioi

oi ]logClogC[e1

HH

n

1iviv

oi

oin

1ivivoi )a

e1H

()mH(Hoppure:

N.B.

I parametri che compaiono nelle formule precedenti si riferiscono di norma alla

mezzeria dello strato o degli strati omogenei in cui si suddivide il deposito.

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità30

1. Carico, q, applicato in superficie, uniformemente distribuito ed

infinitamente esteso

v

(x,y,z) = q

Per stimare l’incremento v

indotto dal carico applicato in superficie alla generica

profondità

z, si procede come segue:

v

è

costante sia in direzione orizzontale che al variare della profondità

ed è

pari al carico applicato:

N.B. Tale ipotesi può applicarsi anche

nel caso in cui il carico, uniformemente

distribuito, abbia un’estensione (B)

limitata ma molto superiore allo

spessore dello strato considerato (H),

ovvero B>>H.

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 31

P

2.

Carico, q, distribuito su una superficie di dimensioni limitate

(rispetto allo spessore dello strato)

zBzLBLq)z(v

1

2z

Impronta di carico

L + z

z/2

qL

B

L

v

si riduce al crescere della profondità

e varia

in direzione orizzontale:

Tale incremento può essere determinato con

riferimento alla

teoria dell’elasticità

(Boussinesq).

v

(x,y,z) = f(x,y,z)

In prima approssimazione, nel caso di carico

q

uniformemente distribuito su un’area

rettangolare, di dimensione B x L:

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 32

u + u0

u 0

CONSOLIDAZIONE

L’applicazione di un sistema di sollecitazioni induce nel terreno• distorsioni ovvero deformazioni di taglio

(cambiamenti di forma) e/o

• deformazioni volumetriche (variazioni di volume)

Una deformazione volumetrica corrisponde ad una variazione del volume dei vuoti

(nell’ipotesi di incompressibilità

dei grani).

Se il terreno è

saturo

(e l’acqua incompressibile), tale variazione è

associata ad un

moto di filtrazione dell’acqua interstiziale (in uscita se il volume si riduce,

consolidazione, in entrata se il volume aumenta, rigonfiamento).

CARICO APPLICATO

CAMPO DI

SOVRA‐PRESSIONI NEUTRE,

u (positive o negative), variabili nello

spazio e gradiente del carico idraulico h

MIGRAZIONE DELL’ACQUA

(variazione di

u nel tempo; regime transitorio

)

‐

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 33

Nel caso della consolidazione:

L’entità

della variazione di volume

(compressibilità), dipende dalla rigidezza dello scheletro solido, cioè

dalla struttura del terreno ed è definita dai

parametri

di compressibilità. La velocità

di questo processo (consolidazione) dipende dalla permeabilità

del terreno ed è

definita da una legge tensioni‐deformazioni‐tempo.

u + u0

u 0

Via via che l’acqua viene espulsa dai pori, le particelle di terreno si assestano in una configurazione più

stabile e

con meno vuoti, con conseguente diminuzione di volume.

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 34

Elevata permeabilità

(k > 10‐6

m/s)TERRENI A GRANA GROSSA

(ghiaie e sabbie),

Scarsa permeabilità

(k < 10‐6

m/s)TERRENI A GRANA FINE

(limi e argille)

Riferendosi solo al caso di carichi statici o quasi statici:

espulsione dell’acqua (quindi anche

deformazione volumetrica)

praticamente istantanea

espulsione dell’acqua, con dissipazione

delle sovra‐pressioni interstiziali (e

quindi deformazione volumetrica)

differita nel tempo

N.B. Il fenomeno della consolidazione

interessa sia i terreni a grana fine che quelli a

grana grossa: i parametri di compressibilità

si determinano per entrambi, quelli legati

alla consolidazione sono di scarso interesse per i secondi.

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 35

CONSOLIDAZIONE EDOMETRICACONSOLIDAZIONE EDOMETRICA

In ogni punto del semispazio si produce istantaneamente un incremento di tensione

verticale totale v

= p.

II. Deposito saturo infinitamente esteso in

direzione orizzontale

SABBIA

ARGILLA

SABBIA

p

I. Carico uniformemente distribuito,

infinitamente esteso e applicato

istantaneamente)

Per ragioni di simmetria non possono esservi deformazioni orizzontali

e il moto di

filtrazione che si sviluppa è

monodimensionale

e in direzione verticale (condizioni

edometriche).

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 36

Nella sabbia, molto permeabile (SISTEMA APERTO), l’incremento di tensione totale

determina

(quasi immediatamente) un eguale incremento della tensione efficace

(sopportata dallo scheletro solido), mentre l’acqua in eccesso filtra rapidamente in

direzione verticale e la pressione interstiziale (praticamente) non varia. I grani si

deformano e si addensano con riduzione dei vuoti, e quindi di volume.

I.

inizialmente

il sovraccarico applicato è

sopportato quasi esclusivamente

dall’acqua interstiziale (p = v

= u; ’v

= 0);II.

gradualmente

l’acqua, filtrando verticalmente, viene espulsa dai pori e il carico

viene trasferito allo scheletro solido che si comprime, con conseguente

aumento delle pressioni effettive (’v

aumenta e u

diminuisce);

III.

alla fine

del processo di consolidazione tutte le sovra‐pressioni interstiziali si

sono dissipate (u = 0), la filtrazione si è

arrestata, il sovraccarico totale

applicato è

interamente sopportato dallo scheletro solido (’v

= v

= p).

Nell’argilla, poco permeabile (SISTEMA CHIUSO), la filtrazione avviene molto

lentamente e il fenomeno sopra descritto è molto rallentato:

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 37

MODELLO MECCANICO MODELLO MECCANICO DIDI

ELASTICITELASTICITÀÀ

RITARDATARITARDATA

Molla a comportamento

elastico lineare (K)

Cilindro indeformabile

Acqua

Pistone

Manometro(pressione dell’acqua)

Valvola

1. La molla simula il comportamento dello scheletro solido

2. L’acqua presente nel cilindro

rappresenta l’acqua interstiziale

3. La valvola rappresenta la

permeabilità

del sistema

A

l

)t(Q)t(QQ iWiM

4. Se si applica un carico Q,

esso si ripartisce in parte

sulla molla (determinandone

un accorciamento l) e in

parte sull’acqua

(determinando una

sovrappressione uw

):

Esistono dei modelli meccanici

che descrivono in maniera efficace tale fenomeno

nei terreni a grana fine.

Nel modello di elasticità

ritardata:

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 38

Valvola

Pressione

Chiuso Aperto

Q

Tempo0

0t

Q (

t )

1t

2t

3t

4t

5t

6t

7t

iW

Sovr

acca

rico

Q (

t ) i

M

t1 t2 t4t7

t1

–

valvola chiusa e

carico Q applicato

istantaneamente:

Q = Qw

=

uw

(t1

)∙A

QM

= 0 (l = 0)

t2

– valvola aperta

t > t2

– valvola aperta

uw

(t1

) = Q/A

Qw

=

uw

(t1

)∙A (uw

decresce)

QM

= K∙l (l cresce)

t = t7

– valvola aperta

Qw

= 0 (uw

= 0)QM

= Q

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 39

Area ABCD

carico totale (

·Ar

)

Ar

=area

trasversale del recipiente

Area ABCE

carico sulle molleArea AED

carico sostenuto dall’acqua

Pistoni forati Molle di uguale rigidezza (K)

Piezometri

Acqua

Il modello di Terzaghi

consiste in un recipiente cilindrico contenente una serie di

pistoni forati (che simulano la presenza dei vuoti e la permeabilità

del terreno), eguali

tra loro, separati da molle di eguale rigidezza

(che simulano il comportamento dello

scheletro solido), e riempito d’acqua. Ciascuna zona di interpiano in cui risulta

suddiviso il recipiente tramite i pistoni è

collegata ad un tubo aperto per la misura del

carico piezometrico.

MODELLO DI

TERZAGHI

Si applica istantaneamente un incremento di pressione Per il principio delle tensioni efficaci vale: u/w

(t) + ’/w

(t) = /w

√

z e √

t

Carico sostenuto dall’acqua Carico sostenutodalle molle

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 40

A

BArea ABCD

carico totale (

·Ar

)

Area ABCE



’ ut=0 /w

/w

t = 0

t = 0

u/w

= /w

’/w

= 0per ogni z

Molle indeformate

(dischi immobili ed equidistanti) e

piezometri allo stesso livello

(carico interamente

sostenuto dall’acqua), si attiva un moto di filtrazione

verticale ascendente

verso il recipiente

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 41

A

BArea ABCD

carico totale (

·Ar

)

Area ABCE



u

’w

w

C

D

E

Area ABCD

carico totale (

∙Ar

)Area ABCE

carico sulle molle

A

ut=0 /w

/w

t = 0B

t1 t2

Nell’istante t2

:

Area AED


t > 0

u/w

= 0per z = 0 e per ogni t

’/w

= /w

u/w

(t) cresceall’aumentare di z

’/w

(t) decresce

u/w

(z) decresceall’aumentare di t

’/w

(z) cresce

Le molle in superficie sopportano un carico

maggiore: la distanza tra

gli interpiani

e le

sovrappressioni sono minori in superficie

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 42

A

BArea ABCD

carico totale (

·Ar

)

Area AED


u

’w

w

C

D

E

A

ut=0 /w

/w

t = 0B

t1 t2

t =

t =

u/w

(z) = 0per ogni z

’/w

(z) = /w

Molle accorciate della stessa quantità

(dipendente dalla tensione applicata) per tutti

i piani

(dischi equidistanti) e piezometri allo

stesso livello precedente l’applicazione del

carico,

si arresta il

moto di filtrazione

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 43

TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICATEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA

I.

consolidazione monodimensionale

(filtrazione e cedimenti solo in

direzione verticale);II.

incompressibilità

di acqua (w

= cost) e particelle solide (s

= cost);III.

validità

della

legge di Darcy;

IV.

terreno

saturo, omogeneo, isotropo

V.

legame sforzi deformazioni

elastico lineare

VI.

permeabilità

costante

nel tempo e nello spazio

VII.

validità

del

principio delle tensioni efficaci

La teoria della consolidazione edometrica di Terzaghi si basa sulle seguenti ipotesi

semplificative:

p

SABBIA

ARGILLA

SABBIA

Per comprendere i modi e i tempi secondo cui avviene i fenomeno della consolidazione

edometrica si fa riferimento alla

teoria della consolidazione edometrica

(monodimensionale) di Terzaghi.

Equazione che governa il moto di filtrazione dell’acqua(legge tensioni‐deformazioni‐tempo)

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 44

teS

tS

ee1

1zhk

yhk

xhk r

r2

2

z2

2

y2

2

x

La legge tensioni‐deformazioni‐tempo

si ottiene a partire dall’equazione generale del

flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso

omogeneo ed isotropo, nell’ipotesi di

incompressibilità

del fluido e dello scheletro solido ed ottenuta applicando l’equazione

di continuità

e la legge di Darcy

(ipotesi II, III, IV)

che diventa, nell’ipotesi di:

(IV) terreno saturo:

h = h(z) 0yh

xh

2

2

2

2

Sr

= cost

= 1

0tSr

te

e11

zhk

o2

2

kx

= ky

= kz

(I) flusso monodirezionale, verticale, nella direzione z

(VI) terreno isotropo :

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 45

te

e1dzdz

zhk

o2

2

ta

te

te '

vV

'v

'v

tcosea ʹv

v

2e

2

w2

2

zu1

zh

* up

= componente idrostatica della pressione interstizialeue

= sovrappressione dovuta all’applicazione del carico

up

lineare con z

*

**

** Il segno meno è dovuto al fatto che l’indice dei vuoti decresce e av

è

positivo.

t'

e1a

zuk v

o

V2e

2

w

Principio delle tensioni efficaci (VII)

tu

tu

tu

ttu

tteepvv

'v

up

e v

costanti nel tempo

Ipotesi di elasticità

lineare (V)

Note

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 46

w

ep )uu(zh

Si ottiene così

l’equazione differenziale della consolidazione monodimensionale di

Terzaghi:

tu

zu

a)e1(k e

2e

2

vw

o

tu

zu

c e2e

2

v

oppure:

dove cV

è il coefficiente di consolidazione verticale:

vvwvw

o cm

ka

)e1(k

[L2/T]

dove:ue

(z,t) = sovra‐pressione dovuta all’applicazione del caricok = coefficiente di permeabilità

del terreno

eo

= indice dei vuoti inizialeav

= coefficiente di compressibilità

EQUAZIONE DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 47

Con riferimento ad uno strato di terreno a

permeabilità

molto bassa (argilla), delimitato

superiormente e inferiormente da un materiale a

permeabilità

molto più

alta (sabbia), assumendo

valide tutte le ipotesi della teoria della

consolidazione edometrica, l’equazione di Terzaghi:

p

SABBIA

ARGILLA

SABBIAZ = 0

Z

tu

zu

c e2

e2

v

)t,z(uu ee

2v

v

e22

e2

v Hc

Tu

H1

Zu

c

HzZ

2v

v Htc

T

(H = altezza di drenaggio) (Tv

= fattore di tempo)

v

e2e

2

Tu

Zu

)T,Z(uu Vee

con

con

spessore dello strato se drenato da un lato solo (0 < Z < 1)H =

metà

dello spessore dello strato se drenato da entrambi i lati (0 < Z < 2)

ponendo:

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 48

occorre fissare, per la variabile ue

(z,t):

2 condizioni al contorno per z

(o Z) condizioni di drenaggio

1 condizione iniziale per t

(o TV

) distribuzione (isocrona) iniziale, ue

(z,0)

v

e2e

2

Tu

Zu

Per risolvere

l’equazione differenziale della consolidazione monodimensionale di

Terzaghi:

e quindi trovare l’evoluzione nel tempo t (o TV

) e con la profondità, z (o Z) della sovra‐

pressione interstiziale indotta dal carico applicato:

t,zu)T,Z(uu eVee

‐

in forma adimensionale o in forma dimensionale

tu

zu

c e2

e2

v

Nel caso edometrico,

le condizioni al contorno e iniziali sono:

per t = 0 ue

= uo

, z

(isocrona iniziale costante per carico uniforme)

per z = 0 e z = 2H ue

= 0, t

0 (superfici superiore e inferiore drenanti)

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 49

z

0

zw

Z + 2Hw

zw u all’istante t = 0

Pressione dei pori

Prof

ondi

tà u ad un generico istante t

up

ue

u0

2H

Sabbia

Sabbia

Argillau

up

= pressione interstiziale idrostaticaue

= sovra‐pressione per applicazione del caricou0

= carico pp

La soluzione, ottenuta per via analitica, è quindi:

v2TM

m

0m

ove e)MZ(sin

Mu2

)T,Z(u

)1m2(

2M

con

0 ≤

Z ≤

2

0 ≤

TV

≤ ∞

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 50

Grado di consolidazione, Uz

Z=

z/H

Tv

=0

P

GRADO DI

CONSOLIDAZIONE

o

e

o

eoz u

)t,z(u1u

)t,z(uu)t,z(U

A(T )vA = Area totale del grafic ot

Grado di consolidazione medioU = A(T )/Am v t(T ) v

La stessa soluzione può essere ottenuta per via grafica, attraverso il

grado di

consolidazione

e il grado di consolidazione medio

(in termini di sovra‐pressioni

interstiziali):

Per t (TV

) = 0

A(TV

) = 0Um

= 0

A(TV

) = AtUm

= 1Per t (TV

) = +

tg

= ∂h/∂z(Z,Tv

) nel punto PTv

=∞

vT2M

0m2

H2

0zm e

M21dz)t,z(U

H21tU

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 51

H = spessore dell’intero strato 0 < Z < 1

Piano impermeabile

Nel caso edometrico,

con superficie drenante da un lato solo:

per z = 0 ue

= 0, t

0 (superfici superiore e inferiore drenanti)

z/H

Tv

=0

P

Tv

=∞

si possono adottare le stesse soluzioni assumendo H = spessore dello strato

Nel caso di isocrona iniziale non uniforme

(es. triangolare), indotta da distribuzioni di

carico non uniformi (o ad un abbassamento del livello di falda) esistono apposite

soluzioni grafiche e diagrammate.

p

ARGILLA

SABBIAZ = 0

ZROCCIA

v2TM

m

0m

ove e)MZ(sin

Mu2

)T,Z(u

dz)t,z(U

H1tU

H

0zm

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 52

Il grado di consolidazione medio

(in termini di sovrappressioni interstiziali), ad un

certo istante t, definito (nel caso di sue superfici drenanti) come :

vT2M

0m2

H2

0 o

eoH2

0zm e

M21dz

u)t,z(uu

H21dz)t,z(U

H21tU

f

H2

0f

H2

0 0

e0m s

)t(sdz)t,z(H21dz

)z(u)t,z(u)z(u

H21tU

legame sforzi deformazioni elastico lineare (V)

coincide con il rapporto tra il cedimento al tempo t, s(t), e il

cedimento totale, sf

,

ovvero con il grado di consolidazione medio

in termini di cedimento:

Infatti risulta:

ff

v

0

e0 )t,z(M

)t,z(M)t,z(ʹ)z(u

)t,z(u)z(u

f

m s)t(stU La variazione di pressione efficace durante la consolidazione

coincide con la variazione di pressione interstiziale

e quindi:

Corso di GEOTECNICA


Compressibilità 53

Il grado di consolidazione medio

Um

(in funzione del tempo t o del fattore di

tempo Tv

) consente quindi di stimare l’evoluzione del cedimento nel tempo

durante il processo di consolidazione:

e si può ricavare, nel caso delle condizioni al contorno considerate

(isocrona iniziale

uniforme e una o due superfici drenanti), analiticamente:

f

m s)t(stU fm stU)t(s

vT2M

0m2m e

M21tU

oppure con grafici:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Fattore di tempo, Tv

Gra

do d

i con

solid

azio

ne m

edio

, Um

[%] 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1000.001 0.01 0.1 1 10


Gra

do d

i con

solid

azio

ne m

edio

, Um

[%]

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 54

o con soluzioni analitiche approssimate

36

m

6m

v63

v

3v

m U1U5.0

T;5.0T

TU

(Brinch‐Hansen)

%60Uper(%))U100log(933.0781.1T

%60UperU4

T;T

2U

mmv

m2

mvv

m

(Terzaghi)

357.06.5m

2m

v179.08.2v

5.0v

mU1

U4T;

T41

T4

U

(Sivaram

& Swamee)

a)

b)

c)

Um 10 20 30 40 50 70 90 95 Tv 0.0077 0.0314 0.0707 0.126 0.196 0.403 0.848 1.129

oppure con tabelle:

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 55

LIMITI DELLA TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DI

TERZAGHI

La teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi non è in grado di

rappresentare il reale

comportamento dei terreni

per diversi motivi:

il legame tensioni deformazioni è

marcatamente non lineare

la permeabilità

del terreno varia nel tempo, durante il processo di consolidazione,

perché

diminuisce l’indice dei vuoti

è trascurata la componente viscosa

delle deformazioni

Si può utilizzare la soluzione di Terzaghi per interpretare la prova edometrica, se si

ipotizza che il terreno abbia comportamento lineare e permeabilità

costante

nell’ambito di ogni gradino di carico, e che le deformazioni viscose abbiano inizio solo

quando la consolidazione edometrica è in gran parte esaurita

N.B. In sito, inoltre, lo schema di carico e di vincolo geometrico considerati (strati

orizzontali, carico uniforme e infinitamente esteso, deformazioni e flusso solo

verticali) non sempre sono verificati, per cui l’incremento di tensione v

non è

costante con la profondità

e si possono avere anche deformazioni di taglio a volume

costante a breve termine e filtrazione anche orizzontale.

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 56

In realtà

l’accordo è

accettabile per gradi di consolidazione inferiori al 60%

(per valori superiori la curva teorica tende ad un asintoto orizzontale, quella reale ad un

asintoto obliquo

a causa della consolidazione secondaria)

Se fossero verificate le ipotesi della teoria della consolidazione, le curve sperimentali

cedimento –

tempo della prova edometrica dovrebbero essere eguali (per qualsiasi

valore del carico o terreno) a meno di fattori di scala, alle curve teoriche adimensionali

Um

= f(Tv

)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1000.001 0.01 0.1 1 10


Gra

do d

i con

solid

azio

ne m

edio

, Um

[%]

Curva teorica adimensionale Um

= f(Tv

) Curva sperimentale dei cedimenti s(t)

Um

= s(t)/sf

s(t); TV

= cV

∙t/H2

t

I fattori di scala, caratteristici del terreno (cV

, H e sf

) si trovano sperimentalmente

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione57

Per applicare la soluzione dell’equazione differenziale della consolidazione

monodimensionale e determinare quindi l’evoluzione nel tempo dei cedimenti, s(t) =

Um

(TV

)·sf

e/o delle sovrappressioni interstiziali, ue

(t) = (1‐Uz

)·u0

di uno strato di terreno

coesivo, oppure i tempi di consolidazione t = Tv

·H2/cV

occorre dunque conoscere:

Il coefficiente di consolidazione verticale, cV

, si può determinare in laboratorio a partire dai risultati della prova edometrica

le caratteristiche geometriche

dello strato (spessore dello strato) l’isocrona iniziale

delle sovrappressioni (legata al carico applicato)

le condizioni di drenaggio

(percorso massimo di drenaggio, H) le caratteristiche di permeabilità

e compressibilità

del terreno

(sintetizzate dal coefficiente di consolidazione verticale, cv

) il cedimento finale di consolidazione primaria

(legato ai parametri di

compressibilità

del terreno)

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 58

DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI

cV

I valori dell’altezza del provino

osservati nel tempo durante ciascun gradino di carico applicato durante la prova edometrica

sono generalmente

diagrammati secondo due modalità:

in funzione del logaritmo del tempo in funzione della radice quadrata del tempo

Dai diagrammi così

ottenuti è

possibile determinare, relativamente a ciascuno dei gradini di carico applicati, il coefficiente di consolidazione, cv

, mediante procedure che consistono nel sovrapporre e far coincidere la curva teorica

adimensionale Um

= f(Tv

), parabolica, con la curva sperimentale cedimento‐ tempo (limitatamente al 60% della consolidazione primaria) allo scopo di

determinare i fattori di scala, e tra questi, noti H e sf

, il valore di cV

.

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 59

2

1

2

1

tt

)t(S)t(S )t(S

21)t(S 21

Poiché

per Um

60% la relazione teorica cedimenti‐tempo è

quasi

parabolica, se si considerano due istanti, t1

e t2

, e i relativi cedimenti, s(t1

), punto R, e s(t2

), punto E, tali che Um

< 60% e che t2

= 4 t1

, vale la relazione:

Metodo di Casagrande

grafico 2H ‐

t(log)

si traccia la retta orizzontale per E fino a trovare T, si ribalta sopra la curva il segmento verticale RT fino a trovare il punto P, la cui ordinata

misura l’altezza

iniziale 2 Hi

1) Si determina l’altezza del provino, 2Hi

, all’inizio della consolidazione (Um

=

0%).

Corso di GEOTECNICA


Consolidazione 60

3. Si determina l’altezza del provino a metà

della

consolidazione primaria, 2H50

(Um

= 50%).

2H50

= (2Hi

+ 2Hf

)/2

4. Si determina il valore di Tv

corrispondente a Um

= 50%, (es. dalla relazione di

Terzaghi Tv

= 0.197).

5. Si determina il valore di Cv

corrispondente: 50

250 197.0

tHcv

(intersezione, B, tra la tg

al tratto finale,

BC e la tg

nel punto di flesso, FB)

2. Si determina l’altezza del provino, 2Hf

, alla fine della consolidazione primaria (Um

=

100%)

Consolidazione 61

Corso di GEOTECNICA


Metodo di Taylor

diagramma 2H‐√t

2 H

2. Si determina l’altezza del provino, 2Hi

, all’inizio della consolidazione

primaria (Um

=

0%)

prolungando la retta interpolante fino ad incontrare l’asse delle ordinate, nel

punto E

D

E

O

2 Hi

ricordando che per Um

60% la relazione cedimenti‐tempo teorica è di tipo

parabolico (Terzaghi)

e quindi lineare se riportata in termini di √t

1. Si traccia la retta interpolante i punti iniziali (corrispondenti a Um

< 60%)

Consolidazione 62

Corso di GEOTECNICA


4. Dall'intersezione della retta ad ascisse

incrementate con la curva sperimentale

(punto C) si ricava t90

e, sull’asse delle

ordinate, l’altezza 2H90

corrispondente

5. Si determina l’altezza del provino, 2Hf

,

alla fine della consolidazione (Um

=

100%)

3. Si disegna la retta con ascisse

incrementate del 15% rispetto a quella

interpolantet90

(C) è 1.15 volte il valore dell’ascissa

corrispondente alla stessa ordinata

sulla curva teorica, ovvero sulla retta

interpolante (B) i dati sperimentali per

Um

<60%

2 H

E

O

2 Hi

2 H90

2 Hf

Consolidazione 63

Corso di GEOTECNICA


2 Hi

2 Hf

2 H90

2 H

E

O

2 Hi

2 H90

2 Hf

7. Si determina il valore di cv

corrispondente:

6. Si determina il valore di Tv

corrispondente a Um

= 90%

(dalla tabella Tv

= 0.848).

90

290 848.0

tHcv

ConsolidazioneConsolidazione 64

Corso di GEOTECNICA


Avendo ricavato cV

ed mv

dalla prova edometrica è

possibile ottenere una stima del coefficiente di permeabilità

k del terreno:

N.B. Se le ipotesi di Terzaghi fossero verificate (k e mv

costanti) si otterrebbe lo stesso valore di cv

per tutti i gradini di carico applicati al provino.

In realtà

per ciascun gradino si ottiene un valore diverso si assume come valore più

rappresentativo quello corrispondente al

gradino di carico entro cui ricade il livello tensionale medio (iniziale e finale) presente nel terreno in sito.

vwv mck

Valori tipici

di cV

(per terreni da limi argillosi ad argille): 10‐6

10‐9

m2/s

ConsolidazioneConsolidazione 65

Corso di GEOTECNICA


CONSOLIDAZIONE SECONDARIA

La consolidazione secondaria

è conseguente alle deformazioni viscose dello scheletro

solido, che avvengono prevalentemente

al termine della consolidazione primaria (quindi

a tensione efficace costante) e sono rappresentate, nella curva sperimentale cedimenti‐

tempo, dall’asintoto obliquo.

La pendenza dell’asintoto inclinato nel piano

semilogaritmico e‐logt, è detto indice di

compressione secondaria:

tlogeC

Terreno C/Cc Argille tenere organiche 0,05 0,01 Argille tenere inorganiche 0,04 0,01 Sabbie da 0,015 a 0,03 N.B. Lo stesso indice può anche essere definito sul piano ev

‐logt:

0

v

e1C

tlogC

Corso di GEOTECNICA


66Consolidazione

1-D

Caso 1‐D (condizioni edometriche)

Tali condizioni possono realizzarsi nei terreni solo in condizioni di simmetria, ad

esempio nel caso di un deposito:

delimitato

da

piano

di

campagna

orizzontale

ed

infinitamente

esteso

in

direzione

orizzontale, con strati orizzontali (simmetria geometrica) con

un

incremento

della

tensione

verticale

totale

istantaneo

uniformemente

distribuito ed infinitamente esteso

(simmetria di carico), ovvero:

stato tensionale assial‐simmetrico

condizioni di deformazioni laterali impedite (r

= 0; V

= a

; deformazioni di taglio

= 0)

filtrazione monodimensionale (in direzione verticale)

cedimento

nullo

in

condizioni

non

drenate

(ovvero

nell’istante

di

applicazione

del

carico), au

= 0

spessore dello strato che consolida piccolo rispetto

all’estensione dell’area di carico (es. riporto di altezza costante

e grandi dimensioni planimetriche)

abbassamento generalizzato e uniforme del livello di falda

CONSOLIDAZIONE IN CASI REALI

Corso di GEOTECNICA


67Consolidazione

Caso

2‐D

(carico

applicato

distribuito

su

una

striscia

di

larghezza B e di lunghezza indefinita)

lo stato di deformazione è piano la filtrazione avviene in due dimensioni il bacino dei cedimenti è

cilindrico

sono possibili deformazioni di taglio vi sono cedimenti anche a volume costante, in condizioni non drenate.

2-D

Caso

3‐D

(carico

applicato

è

distribuito

su

un’area

di

dimensioni

ridotte

e

confrontabili,

ad

esempio

un’area

circolare, quadrata o rettangolare)

lo stato di deformazione è

tridimensionale

la filtrazione avviene in tre dimensioni il bacino dei cedimenti è

tridimensionale

sono possibili deformazioni di taglio vi sono cedimenti anche a volume costante, in condizioni non drenate.

3-D

Corso di GEOTECNICA


68Consolidazione

Carico infinitamente esteso

1-D

Drenaggio e deformazione in questa direzioneTempo di consolidazione (anni)

Spes

sore

del

lo st

rato

di t

erre

no (m

)

2-D

Striscia di caricoArea di carico

circolare

3-D

B D

La durata del processo di consolidazione dipende quindi anche dalla forma e dalle dimensioni dell’area di carico

Corso di GEOTECNICA


69Consolidazione

OSS.La stima dei tempi di consolidazione mediante la teoria di Terzaghi (1‐D):

2. è molto incerta

(più

di quanto non sia la stima dell’entità

del cedimento) per

l’eventuale presenza nello strato di livelli di terreno a permeabilità

differente).

1. è

quasi sempre in eccesso

(sono trascurati gli effetti della forma e delle

dimensioni dell’area di carico);

N.B. Il modello geotecnico deve essere tarato, quando è

possibile e giustificato

dall’importanza dell’opera da realizzare, attraverso le misure sperimentali

dei

cedimenti reali nel tempo, durante e subito dopo la costruzione

tc

maggiore

Corso di GEOTECNICA


70Consolidazione

Inoltre

la teoria della consolidazione di Terzaghi assume che il carico

totale

sia

applicato istantaneamente

(al tempo t = 0) e mantenuto costante

nel tempo fino

all’esaurirsi della consolidazione.

Sbancamento

t

ttempo

Car

ico

Costruzione Esercizio

1

2

In realtà

il carico viene applicato gradualmente, in modo anche discontinuo e

talvolta non monotòno, durante le varie fasi di costruzione.

Una soluzione sufficientemente accurata può ottenersi assumendo che l’intero

carico sia istantaneamente applicato al tempo corrispondente alla metà

del periodo

di costruzione.

t0

t0

= tc

/2

tc

Corso di GEOTECNICA


71Consolidazione

ACCELERAZIONE DEL PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE

N.B.

Poiché

il

sovraccarico

è

spesso

realizzato

con

un

riporto

di

terreno,

la

tecnica

del precarico

è molto utilizzata per le opere in terra e nei lavori stradali

Quando il tempo stimato di consolidazione

è

giudicato troppo lungo

(ad es. la

pavimentazione di un rilevato stradale deve essere realizzata a cedimenti assoluti e

differenziali esauriti), è

possibile ridurlo:

applicando un sovraccarico aggiuntivo temporaneo (precarico) applicando un sistema di dreni verticali

sA

t

p

p f

p s

t s t 1 s s

'0v

f'

0v

0

C0f

ploge1

CHs

fvm s)T(U)t(s

2vv HtcT

Corso di GEOTECNICA


72Consolidazione

s f

A

t

s

p

pf

p s

s fs

t s t 1 s s

Dopo un assegnato tempo t1

, si deve essere già

manifestato il cedimento sf

(o una

gran parte di esso).

Per accelerare il processo di

consolidazione

si può decidere di

applicare un sovraccarico temporaneo

di

intensità

ps

per un periodo di tempo ts

.

N.B. Molto spesso ts

è

condizionato dai

tempi necessari per le lavorazioni, e

quindi è un dato di progetto, mentre

l’incognita è

l’intensità

del precarico ps

.

METODO DEL PRECARICO

ts2s

vv HtcT

Siccome all’istante ts

deve realizzarsi l’intero

cedimento sf

, allora:

f

s

fs

fm s

sssU mffs U/ss

110pp c

0

0

fs

Ce1

Hs

'0vsf

]logC[e1

HHʹvo

vʹvo

c

o

o

Viene sottratto

con precarico

senza precarico

Corso di GEOTECNICA


73Consolidazione

METODO DEI DRENI VERTICALIUn’altra tecnica per accelerare il processo di consolidazione

consiste nell’inserire nel

terreno dreni verticali

disposti ai vertici di una maglia regolare, quadrata o

triangolare, di lato inferiore alla massima lunghezza di drenaggio H.

S’instaura una consolidazione anche orizzontale

e il tempo di consolidazione

si riduce perché

:

si riduce la lunghezza del percorso di drenaggio H (permettendo all’acqua di filtrare

anche in direzione orizzontale fino al dreno più

vicino)

si sfrutta la maggiore permeabilità

del terreno in direzione orizzontale, kH

si fa avvenire un processo di consolidazione tridimensionale

2

v

v HcT

t

I dreni verticali

possono essere realizzati:

con pali di sabbia, infissi o trivellati (diametro dw

= 0,20,5

m e interasse s =

1,56,0

m

con elementi prefabbricati

messi in opera a percussione o per infissione a

sezione lamellare (larghezza a = 60100

mm, spessore b = 25

mm) e diametro

equivalente pari a:

ba2d w

Corso di GEOTECNICA


74Consolidazione

r

re

de

dw

terreno omogeneo,

parametri di compressibilità

e di permeabilità

costanti durante

il processo di consolidazione,

deformazioni solo verticali e filtrazione solo radiale,

deformazioni piccole rispetto all’altezza del cilindro che drena.

tu

ru

ru

r1c e

2e

2e

h

wv

hh m

kc

In genere ch

> cv

, ma cautelativamente

si può assumere ch

= cv

.

Per il dimensionamento del sistema di dreni verticali occorre

applicare la teoria della consolidazione radiale.

Si considera un cilindro di terreno con superficie esterna

impermeabile e un dreno centrale. Le ipotesi sono le stesse

della teoria della consolidazione edometrica di Terzaghi, a parte

la direzione del flusso:

è il coefficiente di consolidazione

per flusso in

direzione

orizzontale

Corso di GEOTECNICA


75Consolidazione

0

20

40

60

80

100

0.01 0.1 1

fattore di tempo, Tr

grad

o di

con

solid

azio

ne m

edio

, Ur (

%)

n=5

n=10

n=40

n=100

tu

ru

ru

r1c e

2e

2e

h

2e

hr d

tcT

75,0)nln(F

100FT8exp1100

s)t(s(%)U r

f

r

dove:w

e

dd

n

)U100(U100100

1100(%)U rv

Per risolvere l’equazione della consolidazione radiale

(come per

l’equazione della consolidazione monodimensionale di Terzaghi):

si considera che ad ogni istante t, corrisponde un fattore di

tempo adimensionale e un grado di consolidazione medio:

Ovviamente la consolidazione radiale è

contemporanea a quella verticale (edometrica), per

cui per ogni istante t è

possibile determinare, con le

formule note dalla teoria di Terzaghi, gli analoghi Tv

e

Uv

e un grado di consolidazione medio complessivo:

Corso di GEOTECNICA


76Consolidazione

In fase di progettazione di un sistema di dreni verticali, in genere è nota:

Il parametro di progetto

da determinare è

l’interasse (o lato della maglia), s

la forma e la dimensione del dreno, cilindrico o lamellare (diametro interno dw

)

la disposizione dei dreni (a quinconce

con maglia triangolare equilatera o a

maglia quadrata

)

s05,1s3

6de

s13,1s4de

la geometria dello strato (spessore H )

la permeabilità

dello strato (e quindi i

coefficiente di consolidazione ch

e cv

)

t 2vv HtcT )T(fU vv

il grado di consolidazione globale (U

)

vr U100(%))U100(100100U

100

75.0)dsdln(

sdtc8

exp1(%)U

w

e

2e

h

r

100

FT8exp1(%)U r

r

Soluzione iterativaInterasse, s

Corso di GEOTECNICA


77Consolidazione

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