UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE Dipartimento di...

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleSezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)

“IDRAULICA DEI TERRENI”Esercizi svolti

Johann [email protected]

http://www.dicea.unifi.it/~johannf/

Corso di GeotecnicaIngegneria Edile, A.A. 2010\2011

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica

22/62/62Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni –– GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011

Indice

INDICE

Permeabilità

Moti di filtrazione

Verifiche idrauliche


33/62/62

LEGGE DI DARCY

Permeabilità

Esercizio 1

Determinare il coefficiente di permeabilità k del campione e la velocità di filtrazione reale, vr, dell’acqua attraverso un campione cilindrico di sabbia, avente porosità n = 60% a cui è applicato un gradiente di carico idraulico h0 = 30 cm. Il provino ha diametro D pari a 5 cm e lunghezza L di 15 cm. Durante la prova viene raccolto un volume d’acqua C pari a 40 cm3 in 5 sec, alla temperatura di 20°C.

L Ah0

C

Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni –– GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011


44/62/62

Dati:Lunghezza del campione (L) = 15 cm

Carico idraulico (h0) = 30 cm

Volume di acqua raccolta (C) = 40 cm3

Tempo di raccolta (∆t) = 5 s

Diametro del campione (D) = 5 cm

Porosità (n) = 60%

Svolgimento:Per determinare il coefficiente di permeabilità si utilizza la legge di Darcy:

ikv ⋅=dove v è la velocità di filtrazione (apparente) attraverso il campione e i il gradiente idraulico. Nell’ipotesi che la perdita di carico, h0, avvenga tutta all’interno del campione e assumendo come piano di riferimento z = 0 l’estremità superiore del campione (in genere il piano z=0 coincide col p.c):h2 = ‐z +u/γw = (0)+(hw) = hw h3 = ‐z +u/γw =(‐L)+ (L+hw–h0) = hw ‐ h0

Permeabilità

L Ah0

C

hW

z

1

2

3

h

∆h

z=0

Moto stazionario Principio di conservazione della massa



55/62/62

Svolgimento:L’acqua filtra attraverso il campione da punti a cui compete un carico maggiore (2) a punti in cui il carico è inferiore (3) e il gradiente idraulico risulta:

tAhLCk∆⋅⋅

⋅=

La portata attraverso la sezione A del campione è:

Lh

Lhi 0=∆=

Q = v∙Ae nell’ipotesi che il volume d’acqua che filtra attraverso il terreno sia lo stesso che viene raccolto nel serbatoio per il principio di conservazione della massa(moto stazionario o permanente):Q = C/∆Tda cui:Q = C/∆t = v∙Α= k∙(h0/L)∙πD2/4

e quindi:v = k∙i = k ∙h0/L

e infine (essendo A = π D2/4 = 3.14x52/4 = 19.6 cm2):

= (40 cm3x15 cm)/(30cmx19.6cm2x5 s) = 0.2 cm/s = 2x10‐3 m/s*

= 30 cm/15cm = 2

*Valore tipico di una sabbia pulita

Permeabilità



66/62/62

Svolgimento:

La velocità di filtrazione (apparente) è data da:

v = k∙i = 0.2 cm/s x 2 = 0.4 cm/s

e la velocità di filtrazione reale è data da:

vr = v/n = (0.4/0.6)cm/s = 0.67cm/s > v

N.B. Lo strumento e la procedure descritte nell’esercizio rappresentano uno dei metodi di misura della permeabilità in laboratorio per i terreni a grana grossa (PERMEATRO A CARICO COSTANTE)

Permeabilità



77/62/62

Esercizio 2

Per determinare la permeabilità media di uno strato di sabbia di spessore S = 12.5 m, sovrastante uno strato impermeabile, è perforato un pozzo ed è eseguita una prova di emungimento. La falda freatica è alla profondità zw = 1.95 m dal p.c. A regime la portata emunta è q = 850 lt/min, e gli abbassamenti del livello acquifero in due piezometri posti a distanza x1 = 15.2 m e x2 = 30.4 m dallʹasse del pozzo sono rispettivamente y1 = 1.625 m e y2 = 1.360 m. Stimare il coefficiente di permeabilitàmedio della sabbia, k (in m/sec) ed il suo diametro efficace D10.

Dati:

Spessore dello strato di sabbia (S) = 12.5 mProfondità della falda dal p.c. (zw) = 1.95 m

Portata emunta (q) = 850 lt/min = 850/60000 m3/s = 0.014167 m3/s

p.c.

S

zw

Permeabilità


x1x2

y1 y2

x1 = 15.2 m

x2 = 30.4 m

y1 = 1.625 m

y2 = 1.360 m


88/62/62

Svolgimento:La permeabilità media dello strato di sabbia può essere determinata sulla base della formula:

Permeabilità


p.c.

S

zw

x1

x2

y1 y2

)hh(

)xxln(

qk21

22

1

2

−⋅

π= [m/s] q [m3/s]

h1 h2

dove:h1 = S –zw –y1 = (12.5 – 1.95 – 1.625)m = 8.925 m

h2 = S –zw –y2 = (12.5 – 1.95 – 1.360)m = 9.19 m

6.5∙10‐4 m/s=−

⋅π

=222

3

m)925.819.9(

)m2.15m4.30ln(s/m014167.0k


99/62/62

Per determinare il diametro efficace, D10, si utilizza la formula di Hazen, che, per sabbie sciolte uniformi, fornisce una stima del coefficiente di permeabilità:

Permeabilità


k = C⋅ (D10)2 con k [cm/s], D10 [cm], C = 100 ÷ 150

da cui, assumendo C = 100:

D10 = √(k/C) = √(6.5∙10‐2 /100) = 0.026 cm


1010/62/62

Esercizio 3

Determinare il rapporto tra la permeabilità equivalente orizzontale kH e verticale kV di un deposito costituito da strati orizzontali di argilla , dello spessore medio di 1.5 m, alternati a strati sottili di limo argilloso, dello spessore medio di circa 1 cm e aventi permeabilità circa 100 volte maggiore di quella dell’argilla.

Dati:Spessore degli strati di argilla (Ha) = 1.5 m

Coefficiente di permeabilità del limo (kl) = 100 ka

Spessore degli strati di limo (Hl) = 1 cmCoefficiente di permeabilità dell’argilla = ka

p.c.ArgillaLimoHl

Ha

LimoArgilla

Permeabilità



1111/62/62

q

H

kv1, H1kv2, H2

kv, Hn

q

kv1, H1kv2, H2

kvn, Hn

H∑=

vi

iV,eq

kHHk

Svolgimento:Nell’ipotesi che i singoli strati siano omogenei e isotropi (kh = kv), il coefficiente di permeabilità equivalente orizzontale, per una singola coppia di strati è:

q H

kh1, H1 q1 q2 kh2, H2

qn kn, Hn a)

q

H HHk

k ihiH,eq∑ ⋅= = (kaxHa+klxHl)/(Ha + Hl) =

= (150cm ka + 100 ka∙1cm)/(150+1)cm== 250/151 ka = 1.66 ka

= (Ha + Hl)/(Ha/ka+ Hl/kl) = = (150cm+1cm)/[150cm/ka + 1cm/(100ka)]= 151/(150.01/ka) = 1.007 ka

Permeabilità



1212/62/62

Svolgimento:

Il rapporto tra la permeabilità equivalente orizzontale kH e verticale kV è:

ka007.1ka66.1

kk

V,eq

H,eq

⋅⋅

= = 1.6

N.B. La presenza di sottili strati di limo immersi in un deposito di argilla e con permeabilità molto più alta, influenza poco la permeabilità verticale del deposito, mentre influenza sensibilmente la permeabilità orizzontale (una volta e mezza quella dell’argilla).

Permeabilità



1313/62/62

Un canale di irrigazione, limitatamente ad un tratto di lunghezza L = 7 km, non èrivestito e scorre parallelamente ad un corso dʹacqua come mostrato nella sezione trasversale in Figura. Il terreno sottostante è argilla attraversata da una lente di sabbia (k = 9x10‐2cm/s) di spessore S = 0.2 m. Si determini la perdita dʹacqua dovuta alla filtrazione, attraverso lo strato di sabbia, dal canale al corso dʹacqua.

Permeabilità

Esercizio 4 (Esame del 19/04/2004)

57 m s.l.m.

Lente di sabbia

Argilla

150 m 0.2 mFiume

CanaleArgilla

37 m s.l.m.



1414/62/62

Dati:Quota del livello d’acqua nel canale (h1) = 57 m (s.l.m.)

Coefficiente di permeabilità della sabbia (k) = 9∙10‐4 m/s

Spessore dello strato di sabbia (S) = 0.2 m

Permeabilità

Quota del livello d’acqua nel fiume (h2) = 37 m (s.l.m.)Lunghezza del canale interessato dalla filtrazione (L) = 7000 m

Lunghezza del tratto filtrante (l) = 150 m

57 m s.l.m.

Lente di sabbia

Argilla

150 m 0.2 mFiume

CanaleArgilla

37 m s.l.m.

A

B



1515/62/62

Permeabilità

e quindi:Q = v∙L∙S = (1.2∙10‐4 m/s)x 7000m x 0.2 m = 0.17 m3/s

Svolgimento:Il gradiente di carico che attiva il moto di filtrazione dal canale verso il fiume (da A a B) è:

Q = v∙A = v∙L∙Sdove la velocità di filtrazione v, per la legge di Darcy, è:

∆h = h1 – h2 = 57m – 37m = 20 m

La portata che filtra attraverso lo strato di sabbia nel tratto di canale di lunghezza L (nell’ipotesi di regime stazionario) è costante e pari a:

v = k∙i = k∙∆h/l = (9∙10‐4 m/s )x(20 m/150 m) = 1.2∙10‐4 m/s



1616/62/62

Esercizio 5Un deposito di terreno, di cui sono riportate in figura la stratigrafia e il livello di falda (al di sopra del piano di campagna di un’altezza HW) è delimitato inferiormente da uno strato di sabbia molto permeabile. Viene realizzata una trincea inserendo due membrane verticali e prelevando l’acqua contenuta tra di esse fino a portare la falda al piano di campagna. Determinare in corrispondenza del fondo della trincea la portata (per unità di lunghezza della trincea), q, che deve essere emunta per mantenere il livello della falda al piano di campagna.

Moti di filtrazione

Si supponga che, all’interno di un piezometro posto tra le due membrane in corrispondenza di un qualsiasi punto della superficie di separazione con lo strato di terreno permeabile (sezione A‐A’), l’acqua risalga rispetto al livello di falda sempre della stessa quantità 2/3 HW.

p.c.

A

H = 4mw

L = 10m

2/3 H w

A’

Sabbia fine: k = 2x10 cm/s1-3

Sabbia media: k = 2x10 cm/s2-2

Limo argilloso: k = 4x10 cm/s3-5

Argilla limosa: k = 3x10 cm/s4-7

Sabbia molto permeabile

H = 1.5 m1

H = 2.0 m2

H = 0.5 m3H = 1.5 m4

B B’



1717/62/62

Dati:Spessore degli strati:

Altezza d’acqua sul piano di campagna (Hw) = 4 mLarghezza dello scavo (L) = 10 m

H1 = 1.5 m

* N.B. Si assumono i singoli strati isotropi rispetto alla permeabilità, khi = kvi

Il dislivello creato all’interno della trincea, rispetto al livello statico di falda preesistente all’esterno, attiva un moto di filtrazione da punti con maggiore energia verso punti con minore energia, ovvero dall’esterno verso l’interno della trincea.

H2 = 2 mH3 = 0.5 mH4 = 1.5 m

Coeff. di perm.*: k1 = 2x10‐3 cm/sk2 = 2x10‐2 cm/sk3 = 4x10‐5 cm/sk4 = 3x10‐7 cm/s

Altezza di risalita rispetto al p.c. al tetto dello strato più permeabile = 2/3(Hw)

Svolgimento:

Moto stazionario Principio di conservazione della massa


Moti di filtrazione


1818/62/62

Svolgimento:

hA‐A’ = ‐z +u/γw = ‐∑Hi + (∑Hi+ 2/3 Hw) = 2/3Hw

Limitandoci a considerare il moto di filtrazione nel suo tratto ascendente, le sezioni A‐A’ e B‐B’ possono considerarsi superfici equipotenziali (luogo geometrico di punto ad uguale energia potenziale o carico piezometrico) a cui corrispondono rispettivamente un valore del carico (assumendo come piano di riferimento z = 0 la base del deposito) pari a:

hB‐B’ = ‐z +u/γw = ‐0+ 0 = 0

Con una perdita di carico nel tratto AB di lunghezzaH =∑Hi= 5.5 m pari a :

∆hAB= 2/3 Hw= 2.7 m

e un gradiente idraulico medio:

iAB = ∆hAB /H = 2.7/ 5.5 = 0.49

p.c.

A

H = 4mw

L

2/3 H w

A’

H 1

H 2H3H4

B B’ z = 0


Moti di filtrazione


1919/62/62

Svolgimento:

q = v ∙ L ∙ 1

La portata q, per unità di lunghezza del diaframma, da emungere alla base della trincea (in corrispondenza della sezione A‐A’) è pari a:

v = keq,v ∙iAB

Il coefficiente di permeabilità equivalente verticale del deposito è:

dove v è la velocità media di filtrazione attraverso il deposito che è uguale a quella valutata per ogni singolo strato:

∑=

vi

iV,eq

kHHk =(5.5m)/[(1.5m/2x10‐5m/s)+(2m/2x10‐4m/s)+(0.5m/4x10‐5m/s)+

(1.5m/3x10‐9 m/s)] = 5.5/[(7.5+1+125+50000)x104] = 1.1∙10‐8 m/s

e la portata per unità di lunghezza del diaframma risulta:q = v ∙ L ∙ 1 = keq,v ∙iAB ∙L=1.1∙10‐8 m/s x 0.49 x 10 m = 5.4 ∙10‐8 m2/s

filtrazione in serie (moto permanente)

e la velocità (apparente) per la legge di Darcy, vale:

principio di conservazione della massa

q = v ∙ L ∙ 1 = qi = vi∙L∙1v = vi


Moti di filtrazione


2020/62/62

Esercizio 6

Moti di filtrazione


p.c.A

B

C

D

H = 3 mW

∆h = 7 m

H = 3 m1

H = 4 m2

H = 10 m3

Argilla A : = 20 kN/m k = 3x10 m/s1 1 1

γ3 - 1 0


γ3 - 1 0


γ3 - 1 0

-10

-10

-10

3

3

3

Si consideri un deposito di argilla, la cui stratigrafia e le relative condizioni di falda sono indicate in figura e che poggia su uno strato di sabbia molto permeabile. Si supponga che il livello d’acqua raggiunto in un piezometro posto al tetto dello strato di sabbia stia al di sopra del livello di falda di 7 m, generando così nel deposito di argilla un moto di filtrazione verticale ascendente (si assuma γw = 10 kN/m3).

a) Calcolare la permeabilitàverticale equivalente del deposito kv, e la portata che lo attraversa, q.b) Determinare come varia al suo interno nei vari strati il carico piezometrico e la pressione interstiziale.c) Calcolare le forze agenti sulla fase solida in ciascuno strato e verificarne la stabilità.



2121/62/62

Dati:

Spessore degli strati (m)

Altezza d’acqua sul piano di campagna (Hw) = 3 m

H1 = 3

N.B. Si assumono i singoli strati isotropi rispetto alla permeabilità, khi = kvi

H2 = 4 H3 = 10

Coeff. di perm. (m/s)

k1 = 3x10‐10k2 = 1x10‐10

k3 = 5x10‐10

Altezza di risalita al tetto dello strato più permeabile rispetto al livello di falda libera (∆h) = 7 m

Peso di volume (kN/m3)

γ1 = 20γ2 = 20γ3 = 20γw = 10

La presenza della falda in pressione nello strato di sabbia sottostante il deposito di argilla, determina, rispetto alla falda libera, un gradiente nel carico piezometrico, che attiva all’interno degli strati di argilla un moto verticale ascendente.

Svolgimento:


Moti di filtrazione


2222/62/62

Svolgimento:

hD = ‐zD +uD/γw = ‐(∑Hi) + (∑Hi+Hw+∆h) = 3+7 = 10 m

Il tetto dello strato di sabbia (D) e il piano di campagna possono considerarsi superfici equipotenziali a cui corrispondono rispettivamente un valore del carico (assumendo come piano di riferimento z = 0 la base del deposito) pari a:hA = ‐zA +uA/γw = 0 + Hw = 3 m

Con una perdita di carico nel tratto AD di lunghezzaH =∑Hi= 17 m pari a :∆hAD= ∆h= 7 m

e un gradiente idraulico medio:

iAD = ∆hAD /H = 7/ 17 = 0.41


p.c.A

B

C

D

H W

∆h

H 1

H 2

H 3

z = 0


Moti di filtrazione


2323/62/62

Svolgimento:

Il coefficiente di permeabilità equivalente verticale del deposito è:

∑=

vi

iV,eq

kHHk = (3+4+10)m/[(3m/3x10‐10m/s)+(4m/1x10‐10m/s)+(10m/5x10‐10m/s)]

= 17/[(7.5+1+125+50000)x104] = 17/7x10‐10 = 2.4∙10‐10 m/s

e la portata per unità di superficie attraverso gli stati del deposito risulta:q = v ∙ A = v ∙1

v = keq,v ∙iAB = 2.4 ∙10‐10 m/s x 0.41 = 1∙10‐10 m/sda cui risulta:q = v ∙ 1 = 1 ∙10‐10 m/s

dove v è la velocità media di filtrazione attraverso il deposito ed è uguale a quella valutata per ogni strato, vi :

a) Calcolare la permeabilità verticale equivalente del deposito kv, e la portata che lo attraversa, q.

v = keq,v ∙iAB

filtrazione in serie (moto permanente)

e la velocità (apparente) per la legge di Darcy, vale:

principio di conservazione della massa

q = v ∙ 1 = qi = vi∙1v = vi


Moti di filtrazione


2424/62/62

Svolgimento:

e quindi:v = ki ∙ ii = ki ∙∆hi/Hi

da cui risulta:

Partendo dallo strato più profondo del deposito (carico più alto):

che, con riferimento al generico strato i‐esimo, per la legge di Darcy, vale:

∆hi = v ∙Hi / ki

∆hDC = hD – hC = v ∙H3 / k3

= 1∙10‐10 m/s

= (1∙10‐10 m/s)x(10 m)/( 5∙ 10‐10 m/s) = 2 m

hC = hD – ∆hDC = 10m – 2m = 8 mIn maniera analoga si ottiene per gli strati superiori:

b) Determinare come varia al suo interno nei vari strati il carico piezometrico e la pressione interstiziale.La velocità media di filtrazione attraverso il deposito, v, ed è uguale a quella valutata per ogni strato attraverstao in serie, vi :filtrazione in serie (moto permanente) principio di conservazione della massa

q = v ∙ 1 = qi = vi∙1v = vi


Moti di filtrazione


2525/62/62

Svolgimento:

da cui risulta:

∆hCB = hC – hB = v ∙H2 / k2 = (1∙10‐10 m/s)x(4 m)/( 1∙ 10‐10 m/s) = 4 m

hB = hC – ∆hCB = 8m – 4m = 4 m


p.c.A

B

C

D

H W

∆h

H 1

H 2

H 3

z

h = ‐z +u/γw

Inoltre essendo:

si può ricavare la pressione interstiziale:u = γw∙(h+z)da cui:

uD = γw∙(hD+zD) == 10kN/m3∙(10+17)m = 270 kPauC = γw∙(hC+zC) == 10kN/m3∙(8+7)m = 150 kPa

h

3 m

4 m8 m

10 m

3 m

7m

H3 = 10

17m

‐3 m

1iCD


Moti di filtrazione


2626/62/62

Svolgimento:uB = γw∙(hB+zB) = 10kN/m3∙(4‐3)m = 70 kPa

uA = γw∙(hA+zA) = 10kN/m3∙(3‐0)m = 30 kPa


p.c.A

B

C

D

H W

∆h

H 1

H 2

H 3

z

u

Viene calcolata la tensione efficace all’interno del deposito, verificando che essa sia sempre positiva, per garantire la stabilità del terreno.σD = γ1∙(H1+H2+H3) +γw Hw = 20x(3+4+10)+10x3 = 370 kPaσC = γ1∙(H1+H2) +γw Hw = 20x(3+4)+10x3 = 170 kPaσB = γ1∙(H1) +γw Hw = 20x(3)+10x3 = 90 kPaσA = γw Hw = 10x30 = 30 kPa

c) Calcolare le forze agenti sulla fase solida in ciascuno strato e verificarne la stabilità.


Moti di filtrazione


2727/62/62

Svolgimento:σ’D = σD – uD = (370‐270) kPa = 100 kPa >0σ’C = σC – uC = (170‐150) kPa = 20 kPa >0σ’B = σB – uB = (90‐70) kPa = 20 kPa >0σ’A = σA – uA = (30‐30) kPa = 0 kPa

Il deposito è stabile al variare della profondità rispetto al sifonamento.


Moti di filtrazione


2828/62/62

Moti di filtrazione

Con riferimento allo schema riportato in figura si determini il profilo, con la profondità, dellʹaltezza geometrica Z, dellʹaltezza di pressione u/γw e del carico piezometrico h, nonché la velocità di filtrazione reale ed apparente attraverso i due tipi di terreno indicati in figura.


0.6 m

0.6 m

1.2 m

1.2 m

AA= 0.37 mn = 0.5k = 1 cm/s

A’

A2

AA’ = 0.186 mn = 0.5k = 0.5 cm/s

2



2929/62/62

Moti di filtrazione

Dati:

Porosità del primo campione (n1) = 0.5Porosità del secondo campione (n2) = 0.5

Svolgimento:Si assume come piano di riferimento il tetto dello strato superiore, in tal caso tra l’altezza geometrica Z e la profondità z, sussiste la relazione:Z = ‐z

0.6 m

0.6 m

1.2 m

1.2 m

AA= 0.37 mn = 0.5k = 1 cm/s

A’

A2

AA’ = 0.186 mn = 0.5k = 0.5 cm/s

2

Spessore dello strato 1 (L1) = 1.2 m

Altezza d’acqua rispetto al tetto del deposito (hw1) = 1.2 mSpessore dello strato 2 (L2) = 0.6 m

Altezza d’acqua rispetto alla base del deposito (hw2) = ‐ 0.6 m

Area della sezione del primo campione (A1) = 0.37 m2

Area della sezione del secondo campione (A2) = 0.186 m2

Coefficiente di permeabilità del primo campione (k1) = 1∙10‐2 m/sCoefficiente di permeabilità del primo campione (k2) = 0.5∙10‐2 m/sRegime stazionario (o permanente) principio di conservazione della massa



3030/62/62

Moti di filtrazione

Svolgimento:

Il carico piezometrico nel punto B e D vale rispettivamente:

0.6 m

0.6 m

1.2 m

1.2 m

AA= 0.37 mn = 0.5k = 1 cm/s

A’

A2

AA’ = 0.186 mn = 0.5k = 0.5 cm/s

2

B

C

D

z

hB = ‐zB +uB/γw = hw1 = 1.2 mhD = ‐zD +uD/γw = ‐(L1+L2) ‐ hw2 = ‐(1.2+0.6)m ‐ 0.6m = ‐ 2.4 mÈ presente dunque un moto di filtrazione in regime permanente da B a D (discendente) e la perdita di carico corrispondente è: ∆h = hB ‐ hD = 3.6 mLa portata di filtrazioneattraverso il deposito, Q, è uguale per ogni strato attraversato in serie (principio di conservazione della massa), ma non la velocità, avendo le sezioni attraversate area diversa:Q = v1∙A1 = v2 ∙A2

Z = 0



3131/62/62

Moti di filtrazione

Svolgimento:

dove:

∆h = ∆h1 + ∆h2 = 3.6 m

v1 = k1 ∙ i1 = k1 ∙∆h1/L1v2 = k2 ∙ i2 = k2 ∙∆h2/L2

e sostituendo:

k1 ∙A1 ∙∆h1/L1 = k2 ∙A2 ∙∆h2/L2

= k2 ∙A2 ∙(∆h‐∆h1)/L2

ovvero:k1 ∙A1 ∙∆h1/L1 (k1 ∙A1/L1 + k2∙A2/L2)∙∆h1 = k2 ∙A2∙∆h/L2

222111

2221 L/AkL/Ak

L/hAkh⋅+⋅

∆⋅⋅=∆ = [0.5∙10‐2m/s x 0.186m2 x 3.6m/0.6m]/[1∙10‐2m/s x

0.37 m2/1.2m + 0.5∙10‐2m/s x 0.186m2/0.6m] = 1.2 m

∆h2 = ∆h ‐ ∆h1 = 3.6 m – 1.2 m = 2.4 mIdraulica dei terreni Idraulica dei terreni –– GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011


Moti di filtrazione

Svolgimento:

Il carico nel punto C è dunque:

mentre all’interno di ciascun strato si suppone un andamento lineare.hC = hB – ∆h1 = 1.2m – 1.2m = 0 m

L’altezza di pressione è data da:

e in B, C e D vale rispettivamente: u/γw = h(z) + z

(u/γw)B = 1.2 m

(u/γw)C = hC+zC = 0 + 1.2 = 1.2 m

(u/γw)D = ‐0.6 mcon andamento lineare all’interno degli strati per l’ipotesi precedente.

3232/62/62

uB = 12 kPa

uC = 12 kPa

(posto γw = 10 kN/m3)

uC = ‐6 kPa

v1 = k1 ∙∆h1/L1 = 1∙10‐2 m/s x 1.2 m/1.2m = 1∙10‐2 m/s

Le velocità di filtrazione apparente e reale attraverso i due strati vale, rispettivamente:

v2 = k2 ∙∆h2/L2 = 0.5∙10‐2 m/s x 2.4 m/0.6m = 2∙10‐2 m/s

vr1 = v1 /n1 =(1∙10‐2 m/s) /0.5= 2∙10‐2 m/svr2 = v2 /n2 =(2∙10‐2 m/s) /0.5= 4∙10‐2 m/s



Moti di filtrazione

Svolgimento:

0.6 m

0.6 m

1.2 m

1.2 m

A 0.37 m= 0.5= 1 cm/s

A’

A2

A= 0.186 m= 0.5= 0.5 cm/s

2

B

C

D

z

z

Z, u/γw, h

3333/62/62

Z = 0 1.2 m2.4 m 0m

N.B. La pendenza dei tratti che rappresentano l’andamento del carico piezometrico rappresenta il gradiente idraulico per ogni strato, e dipende in questo caso oltre che dalla permeabilità dall’area della sezione attraversataIdraulica dei terreni Idraulica dei terreni –– GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011


3434/62/62

Esercizio 8


p.c.

A

∆hA

∆h

d2

b

Sabbia:

k = 5x10 m/s

= 16 kN/m

= 27 kN/m

-5

3

3γ

γ

d

S

Terreno impermeabile

Bd1

T1

T2

Si deve progettare una trincea di grande lunghezza in uno strato di sabbia dalle caratteristiche indicate in figura e delimitato inferiormente da uno strato di terreno impermeabile. Con riferimento alla figura si assuma: la semilarghezza della trincea b = 10 m; la profondità dello scavo d1 – d2 = 10 m; il dislivello di falda ∆h = 11 m; la profondità dello strato di sabbia T1 = 25 m.



3535/62/62

Dati:Semilarghezza dello scavo (b) = 10 m

Lunghezza dello scavo (L) >>b Problema bi‐dimensionale

Profondità di infissione delle palancole rispetto al p.c. = d1Profondità di infissione delle palancole rispetto al fondo dello scavo = d2Profondità dello scavo rispetto al p.c.(d1 ‐ d2) = 10 m Dislivello di falda tra l’interno dello scavo e l’esterno (∆h) = 11 m

a) Calcolare il gradiente idraulico critico, ic (γw = 9.81 kN/m3).b) Calcolare il gradiente idraulico medio, im, nel tratto compreso tra il piede della palancola (A) e il punto aderente alla palancola verso valle a fondo scavo (B) per: d1 = 13 m e d1 = 15 m.c) Calcolare il valore minimo della profondità d’infissione d1 della palancolacompatibile con l’equilibrio.d) Nel caso di profondità d’infissione d1 = 15 m calcolare il coefficiente di sicurezza, FS, rispetto al sollevamento del fondo scavo e la portata, q, per metro di lunghezza, che filtra attraverso il fondo della trincea.




3636/62/62

Spessore dello strato di sabbia (T1) = 25 m

Svolgimento:Lo scavo realizzato nello strato omogeneo di sabbia e sostenuto dalle palancoleinfisse nel terreno, una volta che il livello di falda, all’interno dello scavo, viene abbassato fino alla base, emungendo una portata costante q, attiva un moto di filtrazione in regime stazionario, dall’esterno verso l’interno dello scavo, di tipo bidimensionale, che, nelle parte in cui il moto è ascendente, può determinare fenomeni di instabilità locale (sifonamento) o globale (sollevamento del fondo scavo)

Dati:

Peso specifico dei costituenti solidi (γs) = 27 kN/m3Peso di volume secco (γd) = 16 kN/m3Coefficiente di permeabilità della sabbia (k) = 5∙10‐5 m/s

Tale moto di filtrazione può essere rappresentato graficamente da due insiemi di curve (le linee di flusso e le linee equipotenziali) che si tagliano ad angolo retto (rete di filtrazione):

Peso specifico del’acqua (γw) = 9.81 kN/m3




3737/62/62

Le linee di flusso sono i percorsi dei filetti liquidi nella sezione trasversale esono infinite. Lo spazio tra due linee di flusso successive viene chiamato canale di flusso. In ogni canale di flusso scorre una portata costante d’acqua. Le linee equipotenziali sono le linee di eguale energia potenziale, ovvero di eguale carico idraulico e ne esistono infinite (la distanza fra due linee equipotenziali successive indica in quanto spazio si è dissipata una quantità costante del carico idraulico).Le particelle dʹacqua scorrono lungo le linee di flusso in direzione sempre perpendicolare alle linee equipotenziali(le linee di flusso e le linee equipotenziali sono ortogonali).

Lo spazio (l’area) delimitata da due linee di flusso successive e da due linee equipotenziali successive è detta campo. Il campo è la maglia della rete di filtrazione (area campita).

T1

d1 d2

∆h

b




3838/62/62

Svolgimento:

Il gradiente idraulico critico è una proprietà intrinseca del terreno ed è pari a:

dove γsat lo si determina risolvendo il seguente sistema:

a) Calcolare il gradiente idraulico critico, ic.

ic = γ’/γw = (γsat‐γw)/γw

V = Vv+ Vs = 1m3

γs = Ps/Vs = 27 kN/m3

Vv = Vwγw = Pw /Vw = 9.81 kN/m3

Terreno saturo (Vv = Vw, Sr = 100%)

γd = Ps/V = 16 kN/m3

V = Vw+ Vs = 1m3

γs = Ps/Vs = 27 kN/m3

γw = Pw /Vw = 9.81 kN/m3

γd = Ps/V = 16 kN/m3 Ps= γd ∙V = 16 kN

Vs= Ps/γs = 16kN/27 kN/m3 = 0.593 m3

Vw= 1‐Vs = 0.407 m3(1)

(2)

(3)

(4)Pw= γw ∙Vw = 9.81 kN/m3x0.407 m3 = 4.0 kN




3939/62/62

e quindi:

da cui:

ic = γ’/γw = (γsat‐γw)/γw = (20‐9.81)/9.81 = 1.04

γsat = (Ps+Pw)/V = (16+4)/1 = 20 kN/m3

b) Calcolare il gradiente idraulico medio, im, nel tratto compreso tra il piede della palancola (A) e il punto aderente alla palancola verso valle a fondo scavo (B) per: d1 = 13 m e d1 = 15 m.

T1

d1 d2

∆h

bSiamo in un caso di trincea in materiale omogeneo, delimitato inferiormente da uno strato impermeabile (moto confinato), il piano di campagna (CC’) e il fondo dello scavo sono superfici equipotenziali limite del campo di moto, con carico piezometrico rispettivamente:

C

A

B B’

C’

DD’

T2

z=0

hC‐C’ = ‐z +u/γw = 0 + [∆h‐(d1‐d2)] = 1mhB‐B’ = ‐z +u/γw = ‐(d1‐d2)+0 = ‐10m




4040/62/62

La perdita di carico dell’acqua relativa all’intero percorso di filtrazione è pari a:

imax = ∆hCB/(d1+d2)

T1

d1 d2

∆h

b

C

A

B B’

C’

DD’

T2

z=0

∆hCB= hC‐C’‐hB‐B’ =∆h= 11 m e ad ogni superficie equipotenziale intermedia (indicata in rosso) corrisponde un valore del carico compreso tra 1 e ‐10. Le linee di flusso lungo cui si sviluppa il moto sono indicate in verde, e le pareti della palancola e la base del deposito, essendo impermeabili, rappresentano le linee di flusso limite che delimitano il campo di moto.

Il gradiente idraulico massimo è raggiunto in corrispondenza del percorso di filtrazione di lunghezza inferiore, ovvero il percorso CAB, di lunghezza d1+d2 (trascurando lo spessore della parete) e il gradiente idraulico corrispondente è:




4141/62/62

Il gradiente idraulico di efflusso, iE, è riferito al percorso di filtrazione più breve(CAB) e al solo tratto di moto ascendente (AB), è può essere approssimato con il valore medio riferito all’intero percorso di filtrazione, imax, qualora la perdita di carico sia lineare rispetto alla lunghezza percorsa (essendo in questo caso il gradiente idraulico costante al variare del tratto considerato):

Poichè la perdita di carico non è mai lineare con la profondità(e varia in modo diverso nel tratto di moto discendente e ascendente), per una misura più precisa di ∆ha (e di iE), quando non è possibile misurare direttamente ∆ha (con piezometri installati alla base della parete), si può stimarlo usando correlazioni empiriche o abachi.

T1

d1 d2

∆h

b

C

A

B B’

C’

D D’

T2

z=0

∆haT2/b = 0

o più cautelativamente:2hha

∆≅∆

212

aE dd

hdhi

+∆

≅∆

= 221

a dddhh ⋅

+∆

≅∆




4242/62/62

T1

d1 d2

∆h

b

C

A

B B’

C’

D D’

T2

z=0

φ 1, φ

2

d1/T1 o d2/T2

∆ha

2121

2A

hkq;hhφφ

∆∆φφ

φ∆

+⋅

=⋅+

=

T2/b = 0

Caso di scavo in mezzo omogeneo confinato:d1‐d2 = 10 m

con: T1 = 25 m

∆h = 11m

T2 = T1 – (d1‐d2) = 25 – 10 = 15 m

T2/b = 15/10 = 1.5




4343/62/62

Per d1 = 13 m d1/T1 = 0.52 φ1 = 1.3

d2 = d1‐(d1‐d2) = (13‐10) m = 3 m d2/T2 = 0.2 φ2 = 0.7

hh21

2a ∆⋅φ+φ

φ=∆ = [0.7/(1.3+0.7)]x11m = 3.85 m ie = ∆ha/d2 = 3.85/3 = 1.28

Per d1 = 15 m d1/T1 = 0.6 φ1 = 1.45

d2 = d1‐(d1‐d2) = (15‐10) m = 5 m d2/T2 = 0.3 φ2 = 0.9

hh21

2a ∆⋅φ+φ

φ=∆ = [0.9/(1.45+0.9)]x11m = 4.21 m ie = ∆ha/d2 = 4.21/5 = 0.84

ie,1 = ∆ha/d2 = 2.06/3 = 0.69= [11/(13+3)]x3m = 2.06 m

2hha

∆≅∆

221

a dddhh ⋅

+∆

≅∆

= [11/2]m = 5.5 m ie,2 = ∆ha/d2 = 5.5/3 = 1.83

ie,1 = ∆ha/d2 = 2.75/5 = 0.55= [11/(15+5)]x5m = 2.75 m

2hha

∆≅∆

221

a dddhh ⋅

+∆

≅∆

= [11/2]m = 5.5 m ie,2 = ∆ha/d2 = 5.5/5 = 1.10




4444/62/62

Per d1 = 13 m= 1.04/1.28 = 0.8FS = ic/ie

FS1 = ic/ie,1 = 1.04/0.69 = 1.5

Per d1 = 15 m= 1.04/0.84 = 1.2FS = ic/ie

FS1 = ic/ie,1 = 1.04/0.55 = 1.9

d1 (m) d2 (m) ie (‐) ie,m (‐) FS (‐) FS1 (‐)

13 3 1.28 0.69 0.8 1.5

15 5 0.84 0.55 1.2 1.9Assumendo come condizione di equilibrio quella per cui FS = 1, la profondità di infissione d1,min corrispondente si trova per interpolazione:

c) Calcolare il valore minimo della profondità d’infissione d1 della palancolacompatibile con l’equilibrio.

d1,min = 13+[(15‐13)/(1.2‐0.8)]∙(1‐0.8) = 14 m

FS2 = ic/ie,2 = 1.04/1.83 = 0.6

FS2 = ic/ie,2 = 1.04/1.10 = 0.9

FS2 (‐)

0.60.9

Riassumendo, considerando il gradiente idraulico medio calcolato su tutto il percorso, anziché quello relativo solo al tratto ascendente, si compie una scelta non cautelativa (ie più basso e FS più alto):

FS2 (‐) più cautelativo

FS1 (‐) meno cautelativo

FS (‐) più realistico


d1

FS

1.2

0.81.0

13 15d1,min



4545/62/62

d) Nel caso di profondità d’infissione d1 = 15 m calcolare il coefficiente di sicurezza, FS, rispetto al sollevamento del fondo scavo e la portata, q, per metro di lunghezza, che filtra attraverso il fondo della trincea.

aw

2

2aw

22

w hdʹ

2/dh2/ddʹ

SʹWFS

∆⋅γ⋅γ

=⋅∆⋅γ

⋅⋅γ==

Per d1 = 15 m d2 = 5 m ∆ha = 4.21 m

= (10.19x5)/(9.81x4.21) = 1.2

21

hkqφ+φ

∆⋅= = (5x10‐5m/sx11m)/(1.45+0.9) = 2.34∙10‐4 m2/s

φ1 = 1.45φ2 = 0.9

La portata per unità di larghezza dello scavo è:

La portata totale è:Q = q∙2b = 1.33x10‐5m2/sx2x10m = 4.68∙10‐3 m3/s




4646/62/62

Per costruire una fondazione è scavata una trincea di profondità H =4 m e larghezza B = 2 m. Lo scavo è sostenuto da diaframmi di lunghezza L = 6m. La falda freatica è a profondità zw = 0.9 m dal piano campagna e il fondo scavo èmantenuto asciutto da un sistema di pompe. Il terreno è un deposito omogeneo di sabbia satura avente: e = 0.7 e Gs =2.64. Verificare la stabilità del fondo scavo.


H

L

Zw

B




4747/62/62

Dati:Profondità dello scavo dello scavo (H) = 4 m

Lunghezza dello scavo >>B Problema bi‐dimensionale

Lunghezza dei diaframmi (L) = 6 m

Profondità del livello di falda rispetto al pc. (zw) = 0.9 m

Larghezza dello scavo (B) = 2 m

Dislivello di falda tra l’interno dello scavo e l’esterno (H‐zw) = 3.1 m

Deposito di sabbia omogeneo

Indice dei vuoti della sabbia (e) = 0.7

Gravità specifica, Gs = γs/γw = 2.64 H

L

Zw

B

Peso specifico dell’acqua (γw) = 9.81 kN/m3

Svolgimento:Se si effettuano le verifiche in termini di fattore di sicurezza:




4848/62/62

a) Con riferimento alle verifica nei confronti del sifonamento bisogna calcolare il seguente fattore di sicurezza: FS = ic/ieIl gradiente idraulico critico è una proprietà intrinseca del terreno ed è pari a:

dove γsat lo si determina risolvendo il seguente sistema:ic = γ’/γw = (γsat‐γw)/γw

V = Vv+ Vs = 1m3

γs = Ps/Vs = Gs∙γw = 25.9 kN/m3

Vv = Vwγw = Pw /Vw = 9.81 kN/m3

Terreno saturo (Vv = Vw, Sr = 100%)

e = VV/VS = 0.7

V = Vw+ Vs = 1m3

γs = Ps/Vs = 25.9 kN/m3

γw = Pw /Vw = 9.81 kN/m3

Vw= e ∙VS = 0.7∙VS

Ps= γs ∙Vs = 25.9 kN/m3 x 0.588 m3 = 15.23 N

1 = 0.7VS +VS(1)

(2) (3)

(4)

Pw= γw ∙Vw = 9.81 kN/m3x0.412 m3 = 4.04 kN

e = Vw/VS = 0.7

Vs= 0.588 m3

Vw= 0.412 m3

(5)




4949/62/62

e quindi:

da cui:

ic = γ’/γw = (γsat‐γw)/γw = (19.3‐9.81)/9.81 = 0.97

γsat = (Ps+Pw)/V = (15.23+4.04)/1 = 19.3 kN/m3

Il gradiente idraulico di efflusso, iE, è riferito al percorso di filtrazione più breve(CAB) e al solo tratto di moto ascendente (AB), ed è dato dall’espressione:

dove ∆ha può essere così approssimato nell’ipotesi di perdita di carico lineare con la profondità (essendo la perdita di carico ∆h = H‐zw):

o più cautelativamente:

2hha

∆≅∆

HLhi aE −

∆=

HLzLzH

)HL(h

w

wa

−+−−

≅−

∆∆ha = [(4‐0.9)/(6‐0.9+6‐4)]∙(6‐4) = 0.87 m

= (4‐0.9)/2 = 1.55 m

HLhi aE −

∆= = 0.87/(6‐4) = 0.44

HLhi aE −

∆= = 1.55/(6‐4) = 0.77


H

L

Zw

B

C

B

∆ha

A

∆h

γ’ = 9.49 kN/m3



5050/62/62

∆ha può anche essere determinato in modo più preciso utilizzando ilseguente abaco (scavo nastriforme in mezzo omogeneo di spessore infinito):

dove: D = L‐H = 6 ‐4 = 2m; h = H‐zw = 3.1 m; d = H = 4m; b = B/2 = 1m; Quindi si calcolano: b/D = 1/2 = 0.5; d/b = 4/1 = 4 ;e si ricava dal grafico: α = 0.58e quindi: ∆ha = α∙h = 0.58x3.1 = 1.8 m iE = α∙h /D= 0.58x3.1/2 = 0.9


H

L

Zw

B

C

B

∆ha

A

∆h


H

L

Zw

B


5151/62/62

Il fattore di sicurezza nei confronti del sifonamento risulta quindi (con riferimento al valore più attendibile di iE):

Lo scavo NON È STABILE nei confronti del sifonamento

e quindi: FS= W’/Sw = 19/17.7 = 1.07


5252/62/62


H

L

Zw

B

C

B

∆ha

A

∆h

Se si effettuano le verifiche secondo le NTC08:

Deve risultare: uinst,d ≤ σstb,dessendo:uinst,d= Vinst,d = valore di progetto della pressione interstiziale instabilizzanteσstb,d = Gstab,d + Rd = valore di progetto della tensione totale stabilizzante

COMPONENTE IDROSTATICA+ IDRODINAMICA

a) Stabilità al sifonamento (HYD)

uinst,d = γG1∙γw (L‐H+∆ha) (Qinst,d = 0)

σstb,d = γG1∙ (γsat /γγ)∙(L‐H)(Rd = 0)


1.5Sfavorevole0.0

γQiFavorevole

Variabili

1.5Sfavorevole0.0

γG2FavorevolePermanenti non

strutturali*

1.3Sfavorevole0.9

γG1Favorevole

Permanenti

SIFONAMENTO (HYD)Coefficiente parziale

γF (o γE)EFFETTOCARICHI

1.5Sfavorevole0.0

γQiFavorevole

Variabili

1.5Sfavorevole0.0


strutturali*

1.3Sfavorevole0.9

γG1Favorevole

Permanenti

SIFONAMENTO (HYD)Coefficiente parziale



5353/62/62


1.01.0γγγPeso dell’unità di volume

1.41.0γcucukResistenza non drenata

1.251.0γc’c’kCoesione efficace

1.251.0γϕ’tan ϕ’kTangente dell’angolo di resistenza al taglio

( M2 )*( M1 )*COEFFICIENTE PARZIALE

GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARAMETRO







PARAMETRO

uinst,d = γG1∙γw (L‐H+∆ha) = 1.3x 9.81x(6‐4+1.8) = 48.5 kPa > σstb,d

σstb,d = γG1∙ (γsat /γγ)∙(L‐H) = 0.9x19.3/1x2 = 34.74 kPa

Verifica non soddisfatta



5454/62/62


b) Stabilità al sollevamento (UPL)

essendo:Vinst,d= Ginst,d+ Qinst,dvalore di progetto dell’azione instabilizzante,

combinazione di azioni permanenti (Ginst,d) e variabili (Qinst,d)Gstab,d = valore di progetto delle azioni stabilizzanti Rd = valore di progetto delle resistenze

Deve risultare: Vinst,d ≤ Gstb,d + Rd

H

L

Zw

B

C

B

∆ha

A

∆hRd = 0

(Qinst,d = 0)Vinst,d = Ginst,d = γG1∙γw∆ha∙(L‐H)/2

Gstb,d = γG1∙ γ’/ γγ∙(L‐H)∙(L‐H)/2



5555/62/62








PARAMETRO







PARAMETRO

Verifica non soddisfatta

1.5Sfavorevole0.0

γQiFavorevole

Variabili

1.5Sfavorevole0.0


strutturali*

1.1Sfavorevole0.9

γG1Favorevole

Permanenti

SOLLEVAMENTO (UPL)Coefficiente parziale


1.5Sfavorevole0.0

γQiFavorevole

Variabili

1.5Sfavorevole0.0


strutturali*

1.1Sfavorevole0.9

γG1Favorevole

Permanenti



> Gstb,d

Gstb,d = γG1∙ γ’/ γγ∙(L‐H)∙(L‐H)/2 = 0.9x9.49/1x(6‐4)x(6‐4)/2 = 17.08 kN/mVinst,d = Ginst,d = γG1∙γw∆ha∙(L‐H)/2 = 1.1x9.81x1.8x(6‐4)/2 = 19.4 kN/m



5656/62/62

Moti di filtrazione

Dati geometrici:He = 3,5 m; Be = 5 m; Le = 10 mHi = 2,8 m; Bi = 4 m; Li = 9 mHw = 2,5 m

Esercizio 10

Bi x LiBe x Le

Hw HiHe

Pw

Pv

U

T

Si esegua la verifica nei confronti dello stato limite di sollevamento secondo le NTC 08 di una vasca in c.a. immersa in terreno sabbioso saturo, con falda coincidente con il piano campagna.

Pesi specifici di progetto:peso specifico del c.a.: γc.a. = 25 kN/m3peso specifico dell’acqua: γw = 10 kN/m3

Proprietà geotecniche (valori caratteristici)‐ peso di volume saturo della sabbia: γsat,k = 18 kN/m3‐ angolo di resistenza al taglio: φ’k = 32°



5757/62/62


essendo:Vinst,d= Ginst,d+ Qinst,dvalore di progetto dell’azione instabilizzante,

combinazione di azioni permanenti (Ginst,d) e variabili (Qinst,d)Gstab,d = valore di progetto delle azioni stabilizzanti Rd = valore di progetto delle resistenze

deve risultare: Vinst,d ≤ Gstb,d + Rd

Svolgimento:Si effettua la verifica di stabilità al sollevamento (UPL) secondo le NTC08:

Bi x LiBe x Le

Hw HiHe

Pw

Pv

U

T

Le azioni instabilizzanti permanentisono costituite dalla sottospinta idraulica (U), mentre sono nulle quelle variabili, quindi le azioni instabilizzanti di progetto valgono:Vinst,d = Ginst,d+ Qinst,d = Ginst,d = γG1 ∙U



5858/62/62


Svolgimento:

Bi x LiBe x Le

Hw HiHe

Pw

Pv

U

T

Le azioni stabilizzanti sono costituite dal peso della vasca (PV), che si classifica come azione permanente, e dal peso dell’acqua contenuta in essa (PW) che si classifica come azione variabile, quindi le azioni stabilizzanti di progetto valgono:

Gst,d+ Qst,d = γG1 ∙PV + γQi ∙PWLe azioni resistenti sono costituite dalle forze di attrito (T = τm∙Al) che agiscono lateralmente lungo le pareti della vasca (Al) e l’azione resistente di progetto vale:Rd = τm,d∙AlPerché la verifica sia soddisfatta deve risultare:

γG1 ∙U ≤ γG1 ∙PV + γQi ∙PW + τm,d ∙Al



5959/62/62


1.5Sfavorevole0.0

γQiFavorevole

Variabili

1.5Sfavorevole0.0


strutturali*

1.1Sfavorevole0.9

γG1Favorevole

Permanenti



1.5Sfavorevole0.0

γQiFavorevole

Variabili

1.5Sfavorevole0.0


strutturali*

1.1Sfavorevole0.9

γG1Favorevole

Permanenti



Per la scelta dei coefficienti parziali dal applicare alle azioni si utilizzano quelli riportati nella seguente Tabella (6.2.III):

Per quanto riguarda il calcolo delle singole azioni si ha:U = γw ∙ He ∙ Be ∙Le = 10kN/m3 x 3.5m x 5m x 10m = 1750 kNPw = γw ∙ Hw ∙ Bi ∙Li = 10kN/m3 x 2.5m x 4m x 9m = 900 kN

1.1∙U ≤ 0.9∙PV + 0∙PW + τm,d ∙Al



6060/62/62


Svolgimento:

Bi x LiBe x Le

Hw HiHe

Pw

Pv

U

Tdove:

PV = γc.a. ∙ (He ∙Be ∙Le–Hi ∙Bi ∙ Li)=25kN/m3x (3.5mx5mx10m–2.8mx4m x 9m) = 1855 kN

τ = σ’h ∙tan(δ) = K0∙σ’v ∙tan(δ) = (1‐senϕ’)∙σ’v∙tan(δ)

La tensione tangenziale che agisce lungo la parete è:

dove δ è l’angolo d’attrito tra terreno (e si assume δ = 0.75ϕ’k)e parete il terreno si suppone NC.Il valore medio della tensione tangenziale è dunque:τm = (1‐senϕk’)∙σ’vm∙tan(0.75ϕ’k)e quello di progetto:τm,d = (1‐senϕ’d)∙σ’vm,d∙tan(0.75ϕ’d)

σ ‘vm = (γsat,k‐γw)∙He/2

σ‘vm,d = (γsat,d‐γw)∙He/2da cui:τm,d = (1‐senϕ’d)∙(γsat,d∙‐γw)∙He/2∙tan(0.75ϕ’d)



6161/62/62


I valori di progetto delle proprietà geotecniche si ottengono dividendole per i coefficienti parziali riportati nella Tabella 6.2.II (colonna M2)







PARAMETRO







PARAMETRO

tan ϕ’d = (tan ϕ’k )/ γϕ’ =(tan32°)/1.25 = 0.5 γsat,d = γsat,k/γγ = 18 kN/m3

ϕ’d = arctan[(tan ϕ’k )/ γϕ’] = 26.6°



6262/62/62


La resistenza di progetto vale infine:Rd = τm,d Al

τm,d = (1‐senϕ’d)∙(γsat,d∙‐γw)∙He/2∙tan(0.75ϕ’d) = (1‐sen26.6°) x (18‐10)kN/m3 x 3.5m/2 x tan(0.75x26.6°) = 2.81 kN/m2

con:Al = (2Be+2Le) ∙He = (2x5+2x10)m x 3.5 m = 105 m2

e quindi:

Rd = τm,d Al = 2.81 kN/m2 x 105 m2 = 295.1 kN

1.1∙U = 1.1x1750 kN ≤ 0.9∙PV + 0∙PW + τm,d ∙Al = 0.9x1855 kN + 0x900 kN + 295.1 kN

Affinché la verifica di stabilità al sollevamento sia soddisfatta deve risultare:

1925 kN ≤ 1965 kN

LA VERIFICA È SODDISFATTAIdraulica dei terreni Idraulica dei terreni –– GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011

“IDRAULICA DEI TERRENI”Esercizi svolti

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