UNITA 7 lezione 3 DEF v1 - Politecnico di...

Comportamento meccanico dei materiali Torsione

© 2006 Politecnico di Torino 1

Il caso delle travi

2

Torsione

Sollecitazioni di torsione nelle sezioni circolari Sollecitazioni di torsione nelle sezioni rettangolariSollecitazioni di torsione nelle sezioni aperte a parete sottile Sollecitazioni di torsione nelle sezioni cave a parete sottileConfronto sezioni chiuse e sezioni aperteSezioni miste aperte e chiuse



Torsione

4

R

L

c

Definizioni (1/4)



5

R

L

cc’

∆θ

cc’ = ∆θR

Definizioni (2/4)

6

R

L

cc’

∆θ

γRcc’ = ∆θR

Definizioni (3/4)



7

Rr

L

cc’

dd’

∆θ

γRcc’ = ∆θR

dd’ = ∆θr

Definizioni (4/4)

8

∆L c’

c

∆θR

γR

Spostamenti e deformazioni (1/4)

LRtan RR ∆

θ∆=γ≅γ



9

∆L c’

c

∆θR

γR

∆L d’

d

∆θr

γr


LRtan RR ∆

θ∆=γ≅γ

Lrtan rr ∆

θ∆=γ≅γ

10

∆L c’

c

∆θR

γR

∆L d’

d

∆θr

γr


LRtan RR ∆

θ∆=γ≅γ

rL

RL rR ∆γ

=∆γ

=θ∆

Lrtan rr ∆

θ∆=γ≅γ



11

∆L c’

c

∆θR

γR

∆L d’

d

∆θr

γr


LRtan RR ∆

θ∆=γ≅γ

rRr

LR

L Rr

rR γ=γ

∆γ=

∆γ=θ∆

Lrtan rr ∆

θ∆=γ≅γ

12

Legge di Hooke: τ = Gγ

Distribuzione delle tensioni (1/6)



13


τR

τR


rR

rR

Rr

Rr

τ=τ⇒

γ=γ

14


τR

τR


rR

rR

Rr

Rr

τ=τ⇒

γ=γ

( )dAyxMcartesiano Rif.A

xzyzz τ−τ= ∫



15


τR

τR


rR

rR

Rr

Rr

τ=τ⇒

γ=γ

( )

rdAMpolare Rif.

dAyxMcartesiano Rif.

Arz

Axzyzz

τ=

τ−τ=

∫

∫

16


τR

τR


rR

rR

Rr

Rr

τ=τ⇒

γ=γ

( )

Jr

JR

SdSr

RM

rdAMpolare Rif.


pr

pR2R

z

Arz

Axzyzz

τ=

τ=

τ=

τ=

τ−τ=

∫

∫

∫



17


τR

τR


rR

rR

Rr

Rr

τ=τ⇒

γ=γ

( )

rJM

Jr

JR

SdSr

RM

rdAMpolare Rif.


p

zr

pr

pR2R

z

Arz

Axzyzz

=τ

τ=

τ=

τ=

τ=

τ−τ=

∫

∫

∫

18

Modulo di resistenza: sez. piene (1/4)

τmax

τmax

2R

4

pp

zr 32

DJrJM π==τ



19


τmax

τmax

2Rt

z

p

zmax

4

pp

zr

WMR

JM

32DJr

JM

==τ

π==τ

20


τmax

τmax

2R

f

3pp

t

t

z

p

zmax

4

pp

zr

W216D

DJ2

RJ

W

WMR

JM

32DJr

JM

=π

===

==τ

π==τ



21


τmax

τmax

2R

3z

t

zmax

f

3pp

t

t

z

p

zmax

4

pp

zr

D

M16WM

W216D

DJ2

RJ

W

WMR

JM

32DJr

JM

π==τ

=π

===

==τ

π==τ

22

D

dτmax

τmax

Modulo di resistenza : sezioni cave

( )

( )f

44p

t

4444

p

W2D16

dDDJ2

W

32dD

32d

32DJ

=−π

==

−π=

π−

π=



23

Rotazione relativa (1/3)

Rr

L

cc’

dd’

∆θ

γR

rrGr

Lr

L ∆τ=

∆γ=θ∆

24


Rr

L

cc’

dd’

∆θ

γR

p

zr

rr

rJM

GrL

rL

=τ

∆τ=

∆γ=θ∆



25


Rr

L

cc’

dd’

∆θ

γR

p

z

p

zr

rr

GJLM

rJM

GrL

rL

∆=θ∆

=τ

∆τ=

∆γ=θ∆

Torsione



27

τp=Mzr/Jp ?

r

Sezioni rettangolari (1/6)

28

τp=Mzr/Jp ?

r




29

τp=Mzr/Jp ?

r

τzy

τp


30

τp=Mzr/Jp ?

r

τzyτzx

τp




31

τp=Mzr/Jp ?

r

τzyτzx

τyz =0

τp

τxz =0


32

τp=Mzr/Jp ?

r

τzyτzx

τyz =0

τp

τp = 0 !!!!

τxz =0




33

y

xMz

τzy

b

h

Jt= fattore di rigidezza torsionale

Sez. rettangolari: sol. approssimata (1/4)

( ) 3t

t

zzy bb3.02h

31Jx

JM2

⋅⋅−==τ

34

y

xMz

τzy

b

h



( )

t

z

t

zmax

3t

t

zzy

bJM

2b

JM2

bb3.02h31Jx

JM2

==τ

⋅⋅−==τ



35

y

xMz

τzy

b

h



( )

3t

t

z

t

zmax

3t

t

zzy

hb31Jbh

bJM

2b

JM2

bb3.02h31Jx

JM2

=⇒>>

==τ

⋅⋅−==τ

36

y

xMz

τzy

b

h



( )

2z

max

3t

t

z

t

zmax

3t

t

zzy

hb

M3bh

hb31Jbh

bJM

2b

JM2

bb3.02h31Jx

JM2

=τ⇒>>

=⇒>>

==τ

⋅⋅−==τ



37

Si assume che la sezione ruoti di un angolo θ:

y

xMz

τzy

b

h

non restando nel contempo piana

N.B. Soluzione esatta tensioni e rotazione sezioni rettangolari: Saint Venant - 1856

Rotazione sez. rettangolari

t

zGJM

L=

∆θ∆

Torsione



39

Ipotesi: h1

h2

h3

b1

b2b3

Sezioni aperte: modulo di rigidezza (1/5)

ii

ziz MM θ∆=θ∆= ∑

40

Ipotesi: h1

h2

h3

b1

b2b3


ii


=∆

θ∆=

∆θ∆

t

z

ti

ziiGJM

LGJM

L



41

Ipotesi: h1

h2

h3

b1

b2b3


ii


==

=∆

θ∆=

∆θ∆

tit

zzi

t

z

ti

zi

t

z

ti

zii

JJMM

JM

JM

GJM

LGJM

L

42

Ipotesi: h1

h2

h3

b1

b2b3


ii


∑∑ ==

==

=∆

θ∆=

∆θ∆

iti

t

z

iziz

tit

zzi

t

z

ti

zi

t

z

ti

zii

JJMMM

JJMM

JM

JM

GJM

LGJM

L



43

Ipotesi: h1

h2

h3

b1

b2b3


ii


∑∑ ==

==

=∆

θ∆=

∆θ∆

iti

t

z

iziz

tit

zzi

t

z

ti

zi

t

z

ti

zii

JJMMM

JJMM

JM

JM

GJM

LGJM

L

∑= tit JJ

44

mi = n° estremità libere

Sezioni aperte: tensioni e rotazione (1/4)

h1

h2

h3

b1

b2b3

∑

∑

⋅⋅−=

==

3iiii

tit

b)mb3.0h(31

JJ



45



h1

h2

h3

b1

b2b3

∑

∑

⋅⋅−=

==

3iiii

tit

b)mb3.0h(31

JJ

3iit bh

31Jbh ∑=>>

46



h1

h2

h3

b1

b2b3

∑

∑

⋅⋅−=

==

3iiii

tit

b)mb3.0h(31

JJ

3iit bh

31Jbh ∑=>>

it

zi

ti

ziimax b

JMb

JM

==τ



47



h1

h2

h3

b1

b2b3

∑

∑

⋅⋅−=

==

3iiii

tit

b)mb3.0h(31

JJ

3iit bh

31Jbh ∑=>>

it

zi

ti

ziimax b

JMb

JM

==τt

zGJM

L=

∆θ∆

Torsione



49

Il flusso q è costante!

linea media L

Ω

tτ

O

Torsione sezioni chiuse in parete sottile (1/4)

∫ τ=t

dtq

50


linea media L

dL

Ω

tτ

dFO

r


∫ τ=t

dtq

rdLqrqdLrdFMLLL

z ⋅=⋅=⋅= ∫∫∫



51


linea media L

dL

Ω

tτ

dFO

r


∫ τ=t

dtq

2qM2rdL

rdLqrqdLrdFM

zL

LLLz

Ω=⇒Ω=

⋅=⋅=⋅=

∫

∫∫∫

52


linea media L

dL

Ω

tτ

dFO

r


∫ τ=t

dtq

t2M

2Mq

2qM2rdL

rdLqrqdLrdFM

zz

zL

LLLz

Ω=τ

Ω=

Ω=⇒Ω=

⋅=⋅=⋅=

∫

∫∫∫



53

t = costante ⇒

Rotazione sezioni chiuse in parete sottile

linea media L

dL

Ω

tτ

O

r

t2MzΩ

=τ

( )∫

Ω=

LtdL

4J2

t

Lt4J

2

tΩ

=

t

zGJM

Lθ

=∆∆

54

r

Tensioni nei raccordi sezioni rettangolari

t

maxsmax r

t74.1 τ⋅=τ



Torsione

56

lato = h (linea media)spessore = t

Confronto sezioni quadrate (1/7)



57



3t ht

34J =

58



thh4

h4l

t4J 3t42

t ==Ω

=3t ht

34J =



59



thh4

h4l

t4J 3t42

t ==Ω

=

2

az

t

aza

3t

ht

M43t

JM

ht34J

==τ

=

60



th2

Mt2

M

thh4

h4l

t4J

2

cz

czc

3t42

t

=Ω

=τ

==Ω

=

2

az

t

aza

3t

ht

M43t

JM

ht34J

==τ

=



61



th2

Mt2

M

thh4

h4l

t4J

2

cz

czc

3t42

t

=Ω

=τ

==Ω

=

3

az

t

az

a

2

az

t

aza

3t

Ght

M43

GJM

L

ht

M43t

JM

ht34J

==∆θ∆

==τ

=

62



tGh

MGJM

L

th2

Mt2

M

thh4

h4l

t4J

3

cz

t

cz

c

2

cz

czc

3t42

t

==∆θ∆

=Ω

=τ

==Ω

=

3

az

t

az

a

2

az

t

aza

3t

Ght

M43

GJM

L

ht

M43t

JM

ht34J

==∆θ∆

==τ

=



63

A parità di momento Mz:

… a parità di momento

22

az

cz

az

3

t3

cz

a

c

az

cz

az

2

2

cz

a

c

ht

34

ht

34

M

M

M3

Ght4

Gh

M

ht

32

M

Mht

32

M3

ht4

th2

M

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

θ∆

θ∆

===τ

τ

64

00.050.1

0.150.2

0.250.3

0.35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15h/t

A parità di momento Mz:

τc/τa

∆θc/∆θa

… a parità di momento (grafico)



65

A parità di rotazione ∆θ:

… a parità di rotazione

ht2

th

21

t

h43

ht

32

M

Mth

32

t

h43

M

Mht

34

M

M1ht

34

M

M

c

a

2

2

az

cz

a

c

2

2

az

cz

2

cz

az

2

az

cz

a

c

=τ

τ⇒===

τ

τ

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

θ∆

θ∆

66

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15h/t

A parità di rotazione ∆θ:

τa/τc

cz

az MM

… a parità di rotazione (grafico)



67

A parità di tensione τ:

… a parità di tensione

th

21

ht2

th

23

ht

34

ht

34

M

M

th

23

M

Mht

32

M

M1M

Mht

32

c

a22

az

cz

a

c

az

cz

cz

az

az

cz

a

c

=θ∆

θ∆⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

θ∆

θ∆

=⇒=⇒==τ

τ

68

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15h/t

cz

az MM

∆θc/∆θa

A parità di tensione τ:

… a parità di tensione (grafico)



Torsione

70

1 2

Sezioni miste aperte/chiuse (1/5)

2z1zz MMM +=



71

1 2


2z1zz MMM +=

2t

2z

1t

1z21GJM

GJM

LL=⇒

∆θ∆

=∆θ∆

72

1 2


2z1zz MMM +=

1t

2t1z2z

2t

2z

1t

1z21JJMM

GJM

GJM

LL=⇒=⇒

∆θ∆

=∆θ∆



73

1 2


2z1zz MMM +=

1t

2t1t1z

1t

2t1zz

1t

2t1z2z

2t

2z

1t

1z21

JJJM

JJ1MM

JJMM

GJM

GJM

LL

+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

=⇒=⇒∆θ∆

=∆θ∆

74

1 2


2z1zz MMM +=

2t1t

2tz2z

2t1t

1tz1z

1t

2t1t1z

1t

2t1zz

1t

2t1z2z

2t

2z

1t

1z21

JJJ

MMJJ

JMM

JJJ

MJJ

1MM

JJ

MMGJM

GJM

LL

+=

+=

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=⇒=⇒∆θ∆

=∆θ∆

UNITA 7 lezione 3 DEF v1 - Politecnico di...

Documents

Transcript of UNITA 7 lezione 3 DEF v1 - Politecnico di...