Teoria Geometricadella Propagazione

• Una corretta caratterizzazione dei collegamenti radio non può prescindere dallo studio degli effetti generati dalla presenza dell’atmosfera terrestre.

• In un radiocollegamento la propagazione avviene in mezzi ad indice di rifrazione variabile. Si possono avere quindi:

Onda di cielo

Onda direttaOnda riflessa

Onda di terra(onda di superficie)

ionosfera

troposfera

Onda di terra

• Una trattazione della propagazione in modo esatto a partire dalle equazioni di Maxwell è molto complessa ed è quindi necessario ricorrere ad una trattazione più semplificata

• La natura ed il comportamento della luce ci consentono di interpretare alcuni fenomeni tramite i raggi luminosi, ognuno dei quali si può pensare come un segmento di retta che ha la direzione di propagazione del fronte d'onda.

• Tale modello, noto come "ottica geometrica", fu introdotto da Kepleroe costituisce una buona approssimazione della realtà ed è di estrema utilità nello studio dei fenomeni di riflessione e rifrazione, nonché degli effetti prodotti dai vari tipi di specchi (piani, concavi e convessi) e dalle lenti.

• I fenomeni interpretati mediante l'ottica geometrica possono essere spiegati anche con la teoria ondulatoria della luce sebbene con maggiore difficoltà nell'effettuare i calcoli. Il campo in questo caso èdescritto dalla cosiddetta funzione d’onda:

• dove v è la velocità della luce nel mezzo considerato

( ) ( ) 0t

t,rfv1t,rf 2

2

22 =

∂∂

−∇

• La funzione d’onda può poi essere associata ad una delle componenti del campo elettromagnetico ed applicare a tale componente tutte le considerazioni fatte nei corsi di Campi Elettromagnetici.

• È importante sottolineare che questa è una teoria scalare e che quindi fa perdere la possibilità di descrivere tutti quei fenomeni, come ad esempio la polarizzazione, che richiedono la conoscenza di tutte le componenti del campo.

• Un modello ancora più semplice della teoria ondulatoria è la cosiddetta teoria geometrica, che è in grado di descrivere la propagazione in mezzi non omogenei inizialmente supposti senza perdite, a condizione che gli scostamenti dall’uniformità siano piccoli su lunghezze confrontabili con la lunghezza d’onda.

• Due casi in cui si manifestano i fenomeni tipici dell’ottica (riflessione, rifrazione e diffrazione) che sono accomunati dal fatto che il sistema interagente con il campo è costituito da oggetti di grandi dimensioni rispetto alla lunghezza d’onda:

– regioni caratterizzate da costanti costitutive del mezzo lentamente variabili nello spazio (tipicamente nell’atmosfera):

• costante dielettrica• indice di rifrazione• rifrattività

In questo caso l’ottica geometrica diviene sempre più precisa al crescere della frequenza

– estese superfici di materiale solido (spigoli, pareti…..), in questo caso valgono le teorie della riflessione, l’ottica fisica e la teoria geometrica delle diffrazione

( )rε( )rn( )rN

• Le condizioni di lenta variabilità, ancorché necessarie, non sono sufficienti a garantire la totale esattezza delle soluzioni ottenute con l’ottica geometrica:– concentrazioni di raggi in regioni dette “fuochi” o “caustiche” in cui l’ottica

geometrica porta a soluzioni incomplete o erronee

• L’insieme dei raggi rifratti, riflessi e diffratti costituisce una descrizione del campo sufficientemente approssimata in regioni complesse quali l’ambito urbano o extraurbano quando si voglia tener conto del profilo verticale dell’indice di rifrazione troposferica e/o delle irregolarità del terreno.

• Rimangono escluse le onde superficiali, non configurabili come raggi, ma la cui importanza decresce all’aumentare della frequenza.

Definizioni preliminariOnda: operata una perturbazione su una grandezza fisica in una regione limitata dello spazio, si dice che si ha un’onda quando tale perturbazione si propaga nelle altre zone dello spazio con velocità e modalità che dipendono dal mezzo e dal tipo di grandezza perturbata.

Equazione scalare delle onde(mezzo senza perdite)

Superficie d’onda: luogo geometrico dei punti dello spazio nei quali la grandezza fisica perturbata varia “concordemente” nel tempo (punti in cui la grandezza perturbata oscilla in fase)

Raggio: data un’onda che si propaga in un dato mezzo, si definisce raggio ogni linea dello spazio perpendicolare in ogni punto allasuperficie d’onda passante per quel punto.

( ) 0t

)t,z,y,x(fv1t,z,y,xf 2

2

22 =

∂∂⋅−∇

Equazioni di Maxwell

0

0

=⋅∇

=⋅∇

=+⋅∇

⎩⎨⎧

+=++=×∇−=×∇

B

D

jJ

JEjJJEjHHjE

icic

rr

rr

rr

rrrrrrr

rrr

ρ

ωρ

ωεωεωμ

Mezzo NORMALE(lineare, isotropo, tempo invariante)

(Equazione di continuità)

(Equazioni della divergenza)

Equazioni di Maxwell

( )cjAAjE

AH

ωε⋅∇∇

+ω−=

μ×∇

=rr

rr

rrr

Il potenziale vettore magnetico A soddisfa l’equazione di Helmoltz non omogenea

( ) ( ) 'rd e'rJ4

rA JAAV

|'rr|

|'rr|

ii22 rrrrrrrr

rr

rr

∫∫∫ −

−⋅σ−⋅

πμ

=⇒μ−=σ−∇

x

y

zQ

Pr’ r-r’

r

Mezzo normale omogeneo privo di sorgenti (Ji = 0):

Equazioni di Maxwell ⇒ Equazioni di Helmoltz omogenee

Equazioni di Helmoltz ammettono comepossibile soluzione le onde piane: ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==⋅−⋅−⋅σ−

⋅−⋅−⋅σ−

rbjra0

r0

rbjra0

r0

e e He HrHe e Ee ErE

rrrrrr

rrrrrr

rrrr

rrrr

Esempi

⎩⎨⎧

=σ−∇=σ−∇

0HH0EE

22

22rr

rr

Superfici equifase sono piani ⊥ b ⇒ raggi rettilinei e paralleli

Mezzo normale omogeneo a basse perdite con sorgente elettrica puntiforme (Ji = mδ) e r >>λ

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=ϕθλ

≈

⋅=θθλ

η≈⇒⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

πμ

=σ−

σ−

σ−σ−

σ−

r0

r

r0

rr

erHˆr

esin2mjH

erEˆr

esin2mjE

mr

e4

Arrr

rrr

rr

Onda Sferica:superfici equifase sono sfere centrate nella sorgente ⇒ raggi rettilineiin direzione radiale

Si consideri una regione di spazio priva di sorgenti e sede di un mezzo normale NON OMOGENEO privo di perdite.

Si intende determinare sotto quali condizioni le equazioni di Maxwell ammettono soluzioni aventi il carattere di onde piane TEM locali, cioè tali per cui nell’intorno di qualunque punto dello spazio si possa individuare una regione di dimensioni lineari piccole, ma finite, in cui le intensità di campo soddisfino equazioni simili alle:

( ) ( )( ) ( ) ri

ri

S

S

erHrH

erErEr

r

rrrr

rrrr

⋅−

⋅−

⋅=

⋅=ˆ

0

ˆ0

,

(*) ,σ

σ

ω

ω

0ˆ0ˆ

0

0

=⋅

=⋅

Hi

Ei

S

Sr

r

( ) Sc

iHjw

rE ˆ00 ×=rrr

εσ

In un qualunque punto dello spazio i campisono privi di componenti parallele al vettore di propagazione

nepropagaziodivettoreiSσσ =r

O.G. e Onde piane TEM

Espansione in serie di Luneberg-Kline (mezzo privo di perdite):

( ) ( )( )∑

∞

=

ψβ−

ω⋅=ω

0mm

mrj

jEe,rE 0

rrr r

In assenza di ostacoli e se il mezzo non omogeneo ha indice di rifrazione n(r) lentamente variabile con la posizione, ci si limita usualmente al solo 1°termine, che pare una ragionevole approssimazione del caso omogeneo:

( ) ( ) ( ) (*) erE,rE rj0 0

rrrrr ψβ−⋅=ω

⇒ Ψ(r) : funzione iconale o cammino ottico ( si ipotizza );⇒ Superfici equifase individuate dai punti dello spazio che soddisfano

l’equazione Ψ(r) = costante

ℜ∈

Propagazione in assenza di ostacoli(Ottica Geometrica classica)

Ottica Geometrica classicaRicordando che ∇x(∇xV)=∇(∇·V)-∇2V

( ) ( )( )

( ) EEE

HjEE

HjE

c22

2

rrrrr

rrrrrr

rrrrr

⋅∇∇=μεω+∇

×∇ωμ−=∇−⋅∇∇

ωμ−×∇=×∇×∇

( )( )

( )( ) EnlnEE

0EE0E

0D

2

r

r

r0r0

r0

rrrr

rr

rrrr

rr

rr

⋅∇−=⋅εε∇

−=⋅∇

=⋅∇εε+⋅ε∇ε

=εε⋅∇

=⋅∇

r0

r0

0

cn ε=εε⋅ε

=εε

=

Essendo un mezzo privo di densità di carica

ricordando che l’indice di rifrazione vale:

Ottica Geometrica classicaDa tali equazioni si ottiene infine:

( )( )[ ]Enln2EnE 220

2 rrrrr⋅∇∇−=β+∇

Allora ricordando che:

)(-000

)(-000

0

0

e )(

e )(rSj

rSj

ESjEE

ESjEEr

r

rrrrr

rrrrr

β

β

β

β

⋅∇−⋅∇=⋅∇

×∇−×∇=×∇

e che:

)()(2 AAArrr

×∇×∇−⋅∇∇=∇

( )[ ] [ ] ( ){ }( )

[ ]{ } 0)ln(21 2)ln(2 100

22

000

20

0

220 =∇⋅∇+∇−∇⋅∇+∇⋅∇+∇−∇− nEE

jESnESSE

jSnE

rrrrrrrrrrrrr

ββ

Allora mediante il procedimento di Felsen-Marcuvitz [1] si ottiene un’espressionedel tipo:

Si ha:

Ottica Geometrica classica

( ) ( ) ( )[ ]EnEneESjEeESjE SjSjrrrrrrrrrrrrrr

⋅∇∇−=+×∇−×∇×∇−⋅∇−⋅∇∇ −− ln220

2000000

00 βββ ββ

( )

( )[ ] ( ) 02ln2 002

0

22

=∇⋅∇+∇⋅∇+∇

=∇

ESnESSE

nS

rrrrrrr

r

Ottica Geometrica classica

Sotto l’ipotesi λ → 0 (f → ∞) (ottica geometrica) si può trascurare il 3°termine. Uguagliando a 0 parte reale e parte immaginaria, si ottengono le equazioni fondamentali dell’ottica geometrica:

S(r), soluzione della prima equazione, è detta iconale

Equazione dell’ ICONALE

Equazione del TRASPORTO

Equazione dei RaggiRisolvendo l’equazione dell’iconale è possibile calcolare la funzione iconale S(r) in ogni punto (x,y,z) ⇒ le superfici equifase (fronte d’onda) S(r)=costante ⇒ le traiettorie dei raggi (raggio: ogni linea dello spazio perpendicolare in ogni punto alla superficie d’onda passante per quel punto).Detto il versore che individua la direzione locale di propagazione (la traiettoria del raggio nel punto (x,y,z) ), si ha evidentemente:

( ) ( )( )

( )( )rn

rSrSrSrs r

rr

rr

rrr ∇

=∇∇

=ˆ

),,(ˆ zyxs

Il problema fondamentale dell’ottica geometrica è la determinazione dei raggi a partire dai termini noti: distribuzione di indice di rifrazione n(r).

Introduciamo l’ascissa curvilinea: ( ) ∫ ++= ℜ

P

P

dzdydxPs0

222ˆ

sP0

Prx

z

y

ℜ

222

ˆˆˆˆ

dzdydx

idzidyidxs zyx

++

++=

Si consideri il versore tangente al raggio in un punto generico, per definizione le componenti cartesiane di sono i coseni direttori di rispetto agli assi:

ss

Equazione differenziale dei Raggi

Riderivando l’equazione dei raggi rispetto ad s …:

nds

rdndsd

∇=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ rr

Equazione differenziale dei raggi

L’equazione differenziale dei raggi permette di determinare la traiettoria dei raggi conoscendo il solo andamento di n(r)

( ) ( ) ( ) ( ) nssnsSdsdSS

dsd

dssrdn

dsd

∇=⋅∇=⋅∇∇=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇=∇=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ˆˆˆ

rrrrrr

Da cui segue

( ) Sds

srdn ∇=rr

Equazione dei raggi

Indicata con r(s) l’equazione parametrica della traiettoria, risulta allora:

( ) ( )ds

srdssr

=ˆ

P dsrds =ˆrx

z

y

ℜ

Essendo una equazione differenziale del secondo ordine, ha infinite soluzioni, per individuare un raggio occorre associare ad esse due condizioni al contorno del tipo:

Equazione differenziale dei Raggi

( )

00

0

ˆ)0(ˆ)(

0

ssds

srd

OPr

s

==

−=

=

r

r

Dove P0 è un punto arbitrario dello spazio da cui il raggio ha origine e è un arbitrario versore reale che definisce la direzione iniziale del raggio.

L’integrazione dell’equazione differenziale dei raggi può essere effettuata tramite tecniche numeriche di tracciamento dei raggi (Ray Tracing) molto più vantaggiose della integrazione diretta dell’equazione dell’iconale.

0s

sP0

Prx

z

y

ℜ

Traiettoria dei RaggiIn ogni punto della traiettoria si può definire il vettore curvatura:...

cR

ccc ˆ1ˆ =⋅=rr

Il vettore c e’ perpendicolare in ogni punto al versore se punta verso il centro del cerchio osculatore

Pcr

dsrds =ˆ

n∇

ℜ

detto R il raggio di curvatura locale (raggio del cerchio osculatore), inoltre

( )

[ ]

nccncnsdsdncnc

cnsdsdn

dssdns

dsdnsn

dsdn

ndsrdn

dsd

aledifferenzieqladerivandodssd

dssrdc

∇⋅=⇒⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅=∇⋅

+=+==∇

∇=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

.,ˆ

2

2

rr

r

r

rr

Traiettoria dei Raggi

Dall’equazione differenziale dei raggi e in base alle definizioni date:

Poiché il primo membro e’ evidentemente positivo, se ne deduce che la direzione di ce’ sempre concorde con quella di ∇n.

Il raggio tende sempre a piegare verso la regione ad indice di rifrazione più alto.

L’equivalente nel caso discreto è dato dalla Legge di Snell.

cnR

1 ˆ

cper escalarment ndomoltiplica ˆ

⋅∇

==⇒=⋅∇

⇒+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∇

nccncn

cnsdsdn

dsrdn

dsdn

rrrr

rrr

Esempio: mezzo a indice di rifrazione costante n(r)=costante

L’equazione differenziale dei raggi si riduce in questo caso a:

con a,b vettori costanti definiti dalle condizioni iniziali.

bsar 0ds

rd2

2 rrrr

+=⇒=

In un mezzo omogeneo le traiettorie sono dunque rettilinee

Inoltre considerando l’equazione precedente della curvatura, nel caso di mezzi ad indice di rifrazione costante, si ottiene:

rettilineo è raggio il 0R1 ˆ1

⇒=⇒⋅∇

= cnn

R

r

Esempio: mezzo a stratificazione sferica:

Moltiplicando vettorialmente l’equazione differenziale dei raggi per r si ottiene:

segue immediatamente

tale relazione (legge di Snell per mezzi a simmetria sferica) e’ alla base della propagazione ionosferica (o per onda di cielo), che sfrutta cioè la possibilità di avere rientro a terra oltre l’orizzonte geometrico di onde lanciate con “elevazione > zero”.

r

sΨ

( ) rdrdnn rnn =∇⇔=

r

( ){

0sndsdrsn

dsrdsnr

dsd

ns

=×+×=×

∇==321

rr

r

( ) ( ) costantesinrn costˆ =⋅⋅⇒=× ψsnrr

Il Principio di Fermat

ℜ

Si considerino in un dato mezzo 2 punti P1 e P2 ed un percorso che li colleghi; si definisce cammino ottico il seguente funzionale:

( )∫≡2

1

P

P

ds snL (Il valore di L dipende ovviamente da P1,P2 e dal percorso scelto)

Vale allora il principio di Fermat:”Il cammino ottico e’ stazionario per raggi effettivi”, ovvero le traiettoria effettiva di un raggio minimizza (o, molto

raramente, massimizza) il cammino ottico:

l⋅==≡ ∫∫ ndsnndsL2P

1P

2P

1P

OSSERVAZIONE: Il principio di Fermat può rappresentare una valida alternativa all’equazione differenziale dei raggi per determinare le traiettorie dei raggi ottici. Ad esempio, in un mezzo omogeneo (n=costante), il cammino ottico può essere riscritto come:

dove rappresenta la lunghezza del percorso scelto; e’allora evidente che il percorso a lunghezza minima e’quello rettilineo ⇒ traiettorie rettilinee.

l

ni

∫∫ ≤ℜ

2

1

2

1

)()(P

P

P

P

duundssn l

1P2P

S dSS +

Si

ldu

ψ

dSℜ

A partire dalla

è utile osservare la disposizione vettoriale della terna s, E0, H0partendo dalle equazioni di Maxwell (Ji ≈ 0) e ricordando che:

e che quindi per E e H si ottiene:

( ) ( ) ( )rSjerErErrrrr

00, βω −⋅=

( ) AAA ×∇+×∇=×∇ ΦΦΦ

( ) ( )

( ) ( )rSj

rSj

eHSjHH

eESjEE0

0

00

00β

β

β

β−

−

×∇−×∇=×∇

×∇−×∇=×∇

Onda Piana Locale

Onda Piana LocaleE quindi:

essendo l’impedenza caratteristica del vuoto e

per un mezzo qualunque.

E0, H0, s formano una terna ortogonale sinistrorsa e la relazione che lega i 3 vettori e’la stessa valida per onde piane uniformi

( )

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

×=

×=⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

×∇=−×∇⎯⎯⎯⎯ →⎯−=×∇

×∇=+×∇⎯⎯⎯⎯ →⎯=×∇

→

=

=

−

−

η

ηε

βηωμ

βηεωε

λ

β

β

00

000

precedente eq.dell' membri secondi i

0

00

000EE

00

00

0HH

ˆ

ˆ

1

1

00

00

EsH

sHnE

Ej

HESHjE

Hj

EHSEjH

r

trascuro

e

re

rSj

rSj

rr

rr

rrrvrrrr

rrrrrrrr

r

r

rr

rr

00 ε

μ=η

nn1 0

00

0 η=

εμ

=εε

εμ

=εμ

=η

Analogamente l’espressione del vettore di Poynting è identica a quella valida per onde piane uniformi.

sEHE ˆ22

*2

0

η

rrrr

=×

=S ⇒ L’Energia si propaga lungo i raggi ottici

Le

rappresentano dunque soluzioni delle equazioni di Maxwell che godono delle stesse proprietà delle onde piane uniformi, dove fa le veci del versore corrispondente al vettore d’onda.Si parla pertanto di Onde Piani Locali.Come per le onde piane anche per le onde piane locali vale che l’intensità

(modulo del vettore di Poynting) vale:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rSjrSj erHrHerErErr rrrrrrrr

0000 , , ββ ωω −− ⋅=⋅=

s

20E

21Iη

=

Onda Piana Locale

Si vuole ricavare la legge di intensità dell’ottica geometrica, che èun’evoluzione dell’espressione dell’intensità in termini di tubi di flusso

Variazione del campo lungo i raggi

Tubo di flusso dell’energia: superficie chiusa costituita lateralmente da una famiglia di raggi ed ortogonalmente da due porzioni di superficie d’onda

Σl

dΣ1

dΣ2

Applicando il teorema di Poynting (conservazionedell’energia) ad un tubo di flusso di sezionisufficientemente piccole da poter considerare su di esse S ≈ costante e supponendo mezzo privo di perdite

2211

22112211

0

ˆ ˆ ˆ ˆ021

Σ⋅=Σ⋅⇒

Σ⋅=Σ⋅⇒Σ⋅+Σ⋅−=Σ⋅+Σ⋅+Σ⋅=Σ⋅= ∫∫∫∫Σ

=

ΣΣΣ

dIdI

dddddndndndndd

SSSSSSSSrrrrr

43421

rrr

l

Legge di intensità dell’ottica geometrica

Spreading FactorL’intensità è inversamente proporzionale alle superficie di base del tubo di flusso

si definisce quindi Fattore di Divergenza:

Tale grandezza tiene conto dell’eventuale attenuazione dovuta all’allargamento del fronte d’onda con la propagazione. La potenza portata da ogni raggio può diminuire con la distanza anche se il mezzo e’ privo di perdite poiché, man mano che l’onda avanza, l’energia viene distribuita su una superficie sempre piùampia.

2

1

0,1

2

1

2

21

limΣΣ

===→ΣΣ d

dE

EA

ddr

r

r

r

S

SSpreading Factor (Fattore di Divergenza)