Teoria Degli Errori e Fondamenti Di Statistica (M. Loreti Dic 2010)

7/27/2019 Teoria Degli Errori e Fondamenti Di Statistica (M. Loreti Dic 2010)

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Maurizio Loreti

Dipartimento di Fisica

Universita degli Studi di Padova

Teoria degli Errorie Fondamenti di

StatisticaIntroduzione alla Fisica Sperimentale

Dicembre 2010(Edizione privata fuori commercio)


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Maurizio Loreti

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Indice

Elenco delle gure vii

Prefazione ix

Prefazione alla sesta edizione xi

1 Introduzione 11.1 Il metodo scientico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 La misura 52.1 Misure dirette e misure indirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Le unit di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Gli strumenti di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Errori di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Cifre signicative ed arrotondamenti . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Errore relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Elementi di teoria della probabilit 193.1 La probabilit: eventi e variabili casuali . . . . . . . . . . . . . . 193.2 La probabilit: denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Propriet della probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.1 Levento complementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2 Probabilit totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.3 Probabilit condizionata e probabilit composta . . . 243.3.4 Il teorema di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Denizione assiomatica della probabilit . . . . . . . . . . . . 273.4.1 Le leggi della probabilit e la denizione assiomatica 27

3.5 La convergenza statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

i


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ii Indice

4 Elaborazione dei dati 31

4.1 Istogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Stime di tendenza centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 La moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.2 La mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3 La media aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.4 Considerazioni complessive . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.5 Prima giusticazione della media . . . . . . . . . . . . . 404.2.6 La media aritmetica espressa tramite le frequenze . . 41

4.3 Stime di dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.1 Semidispersione massima e quantili . . . . . . . . . . . 42

4.3.2 Deviazione media assoluta (errore medio) . . . . . . . 434.3.3 Varianza e deviazione standard . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Giusticazione della media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Variabili casuali unidimensionali discrete 475.1 Generalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Speranza matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Il valore medio delle combinazioni lineari . . . . . . . . . . . . 505.4 La varianza delle combinazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . 515.5 Lerrore della media dei campioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.6 La legge dei grandi numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6.1 La disuguaglianza di Bienaym Cebyef . . . . . . . . . 555.6.2 Il teorema di Cebyef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.6.3 Il teorema di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.7 Valore medio e valore vero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.8 Scarto ed errore quadratico medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.9 Stima della varianza della popolazione . . . . . . . . . . . . . . 615.10 Ancora sullerrore quadratico medio . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Variabili casuali unidimensionali continue 656.1 La densit di probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 La speranza matematica per le variabili continue . . . . . . . 696.3 I momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4 Funzione generatrice e funzione caratteristica . . . . . . . . . 71

6.4.1 Funzioni caratteristiche di variabili discrete . . . . . . 756.5 Cambiamento di variabile casuale . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6 I valori estremi di un campione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


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Indice iii

7 Variabili casuali pluridimensionali 81

7.1 Variabili casuali bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.1.1 Momenti; funzioni caratteristica e generatrice . . . . . 837.1.2 Cambiamento di variabile casuale . . . . . . . . . . . . 847.1.3 Applicazione: il rapporto di due variabili casuali indi-

pendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.1.4 Applicazione: il decadimento debole della 0 . . . . . 867.1.5 Applicazione: il decadimento debole K 0e3 . . . . . . . . 877.1.6 Ancora sui valori estremi di un campione . . . . . . . . 87

7.2 Cenni sulle variabili casuali in pi di due dimensioni . . . . . 88

8 Esempi di distribuzioni teoriche 938.1 La distribuzione uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.1.1 Applicazione: decadimento del 0 . . . . . . . . . . . . 948.1.2 Applicazione: generazione di numeri casuali con distri-

buzione data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.1.3 Esempio: valori estremi di un campione di dati a distri-

buzione uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.2 La distribuzione normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.3 La distribuzione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.3.1 Il rapporto di due variabili normali . . . . . . . . . . . . 1078.4 La distribuzione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.4.1 Applicazione: decadimenti radioattivi . . . . . . . . . . 1138.4.2 Applicazione: il rapporto di asimmetria . . . . . . . . . 1148.4.3 La distribuzione binomiale negativa . . . . . . . . . . . 115

8.5 La distribuzione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.5.1 Applicazione: esperimenti negativi . . . . . . . . . . 1228.5.2 Applicazione: ancora il rapporto di asimmetria . . . . 1228.5.3 La distribuzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . 1248.5.4 La distribuzione di Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.5.5 La distribuzione composta di Poisson . . . . . . . . . . 1288.5.6 Esempio: losservazione di un quark isolato . . . . . . 129

8.5.7 Applicazione: segnale e fondo . . . . . . . . . . . . . . . 1308.6 La distribuzione log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.7 La distribuzione normale in pi dimensioni . . . . . . . . . . . 135

9 La legge di Gauss 1419.1 La funzione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.2 Propriet della legge normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.3 Lo scarto normalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.4 Il signicato geometrico di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149


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iv Indice

9.5 La curva di Gauss nella pratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.6 Esame dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.7 Sommario delle misure dirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.8 Il teorema del limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.8.1 Applicazione: numeri casuali normali . . . . . . . . . . 156

10 Le misure indirette 16110.1 Risultato della misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.2 Combinazioni lineari di misure dirette . . . . . . . . . . . . . . 16310.3 La formula di propagazione degli errori . . . . . . . . . . . . . 16410.4 Errore dei prodotti di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.5 Errori massimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11 Stime di parametri 16711.1 Stime e loro caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.2 La stima di massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . 170

11.2.1 Un esempio di stima sufficiente . . . . . . . . . . . . . . 17311.3 Media pesata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.4 Interpolazione dei dati con una curva . . . . . . . . . . . . . . . 178

11.4.1 Interpolazione lineare per due variabili . . . . . . . . . 17911.4.2 Stima a posteriori degli errori di misura . . . . . . . . . 18311.4.3 Interpolazione con una retta per lorigine . . . . . . . . 184

11.4.4 Interpolazione lineare nel caso generale . . . . . . . . . 18611.4.5 Interpolazione non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

11.5 Altre applicazioni della stima di massima verosimiglianza . . 18811.5.1 Stima di probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18811.5.2 Media e varianza di una popolazione normale . . . . . 19011.5.3 Range di una popolazione uniforme . . . . . . . . . . . 19111.5.4 Stima della vita media di una particella . . . . . . . . . 192

12 La verica delle ipotesi (I) 19512.1 La distribuzione del 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19512.2 Veriche basate sulla distribuzione del 2 . . . . . . . . . . . . 203

12.2.1 Compatibilit dei dati con una distribuzione . . . . . . 20312.2.2 Il metodo del minimo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20512.2.3 Test di omogeneit per dati raggruppati . . . . . . . . 21012.2.4 Un esempio: diffusione elastica protone-protone . . . 212

12.3 Compatibilit con un valore pressato . . . . . . . . . . . . . . 21412.4 I piccoli campioni e la distribuzione di Student . . . . . . . . . 21712.5 La compatibilit di due valori misurati . . . . . . . . . . . . . . 22012.6 La distribuzione di Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222


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Indice v

12.6.1 Confronto tra varianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

12.7 Il metodo di Kolmogorov e Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . 225

13 La verica delle ipotesi (II) 22713.1 Un primo esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22913.2 Il lemma di NeymanPearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23213.3 Tests di massima potenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 23413.4 Il rapporto delle massime verosimiglianze . . . . . . . . . . . . 23513.5 Applicazione: ipotesi sulle probabilit . . . . . . . . . . . . . . 23813.6 Applicazione: valore medio di una popolazione normale . . . 240

A Cenni di calcolo combinatorio 243A.1 Il lemma fondamentale del calcolo combinatorio . . . . . . . . 243A.2 Fattoriale di un numero intero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244A.3 Disposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244A.4 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245A.5 Permutazioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245A.6 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245A.7 Partizioni ordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

B Lerrore della varianza 249

C Covarianza e correlazione 255C.1 La covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255C.2 La correlazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259C.3 Propagazione degli errori per variabili correlate . . . . . . . . 261C.4 Applicazioni allinterpolazione lineare . . . . . . . . . . . . . . 262

C.4.1 Riscrittura delle equazioni dei minimi quadrati . . . . 262C.4.2 Verica di ipotesi sulla correlazione lineare . . . . . . 264C.4.3 La correlazione tra i coefficienti della retta . . . . . . . 265C.4.4 Stima puntuale mediante linterpolazione lineare . . . 267C.4.5 Verica di ipotesi nellinterpolazione lineare . . . . . . 268C.4.6 Adeguatezza dellinterpolazione lineare o polinomiale

in genere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269C.4.7 Il run test per i residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

C.5 Applicazioni alla stima di parametri . . . . . . . . . . . . . . . 274

D Il modello di Laplace e la funzione di Gauss 277

E La funzione di verosimiglianza 283


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vi Indice

F La licenza GNU GPL (General Public License) 293

F.1 The GNU General Public License . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293F.2 Licenza pubblica generica del progetto GNU . . . . . . . . . . . 301

G Tabelle 311

H Bibliograa 323

Indice analitico 327


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Elenco delle gure

4a Istogramma di un campione di misure . . . . . . . . . . . . . . 324b Frequenza cumulativa relativa di un campione di misure . . 344c Distribuzioni unimodali, bimodali e amodali . . . . . . . . . . 364d La distribuzione di MaxwellBoltzmann . . . . . . . . . . . . . 39

6a Il comportamento limite delle frequenze relative . . . . . . . 66

8a Le aree elementari sulla supercie di una sfera di raggio R . 958b Il metodo dei rigetti esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978c La distribuzione normale standardizzata . . . . . . . . . . . . 1018d La distribuzione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058e La distribuzione binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108f La distribuzione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208g Limiti superiori sul segnale in presenza di fondo noto . . . . 1328h La distribuzione log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348i Funzione normale bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358j Funzione normale bidimensionale (curve di livello) . . . . . . 1368k Funzione normale bidimensionale (probabilit condizionate) 138

9a Dipendenza da h della distribuzione di Gauss . . . . . . . . . 143

9b Istogrammi di dati con differente precisione . . . . . . . . . . 14811a Stime consistenti ed inconsistenti, imparziali e deviate . . . . 169

12a La distribuzione del 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19712b La funzione di distribuzione del 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 20612c La funzione di distribuzione del 2 ridotto . . . . . . . . . . . 20712d Urto elastico protone-protone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21212e La distribuzione di Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

vii


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viii Elenco delle figure

13a Un esempio: errori di prima e seconda specie . . . . . . . . . 231

C1 Esempio di interpolazione lineare per un insieme di 12 punti. 271


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Prefazione

Quando ho cominciato a tenere uno dei due corsi di Esperimentazioni di Fisica I (per il primo anno del Corso di Laurea in Fisica), ormai molti anni fa, non sono riuscito a trovare un libro di testo in cui fosse contenuto, della materia, tutto quello che io ritenevo fosse necessario per la formazione di uno studente che si supponeva destinato alla carriera del sico; e, dopo aver usato per qualche tempo varie dispense manoscritte, mi sono deciso a riunirle in untesto completo in cui la materia fosse organicamente esposta.

Per giungere a questo stato fondamentale laiuto datomi dal docentedellaltro corso parallelo di Esperimentazioni, il Prof. Sergio Ciampolillo, senza

il quale questo libro non sarebbe probabilmente mai venuto alla luce; e tanto pi caro mi stato questo suo aiuto in quanto lui stesso mi aveva insegnato nel passato la statistica, completa di tutti i crismi del rigore matematico ma esposta con la mentalit di un sico e mirata ai problemi dei sici, nei lontani anni in cui frequentavo la Scuola di Perfezionamento (a quel tempo il Dottorato di Ricerca non era ancora nato).

Assieme abbiamo deciso limpostazione da dare al testo e, nel 1987, prepa- rata la prima edizione; che era ciclostilata, e che veniva stampata e distribuita a prezzo di costo agli studenti a cura dello stesso Dipartimento di Fisica. Il contenuto stato poi pi volte ampliato e rimaneggiato da me (e, allinizio,ancora dal Prof. Ciampolillo: che ha partecipato a tutte le successive edizioni no alla quarta compresa); dalla seconda alla quarta edizione, poi, il testo stato edito a cura della Libreria Progetto.

Lesposizione della materia vincolata dalla struttura del corso: un testo organico dovrebbe ad esempio presentare dapprima la probabilit e poi la statistica; ma gli studenti entrano in laboratorio sin dal primo giorno, e fanno delle misure che devono pur sapere come organizzare e come trattare per estrarne delle informazioni signicative. Cos si preferito parlare subito degli errori di misura e dellorganizzazione dei dati, per poi dimostrare soltanto

ix


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x Prefazione

alla ne (quando tutta la matematica necessaria stata alne esposta) alcune

delle assunzioni fatte; si veda a tale proposito lesempio della media aritmetica,che gli studenti adoperano n dal primo giorno ma il cui uso viene del tutto giusticato soltanto nel paragrafo 11.3 di questo libro.

Questo testo non contiene soltanto materia oggetto di studio nel primo anno del Corso di Laurea: su richiesta di docenti degli anni successivi, nel passato erano state aggiunte alcune parti (collocate tra le appendici) chepotessero loro servire come riferimento. Ho poi largamente approttato, sia delloccasione offertami dalluscita di questa quinta edizione che del fatto di dover tenere anche un corso di Statistica per la Scuola di Dottorato in Fisica,per includere nel testo degli argomenti di teoria assiomatica della probabilit

e di statistica teorica che vanno assai pi avanti delle esigenze di uno studentedel primo anno: questo perch se, negli anni successivi, le necessit dellanalisi spingeranno dei sici ad approfondire dei particolari argomenti di statistica,queste aggiunte sono sicuramente le basi da cui partire.

Ho cercato insomma di trasformare un testo ad uso specico del corso di Esperimentazioni di Fisica I in una specie di riferimento base per la statistica e lanalisi dei dati: per questo anche il titolo cambiato, e Introduzionealle Esperimentazioni di Fisica I diventato un pi ambizioso Introduzionealla Fisica Sperimentale; e Teoria degli errori e analisi dei dati un piveritiero Teoria degli Errori e Fondamenti di Statistica. Ma, anche se le nuoveaggiunte (addirittura per un raddoppio complessivo del contenuto originale) sono mescolate alle parti che utilizzo nel corso, ho cercato di far s che questeultime possano essere svolte indipendentemente dalla conoscenza delle prime.

Pu stupire invece che manchi una parte di descrizione e discussioneorganica delle esperienze svolte e degli strumenti usati: ma gli studenti, comeparte integrante del corso, devono stendere delle relazioni scritte sul loro operato che contengano appunto questi argomenti; e si preferito evitare chetrovassero gi pronto un riferimento a cui potessero, per cos dire, ispirarsi.

Maurizio Loreti

Gennaio 1998 (Quinta edizione)


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Prefazione alla sesta edizione

Gli anni sono passati, e non ho mai smesso di modicare questo testo: per prima cosa ho corretto gli errori segnalati dai colleghi e dagli studenti, ed ho sfruttato parecchi dei loro consigli. Poi ho aggiunto nuovi paragra: sia per descrivere distribuzioni teoriche che, sia pur poco usate nella Fisica, ogni tanto vi compaiono; sia per introdurre piccoli esempi ed applicazioni giocattolo usati nel tenere per la seconda volta un corso di Statistica alla Scuola di Dottorato inFisica.

Come conseguenza, questo testo a parer mio parecchio migliorato rispetto a quello pubblicato nel 1998 dalla Decibel-Zanichelli; purtroppo le scarse

vendite hanno indotto la casa editrice a rinunciare ad una seconda edizioneche seguisse la prima. Conseguentemente ho deciso di mettere nella sua forma attuale (la sesta edizione) questo libro a disposizione della comunit su Internet: sperando che possa ancora servire a qualcuno. La licenza quella GPL, inclusa nella appendice F ; in sostanza permesso modicare a piacimento e ridistribuire in qualunque forma questo libro, purch la ridistribuzionecomprenda il sorgente.

Unultima considerazione personale: adesso il Corso di Laurea in Fisica articolato in tre pi due anni di studio; ed con un certo piacere che ho visto come tutti gli studenti che hanno preparato con noi, sui dati dellesperimento CDF, le loro tesi di laurea di primo livello abbiano potuto trovare aiuto in questepagine per completarle, usando ad esempio sia metodi di verica delle ipotesi basati sul rapporto delle funzioni di verosimiglianza che il test di Kolmogorov e Smirnov.

Maurizio Loreti

Dicembre 2010 (Sesta edizione)

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xii Prefazione alla sesta edizione


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Where shall I begin, please, your Majesty? he asked.Begin at the beginning, the King said, gravely,and go on till you come to the end: then stop.

Charles L. Dodgson (Lewis Carroll) Alice in Wonderland (1865)


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Capitolo 1

Introduzione

Scopo della Fisica lo studio dei fenomeni naturali, dei quali essa cercaper prima cosa di dare una descrizione; che deve essere non solo qualitativa,ma soprattutto quantitativa . Questo richiede di individuare, allinterno delfenomeno, quelle grandezze siche in grado di caratterizzarlo univocamente;e di ottenere, per ognuna di esse, i valori che si sono presentati in un insiemesignicativo di casi reali. Lo studio si estende poi oltre la semplice descrizione,

e deve comprendere lindagine sulle relazioni reciproche tra pi fenomeni,sulle cause che li producono e su quelle che ne determinano le modalit dipresentazione. Fine ultimo di tale ricerca quello di formulare delle leggi siche che siano in grado di dare, del fenomeno in esame, una descrizionerazionale, quantitativa e (per quanto possibile) completa; e che permettanodi dedurre univocamente le caratteristiche con cui esso si vericher dallaconoscenza delle caratteristiche degli altri fenomeni che lo hanno causato (oche comunque con esso interagiscono).

Oggetto quindi della ricerca sica devono essere delle grandezze misurabili ; enti che cio possano essere caratterizzati dalla valutazione quantitativa

di alcune loro caratteristiche, suscettibili di variare da caso a caso a secondadelle particolari modalit con cui il fenomeno studiato si svolge 1 .1 Sono grandezze misurabili anche quelle connesse a oggetti non direttamente osservabili,

ma su cui possiamo indagare attraverso lo studio delle inuenze prodotte dalla loropresenza sullambiente che li circonda. Ad esempio i quarks , costituenti delle particelleelementari dotate di interazione forte, secondo le attuali teorie per loro stessa natura nonpotrebbero esistere isolati allo stato libero; le loro caratteristiche (carica, spin etc.) nonsono quindi direttamente suscettibili di misura: ma sono ugualmente oggetto della ricercasica, in quanto sono osservabili e misurabili i loro effetti al di fuori della particella entrola quale i quarks sono relegati.

1


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2 Capitolo 1 - Introduzione

1.1 Il metodo scientico

Il linguaggio usato dal ricercatore per la formulazione delle leggi siche il linguaggio matematico , che in modo naturale si presta a descrivere lerelazioni tra i dati numerici che individuano i fenomeni, le loro variazioni ed iloro rapporti reciproci; il procedimento usato per giungere a tale formulazione il metodo scientico , la cui introduzione si fa storicamente risalire a GalileoGalilei. Esso pu essere descritto distinguendone alcune fasi successive:

Una fase preliminare in cui, basandosi sul bagaglio delle conoscenzeprecedentemente acquisite, si determinano sia le grandezze rilevan-ti per la descrizione del fenomeno che quelle che presumibilmenteinuenzano le modalit con cui esso si presenter.

Una fase sperimentale in cui si compiono osservazioni accurate delfenomeno, controllando e misurando sia le grandezze che lo possonoinuenzare sia quelle caratteristiche quantitative che lo individuano e lodescrivono, mentre esso viene causato in maniera (per quanto possibile)esattamente riproducibile; ed in questo consiste specicatamente illavoro dei sici sperimentali.

Una fase di sintesi o congettura in cui, partendo dai dati numericiraccolti nella fase precedente, si inducono delle relazioni matematichetra le grandezze misurate che siano in grado di render conto delleosservazioni stesse; si formulano cio delle leggi siche ipotetiche,controllando se esse sono in grado di spiegare il fenomeno.

Una fase deduttiva , in cui dalle ipotesi formulate si traggono tutte leimmaginabili conseguenze: particolarmente la previsione di fenomeninon ancora osservati (almeno non con la necessaria precisione); e questo specicatamente il compito dei sici teorici.

Inne una fase di verica delle ipotesi prima congetturate e poi svilup-pate nei due passi precedenti, in cui si compiono ulteriori osservazionisulle nuove speculazioni della teoria per accertarne lesattezza.

Se nella fase di verica si trova rispondenza con la realt, lipotesi divieneuna legge sica accettata; se daltra parte alcune conseguenze della teorianon risultano confermate, e non si trovano spiegazioni delle discrepanze traquanto previsto e quanto osservato nellambito delle conoscenze acquisite, lalegge dovr essere modicata in parte, o rivoluzionata completamente peressere sostituita da una nuova congettura; si ritorna cio alla fase di sintesi,e levoluzione della scienza comincia un nuovo ciclo.


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1.1 - Il metodo scientifico 3

Naturalmente, anche se non si trovano contraddizioni con la realt ci

non vuol dire che la legge formulata sia esatta: possibile che esperimentieffettuati in condizioni cui non si pensato (o con strumenti di misura piaccurati di quelli di cui si dispone ora) dimostrino in futuro che le nostrecongetture erano in realt sbagliate; come esempio, basti pensare alla leggegalileiana del moto dei corpi ed alla moderna teoria della relativit.

evidente quindi come le fasi di indagine e di verica sperimentalecostituiscano parte fondamentale dello studio dei fenomeni sici; scopo diquesto corso quello di presentare la teoria delle misure e degli errori adesse connessi.


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4 Capitolo 1 - Introduzione


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Capitolo 2

La misura

Ad ogni grandezza sica si deve, almeno in linea di principio, poterassociare un valore numerico in modo univoco ed oggettivo , cio riproducibilenelle stesse condizioni da qualsiasi osservatore; valore pari al rapporto fra lagrandezza stessa e lunit di misura per essa prescelta.

Per eseguire tale associazione dobbiamo disporre di strumenti e metodiche ci permettano di mettere in relazione da una parte la grandezza da

misurare, e dallaltra lunit di misura (oppure suoi multipli o sottomultipli);e ci dicano se esse sono uguali o, altrimenti, quale delle due maggiore.

2.1 Misure dirette e misure indirette

La misura si dice diretta quando si confronta direttamente la grandezzamisurata con lunit di misura ( campione ) o suoi multipli o sottomultipli;come esempio, la misura di una lunghezza mediante un regolo graduato una misura diretta.

una misura diretta anche quella effettuata mediante luso di strumenti pretarati (ad esempio la misura della temperatura mediante un termometro),che si basa sulla propriet dello strumento di reagire sempre nella stessamaniera quando viene sottoposto alla medesima sollecitazione.

Misure indirette sono invece quelle in cui non si misura la grandezza cheinteressa, ma altre che risultino ad essa legate da una qualche relazione fun-zionale; cos la velocit di unautomobile pu essere valutata sia direttamente(con il tachimetro) sia indirettamente: misurando spazi percorsi e tempi

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6 Capitolo 2 - La misura

impiegati, dai quali si risale poi alla velocit (media) con una operazionematematica.

2.2 Le unit di misura

Le grandezze siche si sogliono dividere in fondamentali e derivate . Conil primo di questi nomi si indicavano, originariamente, quelle grandezzemisurate con strumenti e metodi sperimentali che richiedessero un confrontodiretto con un campione, scelto arbitrariamente come unit di misura; mentrele seconde venivano generalmente determinate in modo indiretto, ovverosia(come appena detto) attraverso misure dirette di altre grandezze ad esselegate da relazioni algebriche: che permettevano non solo di calcolarne ivalori, ma ne ssavano nel contempo anche le unit di misura.

In questo modo si sono deniti vari sistemi di misura coerenti, come ilSistema Internazionale ( SI) attualmente in uso: esso assume come grandezzefondamentali lunghezza, massa, tempo, intensit di corrente elettrica, tempe-ratura, intensit luminosa e quantit di materia; con le rispettive unit metro,chilogrammo, secondo, Ampre, grado Kelvin, candela e mole. Le unit perla misura delle altre grandezze sono poi univocamente determinate dallerelazioni algebriche che le legano a quelle fondamentali.

Se ciascuna unit fondamentale viene ridotta di un certo fattore, il valoredella grandezza espresso nelle nuove unit dovr essere moltiplicato perun prodotto di potenze dei medesimi fattori. Cos, per restare nellambitodella meccanica, se riduciamo lunit di lunghezza di un fattore L, lunit dimassa di un fattore M e quella di tempo di un fattore T , ed il valore di unagrandezza sica ne risultasse in conseguenza moltiplicato per

L M T ,

si dir che la grandezza in questione ha le dimensioni di una lunghezzaelevata alla potenza per una massa elevata alla potenza per un tempoelevato alla potenza .

Pensiamo alla velocit (media) di un corpo in movimento, che denitacome il rapporto tra lo spazio da esso percorso in un certo intervallo di tempoe la durata di tale intervallo: ed dunque una grandezza derivata. Una voltascelte le unit di misura delle lunghezze e dei tempi (per esempio il metroed il secondo), lunit di misura delle velocit risulta ssata univocamente(metro al secondo).

Se si alterano ad esempio lunit di lunghezza moltiplicandola per unfattore 1 /L = 1000 (chilometro), quella di tempo moltiplicandola per unfattore 1 /T =3600 (ora) e quella di massa moltiplicandola per un fattore


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2.2 - Le unit di misura 7

1/M =1000 (tonnellata), il valore di qualunque velocit nella nuova unit(chilometro allora) risulter alterato rispetto al precedente di un fattore

L1 M 0 T 1 =LT 1

e si dice pertanto che le dimensioni siche di una velocit sono quelle di unalunghezza divisa per un tempo.

Come altro esempio si consideri lenergia cinetica di un corpo, denitacome il lavoro compiuto dalla forza che si deve applicare per arrestarlo; eche pari numericamente alla met del prodotto della massa per il quadratodella velocit del corpo stesso:

K = 12 mv2 .

Essa pertanto una grandezza derivata, la cui unit di misura nel SistemaInternazionale lenergia cinetica di un corpo avente massa di 2 Kg ed inmoto traslatorio con velocit di 1 m / s (unit detta joule ). Passando al nuovosistema di unit prima denito (assai inconsueto per unenergia), il valore diK risulta moltiplicato per il fattore M 1 L2 T 2 ; si dice dunque che unenergiaha le dimensioni di una massa, moltiplicata per il quadrato di una lunghezzae divisa per il quadrato di un tempo.

Queste propriet di trasformazione sono legate alla cosiddetta analisi dimensionale ed alla similitudine meccanica , argomenti che esulano da questocorso. Basti qui osservare che il numero di unit indipendenti non coincidenecessariamente con quello delle grandezze assunte come fondamentali;cos langolo piano e langolo solido sono entrambi privi di dimensioni intermini di grandezze siche fondamentali, e come tali dovrebbero avere comeunit di misura derivata (1 m / 1 m e rispettivamente 1 m 2 / 1 m 2 ) lo stessonumero puro 1, mentre esistono per essi due diverse unit: il radiante e losteradiante, quasi essi avessero dimensioni proprie e distinte.

N vi alcunch di necessario nella scelta delle grandezze fondamentaliquale si venuta congurando storicamente nel Sistema Internazionale,

potendosi denire un sistema coerente anche con lassegnazione di valoriconvenzionali alle costanti universali delle leggi siche (come proposto agliinizi del secolo da Max Planck): cos un sistema di unit naturali si potrebbefondare, in linea di principio, ponendo uguali ad 1 la velocit della luce nelvuoto, il quanto dazione (o costante di Planck), la costante di gravitazioneuniversale, la costante di Boltzmann ed il quanto elementare di carica elettrica(ovverosia la carica dellelettrone). Ma, a parte considerazioni di opportunite consuetudine, ci che determina in ultima analisi no a che punto si possatradurre in pratica un simile programma, e quali grandezze siano quindi da


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considerare fondamentali, la riproducibilit dei campioni e la precisionecon cui possibile il confronto diretto tra grandezze omogenee.

emblematica a questo riguardo la storia dellevoluzione delle unit dimisura delle lunghezze: queste anticamente erano riferite a parti del corpoumano quali il braccio, il cubito (gi usato dagli Egizi), il piede e la larghezzadel pollice; ovvero delle medie di tali lunghezze su di un numero limitato diindividui. Lovvio vantaggio di una simile denizione la disponibilit delcampione in ogni tempo e luogo; laltrettanto ovvio svantaggio la grandevariabilit del campione stesso, donde il ricorso dapprima a valori medied inne a campioni articiali costruiti con materiali e accorgimenti chegarantissero una minima variabilit della loro lunghezza, col tempo e con le

condizioni esterne pi o meno controllabili.Cos, dopo la parentesi illuministica che port alladozione della quaran-tamilionesima parte del meridiano terrestre quale unit di lunghezza (metro),e no al 1960, il metro campione fu la distanza tra due tacche tracciate sudi unopportuna sezione di una sbarra costruita usando una lega metallicamolto stabile; tuttavia le alterazioni spontanee della struttura microcristallinadella sbarra fanno s che diversi campioni, aventi la medesima lunghezzaalla costruzione, presentino con landar del tempo differenze apprezzabilidai moderni metodi di misura. Inoltre luso di metodi ottici interferenzialin per consentire un confronto pi preciso delle lunghezze, e condusse nel1960 (come suggerito da Babinet gi nel 1829!) a svincolare la denizionedel metro dalla necessit di un supporto materiale macroscopico, col porlouguale a 1 .650 .763.73 volte leffettivo campione: cio la lunghezza donda nelvuoto della luce emessa, in opportune condizioni, da una sorgente atomica(riga arancione dellisotopo del Kripton 86 Kr).

Lulteriore rapido sviluppo della tecnologia, con lavvento di laser moltostabili e di misure accuratissime delle distanze planetarie col metodo delradar, ha condotto recentemente (1984) ad una nuova denizione del metro,come distanza percorsa nel vuoto dalla luce in una determinata frazione(1/ 299 .792 .458) dellunit di tempo (secondo); il che equivale ad assumereun valore convenzionale per il campione di velocit (la velocit della luce nelvuoto) ed a ridurre la misura della lunghezza fondamentale ad una misura ditempo. implicita nella denizione anche la ducia nellindipendenza dellavelocit della luce nel vuoto sia dal sistema di riferimento dellosservatoreche dal tipo di luce (frequenza, stato di polarizzazione e cos via); ipotesiqueste che sono necessarie conseguenze delle moderne teorie della sica.

Le misure di lunghezza hanno dunque percorso lintero arco evolutivo,ed appare evidente come la complessa realt metrologica odierna non siapi riessa esattamente nella classicazione tradizionale di grandezze fon-


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2.3 - Gli strumenti di misura 9

damentali e derivate. Infatti la velocit assume ora in un certo senso

il ruolo di grandezza fondamentale, e tuttavia una velocit non si misurapraticamente mai per confronto diretto col campione (la velocit della lucenel vuoto); per converso le lunghezze sono spesso ancora oggi misurate perconfronto con campioni, ma la lunghezza del campione primario (il metro) a sua volta determinata da una misura di tempo.

Per quanto riguarda lunit di durata temporale, essa fu svincolata daun supporto macroscopico (il moto diurno della terra o i moti planetari)nel 1964 con ladozione di un campione di frequenza atomico (in terminiimprecisi il cosiddetto orologio atomico al Cesio), assegnando il valoreconvenzionale di 9 .192 .631 .770 cicli al secondo (hertz) alla frequenza della

radiazione elettromagnetica emessa in una particolare transizione tra duestati quantici dellatomo di 133 Cs.Questa denizione del minuto secondo consente il confronto di intervalli

di tempo con un errore relativo 1 inferiore ad una parte su 10 13 . Se si consi-dera che il quanto dazione , che la costante universale della meccanica(quantistica) determinata con maggior precisione dopo la velocit della lucenel vuoto e che sia da essa indipendente, noto soltanto con una incertezzadellordine di 0.2 parti per milione 2 , si comprende quale iato si dovrebbe col-mare per portare a compimento il programma di Planck anche con il tempo,cos come lo si realizzato per la lunghezza.

Ad uno stadio ancora meno avanzato giunta levoluzione delle misuredi massa, il cui campione tuttora costituito da un particolare oggettomacroscopico detto chilogrammo-campione. Anche qui la precisione concui si possono confrontare le masse supera di vari ordini di grandezza quellacon cui nota la costante di gravitazione universale, cui lattribuzione di unvalore convenzionale consentirebbe di ridurre le misure di massa a quelle ditempo e di lunghezza.

2.3 Gli strumenti di misura

Lo strumento di misura un apparato che permette il confronto tra lagrandezza misurata e lunit prescelta. Esso costituito da un oggetto sensibi-le in qualche modo alla grandezza da misurare, che si pu chiamare rivelatore ;eventualmente da un dispositivo trasduttore , che traduce le variazioni dellagrandezza caratteristica del rivelatore in quelle di unaltra grandezza pifacilmente accessibile allo sperimentatore; e da un dispositivo indicatore

1 Vedi il paragrafo 2.6 alla ne del corrente capitolo.2 Attualmente (2004), lerrore relativo sul valore comunemente usato di (e che vale

1 .054 .571 .68 10 34 J s) di 1 .7 10 7 .


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che presenta il risultato della misura ai sensi (generalmente alla vista) dello

sperimentatore: o direttamente o mediante una registrazione, graca o dialtro genere.

Cos in un calibro , strumento per la misura di spessori, il rivelatore costituito dalla ganascia mobile col cursore ad essa solidale, e che pu scorre-re nella guida facente corpo unico con la ganascia ssa; mentre lelementoindicatore costituito dalla scala graduata in millimetri tracciata sulla guidae dal segno di fede inciso sul cursore, a sua volta generalmente collegato aduna scala graduata ausiliaria ( nonio ) per la lettura delle frazioni di millimetro.La grandezza letta sulla scala qui direttamente lo spessore oggetto dellamisura.

In un termometro a liquido lelemento sensibile alla temperatura illiquido contenuto nel bulbo; esso funge almeno in parte anche da trasduttore,perch la propriet termometrica che viene usata il volume del rivelatorestesso. Il tubo capillare a sezione costante traduce le variazioni di volume delrivelatore in variazioni di lunghezza della colonna di liquido ivi contenuta; ilmenisco che separa il liquido dal suo vapore nel capillare funge da indicatore,assieme con la scala tracciata sulla supercie esterna del tubo stesso o sopraun regolo ad essa solidale. La grandezza letta sulla scala la distanza delmenisco da un segno di riferimento che pu essere messa in corrispondenzacon la temperatura per mezzo di una tabella di conversione; oppure, pispesso e comodamente, le temperature corrispondenti sono scritte sulla scalastessa accanto alle tacche della graduazione.

Le caratteristiche pi importanti di uno strumento sono le seguenti:

La prontezza : determinata dal tempo necessario perch lo strumentorisponda in modo completo ad una variazione della sollecitazione;ad esempio, per avere una risposta corretta da un termometro si deveattendere che si raggiunga lequilibrio termico tra il rivelatore e loggettodi cui si misura la temperatura.

Lintervallo duso : denito come linsieme dei valori compresi tra lasoglia e la portata dello strumento, cio tra il minimo ed il massimovalore della grandezza che lo strumento pu apprezzare in un singoloatto di misura.

La sensibilit : si pu denire come il reciproco della incertezza dilettura propria dello strumento, cio della pi piccola variazione dellagrandezza che pu essere letta sulla scala, e che si assume generalmentecorrispondente alla pi piccola divisione della scala stessa (o ad unafrazione apprezzabile di questa). La sensibilit pu essere diversa indifferenti punti della scala, o per diversi valori della grandezza; un


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2.3 - Gli strumenti di misura 11

fattore che limita lintervallo duso dello strumento, potendo divenireinsufficiente al di sotto della soglia od al di sopra della portata.

La precisione dello strumento: legata alla riproducibilit del risultatodella misura di una stessa grandezza. Esso pu variare da una parte perdifetti dello strumento dovuti alla costruzione, che non pu mai essereperfetta, e per il logoramento di alcune componenti in conseguenzadelluso prolungato o improprio, o dellinvecchiamento; e, inoltre, perla presenza di varie cause di disturbo ineliminabili anche in condizioninormali duso dello strumento stesso.

Tutto questo fa s che misure ripetute di una stessa grandezza sica si

distribuiscano in un intervallo pi o meno ampio; la precisione si pudenire come il reciproco dellincertezza sul valore della grandezza cheviene determinata dallinsieme di questi fattori: ed sostanzialmen-te legata allentit degli errori casuali , di cui parleremo tra poco nelparagrafo 2.4 .

Laccuratezza dello strumento; ossia la sua capacit di fornire valoricorrispondenti a quello realmente posseduto dalla grandezza in esame.In altre parole, se lo strumento accurato ci si aspetta che i risultati dimisure ripetute della stessa grandezza sica siano equamente distribuitiin un intorno del valore vero; questa caratteristica degli strumentisar, come vedremo, legata alla presenza di errori sistematici da essiintrodotti (di questi, e delle loro possibili cause parleremo sempre nelparagrafo 2.4 ).

Ci si attende da uno sperimentatore serio che sappia individuare lecause di scarsa accuratezza nei suoi strumenti (ad esempio unerratataratura dello zero della scala) ed in qualche modo neutralizzarle; cosda ricondursi, in ogni caso, a risultati accurati .

Per sfruttare a pieno le possibilit di uno strumento di misura, opportu-no che la sensibilit non sia troppo inferiore alla precisione; gli strumenti di

uso corrente sono costruiti con una sensibilit circa uguale alla precisione incondizioni normali duso.

Anche se, per questo motivo, generalmente la sensibilit e la precisione inuno strumento hanno valori simili, fate attenzione a non confondere i dueconcetti: la sensibilit una caratteristica intrinseca degli strumenti, e rimaneperci costante in ogni situazione; mentre la precisione delle nostre misuredipende, vero, dal tipo di strumento usato (e quindi dalla sua sensibilit) ma anche dalle modalit contestuali di impiego e dal tipo di grandezzamisurata.


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Cos su un orologio nella cui scala non siano riportate che poche divisioni

(linverso della sensibilit sia ad esempio di 60 o 15 minuti) non difficilestimare lora con una approssimazione che invece dellordine di pochiminuti; mentre un cronometro in grado di apprezzare il decimillesimo disecondo, se azionato a mano, difficilmente pu raggiungere una precisioneinferiore al decimo.

Similmente, un regolo lungo un metro e graduato al millimetro pu essereusato per valutare le dimensioni di un quaderno (con un singolo atto dimisura); oppure (riportandolo varie volte di seguito a se stesso) le dimensionidi un edicio. evidente come, pur essendo lo strumento lo stesso (quindi lasensibilit non varia) la precisione delle misure debba essere completamente

diversa nei due casi.

2.4 Errori di misura

Come gi accennato in relazione alla precisione di uno strumento, se siesegue una misura di una qualsiasi grandezza sica si commettono inevitabil-mente errori; conseguentemente il valore ottenuto per la grandezza misuratanon mai esattamente uguale al suo vero valore, che non ci potr perci maiessere noto con precisione arbitrariamente grande (diversamente da quantoaccade con una costante matematica, come ad esempio ).

Quando si ripete la misura della stessa grandezza col medesimo stru-mento, nelle medesime condizioni e seguendo la medesima procedura, lapresenza delle varie cause di errore (che andremo tra poco ad esaminare) pro-duce delle differenze casuali tra il valore misurato ed il valore vero; differenzevariabili da una misura allaltra, ed in modo imprevedibile singolarmente.In conseguenza di ci, i risultati di queste misure ripetute (se lo strumento abbastanza sensibile) uttueranno apprezzabilmente in maniera casualein un certo intervallo: la cui ampiezza denir la precisione delle misurestesse. Gli errori di questo tipo si dicono errori casuali , e la loro esistenza facilmente accertabile con luso di un qualsiasi strumento sensibile.

Tuttavia, certe cause di errore possono dar luogo a una discrepanza travalore misurato e valore vero che si riproduce inalterata in una serie di misureripetute: e la inosservabilit delle uttuazioni non garantisce affatto che talediscrepanza sia inferiore allincertezza di lettura dello strumento; n si puesser certi che essa sia contenuta entro lintervallo di variabilit degli erroricasuali (quando esso sia maggiore dellincertezza di lettura).

Gli errori di questo secondo tipo si dicono errori sistematici e sono ipi insidiosi, perch non risultano immediatamente identicabili. Cause di


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2.4 - Errori di misura 13

errori sistematici possono essere quelle elencate nel seguito (ma la lista non necessariamente completa):

1. Difetti dello strumento, risalenti alla costruzione o conseguenti al suo deterioramento . Ad esempio, in una bilancia con bracci di lunghezzadiversa, luguaglianza dei momenti applicati ai due bracci ed assicura-ta dallequilibrio del giogo non implica luguaglianza delle masse adessi sospese: perch una massa minore sospesa al braccio pi lungoprodurr una azione atta ad equilibrare quella esercitata da una massamaggiore sospesa allaltro (questo errore si potrebbe anche classicarenel tipo 6 , cio come errore di interpretazione del risultato).

Un altro esempio quello di un goniometro eccentrico , cio aventela croce centrale o lasse di rotazione in posizione diversa da quelladel centro del cerchio recante la graduazione: ci determina comeconseguenza misure di angoli acuti sistematicamente errate per difettoo per eccesso a seconda della posizione del centro presunto rispettoagli assi 0 180 e 90 270 del goniometro.Lo zero di una scala (ad esempio di un termometro) pu essere spostatodalla posizione corretta di taratura, per cui tutte le letture saranno indifetto o in eccesso a seconda del verso di tale spostamento. Oppurela scala stessa dello strumento pu essere difettosa: cos, se il capil-

lare di un termometro non ha sezione costante, anche se le posizionicorrispondenti a due punti ssi come 0 C e 100C fossero esatte, letemperature lette risulterebbero in difetto in un tratto della scala ed ineccesso in un altro tratto.

2. Uso dello strumento in condizioni errate , cio diverse da quelle previsteper il suo uso corretto. Tale luso di regoli, calibri e simili strumenti permisurare le lunghezze, o di recipienti tarati per la misura dei volumi, atemperature diverse da quella di taratura (generalmente ssata a 20 C);infatti la dilatazione termica far s che lunghezze e volumi risultinoalterati, in difetto o in eccesso a seconda che si operi a temperaturasuperiore o inferiore.Si pu naturalmente commettere un errore anche usando lo strumentoa 20C, quando ci che interessa in realt conoscere il valore di unagrandezza dipendente dalla temperatura (la lunghezza di un oggetto, ilvolume di un corpo, la resistenza elettrica di un lo o qualsiasi altra)ad una temperatura diversa da 20 C.

3. Errori di stima da parte dello sperimentatore : un esempio di questo tipodi errore si ha quando, nello stimare una certa frazione di divisione


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di una scala graduata, lo sperimentatore tende a valutarla sempre in

difetto o sempre in eccesso; oppure quando, nel leggere la posizione diun indice mobile posto di fronte ad una scala graduata (non sullo stessopiano), lo sperimentatore tenga il proprio occhio sistematicamente allasinistra o alla destra del piano passante per lindice ed ortogonale allascala stessa ( errore di parallasse ). Proprio per evitare questi errori diparallasse, dietro gli indici mobili degli strumenti pi precisi si poneuno specchio che aiuta losservatore a posizionarsi esattamente davantiad esso.

4. Perturbazioni esterne ; un esempio di errori di questo tipo la presenzadi corpi estranei, come la polvere, interposti tra le ganasce di un calibroe loggetto da misurare: questo porta a sovrastimarne lo spessore.

Un altro esempio la misura della profondit del fondo marino ouviale con uno scandaglio (lo a piombo) in presenza di corrente;questa fa deviare il lo dalla verticale e porta sempre a sovrastimare laprofondit se il fondo approssimativamente orizzontale.

5. Perturbazione del fenomeno osservato da parte delloperazione di misura . Tra gli errori di questo tipo si pu citare la misura dello spessoredi un oggetto con un calibro a cursore, o col pi sensibile calibro avite micrometrica (Palmer); loperazione richiede laccostamento delleganasce dello strumento alloggetto, ed effettuandola si comprime inevi-tabilmente questultimo con una forza sia pur piccola: e se ne provocaperci una deformazione, con leggera riduzione dello spessore.

6. Uso di formule errate o approssimate nelle misure indirette . Un esempio offerto dalla misura indiretta dellaccelerazione di gravit g , ottenutadalla misura della lunghezza (cosiddetta ridotta) l di un apposito tipodi pendolo (di Kater) e dalla misura del suo periodo di oscillazione T 0 ,utilizzando la formula

g

=4 2

l

T 0 2(2.1)

ottenuta dalla nota espressione del periodo

T 0 =2 lg

. (2.2)

Ma questa formula vale solo, al limite, per oscillazioni di ampiezza


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2.4 - Errori di misura 15

innitesima; mentre una formula che meglio approssima la realt 3

T = T() = 2 lg

1 + 2

16 = T 0 1 + 2

16

ed essa mostra come il periodo T sia una funzione leggermente crescen-te dellampiezza massima delle oscillazioni (qui espressa in radianti).Luso della formula (2.1 ) di prima approssimazione per determinare gcomporta dunque una sua sottostima, che diviene tanto pi sensibilequanto maggiore : questo in quanto si usa in luogo di T 0 la durata T di una oscillazione reale avente ampiezza non nulla e perci sempresuperiore a T 0 .

La medesima misura affetta anche da unaltra causa di errore sistema-tico, originata dal fatto che il pendolo non ruota oscillando attorno allo orizzontale del coltello di sospensione; ma compie un moto in cui ilprolo del taglio del coltello (che approssimativamente un cilindrocon raggio di curvatura minimo dellordine dei centesimi di millimetro)rotola sul piano di appoggio. A causa dellimpossibilit di una per-fetta realizzazione meccanica dellapparato, il fenomeno osservato diverso da quello supposto che si intendeva produrre: e la sua erratainterpretazione comporta una sovrastima di g .

Infatti la formula del periodo, corretta per questo solo effetto , risultaessereT =T 0 1

r a

(in cui r il raggio di curvatura del lo del coltello ed a la distanza delcentro di massa dal punto di appoggio) ed il T reale sempre inferioreal T 0 denito nellequazione ( 2.2 ).

Un modo per rivelare la presenza di errori sistematici insospettati puessere quello di misurare, se possibile, la stessa grandezza con strumenti emetodi diversi; questi presumibilmente sono affetti da errori aventi cause di-

verse e possono fornire perci risultati differenti. Tuttavia neppure lassenzadi questo effetto d la certezza che la misura sia esente da errori sistematici,ed essi sono generalmente individuati solo da una attenta e minuziosa analisicritica: sia dello strumento usato, sia della procedura seguita nella misura.

Una volta scoperto, un errore sistematico pu essere eliminato: modican-do o lo strumento o la procedura, oppure ancora apportando una opportuna

3 Riguardo a questo punto ed al successivo, per una discussione approfondita del motodel pendolo si pu consultare: G. Bruhat - Cours de Mcanique Physique - Ed. Masson, pagg.311321.


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correzione al risultato della misura (sebbene questo comporti generalmente

un aumento dellerrore casuale: il fattore di correzione deve essere ricavatosperimentalmente, e quindi sar affetto da un suo errore intrinseco).

Le prime cinque categorie sopra citate come possibili cause di errori si-stematici, possono produrre anche errori casuali: cos, per il primo tipo,gli inevitabili giochi meccanici e gli attriti tra parti dello strumento in mo-to relativo possono dar luogo a risultati uttuanti; per quanto riguarda ilsecondo tipo, condizioni ambientali variabili e non del tutto controllabili(come temperatura e pressione) possono produrre variazioni imprevedibilidel risultato.

Lo sperimentatore non ha un comportamento sso e costante sia nelle

valutazioni che nelle azioni compiute durante loperazione di misura; come unesempio di questo terzo tipo di errori si consideri limprevedibile variabilitdel tempo di reazione nellavvio e nellarresto di un cronometro a comandomanuale.

Anche i disturbi esterni (quarto tipo), potendo essere di natura e intensitvariabile, produrranno errori di un segno determinato (sistematici), ma dientit variabile ed imprevedibile; dunque, in parte, anche casuali.

Si aggiunga a ci che disturbi casuali possono essere presenti nello stru-mento stesso per la costituzione corpuscolare della materia e per la naturafondamentalmente statistica di certe grandezze siche. Cos lequipaggiomobile, sospeso ad un lo lungo e sottile, di una bilancia a torsione di estremasensibilit, avr posizioni uttuanti attorno a quella di equilibrio: non soloa causa del bombardamento incessante cui esso sottoposto da parte dellemolecole del gas circostante; ma anche nel vuoto assoluto, per lagitazionetermica dei suoi stessi costituenti.

Inne, anche le cause del quinto tipo possono dar luogo ad errori casualise il disturbo del fenomeno o delloggetto prodotto dalloperazione di misura di entit variabile e non controllata.

Alle cause comuni con gli errori sistematici si deve qui aggiungerne unaulteriore e tipica degli errori casuali, e consistente nella imperfetta denizionedella grandezza che si intende misurare. Anche restando nellambito dellasica classica (e come accennato in relazione ai disturbi delle misure), certegrandezze, quali la pressione e la temperatura, sono in realt legate a dellemedie statistiche, come lenergia cinetica media molecolare; in quanto tali essehanno unindeterminazione intrinseca, che tuttavia non si manifesta nellemisure relative ad oggetti e fenomeni macroscopici se non in casi eccezionali.

Ad un livello meno fondamentale, se si misura pi volte con un calibro ildiametro di un oggetto sferico pu avvenire che i risultati siano leggermentediversi di misura in misura; questo perch loggetto non pu essere perfetta-


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2.5 - Cifre significative ed arrotondamenti 17

mente sferico, ed ogni suo diametro ha una lunghezza generalmente diversada quella di un altro.

Per concludere, gli errori casuali:

Sono osservabili solo con uno strumento sufficientemente sensibile,cio quando sono di entit maggiore dellincertezza di lettura dellascala.

Possono essere ridotti; ad esempio migliorando le caratteristiche dellostrumento, o controllando pi strettamente le condizioni del suo usoe dellambiente e precisando meglio la procedura di esecuzione dellamisura: ma ci con difficolt crescente sempre pi con la precisione.Non possono quindi mai essere eliminati .

Posseggono tuttavia certe propriet statistiche, che studieremo nellambito di una teoria matematica che verr affrontata nei prossimi capitoli;la loro entit pu pertanto essere stimata .

Compito della teoria dellerrore appunto quello di stimare lerrore presu-mibilmente commesso nellatto della misura, a partire dai dati sperimentalistessi. Riassumendo:

Scopo della misura di una grandezza sica il valutare sia il

rapporto della grandezza stessa con una certa unit di misura, sia lerrore da cui tale rapporto presumibilmente affetto.

Il risultato delle misure dovr quindi sempre essere espresso in una formadel tipo

l = 12 .34 0 .01 min cui compaiano le tre parti valore , errore ed unit di misura .

2.5 Cifre signicative ed arrotondamenti

Sempre per quanto riguarda il modo di esprimere il risultato delle nostremisure, un errore spingere la valutazione del risultato stesso al di l dellaprecisione sperimentale; in altre parole, se il calcolo dellerrore per la misuradi una lunghezza indica incertezza sulla cifra, ad esempio, dei centimetri, un errore dare nel risultato la cifra dei millimetri, o (peggio) dei decimio centesimi di millimetro. Nei risultati intermedi possiamo tenere per isuccessivi calcoli tutte le cifre che vogliamo; ma, giunti al risultato nale , e


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solo una volta che lerrore sia stato calcolato, bisogna troncare il risultatostesso al livello dellerrore da noi stimato ed arrotondare. Cos 4

12 .34567 0 .231 diventa 12 .3 0 .2 o 12 .34 0 .23 ;12 .34567 0 .00789 diventa 12 .346 0 .008 o 12 .3457 0 .0079 .

2.6 Errore relativo

Una volta valutato lerrore presumibile x (errore assoluto ) da cui affettala misura x 0 di una grandezza sica x , il rapporto

= x|x 0 |(2.3)

(indicato in valore od in percentuale ) prende il nome di errore relativo ; essen-do denito attraverso il modulo del valore stimato della grandezza in esame,lerrore relativo una quantit sicuramente positiva.

Lerrore relativo importante perch, in un certo senso, esprime la qualit della misura di una grandezza: evidente come un errore assoluto stimato in1 cm assuma ben diverso signicato se riferito alla misura di un tavolo o diuna distanza astronomica ed appunto la differenza fra gli errori relativia suggerirci tale interpretazione.

opportuno tuttavia osservare che lerrore relativo denito nella (2.3 ) privo di senso quando il valore vero della grandezza che si misura nullo;pertanto si potr parlare di errore relativo solo quando si possa escluderetale eventualit con pratica certezza: nel caso cio che sia |x 0 | x , ovveroche sia di almeno un ordine di grandezza inferiore allunit.

4 Come vedremo nelle ultime righe dellappendice B, normalmente per lerrore si d unasola cifra signicativa; o al massimo due, se le misure sono state veramente molte oanche per diminuire il disagio psicologico legato al buttare via qualcosa del frutto delleproprie fatiche. . .


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Capitolo 3

Elementi di teoria della probabilit

Abbiamo gi notato come, per la ineliminabile presenza degli errori dimisura, quello che otteniamo come risultato della stima del valore di unagrandezza sica non sia praticamente mai il valore vero della grandezzastessa; inoltre, se ripetiamo pi volte la misura, non otteniamo mai, ingenerale, nemmeno lo stesso risultato.

Da questo si deduce che, sulla base di misure ripetute comunque effet-tuate, non si potr mai affermare che un qualsiasi numero reale sia (o nonsia) il valore vero della grandezza stessa. per evidente come tutti gliinniti numeri reali non debbano essere posti sullo stesso piano: alcuni diessi saranno pi verosimili (intuitivamente i numeri vicini ai risultati dellenostre misure ripetute), altri (pi lontani) saranno meno verosimili.

Il problema della misura va dunque impostato in termini probabilistici ;e potremo dire di averlo risolto quando, a partire dai dati sperimentali,saremo in grado di determinare un intervallo di valori avente una assegnataprobabilit di contenere il valore vero. Prima di proseguire, introduciamodunque alcuni elementi della teoria della probabilit .

3.1 La probabilit: eventi e variabili casuali

Oggetto della teoria delle probabilit lo studio dei fenomeni casuali oaleatori : cio fenomeni ripetibili (almeno in teoria) innite volte e che possonomanifestarsi in pi modalit, imprevedibili singolarmente, che si escludonoa vicenda luna con laltra; esempi tipici di fenomeni casuali sono il lanciodi un dado o di una moneta, o lestrazione di una carta da un mazzo. Come

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20 Capitolo 3 - Elementi di teoria della probabilit

risultato del lancio della moneta o del dado, essi cadranno e si ridurranno

in quiete con una determinata faccia rivolta verso lalto; per la moneta lepossibilit sono due, mentre per il dado sono sei.

Il complesso delle possibili modalit con cui un fenomeno casuale sipu vericare costituisce linsieme (o spazio ) dei risultati , S; esso pu esserecostituito da un numero nito o innito di elementi.

Deniremo poi come evento casuale lassociazione di una o pi di questepossibili modalit: ad esempio, lo spazio dei risultati per il fenomeno lanciodi un dado un insieme composto da sei elementi; ed uno degli eventi casualiche possibile denire (e che corrisponde al realizzarsi delluno o dellaltrodi tre dei sei possibili risultati) consiste nelluscita di un numero dispari.

Linsieme di tutti i possibili eventi (o spazio degli eventi ) E dunque linsiemedi tutti i sottoinsiemi di S(insieme potenza o insieme delle parti di S); compresilinsieme vuoto

ed Sstesso, che si chiamano anche rispettivamente evento impossibile ed evento certo .

Se si in grado di ssare una legge di corrispondenza che permetta diassociare ad ogni modalit di un fenomeno casuale scelta nellinsieme Suno ed un solo numero reale x , questo numero prende il nome di variabilecasuale denita su S. Le variabili casuali possono assumere un numero nitood innito di valori, e possono essere discrete o continue; da notare che,per la presenza degli errori, la misura di una grandezza sica pu essereconsiderata come un evento casuale ed il risultato numerico che da talemisura otteniamo una variabile casuale che possiamo associare alleventostesso.

3.2 La probabilit: denizioni

La denizione classica di probabilit la seguente:

Si denisce come probabilit di un evento casuale il rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dellevento stesso ed il numero totale di casi possibili, purch tutti questi casi possibili siano ugualmente probabili.

e se ne ricava immediatamente il seguente

Corollario: la probabilit di un evento casuale un numero compreso tra zero e uno, che assume il valore zero per gli eventi impossibili ed uno per quelli certi.

La denizione classica sembra sufficiente a permetterci di calcolare leprobabilit di semplici eventi casuali che possano manifestarsi in un numero


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3.3 - Propriet della probabilit 21

nito di modalit equiprobabili (ad esempio per i giochi dazzardo), ma

intrinsecamente insoddisfacente perch racchiude in s stessa una tautologia :si nota immediatamente come, per denire la probabilit, essa presuppon-ga che si sia gi in grado di valutare lequiprobabilit delle varie modalitcon cui pu manifestarsi levento considerato. Nel caso di una variabile ca-suale continua, ci si traduce nellindeterminazione di quale tra le variabilitopologicamente equivalenti (ossia legate da trasformazioni continue) siaquella equiprobabile, cio con probabilit per ogni intervallo proporzionaleallampiezza dellintervallo stesso.

Si possono dare della probabilit denizioni pi soddisfacenti dal puntodi vista logico, ad esempio la seguente (denizione empirica 1 , teorizzata da

von Mises2

): deniamo la frequenza relativa f(E) con cui un evento casualeE si presentato in un numero totale N di casi reali come il rapporto trail numero n di volte in cui levento si effettivamente prodotto ( frequenza assoluta ) ed il numero N delle prove effettuate; la probabilit di E si denisceeuristicamente come lestensione del concetto di frequenza relativa su unnumero grandissimo di prove, cio

p(E) limN f(E) = limN nN

.

3.3 Propriet della probabilit

Proseguendo in questa nostra esposizione, useremo ora la denizione em-pirica per ricavare alcune propriet delle probabilit di eventi casuali: questestesse propriet, come vedremo nel paragrafo 3.4.1, possono essere ricavatea partire dalla denizione assiomatica (matematicamente soddisfacente, eche verr presentata nel paragrafo 3.4). Il motivo per cui ci basiamo sulladenizione empirica sia la maggiore semplicit delle dimostrazioni chela concretezza e lintuitivit dei ragionamenti, che si possono facilmente

esemplicare con semplici procedure pratiche come il lancio di monete edadi.1 Anche questa denizione non completamente soddisfacente dal punto di vista

concettuale (come vedremo pi in dettaglio nel paragrafo 3.5); ma tra le pi intuitive,perch tra le pi vicine alluso pratico.

2 Richard von Mises fu un matematico che visse dal 1883 al 1953; comp ricerchenei campi della probabilit e della statistica, ma soprattutto in quello della matematicaapplicata alla meccanica dei uidi (nel 1913 istitu allUniversit di Vienna il primo corso almondo sul volo, e nel 1915 progett un aereo che pilot personalmente nel corso della Iguerra mondiale).


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3.3.1 Levento complementare

La mancata realizzazione dellevento E costituisce levento complementaread E , che indicheremo con E ; i due eventi E ed E si escludono mutuamente, edesauriscono linsieme di tutti i possibili risultati di una prova od esperimentoelementare del tipo considerato. La frequenza relativa di E su N prove

f E =N n

N = 1 nN = 1 f(E)

da cui si ricava

p E =1 p(E) o anche p(E) +p E =1 .Analogamente si pu dimostrare che, se A,B, . . . ,Z sono eventi casuali

mutuamente esclusivi e che esauriscono linsieme di tutti i possibili risultati ,vale la

p(A) +p(B) + +p(Z) =1 . (3.1)

3.3.2 Probabilit totale

Il risultato di una prova o esperimento pi complesso pu essere costitui-to dal vericarsi di due eventi simultanei in luogo di uno solo; come esempio,si consideri il lancio di una moneta e lestrazione contemporanea di una carta

da un mazzo. Se E indica lapparizione della testa ( E allora sar lapparizionedella croce) ed F lestrazione di una carta nera ( F di una carta rossa), esisto-no quattro eventi fondamentali non ulteriormente decomponibili e che siescludono vicendevolmente: EF , EF , EF e EF .

Il simbolo EF indica qui levento composto prodotto logico dei due eventisemplici E ed F , cio quello consistente nel vericarsi sia delluno che dellaltro .Se ora, su N prove effettuate, la frequenza assoluta con cui i quattro eventifondamentali si sono vericati quella indicata nella seguente tabella:

F F

E n 11 n 12

E n 21 n 22

le rispettive frequenze relative saranno

f (EF ) =n 11N

f EF =n 12N

f EF =n 21N

f EF =n 22N

.


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Facendo uso della denizione empirica di probabilit si trova, partendodalle seguenti identit:

f(E) =n 11 +n 12

N = f(EF) +f EF

f(F) =n 11 +n 21

N = f(EF) +f EF che devono valere le

p(E) =p(EF) +p EF ,

p(F) =p(EF) +p EF ,ed altre due simili per E e F .

Se ora si applica la denizione empirica allevento complesso E +F somma logica degli eventi semplici E ed F , denito come levento casuale consistentenel vericarsi o delluno o dellaltro di essi o di entrambi , otteniamo

f (E +F) =n 11 +n 12 +n 21

N

=(n 11 +n 12 ) +(n 11 +n 21 ) n 11

N

=f(E) +f(F) f(EF)da cui, passando al limite,

p(E +F) =p(E) +p(F) p(EF) .Nel caso particolare di due eventi E ed F che si escludano mutuamente

(cio per cui sia p(EF) =0 e n 11 0) vale la cosiddetta legge della probabilit totale :

p(E +F) =p(E) +p(F)Questa si generalizza poi per induzione completa al caso di pi eventi (sempreper mutuamente esclusivi ), per la cui somma logica la probabilit ugualealla somma delle probabilit degli eventi semplici:

p(A +B + +Z) = p(A) +p(B) + +p(Z) . (3.2)


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consistente nelluscita di un punteggio complessivo dispari. facile vedere

che questi eventi casuali sono, se considerati a due a due, statisticamenteindipendenti: A e B per ipotesi, A e C perch p(C |A) = 12 =p(C) , ed inneB e C perch anche p(C |B) = 12 =p(C) ; ma gli stessi tre eventi, se vengonoconsiderati nel loro complesso, non sono tutti statisticamente indipendenti perch il vericarsi di A assieme a B rende poi impossibile il vericarsi di C .

3.3.4 Il teorema di Bayes

Supponiamo che un dato fenomeno casuale A possa dare luogo a N eventualit mutuamente esclusive Aj , che esauriscano inoltre la totalit delle

possibilit; e sia poi un differente fenomeno casuale che possa condurre o alvericarsi o al non vericarsi di un evento E . Osservando la realizzazione dientrambi questi fenomeni, se E si verica, assieme ad esso si dovr vericareanche una ed una sola delle eventualit Aj ; applicando prima la legge dellaprobabilit totale ( 3.2 ) e poi lequazione (3.3 ), si ottiene

p(E) =N

j =1p(E Aj ) =

N

j =1p(A j ) p(E |Aj ) . (3.5)

Ora, riprendendo la legge fondamentale delle probabilit condizionate(3.3 ), ne ricaviamo

p(A i |E) =p(A i ) p(E |Ai )p(E)

e, sostituendovi la ( 3.5 ), si giunge alla

p(A i |E) =p(A i ) p(E |Ai )

j p(A j ) p(E |Aj )(3.6)

Lequazione (3.6 ) nota con il nome di teorema di Bayes , e viene spesso usatanel calcolo delle probabilit; talvolta anche, come adesso vedremo, quando le

Aj non siano tanto eventi casuali in senso stretto, quanto piuttosto ipotesi dadiscutere per capire se esse siano o meno rispondenti alla realt.

Facendo un esempio concreto, si abbiano due monete: una buona, chepresenti come risultato la testa e la croce con uguale probabilit (dunque paria 0 .5); ed una cattiva, con due teste sulle due facce. Inizialmente si sceglieuna delle due monete; quindi avremo due eventualit mutuamente esclusive:A1 ( stata scelta la moneta buona) e A2 ( stata scelta la moneta cattiva)con probabilit rispettive p(A 1 ) =p(A 2 ) =0.5. Se levento casuale E consistenelluscita di una testa, ovviamente p(E |A1 ) =0 .5 e P(E |A2 ) =1.


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Se ora facciamo un esperimento, lanciando la moneta una volta e otte-nendo una testa, quale la probabilit che nelleffettuare la scelta iniziale sisia presa quella buona? La risposta data dal teorema di Bayes, da cui siottiene:

p(A 1 |E) =p(A 1 ) p(E |A1 )

p(A 1 ) p(E |A1 ) +p(A 2 ) p(E |A2 )

=0 .5 0 .5

0 .5 0 .5 +0 .5 1

=0 .250 .75

= 13 .Ovviamente, se si volesse progettare un esperimento reale, sarebbe meglio

associarlo al lanciare la moneta N volte (con N > 1): o si ottiene almenouna croce, ed allora sicuramente vera A1 ; o, invece, si presenta levento E consistente nellottenere N teste in N lanci. In questultimo caso, p(E |A2 ) =1e p(E |A1 ) =1/ 2N se i lanci sono indipendenti tra loro; utilizzando ancoralequazione (3.6 ), si ricava che la probabilit di aver scelto la moneta buona,p(A 1 ) , data da 1 /( 1 +2N ) e di conseguenza p(A 2 ) =2N /( 1 +2N ) laprobabilit che si sia scelta la moneta cattiva.

Qui il teorema di Bayes viene utilizzato per vericare una ipotesi statistica : ovvero per calcolare la probabilit che luna o laltra di un insieme dicondizioni Aj che si escludono a vicenda sia vera, sulla base di osservazionisperimentali riassunte dal vericarsi di E ; ma questo ci risulta possibile soloperch si conoscono a priori le probabilit di tutte le condizioni stesse p(A j ) .

Se, viceversa, queste non sono note, la (3.6 ) ci d ancora la probabilitche sia vera luna o laltra delle ipotesi Aj se sappiamo che si vericata lacondizione sperimentale E ; ma essa non si pu ovviamente calcolare, a menodi fare opportune ipotesi sui valori delle p(A j ) : ad esempio assumendoletutte uguali, il che chiaramente arbitrario. Per essere pi specici, non

potremmo servirci di un esperimento analogo a quelli delineati e del teoremadi Bayes per calcolare la probabilit che una particolare moneta da 1 euroricevuta in resto sia o non sia buona: a meno di non conoscere a priorip(A 1 ) e p(A 2 ) , le probabilit che una moneta da 1 euro scelta a caso tra tuttequelle circolanti nella nostra zona sia buona o cattiva.


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3.4 - Definizione assiomatica della probabilit 27

3.4 Denizione assiomatica della probabilit

Per completezza, accenniamo inne alla cosiddetta denizione assiomatica della probabilit 4 , che matematicamente consistente:

Sia Slinsieme di tutti i possibili risultati di un fenomeno casuale,ed E un qualsiasi evento casuale denito su S(ossia un qualsiasi sottoinsieme E S). Si denisce come probabilit di E un numero,p(E) , associato univocamente allevento stesso, che soddis alleseguenti tre propriet:

1. p(E) 0 per ogni E ;2. p( S) =1;3. p(E 1E 2 ) =p(E 1 ) +p(E 2 ) + per qualsiasi insieme

di eventi E 1 , E 2 , . . . , in numero nito od innito e a due a duesenza alcun elemento in comune (ossia tali che E i E j =per ogni i j ).

Questa denizione, pur matematicamente consistente 5 , non dice nulla sucome assegnare dei valori alla probabilit; tuttavia su tali valori si possonofare delle ipotesi, vericabili poi analizzando gli eventi reali osservati.

3.4.1 Le leggi della probabilit e la denizione assiomaticaDalla denizione assiomatica possibile ricavare, come abbiamo gi prima

accennato, le stesse leggi cui siamo giunti a partire dalla denizione empirica.Infatti:

Essendo S=S, la propriet 3 (applicabile perch S=) implicap( S) +p() =p( S) ; da cui ricaviamo, vista la propriet 2 ,

p(

) =0 .

Se A B, essendo in questo caso A = B A B , applicando lapropriet 3 (il che lecito dato che B

A

B

=) si ottiene p(A)

=p(B) +p A B ; e, vista la propriet 1 ,A

B

p(A) p(B) .4 Questa denizione dovuta alleminente matematico russo Andrei Nikolaevich Kolmo-

gorov; vissuto dal 1903 al 1987, si occup principalmente di statistica e di topologia. Fuenunciata nel suo libro del 1933 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung .

5 Volendo essere del tutto rigorosi, questa denizione risulta valida solo se linsieme deipossibili risultati composto da un numero nito o da uninnit numerabile di elementi;la reale denizione assiomatica della probabilit leggermente differente (ed ancora piastratta).


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Dati due insiemi A e B, visto che qualunque essi siano valgono leseguenti identit:

A =(A B)A BB =(A B)A B

(A B) =(A B)A B A B

e applicando a queste tre relazioni (dopo aver vericato che gli insiemi asecondo membro sono tutti disgiunti) la propriet 3 e sommando e sot-traendo opportunamente i risultati, si ottiene la legge della probabilit totale nella sua forma pi generale:

p(A

B) =p(A) +p(B) p(A B) .Denendo poi p(E |A) (con p(A) =0) come

p(E |A) =p(E A)

p(A), (3.7)

facile riconoscere che anche essa rappresenta una probabilit: essendop(E A) 0 e p(A) > 0, p(E |A) soddisfa alla propriet 1; essendo SA =A,p( S|A) = p(A)/p(A) = 1, e p(E |A) soddisfa alla propriet 2; inne, seE

1, E

2, . . . sono insiemi a due a due disgiunti,

p(E 1E 2 |A) =p[(E 1E 2 ) A]

p(A)

=p[(E 1 A) (E 2 A) ]

p(A)

=p(E 1 A)

p(A) +p(E 2 A)

p(A) +

=p(E 1 |A) +p(E 2 |A) + e p(E |A) soddisfa anche alla propriet 3. Dalla (3.7 ) si ottiene inne la leggedella probabilit composta nella sua forma pi generale,

p(A B) = p(A |B) p(B) = p(B |A) p(A) .

3.5 La convergenza statistica

Difetto della denizione empirica di probabilit, oltre a quello di essere basata su di un esperimento, quello di presupporre a priori una convergenza


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3.5 - La convergenza statistica 29

della frequenza relativa f , al crescere di N , verso un valore ben denito:valore che si assume poi come probabilit dellevento.

Qualora si assuma come denizione di probabilit quella assiomatica, effettivamente possibile dimostrare (come vedremo pi avanti nel paragrafo5.6, ed in particolare nel sottoparagrafo 5.6.3) come, al crescere del numerodi prove, la frequenza relativa di un qualunque evento casuale converga versola probabilit dellevento stesso.

tuttavia assai importante sottolineare come questa legge ( legge dei grandi numeri , o teorema di Bernoulli ) non implichi una convergenza esattanel senso dellanalisi: non implichi cio che, scelto un qualunque numeropositivo , sia possibile determinare in conseguenza un intero M tale che, se

si effettuano N prove, per ogni N > M risulti sicuramente |f(E) p(E) | < .Si pensi in proposito alla chiara impossibilit di ssare un numero M tale che,quando si lanci un dado pi di M volte, si sia certi di ottenere almeno un sei:al crescere di M crescer la probabilit del vericarsi di questo evento, manon si potr mai raggiungere la certezza.

Nella legge dei grandi numeri il concetto di convergenza va inteso invece insenso statistico (o debole , o stocastico ); si dice che allaumentare del numero diprove N una grandezza x tende statisticamente al limite X quando, scelta unaqualsiasi coppia di numeri positivi e , si pu in conseguenza determinareun numero intero M tale che, se si effettua un numero di prove N maggioredi M , la probabilit che x differisca da X per pi di risulti minore di .Indicando col simbolo Pr (E) la probabilit di un evento E , la denizione diconvergenza statistica

, > 0 M : N > M Pr |x X | . (3.8)

Nel paragrafo 5.6 vedremo che, dato un qualunque evento casuale E aventeprobabilit Pr (E) di manifestarsi, si pu dimostrare che la sua frequenzarelativa f(E) su N prove converge statisticamente a Pr (E) allaumentare diN ; o, in altre parole, come aumentando il numero di prove si possa renderetanto improbabile quanto si vuole che la frequenza relativa e la probabilit di

un qualunque evento casuale E differiscano pi di una quantit pressata.


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Capitolo 4

Elaborazione dei dati

In questo capitolo si discute dellorganizzazione da dare ai dati sperimen-tali, e su come si possano da essi ricavare quantit signicative.

4.1 Istogrammi

Una volta che si disponga di un insieme di pi misure della stessa gran-dezza sica (nella statistica si parla in genere di un campione di misure), opportuno cercare di organizzarle in modo che il loro signicato risulti a col-po docchio evidente; la maniera pi consueta di rappresentare gracamentele misure quella di disporle in un istogramma .

Essendovi una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali ed i punti diuna retta orientata, ognuna delle nostre misure pu essere rappresentata su diessa da un punto; listogramma un particolare tipo di diagramma cartesianoin cui lasse delle ascisse dedicato a tale rappresentazione. Tuttavia facilerendersi conto del fatto che non tutti i valori della variabile sono in realtpermessi, perch gli strumenti forniscono per loro natura un insieme discretodi valori essendo limitati ad un numero nito di cifre signicative.

Conviene allora mettere in evidenza sullasse delle ascisse tutti i possibilivalori che possono essere ottenuti da una misura reale; cio punti separati daun intervallo che corrisponde alla cifra signicativa pi bassa dello strumento,o comunque alla pi piccola differenza apprezzabile con esso se lultima cifradeve essere stimata dallosservatore (ad esempio il decimo di grado stimatoad occhio su un goniometro avente scala al mezzo grado).

Nelle ordinate del diagramma si rappresenta poi la frequenza assoluta con

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32 Capitolo 4 - Elaborazione dei dati

la quale i diversi valori si sono presentati; questo si fa associando ad ognuna

delle misure un rettangolo avente area unitaria, che viene riportato con la base al di sopra dellintervallo appropriato ogni volta che uno dei possibilivalori stato ottenuto.

Nel caso consueto in cui lasse delle ascisse venga diviso in intervalliaventi tutti la stessa ampiezza, tutti que

Teoria Degli Errori e Fondamenti Di Statistica (M. Loreti Dic 2010)

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