Teoremi sulle funzioni derivabili

prof. G. Surace

Roma, 19 Febbraio 2009

1 Il teorema di Rolle

Teorema 1 (di Rolle). Se una funzione f(x) e continua e derivabile in un in-tervallo chiuso [a, b] e se i valori della funzione sono uguali all’estremo dell’intervallo,cioe f(a) = f(b), allora ci sara almeno un punto x = c all’interno dell’intervalloin cui la derivata della funzione si annulla, cioe f ′(c) = 0.

Proof : primo passo: prima di passare alla dimostrazione analitica del teo-rema cerchiamo, innanzitutto, di individuare le ipotesi e la tesi del teorema.Le ipotesi sono sostanzialmente tre:

1. f(x) continua in [a, b];

2. f(x) derivabile in [a, b];

3. f(a) = f(b)

La tesi da dimostrare e che esite almeno un punto x = c al’interno dell’intervallo[a, b] tale che f ′(c) = 0.Secondo passo: cerchiamo di dare una interpretazione geometrica del teoremache ci aiuti ad apprezzarne la sua essenza.

Il teorema di Rolle ha un semplice significato geometrico. Per ipotesi, in-fatti, f(a) = f(b), cioe le ordinate della curva y = f(x) corrispondenti agliestremi dell’intervallo [a, b] sono uguali ed inoltre all’interno di questo inter-vallo la derivata di f(x) esiste, cioe la curva e dotata di tangente in ogni suopunto. Il teorema di Rolle afferma che all’interno di questo intervalo vi ealmeno un punto in cui la derivata si annulla, in cui cioe la tangente allacurva e parallela all’asse x (vedi figura 1).Terzo passo: la dimostrazione analitica di questo teorema affonda le basi nelnoto (!) teorema di Weierstrass. Infatti, in base al teorema di Weierstrass unafunzione continua in un intervallo [a, b] ammette massimo, M , e minimo, m.Distinguiamo allora due casi:

• m = M , cioe massimo e minimo coincidono, ovvero la funzione f(x) ecostante in [a, b]. Tuttavia, se una funzione f(x) e costante allora la suaderivata sara nulla. Questo significa che non vi sara un unico punto in cuila derivata si annulla bensı essa si annullera in tutti i punti dell’intervallo[a, b], quindi anche per x = c. Il teorema e, in questo caso, dimostrato.

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(a) a)Funzione f(x) con f(a) = f(b) ed un punto x = c tale che f ′(c) = 0; b)Funzione f(x) costante nell’intervalloin (a, b) [a)Funzione f(x) con f(a) = f(b) e piu punti in cui si annulla la derivata

(b) d)Funzione discontinua per x = c; e)Funzione non derivabile per x = c (punto angoloso); f) funzione conf(a) 6= f(b)

Figure 1: Interpretazione geometrica del Teorema di Rolle

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• se m < M , poiche f(a) = f(b), questo significa che la funzione deve as-sumere un valore minimo o massimo all’interno dell’intervallo [a, b]. Sup-poniamo sia il punto x = c il punto in cui la funzione assume un massimo.Questo significa che in un intorno sinistro di x = c la funzione e crescentementre nell’intorno destro di x = c la funzione e decrescente. Per x = csuccede proprio che f ′(c) = 0. Questo dimostra il teorema. (c.v.d).

1.0.1 Remarks

1. All’interno dell’intervallo [a, b] possono essere presenti piu punti in cui siannulla la derivata (vedi figura 1c))

2. se cade una delle tre ipotesi del teorema esso non risulta piu valido: inparticolare se f(x) risulta discontinua in [a, b], la funzione potrebbe nonvere max o minimi in base al teorema di Weiestrass e quindi in nessunpunto dell’ intervallo la tangente alla curva potrebbe risultare parallelaall’asse x (vedi Figura 1 d)); se f(x) risulta non derivabile in [a, b] potrebbecapitare che in nessun punto dell’intervallo la tangente alla curva si disponeparallelamente all’asse x (vedi 1 e)); stessa cosa potrebbe accadere se f(x)risulta continua e derivabile in [a, b] ma f(a) 6= f(b) (vedi 1 f)).

3. il teorema di Rolle esprime una condizione sufficiente (ma non nec-essaria) affinche all’interno di un intervallo chiuso e limitato vi sia almenoun punto in cui la derivata si annulla.Di fatti potrebbere esserci un punto stazionario (cioe in cui si annulla laderivata) anche se mancano le ipotesi del teorema di Rolle.

4. Esercizio: stabilire se la funzione f(x) = 1 − 3√

x2 verifica il teorema diRolle nell’intervallo [−1, +1].

2 Teorema di Lagrange

3 Teorema di Cauchy

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