Teorema Di Gauss
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7/21/2019 Teorema Di Gauss
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Il concetto di flusso di un vettore attraverso una
superficie
v
Dato un campo di flusso (per esempio un campo di velocit, un campo
elettrico etc..), una superficie immersa nel campo pu essererappresentata con un vettore perpendicolare ad essa nel suo centro ed
uscente (che significa uscente?)
Sv
S
Si definisce flusso del vettore v attraverso la superficie S il prodotto scalare del
vettore v per il vettore S
(v)v!SvScos Il flusso dipende da
v, S e da
Se v ed S hanno la
stessa dire"ione il
prodotto scalare
diventa un prodottonormale.
Se # $%& il flusso
attraverso la
superficie S # nullo.
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'lusso attraverso una superficie chiusa
el caso di un campo uniforme, il
numero delle linee di campo entranti #
lo stesso di uelle uscenti.
Il flusso totale nullo
el caso in cui c*# una
sorgente che crea linee di
campo, il numero delle
linee di campo uscenti #
maggiore di uelle entranti.
Il flusso totale
diverso da zero.
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Il fusso del campo elettrico attraversouna supercie chiusa uguale alla
somma delle cariche racchiuse divisola costante dielettrica.
%
)(=
QES
'ai clic per
ini"iare econtinuare
Il +eorema di auss # utile per il calcolo dei
campi elettrici di distri-u"ioni di cariche conparticolari simmetrie. asta individuare il tipo di
simmetria e la corrispondente superficie
gaussiana attraverso cui calcolare il flusso del
campo.
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Distribuzione dicarica
Simmetria Propriet dellospazio
Superficie gaussiana Campo elettricorisultante
Carica puntiforme Q Sferica Isotropia Superficie sferica con
centro in Q
E=Q!r"
Densit di caricasuperficiale # su un
piano
Piana $mogeneit Superficie cilindricacon asse
perpendicolare al
piano
E=#!0
Densit di caricalineare % su una retta
Cilindrica Isotropia Superficie cilindricacon asse il filo di
caric&e
E=%!"'0r
Sfera di caric&e condensit di carica
volumica (
Sferica Isotropia Superficie sfericaconcentrica con la
sfera di caric&e
E=)Q!*'0R3]r rR
Superficie sferica di
caric&e
Sferica Isotropia Superficie sferica
concentrica con la
sfera di caric&e
E=+ r,-
E=Q!*'+r" r/-
Condensatore piano c
arico
Piana $mogeneit 0n cilindro con una
base parallelaesterna all1armatura
e una base interna.
E=#!0
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/arica puntiforme
E
E
E
E
Q
S1
S2
La simmetria dello spazio
sferica
Scegliamo come superficie
gaussiana una sfera di centro la
carica Q
Dividiamo la superficie della
sfera in porzioni
rappresentati dai vettori
S1,S2..Per simmetria il
campo elettrico E costante
sullintera superficie.Si &a2
0
%%
0
01012
12)..(....)(
r
QE
QrESSSEESESESE nnS
===+++=+++=
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3iano di cariche
3a simmetria dello spazio
piana.
Scegliamo come superficie
gaussiana una superficie cilindrica
con asse perpendicolare al piano
Il vettore 4 # perpendicolare
al piano di cariche di densit
superficiale sigma e uindi il
flusso di 4 attraverso ogni
piano di -ase del cilindro #
4!S
S
4
S
4
4
S
mentre nullo
attraverso la superficie
laterale
%%% 0
0)(
==== ESQ
ESES
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5inea retta di cariche3a simmetria
cilindrica
5a superficie gaussiana #
un cilindro con asse la
linea di carica.
Il campo 4 ha dire"ione
perpendicolare alla linea
di cariche
Il flusso attraverso le -asi
# nullo.
Il flusso totale # uelloattraverso la superficie
laterale.
4
S
4
S
rE
lQlrEES
%%% 0
!!0!)(
====
-
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r
Sfera piena di cariche
6
6
2R
Q
=
3a simmetria sferica.
5a superficie gaussiana # una
superficie sferica concentrica
di raggio r.
7
rR
Q
r
r
R
Q
r
rE
rqEqrEES
6
%
0
%
6
6
0
%
6
0
%%
0
22
6
2
6
2
2
6
2
22!)(
===
===
Il campo elettrico all*interno della
sfera # propor"ionale ad r. 3er r7
si riottiene l*espressione delcampo elettrico di una carica 8.
r7
4
Se faccio un buco lungo tutto il diametro di una sfera carica positivamente4
5uale sar il moto di una carica negativa lasciata ad una uscita del buco6
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r
Superficie sferica conduttrice carica
%%2)(% 0
==== EErEq S
3a simmetria sferica.
5a superficie gaussiana # una
sfera.
Se il raggio della
superficie gaussiana # r97Se il raggio della superficie
gaussiana # r:7
0%%
0
2
12)(
r
QE
QErES
===
7
r
r
4
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/ondensatore piano carico;n condensatore # costituito da due
armature metalliche piane e parallele.
3a simmetria piana
3rendiamo come superficie
gaussiana un cilindro conuna -ase parallela esterna
all*armatura e una -ase
interna.
Il flusso del campo # nullo
attraverso la -ase nell*armatura e
attraverso la superficie laterale.
Il flusso totale # dato da
uello del campo elettrico
attraverso la -ase posta tra le
armature.
S 4
%%%
!)(
==== E
SQSEES
