Spettro di densità di potenza e rumore...

Telecomunicazioni per l’Aerospazio

P. Lombardo – DIET, Univ. di Roma “La Sapienza” Spettro di densità di Potenza- 1

Spettro di densità di potenzae rumore termico



Proprietà spettrali: Trasformata di Fourier

dtetsfS ftj 2

TRASFORMATA DI FOURIER

dfefSts ftj 2

ANTI-TRASFORMATA DI FOURIER

esistefXdttx

)(|)(| 2Condizione per l’esistenza della Trasformata

di Fourier: segnale quadraticamente sommabile (segnale di energia).

Esiste la Trasformata di Fourier per segnali di potenza?

- Per alcuni esiste! In senso limite



TRASFORMATA DI FOURIER dell’IMPULSO



Richiamo impulso matematico• Definita dalle due equazioni:

(t)=0, t0

(t)dt=1

• Alternativamente definita come una funzione limite (t)=lim0 (1/T)rectT(t)

0

(t)

0

(t)

Quale è la trasformata di Fourier di un segnale di tipo delta di Dirac?

1sinlim)(1lim00

fT

fTttrectT

tTTT

Y

La trasformata di Fourier di un impulso di Dirac è una costante quindi per dualità la trasformata di una costante è un impulso di Dirac

ftsts Y11. Segnale costante è un segnale di potenza: impulso di Dirac consente di estendere anche a segnali di

potenza il concetto di trasformata in senso limite;

2. Impulso di Dirac modello teorico: nella realtà non è possibile generare una tale forma d’onda (Dirac modella un impulso estremamente stretto).



Trasformata di Fourier di segnale sinusoidale

)(2

)(2

22

)21

21(

2cos

00

)(2)(2

222

20

2

00

00

ffeAffeA

dteeAdteeA

dteeeA

dtetfAdtetsfS

jj

tffjjtffjj

ftjtfjtfj

ftjftj

)( fS

f

0f0f

2A

2A

•Spettro segnale: unico contributo a frequenza f0.



Trasformata di Fourier di segnali periodiciE’ possibile calcolare la TDF di un segnale periodico? Sfruttando la sua scritturain serie di Fourier, é possibile, e molto semplice:

La TDF di un segnale periodico é una sequenza di impulsi di Dirac, spaziati dimultipli della frequenza fondamentale (f0=1/T0), con pesi pari ai coefficienti dellaserie di Fourier:

Segnali periodici nel tempo TDF Sequenze (di impulsi) in frequenza



Segnali periodici: Spettro di densità di Energia?

Sappiamo che per segnali di energia lo Spettro di Densità di Energia è dato da

2fS

L’Energia totale è data da

dffSE 2

Ovviamente ciò non si può scrivere per segnali di potenza, anche ove esista Trasformata di Fourier in senso limite

(quadrato di delta di Dirac ed energia = integrale del quadrato andrebbe ancora ad infinito

… !!!!)



Spettro di densità di Potenza (I)

Lo spettro di densità di potenza di un segnale di potenza descrive la distribuzione della potenza del segnale nel dominio della frequenza.

Segnale x(t) con potenza Px il suo spettro di densità di potenza Sx(f) è una funzione della frequenza che soddisfa le seguenti proprietà:

1. L’integrale di Sx(f) esteso a tutto l’asse delle frequenze è pari alla potenza del segnale.

2. La funzione Sx(f) è pari al rapporto tra la potenza del segnale contenuta nell’intervallo [f, f+f] e la larghezza dell’intervallo f quando la larghezza dell’intervallo tende a zero.

xx PdffS

f

fffPfS x

fx

,lim0



Spettro di densità di Potenza (II)

E’ possibile dimostrare che lo spettro di densità di potenza è pari alla trasformata di Fourier dell’autocorrelazione del segnale.

xx RfS Y

2

2

*1limT

TTx dttxtxT

R

Dove:



Spettro di densità di potenza: esempi• Segnale costante

• Segnale sinusoidale

fKfSfKfXKtx x 2&)()(

0

2

0

2

0

000

442cos

2

22)(2cos)(

2

ffAffAfSfAR

ffeAffeAfXtfAtx

xx

jj

222

2

*2

2

* lim1lim1lim KKdtKKT

dttxtxT

RT

T

TT

T

TTx

0

22

2 000

2

2

2 00

2

2

*

2cos2

224cos2cos2

lim

)(2cos2cos1lim1lim

fAdtftffT

A

dttfAtfAT

dttxtxT

R

T

TT

T

TT

T

TTx



Densità spettrale di potenza per segnali periodici

-La densità spettrale di potenza di un segnale x(t) periodico di periodo T0 è definita come:

Dove gli Xk sono i coefficienti dell’espansione in serie di Fourier.Infatti...

e quindi filtrando passa-banda x(t) intorno a kf0 si estrae solo la cuipotenza vale (potenza di un esponenziale complesso = potenza di una costante)



Esempi – Spettro di densità di potenza

La somma di due segnali periodici senza righe nella stessa frequenza ha unapotenza data dalla somma delle potenze



Segnali periodici: treno di impulsi

Un treno di impulsi di ampiezza unitaria, spaziati di T0 costituiscono un particolaresegnale periodico

La TDF del segnale base é la costante unitaria:



Filtri e Spettro di densità di Potenza

Cosa accade allo spettro di densità di potenza di un segnale quando il segnale transita attraverso un filtro?

Sx(f)H(f)

Sy(f)=?

x(t) y(t)

fSfHfS xy 2



• Qualsiasi conduttore con resistenza R0 a temperatura T superiore allo zero assoluto presenta ai suoi capi una tensione aleatoria dovuta all’agitazione termica degli elettroni la “tensione di rumore” ha ddp gaussiana con valor medio nullo e varianza pari

K: costante di Boltzmann (1.3810-23 J/K);

R: valore resistenza (Ohm);

T: valore temperatura (Kelvin);

B: banda monolatera (Hz)

kTRBn 42

• Circuito equivalente di un resistore reale: generatore di tensione con valore n in serie ad un resistore ideale (non rumoroso)R

+

-n R

•generatore connesso carico R’;

•condizione di massimo trasferimento di potenza (R’=R);

kTBR

RRR

P nn

4'

'

22 Potenza trasferita sulla banda B

• Lo spettro di densità di potenza disponibile del rumore termico è indipendente dalla frequenza (rumore bianco: approx valida fino a 104 GHz quindi su tutte le bande usate nei radar)

)/(2

)( HzWkTfSn Spettro di densità di potenza bilatero

Rumore Termico



Tempo

Volts

Contatore

Volts

Statistica rumore

Cosa vuol dire che il rumore ha una densità di probabilità gaussiana?

Realizzazione rumoreIstogramma



• Spettro di densità di potenza uniforme in frequenza;• Autocorrelazione pari a un impulso delta di Dirac

Autocorrelazione del rumoreCosa vuol dire che il rumore è bianco?

Autocorrelazione è relativa alla predicibilità nel tempo: dato il valore del rumore all’istante t1 quanto è predicibile il

valore del rumore all’istante t1+?

(secondi)

Rxx

0

Rumore bianco: disturbo a banda larga il rumore varia molto rapidamente:

dal valore di rumore ad un certo istante t1 non è possibile predire il valore di rumore all’istante

t1+.

tempo

Volts



• Il segnale varia molto rapidamente;• Rumore bianco: buona approssimazione della realtà;• Filtraggio rumore bianco: introduce correlazione.

.5N0() .5N0

f

Sn(f)Rn()

Sn(f)=.5N0 .5N0|H(f)|2H(f)

Rumore bianco e Filtraggio Dominio del tempo Dominio della frequenza

Spettro densità di potenza rumore bianco in ingresso al filtro.

Spettro densità di potenza rumore in uscita dal filtro.



• La figura di rumore F (Noise Figure) caratterizza la rumorosità di un dispositivo o di un sottosistema: in particolare misura la degradazione del rapporto segnale/rumore tra ingresso e uscita dovuta all’aggiunta del rumore generato dal dispositivo

Psi: potenza segnale utile in ingresso;

Pni: potenza rumore in ingresso;

Pso: potenza segnale utile in uscita;

Pno: potenza rumore in uscita;noso

nisi

PPPPF

FIGURA DI RUMORE

• Figura di rumore definita con riferimento ad una specifica condizione in ingresso: resistore adattato a temperatura T0=290K:

Psi

Pni=kT0B

Pso=GPsi

Pno=GPni+P0

BGkTP

PP

PP

F no

ni

no

so

si

0

1

• Figura di rumore sempre 1;

• Dispositivi ideali (non rumorosi: Pno) F=1;

Pno=(F-1)GkT0B

Pno=GkT0B+ (F-1)GkT0B=FGkT0B

Banda B

Guadagno G

Figura di rumore F

Psi Pso=GPsi

Pni=kT0B Pno=GPni+Pno

Banda B

Guadagno G

Sistema ideale (F=1)

Psi Pso=GPsi

Pni=kT0B Pno=FGPni+

Pno/G=(F-1)kT0B•Il dispositivo rumoroso è equivalente ad un dispositivo non rumoroso con in ingresso una sorgente a temperatura FT0 anziché T0.

Figura di Rumore



• La temperatura equivalente di rumore TE (descrizione alternativa ad F) caratterizza la rumorosità di un dispositivo o di un sottosistema: è la temperatura di un resistore adattato che, posto all’ingresso del dispositivo in esame assunto ideale, è in grado di produrre una potenza in uscita pari a Pno.

Pno=GkTEB TE= Pno/GkB

• La relazione con la figura di rumore è data da TE=(F-1)T0

Per un dispositivo ideale (non rumoroso) si ha TE=0.

Banda B & Guadagno G

Sistema ideale

(F=1 & TE=0)

Psi Pso=GPsi

Pni=kTsB Pno+

Pno/G=(F-1)kT0B=kTEB

• Se in ingresso al dispositivo sorgente a temperatura Ts:

sE

i

s

i

no

so

Essnonino

TTSNR

TTFSNR

PP

SNR

BTTGkBkTFBGkTPGPP

1)1(1

)()1(

00

0

Temperatura Equivalente di Rumore



Rumore termico (IV)Rumore prodotto da un attenuatore

• Linee di trasmissione, giunti, giunti rotanti, duplexer sono attenuatori: se l’attenuatore è alla temperatura fisica Tp ed è caratterizzato da un’attenuazione L (L=Psi/Pso, L>1)

)1(L

LBkTP pno

0

)1(1

)1(

TT

LF

TLT

p

pE

Banda B

Gudagno G=1/L

Attenuatore ideale (F=1)

Psi Pso=Psi/L

Pni+

Pno/G=kTpB(L-1)

Pno=Pni/L+kTpB(L-1)/L

Se Tp=T0 F=L: un attenuatore puro per Tp=T0 è trasparente al rumore cioè vede in ingresso e in uscita lo stesso rumore.



Rumore termico (V)Sottosistemi in cascata

Banda B & Guadagno G1

Sistema 1 ideale

Psi Pso=G1Psi

Pni=kTsB+

Pn1=kTE1B


Sistema 2 ideale

Pso=G1G2Psi

Pno+

Pn2=kTE2B

Banda B

Guadagno G1G2

Sistema equivalente ideale

Psi Pso=G1G2Psi

Pni=kTsB+

Pno/G1G2=kTEB

Pno=G1G2k(Ts+TE)B


Figura di rumore F1

Temp. di rumore TE1

Psi

Pni=kTsB

Pso

Pno


Figura di rumore F2

Temp. di rumore TE2

Sistema 1 Sistema 2



Rumore termico (VI)

1

21 G

TTT E

EE 1

21

0

11

GF

FTT

F E

Generalizzando al caso di N sottosistemi in cascata:

12121

3

1

21 ...

...

N

NEEEEE GGG

TGG

TGT

TT

12121

3

1

21 ...

1...

11

N

N

GGGF

GGF

GFFF

Per sottosistemi in cascata il primo stadio è l’elemento critico: per contenere la rumorosità globale il primo stadio deve assere a bassa cifra di rumore e ad elevato guadagno.

BTTkGGGGP

PGGP

BGT

TTkGGP

Esno

nino

EEsno

)()(

)(

2121

21

1

2121



ESEMPIO: Valutazione temperatura di rumore di sistema

Tin=50 K

TRF=50 K GRF=23 dB

Tm=500 K Gm=-10 dB

TIF=1000 K GIF=30 dB

Ts=50+50+500/200+1000/20=152.5 K

Caratterizzazione rumore

Spettro di densità di potenza e rumore...

Documents

Transcript of Spettro di densità di potenza e rumore...