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Telecomunicazioni per l’Aerospazio

P. Lombardo – DIET, Univ. di Roma “La Sapienza” Filtri - 1

Filtri



L’impulso: definizioneL’impulso (detto anche delta di Dirac) può essere definito (tralasciando ilrigore matematico) come un rettangolo di base T e altezza 1/T quando Ttende a zero:

L’impulso e’ dunque un segnale localizzato nell’origine con baseinfinitesima, ampiezza infinita, ma area (integrale) unitaria:



L’impulso: proprietà- Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso e’ uguale al valore del segnale in t=0 per l’impulso stesso

- Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di e’ uguale al valore del segnale in t=per l’impulso stesso:

x(t)t x()t - L’integrale di un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di e’

uguale al valore del segnale in t=:



Rappresentazione grafica dell’impulso



PROPRIETA’ CAMPIONATRICE dell’IMPULSO



Definizione di sistema

Un sistema e’ un dispositivo che modifica un segnale x(t), detto ingresso, generando il segnale y(t), detto uscita.

In termini analitici il sistema si rappresenta per mezzo di un generico operatore matematico indicato con O[.]. che trasforma il segnale d’ingresso x(t):

Il risultato delle operazioni matematiche eseguite sull’ingresso e’ il segnale d’uscita y(t).



Sistemi Lineari

Lineare:

quando l’uscita generata dalla combinazione lineare di due o piu’ ingressi e’ uguale alla combinazione lineare delle uscite che sarebbero state generate separatamente dai singoli ingressi.



Sistemi Tempo-Invarianti

Tempo Invariante (o “permanente”): quando l’uscita generata da un segnale ritardato e’ uguale all’uscita generata dal segnale originale, ritardata della stessa quantità.



Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI)

Sistemi LTI: sistemi che sono allo stesso tempo Lineari e Tempo – Invarianti

Sistemi Lineari

Sistemi Tempo-Invarianti

Sistemi LTI



Risposta ImpulsivaRisposta Impulsiva: e’ l’uscita del sistema quando l’ingresso e’ l’impulso.Usualmente indicata con il simbolo h(t)

Se il sistema e’ tempo-invariante (permanente), la forma della risposta impulsiva non dipende dall’istante in cui si applica l’impulso. Quando l’ingresso e’ un impulso anticipato o ritardato l’uscita e’ uguale ad h(t) anticipata o ritardata:

Se il sistema e’ anche lineare, nota la risposta impulsiva e’ possibile calcolare l’uscita del sistema quando l’ingresso e’ una qualsiasi combinazione lineare d’impulsi:



Segnale come combinazione lineare di impulsi

Un qualsiasi segnale x(t) puo’ essere rappresentato come somma integrale di impulsi:



ConvoluzioneRicordando che:

a) Nota la risposta all’impulso, e’ possibile calcolare l’uscita di un sistema LTIquando l’ingresso e’ una qualsiasi combinazione lineare d’impulsi

b) Un qualsiasi segnale x(t) puo’ essere rappresentato come somma integrale di impulsi

Ne segue che:

* = simbolo della convoluzioneuscita = convoluzione tra ingresso e risposta all’impulso del sistema LTI

integrale di convoluzione (o semplicemente convoluzione)



Calcolo dell’integrale di convoluzione

e’ il prodotto tra il segnale x() e la risposta all’impulso h() ribaltata intraslata di t (verso destra se t >0, verso sinistra se t <0)

L’ integrando



Esempi di calcolo della convoluzione (I)



Esempi di calcolo della convoluzione (II)



Esempi di calcolo della convoluzione (III)



Proprietà della convoluzione

Dalla definizione di sistemi LTI si deducono le seguenti proprietà dellaconvoluzione:



Sistemi L.T.I. causali (I)

Definizione:Un sistema L.T.I. è detto causale se l’uscita y(t) per un t=t, dipende dai valori dell’ingresso x(t) solo per valori della variabile tt.

La condizione di causalità è molto importante se la variabile indipendente è il tempo: in questo caso un sistema fisico deve essere causale. Se ciò non fosse infatti il sistema sarebbe in grado di predire il futuro.

Condizione da rispettare per garantire la causalità:



Sistemi L.T.I. causali (II)

Talvolta si utilizzano risposte impulsive del tipo:

Questa risposta impulsiva non è causale: puo’ essere resa causale attraverso opportuni troncamenti (nel tempo, se h(t) si estende da - a +) e ritardi.

Utilizzare h(t) invece che h1(t) significa trascurare (cioe’ sottintendere) i ritardi necessari a rendere causale la risposta all’impulso.



Risposta in frequenza dei sistemi LTI (I)

Se il segnale d’ingresso di un sistema Lineare Tempo-Invariante (LTI) e’ un esponenziale complesso l’uscita sara’ ancora un esponenziale complesso con la stessa frequenza, ma con ampiezza e fase modificate.



Risposta in frequenza dei sistemi LTI (II)

L’ampiezza e la fase iniziale dell’uscita dipendono da H(f).

H(f): denominata Risposta in frequenza o Funzione di Trasferimento:

E’ la funzione della frequenza che descrive come vengono modificate ampiezza e fase di un esponenziale complesso quando passa attraverso un sistema LTI.



Funzione di trasferimento e Trasformata di Fourier

La risposta in frequenza H(f) e’ una funzione complessa della frequenza che dipende solo dalla risposta all’impulso del sistema h(t).

L’operatore che consente di ottenere la risposta in frequenza H(f) a partire dalla risposta all’impulso del sistema h(t), viene detto trasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier puo’ essere calcolata per un generico segnale x(t), non solo per la risposta all’impulso di un sistema LTI:



Segnali come somma di esponenziali complessi

La trasformata Inversa di Fourier

ha la seguente interpretazione:

un qualsiasi segnale x(t) puo’ essere scomposto nella somma (integrale) di esponenziali complessi le cui ampiezze (infinitesime) e fasi iniziali in funzione della frequenza sono date dalla trasformata di Fourier X(f) :



Risposta in frequenza di sistemi reali

Se il sistema LTI ha risposta all’impulso h(t) reale, la risposta in frequenza H(f) e’ una funzione con simmetria complessa coniugata: H(f) = H*(-f) (come si verifica facilmente dalla definizione di H(f)). Dunque il modulo di H(f) e’ pari (simmetrico rispetto all’origine) e la fase di H(f) e’ dispari (antisimmetrica rispetto all’origine).



Risposta in frequenza di sistemi reali (II)

Sistemi LTI: sistemi che sono allo stesso tempo Lineari e Tempo – Invarianti



Sistemi LTI: legame ingresso-uscita in frequenza- Se l’ingresso e’ un esponenziale complesso x(t) = A exp{ j 2f t } ,l’uscita e’ y(t)= H(f) A exp{ j 2f t }-Un generico segnale x(t) puo’ essere scomposto nella somma (integrale) di

esponenziali complessi (di ampiezza infinitesima) del tipo X(f) exp{ j 2f t } df

-L’uscita y(t) di un sistema LTI per un generico segnale d’ingresso x(t) e’ data dalla somma (integrale) di esponenziali complessi H(f) X(f) exp{ j 2f t } df

- L’uscita y(t), come tutti i segnali, puo’ essere scomposta nella somma di

esponenziali complessi del tipo Y(f) exp{ j 2f t } df

Quindi:

Questo risultato corrisponde ad una importante proprieta’ della trasformata di Fourier:

la trasformata della convoluzione y(t) = h(t)* x(t) e’ il prodotto delle trasformate Y( f )H( f )X ( f )



TRASFORMATA DI FOURIER dell’IMPULSO



• Risposta Impulsiva (dominio del tempo):– Uscita del filtro in risposta a un ingresso di tipo delta di Dirac;

• Risposta in frequenza – Funzione di trasferimento (dominio della frequenza)– Trasformata di Fourier della risposta impulsiva;– Risposta del filtro ad un ingresso esponenziale è pari allo stesso esponenziale pesato

da H(f0).

h(t)(t) y(t)=h(t)*(t)=h(t)

H(f)

LTI Filtro

Y(f)=H(f)1=H(f)

Y(f)=H(f0) ej2f0tej2f0t

x(t) X(f) y(t)=x(t)*h(t) Y(f)=X(f)H(f)

Sintesi – caratterizzazione filtri



Richiamo filtri ideali• Filtro passa-basso (LPF: Low Pass Filter)

• Filtro passa-alto (HPF: High Pass Filter)

• Filtro passa-banda (BPF: Band Pass Filter)

f

1

-B B

H(f)

f

1

-B B

H(f)

1

-B1 B1

H(f)

B2-B2

BfBf

fH01

BfBf

fH10

2

21

1

010

BfBfBBf

fH

Il filtro lascia passare inalterate le basse frequenze [0 B] ed elimina le alte frequenze.

Il filtro lascia passare inalterate le alte frequenze [B ) ed elimina le basse frequenze.

Il filtro lascia passare inalterate le frequenze nella banda passante [B1 B2] ed elimina le frequenze al di fuori di tale banda.



Tutti i segnali devono essere, in varia misura, “condizionati” dai filtri, prima di essere trasmessi, elaborati o registrati in forma analogica o digitale.

Durante e dopo l'amplificazione il filtro provvede a trattare il segnale con diversi scopi: Separare il segnale utile dal rumore Eliminare segnali non desiderati mescolati a quello utile Eliminare le frequenze in eccesso alla banda utile del segnale

biologico. Eliminare frequenze molto basse (anche la corrente continua)

Caratteristiche fondamentali dei filtriFrequenza di taglio ( -3dB, cutoff frequency)

La frequenza di taglio o di cutoff (-3dB) è la frequenza alla quale l'ampiezza del segnale in uscita dal filtro è ridotta a 0,7071 volte l'ampiezza del segnale in ingresso.

Filtri



Tipo di filtro (I)

Un filtro passa-basso (low-pass) elimina tutte le armoniche a frequenza alta e lascia passare quelle inferiori alla frequenza di taglio (cut frequency).

Un filtro passa-alto (high-pass) elimina le armoniche al di sotto della frequenza di taglio.



Un filtro passa-banda elimina le armoniche inferiori e superiori ad una determinata banda di frequenze.

Un filtro a reiezione di banda (notch) elimina solamente le armoniche all'interno di una determinata banda e lascia passare quelle esterne.

Tipo di filtro (II)



Ordine del filtro.

Un semplice filtro costituito da un condensatore e da un resistore è detto filtro di primo ordine. Mettendo in serie vari filtri di primo ordine, se ne costruiscono di ordine superiore. Più è elevato l'ordine del filtro e maggiore è l'eliminazione delle armoniche fuori banda. Nel filtro di primo ordine l'attenuazione del segnale oltre la frequenza di taglio aumenta di 6 dB/ottava, e cioè 20 dB/decade.

Struttura del filtro: Attivo, passivo, digitale.

I filtri attivi sono costruiti con resistori, condensatori ed amplificatori operazionali. I filtri passivi usano solamente resistori e condensatori (eventualmente anche induttori). I filtri attivi hanno il vantaggio di non costituire un carico significativo per la sorgente del segnale e di non attenuarlo. I filtri digitali sono implementati con del software: consistono in una serie di calcoli matematici che processano i dati.

Tipo di filtro (III)



Con i filtri attivi possono essere implementate diverse funzioni di trasferimento. I filtri più comuni sono:Ellittico, Cauer, Chebyshev, Bessel e Butterworth.Ciascuno di questi presenta caratteristiche particolari per quanto riguarda la forma della curva di risposta, il ritardo di fase e l'attenuazione fuori banda.

Tipo di filtro (IV)



Terminologia dei filtri.

Attenuazione

L'attenuazione è il reciproco del guadagno. Un'attenuazione di 10 corrisponde ad un guadagno di 0,1.

Banda passante (Pass Band )

La banda passante è la regione di frequenze al di sotto della frequenza di taglio.

Banda soppressa (Stop Band )

La banda soppressa è la regione di frequenze al di sopra della frequenza di taglio.

Spostamento di fase (Phase Shift )

Le fasi delle varie componenti sinusoidali del segnale di ingresso sono spostate dal filtro in varia misura dai vari tipi di filtro. I filtri che hanno piccoli spostamenti di fase producono piccole distorsioni nel segnale.

Tipo di filtro (V)



Ottava (octave )

Un'ottava è l'intervallo di frequenze in cui la frequenza più elevata è doppia della minore.

Decade (decade )

La decade è l'intervallo di frequenze in cui la frequenza più elevata è dieci volte la minore.

Tipo di filtro (VI)



Overshoot

Quando lo spostamento di fase nella banda passante non è linearmente dipendente dalla frequenza della componente sinusoidale il segnale filtrato presenta overshoot. In questo caso la risposta ad un impulso rettangolare è distorta.

Tipo di filtro (VII)



Decibels (dB)

Voltaggio Potenza

Decibels Rapporto di voltaggio Rapporto di potenza 3 dB 1,414:1 2:1 6 dB 2:1 4:1 20 dB 10:1 100:1 40 dB 100:1 10.000:1 60 dB 1.000:1 1.000.000:1 66 dB 2.000:1 4.000.000:1 72 dB 4.000:1 16.000.000:1 80 dB 10.000:1 108:1 100 dB 100.000:1 1010:1 120 dB 1.000.000:1 1012:1



OrdinePoli Ordine Pendenze (slope)

1 polo 1° ordine 6 dB/ottava 20 dB/decade 2 poli 2° ordine 12 db/ottava 40 dB/decade 4 poli 4° ordine 24 dB/ottava 80 dB/decade 8 poli 8° ordine 48 dB/ottava 160 dB/decade



Esempi di filtri

RCf

π21

Filtro passa-basso Filtro passa-alto



Filtri reali (I)

• Resistore (R)

• Condensatore (C)

• Induttanza (L)

fIRfVtiRtv

Filtri reali possono essere ottenuti mediante circuiti con elementi resistivi, capacitivi e induttivi

fIfCj

fVfVfCjfIdt

tdvCti

2

12

fIfLjfVdt

tdiLtv 2



Filtro RC passa-basso

fIfCj

fV

fIfCj

RfV

out

in

21

21

fRCjfCjR

fCjfVfVfH

in

outLPF

211

2121

fRCarctgfHfRC

fH

LPF

LPF

2arg211

2

RC

ffHf TTLPFT 21

212

• Frequenza di taglio del filtro (banda passante)

• Funzione di trasferimento

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

f/ft

|HLP

F(f)| (

dB)

f/ft

|HLP

F(f)

| (dB

)

vin(t) vout(t)



Filtro RC passa-alto

fIRfV

fIRfCj

fV

out

in

21

fRCj

fRCjfCjR

RfVfVfH

in

outHPF

21

221

fRCarctgfsignfH

fRC

RCffH

HPF

HPF

22

arg

21

22

RC

ffHf TTHPFT 21

212

• Frequenza di taglio del filtro


vin(t) vout(t)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

|HH

PF(f

)| (d

B)

f/ft



Filtro RLC passa-banda

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

fIRfV

fIRfCj

fLjfV

out

in

212

fRCjLCffRCj

fCjfLjRR

fVfV

fHin

outBPF

2212

212

2

2

0

220

0

222 21

2

221

2

Qffff

Qff

fRCLCf

RCffH BPF

QffffHf

fHf

BPF

BPF

02

0

00

212

1

• Frequenza di risonanza e banda passante


RLfQ

LCf

0

0

42

1

f/f0

|HB

PF(f

)| (d

B)

vout(t)vin(t)



Esempi di filtri di pratico utilizzoFiltro di smoothing

Filtro a spillo per rimozione interferenza

Filtro per la sintonizzazione di un canale radiofonico

Filtri che eseguono medie mobili (comportamento di tipo passa-basso) tipicamente utilizzatiper eliminare le fluttuazioni veloci su dati misurati ed evidenziare da tali dati l’andamento medio.

Filtri che presentano funzioni di trasferimento tali da far transitare il segnale utile e eliminare eventuali segnali interferenti (zeri della funzione di trasferimento posti sulle frequenze interessate dai segnali interferenti).

Filtri passa-banda accordati intorno ad un data frequenza con banda passante tale da far passare unicamente il segnale audio di interesse e eliminare tutto il resto.

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