12 TLC AES [modalità...

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Telecomunicazioni per lAerospazio

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Limpulso: definizioneLimpulso (detto anche delta di Dirac) pu essere definito (tralasciando ilrigore matematico) come un rettangolo di base T e altezza 1/T quando Ttende a zero:

Limpulso e dunque un segnale localizzato nellorigine con baseinfinitesima, ampiezza infinita, ma area (integrale) unitaria:

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Limpulso: propriet- Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso e uguale al valore del segnale in t=0 per limpulso stesso

- Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di e uguale al valore del segnale in t=per limpulso stesso:

x(t)t x()t - Lintegrale di un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di e uguale al valore del segnale in t=:

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Rappresentazione grafica dellimpulso

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PROPRIETA CAMPIONATRICE dellIMPULSO

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Definizione di sistema

Un sistema e un dispositivo che modifica un segnale x(t), detto ingresso, generando il segnale y(t), detto uscita.

In termini analitici il sistema si rappresenta per mezzo di un generico operatore matematico indicato con O[.]. che trasforma il segnale dingresso x(t):

Il risultato delle operazioni matematiche eseguite sullingresso e il segnale duscita y(t).

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Sistemi Lineari

Lineare:

quando luscita generata dalla combinazione lineare di due o piu ingressi e uguale alla combinazione lineare delle uscite che sarebbero state generate separatamente dai singoli ingressi.

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Sistemi Tempo-Invarianti

Tempo Invariante (o permanente): quando luscita generata da un segnale ritardato e uguale alluscita generata dal segnale originale, ritardata della stessa quantit.

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Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI)

Sistemi LTI: sistemi che sono allo stesso tempo Lineari e Tempo Invarianti

Sistemi Lineari

Sistemi Tempo-Invarianti

Sistemi LTI

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Risposta ImpulsivaRisposta Impulsiva: e luscita del sistema quando lingresso e limpulso.Usualmente indicata con il simbolo h(t)

Se il sistema e tempo-invariante (permanente), la forma della risposta impulsiva non dipende dallistante in cui si applica limpulso. Quando lingresso e un impulso anticipato o ritardato luscita e uguale ad h(t) anticipata o ritardata:

Se il sistema e anche lineare, nota la risposta impulsiva e possibile calcolare luscita del sistema quando lingresso e una qualsiasi combinazione lineare dimpulsi:

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Segnale come combinazione lineare di impulsi

Un qualsiasi segnale x(t) puo essere rappresentato come somma integrale di impulsi:

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ConvoluzioneRicordando che:

a) Nota la risposta allimpulso, e possibile calcolare luscita di un sistema LTIquando lingresso e una qualsiasi combinazione lineare dimpulsi

b) Un qualsiasi segnale x(t) puo essere rappresentato come somma integrale di impulsi

Ne segue che:

* = simbolo della convoluzioneuscita = convoluzione tra ingresso e risposta allimpulso del sistema LTI

integrale di convoluzione (o semplicemente convoluzione)

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Calcolo dellintegrale di convoluzione

e il prodotto tra il segnale x() e la risposta allimpulso h() ribaltata intraslata di t (verso destra se t >0, verso sinistra se t

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Esempi di calcolo della convoluzione (I)

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Esempi di calcolo della convoluzione (II)

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Esempi di calcolo della convoluzione (III)

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Propriet della convoluzione

Dalla definizione di sistemi LTI si deducono le seguenti propriet dellaconvoluzione:

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Sistemi L.T.I. causali (I)

Definizione:Un sistema L.T.I. detto causale se luscita y(t) per un t=t, dipende dai valori dellingresso x(t) solo per valori della variabile tt.

La condizione di causalit molto importante se la variabile indipendente il tempo: in questo caso un sistema fisico deve essere causale. Se ci non fosse infatti il sistema sarebbe in grado di predire il futuro.

Condizione da rispettare per garantire la causalit:

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Sistemi L.T.I. causali (II)

Talvolta si utilizzano risposte impulsive del tipo:

Questa risposta impulsiva non causale: puo essere resa causale attraverso opportuni troncamenti (nel tempo, se h(t) si estende da - a +) e ritardi.

Utilizzare h(t) invece che h1(t) significa trascurare (cioe sottintendere) i ritardi necessari a rendere causale la risposta allimpulso.

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Risposta in frequenza dei sistemi LTI (I)

Se il segnale dingresso di un sistema Lineare Tempo-Invariante (LTI) e un esponenziale complesso luscita sara ancora un esponenziale complesso con la stessa frequenza, ma con ampiezza e fase modificate.

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Risposta in frequenza dei sistemi LTI (II)

Lampiezza e la fase iniziale delluscita dipendono da H(f).

H(f): denominata Risposta in frequenza o Funzione di Trasferimento:

E la funzione della frequenza che descrive come vengono modificate ampiezza e fase di un esponenziale complesso quando passa attraverso un sistema LTI.

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Funzione di trasferimento e Trasformata di Fourier

La risposta in frequenza H(f) e una funzione complessa della frequenza che dipende solo dalla risposta allimpulso del sistema h(t).

Loperatore che consente di ottenere la risposta in frequenza H(f) a partire dalla risposta allimpulso del sistema h(t), viene detto trasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier puo essere calcolata per un generico segnale x(t), non solo per la risposta allimpulso di un sistema LTI:

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Segnali come somma di esponenziali complessi

La trasformata Inversa di Fourier

ha la seguente interpretazione:

un qualsiasi segnale x(t) puo essere scomposto nella somma (integrale) di esponenziali complessi le cui ampiezze (infinitesime) e fasi iniziali in funzione della frequenza sono date dalla trasformata di Fourier X(f) :

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Risposta in frequenza di sistemi reali

Se il sistema LTI ha risposta allimpulso h(t) reale, la risposta in frequenza H(f) e una funzione con simmetria complessa coniugata: H(f) = H*(-f) (come si verifica facilmente dalla definizione di H(f)). Dunque il modulo di H(f) e pari (simmetrico rispetto allorigine) e la fase di H(f) e dispari (antisimmetrica rispetto allorigine).

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Risposta in frequenza di sistemi reali (II)

Sistemi LTI: sistemi che sono allo stesso tempo Lineari e Tempo Invarianti

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Sistemi LTI: legame ingresso-uscita in frequenza- Se lingresso e un esponenziale complesso x(t) = A exp{ j 2f t } ,luscita e y(t)= H(f) A exp{ j 2f t }-Un generico segnale x(t) puo essere scomposto nella somma (integrale) di esponenziali complessi (di ampiezza infinitesima) del tipo X(f) exp{ j 2f t } df

-Luscita y(t) di un sistema LTI per un generico segnale dingresso x(t) e data dalla somma (integrale) di esponenziali complessi H(f) X(f) exp{ j 2f t } df- Luscita y(t), come tutti i segnali, puo essere scomposta nella somma diesponenziali complessi del tipo Y(f) exp{ j 2f t } df

Quindi:

Questo risultato corrisponde ad una importante proprieta della trasformata di Fourier:

la trasformata della convoluzione y(t) = h(t)* x(t) e il prodotto delle trasformate Y( f