Spesso si ha a che fare con grandezze legate tra loro da una relazione lineare. E possibile ricavare...

Spesso si ha a che fare con grandezze legate tra loro da una relazione lineare. E possibile ricavare la relazione funzionale tra le grandezze tramite la misura delle stesse.

t

s

tvss 0

Esempio:

),( 11 st),( 22 st),( 33 st),( 44 st

Legge del moto rettilineo uniforme: tramite la misura della posizione si ad istanti di tempo successivi ti si ricostruisce la legge oraria e si ricava quindi la posizione iniziale s0 e la velocità v

RELAZIONE LINEARE: I MINIMI QUADRATI (cenni)

Misurando le coppie di valori: ),( iii yx

si vuole ricavare l’equazione della retta che meglio interpola (fitta) i dati sperimentali.

In pratica considerata la retta: Y=A+B·x

si vogliono ricavare i valori (e i rispettivi errori) dei parametri A e B


dove in genere gli xi sono supposti con errore trascurabile, mentre agli yi viene associato un errore sperimentali i

Si dimostra che la miglior retta (e quindi i valori dei parametri della retta) si ottiene andando a minimizzare la seguente quantità:


Chi-quadrato

Si possono quindi ricavare delle formule per calcolare i parametri A e B della retta, ed i rispettivi errori.



Nel caso semplificato: i valori yi abbiano anch’essi errore trascurabile, o tutti gli errori sono uguali tra loro, le formule si “riducono” a:

2

2 2

2 2

i i i i i i i i ii i i i i i i

i i i ii i i i

x y x y x N x y x yA B

N x x N x x

2 2

2

2 2

2 2

y iyi

A B

i i i ii i i i

xN

N x x N x x

Tali analisi vengono in genere affrontate mediante l’uso di opportuni software di statistica, che forniscono i valori dei parametri, e dei loro errori, unitamente a indici di bontà del fit

Il fatto di avere delle formule o degli algoritmi che permettono di ricavare i valori incogniti dei parametri non significa automaticamente che le misure sperimentali sono in accordo con la relazione funzionale ipotizzata.

Un primo, banale test per verificare l’esistenza della relazione è mettere in grafico i valori delle misure e confrontarli con la curva prevista (es. retta).

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12

Test del chi quadrato (cenni)


Idealmente il numeratore (e quindi anche il chi quadrato) dovrebbe essere uguale a zero (se tutti i punti giacessero sulla retta).

In realtà ci si aspetta che la differenza tra la misura (yi) e la previsione (A+B·xi) sia dello stesso ordine di grandezza dell’error sperimentale i

pertanto ci si aspetta che ogni termine della sommatoria sia uguale a 1.

Di conseguenza è ragionevole aspettarsi che il chi quadrato sia circa uguale al numero di misure effettuate (il numero cioè di addendi che sommo)

Un metodo quantitativo è statisticamente corretto per verificare l’accordo dei dati con una determinata relazione funzionale è il test del chi quadrato

Per generalizzare il discorso risulta quindi utile considerate il chi quadrato ridotto, definito come rapporto tra il chi quadrato e il numero di gradi di libertà:

Il numero di gradi di libertà ng lo possiamo considerare come il numero di misure, meno il numero di parametri ricavati a partire da tali misure

22

gn

Il numero di gradi di libertà ng lo possiamo considerare come il numero di misure, meno il numero di parametri ricavati a partire da tali misure

Di conseguenza è ragionevole aspettarsi che il chi quadrato ridotto sia poco superiore a 1.

Anche per il chi quadrato (ridotto) esiste una funzione di densità di probabilità (analogamente alla gaussiana) e, a partire da questa funzione è possibile calcolare quanto vale la probabilità di trovare un certo valore di chi quadrato.


Probabilità percentuale di trovare un valore di chi quadrato ridotto maggiore o uguale a valori prefissati, in funzione del numero di gradi di libertà. Con tale tabella si ricava quindi la probabilità che le misure fatte siano regolate dalla relazione che era stata ipotizzata (ipotesi verificata se P>5%)



In corrispondenza dei seguenti valori delle ascisse (tempo): 0s, 2s, 3s, 5s, sono misurati I seguenti valori della variabile y (spazio =: -1.3 cm, 4.5 cm, 6.3 cm, 11.8 cm).L’errore sulle x è trascurabile, quello sulle y è pari a 0.4 cm per tutti I punti.Si suppone l’esistenza di una relazione lineare y=A+Bx con A=-1 e B=2.5. Verificare tale ipotesi mediante il test del chi quadrato

-3

-1

1

3

5

7

9

11

13

0 1 2 3 4 5 6



Calcoliamo il chi quadrato:

1 1

2 2

3 3

4 4

1.3 1 2.5 0 0.3 cm

4.5 1 2.5 2 0.5 cm

6.3 1 2.5 3 0.2 cm

11.8 1 2.5 5 0.3 cm

y A B x

y A B x

y A B x

y A B x

2 2 2 2 2

22 2 2 22

0.3 0.5 0.2 0.32.94

0.4 0.4 0.4 0.4

i i

i i

y A B x

I gradi di libertà sono 4 (ho quattro misure e nessun parametro ricavato dai dati, A e B infatti sono noti (ipotizzati): Il chi quadrato ridotto è quindi pari a:

22 2.94

0.734gn



Dalla tabella si ricava che la probabilità di avere un valore di chi quadrato ridotto con 4 gradi di libertà pari a 0.73 è circa 59% (interpolando i valori tabulati per 0.6 e 0.8). L’ipotesi di linearità con i parametri dati può quindi dirsi ben verificata.

Abbiamo introdotto il test del chi quadrato nel caso specifico di una relazione lineare. E’ tuttavia possibile generalizzare il discorso e usare il test per valutare quanto i dati misurati si adattano bene ad una funzione teorica ipotizzata f(x) qualsiasi (retta, parabola, esponenziale, ecc…)


Post-administration time (min)

0 100 200 300 400

0

5

10

15

20

25

FORMULE ED ELEMENTI DA RICORDARE -1

media aritmetica:

N

ii

N

xx

1

dev. standard: )1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

x

errore (assoluto): errore relativo: errore%: x

xx

x100x

N

S

NN

xxS x

N

ii

x

)1(

)(1

2

dev. standard della media:

propagazione degli errori:

somma e differenze:

prodotti e rapporti:

),....,( 21 Nxxxf

mn xxKxxf 2121 ),( 2

2

2

1

21

xm

xn

fxxf

FORMULE ED ELEMENTI DA RICORDARE -2

Gaussiana:

2

2

2

2

1)(

x

exf (significato dei parametri e uso della tabella delle probabilità)

compatibilità:

)(100)(22

21

21 tPCLtPSS

xxt

2211 ; SxSx

N

i i

N

i i

i

best

x

X

12

12

1

N

i i

X best

12

11

media pesata: errore sulla media pesata:

rappresentazione dei risultati FINALI con il corretto numero di CIFRE SIGNIFICATIVE

Esercizi

Si usano due metodi differenti per misurare il carico di rottura di un filo di acciaio e si fanno 10 misure per ognuno dei metodi. I risultati, espressi in tonnellate, sono i seguenti:Metodo A: 3.3 3.5 3.7 3.2 3.6 3.5 3.6 3.4 3.6 3.9Metodo B: 3.5 3.6 3.6 3.7 3.5 3.6 3.5 3.5 3.6 3.5

i) stimare la precisione di ciascun metodoii) calcolare la media ed il rispettivo errore per ciascun metodo. Esprimere l’errore anche in termini percentualiiii) dire quante misure si dovrebbero fare con il metodo meno preciso in modo da ottenere un errore uguale a quello dell’altro metodo.

Si consideri il parallelepipedo a base rettangolare rappresentato in figura. Si sono misurati i lati della base e l’altezza trovando i seguenti valori:a =(14 ± 3) cm; b =(10 ± 3) cm; cm; h=(36 ± 3) cmCalcolare:1) Il perimetro della base con il suo errore2) L’area di base con il suo errore3) Il volume del parallelepipedo con il suo errore

ab

h

Esercizi

Un’analisi condotta si 1000 uomini ha rivelato che le altezze sono distribuite normalmente attorno al valore (1.780 ±0.005) m. Dire quanti uomini ci si attende con:i) Altezza compresa tra 1.75 e 1.81 mii) Atezza maggiore di 1.85 miii) Altezza maggiore di 1.65 miv) Altezza compresa tra 1.65 e 1.75 m

Tre biologi, attraverso tre differenti tecniche di misura, calcolano il tasso di riproduzione di una colonia di batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione della colonia di batteri raddoppia. I tempi registrati sono:biologo 1: tempo = 11.4 ± 0.6 giornibiologo 2: tempo = 11.8 ± 0.2 giornibiologo 3: tempo = 12.2 ± 0.6 giorniTrovare la miglior stima del tempo e la sua incertezza. Determinare la compatibilità tra i valori ottenuti dal biologo 1 e 3.

Esercizi

Si usano due metodi differenti per misurare il carico di rottura di un filo di acciaio e si fanno 10 misure per ognuno dei metodi. I risultati, espressi in tonnellate, sono i seguenti:Metodo A: 3.3 3.5 3.7 3.2 3.6 3.5 3.6 3.4 3.6 3.9Metodo B: 3.5 3.6 3.6 3.7 3.5 3.6 3.5 3.5 3.6 3.5

i) stimare la precisione di ciascun metodoii) calcolare la media ed il rispettivo errore per ciascun metodo. Esprimere l’errore anche in termini percentualiiii) dire quante misure si dovrebbero fare con il metodo meno preciso in modo da ottenere un errore uguale a quello dell’altro metodo.i) La precisione è data dalla deviazione standard che risulta pari a: Metodo A: SA=0.2; Metodo B:

SB=0.07 ii)

0221.010

07.056.3

0633.010

2.053.3

N

SSx

N

SSx

BBB

AAA 06.053.3

02.056.3

%79.153.3

0633.0100% err

%62.056.3

0221.0100% err

iii) Il metodo A è quello meno preciso. Per avere un errore sulla media uguale a quello del metodo B è necessario effettuare un numero N’ di misure tale da avere:

10'BA

BA

S

N

SSS

2

10'

B

A

S

SN 82'N

Esercizi


1) La base è un rettangolo il cui perimetro è pari a:

p=(48 ± 8) cm

Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per somme/differenze:

cmbap 48202822 a

b

h

cmbap 49.872323222 2222

2) L’area di base è pari a:2140 cmbaA

Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per prodotti/rapporti:

22222

6.51140369.0369.010

3

14

3cm

baA AbaA

A=(140 ± 52) cm2

Esercizi


ab

h

Per il calcolo dell’errore applico la formula di propagazione per prodotti/rapporti:

3

222222

1905504037797.0

37797.036

3

10

3

14

3

cm

hbaV

V

hbaV

V=(5000 ± 2000) cm3

3) Il volume è pari a:35040 cmhbaV

Esercizi

Si tratta semplicemente di applicare le formule della media pesata.

xi i

11.4 0.6 2.778 31.67

11.8 0.2 25 295

12.2 0.6 2.778 33.89

30.556 360.56

N

i i

N

i i

i

best

x

X

12

12

1

N

i i

X best

12

11

2

1

i2i

ix

N

i 1

79998.11556.30

56.360bestX

1809.0556.30

1

bestX

giorni)2.08.11( Tenendo conto delle cifre significative:

94.06.06.0

4.112.1222

t

Tre biologi, attraverso tre differenti tecniche di misura, calcolano il tasso di riproduzione di una colonia di batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione della colonia di batteri raddoppia. I tempi registrati sono:biologo 1: tempo = 11.4 ± 0.6 giornibiologo 2: tempo = 11.8 ± 0.2 giornibiologo 3: tempo = 12.2 ± 0.6 giorniTrovare la miglior stima del tempo e la sua incertezza. Determinare la compatibilità tra i valori ottenuti dal biologo 1 e 3.

Compatibilità: P(t=0.94)=65.28% CL=34.72%

Esercizi

Un’analisi condotta si 1000 uomini ha rivelato che le altezze sono distribuite normalmente attorno al valore (1.780 ±0.005) m. Dire quanti uomini ci si attende con:i) Altezza compresa tra 1.75 e 1.81 mii) Atezza maggiore di 1.85 miii) Altezza maggiore di 1.65 miv) Altezza compresa tra 1.65 e 1.75 m

La distribuzione delle altezze è centrata sul valore medio 1.78 m con deviazione standard pari a:

158.01000005.0 NSS xx

i) l’intervallo [1.75-1.81] è simmetrico rispetto al valore medio Per il calcolo della probabilità associata a tale intervallo si ricava dapprima il valore di t e poi si guarda la tabella della gaussiana:

19.0158.0

03.0158.078.181.1

19.0158.0

03.0158.078.175.1

2

1

ttStxx

ttStxx

x

x

Vi è quindi una probabilità di circa il 15% che gli uomini abbiano un’altezza tra 1.75 e 1.78 m. Essendo il campione composto da 1000 individui, ci si aspetta un numero pari a:

150100

151000 N

Esercizi

ii) Atezza maggiore di 1.85 m

ii) Il numero di uomini con altezza maggiore di 1.85 m si trova andando a determinare dapprima il valore di t corrispondente a 1.85:

44.0158.0

78.185.1

t

Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=0.44) = 34% e corrisponde all’a probabilità di avere un altezza tra 1.71 e 1.85 m (area blu). Noi siamo interessati però all’area rosa che è pari a:

%332

34100

2

)(10085.1

tPxP

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Essendo il campione composto da 1000 individui, ci si aspetta un numero pari a:

330100

331000 N

Esercizi

iii) Atezza maggiore di 1.65 m

iii) Il numero di uomini con altezza maggiore di 1.65 m si trova andando a determinare dapprima il valore di t corrispondente a 1.65:

82.0158.0

65.178.1

t

Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=0.82) = 59% circa e corrisponde all’a probabilità di avere un altezza tra 1.65 e 1.91 m (area blu). Noi siamo interessati però alla somma dell’area blu e rosa che è pari a:

%5.792

5910059

2

)(100)(65.1

tPtPxP

Essendo il campione composto da 1000 individui, ci si aspetta un numero pari a:

795100

5.791000 N

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Esercizi

iv) Atezza compresa tra 1.65 m e 1.75 m

iv) Si ha a che fare con un intervallo non simmetrico (entrambi gli estremi sono a sinistra del valore centrale della distribuzione. Si ricavano i corrispondenti valori di t e le probabilità associate, disegnando le gaussiane.

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

%59)(82.0158.0

65.178.111

tPt

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

%15)(19.0158.0

75.178.122

tPt

%222

)(

2

)(75.165.1 21

tPtPxP 220

100

221000 N

L’ESPERIENZA DI LABORATORIO

Misura della costante di Faraday mediante esperimenti di elettrolisi.

Cella elettrolitica:soluzione elettrolitica+2 elettrodi

Passaggio di corrente attraverso la soluzione: moto degli ioni disciolti in soluzione

Deposizione di massa al catodo proporzionale alla carica che è circolata nel circuito

costante di Faraday

depdep

Cu

m

QKF

m

Q

z

MF


Misurare la carica che circola

depdep

Cu

m

QKF

m

Q

z

MF

Misurare la massa depositata

Metodo diretto: misura il peso della spira prima e dopo l’elettrolisi Metodo indiretto: misura della variazione

concentrazione della soluzione

Misura della carica:

Mantenendo costante la corrente nel circuito si ha semplicemente: tiQ


Misura della massa depositata: metodo diretto

La variazione di concentrazione si ottiene dalla variazione di assorbanza, sapendo che:

P2: peso della spira dopo l’elettrolisiP1: peso della spira prima dell’elettrolisi

: precisione della bilancia

Misura della massa depositata: metodo indiretto

C2: concentrazione della soluzione dopo l’elettrolisiC1: concentrazione della soluzione prima dell’elettrolisi


CALIBRAZIONE DELLO SPETTROFOTOMETRO

Misura della massa depositata: metodo indiretto

Metodo dei minimo quadrati

2

2

idep xi

depm x

m


Elettrolisi carica Massa dep.

(metodo diretto)

Massa dep. (metodo indiretto)

F

(metodo diretto)

F

(metodo indiretto)

1° Q1 ±Q1 m1 ±m1 m1 ±m1 F1 ±F1 F1 ±F1

2° Q2 ±Q2 m2 ±m2 m2 ±m2 F2 ±F2 F2 ±F2

3* Q3 ±Q3 m3 ±m3 m3 ±m3 F3 ±F3 F3 ±F3

4° Q4 ±Q4 m4 ±m4 m4 ±m4 F4 ±F4 F4 ±F4

Analisi statistiche:dei vari risultati (medie, medie pesate, test di compatibilità,…)

Alla fine…

dep

Cu

m

Q

z

MF

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