Soluzione 28 Gennaio 2015
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Corso di Laurea in Ing. Delle Telecomunicazioni Teoria dei segnali Soluzioni del Compito del 28 Gennaio 2015 Esercizio 1: a) Mettendo a sistema l’equazione della retta e della parabola si ottiene y Ax B y x 2 2 (1) ovvero x 2 Ax B 2 0 . (2) Affinchè si abbia intersezione non nulla tra retta e parabola occorre che il discriminante dell’equazione di secondo grado espressa in (2) sia non negativo, ovvero A 2 4(2 B) 0 . (3) da cui risulta B 2 A 2 4 . (4) Essendo A e B variabili aleatorie indipendenti e uniformemente distribuite sull’intervallo [1, 2] , la densità di probabilità congiunta del vettore aleatorio ( A, B) è f AB (a, b) 1 0 se (a, b) Q altrimenti (5) dove Q è il quadrato nel piano coordinato Oab avente vertici Q 1 (1,1) , Q 2 (2,1) , Q 3 (2,2) e Q 4 (1, 2) . La probabilità richiesta è pertanto Pr{B 2 A 2 / 4} f AB (a, b)db 2 a 2 /4 2 da 1 2 db 2 a 2 /4 2 da 1 2 a 2 4 da 1 2 a 3 12 1 2 7 12 . b) I vertici P 1 e P 2 del triangolo sono espressi da P 1 ( B / A,0) e P 2 (0, B) , per cui l’area del triangolo è la variabile aleatoria Z B 2 2 A . (6) Il valore medio di Z è pertanto
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Corso di Laurea in Ing. Delle Telecomunicazioni
Teoria dei segnali
Soluzioni del Compito del 28 Gennaio 2015
Esercizio 1:
a) Mettendo a sistema lequazione della retta e della parabola si ottiene
y Ax B
y x2 2
(1)
ovvero
x2 Ax B 2 0 . (2)
Affinch si abbia intersezione non nulla tra retta e parabola occorre che il
discriminante dellequazione di secondo grado espressa in (2) sia non negativo,
ovvero
A2 4(2 B) 0 . (3)
da cui risulta
B 2 A2
4. (4)
Essendo A e B variabili aleatorie indipendenti e uniformemente distribuite
sullintervallo [1,2] , la densit di probabilit congiunta del vettore aleatorio (A, B)
fAB(a,b) 1
0
se (a,b)Q
altrimenti (5)
dove Q il quadrato nel piano coordinato Oab avente vertici Q1(1,1) , Q2(2,1) ,
Q3(2,2) e Q4 (1,2) . La probabilit richiesta pertanto
Pr{B 2 A2 / 4} fAB (a,b)db
2a2 /4
2
da
1
2
db2a2 /4
2
da
1
2
a2
4da
1
2
a3
12
1
2
7
12.
b) I vertici P1 e P2 del triangolo sono espressi da P1(B / A,0) e P2(0, B) , per cui
larea del triangolo la variabile aleatoria
Z
B2
2A. (6)
Il valore medio di Z pertanto
-
E{Z}b2
2a1
2
1
2
fAB (a,b)dadb b2
1
2
db1
2a1
2
da
b3
3
1
2
1
2ln a
1
2
7
6ln 2.
. (7)
Esercizio 2:
a) Il processo Y (t) espresso da
Y(t) 2X (t)cos(2Bt ) (8)
e ha funzione di autocorrelazione
rY( ) 4E{X (t)X (t )}E{cos(2Bt )cos[2B(t ) ]}
2rX
( )E{cos(2B ) cos[2B(2t ) 2]}
2rX
( )cos(2B )
(9)
dove si tenuto conto che X(t) e sono statisticamente indipendenti. La potenza
media di Y (t) pertanto
PY r
Y(0) 2r
X(0) 2 S
X
( f )df 4N0 B . (10)
b) Tenuto conto della (9), la densit spettrale di potenza di Y (t) espressa da
SY ( f ) SX ( f B) SX ( f B) (11)
ed costituita da tre triangoli adiacenti, di cui quello centrale di altezza 2N0 e posto
sullintervallo frequenziale (B, B) , mentre gli altri due laterali hanno altezza N0 e
base di larghezza 2B . Dopo il filtraggio passa-basso operato da H( f ) resta soltanto
il triangolo centrale, la cui antitrasfromata rappresenta la funzione di autocorrelazione
di Z(t) ed espressa da
rZ ( ) (2N0B)sinc2(B ). (12)
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