Corso di Laurea in Ing. Delle Telecomunicazioni

Teoria dei segnali

Soluzioni del Compito del 28 Gennaio 2015

Esercizio 1:

a) Mettendo a sistema lequazione della retta e della parabola si ottiene

y Ax B

y x2 2

(1)

ovvero

x2 Ax B 2 0 . (2)

Affinch si abbia intersezione non nulla tra retta e parabola occorre che il

discriminante dellequazione di secondo grado espressa in (2) sia non negativo,

ovvero

A2 4(2 B) 0 . (3)

da cui risulta

B 2 A2

4. (4)

Essendo A e B variabili aleatorie indipendenti e uniformemente distribuite

sullintervallo [1,2] , la densit di probabilit congiunta del vettore aleatorio (A, B)

fAB(a,b) 1

0

se (a,b)Q

altrimenti (5)

dove Q il quadrato nel piano coordinato Oab avente vertici Q1(1,1) , Q2(2,1) ,

Q3(2,2) e Q4 (1,2) . La probabilit richiesta pertanto

Pr{B 2 A2 / 4} fAB (a,b)db

2a2 /4

2

da

1

2

db2a2 /4

2

da

1

2

a2

4da

1

2

a3

12

1

2

7

12.

b) I vertici P1 e P2 del triangolo sono espressi da P1(B / A,0) e P2(0, B) , per cui

larea del triangolo la variabile aleatoria

Z

B2

2A. (6)

Il valore medio di Z pertanto

E{Z}b2

2a1

2

1

2

fAB (a,b)dadb b2

1

2

db1

2a1

2

da

b3

3

1

2

1

2ln a

1

2

7

6ln 2.

. (7)

Esercizio 2:

a) Il processo Y (t) espresso da

Y(t) 2X (t)cos(2Bt ) (8)

e ha funzione di autocorrelazione

rY( ) 4E{X (t)X (t )}E{cos(2Bt )cos[2B(t ) ]}

2rX

( )E{cos(2B ) cos[2B(2t ) 2]}

2rX

( )cos(2B )

(9)

dove si tenuto conto che X(t) e sono statisticamente indipendenti. La potenza

media di Y (t) pertanto

PY r

Y(0) 2r

X(0) 2 S

X

( f )df 4N0 B . (10)

b) Tenuto conto della (9), la densit spettrale di potenza di Y (t) espressa da

SY ( f ) SX ( f B) SX ( f B) (11)

ed costituita da tre triangoli adiacenti, di cui quello centrale di altezza 2N0 e posto

sullintervallo frequenziale (B, B) , mentre gli altri due laterali hanno altezza N0 e

base di larghezza 2B . Dopo il filtraggio passa-basso operato da H( f ) resta soltanto

il triangolo centrale, la cui antitrasfromata rappresenta la funzione di autocorrelazione

di Z(t) ed espressa da

rZ ( ) (2N0B)sinc2(B ). (12)

Teoria dei segnaliSoluzioni del Compito del 28 Gennaio 2015