Sistemi dinamici discreti non lineari

Definizione : dato un s.d.d { I , f }, un numero R si dice equilibrio ( o punto fisso o punto stazionario )se vale : = f() I

)(1 kk xfx

f non lineare

EsempiL’algoritmo di Newton

l’approssimazione delle soluzioni di una equazione g(x)=0, g(x) derivabile

)())((' 000 xgxxxgy

Eq. tangente

)())(('0 000 xgxxxg

)('

)(

0

00 xg

xgxx

00

0

)('

)(x

xg

xgx

)('

)(1

t

ttt xg

xgxx

Eq. Alle differenze finite lineare o non lineare?

g(x)

Applichiamo Newton a: 02 Nx

N.

t

t

t

t

t

t

tt x

Nx

x

Nx

x

Nxxx

2

1

22

22

1

Problema: approssimare

Problema: approssimare 3 N

03 NxApplichiamo Newton a:

2

3

2

3

1 3

2

3t

t

t

t

tt x

Nx

x

Nxxx

algoritmi di questo tipo sono implementati nelle calcolatrici scientifiche.

Abbiamo ottenuto equazioni alle differenze finite non lineari che determinano una successione di valori (convergenti ?)

L’incognita è Il punto fisso è x*= N

(1)

Affinché l’equilibrio di Newton dia origine ad una successione convergente (sia stabile), vale un condizione di stabilità simile a quella delle equazioni lineari

Con x t+1=f(x t) invece di xt+1=a xt+c

1*)(' xf)('

)()(

xg

xgxxg

La convergenza dipende quindi anche da x*. Se, come nel caso del problema (1), x* non lo conosciamo ma lo vogliamo approssimare, calcoliamo la condizione di convergenza dal punto iniziale x0, che si spera essere sufficientemente vicino a x* in modo che le proprietà (derivata) della g non cambino.

Si può verificare facilmente che per qualunque x0<0 la successione (1) converge a mentre per x0>0 converge a Nei sistemi lineari questo non avviene.

22

)('

)(1

t

ttt xg

xgxx

Problema: approssimare gli zeri ( ) di 11

02 1

3 03 xx

13

2

13 2

3

2

3

1

t

t

t

tt

tt x

x

x

xxxx Ha 3 punti fissi

In generale le equazioni alle differenze finite non lineari hanno più punti fissi e per ognuno si deve studiare la stabilità (calcolare le derivate)

A differenza del caso lineare, non si sanno esplicitare le soluzioni analitiche salvo casi particolari.

Applichiamo Netwon

Rappresentazione delle soluzioni

t

xt

xk x0

xk+1

Definizione : l’insieme di tutte le traiettorie al variare di x0 si chiama quadro degli stati (o delle traiettorie)

Per vedere geometricamente il punto fissoNello spazio degli stati

Xk+1

CONDIZIONI DI STABILITA’

Teorema : (condizione del primo ordine di stabilità) Se è un equilibrio per il s.d.d. { I , f } e f è di classe C 1 allora :

instabile è 1)(

stabile menteasintotica localmente è 1)(

f

f

Teorema : (condizione del secondo ordine di stabilità) Se è un equilibrio per il s.d.d. { I , f } con f di classe C 2 e f () = 1 allora :

repulsivo nteinferiorme

stabile menteasintotica ntesuperiorme 0)(

repulsivo ntesuperiorme

stabile menteasintotica nteinferiorme 0)(

f

f

Esempio 1

)(341 nnnnn xyxxxx

06)0( 0)0( 1)0( yyy

repulsivo

Esempio 2

)(341 nnnnn xyxxxx

06)0( 0)0( 1)0( yyy

attrattivo

Teorema : (condizione del terzo ordine di stabilità) Se è un equilibrio per il s.d.d. { I , f } con f è di classe C 3 , f () = 1, f () = 0 allora :

stabile menteasintotica localmente è 0)(

repulsivo è 0)(

f

f

Teorema : Sia f : I I con f C 3, f () = , f () = -1 allora :

instabile è 0))((3)(2

stabile asintot. localmente è 0))((3)(22

2

ff

ff

Schema riassuntivo per lo studio della stabilità di un equilibrio quando f è dotata di derivate. l.a.s = localmente asintoticamente stabile s.l.a.s = superiormente localmente asintoticamente stabile i.l.a.s = inferiormente localmente asintoticamente stabile r. = repulsivo s.r. = superiormente repulsivo i.r. = inferiormente repulsivo

ORBITE PERIODICHE (CICLI)

Definizione : Sia { I , f } un s.d.d. un ciclo di ordine s (o orbita periodica di (minimo) periodo s, o s-ciclo) è un insieme di s valori in I {0 , 1 , s-1 } diversi tra loro e tali che : 1 = f (0) 2 = f (1) …… 0 = f (s-1) s = periodo dell’orbita ( o ordine del ciclo )

Le orbite di periodo s si trovano calcolando i punti fissi di f s(x) = x

xt

xt

Xt+1

f

t

a0

a1

a2

s=3a0

a1

a2

Esempio : il s.d.d. { (0,+), f (x) = 1/x } presenta un solo punto di equilibrio = 1 ed orbite periodiche { x0 , x0

- 1 }

)(1

1 kk

k xfx

x

0/1 x

0/1 x

0x

0x

Equilibrio ed orbite periodiche di { (0,+), 1/x }

xk+1

xk

STABILITA’ DELLE ORBITE PERIODICHE

E’ un teorema molto semplice da applicare se è noto l’ s-ciclo.La vera difficoltà consiste nel sapere se esiste un s-ciclo e nella sua determinazione.

repulsivo

localmente attrattivo

Esempioa

Esempio :

se ]1,0[ e )(4)( 2 Ixxxf per determinare un 4-ciclo si devono trovare i punti fissi di

))))(((()(4 xffffxf cioè xxf )(4 che è un’equazione di 16° grado !!

2222 )](4[()(44))(()( xxxxxffxf

esempio

MAPPA LOGISTICA

Evoluzione di una popolazione

MALTHUSkkkk yaayyy )1(1

r =1+a> 1 la popolazione cresce0<r<1 la popolazione decresce

è un modello di crescita esponenziale crescita illimitata (inadatto nel lungo periodo)

Correzione di VERHULSTRisorse limitate: la velocità di crescita diminuisce proporzionalmente alla popolazione

2

1 )( kkkkk yryyyry r , > 0

se H = r /

H

yryy k

kk 11r , H > 0

xk = yk /H kkk xrxx 11 r > 0

kkk xxx 11

DINAMICA DELLA CRESCITA LOGISTICA

40 11 kkk xxx

mappa logistica

1)(max affinchè10

xfx

kx

1kx

2/1 1

4/

0

kx

1kx

10

1

=1/2, 1, 2, 3, 4

PUNTI DI EQUILIBRIO DELLA LOGISTICA AL VARIARE DI

0 1),(1 kttt xxxfx

punti di equilibrio

punti di equilibrio

01 12

***** xλλxxλxx

0*1 x

1*

2

x

vediamo se sono asintoticamente stabili :

)1

( 2

)0( 2)( *

***

x

xxxf

10 stabile menteasintotica è 0* x

121 stabile menteasintotica è 1*

x

31 13

si può osservare che :

0 è equilibrio di punto unicol' 10per * x (perché la funzione interseca la bisettrice una volta sola)

xt

xt+1

1

e 0 : due sono equilibri gli 31per ** xx

instabile asintoticamente stabile

xt

xt+1

1per vi è un cambio di stabilità di 0 * x che si può rappresentare geometricamente così:

*x

asintoticamente stabile

instabile

1

31per vi sono 2 punti di equilibrio : uno stabile ed uno instabile:

*x

/)1( * x

1 3

/)1( * x

449.33

Cosa succede per 3 ? La soluzione diventa instabile e compare una soluzione di periodo 2 : Si dimostra che ciò avviene fino a quando 3 è un punto di biforcazione (a forchetta o di raddoppiamento del periodo)

*x

1 3 449.3

)1(

* x

xt

xt+1

=3.4

3.449 la soluzione di periodo 2 diventa instabile e compare una soluzione di periodo 4

i valori visitati si trovano cercando i punti di f 4(x)

*x

1 3 449.3 55.3

xk

xk+1

3.55 avviene la transizione al periodo 8

I valori di in cui avvengono i cambi di stabilità si avvicinano tra di loro e tendono a 3.57 Dopo tale valore il sistema mostra un comportamento caotico Benchè generato da un sistema deterministico ha le caratteristiche di un sistema random

COSTANTE DI FEIGENBAUM F = 4.6692016091029

Fkk

kk

k

1

1lim

il numero è una costante universale (come , e )

osservazioni • La presenza di non linearità può portare al

caos

• Con il caos compare la sensibilità alle condizioni iniziali

• In presenza di caos la predizione, anche per un sistema deterministico con poche equazioni, diventa praticamente impossibile

Alcune caratteristiche di un sistema caotico:

Mappa logistica,l=3.9,30 iterazioni.

Sensibilità alle condizioni iniziali

Il comportamento della soluzione è molto vario

Teoria delle biforcazioni

Diagramma di biforcazione di ),( xf : punti fissi di f parametro

Alcuni tipi di diagrammi di biforcazione

biforcazione transcritica biforcazione a forchetta (Hopf) punti fissi asintoticamente stabili punti fissi instabili

x

x

biforcazione tangente biforcazione con raddoppio (nodo-sella) (flip)

LOGISTICA

x

x

punti periodici di periodo 2

2),( xxxf

)(xx

linea di punti fissi

2)()1(),( xkxxf

0k

SISTEMI NON LINEARI

)(

),(

1,1

11

ttt

ttt

yxgy

yxfx

),(

),( equilibriod' puntoun è ),(

***

*****

yxgy

yxfxyx

studiamo la stabilità del sistema nelle vicinanze di ),( ** yx Supponiamo f e g continue e derivabili

espandiamo il sistema in ),( ** yx usando una serie di Taylor:

)(),(

)(),(

)(),(

)(),(

*1

1

***

11

***

*1

1

***

11

***

yyy

yxgxx

x

yxgyy

yyy

yxfxx

x

yxfxx

tt

tt

t

tt

tt

t

ponendo :

1

**

221

**

21

1

**

121

**

11

),(

),(

),(

),(

tt

tt

y

yxga

x

yxga

y

yxfa

x

yxfa

*

1

*1

2221

1211*

*

yy

xxaa

aa

yy

xx

t

t

t

t

J = matrice jacobiana

(nel caso di un sistema lineare è la matrice dei coefficienti)

1 tt A

PUNTI FISSI IPERBOLICI Definizione : Supponiamo che 1 2 siano gli autovalori dello jacobiano.

Il punto fisso ),( ** yx si dice :

iperbolico se 1 e 1 21 (se sono complessi si considera la parte reale)

non iperbolico se 1 o 1 21

TEOREMA DI HARTMAN GROSSMAN Nelle vicinanze di un punto fisso iperbolico il sistema non lineare si comporta come quello lineare ovvero ha la stessa stabilità. Se tutti gli autovalori nell’intorno di un punto di equilibrio sono, in modulo, <1 allora l’equilibrio è stabile e localmente attrattivo.

SISTEMA DI HENON

MICHAEL HENON Nato a Parigi nel 1931 , astronomo dell’osservatorio di Nizza.Voleva modellizzare le orbite delle stelle intorno ai centri delle loro galassie.Henon considerò i centri gravitazionali come oggetti 3-d (invece che oggetti puntiformi ovvero 0-d )Per semplificare lo studio delle orbite delle stelle considerò la loro intersezione con un piano.Dopo circa 12 intersezioni i punti incominciarono a disegnare una forma che sembrava la sezione di un toro.Henon cercò di fare previsioni circa le intersezioni future dell’orbita con il piano.Infine, usando le differenze finite, trovò il seguente modello :

tt

ttt

xy

xyx

3.0

14.1

1

21

a

b

dinamica caotica

Calcoliamo i punti fissi di Henon

nn

nnn

xby

yxax

1

2

1 1

punti fissi

* * 11 yxyxxx nnnn

01)1(** **1* **

**1* 222

bxaxbxaxxbxy

yaxx

a

abbby

a

abbx

2

4)1()1(* ,

2

4)1()1(*

2

2,1

2

2,1

La mappa di Henon ha 2 punti fissi 04)1( 2 ab

esempio :

)3234()24( sono fissi punti i 21163 /,/ B,--A / b/a

lo Jabobiano :

0

12

b

axJ

Gli autovalori di J in A sono 78.1 28.0 21 A è un punto di sella

Gli autovalori di J in B sono 5.0 e 1 21 il punto B è non iperbolico

Per altri valori di a e b:

4 periodo orbita ab

2 periodo orbita ab

1 periodo orbita ab

9.04.0

5.04.0

2.04.0

Modello di Lotka-Volterra

Il modello di Lotka-Volterra è il più semplice tra i modelli di preda predatore. Il modello è stato sviluppato indipendentemente da Lotka (1925) e da Volterra (1926).A metà degli anni 20 il biologo Umberto d’Ancona studiava le variazioni delle popolazioni di varie specie di pesci che interagivano l’una con l’altra: squali, etc. e pesci commestibili. D’Ancona si rivolse ad un famoso matematico italiano: Vito Volterra

Vito Volterra suddivise tutti i pesci in due popolazioni, quella delle prede x(t) e quella dei predatori y(t), e fece le seguenti ipotesi: Le prede non competevano molto intensamente fra loro nella ricerca di cibo, quindi, in assenza di predatori, il numero di prede (commestibili) cresceva in accordo con la

legge di Malthus x(t+1)=x(t)+ax(t)

per qualche costante positiva a. La presenza di predatori faceva si che il fattore di crescita non fosse costante ma decrescesse linearmente con il numero di predatori:

x(t+1)=x(t)+(a-b.*y(t)).*x(t);

Analogamente i predatori in assenza di prede avevano un naturale tasso di decrescita –dy(t) dovuto ai decessi e proporzionale al loro numero attuale. La presenza di prede faceva si che il loro numero aumentasse proporzionalmente al numero delle prede x. Perciò

y(t+1)=y(t)+(c.*x(t)-d).*y(t);

a,b,c,d erano costanti >0. Si può verificare che l’unico equilibrio non banale è: (d/c, a/b) ma si tratta in generale di un equilibrio instabile.

a=0.1; d=0.2; b=0.1; c=0.1;

Analizziamo graficamente lo spazio delle fasi del sistema

A = troppi predatori: inizia a diminuire il numero di prede.

B = poche prede i predatori diminuiscono.

C = I predatori sono così pochi che le prede possono aumentare.

D= molte prede, pochi predatori: I predatori possono aumentare.

Goodwin’s model

Richard Goodwin (1967) formulò un modello non-lineare dei cicli economici basato sulla lotta di classe: datori di lavoro-lavoratori, tramite le equazioni di Lotka-Volterra .

Il modello di Goodwin cerca di dimostrare la relazione ciclica tra il lavoro e il salario in una economia basata sul lavoro.

Le caratteristiche principali del modello sono le seguenti: alta occupazione genera inflazione nei salari che li può far aumentare; ciò, a sua volta, riduce i profitti dei capitalisti e così riduce gli investimenti futuri e la produzione. Tale riduzione della produzione riduce a sua volta la domanda di lavoro e l’ inflazione dei salari. I salari dei lavoratori diminuiscono. Ma non appena i salari diminuiscono i profitti aumenteranno e con essi gli investimenti. Ciò porta di nuovo all’aumento dell’occupazione e poi dei salari. Il ciclo quindi si ripete.

Bibliografiahttp://www.cmp.caltech.edu/~mcc/Chaos_Course/Outline.htmlhttp://www.enm.bris.ac.uk/staff/berndk/chaosweb/