Lo scambio termico conduttivo in regime stazionario

Corso di Trasmissione del caloreProf. Renato RicciIng. Sergio MontelpareIng. Valerio D’Alessandro

Postulato di FourierIl postulato di Fourier è stato ottenuto da osservazioni fisiche del fenomeno del trasporto termico conduttivo; benché la sua espressione matematica sia semplice la soluzione dell’equazione differenziale che da esso scaturisce non è sempre disponibile.

= − ⋅∇ 2/q k T W m

La conducibilità termica, k, nel caso più generale varia da punto a punto; oltre a ciò può essere diversa a seconda delle direzioni geometriche rispetto alle quali il calore fluisce. Ciò porta a esprimere le componenti del flusso termico come:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

x

y

z

T T Tq k k kx y zT T Tq k k kx y zT T Tq k k kx y z

∂ ∂ ∂− = ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

− = ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

− = ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

Tale espressioni delle componenti del flusso termico sono associate al fatto che in generale un corpo è Anisotropo e gli assi di anisotropia non necessariamente coincidono con gli assi cartesiani di flusso termico: Sistema Triclinico.

Casi particolari del postulato di Fourier

11

22

33

0 0

0 0

0 0

x x

y y

z z

T T T Tq k kx y z x

T T T Tq k kx y z yT T T Tq k kx y z z

∂ ∂ ∂ ∂− = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

− = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

− = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅∂ ∂ ∂ ∂

Qualora gli assi principali della conducibilità termica coincidessero con gli assi cartesiani del flusso termico saremmo in presenza di un Sistema Ortorombico:

Che può semplificarsi ulteriormente qualora la conducibilità del corpo sia indipendente dalla direzione di propagazione del calore (corpo Isotropo); ciò porta ad un Sistema Cubico in cui:

11

11

11

0 0

0 0

0 0

x

y

z

T T T Tq k kx y z x

T T T Tq k kx y z yT T T Tq k kx y z z

∂ ∂ ∂ ∂− = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

− = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

− = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅∂ ∂ ∂ ∂

Conservazione dell’energiaSe applichiamo il primo principio della termodinamica ad un volume di controllo infinitesimo avremo che, in presenza di generazione volumetrica di calore (G), il flusso termico netto attraverso il volume dovrà eguagliare la variazione di energia interna dello stesso nell’unità di tempo.

xq dy dz⋅ ⋅ xx

qq dx dy dz

x∂

+ ⋅ ⋅ ⋅ ∂

zq dx dy⋅ ⋅

yq dx dz⋅ ⋅

yy

qq dy dx dz

y∂

+ ⋅ ⋅ ⋅ ∂

zz

qq dz dx dy

z∂

+ ⋅ ⋅ ⋅ ∂

x

zy

G dx dy dz⋅ ⋅ ⋅

intTE c dx dy dzt

ρ ∂∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∂

Equazione generale della Conduzione

yx zqq q TG cx y z t

ρ∂ ∂ ∂ ∂

− + + + = ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂

Applicando il bilancio di flusso di energia attraverso il volume di controllo si arriva all’equazione di conservazione dell’energia :

Sostituendo ai flussi elementari l’espressione proveniente dalla legge di Fourier, valida per sistemi Ortorombici, si ha:

x y zT T T Tk k k G c

x x y y z z tρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

T T T Tk k k G cx x y y z z t

ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2

2 2 21T T T G c T T

k k t tx y zρ

α∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂

+ + + = ⋅ = ⋅∂ ∂∂ ∂ ∂

Questa equazione può essere ulteriormente semplificata in sistemi Cubici, Corpi Isotropi, diventando:

Si arriva all’espressione più semplice, ed anche più nota, dell’equazione generale della Conduzione termica se si ipotizza che il corpo oltre che Isotropo sia anche Omogeneo:

Equazioni della conduzione in coordinate cartesiane

α∂ ∂ ∂ ∂

+ + + = ⋅∂∂ ∂ ∂

2 2 2

2 2 21T T T G T

k tx y zEquazione di Fourier - Biot

α∂ ∂ ∂ ∂

+ + = ⋅∂∂ ∂ ∂

2 2 2

2 2 21T T T T

tx y zEquazione della Diffusione

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

2 2 2

2 2 2 0T T Tx y z

∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂

2 2 2

2 2 2 0T T T Gkx y z

Equazione di Poisson

Equazione di Laplace

Equazioni della Conduzione in coordinate cilindriche e sferiche

ρφ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2

1 1T T T Tk r k k G cr r r z z tr

( )

( )( )

φ φθ

θ ρθ θθ

∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ + ⋅ + ∂ ∂ ∂ ∂⋅

∂ ∂ ∂ + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂⋅

22 2 2

2

1 1

1

T Tk r kr rr r sen

T Tk sen G ctr sen

Equazione generale della Conduzione in coordinate Sferiche

Equazione generale della Conduzione in coordinate Cilindriche

Scambio termico conduttivo monodimensionale stazionario (1)

= = − ⋅

2/Q dTq k W mA dx

La Conducibilità termica è espressa in (W/m K) nel sistema Internazionale di misura; tuttavia in molti testi i valori di l vengono riportati in (kcal/h m K). Tale grandezza è una proprietà del mezzo e dipende da diversi meccanismi di trasferimento energetico come: vibrazione molecolare, mobilità elettronica, mobilità molecolare. La Conducibilità, quindi, rappresenta la capacità di un mezzo di trasferire energia termica all’interno di esso. Già in precedenza abbiamo visto come la temperatura sia una proprietà, che indica il livello di energia interna sensibile. Se fra due punti di uno stesso corpo si ha una differenza di temperatura è evidente che si avrà pure una differenza di energia interna. In un GAS Il livello di energia interna sensibile è associato solo all’energia cinetica, rotazionale, traslazionale e vibrazionale; di conseguenza maggiore è la temperatura del gas tanto maggiore sarà l’energia cinetica delle molecole che lo compongono.

Il Postulato di Fourier fornisce una relazione semplice per il calcolo del flusso termico conduttivo, specifico o meno.

1 kcal = 4186,8 J 1 J = 0,000238 kcal 1 kcal/h = 1,163 W

1 W = 0,859 kcal/h 1 kcal/h m K = 1,163 W/ m K 1 W/ m K = 0,859 kcal/ h m K

Scambio termico conduttivo monodimensionale stazionario (2)

≈gasTkM

Nei GAS lo scambio termico conduttivo avviene grazie all’urto fra le molecole dello stesso; durante tale urto le molecole ad energia maggiore trasferiscono quantità di moto, e quindi energia cinetica, a quelle ad energia minore. Maggiore è la temperatura, più velocemente le molecole si muovono, e più elevato è il numero di collisioni e migliore è la trasmissione del calore. La pressione risulta poco influente nel valore della Conducibilità termica, solo a pressioni molto basse avremo una sensibile riduzione della conducibilità. La teoria cinetica dei gas ci conferma che la conducibilità termica è proporzionale alla radice quadrata della temperatura ed inversamente proporzionale alla radice quadrata della Massa Molare.

Nei LIQUIDI il meccanismo Conduttivo è più complesso in quanto l’energia potenziale molecolare di legame non è così piccola come nei gas. E’ evidente quindi che la Conducibilità è legata a due fenomeni diversi: l’urto molecolare e la vibrazione del reticolo dei gruppi di molecole. A differenza dei gas la conducibilità termica dei liquidi diminuisce con l’aumentare della temperatura, fa eccezione l’Acqua.

Per quanto riguarda invece la dipendenza dalla Massa Molare vale quanto detto per i gas.

Esistono dei METALLI LIQUIDI, come Mercurio e Sodio, che presentano un elevata conducibilità termica; per tale ragione vengono usati negli impianti nucleari, dove le potenze termiche da dissipare sono estremamente elevate.

Scambio termico conduttivo monodimensionale stazionario (3)Nei SOLIDI il meccanismo conduttivo è associato solo a fenomeni di vibrazione molecolare e di mobilità elettronica. La struttura interna del mezzo risulta determinante per lo scambio vibrazionale (FONONICO); materiali che presentano strutture fibrose allineate secondo un asse (ad esempio il legno) presentano una conducibilità termica maggiore lungo tale direzione. In pratica possiamo dire che la struttura interna reticolare rende il mezzo Isotropo o Anisotropo. In generale la conducibilità termica dei solidi è maggiore di quella dei liquidi e dei gas, fanno eccezione i materiali solidi isolanti, che presentano però una struttura mista: solida ed aeriforme.

I METALLI PURI hanno elevate conducibilità termiche, ciò è dovuto al notevole contributo del trasporto elettronico (sono infatti anche conduttori elettrici); diversamente vale per le leghe metalliche che risultano, in genere, meno conduttive dei metalli che le compongono. Ciò è da addurre alla modifica strutturale che perturba il flusso termico. In genere all’aumentare della temperatura non si ha una forte variazione della conducibilità; solo a temperature molto basse, criogeniche, arriviamo a valori di conducibilità elevatissime: i Superconduttori. Meritano un discorso a parte i solidi cristallini, Diamante e Silicio ad esempio; essi pur essendo cattivi conduttori elettrici presentano elevate conducibilità grazie al contributo fononico della struttura interna.

Scambio termico conduttivo monodimensionale stazionario (4)I MATERIALI ISOLANTI possono essere suddivisi in TRE categorie principali:

1. Materiali Capacitivi: un esempio tipico è rappresentato dalle pareti in terra che grazie all’elevata capacità termica rallentano la diffusione del calore

2. Materiali Riflettenti: sono ad esempio i fogli di Alluminio utilizzati nelle vetrate riflettenti per ridurre la radiazione solare incidente; parimenti anche i Superisolanti sono costituiti da strati di materiale riflettente distanziati da intercapedini sotto vuoto

3. Materiali Resistivi: sono più tipicamente costituiti da materiali a bassa conducibilità termica e presentano strutture fibrose, cellulari e granulari.

I materiali cellulari devono la loro ridotta conducibilità al fatto di essere Eterogenei; tale caratteristica è dovuta alla dispersione di gas, aria, freon o altro, all’interno del materiale solido. Ciò crea una struttura a cellule chiuse in cui rimane intrappolato del gas che, essendo poco conduttivo, riduce il trasferimento termico da un punto all’altro del corpo. I polistiroli, espansi o estrusi, rappresentano una categoria importante dei materiali isolanti. Il loro potere isolante è fortemente legato: al gas contenuto nelle cellule, alla densità del materiale (da 15 a 50 kg/m3) e al tipo di trattamento superficiale del pannello.

Poiché i materiali isolanti risultano composti da più elementi, la schiuma di supporto ed il gas di riempimento, per essi si parla di Conducibilità Termica Apparente; tale definizione è indispensabile perché il meccanismo di scambio termico interno a tali materiali è, in realtà, un insieme di Conduzione, Convezione ed Irraggiamento.

I materiali fibrosi sono invece composti da fibre di piccolo diametro di tipo organico (lana, cotone, legno, o fibre vegetali) o inorganico (lana minerale, fibre di vetro e fibre ceramiche). La Lana minerale è adatta ad applicazioni di alta temperatura in quanto può essere utilizzata fino a 1100 [°C]. Le fibre di vetro sono diversamente adatte anche alle basse temperature, da -30 a +450 [°C] mentre le fibre ceramiche consentono l’utilizzo fino a 1750 [°C]. I materiali granulari sono invece ben rappresentati dalla Vermiculite, dalla Perlite e dai Silicati di Calcio; questi ultimi, rinforzati con fibre organiche ed inorganiche e fusi insieme ne consentono un utilizzo in un range termico che va da 15 a 815 [°C], temperature minori sono sconsigliabili a causa della forte capacità di assorbimento dell’acqua.

Conduzione monodimensionale stazionaria su lastra piana (1)

= = − ⋅

2/Q dTq k W mA dx

= = ⋅ = − ⋅ = ⋅ −∫ ∫ ∫

2

1

1 20 0

( )TL L

T

q dx q dx q L k dT k T T

− = ⋅

21 2 /T Tq k W mL

- Corpo Omogeneo ed Isotropo -

[ ]− −= =

1 2 1 2

cond

T T T TQ WL Rk A

- Analogia Elettrica -

[ ]−=

elettr

V VI AR1 2

.

Conduzione monodimensionale stazionaria su lastra piana (2)

Il concetto di resistenza termica può essere esteso anche allo scambio termico superficiale fra la parete e gli ambienti, interno ed esterno. Si avrà così che, qualora il solido scambi per Convezione con l’esterno, la resistenza termica convettiva sarà data da:

Resistenza termica Conduttiva: [ ]= /condLR K W

k A

= 2' /cond

LR m K WkResistenza termica Unitaria:

[ ]∞ ∞∞

− −= ⋅ ⋅ − = =

s ss

conv

T T T TQ h A T T WR

h A.

( ) ( )( ) 1

[ ]=convR K Wh A1 /

Resistenza termica Convettiva

Conduzione monodimensionale stazionaria su lastra piana (3)

Si consideri una parete alta 3 m, larga 5m e spessa 0,3 m. La conducibilità termica del materiale che compone la parete è pari a 0,9 (W/mK), la temperatura della faccia interna è di 16 °C mentre quella esterna è pari a 2°C. Calcolare la potenza termica che attraversa la parete.

[ ]λ

= = =⋅ ⋅cond

LR K WA

0,3 0,02222 /0,9 (5 3)

[ ]− −= = =

est

cond

T TQ WR

int 16 2 6300,02222

λ = = = cond

LR m K W20,3' 0,3333 /0,9

Conduzione monodimensionale stazionaria su lastra piana (4)

∞∞ ∞ ∞

− −

− −− − −= = = = =

conv cond cond conv totale

T T T TT T T T T TQR R R R R

2 3 3 21 1 1 2 1 2

,1 (1 2) (2 3) ,2

− −= + + +totale conv cond cond convR R R R R,1 (1 2) (2 3) ,2

Una parete multistrato viene trattata come un insieme di resistenze termiche connesse in Serie fra di loro. E’ importante sottolineare che tale applicazione è valida solo in regime stazionario e monodimensionale. Infatti solo in tal caso il flusso termico che attraversa ogni strato è sempre lo stesso.

Conduzione monodimensionale stazionaria su lastra piana (5)

Una finestra è alta 0,8 m e larga 1,5 [m]. Essa è costituita da un doppio vetro con intercapedine di aria; lo spessore di ogni vetro è di 4 [mm] con una conducibilità di 0,78 [W/mK], la lama di aria è da 10 [mm] con una conducibilità di 0,026 [W/mK]. Nell’ipotesi che la temperatura dell’ambiente caldo (interno) sia di 20[°C] e quello freddo (esterno) di -10[°C]: calcolare la potenza termica dissipata attraverso la finestra e la temperatura della superficie interna del vetro.

Si assuma un coefficiente di scambio convettivo interno di 10 [W/m2K] e di 40 [W/m2K] all’esterno.

Conduzione monodimensionale stazionaria su lastra piana (6)

Quando il flusso termico incontra due o più materiali di diversa conducibilità termica, posti affiancati l’uno all’altro, siamo in presenza di una rete resistiva disposta in parallelo.

In tal caso il flusso termico totale si divide fra i due materiali, sottoposti a loro volta alla stessa differenza di temperatura.

( )

− −= + = + =

−= − ⋅ + =

1 2 1 2

1 21 2

1 21 2

1 2

1 1

totale

tot

T T T TQ Q QR R

T TT TR R R

= +totR R R1 2

1 1 1

Conduzione monodimensionale stazionaria su lastra piana (7)

Trasmittanza di una parete

= 2

totale

1K W / m KR' ( )= ⋅ ⋅ −

1 2Q K S T T

Ponti Termici (1)L’analogia elettrica è applicabile solo in caso di conduzione termica monodimensionale e stazionaria. Nel calcolo delle dispersioni attraverso una struttura edilizia non è possibile pensare sempre ad una conduzione monodimensionale; gli spigoli, le finestre, gli angoli sono tutti esempi in cui il trasferimento di calore non può essere assunto monodimensionale. Si introduce così il concetto

Ponte termicodi forma

Ponte termicodi struttura

di PONTE TERMICO: inteso come quella zona della struttura in cui il flusso termico assume caratteristiche di bi o tri-dimensionalità. E’ possibile individuare 2 tipologie di Ponte termico: di Forma e di Struttura; in molti casi si possono avere anche ponti termici misti.

Ponti Termici (2)Il ponte termico induce un aumento delle dispersioni attraverso la struttura; si ha così che, in corrispondenza del ponte, la temperatura della parete interna risulta minore, delle zone non disturbate dalla presenza del ponte termico. Sulla parete esterna si avrà un comportamento opposto, ossia la temperatura della stessa, in corrispondenza del ponte, risulterà maggiore di quella delle zone non interessante dal ponte termico.

e= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ −

1 1 2 2 l 1 2Q (K S K S k L) (T T )

kl = coefficiente lineico (W/mK)

L = lunghezza del ponte termico

Ponti Termici (3)

= ⋅ ⋅lk 0,2 K e

Angolo fra 2 pareti

= ⋅ ⋅lk 0,45 K e

Pilastro di angolo

e = media fra gli spessori delle 2 pareti

≅lk 0

Angolo isolato

= ⋅ ⋅lk 0,6 K e

Ponti Termici (4)

= ⋅ ⋅lk 0,4 K e

Giunto muro esternomuro interno

≅lk 0

= ⋅ + − ⋅l 0k K l (K K ) f ( y )

= − ⋅ + ⋅ +2f ( y ) 0,26 y 0,31 y 0,02

=+

i

i e

eye e

K0 K

Ponti Termici (5)

= ⋅ ⋅ + − ⋅l 0k 0,4 (K l (K K ) f ( y ))

= − ⋅ + ⋅ +2f ( y ) 0,26 y 0,31 y 0,02

=+

i

i e

lyl l

K0

K

≅lk 0≅lk 0= ⋅ ⋅lk 0,6 K e

⋅=

+lm

0,6 ek0,06 R

Rm=Resistenza Termica Unitaria della parte di muro non isolata

Coefficienti Liminari

In precedenza lo scambio termico fra una parete e l’ambiente, interno ed esterno, è stato analizzato solo da un punto di vista convettivo; il termine (1/h) ha identificato la resistenza termica unitaria convettiva. In realtà lo scambio termico per Irraggiamento gioca un ruolo importante, così che non può essere trascurato.

Per tale ragione vengono introdotti i Coefficienti Liminari che rappresentano lo scambio termico per Convezione+Irraggiamento. Tali coefficienti, indicati con α, sostituiscono nel calcolo quelli di scambio termico convettivo, in questo modo la resistenza termica unitaria fra la parete e l’ambiente, interno o esterno, sarà rappresentata da (1/α).

α = + ⋅e 2,3 10,5 vPer venti con v>4 m/s

Conduzione termica monodimensionale in geometrie cilindriche in regime stazionario

( )( ) costante=C1dT rQ k A rdr

= − ⋅ ⋅ =

( )2 C1dT rk r Ldr

π− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1 1

1( )2

T r

T r

C drdT rk L rπ

− = ⋅⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

11 1

1( ) ln ln2 2

C r Q rT r Tk L r k L rπ π

− = − ⋅ = − ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

22 1

1ln

2rQT T

k L rπ

− = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( )

1 2 1 2

2 12

ln cil

T T T TQ k L

r r Rπ

− −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

( )2 1ln2cil

r rR

k Lπ=

⋅ ⋅ ⋅

Cilindro multistrato

( )1 21 1 2

tot

T TQ U A T T

R∞ ∞

∞ ∞−

= = ⋅ ⋅ −

,1 ,1 ,2 ,3 ,2

3 422 31

1 1 1 2 3 2 4

ln lnln1 1

2 2 2

tot conv cil cil cil convR R R R R R

r rrr rr

h A k L k L k L h Aπ π π

= + + + + =

= + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ =11/( ) Coefficiente di scambio termico globale

totU A R

Raggio critico di isolamentoL’aggiunta di isolante ad un guscio cilindrico non necessariamente ne aumenta la resistenza termica globale; ciò è dovuto al fatto che benché lo spessore di isolante contribuisca ad incrementare la resistenza conduttiva, allo stesso tempo aumenta anche la superficie esterna di scambio convettivo, così che il risultato totale non porta sempre ad un innalzamento del grado di isolamento termico del tubo.

1 1

21

2

ln1

2 2

isol conv

T T T TQ

rR Rrk L h r Lπ π

∞ ∞− −= =

+ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Derivando il flusso termico in funzione del raggio r2 e ponendo la derivata uguale a zero otteniamo:

Raggio Criticocrkrh

= =

Per l'aggiunta di isolante incrementa lo scambio termico

Per l'aggiunta di isolante riduce lo scambio termico

krhkrh

<

>

Esercizio sul guscio cilindricoUn conduttore elettrico lungo 5 metri e con diametro pari a 3 mm è rivestito da una guaina plastica da 2 mm di spessore, avente conducibilità termica pari a 0.15 W/mK.Nel conduttore fluisce una corrente di 10 A e si rileva una caduta di potenziale di 8 V su tutta la lunghezza; la superficie esterna della guaina plastica è sottoposta ad uno scambio termico convettivo con un fluido posto a 30 °C, con un coefficiente di scambio termico convettivo di 12 W/m2K.Si calcoli la temperatura dell’interfaccia fra il conduttore e la guaina e si determini se raddoppiando lo spessore della guaina isolante si incrementa o meno lo scambio termico totale.

∞−= ⋅ = ⋅ = = +

18 10 80cond conv

T TQ V I W

R R

2

1 1 0.76 /2 12 2 0.0035 5convR K W

h r Lπ π= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )21

0.0035ln ln 0.0015 0.18 /2 2 0.15 5cond

rr

R K Wk Lπ π

= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )∞= + ⋅ + = + ⋅ + = ° 1 30 80 0.18 0.76 105cond convT T Q R R C

0.15 0.012512cr

kr mh

= = = 0.0015 2 0.002 0.0055 crr r= + ⋅ = <

L’aumento di spessore incrementerà lo scambio termico

Conduzione Stazionaria Monodimensionale con generazione interna di caloreIn alcune applicazioni è possibile che all’interno di un corpo una forma di energia venga trasformata in calore; ne sono un esempio i conduttori elettrici percorsi da corrente oppure un corpo soggetto a reazioni chimiche o nucleari. In tal caso è possibile tecnicamente misurare la temperatura della superficie esterna del corpo, meno facile è invece misurarne la temperatura al suo interno; sarebbe estremamente utile in tal caso disporre di una formula che consenta di determinare la temperatura al centro del corpo nota quella sulla sua superficie esterna.

V

A

k

h

Ts

Te

Generazione Interna G V= ⋅

( )s eG V h A T T⋅ = ⋅ ⋅ −

Dalla conservazione dell’energia applicata sulla superficie esterna del corpo si ottiene:

s eG VT Th A⋅

= +⋅

2

3

s eparete piana

s ecilindro

s esfera

G LT Th

G RT Th

G RT Th

⋅= +

⋅= +

⋅⋅

= +⋅

Calcolo della temperatura internaNota così la temperatura esterna è possibile risalire a quella interna ricordando che il calore generato localmente all’interno del corpo DEVE, in condizioni stazionarie, essere uguale a quello trasmesso per conduzione attraverso le sue superfici isoterme.

( ) ( )dTk A r G V rdr

− ⋅ ⋅ = ⋅

r

R

Applicando la trattazione ad un CILINDRO avremo:

22 dTk r L G r Ldr

π π− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

2GdT r dr

k= − ⋅ ⋅

⋅

0

2

0 4sG RT T

k⋅

= +⋅

2

0 2sG LT T

k⋅

= +⋅

2

0 6sG RT T

k⋅

= +⋅

Applicando la trattazione ad una PARETE PIANA avremo:

Applicando la trattazione ad una SFERA avremo:

Esercizio

Un resistore utilizzato per il riscaldamento dell’acqua sanitaria assorbe 8 A a 220 V di tensione di rete. Se il diametro del riscaldatore è di 4 mm, la sua lunghezza è di 0.5 m e la sua conducibilità termica è di 15 W/mK, quale sarà la temperatura del suo centro se la temperatura della sua superficie esterna è di 105 °C ?

( )9 3

2

220 8 2.8 10 /0.002 0.5

Voltaggio AmperaggioG W mVolume π

⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅

( )292

02.8 10 0.002

105 105 18.7 123.74 4 15s

G RT T Ck

⋅ ⋅⋅= + = + = + = ° ⋅ ⋅

SOLUZIONE

Quale sarà la temperatura ad una distanza dal centro pari a 1.2 mm ?

Lo scambio termico conduttivo stazionario in sistemi 2-D

Diversamente dal caso monodimensionale la Conduzione termica in un sistema bidimensionale non consente soluzioni immediate dell’equazione di conservazione dell’energia.

Le tecniche maggiormente utilizzate per risolvere il problema sono 3 e consistono:

1. nel Metodo Grafico;

2. nei Metodi numerici delle Differenze Finite;

3. nel Metodo analitico della separazione delle variabili.

Tale metodo è applicabile quando le condizioni a contorno del problema sono limitate a quelle di temperatura di parete costante e di superficie adiabatica. Benché non particolarmente accurato, il metodo grafico permette una rapida valutazione del flusso termico che attraversa il sistema bidimensionale e pertanto è comunemente utilizzato in calcolo ingegneristici di prima valutazione.

METODO GRAFICO

Metodo Grafico

L’applicazione del Metodo Grafico richiede dapprima una scomposizione del corpo 3-D secondo i suoi assi di simmetria termici e geometrici; in tale modo si riduce l’analisi ad una sezione bidimensionale i cui confini sono superfici isoterme separate da superfici adiabatiche.

T1

T2

SuperficieAdiabatica

Asse disimmetria

T2T1

Superficie Adiabatica

Superficie Adiabatica

Ipotesi del Metodo GraficoLo scambio termico conduttivo nella sezione 2-D vista in precedenza avviene in un “tubo di Flusso” il cui “mantello” è costituito da superfici adiabatiche e le cui estremità sono invece superfici isoterme.

Le linee Isoterme sono SEMPRE perpendicolari a quelle adiabatiche.

Le linee Isoflusso sono SEMPRE perpendicolari alle linee Isoterme

T1

q1

T2

q1

Isoterme

Adiabatiche

q 1

q 1

∆x

∆ya

b

c

d∆T j

Applicazione del Metodo Grafico

2 2ab cd ad bcx y+ +

∆ ≡ ≈ ∆ ≡

A questo punto si passa alla suddivisione del corpo 2-D in un insieme di tubi di flusso elementari di altezza ∆y, ognuno dei quali è a sua volta spezzettato in tanti elementi più piccoli ∆x confinati da due linee isoterme successive. Per semplicità di calcolo è consigliabile suddividere graficamente l’oggetto in modo che localmente sia ∆x = ∆y.

T1

q1

T2

q1

Isoterme

Adiabatiche

q 1

q 1

∆x

∆ya

b

c

d∆T j

1

M

i ii

q q M q=

= = ⋅∑

Il flusso termico totale che attraversa il corpo sarà dato da:

( )j ji i i j

T Tq k A k y l k l T

x x∆ ∆

≈ ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ∆ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∆∆ ∆

ossia:

−=

∆ = − = ∆ = ⋅ ∆∑1 2 1 21

( )N

j jj

T T T T N T

( ) ( )−= ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅

⋅⋅ −1 2

1 2 1 2( )

iM l S

T Tq M q M k l k k

NT T T T

N

−∆ = 1 2

jT T

TN

M lSN⋅

=

Fattore di Forma

l = dimensione del corpo lungo l’asse z

Fattori di forma (1)

Fattori di Forma (2)

Sfera cava Sfera isoterma

Sfera isoterma

Cilindro isotermo all’interno di una parete piana Cilindro isotermo all’interno di una

barra solidaCilindro isotermo all’interno di una

barra cilindrica

EsercizioDue tubi di un impianto sotto traccia viaggiano paralleli ad una distanza di interasse di 30 cm. Se uno dei due tubi porta acqua calda a 70 °C e l’altro porta acqua fredda a 15 °C quanta potenza termica verrà scambiata fra le tubazioni qualora la lunghezza delle stesse fosse 5 m ed il diametro di ognuna 5 cm ?

Si assuma una conducibilità del materiale che separa i due tubi pari a 0.75 W/mK.

1 2

0.35

0.050.75 /

z mL mD D mk W mK

=== =

=

( ) ( )( )

2 21

2

2 5 6.344 0.3 2 0.05

cosh2 0.05

S mπ

−

⋅ ⋅= =

⋅ − ⋅ ⋅

( ) ( )1 2 6.34 0.75 70 15 262Q S k T T W= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − =

SOLUZIONE