E in materia 1

E in materia 2

Condizioni al contorno

1. Campo elettrico stazionario

2. Materiale dielettrico

E in materia 3

In linea di principio valgono tutti i teoremi che abbiamo visto nel vuoto…

(tutti gli esperimenti che hanno portato a tali teoremi sono stati effettuati nella materia)

E in materia 4

q

E = 204

1

r

q

r

E in materia 5

q

E

E in materia 6

q

E in materia 7

Dimensioni atomiche

Un fattore 10-4 equivale a 1cm/100m

E in materia 100 m circa

1 cm

E in materia 9

204

1

r

q

204

1

r

q

204

1

r

q

204

1

r

q

2

04

1

r

q

204

1

r

q

204

1

r

q

204

1

r

q

2

04

1

r

q

204

1

r

q

204

1

r

q

q

E in materia 10

…in pratica vi sono molte difficoltà nella loro applicazione.

E in materia 11

Supponiamo che nel bicchiere ci siano 18 g di acqua (pari ad una grammomolecola).

Il numero di molecole sarà quindi (numero di Avogadro)

NA= 6.02 1023 Poiché nell’ H2O vi sono 1 atomo di ossigeno e 2 di idrogeno avremo 10 cariche positive (ed altrettante negative) per molecola,quindi in totale vi sono circa 10* 6.02 1023 =6*1024 cariche positive ed altrettante negativeCiascuna di queste concorre al campo elettrico con un termine del tipo:

02

1

4

q

r

E in materia 12

204

1

r

q

204

1

r

q

204

1

r

q

204

1

r

q

2

04

1

r

q

204

1

r

q

204

1

r

q

204

1

r

q

2

04

1

r

q

204

1

r

q

204

1

r

q

q

E in materia 13

E in materia 14

31 2

10

324F

1 rr

r

q qq

rK q

Forza di Coulomb

CaricheGeometria

Materiale

E in materia 15

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

- - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

E in materia 16

Supponiamo di avere due condensatori uguali nel vuoto:

Se metto la stessa carica q su di ognuno di essi

00

q

VC

trovo ovviamente lo stesso potenziale e posso definire una Capacità

E in materia 17

Se adesso riempio un condensatore con un dielettrico e vi metto la stessa carica q

trovo un potenziale diverso V1 e di conseguenza una differente capacità

11

q

VC

E in materia 18Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica

E in materia 19

Poichè Q è la stessa (e ) dovrà essere variata la capacità

C0 C '

Variando il dielettrico trovo che posso mettere

C' = r C0

con r > 1 dipendente dal dielettrico

QV=

C

E in materia 20

• Materiale r

• Acqua a 25 0C 78• Aria secca a 1 atm e 25 0C 1.0005• Carta paraffinata 2• Gomma 3• Mica 4.5-7.5• Porcellana 6• Vetro 4-10

E in materia 21

E in materia 22

Sperimentalmente si vede che se si mette un dielettrico tra le facce di un condensatore piano sui lati del dielettrico si presenta una densità ±p

E in materia 23

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - -

+ + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - -

E in materia 24

Questo porta ad una modificazione del campo elettrico e quindi della differenza di potenziale

E in materia 25

la carica qest messa dall’esterno non cambia, ma ad essa si aggiunge la qpol che ha segno diverso. Quindi la carica totale è qest + qpol < qest

Poiché è V=Qest/C se V diminuisce aumenterà la capacità

Conseguentemente il campo elettrico e la differenza di potenziale diminuiranno

E in materia 26

Possiamo considerare il sistema in due modi possibili

+++++++++++ +++++++++++

+ + + + + +------------ ------------

- - - - - - - -

+++++++++++

------------

00

1 1

r r

EE

E =0

1( )p

p

p

r

E in materia 27

Trattando il condensatore come un doppio strato possiamo scrivere

00

1 1

r r

EE

Se invece sostituiamo al condensatore pieno uno vuoto, ma con sulle armature una carica tale da avere lo stesso campo elettrico, avremo un campo

E = da cui si ricava

= ==> p = - (1- ) = -

quindi le p sono di verso opposto e proporzionali alle .

0

1( )p

1

r

r 1

r0

1( )p

0

1

r

che rapporto c'è tra r e p?

+++++++

-------

r

+++++++++

+ + + + +---------

- - - - - -p

p

E in materia 28

00 3

1

4

M rV

r

02 1

1 2

1 2

0

0

1 2

0 2

0

1

4

1

4

( )

cos |

1

4

cos

q qV

r r

q r r

r r

r r vero se r

qV

r

M q

E in materia 29

Campo elettrico e potenziale di un dipolo

E in materia 30

Campo elettrico e potenziale di un dipolo

E in materia 31

Se il dipolo di cariche viene immerso in un campo

elettrico E, il momento meccanico delle forze cui

è sottoposto risulta essere:

P qE M E

E in materia 32

Dipolo in campo elettrico

E in materia 33

E in materia 34

1 10 3 3

0 0 0 0

Q( )

1 1 1 1

4 4 4

P

4

n n

i i ii i

q q RR

VR R R R

iove P=Q= q ( )e i iq

E in materia 35

Il primo termine è nullo se Q=0 cioè se il sistema è neutro.

0 3 30 0 0 0

1 11 1 1 1

4 4 4 4

( )P R

πε R

n

i ii

n

ii

qV

R R

q

R

QR

Il secondo termine si può vedere che è nullo se il sistema è simmetrico.

Il secondo termine dipende dalle coordinate a meno che il sistema totale abbia carica Q=0 quindi si può parlare di momento di dipolo intrinseco al sistema solo quando questo abbia carica totale nulla (esempi tipici sono atomi e molecole).

E in materia 36

Conduttori e dielettrici

Gli atomi sono costituiti da un nucleo formato (tra l’altro) da cariche positive (protoni) circondate da cariche negative (elettroni) che, attratte dal nucleo, costituiscono un sistema stabile

E in materia 37

Un atomo è un sistema legato, nel senso che è necessaria una data

energia (energia di ionizzazione, o, cambiando il segno, energia di

legame) per poter estrarre un elettrone e portarlo all’ infinito. Esso

può essere rappresentato come in figura come una buca di

potenziale.

E in materia 38

Ricordiamo adesso che un insieme di cariche (in approssimazione di dipolo ed un atomo è appunto questo), produce un potenziale dato da:

30

0

0 4)1(

41

r

rpr

gradpVi

i

quindi ogni atomo produce una variazione del

potenziale sugli atomi vicini o, se vogliamo, ogni atomo

risente della variazione di potenziale creato da tutti gli

atomi circostanti.

E in materia 39

In alcuni casi questa variazione è

maggiore della energia di legame

e quindi gli elettroni (esterni)

sono messi in comune tra tutti gli

atomi, si ha un conduttore.

In altri casi questa variazione non è sufficientemente alta e quindi l’atomo resta un sistema legato e si ha un isolante (dielettrico).

E in materia 40

Energia di legame

E in materia 41

Nel caso sia presente un campo elettrico esterno gli elettroni

sono liberi di muoversi e si dispongono come in figura in

modo che all’ interno il campo elettrico totale sia nullo

CONDUTTORI

E in materia 42

E in materia 43

q

E

E in materia 44

q

E in materia 45

E in materia 46

1 1 00 3 3

0 0 0 0

( )p1 1 1 1

4 4

Q

4 4

n n

i i ii i

q q RR

VR R R R

0iove e p = (Q= q )i iq

E in materia 47

• Sia il momento di dipolo elettrico della molecola.

• è uguale a zero se la molecola ha una simmetria tale che il centro di massa delle cariche positive coincide con quello delle negative (sostanze non polari ad es elio, neon, ossigeno, idrogeno),

• è diverso da zero nel caso non vi sia simmetria (sostanze polari ad es. acqua, NaCl).

0p

0p

0 )p = ( i iq

E in materia 48

E in materia 49

E in materia 50

L’ ordine di grandezza di

( )si può ottenere moltiplicando il valore di alcune cariche elettroniche (qualche unità in 10–19C) per una frazione del diametro della molecola (10-11m) si ottiene dell’ ordine di 10-30 C m.

0p

0p

0 )p = ( i iq 0p

E in materia 51

Molecola P0 in 10-30Cm

NaCl

AgCl

H2O

H2S

HCl

NO

CO

SO2

30.0

19.1

6.23

3.67

3.60

0.52

0.33

5.34

E in materia 52

In generale i momenti di dipolo (delle molecole che lo hanno) sono distribuiti casualmente nel tempo (di osservazione) e nello spazio (in cui avviene la misura) per cui la media è = 0.

In presenza di un campo esterno tendono ad orientarsi parallelamente al campo esterno (contrastati dalla agitazione termica)

E in materia 53

E in materia 54

E in materia 55

E in materia 56

E in materia 57

Inoltre tutti gli atomi e le molecole, sia che abbiano momento proprio uguale o diverso da zero, tendono a deformarsi, dando luogo a nuovi momenti di dipolo.

Per i sistemi con momento proprio diverso da zero, i momenti ottenuti per deformazione si aggiungono a quelli propri.

E in materia 58

Nel caso dei dielettrici si hanno due effetti:

per tutti materiali si ha

una dell’ atomo;

E in materia 59

E in materia 60

Per alcuni elementi, i cui atomi o molecole posseggano un momento di dipolo elettrico, si ha anche un

E in materia 61

RIASSUMENDO

Polarizzazione per deformazionead es

Polarizzazione per orientamentoad es.

H2, Elio, Neon, Ossigeno, CO2

in cui il campo elettrico esterno provoca una deformazione che è la causa dell' insorgere di un momento di dipolo proprio.

avviene per le molecole che hanno già un momento di dipolo proprio.

Acqua, NH3

E in materia 62

Polarizzazione di un dielettrico

• sia un dielettrico polare che uno apolare, quando sottoposti ad un campo elettrico E ≠ 0, subiscono polarizzazione, ossia i dipoli interno (propri o indotti da E) tendono ad orientarsi parallelamente ad E, tutti con lo stesso verso

E in materia 63

Si supponga di mettere tra le piastre di un condensatore un dielettrico: inizialmente i dipoli sono orientati a caso, se però ai capi del condensatore si mette una differenza di potenziale V i dipoli si allineano sotto l’azione del campo esterno Eest applicato. A seguito dell’allineamento, però, i dipoli creano a loro volta un campo Eint interno al dielettrico di verso opposto a quello esterno

E in materia 64

Conseguentemente, il campo elettrico risultante all’interno del dielettrico risulta inferiore rispetto a quello che si avrebbe in assenza del materiale, ossia rispetto al campo elettrico Eest

Etot = Eest + Eint < Eest

E in materia 65

• Inoltre, sulle superfici del dielettrico che si affacciano sugli elettrodi appare una carica (CARICA DI POLARIZZAZIONE) dovuta ai dipoli che si affacciano su tali superfici

E in materia 66Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica

E in materia 67

E in materia 68

è il momento elettrico proprio (per orientazione o deformazione di ciascuna molecola).

p

p 0

è il momento elettrico medio della molecola (mediato nel tempo e nel numero di molecole presenti nel volume considerato) in una data direzione

n = numero di molecole/unità di volume

= n è il vettore intensità di polarizzazione momento elettrico dell' unità di volume.P

p

E in materia 69

In caso di isotropia in un volume si ha la seguente situazione. Le cariche interne si annullano e si vedono solo le cariche sulla superficie.

E in materia 70

In tal caso dato un volume V= l S questo ha un momento elettrico dato da PV. Ma il momento può essere calcolato come q l quindi si ha

PV = q l ==> P(S l) = q l = (pS)l da cui

p = P

pp

l

E in materia 71

Più in generale se il campo elettrico esterno (e quindi , non è normale alla superficie) si ottiene

p=

Essendo la normale alla superficie.

P

nP

n

E in materia 72

Se la polarizzazione del dielettrico non è uniforme allora su

ogni prismetto ci sarà una carica pds – ’p ds cioè

PdS - P'dS = dQp dPP'=P+ dl

dl

p

dP dPdQ = Pds -P'ds = Pds -(P+ dl)ds = - dlds

dl dl

e quindi la densità di carica è pp

dQ dP=ρ = -

dV dl

ma poichè possiamo scrivere

abbiamo:

E in materia 73

Più in generale se i prismetti sono disposti in modo qualsiasi si può

dimostrare che sussiste la

p = - divP

E in materia 74

la somma delle cariche di polarizzazione deve essere nulla dato che si ha solo uno spostamento di cariche; in effetti si ha:

Per il teorema della divergenza si vede che è qp=0

VSV

p

S

pp dV)Pdiv(dSnPdVdSq

NOTA

E in materia 75

Nel vuoto il teorema di Gauss si scrive :

dove è la densità di carica relativa alle cariche messe dall’esterno.

Nella materia in cui oltre alle cariche esterne vi sono le cariche di polarizzazione p , possiamo scrivere:

0

Ediv

E in materia 76

e ponendo div = - p

( = vettore di polarizzazione) si ha

Cioè

divE

0

p

0

P

P

PdivEdiv

0

)P]E([div 0

E in materia 77

se introduciamo il vettore = 0 +questo gode della relazione

Div = cioè gode della stessa proprietà di 0 nel

vuoto.

D

E

P

D

E

E in materia 78

(vettore di polarizzazione) è proporzionale a .E

P

E in materia 79

Infatti, per la polarizzazione per deformazione lo spostamento delle cariche, almeno per piccole deformazioni, è proporzionale al campo elettrico esterno ed il momento di dipolo è proporzionale allo spostamento.

E in materia 80

E in materia 81

Nel caso poi di Polarizzabilità per orientamento si ha che, dato un momento di dipolo p0 in un campo elettrico alla temperatura T si può dimostrare che la componente di p0 nella direzione di è data da:

E

E

E in materia 82

p = p0 L(a) con

L(a) =

funzione di Langevin, ove

a =

con K = costante di Boltzmann= 1.38 10-23 J/k

1a a

a a

e e

e e a

KT

Ep0

E in materia 83

Come si arriva a questa formula?

Supponiamo di avere un insieme di molecole, aventi momento proprio, immerse in un campo elettrico esterno…

E in materia 84

In queste condizioni si raggiunge un equilibrio termico, in cui le molecole aventi il momento p0 parallelo e nello stesso verso del campo sono un poco di più di quelle aventi la stessa direzione ma verso opposto, e quindi, se si calcola la polarizzazione media delle molecole questa avrà una componente non nulla nella direzione del campo.

E

E in materia 85

Una molecola di momento elettrico p0 orientato a formare un angolo con

la direzione di , ha una componente del momento elettrico lungo pari a p0cos.

E

E

p0

Ep0 cos

E in materia 86

Il valore medio, di questa componente sarà:

avendo indicato con il valore medio di (cos calcolato su di un gran numero di molecole.

θcos

θcospp 0

E in materia 87

Per calcolare faremo uso della distribuzione di Boltzmann la quale ci dice che, in un sistema termodinamico in equilibrio termico, il numero di molecole di energia potenziale U è descritto dalla funzione P(U) di Boltzmann

cos

P(U)Ae U

KT

E in materia 88

dove

A è una costante di normalizzazione

U è l’ energia del dipolo ( =

con angolo tra e )

K è la costante di Boltzmann (1.38 10-23 JK-1)

T è la temperatura assoluta del dielettrico

P(U)Ae U

KT

U p 0

E

p0E cos

p 0

E

E in materia 89

e quindi ogni valore dell'angolo comparirà con probabilità proporzionale a

0p Ecosθ

kTf(θ)=Ae

E in materia 90

Per calcolare il valore medio di cos occorre mediare su tutte le possibili orientazioni delle molecole eseguendo l’integrale:

ddsenf

ddsenf

)()(

)()(coscos

E in materia 91

dove l’integrale a denominatore è stato introdotto per normalizzare ad 1 la probabilità totale, e l'integrazione va eseguita sull'elemento di angolo solido

d = sen d d,

con variabile tra 0 e 2π, variabile tra 0 e π. Le funzioni integrande non dipendono da e quindi l’integrazione in d può essere immediatamente eseguita

ddsenf

ddsenf

)()(

)()(coscos

E in materia 92

avendo posto

x=cos, dx= -sind

Eseguendo l'integrazione si ha infine il risultato:

1

0

1

0

0

cos

0

cos

)(2

)(cos2

cos0

0

dxe

dxxe

dsene

dsene

ax

ax

kT

Ep

kT

Ep

ap0E

kT

E in materia 93

= L(a)a

1

ee

eecos

aa

aa

e per il momento elettrico medio delle molecole nella direzione del campo

)a(Lpcospp 00

E in materia 94

La funzione L (a) è detta funzione di

Langevin ed è rappresentata in figura:

aee

eeaa

aa 1

E in materia 95

E

)(0 aLpp

Per piccoli valori di a L(a)cresce proporzionalmente ad a, cioè cresce proporzionalmente ad ; al crescere di a essa tende ad 1, cioè tutte le molecole si allineano nella direzione del campo e p tende a po.

kT

Epa 0

E in materia 96

Nella pratica la zona di interesse è quella dei piccoli valori di a.

Infatti possiamo pensare che po sia dell'ordine della carica dell'elettrone moltiplicata per una lunghezza dell'ordine di 10-10 m, (cioè circa 10-30Cm)

- la costante di Boltzmann vale k = 1,38 x 10-23 J/K; - assumendo temperatura ambiente T = 300 0K - e un campo E = 106 V/m, si ha che

a è dell’ordine di 4 10-3 << 1

kT

Epa 0

E in materia 97

per a piccoli allora si può sviluppare L(a) in serie e si ottiene che per a <<1 L(a) si riduce a

L(a)

quindi risulta p=p0L(a)

0 polarizzabilità per orientamento o polarizzabilità dipolare, definita come il rapporto, indipendente da E, tra il momento elettrico medio dovuto all'orientamento delle molecole e il campo agente sulla molecola. Quindi 0 =

3

a

EKT

Epap

33

20

0

p02

3kT

E in materia 98

In generale anche le molecole polari subiscono una deformazione della nube elettronica sotto l’azione di un campo elettrico e la loro polarizzabilità (detta spesso polarizzabilità molecolare) è quindi la somma di due termini

= el +

quindi può dipendere ( a seconda dell' approssimazione dato che in genere el è più piccolo di ) da E ed allora si usa

mettere sotto la forma

p02

3 kT

20

3

p

kT

E in materia 99

anche se spesso (E) = = costante

P = E = 0(E) E

E in materia 100

se introduciamo il vettore = 0 +vettore induzione elettrica questo gode della relazione

Div =

cioè gode della stessa proprietà di 0 nel vuoto.

D

E

P

D

E

)P]E([div 0

RIASSUMENDO

E in materia 101

(vettore di polarizzazione) è una funzione di .E

P

Può quindi essere messo sotto la forma

0P=f(E)=ε χ(E)E

P=f(E)

0

f(E)χ(E)=

εBasta definire

E in materia 102

anche se spesso (E)= =costante suscettività elettrica

inserendola nella si ha

cioè

))(( 00 EEEdiv

)( 0 PEdiv

P = E = 0(E) E

0

1+χ(E)ρ

div[( )E)]=ε

��������������

E in materia 103

Nel caso (molto frequente) in cui (E) sia indipendente da E si ha

0

0r r

EdivE div

��������������

��������������

0εχ)(1

ρEdiv

si ricava 1+= r

da cui, ricordando che

: 00

0r

EE die vE

E in materia 104

EEEEEED

PED

r

0000

0

)(1)(

come scriversi allora può

vettoreil

E in materia 105

mentre nel vuoto basta per descrivere tutto lo stato del sistema,

nella materia sono necessari due vettori (qualunque tra E,D,P) tradizionalmente si usano

e

E

E D

E in materia 106

Nel vuoto Nei dielettrici

0div(ε E)=ρ

rotE=0

0rotE =0

div D=ρ

E in materia 107

• La costante dielettrica relativa R dipende essenzialmente dal grado di polarizzazione (o spostamento del baricentro delle cariche positive e negative) che può avvenire nel materiale.

• I fenomeni di polarizzazione (che sono strettamente collegati alla costante dielelettrica) possono essere divisi in due categorie: per orientamento o di polare e per deformazione che può a sua volta essere divisa in : elettronica, atomica e ionica.

• La polarizzazione totale, ad ogni frequenza, è la somma dei contributi che ciascun tipo di polarizzazione può dare a quella frequenza

E in materia 108

Polarizzazione dipolare

E in materia 109

Polarizzazione per deformazione elettronica

• Essa è dovuta ad un leggero spostamento della nuvola elettronica caricata negativamente degli atomi relativamente al nucleo caricato positivamente.

E in materia 110

Polarizzazione per deformazione atomica

• Essa è dovuta ad un leggero spostamento relativo di ioni adiacenti di segno opposto, che si riscontra quindi solo in reticoli di sostanze di tipo ionico o covalente-polare.

E in materia 111

Polarizzazione per deformazione ionica o interfacciale

• Essa si verifica in materiali che non sono dei dielettrici 'ideali' ma nei quali può avvenire una migrazione di carica su distanze macroscopiche.

E in materia 112

• I meccanismi di polarizzazione non sono istantanei, ma richiedono un certo tempo per raggiungere l’equilibrio.

Il tempo necessario a raggiungere l'orientazione di equilibrio viene detto tempo di rilassamento, ed il suo reciproco frequenza di rilassamento. Quando la frequenza del campo applicato supera quella di rilassamento di un particolare processo di polarizzazione, i dipoli non possono riorientarsi abbastanza velocemente e quel particolare processo si disattiva.

E in materia 113

Ogni tipo di polarizzazione è caratterizzato da un suo tempo di rilassamento. Polarizzazione Tempo di rilassamento (sec.) elettronica 10-16

atomica 10-12

molecolare 10-3 ÷ 10-8

Se questo tempo è relativamente elevato, ad alte frequenze la polarizzazione del materiale non potrà piu seguire le variazioni del campo elettrico. Al contrario a basse frequenze sarà possibile per ogni tipo di polarizzazione seguire l'andamento del campo elettrico e la costante dielettrica raggungerà il suo massimo valore

E in materia 114

E in materia 115

DipoloLF

DipoloMF

DipoloHF

E in materia 116

Comportamento di nella superficie di separazione tra due

dielettrici.

DeE

E in materia 117

00 dsEquindiErotE

Componente tangenziale

E in materia 118

'3dl

''3dl

''4dl

'4dl

E in materia 119

' '' ' ''1 3 2 3 1 4 2 4E dl E dl E dl E dl

nei tratti 3 e 4 l' integrale è = 0 per due ragioni: 1) perchè sono infinitesimi di ordine superiore. 2) perchè se 1 e 2 sono infinitesimi non c'è ragione

perchè l' integrale su 3 debba differire da quello su 4 quindi:

0ldEldE 2211

0ldEldE 2211

E in materia 120

0coscos 222111 dlEdlE

da cui

ET1 = ET2

E in materia 121

Componente normale.

Ddiv

Si prenda un cilindretto con superficie laterale infinitesima all' ordine superiore rispetto alle basi

QdVDdivdSnDDcilVolcilSup

S ....

E in materia 122

Q=0 poichè non ci sono cariche esterne all' interno del cilindro si ha

0)( DS

e poichè il flusso laterale è = 0 (infinitesimo di ordine superiore) si ha

S2D) + S2(D) = 0

E in materia 123

D1cos1 - D2cos2 = 0

D1n = D2n

poichè è

abbiamo 1En1 = 2En2 che combinate con ET1= ET2 danno

ED

2

1

2

2

1

1

N

T

N

T

E

E

E

Etg1 = tg2

2

1

E in materia 124

MISURA DEL CAMPO IN UN DIELETTRICO

E

L’ intensità del campo elettrico Eo in un punto dello spazio vuoto è stata definita

dalla relazione dove F indica la

forza agente su una carica di prova q posta nel punto in questione.

q

FE

E in materia 125

In presenza di dielettrici, la definizione precedente per i punti dello spazio interni al dielettrico non è più valida: infatti, se il dielettrico, è solido, per introdurvi la carica di prova q si deve praticare, una cavità nel dielettrico e sulle pareti della cavità si formano delle cariche di polarizzazione che modificano il campo preesistente e tale modifica, in generale, non tende a zero al diminuire delle dimensioni della cavità; se, invece, il dielettrico è liquido, o aeriforme non c'è difficoltà nell'introdurre il corpicciolo contenente la carica di prova ma questo risente delle forze di superficie dovute al contatto col dielettrico.

E in materia 126

Se nel dielettrico viene praticato un taglio parallelo alle linee di forza del campo elettrico e di piccolo spessore, lungo i bordi del taglio non si hanno cariche di polarizzazione (infatti è parallelo ai bordi, perciò p = = 0), mentre le cariche di polarizzazione sulle basi (piccole) del taglio contribuiscono in maniera trascurabile al campo elettrico all'interno della cavità.

P n P

ET1= ET2

E in materia 127

CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI

(caso condensatore piano)

Condensatore con dielettrico r 0ε ε S

C=d

E in materia 128

CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI

(caso condensatore piano)

Se si ha un doppio condensatore (con 2 dielettrici 1e 2) si ha:

1

C

1

C1

1

C2 S

d

S

d

20

2

10

1

1

S

d1

01

d2

02

1

01Sd1

1

2

d2

= = =

=

E in materia 129

C 01S

d1 1

2

d2

E in materia 130

Sul luogo di separazione si ha D1n = D2n cioè

1En1 = 2En2

inoltre la d.d.p. tra 1 e 3 sarà E1d1

la d.d.p. tra 3 e 2 sarà E2d2

e quindi si avrà:

V2-V1= E1d1 + E2d2

Abbiamo quindi due equazioni lineari in E1 e E2 che risolte danno:

E in materia 131

E1 V2 V1

d1 1

2

d2

E2 V2 V1

d2 2

1

d1

E in materia 132

RIGIDITA' DIELETTRICAL' atomo è un sistema legato: occorre una certa energia per portare l' elettrone all' infinito; questa energia è chiamata energia di ionizzazione.Metodi per ionizzare (cioè cedere energia sufficiente all' atomo) sono:1) Calore (sorgenti di ioni a filamento caldo(attenzione, normalmente sono sorgenti di elettroni), stelle,….)2) Luce (=energia) => effetto fotoelettrico, occorrono normalmente sorgenti X o )3) Particelle di alta energia da acceleratori o anche ioni accelerati da campi elettrici.

E in materia 133

Normalmente nell' aria ci sono sempre ioni (provenienti da urti di radiazione cosmica) Se il campo elettrico è alto, ma non troppo, essi vengono accelerati ed urtano altri atomi producendo solo passaggio di cariche ed aumento termico.Se il campo elettrico supera un dato valore, nell' intervallo tra un urto ed un altro lo ione guadagna sufficiente energia da ionizzare l' atomo contro cui urta; si ha quindi un nuovo ione e, continuando, una reazione a catena e quindi una scarica.

E in materia 134

Il campo elettrico necessario per iniziare la scarica (= rigidità dielettrica) dipende dal mezzo (massa dello ione), dallo stato del materiale (distanza tra le molecole) e da condizioni iniziali (umidità od altro) che fanno variare la meccanica del processo.

( Nell'aria in condizioni normali è 31 KV/cm)

E in materia 135

Costante dielettrica e rigidità dielettrica: tabella

Costante dielettrica assoluta del vuoto o = 8,854·10-12 [F/m] Mezzo dielettrico Costante dielettrica

relativa Rigidità dielettrica

[KV/mm] Aria secca (alla pressione di 1 [bar]) 1,0006 3 Acqua pura 81,07 15 Olio minerale 2,2 2,5 7,5 16 Olio per trasformatori 2 2,5 12 17 Bachelite 5,5 8,5 10 Carta comune 2 6 Carta paraffinata 2,5 4 40 50 Carta da condensatori 5 5,5 30 Gomma 2,2 2,5 15 40 Mica 6 8 50 100 Polietilene 2,3 50 Porcellana 4 7 12 30 Vetro 6 8 25 100 Ossido di titanio 90 170 5 Titanati di Ba-Sr 1000 10000 5

E in materia 136

Esempio

si consideri un condensatore piano in aria

( d= 2 cm) a cui è applicata la tensione di 60.000 V.

Allora risulta E= 30.000 V/cm e non avviene la scarica.

E in materia 137Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica

E in materia 138

Inseriamo adesso 0.2 cm di cartone presspan (rigidità 200 kV/cm ed r=4)

Allora si ha nel cartone E1 = = =

= 8.100 V/cm

nell' aria E2 = = =

= 32.400 V/cm

V2 V1

d1 d2

1

2

60000

0.2 1.841

V2 V1

d2 d1

2

1

60000

1.8 0.214

E in materia 139

Quindi scocca la scintilla nell' aria che diviene conduttrice e tutta la tensione viene allora applicata al cartone cioè 60.000/0.2 = 300.000 V/cm e quindi superando la rigidità dielettrica del cartone si ha la scarica .

E in materia 140

E in materia 141

CONDENSATORE REALEIl caso del condensatore nel vuoto è poco diffuso. Molto meglio il condensatore con dielettrico perchè:

1) la capacità aumenta di r quindi di valore anche alti

(casi particolari con r dell’ ordine di 1000-10000)2) dato che spesso d deve essere piccola il dielettrico serve ad impedire che le armature vengano a contatto.

3) il dielettrico può avere una alta rigidità dielettrica e quindi il condensatore può avere una alta d.d.p. sulle armature.

r 0 r 0

SC=ε C =ε ε

d

E in materia 142

E in materia 143

10 cm

10 cm

3

r 0

SC=ε ε

d

8.86 10-12

10-2

30 10-6

= 8.86 10-9 F

E in materia 144

E in materia 145

ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO

Nel vuoto avevamo trovato per la energia del campo elettrico la formula:

0

22

00 2

1

2

1

C

qVCU

che per un condensatore piano da

U 0

1

2

q2d

0S

che nel dielettrico può essere scritta come

U

1

2

q2d

S

E in materia 146

poichè all’ esterno E = 0 mentre all’ interno del condensatore è

E

q

SDa cui, poiché il modulo della induzione dielettrica D è D = = q/S si ricava

SdDE2

1U

ed essendo Sd il volume in cui è compreso il campo elettrico, ricordando che è

E parallelo a

D si ricava per

U S

dq

2

2

1

E in materia 147

la densità di energia l’ espressione

e quindi per l’ energia in un volume V

DE2

1u

dv)(2

1 V

DEU

E in materia 148