Ann. Univ. Ferrara - Sez. VII - Sc. Mat. Vol . X X X I , 169-184 (1985)

Regolarith hiilderiana delle derivate dei minimi di funzionali con parte principale quadratica.

FRAIqCESCO LEOI~ETTI (*)

1. - I n t r o d u z i o n e .

In questo lavoro consideriamo un minimo locale u E H~gc~(tO, R zr de] funzionale

r

i cui coefficienti A~ ~ sono continui in tO e verificano la condizione di Le- gendre -Hadamard :

N

(o,2) ~. ~ A~f(x)~+~> I ~ I ~ I , 2 1 ~ , Vx e to,. Vrj e R ~, V~: e R '~ .

I1 termine g(x, Du) contiene, eventualmente , la u e le sue derivate:

quando g dipende anche dalle derivate di ordine massimo (---- k) allora Fan- damento di g, r ispet to a tali derivate, ~ inferiore a 2. I n questo caso dimo-

streremo la regolarit~ h61deriana della u e delle sue derivate fino all 'ordine

k - - 1 . Se, invece, la funzione g non dipende dalle derivate di ordine mas- simo ed ~ h61deriana insieme ai coefficienti A~ ~, allor~ dimostreremo la re-

golarit~ h61deriana della u e delle sue derivate fino alFordine k.

Pifi precisamente supponiamo che (% p)--> g(x, p) sia una funzione di

Carath~odory, cio5 misurabile in x, per ogni p, e cont inua in p, per quasi ogni x; x ~ un elemento di to aper to di R ~, n~>l; p ~ la matrice {p~},

i --~ 1 , . . . , N, ~ = (~1,..., ~n) multi indice con 0~]~] ---- ~ < ~ k ; k ed N in- teri ~ 1. i=

(*) Dipartimento di Matematica, Universith dell'Aquila, via Roma, 33 - 67100 L'Aquila.

170 F R A N C E S C O L E O N : E T T I

k,2 Hlor , R zr ~ lo spazio dei vet tor i u: ~ -->R zr appar tenent i a/ /k '2(B, R ~r) per ogni aperto B cc ~ ; H~'2(B, R zr b l 'usuale spazio di Sobolev.

Dimostreremo il seguentc

]go TEOREMA 1. ~ia u ~ Hl~e'(~ , R ~') un min imo locale del ]unzionale (0.1) i

cui coeHicienti A~fl siano eontinui in ~ e veri]ichino la (0.2). Per quanto ri- guarda la ]unzione di Carathdodory g supponiamo che

k

(1.1) lg(x, P)I <l(x) -~ e ~ ~ Ip~l a h=O I~]=h

dove

(1.2) " S,). 16Lloe(~ )~ s > l , 2 ~ n - - c r . s , O < ( r < l

(1.3) 0 < th

< -} -oo se 0 < _ h < k - - k - - 1

<2* k--h se O V ( k - - [ c ) < h < k - - 1

< 2 se h = k

2V

[c ~ l'intero tale che 0 < 2 k < n e 2(k~- l )>~n, IP~]~= ~ (P~.)~, c ~ una co, i = l

* 2n/(n 2r), L~'~ ~ lo spazio di Morrey (vedere, ~d stante >~0~ l(x)>~O, 2~ = --. . esempio [1], cap. I).

I n queSte ipotesi

Io~1 = k => D ui~ Llo ~ (~)

e di eonseguenza

Io~l = k --.1 ~ D~'uia C~

0 ,1

OSSEI~VAZIONE. I1 teorema precedente estende ,~lPordine superiore il ri- sult~to contenuto nel teorema 4.1 del lavoro [2].

Per dimostrare la regolaIits hSlderiana delle deriva.te di ordine ma~ssimo suppaniamo che la fuuzione 4i C~rath6odory g verifichi il seguente gruppo di ipa$esi, che iildichiamo complessivamente con (2.1):

'(~.1) k - - 1

I~(x, p) - g (x , q)l < 5 ~h(x) Z ([p~l + Iq~l)~[F - q~l '~ h=0 i~l=h

I~EGOLARITA I-IOLD:E:RIANA :D:ELI,:E D E R I V A T E ECC, 171

dove

x--*9(x,O) eL~o~(~2), S > 1 , ~ > n - - a . S

zs~,a~(12). 0 < y n < l ; ~h ~ 1oc

Su ~h, Sh, 2h ci sono le seguenti ipotesi. Se

allora

Se

~llora

O<dh<: + co; Sh> I ; 2h> [ n ~ r (k - - h)yh&l.

O V t k - - ~ ) < h < k - - 1

1) quando O<3h< 2 ~ sars

2 ~ Sh~

k - - h - -

(r~ ~ ~) 2~ > n -,7- -}- Sh 2k--h 2

[2L~- (0k + ~) S~] ~ ~ > ~-- "L @-~

2%, S~ > , (G q- ~'~)

2 k _ h - -

~ [?~*-~- ~ + y~)s ~

3) quando 3h= 2* ~_~ y~ sar~

~ h ~ -3F OO .

172 FRANCESCO L E O N ~ T T I

OSSV.~VAZm~E. L' ipotesi (2.1) 8 pith debole della richiesta che (x, p) --> --> g(x, p) sia hSlderiana.

Dimostreremo il seguente

k,2 TEOREMA 2. Sia u elliot(Y2 , R N) un minimo locale del ]unzionale (0.1) i eui eoe//ieienti A ~ siano a-hSlderiani loealmente in zQ, 0 < ~ < 1, e refill- chino la (0.2). La ]unzione g veri]iea il gruppo di ipotesi (2.1) e iI a c h e ivi compare ~ Pesponente di hSlderianitd dei coe/]icienti A~f. Allora

dove

v ---- v~Av~Ava

~ l ~ m i n

~ , = m m f [ - - + n 1 tLS,, \

1)] o v ( k - $)<h<k-- 1

{n ( 1 - - ~ ) 2 _ - - ~ h O V ( k - - k ) < . h < k - - i e v3---- m i n

e ~, + 7,,< 2"_~}

OSSERVAZIONE. Per le ipotesi fa t te risulta z > n. Quando

eoaE Llo~(12 ) per ogni h

si pone 1/S~= 0 in vl, v2 e la tesi del teorema 2 continua a vMere. In q~esto e~so, per k = 1 l ' ipotesi su g divent~

]g(x, u)--g(x,v)l<~o(x)(Lul + Ivl)~lu-~l~

e il teorema 2 ufferma che

Questa ~ una generalizzazione del Teorema 2.1 nel lavoro [3] di GIA- QUINTA-G1-uSTI~ in cui si considera 6 ~ 0.

Se i coefficienti A ~ sono Lipschitziuni e 0 < ~ < 1 allora l 'esponente di

REGOLARIT)k H~LDERIANA DELLE DERIVATE ECC. 173

h61derianit~ per D u risulta

Y

Tale esponente 6 o t t imale : si veda il lavoro di D. PInT,LIPS [5].

Ringrazio il Prof . ENI~IOO GIUSTI con cui ho discllsso i r isul ta t i di questo

lavoro.

2. - R e g o l a r i t ~ C k - ~'~.

In questo paragrafo dimostr iamo il Teorema l a t t raverso una serie di lemmi. I1 fa t to essenziale sar~ cost i tui to dal confronto, in una palla B~(xo) , della funzione u, di cui dimostr iamo la regolarit~, con la funzione v, minim% tra t u t t e quelle ehe assumono il da to u su ~BR(xo) , del funzionale o t t enu to da (0.1) ~! congelundo )> i coefficienti A ~ nel eentro xo e me t t endo g ~ 0 (vedi [0], [2]). Osserviamo che, a meno di modificare la funzione 1 nella (1.1), possiamo supporre nel seguito che

t h = 2* per O V ( k - - k ) < h < k - - 1 k - - h

LEMMA 3. Sia u ~ H~o~(Q , R N) un minimo locale del ]unzionale (0.1) eon

le ipotesi (0.2), (1.1), (1.2), (1.3). A[lora per ogni paUa Q1 = B,(y) r162 D esi-

stono due eostanti, co ed Ro, con co> 0 e 0 < R o < l , ed una ]unzione gl (R)>0 , non decrescente e inlinitesima per R ---> O, tali che, per ogni xoe ~ , per ogni

< R < RoAdist (xo, ~Q~) risulta

(3.1)

~+(Xo) Ba(z0)

h=(k--I/)V o BR )1 d x .

DIMOSr Si~ ~ = Bt(y) c c [2, B R = BR(xo) c Qx, R < l . Siu v la soluzione di

(3.2)

v - u e ~ ' * ( B R ( x o ) , R ~ )

~, A~f(Xo) D~v, D~v, dx --, rain.

BR(xo)

174 FRANCISCO LEON~TTI

Allora v verifica~

(3.3) [AC:f(Xo) § A~(Xo)] D~'v, DO~fj dx ---- O, a[= =k i , i=1

BR

Wp e H~'2(BR, RN) .

Quindi (vedere [1], pag. 54), se o~<~R, B ~ = Be(x o)

(3.~) n

Be BR

Poich~ u ---- v § ( u - - v ) in -BR, si ha

(3.5) [o,l=k \ / Jl~,J=k J]~'l=-.~

By BR BR

Occupiamoci del l 'u l t imo termine . Pe r l ' ipotesi (0.2) e per la (3.3) si h:~

•* a U)[ 2 ` i X < al ] =k i , j ~ 1

Bt= BR

f =~ ~ [ATf(Xo) ATf(x)] D~u, D%j,tx + -~ .F(u, BR) -- F(v, BR) + ~'1 I=k i,~=1 .BR

BR BR Bn

Per la minima.lit~ di u r isul ta

P o n i a m o

Allor~

.F(u, B~) - - F(v, B~) < 0 .

Ix-~'l<R

(3.6) ],o~kl-o(~ - ~)t ~ ~x ~ , ~ ( ~ o ~ I-oul~ ~ § BR Ba

+ o:IIg(x,-~)l`ix § o,]lg(x,-~)l`ix. .BR .BR

I~EGOLARIT~k HOLDERIANA DELLE DERIVAT~ ~:CC. 175

P e r m a g g i o r a r e gli u l t imi due t e r m i n i r i c o r d i a m o l ' ipo tes i (1.1). l~isult~

B2r BR BR

B~

P e r la (2.1) si h a

f l d x ~7 eeR n-" �9 BR

P e r Sobolev si hu

~, ~,~ < e, t~'~-~ " a=o l h

P e r 1~ m i n i m a l i t s di v e pe r F ipotes i (0.2) si ha

(3.7) fl~l~k [D~(v -- u)p dx ~ csf l~klD~u] 2 dx " .B.u BR

Allora usa ndo Sobo lev -Po in (~ r~ e la (3.7) o t t e n i n m o

- =

BR BR

P e r l ' u s so lu ta c o n t i n u i t ~ de l l ' i n t eg ra le es is te /~a ~ 0: se R<~RaA1

j n-~r (I) ~ cloR �9

~Ricordia.mo che t h-~ 2* k-a se O V ( k - - f c ) < h < k - - : l . D u n q u e

k-- 1 ~ k-- 1 ~(2~'__a/2)-- 1

h=(k--s Z - a a=(~--s ~J=k

�9 f l~l=k,D'(v- ~t)[ ~ BR

dx.

176 F R A ~ C E S C O L E O N : E T T I

Nel seguito use remo spesso la disuguagl ianza

(3.8) a~ b q

a b e - - 4 - a ,b>O; > 1 ; 1 1 = 1 p p , q �9

I n virtfi di essa, se Io~l = k

.Rn- ,(t,~l(2-t~,))

Ba Ba Ba

Se e 6 posi t ivo m a piccolo risulter~

~k

2- - t~

Analoga maggiorazione vale per D c ' ( v - u), I ~] = k. In se r i amo le va lu taz ioni precedent i nella (3.6):

l ~ k l D ~ ' ( v - - u)p d x <

] f ~[=~ k--1 ~ �9 ~ I ~=(~_~')v o BJlo, l =a

BR .B a

dx 4-

Per l 'assoluta cont inui t s del l ' in tegrale esiste R2 ~ 0 ta le che, per .R<~Rs, posso so t t ra r re dal p r imo m e m b r o il t e rmine con tenen te D~'(v ~ u); inse- r endo la maggiorazione cosi o t t enu t a nella (3.5) si ha tesi con

z,(R) = z(R) 4- ~

Ro = R1AR2A1 �9 C.V.D.

I due l emmi seguent i precisano a lcune propr ie t~ degli spazi H ~'u e L 1'~ che servi ranno nel seguito. Pe r avere un ' idea del t ipo di d imost raz ione si r i m a n d a ai paragraf i 2 e 3, capitolo 1 di [1].

L E n A 4. Sia w ~ Hk.2(~l, RN), F21 : Bdy) c R n. Se

(4.1)

(4.2)

]D~ .LI,a(~I)

O < ~ O ~ n - - 2 ( k - - h ) , h i n t e r o , 0V(k--~)<h<k

REGOLARIT~ HOLDERIANA D]~LLE DERIVATE ECC. 177

allora

(~.3) ID~wl~: -~e L l , ( ~ "

L E ~ A 5. S i a w ~ Hk'2(~r R N ) , ~c~ 1 ~ Bt(y) c R". Se

(5.])

(5.2)

allora

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

ID~' wp e Z,','%..e,.) p,l=~

n - - 2 (k- - h )<0 < n - - 2 (k - - h - - l ) , h in t e ro ,

0 V ( k - - k ) < h < k - - 1

n - - 2 ( k - - h) -~ O => ~ ID~ w]2;-'E L I " - ~ ( ~ ) , Ve>0 I~1 = h

n - - 2 ( k - - h) < 0 ::> ~. ID~ w]2;-~e L~'~(T2~) N =a

i i n t e ro , 0 V ( k - - k ) < j < h ~ ~. ]D~w!e;- ,eLI" ' (D,)

i i n t e ro , h < i < k ::> ~ ID~w12;-'eL1'(~ I~1=~

Nel seguito useremo il seguente lemma (per la sua dimostrazione ri- mundi~mo u [2]).

L E ~ 6. S ia qg(t) una /unzione non negativa e non deereseente.

Suppon iamo che

per ogni ~ < R < ~ o , con A , ~, fl costanti posit ive e B , ~ eostanti non negative,

fl < ~. A l lora esiste una costante eo ~ e0(A, ~, fl) > 0 ta~e ehe, se ~ < eo, r isul ta

~0(~)<c [~(R) ~L BRa] per ogni ~<<.R<Ro

con e = e(a, ~, A).

OSS~,RVAZIO~,. S e n e {1 ; 2} risult~ k ~-- 0~ quindi non ci sono interi h tali che ( k - - k ) V O < h < k - - 1 . Allor~ nel lemma 3 la (3.1) diventa

B~ .BR

178 F R A N C E S C O L E O N E T T I

Quindi, per il l e m m a 6, si ha

L,or ( f2 ) . t~l=k

Cosi, il Teo rema 1 ~ d imos t ra to nel caso n e{1 ;2} . :Nel caso n > 3 ri- sul ta k > l e nella (3.1) r imane da muggiorare il t e rmine

f lD u a=(~-s

BR

Questo verr~ f a t to nel seguente

LEMMA 7. Sia u ~ H~o~(/2 , R zr un minimo locale del ]unzionale (0.1) veri- ]icante le ipotesi (0.2), (1.1), (1.2), (1.3). Supponiamo the n > 3 e ehe

(7.1) ~ ID~uI~E 1,0 L~o o ( ~ ) , 0 <. 0 < n I~[ =k

aUora

(7.2) ~ D~u 26 Ll,(~-~)A(o(nrn-e))ltO~ [~l=k

DIMOSTI~AZlOI~E. Siano D~ = Bt(y) cc Q, xo~ Q~ , B o-~ B o(Xo) c BR = BR(xo) c c~21, R<Ro. Poichb 0 < 0 < n esister~ un in te ro h < k - - 1 ta le t he

(7.3) n - - 2 ( k - - h ) < O < n - - 2 ( k - - h - - 1 ) .

Dis t inguiamo due casi.

lo caso :

0 V ( k - - ~ ) < h < k - - 1

al lora posso appl icare il L e m m a 5; poich~

2"_~. n (7.4) - - > - -

2 n - - 2 per 0 V ( k - - k ) -<<j<k- - 1

r isul ta

I X IDo p:,dx<c,,(Rn- + ~=(k-~) V o BJ Jc,]-=~

RE GOL ARIT A H(JLDEt~IANA DF, LL2E DiI~ttIVAT:E :ECC. 179

Sos t i t uendo nel la (3.1) del L e m m a 3 si ha

BQ B~

U s a n d o il L e m m ~ 6 si o t t i e ne 1,~ tesi.

2 o easo:

h < [ 0 V ( k - - ~)] - - 1

allora, se i e u n i n t e ro con 0 V ( k - - k ) < j 4 k - - 1 r isul t~

0 ~< 0 < n - - 2(/~ - - h - - 1) -<.< n - - 2(k - - i)

quindi posso app l i ca re il L e m m a 4; r i c o r d a n d o la (7.~) o t t e n g o :

( y. J ~(k-Z)V o B~I r =~

Sos t i t uendo nel la (3.1) de] L e m m a 3 e ~ppl icando il L e m m ~ 6 si o t t i ene

la tesi. C.V.D.

DI3[OSTI~AZIONE DEL TEORE3~A 1. Se n C {1; 2} si USa l 'Osserv~z ione pre-

eedente . Siu n • 3 . L~ regol~ri t~ di ~ ID~u] ~ viene o t t e n u t a un po ' al]~ l~l=k

vo l ta (vedi [1], p~g. 108). Pe r un r i su l t~ to di [4] esis te q ~ 2 t~le che

quindi , per H61der, r i su l ta

(1.4) ~ [D~,ul~e r:,n(:-21q)r ~ I o c ~ / "

I~I=k

P o n i ~ m o ~ ~ n ( 1 - - 2 / q ) ; se ~ n - - a allor~ a b b i a m o finito.

S u p p o n i a m o d u n q u e

Poich~ ~ O~ esis ter~ un in te ro s ~ l ta le che

(Ls ) 0 ~ , ~ _ _ 2 ! < n - ~ < 0 .

1 8 0 FRANCESCO L E O ~ E T T I

Per induzione s~ r, O < r < s - - 1 , proviamo che

^

(1.6) ~_, ID~'ul~ c L~g2("z(~-2))'(~2).

Per r ~ 0 la (1.6) ~ vera in virtfl della (1.4). Supponiamo vera la (].6} per r e dimostr iamola per r ~ 1 , nell ' ipotesi O < r . < r ~ l < s - - 1 .

Per l ' ipotesi indu t t iva (1.6) possiamo applicare il Lem m a 7 con

quindi

0

~, JD~ u[ 2~ ~loeT'l'(n--a)A['O(n/(n--2))'+']/g)~" J M=k

e da questa, in virtfi della (1.5) si ha la tesi. La [1.6) ~ comple tamente di- mostra ta . Allora possiamo applicare il L e m m a 7 con

quindi

ID%[ 2~ ~lor a) A EO(nl(n- 2))']/r ~ , I~i=k

e da questa, in vir tf i della (1.5) si h~ la tesi del Teorema ] . C.V.D.

3. - Regolarith C k'~.

In questo par~grafo dimostr iumo il Teorema 2. Sia /2~ = Bt(y) cc .(2. Alloru (vedere Teorema 1.IV, cap. 2 di [1]) esistono

due costant i posit ive R3 e e~e tal l che

VXoe ~21, VR<R3AIAdis t (Xo, ~Q,) ,

f f - BR(Xo) BR(Xo)

Anche nella dimostrazione del Teorema 2 eonfrontia~mo, in una palla BR(xo) , il nostro minimo locale u con la funzione v, minimo, t ra t u t t e quelle

I~'EGOLARIT~k I4{}LDEI~IANA DgLLE DI~iRIVA~E :ECC. 181

the assumono il dato u su 0Ba(xo), del funzionale o t tenuto da (0.1) ponendo g ~ 0. Questa volta i coefflcienti A ~ sono lasciati invariat i (vedi [0], [3]).

Pifi precisamente per x o e ~ e /~<2~A]Adis t (x0 , ~2~) s i a v la solu-

zione di

(2 .3 ) ~'1 ~, A~f(x) D ~ v, D e v~ dx ~ r a i n . ffi ~ ~ , j = l

Ba(~,)

Tale v verifica

(2 .4)

~.(~s) V~ e RF(B,(xo), lt~) .

Quindi, se Bq ~--- Ba(xo) c Ba = Ba(xo), r isulta (si veda, ad esempio, il ra- gionamento fa t to nel Teorema 5.I, cap. IX di [ l j ) :

(2 .5 )

dove

~e Bn

Ba

1 f D a v dx . Bs

Poich~ in BR u ~ v -~ ( u - - v ) , si ha

(2 .6 )

Be ~a

d l~'l=k Ba Bn

Occupiamoci dell 'ult imo termine. Per la (2.2) e la (2.4) si h~

(2.~) - ~ ATf(x) D ' ( v , - u,} De(v~ - us) dx =

B~ BR

=/~(u , Bn) -- _P(v, Bn) + f [g(x, Dr) -- 9(x, Du)] dx . Bn

182 FRANCE~CO L'EO~:ETTI

Per 1~ minimMits di u risulta

F ( u , B . ) - - F (v , B . ) < 0 .

Per l'ipote~; (2.1)

f k-~ f ~ 'D~(v- u)[ ~+'~ ' tx + Ig(x, Dr) - g(x, Du)l dx < o~.h=o ~ m~t Ba ~R

Le ipotesi fat te nel Teorema 2 permet tono di avere i risultati del Teo- rema 1 quindi

o < < k - i ~ Sup [Do'u[ < + ~ . ~x

Inoltre, per la minimal i t s di v e per la [2.2), si ha

.BR BR

mentre , per l 'assolut~ continuit~ dell 'integrMe, esiste R4> 0 tale che, per R <R~ risulta

fl [D~ul 2 dx<l . BR

Mettendo insieme questi fatt i , usando tt61der, Sobolev-Poincar~, la (3.8) e le ipotesi (2.1) si ot tengono le seguenti maggiora.zioni:

h=D ~a

{-c22"e'f ~, ID~(v--u)IZdx, r e > 0 Ji~l=k

u)le" + ~" dx < c23(~) R ~'^ ~" + h=O

h=(k--]c)V 0 Bn

k-~-i ] + ~ R~alsa+n(1-1/sa)-Jr- X "~Ms~+n(1--('~a+Ya)12;-a--l/sa)) "

h = 0 h~I

dl~l=k

dove I = { h intero: 0 V ( k - - k ) < h < k 1 e 2~6~+7~< ~_,,}.

REGOLARITA HOLDERIANA DELLE DERIVATE ECC. 183

I n s e r i a m o le magg io raz ion i eosl otte~-mte nell~ (2.7): seegliendo oppor-

t n n a m e n t e s, ~, R5 possi,~m% per R ~ R ~ , so t t r a r re dal p r imo m e m b r o i t e r - mini e o n t e n e n t i D~(v- -u ) ,~neora prese,ati al seeondo m e m b r o ; o t t e n i a m o

f p~l=k[D~'(v -- u) l 2 d x < c~5t~ ~ - ~ .

Brr

(2.s)

(2.9)

Risul tu T --~ v~Ar2A~3> n. Sos t i t uendo la (2.8) ~lella (2.6) si ha

"+: ( Z (w, ) . l + f Z I D ~ u - (D=u)0l ~ a x < v ~ \ R l Jlo, l=k Jl~l=k ~e B~

C~ ~~'~ ~l- dx ~- c2,R v . §

BR

Per il T e o r e m a

(2.10) fp,~klDau]2 dx ~ c27R n-" �9 B~

Sos t i tuendo nella (2.9) e :~pplicando il L e m m a 6 si lm

I-] = k ~ D~u~E ~,(~)/,~(O)~oo -~ ( q .

Poichb r ~ n r i su l ta !~I = k ~ D ~ u ~ L~oo(,O). Ripa r t i~mo dull ' inizio dell'~ dimostra .z ione del Teorema. 2 : r i facc iamo gli

stessi p~ssuggi fino ~lla (2.9) c o m p r e s a ; ora , poich5 lc deriv'~te di ord ine

mass imo sono loc,~lmente limit,~te, inveee della (2.10) si avr'h

(2.10)bis f ~ ID~ul 2 dx~c2sR ~ �9 3 I~[=k

BR

Sos t i tuendo ques ta nelta (2.9) e ~pplica.ndo il L e m m a 6 si ha,

= . ~lo~ A~(~)

e d,~ ques ta si ha subi to (~) la tesi del T e m e m ~ 2. C.V.I).

Pevvenuta in Redazione il 25 novembre 1985.

(1) Per la definizione e le proprieth degli spazi s si veda [1], cap. I.

184 FRAN~C]~SCO L]~ON]~TTI

RIASSUNTO

In questo lavoro si prova la regolarit~t hSlderiana delle derivate, fino all'or- k,2 dine k, 4ei minimi loeali u G Hlo~(9, R "v) dei f-anzionali

F(u, 9) Z ATf(x) D~'u, D~u, + g(x, Du)} dx 1o~[ I~k i , i = l

sotto opportune ipotesi su A~f e su g.

SUMMARY

In this paper we prove hSlder-continuity of the derivates, up to order k, of k,2 local minima u e Hlo c (D, R ~) of functionals

�9 '(u, 9) Y~ ATf(x) D~ D~uj + g(x, Du)}dx ]a] [=k i,1=1

under suitable hypotheses for A~f and g.

BIBLIOGRAFIA

[O] S. CAMPANATO, Equazioni ellittiche del secondo ordine e spazi s Ann. Mat. Pura Appl., 69 (1965), pp. 321-381.

[1] S. CAMPA~ATO, Sistemi ellitici in ]orma divergenza. .Eegolarit~ all'inferno, Qua- derni Seuola Norm. Sup. Pisa, 1980.

[2] M. GIAQUINTA - E. G:USTI, Di//erentiability o/minima o] non-di]/erentiable ]unc- tionals, Invent. Math., 72 (1983), pp. 285-298.

[3] M. GIAQVINTX - E. G:VSTI, Sharp estimates ]or the derivatives o] local minima o/ variational integrals, Boll. Un. Mat. Ital. , (6) 3-A (1984), pp. 239-248.

[4] F. LEON~TT:, Regolarit~ L ~ dei Quasi-Minimi, Rapp. Int . Ist. Mat. , U. Dini >>, Firenze, (1984-85), n. 2.

[5] D. PHILLIPS, A minimization problem and the regularity o] solutions in the presence o/ a ]ree boundary, Indiana Univ. Math. J. , 32 (1983), pp. 1-17.