DERIV ATE

Il concetto di derivata di una funzione, è scaturito dal celebre problemadella ricerca delle tangenti ad una curva in un suo punto, che ha lungamenteimpegnato i matematici prima di Newton e Leibnitz.Una funzione è rappresentata sul piano cartesiano dal suo gra�co . Anche

una retta è un tipo particolare di funzione che ha pendenza costante: propriola pendenza della retta o suo coe¢ ciente angolare.Il gra�co di una funzione qualunque, invece, ha in generale, punto per punto,

una pendenza diversa.La de�nizione di pendenza in matematica è analoga a quella utilizzata nei

cartelli stradali. Una pendenza del 10% ha il seguente signi�cato geometrico: cisi alza di 10 metri mentre in orizzontale ci si sposta di 100 metri.Se il cateto verticale (dislivello) fosse di 100 metri come quello orizzontale,

la pendenza sarebbe del 100%,ovvero uguale ad 1, e corrisponderebbe ad unangolo di 45� :La pendenza della curva in un punto P è la pendenza della retta tangente

alla curva tracciata nel medesimo punto P .Punto per punto, la pendenza in generale è diversa:

­1 1 2 3 4 5 6 7

­10

10

20

30

40

x

y

Nel punto del gra�co di ascissa 1; la pendenza è negativa, in quello di ascissa5; la pendenza è positiva, mentre in quello di ascissa 4; la pendenza è nulla.

Arriviamo ora alla de�nizione di derivata attraverso il concetto di rapportoincrementale.

1

Sia f : [a; b] ! R una funzione reale de�nita su [a; b] e sia x0 un puntointerno all� intervallo [a; b] . Se consideriamo il punto incrementato x0 + hsempre nelll�intervallo [a; b], si dice che si è dato alla variabile x l�incremento(positivo o negativo) h.La di¤erenza f(x0+h)�f(x0)

h , si chiama rapporto incrementale della funzionef(x) relativo al punto x0 e all�incremento h. Questo rapporto una volta �ssatox0, varia al variare di h, cioè è una funzione della variabile h de�nita per i valoridi h 6= 0, quando il punto x0 + h appartiene all�intervallo [a; b].Il rapporto incrementale è il coe¢ ciente angolare della retta passante per i

punti del gra�co della funzione corrispondenti ad x0 e ad x0 + h, cioè la rettasecante al gra�co della funzione, ovvero, la tangente dell�angolo che forma lasuddetta retta con l�asse delle ascisse.Il rapporto incrementale ci da un�informazione sulla crescita o sulla de-

crescita di questa funzione ed in particolare ci da un�indicazione su quantovelocemente questa è avvenuta.Consideriamo, ad esempio la funzione f(x) = sin(x) nel punto x0 = 0, h = �

2 ,

allora il rapporto incrementale è: sin(0+�2 )�sin 0

�2�0

= 2� :

Sia ora x0 = 0; h = �, allora il rapporto incrementale è:sin(0+�)�sin 0

��0 = 0

­1 1 2 3 4 5

2

x

y

:Il rapporto incrementale ci dice quanto una funzione cresce o decresce in un

intervallo.La derivata ci dice come la funzione cresce o decresce istantaneamente. Gra-

zie al concetto di limite possiamo quindi introdurre il concetto di derivata, checi permette di avere un�informazione sul tasso di crescita "istantaneo" dellafunzione.

De�nizione Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x0 il limite,se esiste ed è �nito, del rapporto incrementale al tendere a 0 dell�incremento h.

2

La derivata si indica generalmente con f 0(x0) ed è quindi così de�nita

.f 0(x0) = limh!0

f(x0+h)�f(x0)h

una de�nizione equivalente è la seguente:

.f 0(x0) =: limx!x0

f(x)�f(x0)x�x0

Se tale limite esiste ed è un numero reale, la funzione si dice derivabile inx0:La derivata si indica con f 0(x0) ed anche con

dfdx (x0):

Una funzione si dice derivabile se è derivabile in ogni punto del suo dominio.La derivata di una funzione in punto di ascissa x0, rappresenta quindi la tan-

gente trigonometrica dell�angolo che la retta tangente al gra�co della funzione,forma con l�asse delle ascisse.L�equazione della retta tangente della funzione f(x) nel punto x0 (in cui f

è derivabile) è quindi:

y � f(x0) =.f 0(x0)(x�.x0)

Esempi

1. Calcoliamo la derivata della funzione f(x) = x2 � 1 nel punto di ascissa 1

limx!1

f(x)�f(x0)x�x0 = lim

x!1

x2�1�(12�1)x�1 = lim

x!1

x2�1x�1 =lim

x!1

( x+ 1) = 2

Questo signi�ca che la retta tangente al gra�co della funzione f(x) = x2�1nel punto di ascissa 1 ha un coe¢ ciente angolare pari a 2.

Quindi la retta tangente ha equazione y�f(1) = 2(x�1);ossia y = 2x�2

­3 ­2 ­1 1 2 3

­8

­6

­4

­2

2

4

6

8

x

y

3

2. Supponiamo che la posizione di un oggetto dopo un tempo t sia data dallaseguente funzione: f(t) = t

t+1

Per t = 10, l�oggetto si muove in avanti o indietro e con che velocità?

Dobbiamo calcolare la velocità dell�oggetto al tempo t = 10; cioè il seguente

limite: limt!10

tt+1�

1010+1

t�10 = limt!10

tt+1�

1011

t�10 = limt!10

111t+11 =

1121

Dunque l�oggetto si sposta in avanti con una velocità pari a 1121 :

3. La funzione f(x) = jxj è derivabile in tutti i punti non nulli di R, mentrenon è derivabile nel punto 0:

Supponiamo x0 > 0 allora

limx!x0

f(x)�f(x0)x�x0 = lim

x!x0

jxj�jx0jx�x0 = lim

x!x0

x�x0x�x0 = 1

Se x0 < 0 allora

limx!x0

f(x)�f(x0)x�x0 = lim

x!x0

jxj�jx0jx�x0 = lim

x!x0

�x+x0x�x0 = �1

Se x0 = 0 limx!0+

f(x)�f(x0)x�0 = lim

x!0+

jxj�j0jx�0 = lim

x!0+

xx = 1 e

limx!0

�

f(x)�f(x0)x�0 = lim

x!0�

jxj�j0jx�0 = lim

x!0�

�xx = �1

Possiamo concludere che per x0 = 0 la funzione f(x) = jxj non è derivabile,anche se è ivi continua.

Un importante teorema mette in relazione la derivabilità di una funzione conla sua continuità a¤ermando che:

Teorema Se una funzione è derivabile nel punto x0, allora è necessaria-mente continua in tale punto.

L�ultimo esempio : f(x) = jxj mostra che l�inverso del teorema non è vero;cioè: se una funzione è continua in un punto x0, non è detto che sia derivabilein tale punto, mentre il teorema ci assicura che se una funzione è discontinua inun punto, non può essere derivabile in quel punto.

4

1 Funzione derivata

Si consideri una funzione f : I ! R derivabile .Alla funzione f si può associare la funzione derivataf 0 : I ! R ( dfdx : I ! R ) cioè la funzione che ad ogni punto di I associa la

derivata in quel punto.La derivata della funzione f(x) si indica con f 0(x) o dfdx : Viene chiamata

derivata prima di f .

Natutalmente una volta ottenuta la la derivata prima di una funzione, questapuò essere ulteriolmente derivabile, quando questa derivata esiste, si chiamaderivata seconda di f;si indica con f 00(x) od

2fdx2 :

A questo punto in modo analogio si possono avere le derivate di ordinesuccessivo, terza, quarta, ecc

Daremo ora le formule che servono al calcolo delle derivate.

Dalle proprietà sui limiti si ha immediatamente che se f; g : I ! R sonofunzoni derivabili,

(f � g)0 = f 0 � g0(cf)0 = cf 0 dove c è un numero reale.

Daremo ora le formule che servono al calcolo delle derivate.

Derivata della funzione potenza

f(x) = xa f 0(x) = axa�1:

La formula vale per tutte le potenze.Dimostriamo la formula nel caso a = 2; quindi per la funzione f(x) = x2

Consideriamo il limite del rapporto incrementale per la funzione f(x) = x2

in un punto x0 generico.limx!x0

f(x)�f(x0)x�x0 = lim

x!x0

x2�x20x�x0 = lim

x!x0

(x�x0)(x+x0)x�x0 = lim

x!x0

(x+ x0) = 2x0

Possiamo concludere che la derivata di f(x) = x2 è la funzione f 0(x) = 2x;che è proprio il caso particolare della formula data nel caso a = 2:

Se consideriamo il caso a = 0; la funzione potenza coincide con la funzionecostante di valore 1:

5

Dimostriamo che la derivata di ogni funzione costante f(x) = c è la funzionenulla.

limx!x0

f(x)�f(x0)x�x0 = lim

x!x0

c�cx�x0 lim

x!x0

0 = 0

Si osservi che la funzione potenza non è sempre derivabile in tutti i punti, ilproblema si pone nel punto 0, infatti per esempio la funzione f(x) =

px = x

12

ha come derivata f 0(x) = 12x

� 12 = 1

2pxche non è de�nita nel punto 0 ; il

calcolo del limite del rapporto incrementale dà 1:Stesso risultato si ha per le funzioni radice di qualunque indice.

Siamo ora in grado di calcolare le derivate di alcune funzioni , quando esseesistono.

Esempi Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

1. f(x) = 2x100 � 3x15 � 3x+ 42f 0(x) = 2:100x100�1 � 3:15x15�1 � 3x1�1 + 0 = 200x99 � 45x14 � 3

2. g(t) = 6t7 � 5t�4

g0(t) = 6:7t7�1 � 5:(�4)t�4�1 = 42t6 + 20t�5 (t 6= 0)

3. h(z) = 8z3 � 3z4 = 8z

3 � 3z�4(z 6= 0)h0(z) = 3:8z3�1 � 3:(�4)z�4�1 = 24z2 + 12

z5 (z 6= 0)

4. k(x) =px+ 9 3

px+ 2

5px2= x

12 + 9x

13 + 2x�

23

k0(x) = 12x

� 12 + 9:( 13 )x

13�1 + 2:(� 2

3 )x� 25�1 = 1

2px+ 3

x23� 4

5x75(x 6= 0)

5. u(x) = 3px(3x� x3) = x 1

3 (3x� x3) = 3x 43 � x 10

3

u0(x) = 3: 43x43�1 � 10

3 x103 �1 = 4 3

px� 10

3 x73 = 4 3

px� 10

3 x2 3px

6. v(t) = 2t6�t3+4t2 = �t3+2t6+4

t2 = 2t4 � t+ 4t2 = 2t

4 � t+ 4t�2

v0(t) = 2:4t4�1 � 1 + 4:(�2)t�2�1 = 8t3 � 1� 8t3 =

�t3+8t6�8t3 (t 6= 0)

6

Derivata del prodotto e del quoziente di funzioniSe due funzioni f; g : I ! R sono derivabili, anche il prodotto f :g : I ! R è

derivabile e

(f :g)0 = f 0:g + g0:f

Se g 6= 0 in ogni punto di I, allora fg : I ! R è derivabile e

( fg )0 = f 0:g�g0:f

g2

Esempi Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

1. f(x) = 3px(3x� x3)

f 0(x) = ( 3px)0(3x�x3)+ 3

px(3x�x3)0 = 1

3x� 23 (3x�x3)+ 3

px(3�3x2) =

3 3px� 3x2 3

px+ 3

px� 1

3x73 (x 6= 0)

2. g(x) = 3px

x2+4

g0(x) = (3px)0(x2+4)�3

px0(x2+4)0

(x2+4)2=

32px(x2+4)�6x

px

(x2+4)2= � 1

(x2+4)2

�6x

32 � 3

2px

�x2 + 4

��=

� 32px(x2+4)2

�3x2 � 4

�(x 6= 0)

Derivata delle funzioni trigonometrichef(x) = sinx f

0(x) = cosx

f(x) = cosx f 0(x) = � sinx

Tramite la formula di derivazione del rapporto di funzioni cacoliamo laderivata della funzione f(x) = tanx (x 6= �

2 + k�)

tanx = sin xcos x allora

tan0 x = (sin x)0 cos x�sin x(cosx)0(cos x)2 = cos x cos x�sin x(� sin x)

(cos x)2 = cos2 x+sin2 xcos2 x = 1

cos2 x

la derivata della funzione tangente si può anche scrivere cos2 x+sin2 xcos2 x = cos2 x

cos2 x+sin2 xcos2 x = 1 + tan

2 x:In conclusione:

f(x) = tanx f0(x) = 1

cos2 x = 1 + tan2 x

Per le funzioni trigonometriche inverse si ha:

f(x) = arcsinx f 0(x) = 1p1�x2

f(x) = arccosx f 0(x) = � 1p1�x2

f(x) = arctanx f 0(x) = 11+x2

7

Esempi Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

1. f(x) = sin x2�3 cos x

f 0(x) = (sin x)0(2�3 cos x)�sin x(2�3 cos x)0(2�3 cos x)2 = cos x(2�3 cos x)�sin x(3 sin x)

(2�3 cos x)2 = 2 cos x�3 cos2 x�3 sin2 x(2�3 cos x)2 =

2 cos x�3(3 cos x�2)2

2. f(x) = sin xx+1

f 0(x) = (sin x)0(x+1)�sin x(x+1)0(x+1)2 = cos x(x+1)�sin x(1)

(x+1)2 = (cos x�sin x+x cos x)(x+1)2

3. f(t) = 4 arcsin t� 10 arctan tf 0(t) = 4p

1�t2 �10t2+1

4. f(t) =pt arcsin t

f 00(t) =

ptp

1�t2 +12ptarcsin t

Derivata delle funzioni esponenziali e logaritmichef(x) = ax f 0(x) = ax ln a

(se a = e f(x) = ex e f 0(x) = ex)f(x) = loga x f 0(x) = 1

x ln a =1x loga e

(se a = e f(x) = lnx e f 0(x) = 1x )

Esempi Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

1. f(x) = 4x � 5 log9 xf 0(x) = 4x ln 4� 5

x ln 9 = 2:22x ln 2� 5

2x ln 3

2. f(x) = 3ex + 10x2 lnx

f 0(x) = 3ex + 20x lnx+ 10x2 1x = 3ex + 10x+ 20x lnx:

3. Supponiamo che la posizione di un oggetto sia dato dalla funzione

f(x) = tet

L�oggetto si ferma?

f 0(t) = et + tet = et (t+ 1)

L�oggetto si ferma quando la derivata è nulla. Per fare questo abbiamobisogno di risolvere l�equazione:

et (t+ 1) = 0

Poichè et 6= 0 per ogni t, l�unica soluzione è t = �1:se t assume solo valori positivi, l�oggetto non si ferma.

8

Derivata di funzioni composte

Sia f : I ! J � R una funzione reale derivabile in un punto x0 e siag : J ! R derivabile in y0 = f(x0)Allora la funzione composta g � f è derivabile in x0 e si ha:(g � f)0(x0) = g0(f(x0))� f 0(x0) = g0(y0): f 0(x0)Se f e g sono derivabili in ogni punto del loro dominio, allora:(g � f)0(x) = g0(f(x))� f 0(x)

Usando la seconda notazione per la derivata si ha che,sey = f(u) e u = g(x) allora la derivata è:dydx =

dydu

dudx

Esempi Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

1. h(x) =p3x� 5

Si ha h = g � f dove f(x) =px e g(x)=3x� 5

essendo f 0(x) = 12pxe g0(x)=3

si ha h0(x) = f 0[g(x)]g0(x) = 12p3x�53 =

32p3x�5

2. h(x) = sin(x2 + x)

h = g � f dove f(x) = sinx e g(x)=x2 + x

essendo f 0(x) = cosx e g0(x)=2x+1si ha h0(x) = f 0[g(x)]g0(x) = (2x+1)cos(x2 + x)

3. h(x) = (2x3 + cosx)30

dove f(x) = x30 e g(x)=2x3 + cosx

essendo f 0(x) = 30x29 e g0(x)=6x2 -sinx

si ha h0(x) = f 0[g(x)]g0(x) = 30(2x3 + cosx)29(6x2 -sinx)

4. h(x) = ln(x3 � x�3)dove f(x) = lnx e g(x)=x3 � x�3

essendo f 0(x) = 1x e g

0(x)=3x2 +3x�4

si ha h0(x) = f 0[g(x)]g0(x) = 1x3�x�3 (3x

2 + 3x�4) = � 3x6+3x�x7

h(x) = cos4 x+ cos(x4)

h0 = 4 cos3 x(� sinx)�4x3 sinx4 = �4 cos3 x sinx�4x3 sinx4 = �4�cos3 x sinx+ x3 sinx4

�

9

2 Punti critici

I punti critici rivestono un ruolo importante nello studio dei massimi e minimidi una funzione de�nita su un intervallo.

De�nizione. f : I ! R una funzione reale de�nita su I , il punto x0 2 Iè critico per f , se f 0(x0) = 0 o la funzione non è derivabile in x0:

Esempi Determinare i punti critici per le seguenti funzioni:

1. f(x) = 6x5 + 33x4 � 30x3 � 25f 0(x) = 30x4 + 132x3 � 90x2 = 6x2 (x+ 5) (5x� 3)

La funzione f e la sua derivata f 0sono polinomi e così esistono ovunque.Pertanto, il solo dei punti critici saranno quei valori che rendono nulla laderivata . Quindi, dobbiamo risolvere l�equazione 6x2 (x+ 5) (5x� 3) = 0,Esse sono : �5; 35 ; 0.

2. f(t) = 3pt2(2t� 1)

La funzione f è de�nita per tutti i numeri reali, ma la funzione non èderivabile nel punto 0:

f 0(t) = 23 t� 13 (5t� 1) = 2

3 3pt (5t� 1)

Quindi i punti critici di f sono 0 punto di non derivabilità e 15 ;punto in

cui si annulla la derivata.

3. f(x) = x2+1x2�x�6

Il dominio di f è dato dai numeri reali che non annullano il denominatore,dunque essendo

x2 � x� 6 = (x+ 2) (x� 3)il denomiantore si annulla per x = �2; 3, che non potranno dunque esserepunti critici.

f 0(x) = � x2+14x�1(�x2+x+6)2 , pertanto i punti critici della funzione sono quelli

che annullano x2 + 14x� 1x2 + 14x� 1 = 0, cioè per x = 5

p2� 7;�5

p2� 7

10

4. f(x) = 6x� 4 cos(3x)il dominio di f è R e così non ci sono punti critici per i quali la derivata nonesiste. Gli unici punti critici verranno da punti che rendono la derivatanulla.

f 0(x) = 12 sin 3x+ 6

12 sin 3x + 6 = 0, cioè sin 3x = � 12 ;ciò signi�ca 3x = �

16� + 2�k oppure

3x = 76� + 2�k (k numero intero)

In conclusione x = � 118� +

23�k oppurex =

718� +

23�k (k numero intero).

Teorema di Fermat

Data una funzione de�nita su un intervallo I; f : I ! R , se x0 èun punto di massimo o di minimo relativo per f , allora x0 è un punto criticoper f:

Questo teorema a¤erma che c�è una relazione tra i punti di estremo relativodi una funzione e i suoi punti critici ; ci permette infatti di dare una lista ditutti i possibili estremi relativi della funzione stessa.Si consideri ad esempio, f(x) = x2 .Questa funzione ha un unico punto

critico per x0 = 0, che è proprio il minimo della funzione.

Occorre però fare attenzione a quanto dice il teorema di Fermat: a¤ermache ogni punto estremante è un punto critco, ma non l�inverso.Infatti, se si considera la funzione f(x) = x3 come la precedente, ha un unicopunto critico per x0 = 0, ma tale punto non è estremate per f:

Il teorema di Fermat ci permette di calcolare i massimi e minimi di unafunzione de�nita in un intervallo chiuso e limitato.

Una funzione continua, f : [a; b]! R .è dotata, per il teorema di Weirstrassdi massimo e minimo assoluti. I punti di massimo e minimo assoluti possonocoincidere con i punti estremi, oppure possono essere interni all�intervalllo. IlTeorema di Fermat ci fornisce l�elenco dei punti critici che è anche un elencodei punti tra cui ci sono tutti i possibili estremi relativi. Così unendo i puntiestremi ai punti critici si ottiene un elenco di tutti i possibili punti di estremoassoluto.Dobbiamo solo ricordare che gli estremi assoluti non sono altro che il più

grande e il più piccolo dei valori assunti dalla funzioneEcco la procedura per la ricerca degli estremi assoluti di f : [a; b] ! R.

1. Veri�care che la funzione è continua su l�intervallo [a; b].

2. Trova tutti i punti critici di f che cadono nell�intervallo [a; b].

11

3. Calcolare i valori di f nei punti critici e nei punti estremi (a e b) .

4. Confrontare questi valori e trovare gli estremi assoluti

Esempi

1. Determinare i massimi e i minimi della funzione f(x) = 2x3+3x2�12x+4nell�intervallo [�4; 2].f è un polinomio ed è continua in tutto R e, in particolare, è continuanell�intervallo [�4; 2].Cerchiamo i punti critici di f .

f 0(x) = 6x2 + 6x� 126x2 + 6x� 12 = 0, per x = �2; 1:I punti critici di f si trovanonell�intervallo [�4; 2].Ora dobiamo valutare f nei punti critici e nei punti punti estremi dell�intervallo.

f(�4) = �28f(�2) = 24f(1) = �3f(2) = 8

Quindi, il massimo assoluto di f è 24 e il punto di massimo assoluto è �2;il minimo assoluto di di f è �28, e il punto di minimo assoluto è �4:

2. Determinare i massimi e i minimi della stesssa funzione f(x) = 2x3+3x2�12x+ 4 nell�intervallo [0; 2].

Si noti che questo problema è quasi identico al primo problema. L�unicadi¤erenza è l�intervallo su cui f è de�nita . Questo piccolo cambiamentopuò cambiare completamente la risposta

Dei due punti critici considerati prima, dobbiamo considerare solo il punto1e valutare la funzione nei punti 0; 1; 2:

f(0) = 4

f(1) = �5f(2) = 8

Allora il massimo assoluto è 8; e e il minimo assoluto è �3,il punto dimassimo assoluto è 2, il punto di minimo assoluto è 1 (entrambi puntiestremi)

12

3. Supponiamo che la quantità di denaro in euro in un conto in banca dopot anni sia dato da,

A(t) = 2000� 10te5� t2

8

Determinare l�importo massimo e minimo di denaro nel conto durante iprimi 10 anni che si è aperto.

La derivata esiste in tutto R eA0(t) = 5

2e5� 1

8 t2 �t2 � 4

�.,

A0(t) = 0; per t2 � 4 = 0, quindi pert = �2; 2

Abbiamo due punti critici, tuttavia solo 2 appartiene all�intervallo.

A(0) = 2000

A(2) = 2000� 20e 92 = 199: 66A(10) = 2000� 100e� 15

2 = 1999: 9

Quindi, l�importo massimo in conto sarà euro 2000, che si veri�ca per t = 0e l�importo minimo del conto sarà di euro 199; 66, che si veri�ca dopo due2 anni.

4. Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione f(x) = 3x(x+4)23

nell�intervallo [�5;�1].la funzione f è continua in tutto R non è derivabile nel punto �4 e la suaderivata è

f 0(x) = 5x+123px+4

f 0(x) = 0 per x = � 125

Pertanto

f(�5) = �15

f(�4) = 0f(� 12

5 ) = �14425

3p5 = �9: 849 5

f(�1) = �3 3p32 = �6: 240 3

Il massimo assoluto di f è 0 e il punto di massimo assoluto è �4; il minimoassoluto è �15 e il punto di minimo assoluto è � 12

5 .

13

Teorema di Rolle.

Sia f : [a; b] ! R una funzione continua e derivabile in (a; b) etale chef(a) = f(b):Allora esiste c , a < c < b tale che f 0(c) = 0

Dimostrazione. in virtù del Teorema di Weierstrass, f ammette massimoM e minimo m assoluti; in altre parole esistono due punti xm, xM nell�intervallo[a; b] tali che f(xm) = m; f(xM ) =M .Si possono presentare solo due alternative: o almeno uno dei due punti xm,

xM è interno all�intervallo [a; b] o entrambe cadono negli estremi.Nel primo caso, supponiamo che il punto xm stia nell�intervallo aperto (a; b),

allora per per xm sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di Fermat, e quindif 0(xm) = 0Nel secondo caso, se per esempio xm = a, xM = b la funzione è tale per cui

m = f(a) = f(b) =M , pertanto la funzione è costante in tutto l�intervallo [a; b]e in ogni suo punto interno la derivata di f è nulla.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

­1.0

­0.5

0.0

0.5

x

y

Teorema di Lagrange (o del valor medio)

Sia f : [a; b]! R una funzione continua e derivabile in (a; b).Allora esiste c , a < c < b tale che f 0(c) = f(b)�f(a)

b�a

14

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

­2

­1

0

1

2

x

y

Dal punto di vista geometrico il teorema di Lagrange a¤erma che il gra�codi una una funzione f : [a; b] ! R, continua in [a; b], con estremi di coordinateA = (a; f(a)) e B = (b; f(b)), dotata di retta tangente in ogni punto di (a; b),esiste almeno un punto P d�ascissa a < c < b, in cui la tangente al gra�co di fè parallela alla secante passante per i punti A e B:

Esempio Calcolare per quali valori ill teorema di Lagrange per la funzionef(x) = x3.+2x2 � x nell�intervallo [�1; 2]

f è un polinomio , pertanto è continua e derivabile in tutto R e in particolarenell�intervallo considerato.f 0(x) = 3x2 + 4x� 1:Inoltre f(2)�f(�1)

2�(�1) = 14�22+1 = 4

Dobbiamo quindi trovare per quali valori di c; f 0(c) = 4, dunque3c2 + 4c� 1 = 4. Le soluzioni sono 1

3

p19� 2

3 ;�13

p19� 2

3 .� 13

p19� 2

3 non appartiene nell�intervallo (�1; 2)e quindi è da scartare.L�unica soluzione in questo caso è 1

3

p19� 2

3

Coseguenze del teorema di Lagrange

Conseguenze importanti del teorema di Lagrange riguardano il legame trail segno della derivata di una funzione derivabile f de�nita su un intervallo e lamonotonia di f:

Ricordiamo a questo scopo, le de�nizioni di funzioni monotone.

15

� Una funzione f : I ! R, de�nita in un intervallo I, si dice monotonacrescente in I se, se, per ogni x1; x2 2 I se x1 < x2, allora f(x1) � f(x2).

� Una funzione f : I ! R, de�nita in un intervallo I, si dice monotonastrettamente crescente in I se, se, per ogni x1; x2 2 I se x1 < x2, alloraf(x1) < f(x2).

� Una funzione f : I ! R, de�nita in un intervallo I, si dice monotonadecrescente in I se, se, per ogni x1; x2 2 I se x1 < x2, allora f(x1) �f(x2).

� Una funzione f : I ! R, de�nita in un intervallo I, si dice monotonastrettamente decrescente in I se, se, per ogni x1; x2 2 I se x1 < x2, alloraf(x1) > f(x2).

Detto in altri termini, una funzione monotona conserva o inverte l�ordinamentodel dominio.

Si osservi che ogni funzione costante in un intervallo è sia monotona cres-cente che monotona decrescente, ma non è strettamente crescete nè strettamentedecrescente.

Elenchiamo ora le conseguenze del teorema di Lagrange:

1. Sia f : [a; b]! R una funzione continua tale che f 0(x) = 0, per tutti glix 2 (a; b);. allora f è costante su [a; b].

La dimostrazione e molto semplice. Si considerino due punti x e y , a �x < y � b: Poichè f è continua in [a; b] e derivabile in (a; b) è continua in[x; y] e derivabile in (x; y) . Quindi si può applicare il teorema di Lagrangenell�intervallo [x; y]. In questo modo si ha:

f 0(c) = f(y)�f(x)y�x dove x < c < y:

Essendo c 2 (a; b) f 0(c) = 0 e quindif(x) = f(y), per ogni x; y 2 (a; b).Supponiamo che questo valore sia k: Dunquef(x) = k; in ogni punto di(a; b). Per la continuità di f si ha f(a) lim

x!af(x) = k e f(b) = lim

x!bf(x) = k;

si conclude che anche f(a) = f(b) = k:

2. f; g : [a; b]! R sono due funzioni continue e derivabili in (a; b) tale chef 0(x) = g0(x), per tutti gli x 2 (a; b);. allora f (x) = g(x) + k. dove k èuna costante.

Questo teorema è una diretta conseguenza del precedente. Infatti:

f 0(x)� g0(x) = (f 0� g0)(x) = (f � g)0 = 0 per tutti gli x 2 (a; b);e f 0� g0è continua, quindi (f � g)(x) = k e f(x) = g(x) + k:

16

3. Sia f : [a; b]! R una funzione continua tale che f 0(x) > 0, per tutti glix 2 (a; b);. allora f è strettamente crescente su [a; b].

Come nel primo caso considerino due punti x e y , a � x < y � bPoichè f è continua in [a; b] e derivabile in (a; b) è continua in [x; y]e derivabile in (x; y) . Quindi si può applicare il teorema di Lagrangenell�intervallo [x; y].

In questo modo si ha:

f 0(c) = f(y)�f(x)y�x dove x < c < y:

Essendo c 2 (a; b) f 0(c) > 0 e quindi f(y)�f(x)y�x > 0; essendo x < y cioèy � x > 0 , si deduce che f(y) > f(x).

Analogamente si dimostra che:

4. Sia f : [a; b]! R una funzione continua tale che f 0(x) < 0, per tutti glix 2 (a; b); allora f è strettamente decrescente su [a; b].

Le conseguenze del teorema di Lagrange ci permettono di studiare gli inter-valli di monotonia di una funzione derivabile.

Esempi

1. Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della seguente fun-zione:

f(x) = �x5 + 52x

4 + 403 x

3 + 5

Si osservi che, essendo la f un polinomio è continua e derivabile in tutto R.Per determinare se la funzione è crescente o decrescente avremo bisognodi studiare il segno della derivata prima.

f 0(x) = �5x4 + 10x3 + 40x2

Studiamo il segno della derivata prima:

�5x4 + 10x3 + 40x2 > 0, per �2 < x < 0 oppure 0 < x < 4:

Allora la funzione è crescente negli intevalli (�2; 0) e (0; 4) e decresentenegli intevalli (�1;�2) ; (4;1) :Ha un minimo relativo nel punto �2 e un massimo relativo nel punto 4

17

­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

200

400

600

800

x

y

2. Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della seguente funzione:f(x) =x 3px2 � 4

Si osservi che, f è continua R e derivabile per tutti i punti diversi da 2 e�2. Studiamo il segno della dervata prima:

f 0(x) = 13(x2�4)

3px2 � 4

�5x2 � 12

�=(5x2�12)3(x2�4)

23,

(5x2�12)3(x2�4)

23> 0 negli intervalli

��1;� 2

5

p15� �

25

p15;+1

�dove la funzione

è crescente,

(5x2�12)3(x2�4)

23< 0, nell�intervallo

�� 25

p15; 25

p15�;dove la funzione è decres-

cente

:

La funzione ha massimi relativo nel punto � 25

p15(�1: 549 2) e minimo

relativo nel punto 25

p15(1: 549 2)

18

­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4

­8

­6

­4

­2

2

4

6

8

x

y

3 Concavità e convessità

Data la funzione f : I ! R , derivabile in ogni punto dell�intervallo I su cui fè de�nita allora

1. f è convessa su I se tutte le tangenti al gra�co di f sono al di sotto delgra�co.

2. f è concava su I se tutte le tangenti al gra�co di f sono al di sopra delgra�co.

La parabola f(x) = x2è convessa, mentre la parabola f(x) = �x2è concava

19

­4 ­2 0 2 4

5

10

15

20

25

x

y

x2

­4 ­2 0 2 4

­25

­20

­15

­10

­5

x

y

�x2

Un punto del dominio di f , I è chiamato punto di �esso se la concavità delgra�co cambia in quel punto.

Data la funzione f : I ! R , derivabile due volte in ogni punto dell�intervalloI su cui f è de�nita allora:

1. Se f 00(x) > 0 per tuttii x di I , f è convessa su I.

2. Se f 00(x) > 0 per tuttii x di I , f è concava su I.

Esempio Data la funzione f(x) = 3x5�5x3+3; individuare gli intervalli dovela funzione è crescente o decrescente e gli intervalli in cui la funzione è covessae concava.f 0(x) = 15x2

�x2 � 1

�20

15x2�x2 � 1

�> 0, negli intervalli (�1;�1) e (1;+1) ; quindi in tali inter-

valli f è crescente

15x2�x2 � 1

�< 0, negli intervalli (�1; 0) e (0; 1) ; quindi in tali intervalli f

è decrescentef 0(x) = 0; per x = �1; 0; 1 (punti critici)Il punto �1 è un punto di massimo realtivo, il punto 1 è un punto di minimo

relativo.Calcoliamo ora gli intervalli di convessità, e i punti di �essof 00 = 30x

�2x2 � 1

�30x

�2x2 � 1

�> 0, negli intervalli

�� 12

p2; 0�e�12

p2;+1

�;quindi in tali

intervalli f è convessa30x

�2x2 � 1

�< 0, negli intervalli

��1;� 1

2

p2�e�0; 12

p2�;quindi in tali

intervalli f è concava.C�è pertanto un cambio di concavità nei punti � 1

2

p2, 0 e 1

2

p2 che sono

quindi punti di �esso

21