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  • Studio del segno delle derivate

    Lezione 11 del 6/12/2018

  • Segno della derivata prima

    Data una funzione 𝑓(π‘₯) derivabile in un intervallo 𝐼, allora

    β€’ se 𝑓′ π‘₯ > 0 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 allora la funzione 𝑓(π‘₯) Γ¨ strettamente crescente in 𝐼

    β€’ se 𝑓′ π‘₯ < 0 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 allora la funzione 𝑓(π‘₯) Γ¨ strettamente decrescente in 𝐼

    Se 𝑓′ π‘₯ = 0, che andamento ha la funzione in tale punto?

    Cosa vuol dire geometricamente? (Ripensare al significato geometrico della derivata in un punto)

    Il coefficiente angolare della retta tangente è zero, cioè la retta tangente è orizzontale!

  • Teorema

    Sia 𝑓: π‘Ž, 𝑏 β†’ 𝑅 una funzione continua, e supponiamo inoltre che sia derivabile in (π‘Ž, 𝑏). Se π‘₯0 ∈ (π‘Ž, 𝑏) Γ¨ un punto di massimo (o minimo) locale (o assoluto), allora

    𝑓′ π‘₯0 = 0

    π‘₯0 Γ¨ detto punto critico (o stazionario) di 𝑓.

  • Riepilogando

    β€’ Nei punti di massimo o minimo locale la derivata prima, se esiste, Γ¨ nulla.

    β€’ La retta tangente alla curva in questi punti Γ¨ parallela all’asse π‘₯.

    β€’ Se la derivata prima Γ¨ nulla in π‘₯0 non vuol dire che in π‘₯0 ci sia un massimo o un minimo locale!

  • Esempio 1

    β€’ 𝑓 π‘₯ = π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ + 6

    β€’ 𝑓′ π‘₯ = 2π‘₯ βˆ’ 5

    β€’ 𝑓′ π‘₯ = 2π‘₯ βˆ’ 5 β‰₯ 0

    β€’ π‘₯ > 5

    2 β‡’ 𝑓(π‘₯) Γ¨ crescente

    β€’ π‘₯ < 5

    2 β‡’ 𝑓(π‘₯) Γ¨ decrescente

    β€’ π‘₯ = 5

    2 β‡’ 𝑓

    5

    2 Γ¨ un minimo locale

  • Esempio 2

    β€’ 𝑓 π‘₯ = π‘₯3

    β€’ 𝑓′ π‘₯ = 3π‘₯2

    β€’ 𝑓′ π‘₯ = 3π‘₯2 β‰₯ 0 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅

    β€’ 𝑓′ π‘₯ = 0 per π‘₯ = 0

    β‡’ 𝑓 π‘₯ sempre crescente

    β‡’ 𝑓 0 non Γ¨ nΓ© massimo nΓ©

    minimo locale

    È un flesso a tangente orizzontale (perché cambia la

    concavitΓ  della funzione)

  • Derivata seconda

    Sia data una funzione 𝑓(π‘₯). Se la sua funzione derivata prima 𝑓′(π‘₯) Γ¨ derivabile in un intervallo, la sua derivata si chiama derivata seconda di 𝑓(π‘₯) e si indica con 𝑓′′ π‘₯ . Nelle stesse condizioni si puΓ² derivare la derivata seconda, ottenendo la derivata terza di 𝑓 π‘₯ .

    Data una funzione 𝑓(π‘₯) derivabile in un intervallo:

    β€’ Γ¨ convessa negli intervalli del dominio in cui si ha 𝑓′′ π‘₯ > 0

    (esempio: la parabola con la concavitΓ  verso l’alto)

    β€’ Γ¨ concava negli intervalli del dominio in cui si ha 𝑓′′ π‘₯ < 0

    (esempio: la parabola con la concavitΓ  verso il basso)

    β€’ i punti del grafico della funzione in cui cambia la concavitΓ  si chiamano punti di flesso. In tali punti 𝑓′′ π‘₯ = 0

  • Asintoti (Approfondimento) β€’ Se lim

    π‘₯β†’π‘₯0 𝑓(π‘₯) = ±∞ β‡’ π‘₯ = π‘₯0 asintoto verticale

    β€’ Se lim π‘₯β†’Β±βˆž

    𝑓(π‘₯) = 𝑙 β‡’ 𝑦 = 𝑙 asintoto orizzontale

    β€’ Se lim π‘₯β†’+∞

    𝑓(π‘₯) = ±∞ β‡’ potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione 𝑦 = π‘šπ‘₯ + π‘ž).

    Quindi se

    lim π‘₯β†’+∞

    𝑓(π‘₯)

    π‘₯ = π‘š ∈ 𝑅 e lim

    π‘₯β†’+∞ (𝑓 π‘₯ βˆ’ π‘šπ‘₯) = π‘ž ∈ 𝑅

    β‡’ 𝑦 = π‘šπ‘₯ + π‘ž Γ¨ asintoto obliquo

    β€’ Se lim π‘₯β†’βˆ’βˆž

    𝑓(π‘₯) = ±∞ β‡’ potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione 𝑦 = ΰ·₯π‘šπ‘₯ + ΰ·€π‘ž).

    Quindi se

    lim π‘₯β†’βˆ’βˆž

    𝑓(π‘₯)

    π‘₯ = ΰ·₯π‘š ∈ 𝑅 e lim

    π‘₯β†’βˆ’βˆž (𝑓 π‘₯ βˆ’ ΰ·₯π‘šπ‘₯) = ΰ·€π‘ž ∈ 𝑅

    β‡’ 𝑦 = ΰ·₯π‘šπ‘₯ + ΰ·€π‘ž Γ¨ asintoto obliquo

  • Esempio (Approfondimento)

    Sia 𝑓 π‘₯ = π‘₯2+2

    π‘₯ 𝐷 = βˆ’βˆž, 0 βˆͺ (0, +∞)

    lim π‘₯β†’βˆ’βˆž

    π‘₯2 + 2

    π‘₯ = βˆ’βˆž

    lim π‘₯β†’0βˆ’

    π‘₯2+2

    π‘₯ = βˆ’βˆž lim

    π‘₯β†’0+

    π‘₯2+2

    π‘₯ = +∞

    lim π‘₯β†’+∞

    π‘₯2 + 2

    π‘₯ = +∞

    Possibile asintoto obliquo

    π‘₯ = 0 asintoto verticale

    Possibile asintoto obliquo

  • Ricerca dell’eventuale asintoto obliquo (Approfondimento)

    Si cerca l’eventuale asintoto obliquo perchΓ© lim π‘₯β†’βˆ’βˆž

    𝑓 π‘₯ = βˆ’βˆž

    L’asintoto obliquo di equazione 𝑦 = π‘šπ‘₯ + π‘ž esiste se

    lim π‘₯β†’βˆ’βˆž

    𝑓(π‘₯)

    π‘₯ = π‘š ∈ 𝑅 e lim

    π‘₯β†’Β±βˆž (𝑓 π‘₯ βˆ’ π‘šπ‘₯) = π‘ž ∈ 𝑅

    lim π‘₯β†’βˆ’βˆž

    π‘₯2 + 2

    π‘₯2 = 1 ∈ 𝑅 β‡’ π‘š = 1

    lim π‘₯β†’βˆ’βˆž

    π‘₯2 + 2

    π‘₯ βˆ’ 1 Β· π‘₯ = lim

    π‘₯β†’βˆ’βˆž

    π‘₯2 + 2 βˆ’ π‘₯2

    π‘₯ = lim

    π‘₯β†’βˆ’βˆž

    2

    π‘₯ = 0 β‡’ π‘ž = 0

    Per π‘₯ β†’ βˆ’βˆž la funzione tende asintoticamente alla retta 𝑦 = π‘₯.

    L’asintoto obliquo esiste anche per π‘₯ β†’ +∞

  • Studio di funzione

    1. Dominio

    2. Limiti agli estremi del dominio => eventuali asintoti

    3. Intervalli di crescita e decrescita della funzione, massimi e minimi.

    4. ConcavitΓ  e convessitΓ  della funzione, punti di flesso

    5. Eventuali intersezioni con gli assi cartesiani

    Osservazione: ogni informazione ricavata va inserita immediatamente nel grafico.

  • Esercizi: studi di funzione

    β€’ Disegnare i grafici delle seguenti funzioni

    β€’ 𝑓 π‘₯ = 𝑒 2

    1βˆ’π‘₯ 𝑓 π‘₯ = π‘’βˆ’π‘₯ 2

    𝑓 π‘₯ = 𝑒π‘₯

    π‘₯

    β€’ 𝑓 π‘₯ = 3 ln π‘₯2 + 1 𝑓 π‘₯ = 2 ln(π‘₯2 βˆ’ 1)

    β€’ 𝑓 π‘₯ = 3π‘₯

    π‘₯βˆ’2 𝑓 π‘₯ = βˆ’

    2

    π‘₯βˆ’1

    β€’ 𝑓 π‘₯ = α‰Š 1 + log π‘₯ , π‘₯ > 1

    π‘₯2, π‘₯ ≀ 1 𝑓 π‘₯ = α‰Š

    𝑒π‘₯ βˆ’ 2, π‘₯ β‰₯ 0

    π‘₯3 βˆ’ 3π‘₯, π‘₯ < 0

  • Esercizi sulle derivate:

    β€’ Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

    𝑓 π‘₯ = π‘₯2+3π‘₯βˆ’1

    βˆ’π‘₯4+2 𝑓 π‘₯ =

    π‘₯2+1

    βˆ’π‘₯+2 𝑓 π‘₯ = cos π‘₯ β‹… ln(π‘₯2 + 1)

    𝑓 π‘₯ = 2 β‹… ln 1

    π‘₯ 𝑓 π‘₯ =

    𝑒5π‘₯

    π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ 𝑓 π‘₯ =

    π‘₯5β‹…2π‘₯

    π‘’βˆ’π‘₯ 2

    𝑓 π‘₯ = βˆ’ 10

    βˆ’π‘₯4+2 𝑓 π‘₯ = 10(βˆ’π‘₯4 + 2) 𝑓 π‘₯ = cos

    1

    π‘₯

  • Esercizio

    Date le seguenti informazioni, ricavare il grafico della funzione 𝑓(π‘₯).

    β€’ 𝐷 = βˆ’βˆž, βˆ’2 βˆͺ βˆ’2, +∞ lim π‘₯β†’βˆ’βˆž

    𝑓 π‘₯ = 0 lim π‘₯β†’+∞

    𝑓 π‘₯ = +∞

    lim π‘₯β†’βˆ’2βˆ’

    𝑓(π‘₯) = βˆ’βˆž lim π‘₯β†’βˆ’2+

    𝑓(π‘₯) = +∞

    β€’ 𝑓′ π‘₯ > 0 βˆ€π‘₯ ∈ (0, +∞) 𝑓′ 0 = 0, 𝑓 0 = 2

    𝑓′ π‘₯ < 0 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ’βˆž, βˆ’2 βˆͺ (βˆ’2,0)

    β€’ 𝑓′′ π‘₯ < 0 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ’βˆž, βˆ’2

    𝑓′′ π‘₯ > 0 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ’2, +∞

  • Esercizio

    Date le seguenti informazioni, disegnare il grafico della funzione 𝑓(π‘₯).

    𝐷 = 𝑅 lim π‘₯β†’βˆ’βˆž

    𝑓(π‘₯) = βˆ’1 lim π‘₯β†’+∞

    𝑓(π‘₯) = βˆ’βˆž

    𝑓′ π‘₯ > 0 βˆ€π‘₯ ∈ (βˆ’βˆž, 3) 𝑓′ π‘₯ < 0 βˆ€π‘₯ ∈ (3, +∞) 𝑓′ 3 = 0, 𝑓 3 = 5

    𝑓′′ π‘₯ > 0 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ’βˆž, 0 βˆͺ (6, +∞) 𝑓′′ π‘₯ = 0 π‘π‘’π‘Ÿ π‘₯ = 0, βˆ’6

    𝑓′′ π‘₯ < 0 βˆ€π‘₯ ∈ (0,6) 𝑓 0 = 2, 𝑓 6 = βˆ’1

    α‰Š 𝑦 = 𝑓(π‘₯)

    𝑦 = 0 β†’ α‰Š

    π‘₯ = 5 𝑉 π‘₯ = βˆ’3 𝑦 = 0

  • Esercizio

    Date le seguenti informazioni, ricavare il grafico della funzione 𝑓(π‘₯).

    β€’ 𝐷 = βˆ’βˆž, 2 βˆͺ 2, +∞ lim π‘₯β†’βˆ’βˆž

    𝑓(π‘₯) = +∞ lim π‘₯β†’+∞

    𝑓(π‘₯) = 3

    lim π‘₯β†’2βˆ’

    𝑓(π‘₯) = +∞ lim π‘₯β†’2+

    𝑓(π‘₯) = +∞

    β€’ 𝑓′ π‘₯ > 0 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ’1,2 βˆͺ (3, +∞) 𝑓′ βˆ’1 = 0, 𝑓 βˆ’1 = 2

    𝑓′ π‘₯ < 0 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ’βˆž, βˆ’1 βˆͺ (2,3) 𝑓′ 3 = 0 , 𝑓 3 = 1

    β€’ 𝑓′′ π‘₯ < 0 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ’βˆž, βˆ’5 βˆͺ (4, +∞) 𝑓′′ βˆ’5 = 0 𝑓 βˆ’5 = 5

    𝑓′′ π‘₯ > 0 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ’5,2 βˆͺ (2,4) 𝑓′′ 4 = 0 𝑓 4 = 2

    α‰Š 𝑦 = 𝑓(π‘₯)

    π‘₯ = 0 β†’ α‰Š

    π‘₯ = 0 𝑦 = 4

  • Esercizio

    Date le seguenti informazioni, disegnare il grafico della funzione 𝑓(π‘₯).

    𝐷 = 𝑅 lim π‘₯β†’βˆ’βˆž

    𝑓(π‘₯) = +∞ lim π‘₯β†’+∞

    𝑓(π‘₯) = +∞

    𝑓′ βˆ’4 = 0, 𝑓 βˆ’4 = βˆ’1 𝑓′ 0 = 0, 𝑓 0 = 2 𝑓′ 4 = 0, 𝑓 4 = βˆ’1

    𝑓′ π‘₯ < 0 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ’βˆž, βˆ’4 βˆͺ (0,4) 𝑓′ π‘₯ > 0 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ’4,0 βˆͺ (4, +∞)

    𝑓′′ βˆ’1 = 0, 𝑓 βˆ’1 = 0 𝑓′′ 1 = 0, 𝑓 1 = 0

    𝑓′′ π‘₯ > 0 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ’βˆž, βˆ’1 βˆͺ (1, +∞) 𝑓′′ π‘₯ < 0 βˆ€π‘₯ ∈ (βˆ’1,1)

    α‰Š 𝑦 = 𝑓(π‘₯)

    𝑦 = 0 β†’ α‰Š

    π‘₯ = βˆ’6 𝑉 π‘₯ = 6 𝑦 = 0