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Studio del segno delle derivate
Lezione 11 del 6/12/2018
Segno della derivata prima
Data una funzione π(π₯) derivabile in un intervallo πΌ, allora
β’ se πβ² π₯ > 0 βπ₯ β πΌ allora la funzione π(π₯) Γ¨ strettamente crescente in πΌ
β’ se πβ² π₯ < 0 βπ₯ β πΌ allora la funzione π(π₯) Γ¨ strettamente decrescente in πΌ
Se πβ² π₯ = 0, che andamento ha la funzione in tale punto?
Cosa vuol dire geometricamente? (Ripensare al significato geometrico della derivata in un punto)
Il coefficiente angolare della retta tangente è zero, cioè la retta tangente è orizzontale!
Teorema
Sia π: π, π β π una funzione continua, e supponiamo inoltre che sia derivabile in (π, π). Se π₯0 β (π, π) Γ¨ un punto di massimo (o minimo) locale (o assoluto), allora
πβ² π₯0 = 0
π₯0 Γ¨ detto punto critico (o stazionario) di π.
Riepilogando
β’ Nei punti di massimo o minimo locale la derivata prima, se esiste, Γ¨ nulla.
β’ La retta tangente alla curva in questi punti Γ¨ parallela allβasse π₯.
β’ Se la derivata prima Γ¨ nulla in π₯0 non vuol dire che in π₯0 ci sia un massimo o un minimo locale!
Esempio 1
β’ π π₯ = π₯2 β 5π₯ + 6
β’ πβ² π₯ = 2π₯ β 5
β’ πβ² π₯ = 2π₯ β 5 β₯ 0
β’ π₯ >5
2β π(π₯) Γ¨ crescente
β’ π₯ <5
2β π(π₯) Γ¨ decrescente
β’ π₯ =5
2β π
5
2Γ¨ un minimo locale
Esempio 2
β’ π π₯ = π₯3
β’ πβ² π₯ = 3π₯2
β’ πβ² π₯ = 3π₯2 β₯ 0 βπ₯ β π
β’ πβ² π₯ = 0 per π₯ = 0
β π π₯ sempre crescente
β π 0 non Γ¨ nΓ© massimo nΓ©
minimo locale
Γ un flesso a tangente orizzontale (perchΓ© cambia la
concavitΓ della funzione)
Derivata seconda
Sia data una funzione π(π₯). Se la sua funzione derivata prima πβ²(π₯) Γ¨ derivabile in un intervallo, la sua derivata si chiama derivata seconda di π(π₯) e si indica con πβ²β² π₯ . Nelle stesse condizioni si puΓ² derivare la derivata seconda, ottenendo la derivata terza di π π₯ .
Data una funzione π(π₯) derivabile in un intervallo:
β’ Γ¨ convessa negli intervalli del dominio in cui si ha πβ²β² π₯ > 0
(esempio: la parabola con la concavitΓ verso lβalto)
β’ Γ¨ concava negli intervalli del dominio in cui si ha πβ²β² π₯ < 0
(esempio: la parabola con la concavitΓ verso il basso)
β’ i punti del grafico della funzione in cui cambia la concavitΓ si chiamano punti di flesso. In tali punti πβ²β² π₯ = 0
Asintoti (Approfondimento)β’ Se lim
π₯βπ₯0
π(π₯) = Β±β β π₯ = π₯0 asintoto verticale
β’ Se limπ₯βΒ±β
π(π₯) = π β π¦ = π asintoto orizzontale
β’ Se limπ₯β+β
π(π₯) = Β±β β potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione π¦ = ππ₯ + π).
Quindi se
limπ₯β+β
π(π₯)
π₯= π β π e lim
π₯β+β(π π₯ β ππ₯) = π β π
β π¦ = ππ₯ + π Γ¨ asintoto obliquo
β’ Se limπ₯βββ
π(π₯) = Β±β β potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione π¦ = ππ₯ + π).
Quindi se
limπ₯βββ
π(π₯)
π₯= π β π e lim
π₯βββ(π π₯ β ππ₯) = π β π
β π¦ = ππ₯ + π Γ¨ asintoto obliquo
Esempio (Approfondimento)
Sia π π₯ =π₯2+2
π₯π· = ββ, 0 βͺ (0, +β)
limπ₯βββ
π₯2 + 2
π₯= ββ
limπ₯β0β
π₯2+2
π₯= ββ lim
π₯β0+
π₯2+2
π₯= +β
limπ₯β+β
π₯2 + 2
π₯= +β
Possibile asintoto obliquo
π₯ = 0 asintoto verticale
Possibile asintoto obliquo
Ricerca dellβeventuale asintoto obliquo(Approfondimento)
Si cerca lβeventuale asintoto obliquo perchΓ© limπ₯βββ
π π₯ = ββ
Lβasintoto obliquo di equazione π¦ = ππ₯ + π esiste se
limπ₯βββ
π(π₯)
π₯= π β π e lim
π₯βΒ±β(π π₯ β ππ₯) = π β π
limπ₯βββ
π₯2 + 2
π₯2 = 1 β π β π = 1
limπ₯βββ
π₯2 + 2
π₯β 1 Β· π₯ = lim
π₯βββ
π₯2 + 2 β π₯2
π₯= lim
π₯βββ
2
π₯= 0 β π = 0
Per π₯ β ββ la funzione tende asintoticamente alla retta π¦ = π₯.
Lβasintoto obliquo esiste anche per π₯ β +β
Studio di funzione
1. Dominio
2. Limiti agli estremi del dominio => eventuali asintoti
3. Intervalli di crescita e decrescita della funzione, massimi e minimi.
4. ConcavitΓ e convessitΓ della funzione, punti di flesso
5. Eventuali intersezioni con gli assi cartesiani
Osservazione: ogni informazione ricavata va inserita immediatamente nel grafico.
Esercizi: studi di funzione
β’ Disegnare i grafici delle seguenti funzioni
β’ π π₯ = π2
1βπ₯ π π₯ = πβπ₯2π π₯ =
ππ₯
π₯
β’ π π₯ = 3 ln π₯2 + 1 π π₯ = 2 ln(π₯2 β 1)
β’ π π₯ =3π₯
π₯β2π π₯ = β
2
π₯β1
β’ π π₯ = α1 + log π₯ , π₯ > 1
π₯2, π₯ β€ 1π π₯ = α
ππ₯ β 2, π₯ β₯ 0
π₯3 β 3π₯, π₯ < 0
Esercizi sulle derivate:
β’ Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
π π₯ =π₯2+3π₯β1
βπ₯4+2π π₯ =
π₯2+1
βπ₯+2π π₯ = cos π₯ β ln(π₯2 + 1)
π π₯ = 2 β ln1
π₯π π₯ =
π5π₯
π₯2 β 3π₯ π π₯ =π₯5β 2π₯
πβπ₯2
π π₯ = β10
βπ₯4+2π π₯ = 10(βπ₯4 + 2) π π₯ = cos
1
π₯
Esercizio
Date le seguenti informazioni, ricavare il grafico della funzione π(π₯).
β’ π· = ββ, β2 βͺ β2, +β limπ₯βββ
π π₯ = 0 limπ₯β+β
π π₯ = +β
limπ₯ββ2β
π(π₯) = ββ limπ₯ββ2+
π(π₯) = +β
β’ πβ² π₯ > 0 βπ₯ β (0, +β) πβ² 0 = 0, π 0 = 2
πβ² π₯ < 0 βπ₯ β ββ, β2 βͺ (β2,0)
β’ πβ²β² π₯ < 0 βπ₯ β ββ, β2
πβ²β² π₯ > 0 βπ₯ β β2, +β
Esercizio
Date le seguenti informazioni, disegnare il grafico della funzione π(π₯).
π· = π limπ₯βββ
π(π₯) = β1 limπ₯β+β
π(π₯) = ββ
πβ² π₯ > 0 βπ₯ β (ββ, 3) πβ² π₯ < 0 βπ₯ β (3, +β) πβ² 3 = 0, π 3 = 5
πβ²β² π₯ > 0 βπ₯ β ββ, 0 βͺ (6, +β) πβ²β² π₯ = 0 πππ π₯ = 0, β6
πβ²β² π₯ < 0 βπ₯ β (0,6) π 0 = 2, π 6 = β1
απ¦ = π(π₯)
π¦ = 0β α
π₯ = 5 π π₯ = β3π¦ = 0
Esercizio
Date le seguenti informazioni, ricavare il grafico della funzione π(π₯).
β’ π· = ββ, 2 βͺ 2, +β limπ₯βββ
π(π₯) = +β limπ₯β+β
π(π₯) = 3
limπ₯β2β
π(π₯) = +β limπ₯β2+
π(π₯) = +β
β’ πβ² π₯ > 0 βπ₯ β β1,2 βͺ (3, +β) πβ² β1 = 0, π β1 = 2
πβ² π₯ < 0 βπ₯ β ββ, β1 βͺ (2,3) πβ² 3 = 0 , π 3 = 1
β’ πβ²β² π₯ < 0 βπ₯ β ββ, β5 βͺ (4, +β) πβ²β² β5 = 0 π β5 = 5
πβ²β² π₯ > 0 βπ₯ β β5,2 βͺ (2,4) πβ²β² 4 = 0 π 4 = 2
απ¦ = π(π₯)
π₯ = 0β α
π₯ = 0π¦ = 4
Esercizio
Date le seguenti informazioni, disegnare il grafico della funzione π(π₯).
π· = π limπ₯βββ
π(π₯) = +β limπ₯β+β
π(π₯) = +β
πβ² β4 = 0, π β4 = β1 πβ² 0 = 0, π 0 = 2 πβ² 4 = 0, π 4 = β1
πβ² π₯ < 0 βπ₯ β ββ, β4 βͺ (0,4) πβ² π₯ > 0 βπ₯ β β4,0 βͺ (4, +β)
πβ²β² β1 = 0, π β1 = 0 πβ²β² 1 = 0, π 1 = 0
πβ²β² π₯ > 0 βπ₯ β ββ, β1 βͺ (1, +β) πβ²β² π₯ < 0 βπ₯ β (β1,1)
απ¦ = π(π₯)
π¦ = 0β α
π₯ = β6 π π₯ = 6π¦ = 0