La sensitivity analysis La sensitivity analysis nell’ottimizzazione convessa nell’ottimizzazione convessa

quadratica perturbata:quadratica perturbata:

una generalizzazione del una generalizzazione del Modello Media-VarianzaModello Media-Varianza

Massimiliano KaucicMassimiliano KaucicTrieste, 23/06/2004

Il modello Media-Varianza

Le fondamenta della teoria moderna di selezione dei portafogli sono costituite dai risultati di Markowitz circa la costruzione di portafogli in condizioni di incertezza da parte di investitori razionali.

I parametri fondamentali per l’analisi sono la media e la varianza del rendimento del portafoglio.

Ottimizzazione in Markowitz

Il modello M-V proposto da Markowitz si pone l’obiettivo di costruire un insieme di portafogli che soddisfino alle seguenti proprietà:

1. aver il più alto livello di rendimento atteso per un dato livello di rischio;

2. aver il più basso livello di rischio per un dato livello di rendimento.

I portafogli che soddisfano a questi due punti sono detti ottimali.

L’insieme dei portafogli ottimali viene detto frontiera efficiente.

La determinazione di questo insieme richiede la formulazione e risoluzione di un problema di programmazione quadratica parametrico.

Si tratta di massimizzare una funzione concava dell’utilità attesa dell’investitore.

Dettagli sul modello M-V

L’obiettivo perseguito in questa prima parte è quello di studiare le caratteristiche principali del modello M-V e di portare all’attenzione un algoritmo di calcolo per i portafogli introducendo dei vincoli lineari sulle frazioni di investimento.

Caratteristiche del problema

La funzione di utilità studiata è

CXXeX TT

1

dove

nRX è il vettore delle frazioni di investimento;

nRe è il vettore dei rendimenti attesi (o dei tassi) dei titoli;

nn RRC è la matrice delle covarianze dei titoli;

R rappresenta la tolleranza al rischio dell’investitore.

Nota: ci sono stati molti studi riguardo ai valori da attribuire a questo ultimo parametro, il mio lavoro non vuole entrare nel dettaglio di questa letteratura ma vuole semplicemente essere uno studio delle caratteristiche matematiche del problema.

Per gli interessati: risultati empirici su questo argomento sipossono trovare in Kallberg e Ziemba (1983) “Comparison of alternative utility functions in portfolio selection problems”.

Formalizzazione del problema parametrico

Determinare:

CXXeX TT

X 1

max

al variare di λ, sotto i vincoli lineari

BAX

kXn

ii

1

UBXLB

che rappresenta un insieme di restrizionisul vettore X

che rappresenta la frazione k che voglio impiegare nell’operazione finanziaria

che rappresenta la regione di definizionedelle X

Possibile estensione

Un’ulteriore classe di vincoli sulle frazioni di investimento è la seguente:

10 BXAB

Nota: l’espressione di questo vincolo può però essere ricondotta ad un vincolo precedente con l’introduzione di una o più variabili ausiliarie.

Un po’ di definizioni

1. Una variabile di stato Xi si dice down se:

ii LBX

2. Una variabile di stato Xi si dice up se:

ii UBX

3. Una variabile di stato Xi si dice in se:

iii UBXLB

Il metodo impiegato

Per la risoluzione del problema mi sono avvalso del procedimento esposto in Markowitz (1956) “The optimization of a quadratic function subject to linear constraints” e noto come Critical Line Method.

La strategia di calcolo si fonda sul Simplex Method.

Esempio dimostrativo

Tratto dal sito http://www.stanford.ed/~wfsharpe/mia/opt/mia_opt3.html

Per i titoli considerati, il periodo storico impiegato e altre caratteristiche economiche si rimanda l’interessato al sopra citato sito.

Dati in Input standard

1. 80.1030.680.2e

2.

3.

40.1540.700.1StdDev

00.135.015.0

35.000.140.0

15.040.000.1

Corr

Dove e sono i rendimenti attesi, StdDev le loro deviazioni standard e Corr la matrice delle correlazioni.

Vincoli1. 1k

2.

3.

20.020.020.0LB

50.050.050.0UB

Nota: la matrice C viene determinata a partire da Corr e StdDev mediante la relazione

TStdDev*Corr*StdDev

Utility hill per λ=50

Come varia la composizione del portafoglio

λ X k

AX=b

X>LB

X<UB

e Stdev Φ(λ)

50

-0.90

1.24

0.66

1

No

No

No

12.44 15.66 7.53

50

0.20

0.30

0.50

1

Sì

Sì

Sì

7.85 8.78 7.67

L’approccio al problema

Fase 1: Se pensassimo di risolvere la questione

andando a vedere cosa succede variando λ, ci porremmo nella situazione di dover, ad ogni passo, risolvere un problema quadratico convesso, con costi computazionali considerevoli.

Nota: questo approccio è utile quando si deve risolvere il problema per un numero ristretto di valori di λ.

Fase 2:Nel momento in cui vogliamo andare a vedere come cambiala composizione del portafoglio al variare di λ, ci accorgiamo che il punto centrale diventa il passaggio delle variabili Xi da uno stato all’altro (ad esempio, da in ad up) in relazione a λ.

L’idea alla base di questo lavoro è proprio questa:studiare i cambiamenti nelle variabili di stato con λ.

Si dimostra che solo un numero finito di volte si verifica tale situazione. È quindi possibile costruire degli intervalli in cui le composizioni dei portafogli non cambiano stato.In altri termini, ci riconduciamo a studiare un numero ristretto di valori di λ e di composizioni X.

Corner Portfolios

I portafogli che costituiscono il passaggio da uno stato ad un altro nelle frazioni di investimento sono detti corner portfolios.

BA

Ogni portafoglio viene costruito, fissato λ, come combinazione dei due portafogli ad angolo A e B per cui

Risultati dell’esempio

Tabella dei corner portfolios:

λ A B C

<=13.7 50.00 30.00 20.00

15.10 45.19 34.81 20.00

21.02 26.15 47.38 26.47

22.30 20.00 50.00 30.00

22.94 20.00 50.00 30.00

>=41.8 20.00 30.00 50.00

In questo grafico si può vedere la composizione del portafoglio di tre titoli al variare di λ (che ho chiamato rt).

Frontiere efficienti a confronto

Frontiera efficiente accettabile

Ingrandimenti

Un metodo alternativo

Wolfe (1959) “The simplex method for quadratic programming”.

Il metodo è noto come long form ed è basato sulla sensitivity analysis.

Consiste nel trasformare il problema quadratico in uno lineare.

Un nuovo approccio alla programmazione quadratica

In alternativa all’approccio classico basato

sulle optimal bases nel simplex method ho studiato l’impiego della sensitivity analysis nell’interior point method.

L’informazione prodotta dal metodo classico può risultare confusa a causa della non unicità della base ottimale.

Le fondamenta dello studio

Il problema diventa trovare:

0,:

2

1min XbbAXQXXXcc TT

0,:

2

1max sccQXsyAQXXybb TTT

dove ,,, nRsXc mRyb ,

nn RRQ

nm RRA

simmetrica e semidefinita positiva

matrice di rango m

Main Tools• Wolfe duality theorem• Complementary condition• Maximal complementary solution• Optimal tri-partition e optimal sets

Critical Line Method Sensitivity Analysis

corner portfolio transition point

efficient frontier optimal value function

Pregi del metodo

• Come in Markowitz, i punti della optimal value function corrispondono ad intervalli del parametro su cui la partizione è costante

• Il metodo è una estensione del modello di Markowitz anche in caso di degenerazione, grazie alla nozione di tri-partition sets

Osservazioni sullo studio condotto

• Il metodo è ancora in fase di sviluppo e perfezionamento

• Una possibile estensione è nella direzione dei modelli M-V: considerare i casi in cui il parametro λ influenza non solo le preferenze rischio-rendimento ma anche i vincoli sulle risorse da investire.

Esempio illustrativo (non finanziario)

2

2212121 2

522620716min xxxxxx

0,,,,

2052

82

1122

54321

521

421

321

xxxxx

xxx

xxx

xxx

Transition points, optimal partitions

B N T

λ =-8 {3,5} {1,4} {2}

-8< λ<-5 {2,3,5} {1,4} Ø

λ =-5 {2} {1,3,4,5} Ø

-5< λ<0 {1,2} {3,4,5} Ø

λ =0 {1,2} Ø {3,4,5}

0< λ<1.74 {1,2,3,4,5} Ø Ø

λ=1.74 {2,3,4,5} Ø {1}

1.74< λ<3.33 {2,3,4,5} {1} Ø

λ =3.33 {3,4,5} {1} {2}

3.33< λ<+∞ {3,4,5} {1,2} Ø

Optimal Value Function

Esempio illustrativo tratto da Vörös(finanziario)

Il problema analizzato è

0,,1:min XXeXICXX TTT

dove

916.0362.0419.0592.0314.0

362.0172.0143.0197.0013.0

419.0143.0298.0346.0155.0

592.0197.0346.0484.023.0

314.0013.0155.023.082.0

C

49.0

315.0

237.0

37.0

78.1

e

Transition points, optimal partitions

B N T

λ =0.237 {3} {1,2,4,5} Ø

0.237<λ<0.505 {1,3,4} {2,5} Ø

λ =0.505 {1,3,4} {5} {2}

0.505<λ<0.520 {1,2,3,4} {5} Ø

λ =0.520 {1,2,4} {5} {3}

0.520<λ<1.065 {1,2,4} {3,5} Ø

λ=1.065 {1,2,4} {3} {5}

1.065<λ<1.145 {1,2,4,5} {3} Ø

λ =1.145 {1,2,5} {3} {4}

1.145<λ<1.392 {1,2,5} {3,4} Ø

λ =1.392 {1,5} {3,4} {2}

1.392<λ<1.780 {1,5} {2,3,4} Ø

λ =1.780 {1} {2,3,4,5} Ø