MATEMATICA

Prof.ssa M. Rosa Casparriello

RADICE QUADRATA:LA CRISI DEI PITAGORICI

• Conoscere le potenze e saper operare con esse;

• Saper applicare la tecnica di scomposizione di un numero in fattori primi;

• PREREQUISITI

• Riconoscere se un numero è un quadrato perfetto;• Approfondire il concetto di estrazione di radice

quadrata come operazione inversa dell’elevamento a quadrato;

• Apprendere tecniche diverse per il calcolo della radice quadrata esatta ed approssimata, compreso l’uso ragionato delle tavole numeriche;

• CONOSCENZE E ABILITA’

• Conoscere e saper applicare le proprietà della radice quadrata;

• Acquisire il concetto di numero irrazionale• Riflettere sul significato dei numeri irrazionali e reali.

• CONOSCENZE E ABILITA’

• La radice quadrata: attivita’ laboratoriale:

Costruiamo la chiocciola delle radici quadrate. Abbiamo bisogno di un foglio, una matita e poi… riga, squadra e compasso… i colori li usiamo a casa!!!

• Un po’ di storia

I primi ad occuparsi del problema dell'estrazione di radice quadrata di un numero sono stati i babilonesi. Essi, tra i primi ad utilizzare un sistema di numerazione posizionale, avevano elaborato un procedimento per l'estrazione di radice quadrata che spesso viene attribuito a matematici posteriori, come Archita (428 - 365 a.C.) oppure ad Erone di Alessandria (vissuto tra il I° e II° sec. d.C.) oppure a Newton.

I babilonesi avevano ricavato un valore di pari a 1,414222 con un errore di circa 0,000008 dal valore vero. Di Erone di Alessandria, matematico e scienziato greco, si hanno poche notizie biografiche. Si occupò di meccanica, matematica e fisica. A lui si deve la formula (detta appunto formula di Erone) mediante la quale calcolare l'area di un triangolo qualsiasi, noti i suoi lati.

• La radice quadrata

A quanto è uguale la radice quadrata di 3 elevata alla seconda?

• √32 = 3L’elevamento a potenza e l’estrazione di radice sono due

operazioni l’uno l’inverso dell’altra.Ovvero è come se avessimo semplificato il 2, indice di radice

sottinteso, con l'esponente 2 della potenza. Da quiscompare il simbolo della radice.

Def: la radice quadrata di un numero (radicando) è quelnumero che elevato al quadrato da’ il radicando

• Radice quadrata

Come fare se non ho il radicando sotto forma di potenza?√144Cerco nella mia cassetta degli attrezzi “tool box”e ricordo che c’è uno strumento che mi permette di scrivere 144 sotto forma di potenza: la scomposizione in fattori primi. 144=122 ↔ √ 122 =12

• Radice quadrata

• E se gli esponenti sono dispari?• In questo caso l’indice della radice e l’esponente non

possono essere semplificati.• Diciamo, quindi, che per semplificare la radice con

l’esponente è necessario che il numero sia un quadrato perfetto (gli esponenti dei suoi fattori primi sono tutti numeri pari).

Abbiamo verificato due cose:• la scomposizione in fattori primi (strumento dalla

"cassetta degli attrezzi"), serve per riconoscere se un numero è un quadrato perfetto: se gli esponenti sono tutti pari, il numero è quadrato perfetto (quindi possiamo estrarre la radice con questo metodo)

• Abbiamo estratto la radice semplificando gli esponenti di tutti i fattori con lo stesso indice di radice.

• Radice quadrata

Proprietà della radice quadrata• Vogliamo calcolare √9x25√225=√32 x52 =15• Ma anche √9 x√25 =15REGOLA• La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto

delle radici quadrate dei singoli fattori (proprietà distributiva della radice)

• Proprietà della radice Caso 1:I due radicandi non sono quadrati perfetti, ma applicando la

proprietà otteniamo un solo radicando che è quadrato perfetto:√ 24 x √6 = √24x6 =√144=12Caso 2:Se uno dei due fattori non è un quadrato perfetto dobbiamo

lasciare indicata la sua radice:√20=√22 x 5 =√22 x√5 =2x√5

Proprietà della radice

• Analogamente, se dobbiamo calcolare √36:9 =√4=2√36:√9=6:3=2REGOLALa radice quadrata di un quoziente è uguale al

quoziente delle radici quadrate del dividendo e del divisore.

Proprietà della radice

√50 : √2 =√50:2=√25=5Applicando la proprietà riusciamo a calcolare la radice di un numero razionale espresso sotto forma di frazione:√169/121=√169/√121=13/11

Proprietà della radice

Applicando la proprietà riusciamo a calcolare la radice di un numero razionale espresso in forma decimale:√0.81=√81/100=√81/√100=9/10√0.7056=√7056/10000=√7056/√10000=84/100=0.84

Radice quadrata

• In alternativa, una radice di un numero decimale limitato può essere calcolata direttamente senza procedere alla sua trasformazione, purché il gruppo di cifre decimali del radicando sia in numero pari. Se questo non lo fosse si pareggerebbero le cifre aggiungendo degli zeri.

La radice quadrata

Per esempio, se dobbiamo estrarre la radicequadrata del numero 12,8 aggiungo uno zero peravere un numero pari di cifre decimali.Questo perché:un numero decimale elevato alla seconda non hamai un numero dispari di cifre decimali.Es: 1,22=1,44;

1,232 = 1,5129; ecc...

Algoritmo per l’estrazione della radice

Algoritmo= sequenza operativa per il calcolo

√7’12’89

Suddividiamo il numero dato partendoda destra in gruppi di due cifre, il primo gruppo a sinistrapuò essere formato da una o da due cifre. Consideriamoil primo gruppo (7) troviamo il più grande numero cheelevato al quadrato è ≤7 (cioè la radice quadrata esatta oapprossimata a meno di una unità di 7): 22=4 ≤ 7.2 è la prima cifra del risultato

√7’12’89

Algoritmo radice quadrata

24

3

Eleviamo al quadrato questa prima cifra

e sottraiamo dal primo gruppo di cifre il risultato

Otteniamo così il primo resto.

√7’12’89 2

4

3 1’2 4

Raddoppiamo la prima cifra della radice (2x2=4) e scriviamo 4 sotto il 2

Abbassiamo accanto al resto il secondo gruppo di cifre e separiamo l’ultima cifra a destra: otteniamo così 31

Algoritmo radice quadrata

√7’12’89 24

3 1 ‘2 4 7

Eseguiamo la divisione 31:4=7 e scriviamo il quoziente 7 a destra di 4 (se il quoziente fosse maggiore di nove scriveremmo ugualmente 9)

√7’12’89

4 7 x 7= 329

2 6

4

3 1 ‘2 -4 6 x 6= 276 2 7 6

0 3 6

Moltiplichiamo tutto il numero (47) per il quoziente stesso (7). Il numero ottenuto 329>312. Allora diminuiamo di una unità il quoziente (passiamo a sei) e ripetiamo il calcolo: 46x6=276; 276<312. scriviamo 6 di fianco a 2. A questo punto tracciamo una riga sotto quest’ultima operazioneSecondo resto

Algoritmo radice quadrata

Abbassiamo il terzo gruppo di cifre e separiamo l’ultima cifra a destra. Raddoppiamo il numero formato dalle prime due cifre della radice (26x2=52) e scriviamo il risultato sotto la riga orizzontale. Calcoliamo il quoziente 368:52=7. scriviamolo a fianco di 52 e moltiplichiamo 527 per il quoziente stesso (7). Infine, sottraiamo il prodotto ottenuto da 3689 e otteniamo così il terzo resto. Riportiamo 7, terza cifra della radice di fianco a 26.

√7’12’89

4 7 x 7= 329

267

4

3 1 ‘2 -4 6 x 6= 276

2 7 6

3 6 8’9 52 7 x7=36893 6 8 90 0 0 0

Algoritmo per l’estrazione della radice

È POSSIBILE CALCOLARE LA RADICE SENZA USARE L’ALGORITMO DI PRIMA.Prendiamo un numero a caso 23443654 ha otto cifre, la radice quadrata ne avrà quattro. E' 23 per 10^6 e radice (25)=5 quindi azzardo una prima stima del tipo.... 5000 Adesso divido il numero iniziale per 5000 e viene (tutte le calcolatrici hanno le 4 operazioni) 4688 Faccio la media (per far prima, la media aritmetica) con la stima iniziale e ho una seconda stima 4844 approssimata all'unita' Divido per la seconda stima e viene 4839 e con altra media ottengo una terza stima 4842 Toh, la calcolatrice dice che e' 4841.86ecc e non ditemi che i conti erano difficili....

I numeri irrazionali e la radice quadrata

Fino ad ora ci siamo occupati di numeri decimali limitati o illimitati periodici, ovvero numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione (numeri razionali) e li abbiamo indicati con il simbolo Q+, perchè abbiamo considerato solo I numeri positivi. Esistono, però numeri non periodici, cioè in cui non esiste un gruppo di cifre che si ripete periodicamente. Consideriamo il numero3,010120123012340….È certamente un numero illimitato non periodico poichè il numero compreso tra due zeri varia sempre. Questo numero non può essere scritto sotto forma di frazione poichè una frazione genera sempre solo numeri decimali finiti o illimitati periodici o misti. Non è quindi un numero razionale.

I numeri irrazionali e la radice quadrata

Si tratta di un NUMERO IRRAZIONALE

DEF. Un numero decimale illimitato non periodico è un numero irrazionale.I numeri irrazionali positivi si indicano con il simbolo I+L’insieme dei numeri irrazionali positivi e razionali positivi formano l’insieme dei numeri reali positivi e si indica con

R+

La crisi dei pitagorici

Una sicurezza entra in crisi per colpa della diagonale del quadrato ... il fatto che questa misura non sia un numero razionale lasciò i pitagorici sconvolti!"... Questo semplice quadrato disegnato sul foglio cela un abisso nel quale sprofondarono varie certezze. S'interrompeva brutalmente il legame essenziale fra numeri e grandezze, che garantiva la coerenza dell'universo dei pitagorici, e tutto questo avveniva in una delle figure base del mondo antico: il quadrato. Inoltre il colpo era stato inflitto proprio dall'applicazione di due dei più celebri risultati ottenuti dai pitagorici, il teorema di Pitagora e la separazione dei numeri interi in pari e dispari...."