Pitagorici, i numeri figurati Roma, Domenica 1 novembre 2009

L’insegnante di matematica di scuola superiore che rimprovera due studenti sorpresi a giocare di nascosto una partita di filetto invece di stare attenti alla lezione, farebbe meglio a fermarsi e chiedersi: “Per questi studenti questo gioco è più interessante, dal punto di vista matematico, di ciò che sto loro dicendo?”. In effetti, una discussione in aula sul filetto non sarebbe una cattiva introduzione a diverse branche della matematica moderna.

Martin Gardner,Enigmi e giochi matematici, Vol. I,

Sansoni 1972

Martin Gardner, 1914

John Horton Conway, 1937

Germogli

LIFE

1 - Un organismo sopravvive fino alla generazione seguente se ha due o tre vicini.

2 - Un organismo muore, rimane cioè al suo posto una cella vuota, se ha quattro o più vicini oppure se ne ha soltanto uno o nessuno. Isolati o in un ambiente sovraffollato, gli organismi non riescono a sopravvivere.

3 - Ogni cella vuota, con tre vicini, diventa una cellula di nascita e alla generazione seguente viene occupata da un organismo.

Roger Penrose, 1931

Solomon W.Golomb, 1932

Pentamini

Esamondi

Tetraexi

Richard Feynman, 1918 - 1998

Esaflexagoni

Quello che si studia con diletto non sarà mai più dimenticato, ma la conoscenza non si può mettere in testa a forza. L’insegnante non deve insegnare regole a memoria; ogni cosa dev’essere spiegata in modo tale che gli studenti possano riformulare le regole nel proprio linguaggio. L’insegnante che insegna soltanto regole sarà bravo unicamente per addestrare pappagalli.Sam Loyd, Cyclopedia of 5000 Puzzles

Sam Loyd, 1841 - 1911

François Édouard Anatole Lucas, 1842 - 1891

L’insegnamento scientifico dev’essere allegro, vivo, divertente e non freddo, pesante e formale. Conserviamo la nostra autorità per gli appuntamenti universitari.

Henry Perigal fotografato all’età di 96 anni, nel 1897

La dimostrazione del teorema di Pitagora fatta nel 1830 da Henry Perigal (1801 – 1898). Egli divise il quadrato costruito sul cateto maggiore in quattro parti, con due segmenti passanti per il centro del quadrato stesso, uno dei quali parallelo e l'altro perpendicolare all'ipotenusa BC, e ricompose poi i quattro pezzi, insieme al quadrato costruito sull’altro cateto, nel quadrato dell’ipotenusa.

Un numero esagonale è equivalente a un numero rettangolo alto n e largo 2n - 1

1 2 3 4 5 … n

12 22 32 42 52 … n2

6 al quadrato è uguale alla somma dei primi 6 numeri dispari

(n + 1)2 = n2 + (2n + 1)

Erone definì lo gnomone come “quello che aggiunto a qualcosa, numero o figura, fa il tutto simile a quello a cui è stato aggiunto”.

Erone di Alessandria, I sec. A. C.

Gnomone di 13

Lo gnomone di 15

Uno degli gnomoni di 72:il quadrato di 9 meno il quadrato di 3

1 3 6 10 15 21 …

I numeri pentagonali: 1, 5, 12, 22, 35, …

Numeri esagonali centrati1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, ...

Numeri esagonali e numeri Hex

1, 6, 15, 28, 45, ...

Δn = 1/2n(n + 1) Esagn = n(2n – 1)

Ogni numero esagonale è un numero triangolare poiché:

n(2n – 1) = ½( 2n – 1)[(2n – 1) + 1]

Nel 1830 Legendre provò che ogni numero maggiore di 1791 è uguale alla somma di quattro numeri esagonali. Nel 1990 Duke e Schulze-Pillot perfezionarono questa dimostrazione portandola a tre numeri esagonali per ogni numero sufficientemente grande.

Formule dei numeri figuratiNumeri al quadrato n2

Numeri al cubo n3 Numeri biquadratici n4

Numeri al triangolo ½ n(n + 1)

Numeri al pentagono ½ n(3n - 1)

Numeri all’esagono n(2n – 1)

Numeri all’eptagono n(5n – 3)/2

Numeri all’ottagono n(3n – 2)

Numeri al decagono n(4n – 3)

Numeri al tetraedro 1/6 n(n + 1)(n + 2)

Numeri alla piramide a base quadrata 1/6 n(n + 1)(2n + 1)

Numeri gnomonici 2n - 1

1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325, 396, 474, 559, 651, 750, 856, 969, ...

Numeri epatagonali e nonagonali

1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, ...

I numeri nonagonali centrati, sono i numeri nonagonali con un punto centrale in più:

10, 28, 55, 91, ...

Numeri Stella

1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, ...

1 8 27 64 ...

Da 43 a 53 con lo gnomone tridimensionale di 5

I numeri tetraedrici: 1, 4, 10, 20, 35, …

I numeri piramidali quadrati: 1, 5, 14, 30, … Pirn = 1/6n (n + 1)(2n + 1)

Dati tanti numeri quanti vogliamo, a partire da 1 e con una differenza costante fra due termini successivi, se tale differenza è uguale a 1, la somma di tutti i numeri è un numero triangolare; se è uguale 2 è un quadrato, uguale a 3 è un numero pentagonale, e così via. Inoltre il numero degli angoli è uguale alla differenza comune più 2, mentre il numero del lato è il numero dei termini sommati fra loro, incluso 1.

Il numero poligonale di lato l e avente d + 2 angoli, per un numero n, si ottiene dalla somma dei primi n termini della progressione aritmetica di ragione d e il cui primo termine sia sempre 1.

Diofanto,

200, 284 d. C.

1, 1 + 3 = 4, 4 + 3 = 7, 7 + 3 = 10, 10 + 3 = 13, 13 + 3 = 16, ...

Ad esempio per i numeri al pentagono:

P4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22

Teorema di NicomacoLa somma dei primi n cubi è uguale al quadrato dell’n-esimo numero triangolare

1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ...  = (1) + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) + (13 + 15 + 17 + 19) + (21 + 23 + 25 + 27 + 29) + ...  = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 ... = 4 9 16 25 36 49....

2)1(2)(3 nTnTn

13 = (T1)2 23 = (T2)2 - (T1)2 33 = (T3)2 - (T2)2 43 = (T4)2 - (T3)2 53 = (T5)2 - (T4)2 63 = (T6)2 - (T5)2 …

2)(3...3534333231 nTn

La somma dei cubi dei numeri successivi, da 1 a n, è uguale al quadrato del triangolo di n.

Un numero triangolare al quadrato è uguale alla somma di cubi

n2 = Tn + Tn – 1

Tn – 1 = Tn - n

n2 = Tn + Tn - n

2Tn = n2 + n

2)1(

2

2

nnnnnT

E in generale a2 + b2 = c2, dove a2 = b + c

89/55 = 1,61818

Il prodotto di tre interi consecutivi è sempre un multiplo di 6.

1 2 3 4 5 6 7

2 4 6 8 10 12 14

3 6 9 12 15 18 21

4 8 12 16 20 24 28

5 10 15 20 25 30 35

6 12 18 24 30 36 42

7 14 21 28 35 42 49

1 4 10 20 35 56 84

Numeri al tetraedro

Nel 1638 Fermat affermò che ogni numero intero positivo è uguale alla somma al massimo di 3 numeri triangolari, 4 numeri quadrati, 5 numeri pentagonali e n numeri n – poligonali. Fermat disse di aver dimostrato questo risultato, ma la dimostrazione non venne mai trovata. Gauss provò il caso dei numeri triangolari. Eulero non riuscì a dimostrare il caso dei quadrati del Teorema di Fermat, che venne risolto successivamente da Jacobi e indipendentemente da Lagrange. Per questo viene definito il Teorema dei quattro quadrati di Lagrange. Nel 1813 Cauchy dimostrò la congettura in generale.

LA CONGETTURA DI FERMAT

Quadrato di Fermat e Pascal, chiarito da Giovanni Bernoulli

Numeri al triangolo

Numeri al tetraedro

21 + 28 = 49

56 + 84 = 140 == 100 + 36 + 4

35 + 70 = 105 = 1 + 4 + 36 + 64

Questo è forse il più bel problema dell’Aritmetica

Fermat

Numeri all’ipertetraedro o Pentatopo

Δn + Δn-1 = 1 + 2 + 3 + ... + n + 1 + 2 + ... (n – 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)

Tre piramidi quadrate riempiono una scatola rettangolare

=

=

Teorema di Conway e Guy (1996)

BIBLIOGRAFIA E SITIGRAFIA

J. H.Conway e R. K Guy Il libro dei numeri, Cap. II – Numeri dalle figure: come fare aritmetica e algebra con la geometria, pp. 25 – 54, Hoepli, 1999

School Mathematics Project, Configurazioni numeriche, pp. 95 – 108, Zanichelli, 1972

Uwe Kraeft, Bernoulli, Euler, Stirling, Figurate Numbers and Factorials, Shaker Verlag GmbH, 2006

Mathworld:http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html

Wikipedia:http://en.wikipedia.org/wiki/Polygonal_number

PlanetMath:http://planetmath.org/encyclopedia/PolygonalNumber.html

Un insegnante di matematica, indipendentemente da quanto ami la sua materia e da quanto vigore metta nel suo desiderio di comunicarla, deve sempre affrontare una difficoltà soverchiante: come tenere svegli gli studenti. Mi è sempre sembrato che il modo migliore per rendere interessante la matematica agli studenti e ai profani sia quello di accostarvisi con uno spirito giocoso. Sta di fatto che il miglior modo di tener sveglio uno studente è presentargli giochi matematici interessanti, enigmi, trucchi, battute, paradossi, modelli, limerick o una qualsiasi delle centinaia di cose che gli insegnanti ottusi tendono a evitare perché paiono loro frivole».

Brian Butterworth, Intelligenza Matematica, Rizzoli, 1999

http://polito.it/polymath