PUNTI NOTEVOLI DEL TRIANGOLO

P.O.N. di Matematica “Impariamo a ragionare”Anno Scolastico 2013-2014I.T.I.S. Onofrio Jannuzzi – ANDRIA

Docente tutor:Prof. Cirulli Nicola

Docente esperto:Prof.ssa Di Gregorio Anna

IL TRIANGOLO

In geometria, il triangolo è un poligono formato da tre angoli e da tre lati; rappresenta la figura con il minor numero di lati, in quanto tre è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie chiusa.Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti proprietà:

è una figura indeformabile, cioè, assegnate le lunghezze dei lati sono univocamente determinati anche gli angoli;

è una figura sempre inscrivibile e circoscrivibile in una circonferenza, perché per tre punti passa sempre una e una sola circonferenza; nella geometria euclidea la somma degli angoli interni è uguale ad un angolo piatto, ossia 180°.

CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLII triangoli possono essere classificati secondo due metri di classificazione: lati angoli

CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI SECONDO I LATISecondo i lati, il triangolo può classificarsi in tre categorie:

EQUILATERO

Tutti i lati hanno

lunghezza uguale.

SCALENO

Tutti i lati hanno lunghezze differenti.

ISOSCELE

Due lati hanno lunghezza

uguale.

CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI SECONDO GLI ANGOLISecondo l’angolo, il triangolo può classificarsi in tre categorie:

RETTANGOLOHa un angolo interno di 90°.

ACUTANGOLOHa tutti gli angoli interni minori di

90°.

OTTUSANGOLOHa un angolo interno

maggiore di 90°.

PUNTI NOTEVOLIIl triangolo è una figura geometrica caratterizzata dalla presenza di alcuni punti che, per la loro particolare posizione o per l’importanza che rivestono, vengono catalogati in un insieme di punti speciali chiamato insieme dei punti notevoli del triangolo.

Nello studio dei punti notevoli si sono volute approfondire le caratteristiche di quattro punti notevoli del triangolo: baricentro; incentro; ortocentro; circocentro.

BARICENTRO

Il baricentro è l’intersezione delle mediane (segmenti che congiungono un vertice al punto medio del lato opposto) di un triangolo. In una figura convessa, come il triangolo, il baricentro è sempre interno alla superficie della figura. Esso infine, divide ogni mediana in due parti in cui la parte avente il vertice per estremo è il doppio dell’altra.

BARICENTRO IN … FISICAIn fisica, il baricentro è il punto nel quale è applicata la forza risultante di tutte le forze peso parallele e, a seconda delle caratteristiche del corpo, può essere anche centro di massa e centro di gravità.Nel triangolo abbiamo sperimentato che il baricentro è punto di equilibrio di tutta la figura. Se mantenessimo una figura triangolare bidimensionale sospesa nel vuoto con anche una sola matita che la mantenga in corrispondenza del suo baricentro, il triangolo non cadrebbe.

Una dimostrazione pratica per individuare il baricentro…

BARICENTRO IN … FISICANella figura a destra abbiamo riportato la Torre di Pisa. Molti si chiedono perché nonostante penda da un lato la torre non crolli e si mantenga perfettamente in equilibrio. La risposta è da ricercare proprio nel significato di baricentro. Infatti, l’asse passante per il baricentro della torre cade a terra dentro l’area di base della torre. Se l’inclinazione fosse di quel tanto maggiore per spostare l’asse fuori dall’area di base, la torre cadrebbe.

INCENTRO L’incentro è l’intersezione

delle bisettrici (semirette aventi origine in un vertice e taglianti l’angolo del medesimo in due angoli congruenti) del triangolo. L’incentro è equidistante da tutti i lati del triangolo.Esso è sempre interno alla superficie del triangolo.

ORTOCENTRO

L’ortocentro è il punto di intersezione delle altezze (segmento perpendicolare ad un lato che ha un estremo nel lato stesso e l'altro nel vertice ad esso opposto) del triangolo.L’ortocentro, a differenza di incentro e baricentro, può essere anche esterno alla superficie della figura o coincidente al suo perimetro.

ORTOCENTRO COINCIDENTE

Nel caso in cui il triangolo si rivelasse rettangolo, l’ortocentro corrisponderebbe al vertice del triangolo avente l’angolo retto di 90°.

ORTOCENTRO ESTERNO

Nel caso in cui il triangolo si rivelasse ottusangolo, l’ortocentro sarebbe esterno alla superficie della figura.

CIRCOCENTRO

Il circocentro è l’intersezione degli assi dei segmenti del triangolo. Inoltre è il centro del cerchio circoscritto del triangolo stesso.Come l’ortocentro, il circocentro può essere coincidente o esterno alla figura.

CIRCOCENTRO COINCIDENTE

Nel caso in cui il triangolo fosse rettangolo, il circocentro è coincidente al triangolo e, in particolar modo, è coincidente al punto medio della sua ipotenusa.

CIRCOCENTRO ESTERNO

Nel caso in cui il triangolo fosse ottusangolo, il circocentro è esterno alla figura.

ALTRI PUNTI NOTEVOLIIn realtà l’insieme dei punti notevoli è ben più ampio di quanto sembra.Infatti, oltre ai quattro precedentemente analizzati, ci sono altri dieci punti notevoli che, a causa della loro complessità, sono poco studiati e poco conosciuti. Essi sono: excentro; punto di Bevan; punto di Apollonio; punto di Gergonne; punto di Nagel; punto di Fermat; punto di Napoleone; centro dei nove punti; punto pedale; punto ceviano.

SIMBOLOGIA DEL TRIANGOLOIl triangolo rappresenta la più regolare e la più stabile fra la moltitudine delle figure geometriche.Proprio questa caratteristica ha fatto sì che molte civiltà, dall’epoca classica fino ai giorni nostri, abbiano associato la figura del triangolo a concezioni molto spesso ritenute sovrumane e dal carattere prettamente religioso.

Non è un caso che i cristiani dell’Alto Medioevo, fortemente radicati nella teocrazia e nella simbologia tipiche dell’oscurantismo medievale, abbiano identificato nel triangolo la figura per rappresentare la Trinità e, specialmente, Dio.

Tuttavia il triangolo è associato a concezioni opposte a quella divina. Infatti molte sono le logge massoniche che associano il triangolo a simboli esoterici.

TRIANGOLO… IN STRADA

Nella civiltà contemporanea il triangolo è usato soprattutto nella segnaletica stradale. Al triangolo viene normalmente associato il significato di pericolo e chi lo vede deve prestare attenzione al messaggio in esso contenuto.